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INDICE
INTRODUCCIÓN
ELEMENTOS
METODO DEL JARDINERO
VALOR DE LA CONSTANTE
RELACIÓN ENTRE a, b y c
EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE
ECUACION DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN
LONGITUD DEL LADO RECTO
EJERCICIOS
La elipse es el lugar geométrico
de todos los puntos P(x;y) cuya
ubicación en el plano es tal, que
la suma de sus distancias a dos
puntos fijos de él es constante.
INDICE
Estos dos puntos fijos del plano, se
llaman focos y se designan por F1 y
F2
P(x;y)
V2
F2F1 X
V1
Y
INDICE
Elementos:
V1
Y
V2
F2F1 X
Focos: F1 y F2
Recta focal o eje focal: es
la recta que pasa por los
focos, tal como V1 y V2
Recta secundaria: Es la
recta perpendicular a la
recta focal en el punto
medio del segmento F1 y F2
Ejemplo: La recta B1 y B2
Centro: Es el punto de
intersección de las rectas
focal y secundaria y que
equidista de los focos. Se
designa por F0
B1
B2
a
b
INDICE
F0
Elementos:
V1
Y
C1
V2
F1F2 X
Vértices y Covértices: los
vértices son los puntos de
intersección de la elipse con la
recta focal. Se designan por V1 y
V2. A los puntos B1 y B2 se les
llama Cóvertices.
Eje mayor: Es el segmento
V1V2 que se considera la
longitud “2a”, donde “a” es el
valor del semieje mayor.
Lado recto: Es la cuerda focal
C1 C2 perpendicular a la recta
focal o eje de simetría.
Disctancia focal: Es la
distancia entre los focos. Se
considera de longitud “2c” , es
decir F1F2 = 2c
B1
B2
a
b
Eje menor: Es el segmento B1
B2 de la recta secundaria
interceptada por la elipse. se
considera la longitud “2b”,
donde “b” es el valor del semieje
menor.C2
F0
c c
INDICE
EL METOOD DEL JARDINERO
Para dibujar una elipse se puede usar dos alfileres, lápiz e hilo
El procedimiento es el siguiente:
1. Se clavan los dos alfileres en los puntos considerados como focos.
2. Se unen ambos alfileres con cada extremo de hilo.
3. Se tensa el hilo con el lápiz.
4. Deslizamos el lapiz en el papel, y la punta del lapiz dibujará el papel.
Este método es conocido como el “método del jardinero”, ya que los jardineros lo
usan para trazar elipses en los prados.
INDICE
P(x;y)
V2
F1F2 X
V1
Y
De acuerdo a lo anterior, las
coordenadas de los focos son
F1 (c,0) y F2(-c,0)
d(P;F1) + d(P;F2)
Determinemos ahora el valor de la
consonante. Si consideramos al punto P
ubicado en el vertice V1, la suma de sus
distancias a los focos es constante.
d(V1,F1) = a – c
d(V1, F2) =a + c
d(V1,F1) + (d(V1,F2) = 2a
Luego: d(P;F1) + d(P;F2) = 2a
c c
aa
INDICE
P
V2V1
F1F2
c c
b
aa
X
Y
Para halalr una relacion entre a, b y
c, ubicamos el punto P(x;y) en la
interseccion d ela elipse con la recta
secundaria (eje Y)
En este caso:
d(P;F1) = d(P;F2) = a
Ya que d(P;F2) + d(P;F2) = 2a
En el PF0F1: c>a
Y por el T. de Pitágoras: b2
+ c2
=a2
F0
INDICE
b
a
X
Y
F1F2
-4
-5
4
5
c
F0
A toda elipse se le asocia
un número real que
llamamos excentricidad de
la elipse, designado por la
letra e, y cuyo valor es:
e= c/a
-3 3
Elipse de
excentricidad
e= 3/5
INDICE
b
a
X
Y
F1F2
-3
-5
3
5
c
F0
e= c/a
-4 4
Elipse de
excentricidad
e= 4/5
INDICE
V2
Y
Para encontrar la ecuación analítica de la
elipse, expresamos las distancias entre
P(x;y) y los focos F1(c,0) y F2(-c,0) en
funcion de sus coordenadas.
a
aFPdFPd
ycxycx 2
2)2,()1,(
)0()()0()(
2222
=+++
=+
−+−−
P(x;y)
V1
F1( C;0)F2(-C;0)
B2 (0;-b)
B1 (0;b)
X
INDICE
Aislamos una de las raíces y luego elevamos al cuadrado.
