Relatório de Projecto - Analise de Avarias em Motores de Indução Trifásicos

Universidade de Coimbra
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento de Engenharia Electrotécnica
Projecto e Dissertação
“Diagnóstico de Avarias em Motores de Indução Trifásicos de Rotor Bobinado”
Orientador: Prof. Doutor A. J. Marques Cardoso
Co-orientador: Engº Manuel A. M. Esteves
Alunos: Júlio Fernandes Tomé
Pedro Miguel Castanheira Mendes
Coimbra, 12 de Outubro de 1998

2
Agradecimentos
Ao concluirmos este trabalho não queremos deixar de lembrar o apoio dado
pelos nossos orientadores, colegas, amigos e família.
Agradecemos, por isso, ao nosso orientador, Dr. António Cardoso,
co−orientador, Engº Manuel Esteves, ao Engº Sérgio Cruz e Engº André Mendes,
pelas ajudas concedidas ao longo de mais de um ano de trabalho.
Agradecemos também a camaradagem dos nossos colegas do Laboratório de
Máquinas Eléctricas, Amaral, Carlitos, Humberto e J. Mêna.
Uma palavra especial aos nossos Pais e restante família, à Helena e à Paula,
por tudo.
A todos um muito obrigado!
Júlio Fernandes Tomé
Pedro Miguel Castanheira Mendes
Coimbra, 12 de Outubro de 1998

3
Índice
1 INTRODUÇÃO..................................................................................................................................................6
1.1 MOTORES DE INDUÇÃO....................................................................................................................................6
1.2 DIAGNÓSTICO E ANÁLISE DE AVARIAS EM MOTORES DE INDUÇÃO TRIFÁSICOS DE ROTOR BOBINADO ..............9
2 ANÁLISE ESPECTRAL DA CORRENTE ELÉCTRICA..........................................................................12
2.1 CORRENTES ELÉCTRICAS ROTÓRICAS.............................................................................................................13
2.1.1 Funcionamento normal........................................................................................................................14
2.1.2 Funcionamento com desequilíbrio no sistema de correntes eléctricas estatóricas.............................15
2.2 CORRENTES ELÉCTRICAS ESTATÓRICAS .........................................................................................................16
2.2.1 Funcionamento normal........................................................................................................................16
2.2.2 Funcionamento com desequilíbrio no sistema de correntes eléctricas rotóricas................................18
3 ANÁLISE TEÓRICA DO VECTOR DE PARK ..........................................................................................21
3.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................21
3.2 VECTOR DE PARK DE SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS ..........................................................................24
3.3 VECTOR DE PARK DE SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS ....................................................................24
3.3.1 Coeficiente de desequilíbrio ................................................................................................................25
3.3.2 Ângulo do eixo maior da forma elíptica..............................................................................................26
4 ANÁLISE ESPECTRAL DO MÓDULO DA TRANSFORMADA COMPLEXA ESPACIAL ...............31
4.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................31
4.2 FUNCIONAMENTO NORMAL............................................................................................................................31
4.2.1 Corrente Eléctrica Estatórica..............................................................................................................31
4.2.2 Corrente Eléctrica Rotórica ................................................................................................................33
4.3 AVARIAS NO ROTOR ......................................................................................................................................34
4.3.1 Corrente eléctrica estatórica...............................................................................................................34
4.3.2 Corrente eléctrica rotórica..................................................................................................................35
4.4 AVARIAS NO ESTATOR ...................................................................................................................................36
4.5 CONCLUSÃO ..................................................................................................................................................37
5 AVARIAS NO ROTOR...................................................................................................................................38
5.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................38
5.2 ANÁLISE ESPECTRAL DA CORRENTE ELÉCTRICA............................................................................................42
5.2.1 Introdução ...........................................................................................................................................42

4
5.2.4 Diagrama vectorial .............................................................................................................................47
5.3 ANÁLISE DO VECTOR DE PARK ......................................................................................................................48
5.3.1 Introdução ...........................................................................................................................................48
5.3.3 Corrente e tensão eléctrica rotórica....................................................................................................54
5.4 ANÁLISE ESPECTRAL DO MÓDULO DA TRANSFORMADA COMPLEXA ESPACIAL DA CORRENTE ELÉCTRICA...64
5.4.1 Introdução ...........................................................................................................................................64
5.4.2 Corrente Eléctrica Estatórica..............................................................................................................64
6 AVARIAS NO ESTATOR ..............................................................................................................................66
6.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................66
6.2 ANÁLISE ESPECTRAL DA CORRENTE ELÉCTRICA ...........................................................................................72
6.2.1 Introdução ...........................................................................................................................................72
6.3 ANÁLISE DO VECTOR DE PARK ......................................................................................................................75
6.3.1 Introdução ...........................................................................................................................................75
6.3.2 Corrente e tensão eléctrica de alimentação ........................................................................................75
6.4 ANÁLISE ESPECTRAL DA TRANSFORMADA COMPLEXA ESPACIAL DA CORRENTE ELÉCTRICA........................87
6.4.1 Introdução ...........................................................................................................................................87
7 EXCENTRICIDADE.......................................................................................................................................89
7.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................89
7.2 ANÁLISE ESPECTRAL DA CORRENTE ELÉCTRICA ............................................................................................90
7.3 VECTOR DE PARK ..........................................................................................................................................92
7.4 ANÁLISE ESPECTRAL DO MÓDULO DA TRANSFORMADA COMPLEXA ESPACIAL DA CORRENTE ELÉCTRICA ....95
7.4.3 Conclusão............................................................................................................................................96
7.5 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................97
7.6 MODELO GENÉRICO .......................................................................................................................................97

5
7.7 MOTOR DE INDUÇÃO TRIFÁSICO DE ROTOR BOBINADO ..................................................................................99
APÊNDICE 1 – PLATAFORMA DE ENSAIOS LABORATORIAIS...............................................................101
APÊNDICE 2 – ENSAIOS ECONÓMICOS.........................................................................................................104
APÊNDICE 3 - DESEQUILÍBRIO DE SISTEMAS TRIFÁSICOS...................................................................107
APÊNDICE 4 – TRATAMENTO DE SINAIS .....................................................................................................115
REFERÊNCIAS ......................................................................................................................................................116
BIBLIOGRAFIA.....................................................................................................................................................116

6
1 Introdução
1.1 Motores de Indução
O motor de indução é a forma mais usada para a transformação de energia eléctrica em
energia mecânica. Tem uma aplicação numa infinidade de domínios e uma clara hegemonia em
quase todos eles, pela sua robustez, fiabilidade e baixo preço, operando tanto em fins industriais
(motores trifásicos) como em usos domésticos (motores monofásicos).
O aparecimento deste novo conceito de motor eléctrico deve-se a Nikola Tesla nos finais
do século passado (século XIX). Deu origem, mais tarde, a toda uma filosofia de funcionamento
da rede eléctrica mundial, nomeadamente aos sistemas de alimentação trifásicos com corrente
alternada trifásica que facilitam, em grande parte, as transformações energéticas mecânica-
eléctrica e eléctrica-mecânica.
O motor de indução tem permanecido como um invento genial e tem acompanhado as
diversas mutações que o mundo tem conhecido, tanto ao nível da indústria como da ciência.
Aparece como líder mundial no consumo de energia eléctrica e é, talvez por isso, objecto de
grandes estudos de aperfeiçoamento ao nível do seu rendimento, controlo, preço, versatilidade e
manutenção.
Motores DC e Síncronos
Motores de Indução
Figura 1.1 – Distribuição do consumo de energia pelos diversos tipos de motores, baseada na venda de motores nos
Estados Unidos [1].

7
O motor de indução trifásico é mais usado na indústria. Tem, na generalidade, potências
mais altas que o motor de indução monofásico e uma maior importância no ponto de vista de
estudos de rendimento e manutenção. É sobre ele que recai o nosso estudo.
Figura 1.2 – Distribuíção do tipo de motores consoante a área de aplicação [1]
O princípio de funcionamento do motor de indução trifásico, baseia-se no desfasamento
do sistema de alimentação composto por três fases com tensões desfasadas de 120°. Aplicando
esta alimentação aos enrolamentos do estator do motor, cria-se um campo girante no entreferro
que vai, nos enrolamentos ou barras no rotor, induzir uma tensão eléctrica. Como o rotor está
curto-circuitado, circula corrente eléctrica no circuito eléctrico rotórico. Essa corrente eléctrica
rotórica cria um fluxo que se opõe ao fluxo que lhe deu origem (lei de Lenz), aparecendo no
entreferro um outro campo girante, ligeiramente mais “lento” do que o campo girante criado pelo
estator. Da interacção destes dois campos girantes surge o binário electromecânico do motor de
indução.
A velocidade do motor de indução é, então, inferior à velocidade de sincronísmo. A essa
diferença de velocidades chama-se deslizamento do motor de indução, s, que é dado pela
expressão:
s
s
n
nn
s
−
= (1.1)
ou
Motores síncronos
Motores síncronos
1500
1000
500
P(kW)
3600 1800 1200 450 (rpm)

8
onde n é a velocidade do motor e ns é a velocidade de sincronismo do motor, que depende da
frequência da tensão de alimentação e do número de pares de pólos (p) da forma:
(rpm)
60
p
f
ns = (2.2)
A velocidade depende da carga a que o motor de indução está sujeito, não se conseguindo
uma velocidade constante ao longo do tempo. Isto é uma das poucas desvantagens que
encontramos neste tipo de motores.
O motor de indução é constituído, basicamente, por uma carcaça metálica, um
enrolamento estatórico composto por bobinas trifásicas no caso de motores trifásicos,
chumaceiras e um sistema de refrigeração e um rotor. É no tipo de rotor que reside a diferença
entre os dois tipos de motores de indução mais conhecidos:
 Motor de indução trifásico de rotor em gaiola de esquilo.
 Motor de indução trifásico de rotor bobinado.
O rotor em gaiola de esquilo, tal como o nome indica, tem uma configuração idêntica a
uma gaiola que é usada para alguns animais de estimação (ratos, esquilos,...) em cativeiro
correrem dentro delas e, assim, aliviarem o stress. São constituídos por barras de alumínio curto-
cicuitadas nas extremidades, um núcleo ferromagnético laminado e um veio. A principal
característica deste rotor é a inexistência de qualquer ligação ao exterior, o que se torna numa
grande vantagem em termos de fiabilidade e durabilidade.
Já o rotor bobinado tem enrolamentos idênticos aos do estator, o que o torna, à partida
mais pesado e caro. Além disso, possui uma ligação ao exterior feita por um conjunto
colector−escova de onde advém uma menor fiabilidade pelo aparecimento de mecanismos
específicos de avarias.
O motor de indução trifásico de rotor bobinado é, normalmente, usado em aplicações de
grandes potências (>20 KW) e onde seja necessário o controlo de variáveis como o binário de
arranque e velocidade. A variação da resistência rotórica permite uma manipulação da curva de
binário, controlando essas variáveis. Esta é uma vantagem que o destaca do motor de indução
trifásico de rotor em gaiola de esquilo mas, até na facilidade de controlo, o motor de indução
trifásico de rotor bobinado tem vindo a perder terreno. Hoje em dia, através da electrónica de
potência, consegue-se um fácil controlo das variáveis anteriormente descritas também no motor
de indução de rotor em gaiola de esquilo.

