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  • Geometria Plana: Exercícios de áreas de regiões poligonaisNotações: R[x]=raiz quadrada de x>0, cm²=centímetro quadrado.1. Por dois modos distintos, mostrar como pode ser decomposta cada umadas regiões poligonais em triângulos.2. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da alturarespectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outroparalelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outroparalelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?Resposta: A2 = (2b)(2h) = 4bh = 4A13. A razão entre as medidas dos lados de dois quadrados é 1:3. Qual é arazão entre as áreas desses dois quadrados?Resposta: a razão é 1:94. É possível obter a área de um paralelogramo, se conhecemos apenasas medidas de seus lados? SoluçãoNão, pois a área de um paralelogramo depende de sua altura,que por sua vez depende do ângulo entre seus lados como estáilustrado na figura.5. É possível obter a área de um losango cujo lado mede 10 cm?Resposta: Não, pois os lados de dois losangos podem ser diferentes.6. Qual é a área de um losango que possui diagonais medindo 10 cm e 16cm?Resposta: A = 80 cm²
  • 7. Calcular a área de cada quadrilátero indicado abaixo: a. Quadrado com lado medindo 5/3 cm. b. Quadrado com perímetro 12cm. c. Retângulo com comprimento 3cm e perímetro 10cm. d. Quadrado com perímetro 12R[3]cm.Respostas: (a) 25/9 cm² (b) 9 cm² (c) 6 cm² (d) 27 cm²8. Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida dooutro lado para que a área deste retângulo seja equivalente à área doretângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm?Resposta: lado = 10,8 cm9. Se um retângulo possui o comprimento igual ao quíntuplo da largura e aárea é igual a 80 cm², quais são as medidas de seus lados?Resposta: os lados medem 4 e 20 cm10. Nos ítens abaixo, indicamos uma mudança na medida de um doslados. Que mudança deveremos realizar na medida do outro lado doretângulo para que a área deste permaneça constante? a. A base é multiplicada por 3; b. A altura é dividida por 2; c. A base é aumentada 25%; d. A base é diminuída 25%Respostas: (a) a altura é dividida por três (b) a base é multiplicada por dois (c) a altura é diminuída 20% (d) a altura é aumentada 1/3
  • 11. Calcular a área de um retângulo cujo lado mede s e a diagonal mede d. SoluçãoDevemos calcular a medida do outro lado de retângulo, seja xeste lado, pelo teorema de Pitágoras temos que: d²=s²+x² x²=d²-s² x = R[d²-s²] Area=s×x=s×R[d²-s²]12. Um triângulo retângulo tem um ângulo de 30 graus. Determinar asmedidas dos catetos, se a hipotenusa é indicada por a. SoluçãoDado o triângulo retângulo ABC, traçamos BD de modo que oângulo CBD também tenha 30 graus, o triângulo ABD é umtriângulo equilátero com AB=BD=a e AC=a/2.Como: (AB)²=(AC)²+(BC)², segue que; a²=(a/2)²+(BC)² (BC)²=(3/4)a² BC = R[3]a/2Se a hipotenusa mede a, os catetos medem a/2 e R[3]a/2.13. Um triângulo retângulo tem um ângulo de 45 graus. Determinar asmedidas dos catetos, se a hipotenusa é indicada por a. SoluçãoDado o triângulo ABC, com hipotenusa AB=a, segue pelo teoremade Pitágoras que: a²=AC²+CB² e como o triângulo é retângulocom um ângulo de 45 graus temos AC = CB,então; a²=2(AC)² e AC=a/R[2].Assim, se a hipotenusa mede a, os catetos são congruentes ecada uma deles mede a R[2]/2.