( )
cxa
a
aycx
ycxycxycx
444
4
222
222222
)(
)()(
+=+
+++=+
+
++−




 ++−



 +−
+−
=
+−=+
ycxaycx
ycxycx a
2222
2
)(2)(
)()(
22
2222
( )
caaxcyaxa
cxaycxa
224222222
2
2
)()(
222
−
+++
=−+
=
Elevamos al cuadrado:
Factorizando:
( ) ( )
bayaxb
bca
caayaxca
pero
222222
222
222222
.
,22
=+⇒
=−
−=+−
P(x;y)
V1
F1( C;0)F2(-C;0)
B2 (0;-b)
B1 (0;b)
X
Y
INDICE
Dividiendo por a2
b2
.
0;12
2
2
2
>>=+ ba
b
y
a
x
P(x;y)
V1
F1( C;0)F2(-C;0)
B2 (0;-b)
B1 (0;b)
X
Y
Luego:
La ecuación canónica de la elipse cuando
el eje focal coincide con el eje x, es:
12
2
2
2
22
22
22
22
22
22
=+
=+
b
y
a
x
ba
ba
ba
ya
ba
xb
INDICE
V2 F1F2
C2 (C;--Y)
X
Y
C1 (C;-Y)
b
F0
c
V1
a
Recordemos que se denomina lado recto (L.R.)
a la cuerda que pasa por el foco y que es
perpendicular al eje de la elipse.
En la elipse de la figura, las
coordenadas de los extremos del
lado recto son C1(c;y) y C2(c;-y)
como C1(c;y) pertenece a esta
curva, entonces sus coordenadas
satisfacen la ecuación de la elipse:
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
a
c
b
y
b
y
a
c 2
2
2
2
2
2
2
2
1 −⇒=+
a
b
a
bb
a
ca
by y
2
2
2
22
.
2
22
2 ⇒==





 −
Reemplazando:
Donde:
lueg
o 0;12
2
2
2
>>=+ ba
b
y
a
x
INDICE
 Ejercicio 1
Ejercicio 2
-Encontrar:
-Las coordenadas de los focos
-La longitud del eje mayor
-La longitud del eje menor
-La longitud del lado recto
-Excentricidad
-Vértice y covértice.
1
1
6425
2
2
=+
yx
1
416
2
2
=+
yx
1
49100
2
2
=+
yx
1
94
2
2
=+
yx 1
128
2
2
=+
yx
3694
22
=+ yx
40025
22
16 =+ yx
99
22
=+ yx
3
2
5
4
7
6
8
INDICE
Ejercicio 1
Para cada una de las siguientes elipses:
1
2536
2
2
=+
yx 225925
22
=+ yxi) ii)
Determinar:
-Las coordenadas de los focos
-La longitud del eje mayor
-La longitud del eje menor
-La longitud del lado recto
-Excentricidad
-Vértice y covértice.
SOLUCIÓN i
SOLUCIÓN ii
INDICE
SOLUCIÓ i
1
2536
2
2
=+
yx
ba
b
y
a
x >=+ ;12
2
2
2
11=c
Como la ecuación es de la forma :
Entonces el eje focal coincide con el
eje x.