9
Apesar de tudo, os motores de indução trifásicos de rotor bobinado continuam ainda a ser
usados nas aplicações de funcionamento de grande desgaste e onde a electrónica de potência não
oferece ainda a fiabilidade desejada. O uso destes motores está associado a locais vitais para o
funcionamento de uma actividade, como são os exemplos de linhas de produção continua
(cimenteiras, exploração de minérios, etc…). Acoplados a eles estão grupos de resistências
trifásicas de controlo. Esses grupos têm, normalmente, enormes dimensões e dissipam grandes
potências.
1.2 Diagnóstico e análise de avarias em motores de indução
trifásicos de rotor bobinado
Este tipo de procedimento, diagnóstico e análise de avarias, enquadra-se numa estratégia
de manutenção condicionada, sendo levado a cabo uma manutenção preventiva a um tipo de
acontecimento predeterminado. Há, então, que conhecer qual o tipo de avaria que está a
acontecer tendo dela um conhecimento prévio. Uma leitura detalhada e contínua do
comportamento de um dado equipamento, pela análise de variáveis como corrente eléctrica,
tensão de alimentação, ruído, vibrações, factor de potência, e outros, possibilita o seguimento da
sua evolução histórica. Desse modo facilmente se prevêem falhas e, antecipadamente, pode-se
proceder à remoção para reparação, ou substituição, do equipamento em causa. A este
procedimento emprega-se o termo de manutenção predita, uma vez que, como vimos,
conseguimos prever anomalias do tipo evolutivas que, sem uma acção rápida poderão levar à
paragem súbita do equipamento e acarretando, com isso, enormes prejuízos.
A manutenção condicionada traz, portanto, associada um investimento mais ou menos
constante no sector da manutenção com vantagens claras numa laboração industrial contínua.
Antes da ocorrência de avarias poder-se-ão assim tomar medidas correctivas, podendo as acções
de reparação ser planeadas. As avarias poderão ser eliminadas num fase inicial. Consegue-se,
com isso, uma maior fiabilidade nas instalações e um controlo permanente que permite, em
qualquer altura, o conhecimento do estado actual dos equipamentos.
Para que tudo isto funcione de uma forma fidedigna, respeitando uma boa relação custo
benefício, há que ter métodos de diagnóstico de avarias adequados, tendo em atenção o
equipamento e o tipo de avarias a ele associadas, bem como as causas que lhe dão origem. O

10
estudo de avarias é, então, um dos processos que levam à adopção deste tipo de filosofia de
manutenção. Há que conhecer o comportamento do equipamento em causa para todos os tipos de
anomalias de que possa ser alvo. São, para isso, estudados de uma forma intensiva vários
métodos de detecção de avarias associadas a grandezas que permitam uma permanente leitura
sem interrupção do funcionamento da máquina.
Em laboratório são feitos, com equipamento de teste, ensaios parecidos, o mais possível,
com situações de funcionamento reais, de forma a simular todo o tipo de avarias, com diversos
graus de severidade, bem como com diferentes níveis de carga. A partir daí há um longo
processo de estudo e comparação de resultados. Existem, para isso, um conjunto de métodos, uns
mais explorados do que outros, que são:
 Análise espectral da corrente eléctrica;
 Vector de Park;
 Análise do fluxo axial;
 Análise de vibrações;
 Análise de temperatura;
Existem, no entanto, outros métodos de diagnóstico e análise de avaria, muitos deles
puramente académicos e ainda em fase de estudo.
No trabalho por nós realizado, no âmbito da cadeira de projecto e dissertação, estudámos
o motor de indução trifásico de rotor bobinado por forma a obter uma estratégia de diagnóstico
capaz de detectar, com alguma fiabilidade, o aparecimento de avarias no motor, bem como a sua
quantificação. Usámos, para isso, os métodos nucleares do grupo de investigação ao qual
estamos associados, grupo DIANA (Diagnóstico e Análise de Avarias em sistemas
electromecatrónicos), que são a análise espectral da corrente eléctrica, análise de Vector de Park
da tensão e corrente eléctrica e análise espectral do módulo do Vector de Park da corrente
eléctrica ou também denominado por Transformada Complexa espacial.
Os trabalhos já realizados no motor de indução trifásico de rotor em gaiola de esquilo,
baseiam-se no estudo da corrente eléctrica estatórica e destinam-se, em grande parte, à detecção
de anomalias na gaiola rotórica (fractura de barras e de anéis). Com o presente trabalho alarga-se
o estudo dos motores de indução trifásicos.
Universalmente o método de análise e diagnóstico de avarias mais referido é a análise
espectral da corrente eléctrica. O grupo DIANA tem vindo a desenvolver, desde os anos 80, uma
nova estratégia de diagnóstico e análise de avarias baseada essencialmente na análise do Vector

11
de Park da corrente eléctrica, tensão e fluxo. Este método tem sido aplicado, com sucesso, aos
motores de indução trifásicos. Com ele, consegue-se uma melhor visualização dos resultados, tal
como iremos ver nos capítulos posteriores.
O objectivo deste projecto é, então, fazer uma análise detalhada das correntes eléctricas
estatórica e rotórica do motor de indução trifásico de rotor bobinado e, com isso, chegar a uma
estratégia que permita uma fácil identificação e quantificação de avarias. Além disso pretende-se
realizar um estudo teórico da corrente eléctrica rotórica e generalizá-lo a toda a família dos
motores de indução.

12
2 Análise Espectral da Corrente Eléctrica
Um enrolamento distribuído trifásico equilibrado, quando sujeito a um sistema directo e
equilibrado de tensões eléctricas, dá origem a um sistema directo e equilibrado de correntes
eléctricas à frequência fundamental, no caso de não haver saturação do circuito magnético. Este
sistema de correntes eléctricas cria no entreferro, por decomposição em série de Fourier, campos
girantes de força magnetomotriz (fmm) devidos à distribuição espacial dos enrolamentos. A
velocidade angular mecânica (Ωk) destes campos está relacionada com a velocidade angular
eléctrica do sistema de alimentação dos enrolamentos (ω) da seguinte forma [2]:
,...2,1,0,1.6,
.
=±==Ω qqk
pk
k
ω
m (1.1)
onde k é a ordem do harmónico espacial considerado.
O sinal negativo e positivo de Ωk significa que o campo girante de fmm roda em sentido
directo e inverso, respectivamente. As expressões gerais da fmm para um enrolamento trifásico
distribuído são dadas por [2]:
a) para v=6.q+1 (q=0,1,2...), ou seja, v=1,7,13...
,..)2,1,0(1.6com,...
..
..
2
3
),(
1
=±=








ℑ=ℑ ∑
∞
=
qqktv
xk
sintx
k p
k ω
τ
π
m (1.2)
b) para v=6.q-1 (q=1,2...), ou seja, v=5,11...
,..)2,1,0(1.6com,...
..
..
2
3
),(
1
=±=








±ℑ=ℑ ∑
∞
=
qqktv
xk
sintx
k p
k ω
τ
π
(1.3)
onde v é o harmónico da corrente eléctrica do enrolamento e k é o harmónico espacial da fmm.
A tensão eléctrica induzida nos enrolamentos estatóricos por cada um destes campos
girantes de fmm tem a frequência da corrente eléctrica que lhes dá origem, logo a corrente não
têm componentes harmónicas provocadas pela distribuição espacial dos enrolamentos.
Os motores de indução operam com o circuito magnético no início da saturação
magnética o que provoca o aparecimento de harmónicos na corrente eléctrica estatórica, quando
alimentados por um sistema trifásico equilibrado de tensões eléctricas.
Os harmónicos de ordem v=6q+1; q=0,1,2,… são sistemas trifásicos directos de corrente
eléctrica, como tal provocam, de acordo com a expressão (1.2), o aparecimento de uma série de
campos girantes de fmm. Os harmónicos de ordem v=6q-1; q=0,1,2,… são sistemas trifásicos

13
inversos de corrente eléctrica, como tal, o conjunto de campos girantes de fmm criados por estes
sistemas de correntes eléctricas são dados pela expressão (1.3).
Na prática, e no motor usado no laboratório, os harmónicos da corrente eléctrica
estatórica relevantes são os de 1ª (50 Hz), 5ª (250 Hz) e 7ª (350 Hz) ordem, como se pode
confirmar pelo espectro da figura 1.1. Em motores trifásicos de entreferros reduzidos com níveis
mais elevados de saturação magnética existem 11º e 13º harmónicos de valor relevante.
0 50 100 150 200 250 300 350 400
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Frequência (Hz)
Tensão(V)
Figura 1.1 - Espectro da corrente eléctrica estatórica em funcionamento normal.
Nos parágrafos anteriores considerámos o entreferro constante. Sendo a relação entre o
fluxo magnético e a fmm constante em todo o entreferro (ausência do efeito das ranhuras). Na
realidade o entreferro não é constante, existe o efeito das ranhuras sob a forma de uma variação
na permeância magnética do circuito electromagnético. A permeância magnética (P) varia com a
posição do rotor, logo, depende da variável tempo (t) e da posição relativa no estator (x). Assim,
a relação entre o fluxo magnético (ψ ) e a fmm (ℑ) é dada por [3]:
),().,(),( txtxtx ℑΡ=ψ (1.4)
No nosso estudo consideramos P(x,t) constante, ou seja, desprezamos o efeito das
ranhuras.
2.1 Correntes eléctricas rotóricas
Convêm fazer uma análise geral do espectro das correntes eléctricas rotóricas para dois
casos distintos: funcionamento normal e funcionamento com o circuito estatórico desequilibrado.

14
Neste último caso, como veremos, o espectro da corrente eléctrica rotórica sofre alterações
relevantes.
2.1.1 Funcionamento normal
Neste caso, para cada harmónico de corrente eléctrica estatórica, só existe o sistema
trifásico correspondente ao harmónico directo, se v=6q+1 (q=0,1,2,…), e inverso, se v=6q-1
(q=0,1,2,…).
Em módulo temos [2]:
pk
v
e
p
ss vkssr
s
rs
.
.
,).1(
ωω
=Ω=ΩΩ−=Ω⇒
Ω
Ω−Ω
= ,
sendo as velocidades angulares todas em módulo.
Como cada harmónico da fmm, com k.p pólos, está a rodar a uma velocidade mecânica
Ωvk e o rotor está a rodar a uma velocidade Ωr, logo, a velocidade mecânica da onda harmónica,
relativamente ao rotor, é dada por:
a) para v=6.q+1 (q=0,1,2...), ou seja, v=1,7,13...,
[ ] )5.1(...)2,1,0(1.6,.).1(
.).1(..
).1(
.
.
).1()(
=±=−+=⇔
⇔−+=Ω
⇔−+=Ω⇔Ω−+Ω=Ω⇔Ω−−Ω=Ω
qqkksv
kspk
p
s
pk
v
s
vkr
vkr
vkrsvkkrrvkvkr
ωω
ωω
ωω
m
m
mmm
b) para v=6.q-1 (q=1,2...), ou seja, v=5,11...,
[ ] )6.1(...)2,1,0(1.6,.).1(
.).1(..
).1(
.
.
).1()(
=±=−+±=
⇔−+±=Ω
⇔−+±=Ω⇔Ω−+Ω±=Ω⇔Ω−−Ω±=Ω
qqkksv
kspk
p
s
pk
v
s
vkr
vkr
vkrsvkkrrvkvkr
ωω
ωω
ωω
O sinal negativo precede Ωr , pois, o rotor está a rodar em sentido directo e, na convenção
usada, as velocidades angulares em sentido directo são negativas.
Dividindo as expressões (1.5) e (1.6) por 2π e multiplicando por –1 obtemos as
frequências das tensões e correntes eléctricas induzidas no rotor:
[ ] ,...2,1,0,1.6,).1(. =±=−+±= qqkksvffvkr (1.7)

15
[ ] ,...2,1,0,1.6,).1(. =±=−+= qqkksvffvkr m (1.8)
Para fvkr>0 as tensões e correntes eléctricas induzidas nos enrolamentos rotóricos formam
sistemas trifásicos directos e para fvkr<0 sistemas trifásicos inversos.
2.1.2 Funcionamento com desequilíbrio no sistema de correntes eléctricas
estatóricas
Qualquer sistema trifásico desequilibrado de tensões eléctricas ou correntes eléctricas, de
acordo com o teorema de Charles L. Fortescue1
, pode ser decomposto num sistema de sequência
directa, num sistema de sequência inversa e num sistema de sequência homopolar. No caso mais
geral, em que não existe condutor de retorno, o sistema de sequência homopolar é nulo. É este
caso que iremos analisar.
Os desequilíbrios no sistema de correntes eléctricas estatóricas podem ter duas causas de
base distintas: desequilíbrios no circuito electromagnético estatórico e desequilíbrios no sistema
de tensões eléctricas de alimentação. Qualquer que seja a causa o resultado será sempre um
desequilíbrio no sistema de correntes eléctricas estatóricas. Assim, iremos fazer um estudo das
consequências do desequilíbrio referido, no espectro das correntes eléctricas rotóricas.
O procedimento, neste caso, é idêntico ao do ponto anterior, mas aplicado aos sistemas de
sequência inversa dos harmónicos das correntes eléctricas estatóricas. As expressões resultantes
são iguais às do ponto anterior mas com os índices v adaptados, porque os sistemas de ordem
5,11,... são originalmente de sequência inversa e os de ordem 1,7,13,... de sequência directa. As
expressões de funcionamento normal para v=5,11,... são as mesma que para os sistemas de
sequência inversa, devido ao desequilíbrio, para v=1,7,13,... . As expressões de funcionamento
normal, para v=1,7,13,...., são as mesmas que para v=5,11,... em funcionamento desequilibrado.
Assim temos:
[ ] ,...2,1,0,1.6,).1(. =±=−+= qqkksvffvkr m (1.9)
[ ] ,...2,1,0,1.6,).1(. =±=−+±= qqkksvffvkr (1.10)
1
Pioneiro no estudo de componentes simétricas. O teorema por ele enunciado é: “Um sistema não equilibrado de n vectores
coplanares, concorrentes e da mesma natureza, pode ser reduzido a n sistemas de n vectores coplanares”.

