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080 Calcula el mínimo común múltiplo de estos polinomios. 
a) 2x2. 10x3y2x
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090

La página de un libro mide el doble de alto que de ancho,  y los márgenes
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091

Si el resto de la división de un polinomio P(x) entre (x — 2) es 12.

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Perímetro:50+x+35+%x+x+50+30+35+2x+3+

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  1. 1. 070 Escribe como producto de factores. OO 7 a) 7x’ + 7x2 + ïx b) x‘ —íx2 + ¿x2 2 25 c) (2x + 1)2 — (4x — 3)2 d) (X — 2)2 — 16x‘ 2 a) 7x- x+¿] 2 2 b) x2- x2—2x+¿]= x2-[x+¿ 5 25 5 c) [(2x+ 1) +(4x— 3)] - [(2x+1)— (4x—3)]= (6x— 2) - (—2x+ 4) = =4- (3x— 1)-(—x+ 2) d) [(x—2)+4]-[(x—2)—4]= (x+2)-(x—6) 071 Escribe tres polinomios de grado 2 y otros tres de grado 3. que sean divisores de: 0“ a) P(x) = x‘ + x’ — 30x2 b) P(x) = x‘ — 6x’ — 7x2 a) P(x) = x2(x + 6)(x — 5) Grado 2: Grado 3: x2 x3 + 6x2 x2 + 6x x3 — 5x2 x2—5x x3+x2-30x b) P(x) = x2(x+ 1)(x — 7) Grado 2: Grado 3: x2 x3 + x2 x2 + x x3 - 7x2 x2—7x x3—6x2—x
  2. 2. 073 Escribe tres fracciones algebraicas equivalentes a: 2 a) x dl e)x +1 x—2 x x x x+3 x—6 ha d f )x2+10 )x—5 3 x3 a) x _ x2 _x2—2x x‘ x—2 x2—2x_(x—2)2:x4—2x3 b) x x2 x-(x+1) xv(x+2)2 x2+10 = x3+1Ox z (x2+10)-(x+1) = (x2+1O)-(x+2)2 c)¿_¿_ x+1 _ x—2 x x2 x2+x x2+2x d)x+3_x2+3x x2+6x+9_ x2—2x+15 x—5 x2—5x z x2—2x+15 " x2—50x+25 x x2 3x x3 — x f) x—6_x2—6x_8x—48_x2—12x+36 x3 x‘ 8x3 x‘ — 6x3 074 Averigua si los siguientes pares de fracciones algebraicas son equivalentes. 2 x2+2x x—1 x2+x-Z ) X + a ) Y a ‘a x-3yx2—3x C X+4 X2—4X+3 z _ 3 3 _ 3 2 | b) x y x J’ x d) x , a x3 _ 5 x’ _ 5 x x + 2x Solo es equivalente el par de fracciones del apartado a). 075 Halla el valor de P(x) para que las fracciones sean equivalentes. x + 1 P(x) i a) = P(x) x2 -16 c) = x x2—2x x x2—4x lb)x+4_x3+4x2—x—4 d)x2—l0_x3+8x2—10x—80 x-3 P(x) P(x) x2+13x+40 a)p(X)= =(X+1). (X_2): X2_X_2 X b)Pix)= exx"3“xa+4xz’x"4x = (x-3)-(x2—1)= X+4 = x3—3x2—x+3 c) P(x)= =x+4 x —4x d)p(X, : = X+5 x3 +8x2 — 10x - 80
  3. 3. 076 OO 077 OO 078 OOO ¿Cuánto debe valer a para que las fracciones algebraicas sean equivalentes? a) 5x = 5x2+ax 2x—6 2x2+2x—24 3x -2 38x2 —2x — 35 b’ 2 = a x +4 x —x +4x—a c) x—a = x2—2x—35 x+2 x2+7x+10 x—8 x2-10x+16 d) = a x+a x2+x-6 a)a=2O c)a=7 b) Sin solución d) a : 3 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas. x+1 2 1 _ (x —2)(x +4) a) 8X3 c) ï-Gxayz 24x‘ 18xy3z (2x)‘ (x2y“)’3 b) d) e (4x2)3 (x4y3)—2 3 _ 3 _ 2 a)8x4:¿ c) 6x52: x2 24x 3x 18xy z 3y b) (2x)“ : 1 (x2y“)’3 _ Á (4X2)3 4X2 (X4y3)—2 ’ ye Simplifica estas fracciones algebraicas. x + 1 x2 — 4x + 3 3) e) x2—l x —6x +l1x—6 b) fi f) x2—4x+2 x2—x—2 x2 — l x‘ + x3 + x2 c) g) e x —1 3x2 + 3x + 3 2 _ 3 _ d, L h, ¿a x3—x2 x —l0x +32x—32 x +1 1 x3 — 4x + 3 _ a) = e) s — x2—l x—1 x3-6x2+11x—6 x—2 x2—4 x+2 X2—3X+2 X-l b) = T = x2—4X+2 x—2 x2—x—2 x3 _ 1 x‘ + x3 + x2 x = 1 e = — c) x—1 X+ g) 3x2+3x+3 3 2 _ 3 _ d) x x = i h) x 12x+16 _ x3 — x2 x x3 — 1Ox2 + 32x — 32 (x — 4)2
  4. 4. 080 Calcula el mínimo común múltiplo de estos polinomios. a) 2x2. 10x3y2x b) 3x, x2—3y9—3x c) x2+ 5x, x+ 5yx2+ 10x+25 d)x2+x, x2—ly3x+3 e) x2 —x, x3 —x2 yx3 +x2 f) x2+2x+1,x2—1yx2—5x+6 a) 1Ox3 b) x-(x+3)-(x—3) c) X-(x+5)2 d) x-(x+ 1)-(x- 1) e) x2-(x+1)-(x— 1) f) (x+1)2-(x—1)-(x—2)-(x-3)
  5. 5. í‘ 082 Opera y simplifica. a) 5x + 4x x+1 x2—l b) :3 +T5L2x_ x -4 x +x—6 )x+2 1 c x+2+x2+4x+4 a)5x-(x—1)+ 4x =5x2—x x2—l x2—l x2—l b) -3-(x+3) + (5+2x)-(x+2) _ (x—2)-(x+2)-(x+3) (x—2)-(x+2)-(x+3) = 2x2+6x+1 (x—2)-(x+2)v(x+3) C)(x+2)2+ 1 = x2+4x+5 (x+2)2 (x+2)2 (x+2)2 Realiza estas operaciones y simplifica. a) 2 —i— 4 x2+2x+1 x2—l x2—2x+l mi 1 _fi_í 4x x+1 x2+x 4 x-1 8 1 c) -: 2x+6 —3x—9 3x2 x—2 _ x+3 + 3—x 6x+6 2X+2 4X+4 a) 2-(x—1)2 _3-(x+1)-(x—1)_ 4.(x+1)2 = (x +1)2 -(x — 1)2 (x + 1)2 - (x — 1)2 (x + 1)2 - (x- 1)2 _—5x2—12x+1 ’ (x+1)2-(x—1)2 b) 5-(x+1) 4x _4-(2x—3)_3x-(x+1)= 4x-(x+1) 4x-(x+1) 4x-(x+1) 4x-(x+1) _—3x2—2x+17 _ 4x-(x+1) C)3x2-(x—1)_ 2x2-8 _ 2-(x+3) :3x3—13x2—2x—6 6x2-(X+3) 6x2-(x+3) 6x2-(x+3) 6x2-(X+3) d) 2-(x—2) 3-(x+3) + 3-(3—x) _ —13x—1 12-(x+1)_ 12-(x+1) 12-(x+1)_12»(x+1)
  6. 6. 083 Efectúa las operaciones. . . 9x x2—l x-3 x2+3x a) o c) ‘a 3x—3 3x2 x x2—9 b 2x—6 x2+4x+4 d x+5 x2—25 ) 2- .7 ) _ . x 4 x 6x+9 x 5 x+25 a)9x-(x+1)-(x—1)= x+1 9x2-(x—1) x b) 2-(x—3)-(x+2)2 _ 2-(x+2) (x+2)-(x—2)-(x—3)2 (x—2)-(x—3) c) (x—3)-x-(x+3) = x-(x+3)-(x—3) (x+5)-(x+5)-(x—5) = (x+5)2 (x—5)-(x2+25) x2+25 1 d) O84 Realiza los productos de fracciones algebraicas y simplifica el resultado. x2—5x+6 _x2—4x—21 x2+11x+24 x2+3x-lO x2+x-ZOO x3+x2 x2+6x+8 x2—3x—40 x2—9 . x2+6x+8 x3 — x2 x2 — 3x a) (x-2)-(x-3)-(x-7)-(x+3) = (x-3)-(x-7) (x+3)-(x+8)-(x+5)-(x—2) (x+8)-(x+5) b) (x—4)-(x+5)-x2-(x+1) : x2-(x—4)-(x+1) (x+2)-(x+4)-(x+5)-(x—8) (x+2)-(x+4)-(x—8) (X+3)-(X—3)-(X+4)-(X+2) = (x+3)-(x+4)-(x+2) x2-(x—1)-x-(x-3) x3-(x—1) a) b) c) c) 085 Efectúa estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica el resultado. Ü’ a) x2—l _x2+2x+1 c) 2x—1_ 4x x2—4x+4' x2—4 x2+2x'x3+2x2 3x+9_x3+8x2+21x+18 x—3' x2-9 (x—1)-(x+1)_ (x+1)2 _ (x—1)-(x+2) (x—2)2 3(x+2)-(x—2)- (x—2)-(x+1) 3-(x+3)_(x+2)-(x+3)2_ 3 (x-3) 3(x+3)-(x—3) _ x+2 2x+1 _ 4x _2x+1 x-(x+2) ' x2-(x+2) ' 4 b) a) b) c)
