1. BESAR SUDUT PADA BANGUN RUANG
A. Sudut Antara Garis Dan Garis
Sifat dua buah sudut sama besar dalam geometri bidang dapat
digunakan untuk menentukan besar sudut antara dua buah garis yang saling
berpotongan maupun bersilangan pada sebidang ruang.
1. Sudut antara Dua Garis Berpotongan
Sudut antara garis g dan garis h yang berpotongan dapat digambarkan
melalui langkah- langkah sebagai berikut:
a. Ambil sebarang titik A pada garis g dan sebarang titik B pada garis h.
b. Besar sudut APB ditetapkan sebagai ukuran sudut antara garis g dan
garis h yang berpotongan.
B h
p
g
A
2. Sudut antara dua garis bersilangan
Dua buah sudut dikatakan sama besar, jika kaki-kaki kedua sudut
itu sejajar dan searah.
Misalkan diketahui garis g dan garis h bersilangan. Garis g
menembus bidang di p dan garis h terletak pada bidang . Sudut antara
garis g dan garis h yang bersilangan itu dapat digambarkan melalui
langkah-langkah sebagai berikut:
a. Ambil sebarang titik O pada bidang .
b. Melalui titik O, buatlah garis g sejajar dengan garis h sejajar dengan
garis h.

2. c. Sudut yang dibentuk oleh garis g dan garis h ditetapkan sebagai ukuran
besar sudut antara garis g dan garis h yang bersilangan.
g g‘
P O h’
h
Catatan
1. Sudut antara garis g dengan garis h dilambangkan dengan .
2. Jika besar = 90 serta
a. g dan h berpotongan, maka garis g dan garis h dikatakan
berpotongan tegak lurus.
b. G dan h bersilangan, maka garis g dan garis h dikatakan
bersilangan tegak lurus.
Contoh 1:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Tentukan besar
sudut antara garis AH dan garis BF.
Jawab:
H G
E
a cm
C
A a cm B

3. Sudut antara garis AH dan garis BF adalah ∠(AH, AE).
Misal,
B. Sudut antara Garis Dan Bidang
Kedudukan garis dan bidang dalam ruang kemungkinannya adalah:
1. Garis terletak pada bidang,
2. Garis sejajar bidang, dan
3. Garis memotong atau menembus bidang.
Jika sebuah garis memotong atau menembus bidang, maka terdapat
ukuran sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang itu. Misalkan bahwa garis g
memotong bidang di titik tembus P. Sudut antara garis g dan bidang
yang berpotongan dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut:
1. Ambil sebarang titik Q pada garis g
2. Melalui titik Q, buatlah garis h yang tegak lurus terhadap bidang . Garis
h ini menembus bidang dititik Q ‘
3. Sudut QPQ’ ditetapkan sebagai ukuran besar sudut antara garis g dan
bidang yang berpotongan.
g
Q
p
Q’
g’
h

4. Contoh 2:
Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm.
a. Hitunglah besar .
b. Jika sudut antara diagonalnruag AG dengan bidang alas ABCD adalah ,
hitunglah:
(i) (ii) (iii)
Jawab:
H G H G
E F E F
C C
D D
A B A B
a. = AH, yaitu sudut yang dibentuk oleh garis AH
dan garis AD, sebab Add adalah proyeksi AH pada bidang ABCD. ADH
adalah segitiga sama kaki sehingga ∠ DAH= 45 .
Jadi , besar = 45 .
b. = , yaitu sudut AG d yang dibentuk oleh
garis AG dan garis AC, sebab AC adalah proyeksi AG pada bidang
ABCD
ACG merupakan segitiga sik -siku di C dengan AC = 8 cm, AG = 8
cm dan CG = 8cm.
Dengan mengambil sinus, kosinus, dan tangen sudut pada ,
diperoleh:
(i) =
(ii) =
(iii)

5. C. Sudut antara bidang dan bidang
Kedudukan dua bidang dalam ruang kemungkinannya adalah:
1. Dua bidang berimpit,
2. Dua bidang sejajar, dan
3. Dua bidang berpotongan.
Jika dua bidang berimpit atau dua bidang sejajar, maka sudut yang
dibentuk oleh dua bidang yang berimpit atau dua bidang yang sejajar itu sama
dengan nol. Tetapi jika dua bidang berpotongan, maka terdapat ukuran sudut
yang dibentuk oleh dua bidang yang berpotongan itu.
Misalkan bahwa bidang dan bidang berpotongan pada garis
potong sudut antara bidang dan bidang yang berpotongan dapat
ditentukan melalui langkah- langkah sebagai berikut:
1. Ambil sebarang titik P pada garis potong
2. Melalui titik P, buatllah garis PQ pada bidang dan garis PR pada
bidang yang masing – masing tegak lurus terhadap garis potong .
3. Sudut QPR ditetapkan sebagai ukuran sudut antara bidang dan bidang
yang berpotongan.
Q
S
P
R
Definisi: sudut antara dua bidang berpoyongan
Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk
oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama dan
sebuah garis lagi pada bidang yang kedua), garis-garis itu tegak lurus
terhadap garis potong antara kedua bidang tersebyt.