Tenemos que:
a2
= 36 entonces a = 6
b2
= 25 entonces b = 5
Ademas:
b2
+ c2
= a2
De donde:
25 + c2
= 36
B1
b
X
5
-5
F1F2 F0
a
11− 11
Y
B2
-6 6
a
-focos: F1( ;0) y F2(- ; 0)
-Long. del eje mayor: 2a = 2 .6 = 12
-Long. del eje menor: 2b = 2 .5 = 1011 11
-Longitud del arco recto: 3
25
6
.. 5.22
22
===
a
RL b
-Excentricidad:
6
11
==
a
c
e
-Vértices: V1(6;0) y V2(-6;0)
-Covértices: B1 (0;5) y B2 (0;-5)
11 11−
INDICE
SOLUCIÓN ii
1
259225
225
225225
2
2
2
2
925 =+⇒=+
yxyx
4=c
Esta ecuación es equivalente a:
Luego es de la forma:
a2
= 25
a = 5
b2
= 9
b = 3
b2
+ c2
= a2
B1
a
X
5
-5
F1
F2
F0
b
Y
B2
-3
a
-focos: F1( 0 ;4) y F2(0 ; -4)
-Long. del eje mayor: 2a = 2 .5 = 10
-Long. del eje menor: 2b = 2 .3 = 611 11
-Longitud del arco recto: 5
18
5
.. 3.22
22
===
a
RL b
-Excentricidad: 5
4
==
a
c
e
-Vértices: V1(0;5) y V2(0;-5)
-Covértices: B1 (3;0) y B2 (-3;0)
225925
22
=+ yx
ba
a
y
b
x >=+ ;12
2
2
2
Entonces el eje focal
coincide con el eje y
3
4
-4
V1
V2
INDICE
Ejercicio 2
RESOLUCIÓN
-6
Y
8
V2
X
F2
F16
-8
B1
B2
-10
V110
Determinar la ecuación de la elipse con
focos F1( 0 ;6) y F2(0 ; -6) y
excentricidad e= 0,6
De las coordenadas de los focos deducimos
que el eje focal coincide con el eje y , por lo
tanto, la ecuación es de la forma:
12
2
2
2
=+
a
y
b
x
10
6
6,0
=
=⇒=
a
aa
c
e
También observamos que F1 ( 0 ;c) = F1 ( 0 ;6)
Entonces : c = 6
Ya que:
Como:
a2 =
b2 +
c2
102
= b2 +
62
b = 8
Por lo
tanto:
La ecuación pedida es:
1
10064
2
2
=+
yx
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Prof: Díaz Arce O. Washington
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  • 1. Prof:Díaz Arce O. Washington
  • 2. INDICE INTRODUCCIÓN ELEMENTOS METODO DEL JARDINERO VALOR DE LA CONSTANTE RELACIÓN ENTRE a, b y c EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE ECUACION DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN LONGITUD DEL LADO RECTO EJERCICIOS
  • 3. La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P(x;y) cuya ubicación en el plano es tal, que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de él es constante. INDICE
  • 4. Estos dos puntos fijos del plano, se llaman focos y se designan por F1 y F2 P(x;y) V2 F2F1 X V1 Y INDICE
  • 5. Elementos: V1 Y V2 F2F1 X Focos: F1 y F2 Recta focal o eje focal: es la recta que pasa por los focos, tal como V1 y V2 Recta secundaria: Es la recta perpendicular a la recta focal en el punto medio del segmento F1 y F2 Ejemplo: La recta B1 y B2 Centro: Es el punto de intersección de las rectas focal y secundaria y que equidista de los focos. Se designa por F0 B1 B2 a b INDICE F0
