IES Sevilla Este. Problemas resueltos de variables                             Bidimensionales.1.- Se ha medido la potenci...
2.-Se han realizado unas pruebas de habilidad (puntúan de 0 a 5) en un grupo dealumnos. Las siguientes puntuaciones corres...
3.- Se ha estudiado en distintas marcas de yogures naturales el porcentaje de grasa quecontenían, así como las kilocaloría...
4.- Se ha preguntado en seis familias por el número de hijos y el número medio de díasque suelen ir al cine cada mes. Las ...
• Representación:b) La correlación es prácticamente nula; las rectas son casi perpendiculares.5.- La estatura, en centímet...
• Covarianza:               175900      σ xy =          − 165 ⋅ 177,5 = 29,17                  6• Rectas de regresión:    ...
Vemos que la relación entre las variables es ligeramente positiva, pero muy baja. Por tanto,r = 0,2.7.- Un grupo de 10 ami...
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  1. 1. IES Sevilla Este. Problemas resueltos de variables Bidimensionales.1.- Se ha medido la potencia (en kW) y el consumo (litros/100 km) de 6 modelos distintosde coches, obteniéndose los siguientes resultados:Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dosvariables?Solución:• Medias: 504 x = = 84 6 54,9 y = = 9,15 6• Desviaciones típicas: 43072 σx = − 84 2 = 122,67 = 11,08 6 510,67 σy = − 9,15 2 = 1,39 = 1,18 6• Covarianza: 4666,6 σ xy = − 84 ⋅ 9,15 = 9,17 → σ xy = 9,17 6• Coeficiente de correlación: 9,17 r = = 0,70 → r = 0,70 11,08 ⋅ 1,18• Hay una relación positiva y relativamente alta entre las variables.
  2. 2. 2.-Se han realizado unas pruebas de habilidad (puntúan de 0 a 5) en un grupo dealumnos. Las siguientes puntuaciones corresponden a las obtenidas por seis alumnosen dos de ellas:Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre lasvariables?Solución:• Medias: 23 x= = 3,83 6 20 y = = 3,33 6• Desviaciones típicas: 95 σx = − 3,83 2 = 1,16 = 1,08 6 70 σy = − 3,33 2 = 0,58 = 0,76 6• Covarianza: 77 σ xy = − 3,83 ⋅ 3,33 = 0,079 → σ xy = 0,079 6• Coeficiente de correlación: 0,079 r = = 0,096 → r = 0,096 1,08 ⋅ 0,76• La relación entre las variables es prácticamente nula.
  3. 3. 3.- Se ha estudiado en distintas marcas de yogures naturales el porcentaje de grasa quecontenían, así como las kilocalorías por envase. Estos son los resultados obtenidos enseis de ellos:a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.b) Calcula y ( 2, 5 ) e y ( 10 ) . ¿Son válidas estas estimaciones? (Sabemos que r = 0,85). ˆ ˆa)• Medias: 14,2 x = = 2,37 6 373 y = = 62,17 6• Varianza de X: 2 35,06 σx = − 2,37 2 = 0,23 6• Covarianza: 904,9 σ xy = − 2,37 ⋅ 62,17 = 3,47 6• Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X: y = 62,17 + 15,1( x − 2,37 ) → y = 15,1x + 26,38b) y ( 2, 5 ) = 15,1 ⋅ 2,5 + 26,38 = 64,13 kcal ˆ y ( 10 ) = 15,1 ⋅ 10 + 26,38 = 177,38 kcal ˆComo la correlación es alta, r = 0,85, es razonable hacer estimaciones dentro del intervalo dedatos. Para un porcentaje del 2,5 de grasa, las kilocalorías serán, aproximadamente, 64,13. Sinembargo, la segunda estimación no es válida porque x = 10 está muy alejado del intervalo dedatos que hemos considerado.
  4. 4. 4.- Se ha preguntado en seis familias por el número de hijos y el número medio de díasque suelen ir al cine cada mes. Las respuestas han sido las siguientes:a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas.b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las dos variables?Solución:a)• Medias: 15 x= = 2,5 6 18 y = =3 6• Desviaciones típicas: 43 σx = − 2,5 2 = 0,92 = 0,96 6 62 σy = − 3 2 = 1,33 = 1,15 6• Covarianza: 44 σ xy = − 2,5 ⋅ 3 = −0,17 6• Rectas de regresión: y sobre x → y = 3 − 0,18( x − 2,5 ) → y = −0,18 x + 3,45 x sobre y → x = 2,5 − 0,13( y − 3 ) x = −0,13 y + 2,89 0,13 y = 2,89 − x − x + 2,89 y = → y = −7,69 x + 22,23 0,13
  5. 5. • Representación:b) La correlación es prácticamente nula; las rectas son casi perpendiculares.5.- La estatura, en centímetros, de seis chicos de la misma edad y la de sus padres vienerecogida en la siguiente tabla:a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas.b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las dos variables?Solución:a)• Medias: 990 x= = 165 6 1065 y = = 177,5 6• Desviaciones típicas: 163900 σx = − 165 2 = 91,67 = 9,57 6 189175 σy = − 177,5 2 = 22,92 = 4,79 6
  6. 6. • Covarianza: 175900 σ xy = − 165 ⋅ 177,5 = 29,17 6• Rectas de regresión: y sobre x → y = 177,5 + 0,32( x − 165 ) → y = 0,32 x + 124,7 x sobre y → x = 165 + 1,27( y − 177,5 ) x = 1 27 y − 60,43 , x + 60,43 y = → y = 0,79 x + 47,58 1,27• Representación:b) La correlación entre las variables no es demasiado fuerte, pues las dos rectas no están muy 29,17 próximas. Comprobamo s que el coeficient e de correlación es: r = = 0,636 9,57 ⋅ 4,796.- En una empresa de televenta se ha anotado el plazo de entrega, en días, queanunciaban en los productos y el plazo real, también en días, de entrega de estos,obteniendo la siguiente tabla:Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cuál de estos números teparece más apropiado para el coeficiente de correlación: 0,87; 0,2; −0,87; −0,2.
  7. 7. Vemos que la relación entre las variables es ligeramente positiva, pero muy baja. Por tanto,r = 0,2.7.- Un grupo de 10 amigos se ha presentado a una prueba de oposición. Anotaron elnúmero de horas que dedicaron a estudiar la semana antes del examen y la notaobtenida en la prueba. La información se recoge en la siguiente tabla:Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cuál de estos valores teparece más apropiado para el coeficiente de correlación: 0,92; −0,44; −0,92; 0,44.Solución:Observando la representación, vemos que el coeficiente de correlación es positivo y bajo. Portanto, r = 0,44.8.- Se ha medido el número medio de horas de entrenamiento a la semana de un grupode 10 atletas y el tiempo, en minutos, que han hecho en una carrera, obteniendo lossiguientes resultados:Representa los datos mediante una nube de puntos y di cuál de estos valores te parecemás apropiado para el coeficiente de correlación: 0,71; −0,71; 0,45; −0,32.A la vista de la representación, observamos que el coeficiente de correlación, r, es negativo yrelativamente alto. Por tanto, r = −0,71.

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