16
Para fvkr>0 as tensões e correntes eléctricas, induzidas nos enrolamentos rotóricos,
formam sistemas trifásicos directos. Para fvkr<0 formam sistemas trifásicos inversos.
As expressões 1.8 a 1.10 permitem calcular as frequências das correntes eléctricas
rotóricas devido à saturação magnética e distribuição espacial, não sinusoidal, da fmm criada
pelas correntes eléctricas estatóricas. Devido ao factor de enrolamento do rotor e fraca amplitude
dos harmónicos de ordem elevada, os valores relevantes para v são v =1, v =5 e eventualmente v
=7 e os valores relevantes para k são k =1 e k =5.
2.2 Correntes eléctricas estatóricas
Os harmónicos espaciais da fmm, criados pelas correntes eléctricas do estator, induzem,
nos enrolamentos estatóricos tensões eléctricas à frequência que lhes deram origem. Assim, as
correntes eléctricas de diferentes frequências que as causadas pela saturação magnética têm
origem nos campos girantes de fmm criados pelos sistemas trifásicos de correntes eléctricas
rotóricas, em funcionamento normal ou desequilibrado. Apresentamos, a seguir, o estudo das
frequências para a corrente eléctrica estatórica induzidas pelas corrente eléctrica rotórica, no caso
de funcionamento normal e no caso de funcionamento desequilibrado do rotor.
Cada sistema de tensões eléctricas de frequência fvkr, induzida no rotor, cria correntes
eléctricas da mesma frequência e, cada uma delas, cria uma distribuição espacial de fmm dada
pela expressão genérica seguinte:
,..)2,1,0(1.6com,.
..
..
2
3
),(
1
=±=








ℑ=ℑ ∑
∞
=
qqjt
xj
sintx
j
vkr
p
vkjvkr ω
τ
π
m (1.11)
onde j é a ordem do harmónico espacial, para cada corrente eléctrica de velocidade angular ωvkr,
v é a ordem do harmónico da corrente eléctrica estatórica e k é a ordem dos respectivos
harmónicos da fmm.
2.2.1 Funcionamento normal
Podemos agora calcular as frequências das tensões induzidas no enrolamento estatórico
devido aos campos girantes de fmm (1.11), criados pelas correntes eléctricas rotóricas, para
funcionamento normal. Para isso, usamos um raciocínio idêntico ao utilizado no cálculo das
frequências das correntes eléctricas rotóricas.

17
Sabemos que:
rvkjrvkjs Ω+Ω=Ω ,
e em módulo temos:
.).1(
. p
se
pj
r
vkr
vkjr
ωω
−=Ω=Ω
O sinal de Ωvkjr irá depender dos valores de v, k e j; este será negativo se o campo girante
de fmm rodar em sentido directo, e positivo se rodar em sentido inverso, em conformidade com a
convenção usada ao longo deste trabalho. O rotor roda em sentido directo logo é precedido de
sinal negativo. Assim, temos:
0,1,2...)(q16,).1(
.
=±=−−±=Ω+Ω=Ω .qj
p
s
pj
vkr
rvkjrvkjs
ωω
(1.12)
Substituindo as expressões (1.5) e (1.6) na expressão (1.12) obtemos os seguintes:
a) para j=6.q+1 (q=0,1,2...),ou seja, j=1,7,13..., temos:
a1) com v=6.q+1 (q=0,1,2...), ou seja, v=1,7,13,...
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] )13.1(,..)2,1,0(1.6.)).(1(
)).(1(.)1().1(.
).1().1(...
).1(
.
).1(
).1(
.
=±=−−+±=⇒
−−+=−+−+=⇔
−+−+=Ω⇔
⇔−+
−+
=−+=Ω
qqkfjksvf
jksvsjksv
sjksvpj
p
s
pj
ksv
p
s
pj
vkjs
vkjs
vkjs
vkr
vkjs
mm
m
m
ωωω
ωω
ωωωω
a2) com v=6.q-1 (q=1,2...), ou seja, v=5,11...
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] )14.1(,..)2,1,0(1.6.)).(1(
)).(1(.)1().1(.
).1().1(...
).1(
.
).1(
).1(
.
=±=−−+=⇒
−−+±=−+−+±=⇔
−+−+±=Ω⇔
⇔−+
−+±
=−+=Ω
qqkfjksvf
jksvsjksv
sjksvpj
p
s
pj
ksv
p
s
pj
vkjs
vkjs
vkjs
vkr
vkjs
m
ωωω
ωω
ωωωω
b) para j=6.q-1 (q=1,2...), ou seja, j=5,11..., temos:
b1) com v=6.q+1 (q=0,1,2...), v=1,7,13,...

18
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] )15.1(,..)2,1,0(1.6.)).(1(
)).(1(.)1().1(.
).1().1(...
).1(
.
).1(
).1(
.
=±=+−+=⇒
+−+±=−+−+±=⇔
−+−+±=Ω⇔
⇔−+
−+±
=−+−=Ω
qqkfjksvf
jksvsjksv
sjksvpj
p
s
pj
ksv
p
s
pj
vkjs
vkjs
vkjs
vkr
vkjs
m
ωωω
ωω
ωωωω
b2) com v=6.q-1 (q=1,2...), ou seja, v=5,11...
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] )16.1(,..)2,1,0(1.6.)).(1(
)).(1(.)1().1(.
).1().1(...
).1(
.
).1(
).1(
.
=±=+−+±=⇒
+−+=−+−+=⇔
−+−+=Ω⇔
⇔−+
−+
=−+−=Ω
qqkfjksvf
jksvsjksv
sjksvpj
p
s
pj
ksv
p
s
pj
vkjs
vkjs
vkjs
vkr
vkjs
mm
m
m
ωωω
ωω
ωωωω
As expressões (1.13) a (1.16) permitem-nos calcular todas as frequências das correntes
eléctricas estatóricas devido aos harmónicos da corrente eléctrica, e fmm, em funcionamento
normal. Valores positivos e negativos de fvkjs indicam, respectivamente, sistemas de correntes
eléctricas de sequência directa e inversa.
2.2.2 Funcionamento com desequilíbrio no sistema de correntes eléctricas
rotóricas
As consequências de um desequilíbrio no sistema de correntes eléctricas rotóricas pode
ser analisado através das suas componentes simétricas. Como referido anteriormente, um sistema
trifásico sem neutro pode ser decomposto num sistema de sequência directa e outro de sequência
inversa. O caso de funcionamento normal, analisado no ponto anterior, serve de referência,
porque os sistemas inversos, causados pelo desequilíbrio, são sistemas de sequência simétrica à
do caso de funcionamento normal para cada harmónico de fmm das correntes eléctricas
rotóricas. Então, para o caso de funcionamento desequilibrado no circuito eléctrico rotórico,
consideramos as expressões (1.13) a (1.16) com os índices j trocados. Assim, temos um conjunto
adicional de correntes eléctricas estatóricas a frequências dadas pelas expressões a seguir
indicadas:

19
a) para j=6.q+1 (q=0,1,2...), ou seja, j=1,7,13..., temos:
a1) com v=6.q+1 (q=0,1,2...), v=1,7,13,...
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] )17.1(,..)2,1,0(1.6.)).(1(
)).(1(.)1().1(.
).1().1(...
).1(
.
).1(
).1(
.
=±=+−+=⇒
+−+±=−+−+±=⇔
−+−+±=Ω⇔
⇔−+
−+±
=−+−=Ω
qqkfjksvf
jksvsjksv
sjksvpj
p
s
pj
ksv
p
s
pj
vkjs
vkjs
vkjs
vkr
vkjs
m
ωωω
ωω
ωωωω
a2) com v=6.q-1 (q=1,2...), ou seja, v=5,11...
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] )18.1(,..)2,1,0(1.6.)).(1(
)).(1(.)1().1(.
).1().1(...
).1(
.
).1(
).1(
.
=±=+−+±=⇒
+−+=−+−+=⇔
−+−+=Ω⇔
⇔−+
−+
=−+−=Ω
qqkfjksvf
jksvsjksv
sjksvpj
p
s
pj
ksv
p
s
pj
vkjs
vkjs
vkjs
vkr
vkjs
mm
m
m
ωωω
ωω
ωωωω
b) para j=6.q-1 (q=1,2...),ou seja, j=5,11..., temos
b1) com v=6.q+1 (q=0,1,2...), ou seja, v=1,7,13,...
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] )19.1(,..)2,1,0(1.6.)).(1(
)).(1(.)1().1(.
).1().1(...
).1(
.
).1(
).1(
.
=±=−−+±=⇒
−−+=−+−+=⇔
−+−+=Ω⇔
⇔−+
−+
=−+=Ω
qqkfjksvf
jksvsjksv
sjksvpj
p
s
pj
ksv
p
s
pj
vkjs
vkjs
vkjs
vkr
vkjs
mm
m
m
ωωω
ωω
ωωωω
b2) com v=6.q-1 (q=1,2...), ou seja, v=5,11...

20
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] )20.1(,..)2,1,0(1.6.)).(1(
)).(1(.)1().1(.
).1().1(...
).1(
.
).1(
).1(
.
=±=−−+=⇒
−−+±=−+−+±=⇔
−+−+±=Ω⇔
⇔−+
−+±
=−+=Ω
qqkfjksvf
jksvsjksv
sjksvpj
p
s
pj
ksv
p
s
pj
vkjs
vkjs
vkjs
vkr
vkjs
m
ωωω
ωω
ωωωω
Mais uma vez, temos sistemas de sequência directa, para fvkjs>0, e sistemas de sequência
inversa, para fvkjs<0. Apesar de termos calculado as expressões para os casos gerais, as
frequências relevantes são calculadas para valores baixos dos índices v, k e j. A estes valores dos
índices correspondem ondas harmónicas de maior amplitude, logo, componentes espectrais mais
visíveis.