  • 14. Obter a área de um paralelogramo conhecendo-se o ângulo Â=30graus e cada um dos dados abaixo: a. AD = 4 R[3] cm e AB = 8 cm b. AX = 3 cm e AB = 4 R[2] cm c. AB = 10 cm e AD = 6 cm d. AB = 6 cm e AX= 3 R[3] cmRespostas: (a) 16 R (3) cm² (b) 4 R (6) cm² (c) 30 cm² (d) 18 cm²15. A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triânguloretângulo isósceles em cima. Se um dos catetos do triângulo mede 7metros, qual é a área frontal desta casa?Resposta: Área = 77/2 m²
  • 16. A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triânguloretângulo isósceles em cima. Se a diagonal do quadrado mede 2R[2] m,calcular a área frontal desta casa. SoluçãoComo a diagonal do quadrado mede 2.R[2]m, temos qued²=a²+a²=2a², de onde segue que (2R[2])²=2a², que equivale a8=2a². Obtemos assim a=2m, e Área do quadrado =4m². ComoAB=BC e o triângulo é retângulo, segue que a²=AB²+BC²=2 AB²,de onde segue que AB²=4/2=2. Assim temos: AB=R[2]Área do triângulo=(AB×AB)/2=R[2]×R[2]/2=1m².Área total=área(quadrado)+área(triângulo)=5m²17. O lado de um triângulo equilátero T1 mede 10 cm. Qual deve ser amedida do lado de um outro triângulo equilátero T2 que possui o: (a) dobro da área de T1? (b) triplo da área de T1? (c) quádruplo da área de T1?Respostas: (a) lado = 2 R (2) cm (b) lado = 10 R (3) cm (c) lado = 20 cm18. Os números em cada linha na tabela abaixo, referem-se às medidas deum triângulo, onde são conhecidas duas informações dentre: Base, Alturae Área. Complete a tabela com os dados que estão faltando. Base (cm) Altura (cm) Área (cm²) (a) 5 10 (b) 5 12 (c) 2R[3] 3R[3] (d) 6 12
  • SoluçãoAs respostas estão em vermelho na tabela abaixo Base (cm) Altura (cm) Área (cm²) a. 4 5 10 b. 5 24/5 12 c. 2R[3] 3R[3] 9 d. 4 6 1219. Os números em cada linha na tabela abaixo referem-se às medidas deum trapézio, onde b1 e b2 são as bases, h é a altura e A a área. Completea tabela com os dados que estão faltando. b1 (cm) b2 (cm) h (cm) A (cm²) (a) 10 6 4 (b) 5 3 24 (c) 5 3 12 (d) 1/2 1/3 1 (e) 5R[2] 3R[2] 4R[6] SoluçãoAs respostas estão em vermelho na tabela abaixo b1 (cm) b2 (cm) h (cm) A (cm²) a. 10 6 4 32 b. 5 3 6 24 c. 3 5 3 12 d. 1/2 1/3 1 5/12 e. 5R[2] 3R[2] R[3] 4R[6]20. Calcular a medida do lado de um triângulo equilátero com a área iguala 9 R[3] unidades de área.Resposta: L = 3 R(2) u
  • 21. Um fazendeiro possuía um terreno no formato de um triânguloequilátero com lado medindo 6 Km e comprou do vizinho mais uma áreatriangular isósceles cuja base mede 4 Km, de acordo com a figura, emanexo. Qual era a área que o fazendeiro possuía e qual é a nova área?Resposta: O fazendeiro possuía 18 R[3] Km².A nova área é (18 R[3] + 4 R[2]) Km².22. Um trapézio isósceles com bases medindo 12 cm e 16 cm está inscritoem uma circunferência de raio 10 cm. Calcular a área do trapézio, se ocentro da circunferência está no interior do trapézio.Na figura ao lado, a altura do trapézio mede h=a+b, onde: a²=10²-8²=36 a=6 b²=10²-6²=64 b=8 h=6+8=14Área do trapézio = (B+b)h/2=(16+12)×7=196cm².23. Um trapézio isósceles com bases medindo 12 cm e 16 cm está inscritoem uma circunferência de raio 10 cm. Calcular a área do trapézio, se ocentro da circunferência não está no interior do trapézio.Na figura ao lado, a altura h do trapézio mede h=b-a, onde:a²=10²-8²=36a=6b²=10²-6²=64b=8h=8-6=2 cmÁrea do trapézio = (B+b)h/2=(16+12)×1=28cm².