  • 6. Elementos: V1 Y C1 V2 F1F2 X Vértices y Covértices: los vértices son los puntos de intersección de la elipse con la recta focal. Se designan por V1 y V2. A los puntos B1 y B2 se les llama Cóvertices. Eje mayor: Es el segmento V1V2 que se considera la longitud “2a”, donde “a” es el valor del semieje mayor. Lado recto: Es la cuerda focal C1 C2 perpendicular a la recta focal o eje de simetría. Disctancia focal: Es la distancia entre los focos. Se considera de longitud “2c” , es decir F1F2 = 2c B1 B2 a b Eje menor: Es el segmento B1 B2 de la recta secundaria interceptada por la elipse. se considera la longitud “2b”, donde “b” es el valor del semieje menor.C2 F0 c c INDICE
  • 7. EL METOOD DEL JARDINERO Para dibujar una elipse se puede usar dos alfileres, lápiz e hilo El procedimiento es el siguiente: 1. Se clavan los dos alfileres en los puntos considerados como focos. 2. Se unen ambos alfileres con cada extremo de hilo. 3. Se tensa el hilo con el lápiz. 4. Deslizamos el lapiz en el papel, y la punta del lapiz dibujará el papel. Este método es conocido como el “método del jardinero”, ya que los jardineros lo usan para trazar elipses en los prados. INDICE
  • 8. P(x;y) V2 F1F2 X V1 Y De acuerdo a lo anterior, las coordenadas de los focos son F1 (c,0) y F2(-c,0) d(P;F1) + d(P;F2) Determinemos ahora el valor de la consonante. Si consideramos al punto P ubicado en el vertice V1, la suma de sus distancias a los focos es constante. d(V1,F1) = a – c d(V1, F2) =a + c d(V1,F1) + (d(V1,F2) = 2a Luego: d(P;F1) + d(P;F2) = 2a c c aa INDICE
  • 9. P V2V1 F1F2 c c b aa X Y Para halalr una relacion entre a, b y c, ubicamos el punto P(x;y) en la interseccion d ela elipse con la recta secundaria (eje Y) En este caso: d(P;F1) = d(P;F2) = a Ya que d(P;F2) + d(P;F2) = 2a En el PF0F1: c>a Y por el T. de Pitágoras: b2 + c2 =a2 F0 INDICE
  • 10. b a X Y F1F2 -4 -5 4 5 c F0 A toda elipse se le asocia un número real que llamamos excentricidad de la elipse, designado por la letra e, y cuyo valor es: e= c/a -3 3 Elipse de excentricidad e= 3/5 INDICE
  • 11. b a X Y F1F2 -3 -5 3 5 c F0 e= c/a -4 4 Elipse de excentricidad e= 4/5 INDICE
  • 12. V2 Y Para encontrar la ecuación analítica de la elipse, expresamos las distancias entre P(x;y) y los focos F1(c,0) y F2(-c,0) en funcion de sus coordenadas. a aFPdFPd ycxycx 2 2)2,()1,( )0()()0()( 2222 =+++ =+ −+−− P(x;y) V1 F1( C;0)F2(-C;0) B2 (0;-b) B1 (0;b) X INDICE
  • 13. Aislamos una de las raíces y luego elevamos al cuadrado. ( ) cxa a aycx ycxycxycx 444 4 222 222222 )( )()( +=+ +++=+ + ++−      ++−     +− +− = +−=+ ycxaycx ycxycx a 2222 2 )(2)( )()( 22 2222 ( ) caaxcyaxa cxaycxa 224222222 2 2 )()( 222 − +++ =−+ = Elevamos al cuadrado: Factorizando: ( ) ( ) bayaxb bca caayaxca pero 222222 222 222222 . ,22 =+⇒ =− −=+− P(x;y) V1 F1( C;0)F2(-C;0) B2 (0;-b) B1 (0;b) X Y INDICE
  • 14. Dividiendo por a2 b2 . 0;12 2 2 2 >>=+ ba b y a x P(x;y) V1 F1( C;0)F2(-C;0) B2 (0;-b) B1 (0;b) X Y Luego: La ecuación canónica de la elipse cuando el eje focal coincide con el eje x, es: 12 2 2 2 22 22 22 22 22 22 =+ =+ b y a x ba ba ba ya ba xb INDICE