21
3 Análise Teórica do Vector de Park
3.1 Introdução
A transformação de Park é uma transformação de natureza espacial. Tem por objectivo
transformar os três eixos magnéticos reais, do motor de indução trifásico real, em três eixos
magnéticos ortogonais e, assim, simplificar as equações que descrevem o funcionamento da
máquina. Os eixos directo (d) e transversal (q) formam o plano radial da máquina, o eixo
homopolar (o) tem a direcção axial.
Figura 2.1 – Diagrama fasorial da transformação de Park de um sistema trifásico em dois eixos d-q.
A matriz de Park genérica é definida da seguinte forma [2]:
[ ] )1.2(
2
1
2
1
2
1
3
2
3
2
3
2
cos
3
2
coscos
3
2
























+−





−−−






+





−
⋅=
π
θ
π
θθ
π
θ
π
θθ
sinsinsinP

22
onde θ é o ângulo medido do eixo magnético da fase a para o eixo d. O eixo magnético da fase a
é tomado como origem na medida dos ângulos. O ângulo genérico θ pode ter qualquer valor,
inclusive um valor variável no tempo, θ=ωt+θ0, onde θ0 é o ângulo inicial do sistema de eixos
d−q. A escolha de θ resulta da aplicação a que se destina a transformada de Park. Em
funcionamento normal do motor de indução esta transformação, aplicada às tensões e correntes
eléctricas dos enrolamentos da máquina real, mantêm os valores das referidas grandezas nas
equivalentes dos eixos d e q. No presente estudo o valor de θ usado é zero, ou seja, o referencial
da transformação de Park é solidário com o referencial do motor a que pertencem a grandezas a
transformar.
Assim, temos:
[ ] )2.2(
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
0
2
1
2
1
1
3
2
















−
−−
⋅=P
A componente homopolar das correntes eléctricas e tensões eléctricas compostas de
alimentação é, em funcionamento normal e na maioria das avarias, nula, pois, o motor é
alimentado apenas por três condutores. O mesmo acontece no rotor, pois, o ponto neutro não está
acessível.
O facto de a componente homopolar ser nula permite-nos representar as componentes id e
iq, da transformada de Park das correntes eléctricas em estudo, no plano, ou seja, o Vector de
Park. Nesta condições o vector de Park e a transformada complexa espacial são equivalentes,
bastando atribuir a id a parte real e a iq a parte complexa de i, i=id+jiq
2
. Com a informação das
correntes (ou tensões) eléctricas concentradas no plano (i=id+jiq), podemos então esperar
identificar graficamente e, de forma pouco complexa, algumas das avarias dos motores de
indução trifásicos.
Fazemos, agora, o estudo de algumas propriedades do vector de Park que nos permitem
analisar, de uma forma mais fácil e precisa, as causas para as diferentes figuras resultantes da sua
aplicação. O vector de Park tem a propriedade de ser linear, ou seja, o vector de Park resultante
de um somatório de sistemas trifásicos de correntes (ou tensões) eléctricas é igual ao somatório
dos vectores de Park de cada sistema de correntes (ou tensões) eléctricas, no mesmo referencial.
2 A notação usada é pa a corrente eléctrica, mas o mesmo é válido para a tensão eléctrica.

23
Esta propriedade é bastante importante porque podemos usar a teoria da decomposição de
sistemas trifásicos desequilibrados, em sistemas equilibrados directos e inversos, no vector de
Park e, assim, separar e identificar as consequências de cada um na sua forma final.
De seguida apresenta-se a propriedade linear do Vector de Park com o ângulo θ na forma
mais geral.
Se
( )
( )
i
i
t t t
t t t
i
i
i
d
q
r r r
r r r
ak
k
n
bk
k
n
ck
k
n










= ⋅
+ + −





 + +






− + − + −





 − + +




















⋅


















=
=
=
∑
∑
∑
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
1
1
cos cos cos
sin sin sin
ω θ ω θ
π
ω θ
π
ω θ ω θ
π
ω θ
π
(2.3)
então
i
i
i
i
d
q
dk
k
n
qk
k
n










=














=
=
∑
∑
1
1
(2.4)
onde
( )
( )
i
i
t t t
t t t
i
i
i
dk
qk
r r r
r r r
ak
bk
ck










= ⋅
+ + −





 + +






− + − + −





 − + +




















⋅










2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
cos cos cos
sin sin sin
ω θ ω θ
π
ω θ
π
ω θ ω θ
π
ω θ
π
(2.5)
As avarias que afectam os enrolamentos do motor de indução trifásico têm, geralmente,
como consequência o desequilíbrio do sistema de correntes eléctricas estatóricas ou rotóricas.
Importa conhecer as expressões que definem o vector de Park para sistemas directos e inversos
de correntes (ou tensões) eléctricas. As expressões que a seguir se apresentam foram deduzidas
aplicando a matriz de Park aos sistemas directo e inverso equilibrados de correntes eléctricas, e
simplificando as expressões através das equivalências trigonométricas usuais.
Sistema directo de correntes:
id1=i1cos(−ωrt−θ0+ωt+α) (2.6)
iq1=i1sin(−ωrt-θ0+ωt+α) (2.7)

24
Sistema inverso de correntes:
id2=i2cos(ωrt+θ0+ωt+α) (2.8)
iq2=−i2sin(ωrt+θ0+ωt+α) (2.9)
Legenda:
α - angulo inicial do sistema trifásico de correntes eléctricas;
θ0 - angulo inicial do referencial relativamente ao eixo da fase a;
ωr - velocidade angular do referencial;
ω - velocidade angular da corrente eléctrica;
t - tempo.
3.2 Vector de Park de sistemas trifásicos equilibrados
Pelas expressões (2.6) a (2.9) verificamos que a figura descrita pelo vector de Park de um
sistema trifásico equilibrado de correntes (ou tensões) eléctricas é uma circunferência. A
velocidade com que o vector de Park descreve a circunferência é ω−ωr, para sistemas directos, e
ω+ωr, para sistemas inversos. No nosso caso ωr é nulo, logo, o vector de Park descreve a
circunferência no sentido directo, para sistemas directos, e no sentido inverso, para sistemas
inversos, com velocidade angular ω. O módulo do vector de Park de cada sistema, directo ou
inverso, é sempre igual à amplitude das grandezas (tensão ou corrente eléctrica) do respectivo
sistema.
3.3 Vector de Park de sistemas trifásicos desequilibrados
Em situação de desequilíbrio do sistema de correntes (ou tensões) eléctricas o vector de
Park resultante tem uma forma elíptica. De seguida apresentamos a justificação dessa forma
particular e mostramos a informação que podemos obter a partir das suas características.

25
Figura 2.2 – Imagem de figura elíptica do vector de Park com raio maior (M) e raio menor (m) assinalados.
3.3.1 Coeficiente de desequilíbrio
Um sistema trifásico desequilibrado de correntes eléctricas pode ser decomposto num
sistema directo e num sistema inverso. Seja Ia, Ib e Ic os fasores eléctricos do sistema
desequilibrado de correntes eléctricas, pelo teorema das componentes simétricas [4]:
( )I I aI a Ia b c1
21
3
= + + (2.10)
( )I I a I aIa b c2
21
3
= + + (2.11)
onde I1 é o fasor eléctrico do sistema directo e I2 é o fasor eléctrico do sistema inverso.
Aplicando a transformada de Park a cada um destes sistemas, obtemos dois vectores de Park a
rodarem com velocidades iguais em módulo (ω), mas de sentido oposto. Seja Id e Ii os vectores
de Park do sistema directo e inverso, respectivamente. As figuras geradas por cada um destes
vectores de Park são circunferências, como referido anteriormente, mas, em conjunto dão origem
à forma elíptica referida. Isto acontece porque os módulos dos vectores de Park, directo e
inverso, somam-se e subtraem-se periodicamente à frequência 2f1 (vector de Park rodam em
sentidos opostos). No instante em que Id e Ii têm a mesma fase os seus módulos somam-se, no
instante em que têm fases opostas os seus módulos subtraem-se. Assim temos,
M I I M I Id i d i= + ⇔ = + (2.12)
m I I m I Id i d i= − ⇔ = − (2.13)

26
onde M é metade do eixo maior e m é metade do eixo menor da forma elíptica. De (2.12) e (2.13)
podemos calcular o coeficiente de desequilíbrio do sistema de correntes (ou tensões) eléctricas
com base, apenas, nas propriedades da figura descrita pelo vector de Park.
Assim temos,
).14.2(
2
2






=
+
=
⇔





−=
+=
M-m
I
mM
I
IIm
IIM
i
d
id
id
Podemos, agora, calcular o coeficiente de desequilíbrio do vector de Park,
).15.2(
mM
mM
cdp
I
I
cdp
d
i
+
−
=⇔=
O coeficiente de desequilíbrio do sistema de correntes (ou tensões) pode ser definido pelo
coeficiente calculado anteriormente, expressão (2.15), pois,
).16.2(2222
iqididqddd IIIeIII +=+=
Das expressões (2.6) a (2.9), com ωr=0 e θ0=0, temos:
)17.2(
).sen(.
).cos(.
1
1



+=
+=
ddq
ddd
tII
tII
αω
αω
e
).18.2(
).sen(.
).cos(.
2
2



+−=
+=
iiq
iid
tII
tII
αω
αω
Pelas propriedades trigonométricas facilmente concluí-mos que Id=I1 e Ii=I2, logo, pela
expressão 2.15 temos o coeficiente de desequilíbrio do sistema trifásico dado por:
).19.2(
mM
mM
cd
+
−
=
3.3.2 Ângulo do eixo maior da forma elíptica
Com a expressão (2.19) podemos calcular o desequilíbrio do sistema trifásico, interessa
agora localizar a fase que provoca o desequilíbrio. A experiência adquirida em laboratório

27
indica-nos que a identificação da fase responsável pelo desequilíbrio pode ser feita através do
conhecimento do ângulo do eixo maior da figura elíptica do vector de Park.
Das expressões (2.6) a (2.9), podemos concluir que a fase na origem do vector de Park
(θ0+α) dos sistemas directo e inverso depende do ângulo de fase dos fasores eléctricos
respectivos e do ângulo θ0, mas no nosso caso este é nulo. De acordo com o exposto no 2.3.1,
podemos concluir que o ângulo do eixo maior da figura elíptica do vector de Park de sistemas
desequilibrados é o ângulo médio entre o vector de Park do sistema directo e o vector de Park do
sistema inverso, em qualquer instante.
Tentamos fazer um estudo analítico que relaciona-se o ângulo do eixo maior com a fase
que provoca o desequilíbrio, mas tal estudo revelou-se bastante complexo. Assim, optamos pela
simulação de um circuito trifásico básico no qual variamos o desequilíbrio e a fase em que este
ocorre, analisando o ângulo do eixo maior da figura elíptica do vector de Park.
Figura 2.3 – Esquema do circuito rotórico com uma resistência adicional de simulação de desequilíbrio resistivo.
A simulação do circuito da figura 2.3 é particularmente útil para analisar o que acontece
em desequilíbrios no circuito rotórico do motor de indução de rotor bobinado. Sob o ponto de
vista da análise do desequilíbrio das correntes eléctricas aos terminais do rotor, este pode ser
encarado como um sistema de alimentação de tensão trifásico de frequência variável ao qual está
ligado uma carga trifásica resistiva exterior. Assim, podemos analisar o que acontece para o caso
em que existe desequilíbrio no circuito resistivo exterior ou nos contactos anel-escova do rotor.
Na simulação mantemos o sistema de tensões alimentação equilibrado e aumentamos
progressivamente cada uma das resistências da carga trifásica exterior. As figuras seguintes
mostram os resultados obtidos.
Eu Rui u R Iu
Ev Rvi v R Iv Rad
Ew Rwi w R Iw

28
0 20 40 60 80 100
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Desequilibrio(%)
Ângulodoeixomaior(graus)
Aumento de Ru
Figura 2.4 – Evolução ângulo do eixo
maior da figura do vector de Park das
correntes eléctricas, para aumento de
Ru. Ângulo igual a 90º.
0 20 40 60 80 100
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Desequilibrio(%)
Aumento de Rv
Figura 2.5 – Evolução do ângulo do eixo
correntes eléctricas, para aumento de Rv.
Ângulo igual a 30º.
0 20 40 60 80 100
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Desequilibrio(%)
Aumento de Rw
Figura 2.6 – Evolução ângulo do eixo
correntes eléctricas, para aumento de
Rw. Ângulo igual a –30º.
Com base nos resultados obtidos podemos identificar a fase em que ocorre o aumento de
resistência através do ângulo do eixo maior da figura elíptica. Teoricamente este ângulo, para
cada fase, não varia com o coeficiente de desequilíbrio. Importa referir que estes resultados
foram obtidos apenas para um sistema de correntes e tensões eléctricas de frequência única. No
motor de indução de rotor bobinado os sistemas de correntes eléctricas do rotor resultam da
sobreposição de sistemas a várias frequências, logo, teremos que recorrer à filtragem dos sinais
obtidos afim de aplicar com sucesso os resultados desenvolvidos neste capítulo.
Recorrendo ao mesmo circuito simulamos outras situações para as correntes e tensões
eléctricas com resultados idênticos, ou seja, teoricamente o ângulo da figura elíptica do vector de
Park de sistemas desequilibrados não varia com coeficiente de desequilíbrio, para cada fase. Os
resultados obtidos são apresentados na tabela e figura seguintes, onde A, B e C representam as
grandezas eléctricas em análise (tensões ou correntes eléctricas) das respectivas fases.
Tabela 2.1 – Ângulos característicos da figura do vector de Park para sistemas
trifásicos desequilibrados de grandezas eléctricas.
Aumento de A Aumento de B Aumento de C
0º -60º 60º
Diminuição de A Diminuição de B Diminuição de C
-90º ou 90º 30º -30º

29
Figura 2.7 – Ângulos característicos do vector de Park para diferentes tipos de anomalias.
Antecipando, um pouco, o que iremos encontrar nos resultados práticos, convém definir
zonas características do plano d-q para o valor do ângulo. Para que possamos localizar
eficazmente as fases causadoras de desequilíbrio, estas zonas têm que estar absolutamente
separadas. A seguir mostramos a tabela com os valores que nos parecem convenientes.