  7. 7. 086 Efectúa las siguientes operaciones. a, [ 1 _i]. x_+¿_¿ x—2 x2—4 x 2 6 5x x2—l 3 blll-x-x-ll 2 +7 x2 x x+1 4 c)[x+1+1_XI.1—1+x x3 ]+x, _1 d)[¿+¿l_lx—1_x—2l_ 1 x 3x x 2x x2—l a) 5 . XZ+2_L= 5__¿= (x+2)v(x—2) x 2 x(x—2) 2 _10—x2-(x—2)_10—x3+2x2 ’ 2x-(x—2) _ 2x-(x—2) mm; m 294x24“ í x—1 x x (x+1)-(x—1)2 x _—5x3—6x2+3-(x+1)-(x—1)2_—2x3—3x2—3x—3 " x-(x+1)-(x—1)2 " x-(x+1)-(x—1)2 c) -1 : [x3—x2+2x+1+ 4 = x—1 x3-(x+1) (x+1)-(x—1) = —x3-(x+1) + 4 = (x—1)-(x3—x2+2x+1) (x+1)-(x—1) _—x3-(x+1)2+4-(x3—x2+2x+1) _ (x3—x2+2x+1)-(x+1)-(x—1) d, ¿]¿_ 1 = ¿_ 1 = 3x 2 (x+1)-(x—1) 3x (x+1)-(x—1) 2x2—2—3x 087 La torre de una iglesia es un prisma de base cuadrada y de altura 15 m mayor que la arista de la base. a) Expresa. en lenguaje algebraico, cuánto miden su superficie lateral y su volumen. b) Calcula los valores numéricos de la superficie y del volumen para una arista de la base de 5, 6 y 7 m, respectivamente. a) Arista: x Altura: x+ 15 Amen. = 4x- (x+ 15) = 4x2 + 60x V= x2 - (x+ 15) = x3+ 15x2 b) x= 5 m x = 6 m x = 7 m 4am: = 4x‘ + 60x V_= Vx3 i122 500 m3 756 m3 1.078 m3 —3x-(x+1)-(x—1)
  8. 8. 088 089 090 La página de un libro mide el doble de alto que de ancho, y los márgenes laterales miden 2 cm. y los márgenes superior e inferior, 3 cm. a) Expresa la superficie total de la página en lenguaje algebraico. b) Haz lo mismo con la superficie útil de papel (lo que queda dentro de los márgenes). a) Ancho: x b) Ancho: x — 4 Alto: 2x Alto: 2x— 6 A= x-2x=2x2 A= (x—4)-(2x—6)=2x2—14x+24 Mandamos construir un depósito de agua con forma cilíndrica. siendo el área de la base la quinta parte del cubo de Ia altura. a) Expresa el volumen del depósito. b) ¿Cuántos metros cúbicos de agua caben si la altura mide 1 m? 3 3 4 a)AItura: x Amse= x— V= x-xï= xï 1 3 b) V(1) = — = 0,2 m 5 EI diámetro de la base "" de un silo cilíndrico 3 mide í de la longitud _ ¿; _¡¡ ú‘ ‘¡ _ ‘k I_ 1 de la altura. g af__"ffi_x_ïïf -. _—-_. .,_€__. ‘{32_? s, ¿s- El. 7:7 lx 1" 4.3’ l‘. v l xr ¿l -'—¿l'l'Q 7 a) Expresa la capacidad del silo en función del diámetro de su base. b) Queremos pintar el silo y empleamos 1 kg de pintura por cada metro cuadrado. Calcula cuántos kilogramos de pintura necesitamos si el diámetro de la base mide 2 m. 2 3 a) Diámetro: x Altura: ix V = ‘K- Á -ix = 1r-X— 3 2 3 3 . , 4 b) Diametro: x Altura: 3x Alateial = ïr-x-ïx = 1r- 4:2 {T2 Amaral = iv- 4522 =16,75m2 Necesitamos 16,75 kg de pintura.