  • 24. Calcular a área do trapézio isósceles, cujo desenho está na figura aolado, se todos os seus lados são tangentes à circunferência e as medidassão dadas em cm. SoluçãoSeja o triângulo isósceles construido prolongando os lados nãoparalelos do trapézio, de acordo com a figura. Tomando h=AE e ro raio da circunferência inscrita no trapézio. BC=18 e DF=8, logoGC=9 e EF=4. Como o trapézio BCFD é isósceles, o triângulo ABCé isósceles. O triângulo AGC é retângulo com ângulo reto em G.O triângulo AEF é retângulo com ângulo reto em E e porsemelhança de triângulos, temos que: AE/EF=AG/GC implica queh/4=(h+2r)/9, de onde segue que h=8r/5.O triângulo ATO tem um ângulo reto em T, porque T é ponto detangência. Este triângulo ATO também é semelhante ao triânguloAGC, logo: AT/TO=AG/GC m(AT)/r=(h+2r)/9 (*)Acontece que: AT=R[h²+2hr]=R[16r²/25+2r(8r)/5]=12r/5.Substituindo este valor em (*), obtemos: 12r / 5r = (h+2r)/9 ·.· 12/5 = (8r/5 + 2r)/9 ·.· r=6Seja B a base maior do trapézio e b a base menor do trapézio,assim, a área do trapézio é dada por, A=(B+b)×h/2 A=(18+8)×2×6/2=78
  • 25. No plano coordenado, os vértices de um paralelogramo são os pontosA=(-3,-2), B=(6,-2), C=(10,3) e D=(1,3). Determinar a área doparalelogramo ABCD. SoluçãoSeja AB a base do paralelegramo e h sua altura, então, AB=6-(-3)=9 h=3-(-2)=5A Área do Paralelogramo é a base vezes a altura, então, A=9×5=45 unidades de área.26. Na figura representando o triângulo PQR, o segmento TS é paralelo aosegmento PQ. Calcular a razão entre a área do triângulo RTS e a área dotrapézio PQST, sob as seguintes condições: a. RT=1 cm, RP=2 cm b. RT=2 cm, TP=3 cm c. TS=2 cm, PQ=3 cm d. TS=R[3] cm, PQ=2 cm Dica: Obter a razão entre as áreas dos triângulos PQR e TSR.Respostas: (a) 1:3 (b) 4:21 (c) 4:5 (d) 3:127. Calcular a área de um triângulo equilátero cujas medidas são dadaspor: Respostas a. Lado = 6 cm área = 9R[3] cm² b. Apótema = 3 cm área = 27R[3] cm² c. Raio = 6 cm área = 27R[3] cm² d. Perímetro de medida t cm área = t² R[3]/36 cm²
  • 28. Calcular a área de um hexágono regular cujas medidas são dadas por: a. Lado = 4 cm área = 24R[3] cm² b. Apótema = 2R[3] cm área = 24R[3] cm² c. Raio = 6 cm área = 54R[3] cm² d. Perímetro = t cm área = 2t² R[3] cm²29. ABC é um triângulo retângulo com ângulo reto em C. Se m(AB)=15 cme m(BC)=9 cm, qual é a área do quadrado de lado AC?Resposta: área = 144 cm²30. Pesquise a origem e o significado para cada uma das palavras que sãousadas em Geometria: a. apótema: Segmento de reta perpendicular ao lado de um polígono traçada a partir do centro do mesmo. b. hipotenusa: maior lado do Triângulo Retângulo, opondo-se ao ângulo reto. c. catetos: catetos são os menores lados do Triângulo Retângulo. Formam o ângulo de 90° d. abscissa: Nome da coordenada do eixo x em um sistema cartesiano bidimensional. e. ordenada: é uma das coordenadas que, no sistema cartesiano, definem a posição de um ponto num plano ou no espaço.31. Os números em cada linha da tabela abaixo referem-se às medidas dopolígono regular indicado, onde L é o lado, a é o apótema, p é o perímetroe A a área. Complete a tabela com os dados que estão faltando. 1 L (cm) a (cm) p (cm) A (cm²) Triângulo 2 R[3] Pentágono k 4 Hexágono k octógono t k Decágono 40 40k Solução: As respostas estão em vermelho na tabela abaixo L (cm) a (cm) p (cm) A (cm²) Triângulo 12 2 R[3] 36 36 R[3] Pentágono 4/5 k 4 2k Hexágono k k R[3]/2 6k (3 k²R[3])/2 octógono t k 8t 4tk Decágono 2k 2k 40 40k