30
Tabela 2.2 – Zonas características para os ângulos da figura do vector de Park
para sistemas trifásicos desequilibrados de grandezas eléctricas.
Aumento de A Aumento de B Aumento de C
-13º a 13º -73º a -47º 47º a 73º
Diminuição de A Diminuição de B Diminuição de C
-90º a -77 ou 77 a 90º 17º a 43º -43º a -17º

31
4 Análise Espectral do Módulo da Transformada
Complexa Espacial
4.1 Introdução
Tal como foi visto no ponto anterior, na análise de Vector de Park da corrente eléctrica
estatórica e rotórica, temos uma expressão que se pode definir como Transformada Complexa
Espacial da corrente eléctrica:
i=id+jiq (3.1)
sendo, de acordo com a expressão (2.4):
i i
i i
d dk
k
q qk
k
=
=





∑
∑
, k=6q±1 (3.2)
onde k é a ordem do harmónico da corrente eléctrica.
A transformada Complexa Espacial da corrente eléctrica é então um vector bidimensional
com uma componente segundo o eixo d e outra segundo o eixo imaginário q. O seu módulo é,
por definição, dado por:
i i id q= +2 2
(3.3)
4.2 Funcionamento normal
4.2.1 Corrente Eléctrica Estatórica
Considerando a corrente eléctrica estatórica, e com um referencial solidário com o estator
(nas expressões (2.6-2.9), θ0=0 e α=0), temos:
( )
( )
i I t
i I t
dk k k
qk k k
=
=




$ cos
$ sin
ω
ω
, k=6q±1 (3.4)
onde o índice ωk refere-se à velocidade angular de cada harmónico da corrente eléctrica e $Ik ao
valor máximo de cada componente harmónica da corrente eléctrica.
Na corrente eléctrica estatórica sabemos que f1=50 Hz, f5=250 Hz, f7=350 Hz,
respectivamente, 1º, 5º e 7º harmónicos. Considerando apenas estas componentes espectrais, tal
como tem vindo a ser feito até aqui, e substituindo as expressões de (3.4) em (3.2), temos id e iq

32
para um funcionamento normal do motor de indução. O módulo da Transformada Complexa
Espacial será então:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tIItIItIIIII
ttIIttIIttIIIII
ttIIttIIttIItI
tItIttIIttII
ttIItItItI
tItItItItItIis
575771715151
2
7
2
5
2
1
575771715151
2
7
2
5
2
1
5757717151517
22
7
5
22
51
22
157577171
51517
22
75
22
51
22
1
2
775511
2
775511
cosˆˆ2cosˆˆ2cosˆˆ2ˆˆˆ
cosˆˆ2cosˆˆ2cosˆˆ2ˆˆˆ
sinsinˆˆ2sinsinˆˆ2sinsinˆˆ2sinˆ
sinˆsinˆcoscosˆˆ2coscosˆˆ2
coscosˆˆ2cosˆcosˆcosˆ
sinˆsinˆsinˆcosˆcosˆcosˆ
ωωωωωω
ωωωωωω
ωωωωωωω
ωωωωωω
ωωωωω
ωωωωωω
++−+++++=
++−+++++=
−+−+
++++
++++=
+−+++−+=
Atribuindo valores numéricos às velocidades angulares (f1=50 Hz, f5=250 Hz, f7=350
Hz), obtemos:
[ ] [ ] [ ]
( ) [ ] [ ]
i I I I I I t I I t I I t
I I I I I I t I I t
s
= + + + × + × + ×
= + + + + × + ×
$ $ $ $ $ cos $ $ cos $ $ cos
$ $ $ $ $ $ cos $ $ cos ( . )
1
2
5
2
7
2
1 5 1 7 7 5
1
2
5
2
7
2
1 5 7 7 5
2 2 300 2 2 300 2 2 600
2 2 300 2 2 600 35
π π π
π π
Da expressão (3.5), concluímos facilmente que no espectro do módulo da Transformada
Complexa Espacial da corrente eléctrica estatórica teremos uma componente espectral aos
300Hz e 600Hz. A segunda é quase desprezável em relação à primeira dado que a sua amplitude
depende apenas das amplitudes do 5º e 7º harmónico. Estes resultados foram rectificados por
simulação computacional, figura 3.1, e experimentalmente em laboratório, figura 3.2.
0 100 200 300 400 500 600
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Hz
%
Figura 3.1 – Espectro do módulo do Transformada
Complexa Espacial da corrente eléctrica estatórica,
simulado em MATLAB a partir da expressão (3.5).
0 100 200 300 400 500 600
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Frequência (Hz)
Tensão(V)
Figura 3.2 – Espectro do módulo do Transformada Complexa
Espacial da corrente eléctrica estatórica (s=0,04), experi-
mental, com funcionamento normal do motor de indução.

33
O espectro obtido a partir do funcionamento normal de um motor de indução,
experimentalmente (figura 3.2), apresenta maior número de bandas espectrais do que o da
simulação. Tal seria de esperar dado que na simulação foram apenas considerados os três mais
importantes harmónicos de corrente eléctrica do estator. Além disso existem, no funcionamento
do motor, pequenas assimetrias mesmo em condições normais.
4.2.2 Corrente Eléctrica Rotórica
O estudo da transformada complexa espacial da corrente eléctrica rotórica é idêntico ao
realizado para a corrente eléctrica estatórica.
Neste caso, sabemos que o ângulo entre o referencial rotórico ,θr , e o eixo d é dado por:
θr=θ0+(ωm-ωa)t, (3.6)
onde ωm é a velocidade angular mecânica no veio do motor e ωa a velocidade angular do sistema
ortogonal d-q dado pela transformada de Park.
Para facilidade de cálculo, considera-se, no estudo das correntes eléctricas rotóricas, um
referencial solidário com o rotor, ωm=ωa , θr=0 rad, com θ0=0 rad.
Pela análise espectral da corrente eléctrica em funcionamento normal, sabemos, em
concordância com as expressões (1.7) e (1.8), que o 1º (fundamental), 5º e 7º harmónicos da
corrente eléctrica estatórica induzem no rotor correntes eléctricas de frequências,
respectivamente, a sf1, (−6+s)f1 , e (6+s)f1 Hertz.
Assim, pelas expressões (3.3) e (3.4), o módulo da Transformada Complexa Espacial da
corrente eléctrica rotórica, é dado por:
[ ] ( )[ ] ( )[ ]( ) [ ] ( )[ ] ( )[ ]( )
[ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]
i i i
I s t I s t I s t I s t I s t I s t
I s t I s t I s t I I s t s t
I
r dr qr
r r r r r r
r r r r r
= + =
= + − + + + + + − + + +
= + − + + + + − + +
+
2 2
1 1 5 1 7 1
2
1 1 5 1 7 1
2
1
2 2
1 5
2 2
1 7
2 2
1 1 5 1 1
6 6 6 6
6 6 2 6
2
$ cos $ cos $ cos $ sin $ sin $ sin
$ cos $ cos $ cos $ $ cos cos
$
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ]
( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]
[ ] ( )[ ] ( )[ ]
1 7 1 1 5 7 1 1 1
2 2
1
5
2 2
1 7
2 2
1 1 5 1 1
1 7 1 1 5 7 1
6 2 6 6
6 6 2 6
2 6 2 6 6
r r r r r
r r r r
r r r r
I s t s t I I s t s t I s t
I s t I s t I I s t s t
I I s t s t I I s t
$ cos cos $ $ cos cos $ sin
$ sin $ sin $ $ sin sin
$ $ sin sin $ $ sin sin
ω ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω
+ + − + + + +
+ − + + + + − + +
+ + + − + ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]
[ ] [ ]
+
= + + + − − + + − + + − + − +
= + + + + − +
s t
I I I I I s t s t I I s t s t I I s s t
I I I I I t I I t I I
r r r r r r r r r
r r r r r r r r r
ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω
1
1
2
5
2
7
2
1 5 1 1 1 7 1 1 5 7 1 1
1
2
5
2
7
2
1 5 1 1 7 1 5 7
2 6 2 6 2 6 6
2 6 2 6 2
$ $ $ $ $ cos $ $ cos $ $ cos
$ $ $ $ $ cos $ $ cos $ $ cos[ ]
( ) [ ] [ ]
−
= + + + + +
12
2 6 2 12 37
1
1
2
5
2
7
2
1 5 7 1 5 7 1
ω
ω ω
t
I I I I I I t I I tr r r r r r r r
$ $ $ $ $ $ cos $ $ cos ( . )

34
Neste caso, e tal como acontecera para o caso da corrente eléctrica estatórica, iremos ter
no espectro do módulo da Transformada Complexa Espacial uma componente espectral
fundamental aos 300 Hz e outra, quase insignificante, aos 600 Hz. De salientar que as
componentes espectrais enunciadas não dependem da velocidade do motor.
Na figura 1.3 podemos verificar,
então, a predominância da componente
espectral aos 300 Hz tal como indicia a
expressão (3.7). Menos significativa é a
componente espectral aos 600 Hz dado
que depende apenas dos valores máximos
do 5º e 7º harmónico da corrente eléctrica
estatórica. As restantes componentes
espectrais da figura 3.3 estão associadas a
assimetrias existentes no funcionamento
normal do motor de indução.
0 100 200 300 400 500 600
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Frequência (Hz)
Tensão(V)
Figura 3.3 – Espectro do módulo do Transformada Complexa
Espacialda corrente eléctrica rotórica (s=0,04), em laboratório,
com funcionamento normal do motor de indução.
4.3 Avarias no Rotor
4.3.1 Corrente eléctrica estatórica
Com o aparecimento de uma assimetria no circuito electromagnético rotórico, surge no
espectro da corrente eléctrica estatórica, tal como foi visto na análise espectral da corrente, e
considerando, na expressão (1.7), apenas o harmónico fundamental, uma banda lateral inferior,
(1-2s)f1, indiciadora da avaria.
No módulo da Transformada Complexa Espacial da corrente eléctrica estatórica,
desprezando também todas as componentes espectrais acima dos 50 Hz2
teremos:
2
Esta exclusão pode ser conseguida, na prática, pela filtragem do sinal de corrente eléctrica por um filtro passa-baixo com uma
largura de banda superior a 100 Hz por forma a captar a componente fundamental e as suas bandas laterais.

35
( ) [ ]( )[ ] ( ) [ ]( )[ ]
( ) [ ]( ) ( ) [ ]( )
( ) [ ]( ) ( ) [ ]( )
i I t I s t I t I s t
I t I s t I I t s t
I t I s t I I t s t
I I I
s = + − + + −
= + − + − +
+ + − + −
= + +
$ cos $ cos $ sin $ sin
$ cos $ cos $ $ cos cos
$ $ $ $
1 1 2 1
2
1 1 2 1
2
1
2 2
1 2
2 2
1 1 2 1 1
1
2 2
1 2
2 2
1 1 2 1 1
1
2
2
2
1
1 2 1 2
1 2 2 1 2
1 2 2 1 2
2
ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω
[ ]( )
( )
I t s t
I I I I s t
2 1 1
1
2
2
2
1 2 1
1 2
2 2 38
cos
$ $ $ $ cos ( . )
ω ω
ω
− −
= + +
Ou seja, teremos uma componente espectral aos 2sf1 (Hz), cuja amplitude varia com o
grau de severidade da avaria. Esta componente espectral depende directamente do deslizamento
a que o motor opera.
4.3.2 Corrente eléctrica rotórica
Na corrente eléctrica rotórica, do mesmo referencial da avaria, não é induzida nenhuma
componente espectral, de corrente eléctrica, indiciadora da avaria. Na análise do Vector de Park,
abordada no ponto anterior (II-2), verificámos que a figura, neste caso, não era uma
circunferência perfeita. À medida que aumentamos a severidade da avaria a figura geométrica do
vector de Park passa a ser uma forma elíptica deixando, o módulo da Transformada Complexa
Espacial, de ser constante.
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
id
iq
Figura 3.4 – Figura do Vector de Park com uma fase
desquilibrada (fase S) obtido por simulação
computacional (f1=50 Hz).
0 0.005 0.01 0.015 0.02
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
t(s)
mtce
Figura 3.5 – Módulo da Transformada Complexa espacial
correspondente ao caso representado na figura anterior,
também obtido por simulação.
Como vemos, pelas figuras 3.4 e 3.5, a uma figura geométrica, não circular, no vector de
Park corresponde um módulo da Trasnformada Complexa Espacial sinusoídal com uma
frequência dupla da frequência fundamental da grandeza em estudo (tensão ou corrente
eléctrica). Esta conclusão pode ser generalizada a todos os casos em que o módulo da
Transformada Complexa Espacial seja aplicado.