6. Dalam menentukan sudut antara bidang dan bidang (bidang dan
bidang berpotongan), ada beberapa istilah dan ketentuan yang perlu
dipahami. Beberapa istilah dan ketentuan itu diantaranya adalah:
1. Sudut QPR yang menyatakan ukuran sudut antara bidang dan bidang
yang berpotongan dinamakan sebagai sudut tumpuan. Bidang PQRS yang
memuat sudut tumpuan dinamakan sebagai bidang tumpuan
2. Jika mewakili bidang ABC dan mewakili bidang BC, maka sudut
tumpuan antara kedua bidang itu dituliskan sebagai A(BC)D atau
A.BC.D
3. Jika besar sudut antara bidang dan bidang yang berpotongan itu
sama dengan 90 , maka dikatakan bidang tegak lurus bidang dan
sebaliknya atau kedua bidang saling tegak lurus sesamanya.
4. Jika sudut antara dua bidang yang berpotongan itu bukan sudut istimewa ,
maka yang dihitung cukup nilai perbandingan trigonometri (sinus, kosinus
atau tangen) dari sudut itu
5. Rumus – rumus perbandingan trigonometri dan hubungan teorema
pythagoras sering digunakan sebagai pertolongan untuk menentukan
besar sudut antara dua bidang yang berpotongan itu.

7. Latihan Soal!
1. Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 2 cm.
Tentukanlah besar sudut antara garis BH dan bidang ABCD.
2. Diketahui limas tegak beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alasnya 4 cm
dan panjang rusuk tegaknya 6 cm. Hitunglah besar sudut antara garis AB dan
bidang ACT.
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. lukis dan
hitunglah besar sudut antara bidang BDE dengan bidang BDG.
4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm.
a. Lukis sudut antara garis AG dan bidang ABCD
b. Hitung besar sudutnya
5. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang TA= 10 cm dan panjang
rusuknya 2 cm. Tantukan besar antara bidang TBC dan bidang alas
ABCD.
T
6. Gambar disamping adalah limas segiempat.
12 cm
Jika α adalah sudut antara bidang TAD dan ABCD,
maka tentukan nilai .
C
4 cm
A 6 cm B
7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika sudut BF dan bidang
BEG adalah α, maka
8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. sudut yang
dibentuk oleh garis AF dan HG adalah α, tentukan besar sudut α.

8. 9. ABCD adalah persegi panjang pada bidang horizontal dan ADEF adalah
persegi panjang pada bidang vertikal. Jika panjang AF = 3 cm, BC = 4 cm, dan
CE = 7 cm. Sedangkan α adalah sudut antara garis BE dengan bidang ABCD,
maka tentukanlah nilai .
10. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang TA= dan AB= 2.
Tantukan besar antara rusuk TA dan bidang alas ABCD.

10. Jawaban!
1. Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 2 cm. Tentukan
besar sudut antara garis BH dan bidang ABCD!
Penyelesaian:
H G
E
C
A B
Untuk menetukan besar sudut tersebut, perhatikan segitiga siku-siku DBH dan
andaikan ∠DBH = α, maka:
Jadi besar ∠DBH =
2. Diketahui limas tegak beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alasnya 4 cm
dan panjang rusuk tegaknya 6 cm. Hitunglah besar sudut antara garis AB dan
bidang ACT.

11. Penyelesain:
T
C
A B
Perhatikan segitiga siku-siku ABP. Jika sudut tersebut kita namakan β, maka:
Jadi besar sudut ABP adalah .
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. lukis dan
hitunglah besar sudut antara bidang BDE dengan bidang BDG.
Penyelesaian: H G
Perhatikan gambar berikut!
E
F
4 cm
D C
α
P 4 cm
A B
4 cm

12. Sudut antara bidang BDE dan bidang BDG adalah α.
Perhatikan ΔEPA siku-siku di A, sehingga
Karena , maka PG = PE =
Perhatikan ΔEGP
Dari aturan kosinus diperoleh
Maka, besar sudutnya
Jadi, sudut antara bidang BDE dengan bidang BDG adalah .
4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm.
a. Lukis sudut antara garis AG dan bidang ABCD
H G
E
F
D C
α
A B

13. b. Hitung besar sudutnya
Perhatikan bahwa CG = 10 cm dan AC = cm, maka
Sehingga
Jadi, besar sudut antara garis AG dan bidang ABCD adalah .
5. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang TA = 10 cm dan panjang
rusuknya 2 cm. Tantukan besar antara bidang TBC dan bidang alas
ABCD.
Penyelesaian: T
TP =
=
=2 10cm
D C
TO =
O p
= A
8 cm B
=2
P
=
T
6. Gambar disamping adalah limas segiempat.
Jika α adalah sudut antara bidang TAD dan ABCD, 12 cm
maka tentukan nilai .
C
4 cm
A 6 cm B

14. 7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika sudut BF dan bidang
BEG adalah α, maka
Penyelesain:
H G
Perhatikan bahwa dan O
Jadi, E
F
D C
A B
Maka,
Jadi nilai .
8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. sudut yang
dibentuk oleh garis AF dan HG adalah α, tentukan besar sudut α.
Penyelesaian:
Karena , maka H G
E
F 9 cm
D C
9 cm
A B
9 cm
Sehingga:

15. Jadi besar sudut yang di bentuk oleh garis AF dan HG, .
9. ABCD adalah persegi panjang pada bidang horizontal dan ADEF adalah
persegi panjang pada bidang vertikal. Jika panjang AF = 3 cm, BC = 4 cm, dan
CE = 7 cm. Sedangkan α adalah sudut antara garis BE dengan bidang ABCD,
maka tentukanlah nilai .
Penyelesaian:
E
Perhatikan gambar disamping!
F 7 cm
3 cm D C
α 4 cm
A B
Maka,
Jadi nilai .

16. 10. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang TA = dan AB = 2.
Tantukan besar antara rusuk TA dan bidang alas ABCD.
Penyelesaian:
T
AC =
=
cm =
=2
C
AO =
2 cm
A 2 cm
=
B
TO =
=
=
=1
=
=