  • 32. Os lados correspondentes de dois pentágonos semelhantes estão narazão 1:2. Qual é a razão entre as suas áreas? Qual é a razão entre osseus perímetros?Resposta: a razão entre as áreas é 1:4 e a razão entre os perímetros é 1:233. Dois hexágonos semelhantes possuem áreas iguais a 36 cm² e 64 cm²,respectivamente. Qual é a razão entre as medidas de um par de ladoscorrespondentes (um em cada hexágono)?Resposta: a razão é 3:434. Dois pentágonos semelhantes possuem áreas iguais a 50 cm² e 100cm², respectivamente. Qual é a razão entre as medidas de um par delados correspondentes (um em cada pentágono)?Resposta: a razão é 2:235. No triângulo ABC, desenhado ao lado, AB mede 5 cm e altura CDmede 8 cm. Qual deverá ser a medida do lado de um quadrado com áreaigual à área do triângulo ABC?Resposta: L=2R[5]36. A área de um polígono de n lados é 25/4 da área de um outro polígonosemelhante com n lados. Qual é a razão entre os perímetros dos doispolígonos?Resposta: a razão é 5:237. Os pontos X, Y e Z são os pontos médios dos lados de um triânguloABC. Qual é a razão entre a área do triângulo ABC e do triângulo XYZ?Resposta: a razão é 1:4
  • 38. O lado menor de um polígono de área igual a 196 cm² mede 4 cm.Calcular a área de um polígono semelhante a este que tem o lado menormedindo 8 cm.Resposta: área 784 cm²39. Os lados de um quadrilátero medem 3 cm, 4 cm, 5 cm e 6 cm. Calcularas medidas dos lados de um quadrilátero semelhante a este com área 9vezes maior.Resposta: L1 = 9 cm L2 = 12 cm L3 = 15 cm L4 = 18 cm40. Qual é a razão entre as áreas de dois triângulos equiláteros, sabendo-se que um deles está inscrito em uma circunferência de raio 6 cm e o outrocircunscrito na mesma circunferência?Resposta: a razão é 1:441. Na figura ao lado D e E são, respectivamente, os pontos médios doslados do triângulo AC e BC. Qual é a razão entre as áreas dos triângulosDEC e ABC?Resposta: a razão é 1:342. Considere dois quadrados inscritos, um em uma semicircunferência deraio r e o outro em uma circunferência de mesmo raio. Qual é a relaçãoexistente entre suas áreas?Resposta: a razão é 2:543. Um hexágono regular é inscrito em uma circunferência de raio r e umsegundo hexágono regular é circunscrito na mesma circunferência. Se asoma das áreas dos dois hexágonos é 56 R[3] u.a, qual é o raio dacircunferência?Resposta: R = 4 u
  • 44. O quadrilátero ABCD é um retângulo e os pontos E, F e G dividem abase AB em quatro partes iguais. Qual é a razão entre a área do triânguloCEF e a área do retângulo?Resposta: razão = 1/845. O retângulo ABCD tem área 105 m². Qual a medida do lado doquadrado EFGC?46. De um quadrado cujo lado mede 8 cm, são recortados triângulosretângulos isósceles nos quatro cantos de modo que o octógono formadoseja regular como mostra a figura ao lado. Qual é a medida do lado dooctógono?Resposta: L = 4 (2-R[2]) cm