36
Neste ponto, o espectro do módulo da Transformada Complexa Espacial da corrente
eléctrica rotórica tem uma componente espectral aos 2sfs.
4.4 Avarias no estator
A análise do módulo da Transformada Complexa Espacial da corrente eléctrica
estatórica, com uma assimetria no estator, é igual à realizada no ponto (II-3.3.2). A componente
espectral associada à avaria é, como vimos, dupla da componente fundamental do sinal estudado.
Assim, teremos no espectro do módulo da Transformada Complexa Espacial da corrente
eléctrica estatórica uma componente espectral fixa aos 100 Hz.
Qualquer assimetria existente no circuito electromagnético estatórico induzirá, segundo a
expressão (II-1.9), no circuito eléctrico rotórico uma corrente eléctrica de frequência (−2+s)f1.
Consideramos novamente apenas a componente fundamental da corrente eléctrica estatórica.
Assim como nos pontos anteriores, o módulo da Transformada Complexa Espacial será dado
por:
[ ] ( )[ ]( ) [ ] ( )[ ]( )
[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]
[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]
i I s t I s t I s t I s t
I
r r r r r
r r r r
r r r r
= + − + + + − +
= + − + + − + +
+ + − + + − +
=
$ cos $ cos $ sin $ sin
$ cos $ cos $ $ cos cos
$
1 1 2 1
2
1 1 2 1
2
1
2 2
1 2
2 2
1 1 2 1 1
1
2 2
1 2
2 2
1 1 2 1 1
2 2
2 2
2 2
ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω
( )[ ]
[ ]
1
2
2
2
1 2 1 1
1
2
2
2
1 2 1
2 2
2 2 3 9
r r r r
r r r r
I I I s t s t
I I I I t
+ + − − +
= + +
$ $ $ cos
$ $ $ $ cos ( . )
ω ω
ω
A componente espectral, no espectro da Transformada Complexa Espacial da corrente
eléctrica rotórica associada a uma assimetria no circuito electromagnético estatórico é, então, aos
100 Hz (f1=50 Hz). Esta componente espectral, tal como verifica a expressão (3.9), não depende
da carga do motor de indução.

37
4.5 Conclusão
Verificamos que quando há um desequilíbrio na corrente eléctrica rotórica, os espectros
do módulo da Transformada Complexa Espacial da corrente eléctrica rotórica e estatórica,
apresentam ambos a mesma banda espectral, 2sf1, associada a esse desequilíbrio. O mesmo
acontece aquando de uma assímetria no estator. Aí a componente espectral é aos 100 Hz.

38
5 Avarias no Rotor
5.1 Introdução
Nos motores de indução trifásicos de rotor bobinado há acessibilidade às correntes
eléctricas rotóricas. Essa característica, neste tipo de motores, é usada para controlo da curva de
binário do motor pelo uso de resistências no circuito eléctrico trifásico. É uma vantagem, mas
também um ponto de possíveis problemas.
O circuito eléctrico rotórico é composto pelos enrolamentos do rotor, pelos contactos
anel-escova, pelos terminais de ligação ao exterior, e pelo grupo de resistências de controlo. São
muitos os ponto vulneráveis à ocorrência de avarias. Ao contrário do que acontece com os
motores de indução com rotor de gaiola de esquilo, nos motores de indução de rotor bobinado é
mais provável a ocorrência de avarias no circuito eléctrico do rotor.
Figura 1.1 – Motor de indução trifásico de rotor bobinado com grupo de resistências trifásico associado ao circuito
eléctrico rotórico.
Para a simulação de assimetrias na corrente eléctrica rotórica, usando a plataforma de
ensaios descrita no apêndice 1, provocou-se um desequilíbrio resistivo variável numa fase
rotórica, possibilitando diferentes severidades de avaria no circuito eléctrico do rotor. Para cada
grau de severidade de avaria, e para vários valores de carga, foram adquiridas correntes eléctricas
no estator (fases R e T) e no rotor (fases u e w). Foram, a partir daí, usados os três métodos de
análise e diagnóstico descritos no capítulo II: análise espectral da corrente eléctrica, Vector de
Park da tensão e corrente eléctrica, e análise espectral do módulo do Vector de Park da corrente
eléctrica.
O circuito trifásico da figura 1.2 representa o circuito eléctrico rotórico. A resistência
variável, Rad , provoca as assimetrias de teste desejadas.
R
T M
u
v
w

39
Figura 1.2 – Esquema do circuito rotórico com uma resistência adicional de simulação de desequilíbrio resistivo.
Assumindo que é induzido em cada fase do rotor um sistema de tensões trifásico,
simétrico e equilibrado, Euv=U, Evw=a2
U, Evw=a.U (sendo a=exp(jωt)), surge no circuito
eléctrico da figura 1.2, um sistema assimétrico de corrente eléctrica que se pode decompor, pelo
teorema de Charles L. Fortescue3
, em dois sistemas simétricos, um directo e outro inverso, uma
vez que não existirá, como foi referido no capítulo II, qualquer componente homopolar de
corrente eléctrica.
( )
( )
I I a I a I
I I a I a I
ud u v w
ui u v w
= + +
= + +






1
3
1
3
2
2
. .
. .
(1.1)
A partir do esquema da figura 1.2 podemos determinar a corrente eléctrica em cada fase
do sistema trifásico do rotórico.
( ) ( )
uwwvvu
vwuwuv
uwwvvu
vwuwvu
u
RRRRRR
RERE
RRRRRR
REEREE
I
++
−
=
++
−+−
= (1.2)
( ) ( )
uwwvvu
wuvuvw
uwwvvu
wuvuwv
v
RRRRRR
RERE
RRRRRR
REEREE
I
++
−
=
++
−+−
= (1.3)
( ) ( )
uwwvvu
uvwvwu
uwwvvu
uvwvuw
w
RRRRRR
RERE
RRRRRR
REEREE
I
++
−
=
++
−+−
= (1.4)
sendo, Ru=R+Rui ; Rv= R+Rvi+Rad ; Rw= R+Rwi .
Substituindo as expressões (1.2 a 1.4) no sistema de equações (1.1), obtemos as
expressões das componentes directa e inversa da corrente eléctrica da fase u.
Eu Rui u R Iu
Ev Rvi v R Iv Rad
Ew Rwi w R Iw

40
( )
( ) ( ) ( )[ ]







++
−+−+−
=
−
++
++
=
uwwvvu
wvu
ui
uwwvvu
wvu
ud
RRRRRR
aRaaRaRU
I
a
RRRRRR
RRRU
I
22
11
3
1
3
(1.5)
A percentagem de desequilíbrio de um sistema trifásico é dada pelo quociente do módulo
da componente inversa com o módulo da componente directa da corrente eléctrica.
Des (%) =
I
I
ui
ud
× 100 (1.6)
A partir do sistema de equações (1.5), podemos determinar a componente directa e
inversa da corrente eléctrica e, assim, obter o valor do desequilíbrio do sistema trifásico em
função da resistência Rad.
Teremos então a curva de evolução do
desequilíbrio rotórico mediante o aumento linear
da resistência adicional colocada em série com
uma das fases do circuito eléctrico rotórico (figura
1.3). Este procedimento é válido para todas as fases
rotóricas já que o desequilíbrio de apenas uma das
fases, provoca um desequilíbrio em todo o sistema
trifásico.
0 5 10 15 20 25 30
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Resistência Adicional (Ohm)
(%)
Percentagem de desequilibrio
Figura 1.3 – Percentagem de desequilíbrio
rotórico em função de Rad.
O desequilíbrio de um sistema trifásico não aumenta linearmente com o aumento da
avaria. Um ligeiro incremento da resistência Rad provoca imediatamente uma ascensão acentuada
da percentagem de desequilíbrio. O motor de indução de rotor bobinado é, assim, bastante
vulnerável ao aparecimento de assimetrias rotóricas, sendo os, contactos anel-escova existentes
em cada fase rotórica os, potenciais focos de avaria.
Considerámos, para a obtenção do sistema de equações (1.5), apenas assimetrias
resistivas no circuito eléctrico rotórico. No caso da ocorrência de avarias nos enrolamentos do
rotor (curtos-circuitos entre espiras), teríamos um sistema de tensões, induzido no rotor,
3
Pioneiro no estudo de componentes simétricas. O teorema por ele enunciado é: Um sistema não equilibrado de n vectores
coplanares, concorrentes e da mesma natureza, pode ser reduzido a n sistemas de n vectores simétricos.

41
assimétrico. Assim, mesmo que circuito eléctrico fosse totalmente equilibrado, teríamos também
um sistema inverso de corrente eléctrica e, assim, uma percentagem de desequilíbrio.
Temos, para além do grau de severidade da avaria, a necessidade de usar outro grau de
severidade associado à carga a que o motor de indução está sujeito. Este é de grande importância
dado que em ambientes industriais as situações são de carga variável. Assim a estratégia de
ensaios laboratoriais é dotada de duas vertentes:
• Variação de avaria  do funcionamento normal até à falha limite. O funcionamento
normal não significa necessariamente um grau de avaria nulo. A falha limite é a falta
de fase. A carga mantêm-se constante, a uma velocidade de 1440 rpm (s=0,04).
• Variação da carga  do vazio até à carga máxima. Os valores da velocidade à carga
máxima e no vazio dependem da avaria experimentada. A severidade da avaria é,
aqui, mantida constante em vário patamares de velocidade.

42
5.2 Análise Espectral da corrente eléctrica
5.2.1 Introdução
Neste capítulo iremos estudar a análise espectral das correntes eléctricas que circulam, de
uma forma acessível, no motor de indução trifásico de rotor bobinado, ou seja, a corrente
eléctrica estatórica, e a corrente eléctrica rotórica. Para isso, reportamo-nos ao ponto 1 do
capítulo II, onde apresentamos um estudo teórico sobre este assunto.
Das expressões (II-1.17 e II-1.18) do capítulo anterior, considerando apenas o
fundamental, o 3º e 5º harmónico da corrente eléctrica estatórica (j=1, j=5 e j=7), bem como os
fundamentais das componentes induzidas na corrente eléctrica rotórica (k=1), obtemos, para
s=0,04, as seguintes frequências:
de (II–1.17):
( ) Hzfsf ss 465004,021)21(111 =××−=−= (1.7)
( ) Hzfsf sr 2545004,025)25(117 −=××−−=⋅+−= (1.8)
de (II–1.18):
( ) Hzfsf sr 3465004,027)27(115 =××−=⋅−= (1.9)
ou seja, teremos, em caso de assimetria no circuito electromagnético rotórico, o
aparecimento de bandas laterais em torno dos harmónicos de ordem k=6q±1; q=0,1,2,…, sendo
bandas laterais inferiores para harmónicos de sentido directo a frequências de 50 Hz, 350 Hz, 550
Hz,.. (k=6q+1; q=0,1,2,…), e bandas laterais superiores em torno dos harmónicos de sentido
inverso a frequências de 250 Hz, 650 Hz,.. (k=6q-1; q=0,1,2,…).
Para a detecção da avaria em estudo, usando a análise espectral da corrente eléctrica
estatórica, estudaremos com especial atenção as bandas laterais calculadas em (1.7, 1.8 e 1.9).
Obviamente que a que apresentará uma maior importância será a banda lateral inferior ao
primeiro harmónico da corrente eléctrica estatórica (1-2s)fs , uma vez que será de uma ordem de
grandeza superior às outras duas bandas laterais calculadas. Nas figuras 1.4, 1.5 e 1.6 podemos
ver a evolução desta banda lateral inferior com o aumento da severidade da avaria.