  • 15. V2 F1F2 C2 (C;--Y) X Y C1 (C;-Y) b F0 c V1 a Recordemos que se denomina lado recto (L.R.) a la cuerda que pasa por el foco y que es perpendicular al eje de la elipse. En la elipse de la figura, las coordenadas de los extremos del lado recto son C1(c;y) y C2(c;-y) como C1(c;y) pertenece a esta curva, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación de la elipse: 12 2 2 2 =+ b y a x a c b y b y a c 2 2 2 2 2 2 2 2 1 −⇒=+ a b a bb a ca by y 2 2 2 22 . 2 22 2 ⇒==       − Reemplazando: Donde: lueg o 0;12 2 2 2 >>=+ ba b y a x INDICE
  • 16.  Ejercicio 1 Ejercicio 2 -Encontrar: -Las coordenadas de los focos -La longitud del eje mayor -La longitud del eje menor -La longitud del lado recto -Excentricidad -Vértice y covértice. 1 1 6425 2 2 =+ yx 1 416 2 2 =+ yx 1 49100 2 2 =+ yx 1 94 2 2 =+ yx 1 128 2 2 =+ yx 3694 22 =+ yx 40025 22 16 =+ yx 99 22 =+ yx 3 2 5 4 7 6 8 INDICE
  • 17. Ejercicio 1 Para cada una de las siguientes elipses: 1 2536 2 2 =+ yx 225925 22 =+ yxi) ii) Determinar: -Las coordenadas de los focos -La longitud del eje mayor -La longitud del eje menor -La longitud del lado recto -Excentricidad -Vértice y covértice. SOLUCIÓN i SOLUCIÓN ii INDICE
  • 18. SOLUCIÓ i 1 2536 2 2 =+ yx ba b y a x >=+ ;12 2 2 2 11=c Como la ecuación es de la forma : Entonces el eje focal coincide con el eje x. Tenemos que: a2 = 36 entonces a = 6 b2 = 25 entonces b = 5 Ademas: b2 + c2 = a2 De donde: 25 + c2 = 36 B1 b X 5 -5 F1F2 F0 a 11− 11 Y B2 -6 6 a -focos: F1( ;0) y F2(- ; 0) -Long. del eje mayor: 2a = 2 .6 = 12 -Long. del eje menor: 2b = 2 .5 = 1011 11 -Longitud del arco recto: 3 25 6 .. 5.22 22 === a RL b -Excentricidad: 6 11 == a c e -Vértices: V1(6;0) y V2(-6;0) -Covértices: B1 (0;5) y B2 (0;-5) 11 11− INDICE
  • 19. SOLUCIÓN ii 1 259225 225 225225 2 2 2 2 925 =+⇒=+ yxyx 4=c Esta ecuación es equivalente a: Luego es de la forma: a2 = 25 a = 5 b2 = 9 b = 3 b2 + c2 = a2 B1 a X 5 -5 F1 F2 F0 b Y B2 -3 a -focos: F1( 0 ;4) y F2(0 ; -4) -Long. del eje mayor: 2a = 2 .5 = 10 -Long. del eje menor: 2b = 2 .3 = 611 11 -Longitud del arco recto: 5 18 5 .. 3.22 22 === a RL b -Excentricidad: 5 4 == a c e -Vértices: V1(0;5) y V2(0;-5) -Covértices: B1 (3;0) y B2 (-3;0) 225925 22 =+ yx ba a y b x >=+ ;12 2 2 2 Entonces el eje focal coincide con el eje y 3 4 -4 V1 V2 INDICE
  • 20. Ejercicio 2 RESOLUCIÓN -6 Y 8 V2 X F2 F16 -8 B1 B2 -10 V110 Determinar la ecuación de la elipse con focos F1( 0 ;6) y F2(0 ; -6) y excentricidad e= 0,6 De las coordenadas de los focos deducimos que el eje focal coincide con el eje y , por lo tanto, la ecuación es de la forma: 12 2 2 2 =+ a y b x 10 6 6,0 = =⇒= a aa c e También observamos que F1 ( 0 ;c) = F1 ( 0 ;6) Entonces : c = 6 Ya que: Como: a2 = b2 + c2 102 = b2 + 62 b = 8 Por lo tanto: La ecuación pedida es: 1 10064 2 2 =+ yx INDICE
  • 21. Prof: Díaz Arce O. Washington http://owashing.blogspot.com