  9. 9. 091 Si el resto de la división de un polinomio P(x) entre (x — 2) es 12. OOO y entre (x + 2) es 4, ¿cuál será el resto de la división de P(x) entre (x2 — 4)? 092 ICO 093 OOO 094 OOO Como el resto de P(x) entre (x — 2) es 12: P(x) = (x — 2) - A(x) + 12 Como el resto de P(x) entre (x + 2) es 4: P(x) = (x + 2) - B(x) + 4 Por el teorema del resto: P(2) = 12 sustituyendo en Ia segunda igualdad: P(2) = 12 = (2 + 2) - B(2) + 4 —> B(2) = 2 Como el resto de B(x) entre (x — 2) es 2 —> B(x) = (x — 2) - C(x) + 2 Y sustituyendo: P(x): (x+ 2) - B(x)+4=(x+2)- [(x- 2)-C(x)+2] +4: = (x+2)-(x— 2)-C(x)+2-(x+2)+4= = (x- 2) - (x+ 2) - C(x) +(2x+8) EI resto de dividir P(x) entre (x2 — 4) es 2x + 8. ¿Cuál es el resto de la división de x3‘ + 51 entre (x + l)? El resto es P(—1): -1 + 51: 50. _ _ Q C Demuestra que el triangulo ABC es rectángulo para cualquier valor de x. 12x+ 24 5X+ 10 A B 13X+26 (12x+ 24)2 +(5x+1O)2 = (122 + 52) - (x+ 2)2 = 132- (x+ 2)2 = (13x + 26)2 Se cumple el teorema de Pitágoras para cualquier valor de x, y el triángulo es equilátero. Calcula el perímetro y el área de la figura, expresando los resultados mediante polinomios.
  10. 10. Perímetro:50+x+35+%x+x+50+30+35+2x+3+ +2x+1+20+60=284+%xm AA= %x-(5O+35)=4%xm2 AB: 30 - 50: 1.500 m2 Ac: SO-x: 5Oxm2 AD: 20 - (2x+ 1) = (40x+ 20) m2 Ag: (2X+3— 20) - (50— 35): = (30x — 255) m2 A= m+&+h+%+h= = LÏX + 1.500 + 50x + 40x + 20 + 30x — 255 = GGÏBX + 1.265 m2 095 Encuentra los valores de A, B y C para que se cumpla la igualdad. °“ (Ax—7)-(5x+B)= Cx2—6x—14 (Ax—7)-(5x+B)=5Ax2+(AB—35)x—7B} (Ax—7)-(5x+B)= Cx2—6x— 14 7B=14 —> B=2 AB-üz-Gï) A= % A= É 2 145 096 Halla un polinomio de segundo grado que sea divisible por (x — 1) ooo y que, al dividirlo entre (x + 1) y entre (x — 2). se obtenga como resto 10 y 5, respectivamente. P(x)= Ax2+ Bx+ C HD= A+B+C=0 __ P(—1)= A—B+c=1ol"’3’ 5 B= -5 P(2)=4A+2B+c=5——> 4A+C=15 A 1o C 5 __ A = —w = - P(—1)= A—B+c=1oLí>A+c=5 3 3 P(x) = 1—Ox2 — 5x +í 3 3

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