43
40 45 50 55 60
0
5
10
15
20
25
30
35
Frequência (Hz)
Nível(dB)
Figura 1.4 – Harmónico fundamental do
espectro da corrente eléctrica estatórica,
motor em estrela e em funcionamento
normal (s=0,04).
40 45 50 55 60
10
15
20
25
30
35
Frequência (Hz)
Nível(dB)
Figura 1.5 – Harmónico fundamental e
bandas laterais do espectro de corrente
eléctrica estatórica, desequilibrio de
100% - falta de fase (s=0,04).
0 20 40 60 80 100
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Desequilíbrio (%)
amplitude
Figura 1.6 – Evolução da amplitude, em
escala linear, da banda lateral inferior
com o aumento da percentagem de
desequilibrio (s=0,04).
É notório (figura 1.6) o crescimento da banda lateral aos 46 Hz, (1-2s) fs, perante o
aumento da severidade da avaria no rotor. Facilmente se poderá dizer que o motor de indução se
encontra com um qualquer defeito no circuito rotórico, quer se trate de rotor bobinado ou em
gaiola de esquilo, perante o aparecimento da banda lareal inferior.
Pela figura 1.5, verificamos outras duas bandas laterais. Uma aos 42 Hz, múltipla da
primeira e dada pela expressão (1-4s)f1, e outra aos 54 Hz, banda lateral superior, dada pela
expressão (1+2s)fs . Ambas resultam de flutuações de binário [4]. Essas flutuações tanto podem
ser consequência da existência de uma avaria com da inércia da carga que está acoplada ao
motor. No quadro 1.1, verificamos a relação entre as várias componentes espectrais tanto de
corrente eléctrica como de velocidade.
Quadro 1.1 – Fenómeno electromagnético e mecânico
Estator: f (1-s)f1 (1+2s)f1 (1-4s)f1
Rotor: ±sf1 2sf1 ±3sf1
As outras bandas laterais ao 5º e 7º harmónico não têm uma grande importância neste
tipo de análise dado não terem uma ordem de grandeza suficientemente grande para justificar um
estudo mais profundo. Toda a informação que cada uma delas poderia dar pode ser, muito mais
facilmente, recolhida na banda lateral inferior ao harmónico fundamental (1-2s)fs .
Harmónicos de
corrente eléctrica
1º Harmónico
de velocidade

44
Variação de carga:
Se mantivermos o grau de severidade de avaria constante e variarmos o valor da carga
desde o motor de indução em vazio até uma situação de carga máxima, com corrente eléctrica
nominal (Imax=6.8 A/enrolamento), verficamos também o crescimento da banda lateral inferior,
(1-2s)fs (figuras 1.7, 1.8 e 1.9), de forma idêntica ao que aconteceu no caso da variação do grau
de severidade da avaria, com carga constante.
30 35 40 45 50 55 60 65 70
0
5
10
15
20
25
Frequência (Hz)
Tensão(V)
Figura 1.7 – Componente fundamental
da corrente eléctrica estatórica,
desequilíbrio de 75%, motor em estrela e
em vazio (s=1,3%).
30 40 50 60 70
0
10
20
30
40
50
60
Frequência (Hz)
Tensão(V)
Figura 1.8 – Componente fundamental e
banda lateral da corrente eléctrica
estatórica, desequilíbrio de 75%, motor
em estrela e à plena carga (s=13,1%).
2 4 6 8 10 12 14
5
10
15
20
25
30
35
40
s (%)
amplitude
Figura 1.9 – Variação da amplitude da
banda lateral (1-2s)f1 da corrente
eléctrica estatórica, com a carga, e com
um desequilibrio rotórico de 75%.
A diferença entre as variações observadas para os dois tipos de severidade, é a
localização, no espectro da corrente eléctrica estatórica, das bandas laterais. Por exemplo,
(1−2s)f1, na experiência de carga constante, sabemos que se situa sempre, independentemente do
grau de severidade, aos 46 Hz já que a velocidade é constante, 1440 rpm, s=4%. No segundo
caso, com variação de carga, o deslizamento é variável e, com ele, a localização da banda lateral.
Para um nível de carga minimo, s=0,013, substituindo na equação (1.7), f111s=48,7 Hz , e para
uma carga máxima, s=0.131, também pela equação (1.7), f111s=36.9 Hz.
Para o funcionamento normal do motor, a corrente eléctrica rotórica tem componentes
espectrais induzidas pelas componentes harmónicas da corrente eléctrica estatórica. Assim,
considerando apenas a componente fundamental, o 5º e o 7º harmónicos da corrente eléctrica
estatórica, usando as equações (II–1.7 e II–1.8) deduzidas no capítulo anterior, e com o motor de
indução a uma velocidade constante (s=0,04), teremos:
de (II–1.7):

45
Hzsffsff r 25004,0)1( 11111 =×==−−= (1.10)
( ) ( ) Hzfsfsff r 3025004,066)1(7 11171 =×+=+=−−= (1.11)
de (II–1.8):
( ) ( ) Hzfsfsff r 2985004,066)1(5 11151 −=×+−=+−=−−−= (1.12)
A figura 1.10-a) mostra o espectro da corrente eléctrica rotórica com o motor de indução
em funcionamento normal.
0 50 100 150 200 250 300
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Frequência (Hz)
Tensão(V)
0 50 100 150 200 250 300
0
10
20
30
40
50
60
Frequência (Hz)
Tensão(V)
a) b)
Figura 1.10 – Espectro da corrente eléctrica rotórica, com carga constante (s=0,04). a) Funcionamento normal; b) Falta
de fase rotórica.
Tal como foi referido na análise teórica, capítulo II, a análise espectral da corrente
eléctrica rotórica não será a melhor solução para o diagnóstico e análise de avarias no circuito
rotórico do motor de indução trifásico de rotor bobinado. Qualquer tipo de assimetria provocada
neste referencial acrescentará primeiramente componentes espectrais no espectro da corrente
eléctrica estatórica. Essa componente espectral induzirá, na corrente eléctrica rotórica, uma
componente igual à que lhe deu origem. Por exemplo, para uma carga constante (s=0,04), a
banda lateral ao harmónico fundamental irá induzir no rotor uma corrente com uma frequência
de:
f f f
f s f s f sf
r s m
r s s s
= −
⇒ = − − − = −11 1 2 1( ) ( )
que, facilmente se sobrepõe à componente espectral induzida pelo harmónico fundamental da
corrente eléctrica estatórica f1r=sf1.

46
Na figura 1.10, podemos verificar a semelhança entre os espectros de corrente eléctrica
rotórica, para motor em funcionamento normal e para o motor com falha de fase no rotor. No
entanto, ampliando o espectro da figura 1.10-b) de 0Hz até 12Hz, e usando uma escala em dB,
verificamos uma componente espectral aos 6 Hz, que acompanha o aumento do grau de
severidade da avaria. Tal, indicaria uma detecção da avaria também pela análise das correntes
eléctrica rotóricas pelo aparecimento de uma componente espectral de frequência 3sf (figura
1.11).
0 2 4 6 8 10 12
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
YRR0.ASC
Frequência (Hz)
Nível(dB)
2 4 6 8 10 12
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
YRR5.ASC
Frequência (Hz)
Nível(dB)
0 2 4 6 8 10 12
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
YRR11.ASC
Frequência (Hz)
Nível(dB)
Figura 1.11 - Evolução da componente espectral aos 6Hz , em dB, corrente eléctrica rotórica, para um grau de severidade de
avaria mínimo, médio, e máximo.
No espectro da corrente eléctrica estatórica, numa situação de desequilíbrio (figura 1.5),
verificámos a existência de uma banda lateral superior (1+2s)fs que, como foi referido, se deve à
inércia da carga e às oscilações do binário do motor. Reportando essa componente espectral ao
referencial rotórico, concluímos que:
111 3)1()21( sffsfsfff msr =−−+=−= (1.13)
A componente espectral referida, 3sf1, é, então, induzida pela componente espectral
associada à oscilação de carga e inércia do conjunto motor – carga que, como foi dito no ponto
anterior, não é somente indiciador da existência de assimetrias no circuito rotórico. Não serve,
assim, para a detecção e análise de avarias no rotor do motor de indução trifásico de rotor
bobinado.

47
5.2.4 Diagrama vectorial
A partir das expressões deduzidas nos pontos 1.2.2 e 1.2.3, podemos traçar um diagrama
onde podemos, facilmente, visualizar as componentes espectrais induzidas no rotor e no estator
aquando de uma assimetria no circuito electromagnético rotórico.
Figura 1.12 – Diagrama das frequências induzidas tanto no estator como no rotor (rotor avariado)
Consideramos (figura 1.12) o sentido directo como o sentido positivo e o sentido inverso
como negativo. A primeira linha da figura refere-se ao referencial estatórico e aí estão
representados o 1º, 5º e 7º harmónicos. De salientar que o 5º harmónico tem o sentido inverso.
Na segunda linha, referente ao rotor, estão representadas as componentes espectrais induzidas
por cada uma das componentes representadas para o estator (1ª linha). Como podemos verificar,
a todas elas foi subtraída a frequência referente à velocidade do motor, representada na parte
superior da figura. Na terceira linha, voltamos a ter o referencial estatórico, mas somente aí estão
representadas as componentes espectrais resultantes da assimetria no circuito eléctrico rotórico.
Concluímos, pela diagrama da figura 1.12, que existe uma troca de informação entre os
dois referenciais do motor. Quando estamos no caso de uma avaria provocada no rotor, é no rotor
que aparece um sistema assimétrico, mas é no estator que irão, primeiramente, ser induzidas
correntes eléctricas a frequências que se vão diferenciar em relação ao espectro obtido para
funcionamento normal. Essas componentes espectrais reflectem-se, outra vez, para o referencial
rotórico às mesmas frequências que lhes deram origem.
Para a análise e diagnóstico de avarias no circuito electromagnético rotórico, salientam-se
a expressão (1.7) que é consequência directa dos campos inversos criados no rotor, aquando da
existência de uma qualquer avaria.
← Sentido Inverso fm=(1-s).fs Sentido Directo →
f5=5fs f1= fs
f7=7fs
f5r= (−6+s) fs f1r=s fs f7r= (6+s) fs
f15r= (7−2s) fs
f17r=−(5+2s) fs f11r= (1−2s) fs

48
5.3 Análise do Vector de Park
5.3.1 Introdução
Nesta secção apresentamos e analisamos os resultados relativos ao vector de Park da
corrente eléctrica rotórica e estatórica e da tensão eléctrica composta aos terminais do rotor,
quando este possui carga trifásica resistiva exterior. A análise do vector de Park da tensão
eléctrica aos terminais do rotor é de extrema importância para determinar se o desequilíbrio é
interno ou externo ao motor de indução (carga resistiva trifásica). Todas as figuras apresentadas
nesta secção referem-se a resultados obtidos para a ligação do estator em estrela. Para a ligação
em triângulo os resultados são em tudo idênticos aos apresentados.
Os desequilíbrios no sistema de correntes eléctricas rotóricas têm como consequência
relevante no estator o aparecimento de um sistema directo de correntes eléctricas estatóricas à
frequência (1-2s)f (expressão (1.7)). Pela propriedade linear do vector de Park a consequência
deste sistema de correntes eléctricas é o aparecimento de uma coroa na figura do vector de Park
da corrente eléctrica estatórica, cuja a espessura é o dobro do módulo do vector de Park do
sistema de correntes eléctricas devido à avaria, quando não existe desequilíbrio no estator. Na
figura seguinte apresentamos o vector de Park para o caso em que existe o desequilíbrio normal
no rotor, 4 %, e para um desequilíbrio de 66 %, ambas as figuras resultam do sinal não filtrado
da corrente eléctrica.
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Id (v)
Iq(v)
Figura 1.13 – Vector de Park da corrente
eléctrica estatórica com desequilíbrio de 4%
no rotor, sem filtragem, a 1440 rpm.
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Id (v)
Iq(v)
eléctrica estatórica com desequilíbrio de
66% no rotor, sem filtragem, a 1440 rpm.

49
Teoricamente a figura devia ser uma circunferência, tal não acontece devido à existência do 5º e
7º harmónicos na corrente de alimentação, estes são consequência da saturação magnética do
circuito magnético do motor e também da presença do 5º e 7º harmónicos na tensão de
alimentação.
As figuras 1.13 e 1.14 mostram claramente a influência do desequilíbrio rotórico na
espessura da coroa. Importa, então, fazer o estudo da variação da espessura da coroa com o
desequilíbrio para deslizamento constante e com o deslizamento a desequilíbrio constante. O
estudo da variação da espessura é feito para o valor absoluto e para o valor relativo ao módulo do
vector de Park do sistema fundamental das correntes eléctricas de alimentação. Como estas
variam com a carga, o valor relativo da espessura é uma tentativa de atenuar o efeito da carga na
avaliação da espessura da coroa.
No método prático de cálculo da espessura da coroa temos que ter presente o facto de
existir sempre um pequeno desequilíbrio no circuito estatórico, como tal, o sistema de correntes
eléctricas induzidas no estator, devido à avaria rotórica, surge também desequilibrado.
Adicionalmente existe o problema de a frequência do sistema de correntes eléctricas, devido à
avaria ter uma frequência, (1-2s)f1, muito próxima da frequência de alimentação para valores de
deslizamento habituais, o que impossibilita a técnica da filtragem para a isolar. No entanto,
podemos usar filtros para anular o 5º e 7º harmónicos. A filtragem é feita aos 100 Hz no Matlab
por um filtro passa-baixo Butterworth de 5º ordem. Nas figuras 1.15 e 1.16 podemos o ver efeito
da filtragem e consequente ausência dos 5º e 7º harmónicos no vector de Park da corrente
eléctrica estatórica.
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Id (v)
Iq(v)
4% no rotor, com filtragem aos 100 Hz, a
1440 rpm.
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Id (v)
Iq(v)
66% no rotor, com filtragem aos 100 Hz, a
1440 rpm.

50
Assim, para aumentar a precisão no cálculo da espessura e poder utilizá-lo no caso geral
em que pode existir desequilíbrio nas correntes eléctricas de alimentação, usa-se o resultado das
expressões (II-2.14),
).14.2(
2
2






=
+
=
M-m
I
mM
I
i
d
A importância das expressões (II-2.14) reside no facto de podermos calcular o módulo do
vector de Park do sistema directo e do sistema inverso de correntes recorrendo directamente às
características da figura do vector de Park do sistema desequilibrado. As expressões (II-2.14) são
válidas tanto para o vector de Park do sistema de correntes eléctricas de alimentação como para o
sistema de correntes eléctricas, induzido no estator, devido à avaria no rotor. É importante referir
que as expressões (II-2.14) aplica-se também ao caso de não haver desequilíbrio, pois, neste
caso, M é igual a m , logo, Ii é zero, só existe sistema directo.
Pela linearidade do vector de Park facilmente se conclui que a espessura máxima da
figura do vector de Park é igual a 2Ma e a espessura mínima é igual a 2ma, onde Ma e ma são o
semi-eixo maior e menor do vector de Park do sistema de correntes eléctricas devido ao
desequilíbrio rotórico, respectivamente. Para o cálculo ser preciso temos que conhecer com
exactidão os valores de M, m, Ma e ma. O método de calcular os valores de M, m, Ma e ma, a
partir da figura filtrada do vector de Park das correntes eléctricas estatóricas, é descrito em
pormenor no apêndice 4. Aplicando as expressões (II-2.14) podemos calcular a espessura em
valor absoluto e a espessura relativa da coroa pelas seguintes expressões,
2
aa
ad
mM
IEsp
+
== (1.14)
mM
mM
I
I
EspR
aa
d
ad
+
+
== (1.15).
Convêm notar que quando nos referimos à espessura da coroa estamo-nos a referir ao
módulo do vector de Park do sistema directo das correntes eléctricas devido à avaria, Iad, e não
ao que visualmente interpretamos como espessura.
Nos ensaios de severidade da avaria mantivemos o deslizamento constante e igual a 4%,
ou seja, uma velocidade do motor de 1440 rpm, e aumentamos a severidade da avaria,
aumentando a resistência exterior ligada à fase v do rotor de modo a conseguirmos 6 níveis de

51
desequilíbrio para o sistema de correntes eléctricas rotóricas. Note-se que neste caso manter o
deslizamento não é equivalente a manter a carga mecânica acoplada ao veio, pois, como
consequência do aumento da severidade da avaria, os binários negativos do motor aumentam.
Assim, para o mesmo deslizamento, o binário positivo resultante decresce com o aumento da
severidade da avaria. É importante referir que o desequilíbrio das fases u e w produz os mesmos
resultados nas correntes eléctricas estatóricas, como se esperava, assim, apenas são apresentados
resultados para desequilíbrio na fase v.
O vector de Park das correntes eléctricas estatóricas, com filtragem, para 4%, 52% e
100% de desequilíbrio são mostrados na figura seguinte.
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Id (v)
Iq(v)
Figura 1.17 - Vector de Park da corrente
eléctrica estatórica, com filtragem, para 4%
de desequilíbrio no rotor.
-0.01 0 0.01
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
Id (v)
Iq(v)
-0.01 0 0.01
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
Id (v)
Iq(v)
A evolução da espessura e da espessura relativa da coroa com o desequilíbrio é mostrada nas
figuras seguintes.
0 20 40 60 80 100
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Desequilíbrio (%)
Espessuradacoroa(mV)
Figura 1.20 – Variação da espessura absoluta da coroa com o
desequilíbrio no rotor, deslizamento igual a 4%.
0 20 40 60 80 100
0
5
10
15
20
25
30
Desequilíbrio (%)
Espessurarelativadacoroa(%)
Figura 1.21-Variação da espessura relativa da coroa com o
desequilíbrio no rotor, deslizamento igual a 4%.

52
Pelos gráficos das figuras 1.20 e 1.21 podemos ver que a evolução da espessura absoluta
da coroa é idêntica à evolução relativa da mesma. Apesar disso, a importância de cada uma
evoluções é bastante diferente. Consideramos que o gráfico da evolução da espessura relativa da
coroa bastante mais importante, pois, dá-nos a relação entre o módulo do sistema directo de
correntes eléctricas, devido à avaria, e o módulo do sistema de correntes eléctricas do
fundamental da alimentação. Embora não seja possível uma relação precisa entre o coeficiente de
desequilíbrio das correntes eléctricas rotóricas e a espessura relativa da coroa, podemos observar
que a espessura relativa varia de 3% a 30 %, para uma variação de 4% a 100% do desequilíbrio
rotórico, isto de uma forma quase linear. Sem querer-mos generalizar, e fazendo uma
aproximação linear à variação da espessura relativa com o desequilíbrio, podemos dizer que, no
nosso caso, o desequilíbrio das correntes eléctricas rotóricas é aproximadamente igual a 3 vezes
a espessura relativa da coroa, para desequilíbrios inferiores a 50%, e 5 vezes, para desequilíbrios
superiores a 50%. Na tabela 1.1 apresentamos os resultados usados na construção dos gráficos
das figuras 1.20 e 1.21 e também o coeficiente de desequilíbrio (cd) do sistema de correntes
eléctricas do estator:
Tabela 1.1 – Resultados do ensaio de variação da severidade do desequilíbrio
rotórico com deslizamento a 4%.
Cd do rotor
(%)
Espessura da coroa (mV) Espessura relativa da
coroa (%)
Cd do estator (%)
4 0.6 2.9 1
20 1.8 9.9 2
44 2.9 17.3 1
52 3 18.5 2
66 3.6 21 1
96 4.1 26 3
100 4.3 28.2 2
Os resultados anteriores são para deslizamento constante e severidade da avaria variável.
É, também, importante conhecer a variação da espessura absoluta e espessura relativa da coroa
para o caso em que mantemos a severidade e variamos o deslizamento. O desequilíbrio foi
mantido aproximadamente a 75% e o deslizamento foi variado desde o vazio, 1483 rpm, até às
1360 rpm, valor em que se atingiu a corrente máxima na alimentação, 6,8 A. Os gráficos
seguintes mostram a variação da espessura absoluta e relativa da coroa com o deslizamento.

53
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Deslizamento (%)
Espessuradacoroa(mV)
Figura 1.22 –Variação da espessura absoluta da coroa com o
deslizamento, desequilíbrio rotórico igual a 75%.
0 2 4 6 8 10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Deslizamento (%)
Espessurarelativadacoroa(%)
Figura 1.23-Variação da espessura relativa da coroa com o
deslizamento, desequilíbrio rotórico igual a 75%.
Comparando os gráficos das figuras 1.22 a 1.23 verificamos a dificuldade que existe em
precisar o coeficiente de desequilíbrio do sistema correntes eléctricas do rotor, através da análise
da espessura da coroa, absoluta ou relativa, pois, ambas dependem fortemente do deslizamento
da máquina. À semelhança do que acontece no gráfico da figura 1.21, também no gráfico da
figura 1.23 podemos distinguir duas zonas, abaixo de 5% de deslizamento e acima de 5%. Na
primeira zona a espessura relativa da coroa varia mais rapidamente com o deslizamento do que
na segunda zona. A impossibilidade de estabelecer uma relação matemática precisa entre o
desequilíbrio rotórico e a espessura relativa (ou absoluta) força este método a ser usado apenas
para estimar grosseiramente a percentagem de desequilíbrio do sistema de correntes eléctricas
rotóricas. Na tabela 1.2 apresentamos os resultados usados na construção dos gráficos das figuras
1.22 e 1.23, e também o coeficiente de desequilíbrio (cd) do sistema de correntes eléctricas do
estator:
Tabela 1.2 – Resultados do ensaio de variação do deslizamento e severidade do
desequilíbrio rotórico cerca 75%.
Deslizamento
(%)
Cd do rotor (%) Espessura da
coroa (mV)
Espessura relativa
da coroa (%)
Cd do estator
(%)
1.1 - 1 7 0.8
2.8 71 2.3 15 1.3
5.3 74 6.5 35 1.2
6.5 76 9.1 41 1
8 75 12.1 47 1
9.3 75 14.7 51 1.2

54
Um facto importante a reter dos resultados apresentados nas tabelas 1.1 e 1.2 é imunidade
que o sistema de correntes eléctricas do estator tem relativamente a desequilíbrios nas correntes
eléctricas rotóricas. O desequilíbrio do sistema de correntes eléctricas do estator é praticamente
constante e bastante baixo para qualquer condição de carga e desequilíbrio no rotor. Tal
comportamento era teoricamente previsível devido ao princípio de funcionamento do motor de
indução e pode, em princípio, ser usado para diagnóstico de desequilíbrios simultâneos nas
correntes eléctricas do estator e rotor.
5.3.3 Corrente e tensão eléctrica rotórica
Em oposição ao que se passa para a análise espectral das correntes eléctricas rotóricas em
que é impossível detectar a existência de desequilíbrio rotórico, a análise do vector de Park das
correntes eléctricas rotóricas permite detectar, e quantificar, esse desequilíbrio. Adicionalmente o
vector de Park da tensão eléctrica aos terminais do rotor permite distinguir entre avarias internas
do rotor (contactos anel-escova deficientes e curto-circuito entre espiras) e externa (desequilíbrio
da carga resistiva trifásica).
A frequência fundamental das correntes rotóricas é sf, o que para deslizamentos habituais
representa valores bastante baixos (<10 Hz). No caso da existência de desequilíbrio nas correntes
eléctricas do estator resulta adicionalmente um sistema de correntes eléctricas rotóricas à
frequência (2-s)f1, ou seja, frequências próximas dos 100 Hz para deslizamentos habituais.
Assim, podemos usar eficazmente a filtragem dos sinais das correntes eléctricas rotóricas para
isolar o sistema de correntes eléctricas à frequência fundamental do eventual sistema causado
pelo desequilíbrio estatórico. O filtro usado é o passa-baixo Butterworth de 5º ordem do Matlab.
-0.02 0 0.02
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Id (v)
Iq(v)
Figura 1.24 – Vector de Park das correntes
eléctricas rotóricas com 66% de desequilíbrio,
sinal não filtrado.
-0.01 -0.005 0 0.005 0.01
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
Id (v)
Iq(v)
Figura 1.25 - Vector de Park das correntes
eléctricas rotóricas com 66% de desequilíbrio,
sinal filtrado a 3 Hz.

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