Projet De ThéOrie Des Circuits

PROJET DE THEORIE DES CIRCUITS – BAC 3

CONCEPTION D’UN BANC DE FILTRES POUR HAUT-PARLEURS
MULTIVOIES BIAMPLIFIES
Roppe Quentin, Masure Pierre, Kamga Yannick

1

Introduction
L’objectif de ce projet est de réaliser l’étude de composants
essentiels dans la fabrication des haut-parleurs, à savoir le
crossover à 2 voies. Les haut-parleurs ne fonctionnant de façon
optimale que dans une plage de fréquences déterminée, il est
nécessaire que le signal audio soit adapté en fréquence à l’aide
d’un banc de filtres. Dans un premier temps, nous allons
analyser des crossover actif et passif à 2 voies. Ensuite, nous
élaborerons notre propre banc de filtres actifs à 2 voies.

2

Première partie : études des bancs de filtres
passifs et actifs
A . Banc de filtres passif à 2 voies de type LC

1. Calcul des fonctions de transfert (détail des calculs dans annexes (1) )

1
Filtre passe-haut Filtre passe-bas

1 1
1 1
²
²
²

2. Choix des valeurs de L et de C des filtres passifs

Les filtre passe-haut et passe-bas sont deux filtres du second ordre de type ² ²

2 2 300 / (fréquence de cassure choisie 300Hz)
Il a été démontré que la pulsation de coupure ω’=ρ.

√
ω′

2.8145 10

Nous pouvons déterminer la valeur de la capacité ainsi que celle de l’inductance en utilisant 2
conditions.

Condition 1 : les fonctions de transfert doivent présenter 2 pôles complexes conjugués.

Pourquoi ? Si nous n’avons pas 2 pôles complexes conjugués, il y aura 2 fréquences de
cassure.

Pour avoir 2 pôles complexes conjugués il faut que :

√
avec R = 8 .

On trouve que .

1.
Condition 2 : il est intéressant, pour avoir une cassure nette, de ne pas avoir de résonance.

Cette condition supplémentaire impose que

3

√
1 avec R = 8 .

On trouve que .

On doit donc imposer des valeurs de C et de L vérifiant : .Nous choisirons

5 10 50 5.6 10 5.6
comme valeurs admissibles

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0.00892857142857143.

Vérification de la nouvelle fréquence de cassure : 300.77 Hz. Les valeurs de C et L semblent
donc être acceptables étant donné que la fréquence souhaitée était de 300Hz.

3. Examen des réponses en fréquence de chacun des filtres
sous Matlab

Filtre passe-haut Filtre passe-bas

Code Matlab : Code Matlab :

R=8 ; C=5*10^-5 ; L=5.6*10^- R=8 ; C=5*10^-5 ; L=5.6*10^-
3 ; 3 ;

N1=[1 0 0] ; D1=[1 (1/(R*C)) N2=[0 0 (1/(L*C))] ; D2=[1
(1/(L*C))] ; (1/(R*C)) (1/(L*C))] ;

w=logspace(1,4,10000) ; w=logspace(2,6,10000) ;

freqs(N1,D1,w) ; freqs(N2,D2,w) ;

Nous obtenons alors sous Matlab les courbes en amplitude et en phase respectivement des

rad/s. Et présentant des asymptotes tendant vers ∞ au niveau de leur bande atténuée. On
filtres passe-haut et passe-bas. Il s’agit bien de filtres passe-haut et passe-bas cassant en 1884

peut également montrer qu’ils cassent parfaitement à la même fréquence en superposant les
graphes via la commande Matlab ‘hold on’.

4

5
10
Magnitude

0
10

-5
10
1 2 3 4
10 10 10 10
Frequency (rad/s)

200
Phase (degrees)

150

100

50

0
1 2 3 4
10 10 10 10
Frequency (rad/s)

5

Asymptotic and Bode Plot : amplitude
20

0

-20
dB

-40

-60

-80

-100
1 2 3 4 5
10 10 10 10 10
rad/s

Vérification de la fréquence de cassure Zoom sur le point d’intersection ginput(2)

1912.70290965634 1899.83943368627 (rad/s)
cliquer 2 fois sur le point d’intersection

On obtient
.
f= 304.416122738057Hz

.
f= 302.368836952077 Hz

Il convient d’apprécier la proximité de nos valeurs expérimentales avec la valeur théorique de
la fréquence de cassure de 300 Hz aux erreurs d’arrondi près.

B . Banc de filtres actifs à 2 voies

4. Fonction de transfert opérationnelle, ordre et type de filtre,
calcul de la fréquence de cassure

Nous avons séparé la figure 7 en un filtre passe-bas (au-dessus) et un filtre passe-haut (en-
dessous), chaque filtre étant lui-même divisé en une partie gauche et une partie droite.

6

Filtre passe-bas gauche

0.
é
2
1
é é

1
2 2
2
1
2 2

1 1 car les capacités de 4.7 F ne doivent pas être prises en compte.

1
Après calculs, il vient :

2 1 2500
1 2500
2 2

dB/déc à partir de la pulsation de cassure (2500 rad/s) tendant vers ∞ rad/s.
Pas de zéros. Un pôle. Il s’agit d’un passe-bas avec une asymptote de pente égale à -20

Pulsation de cassure = 2500 /
Ordre = 1
Type : filtre passe-bas
Fréquence de cassure= 397.887357729738 Hz

Filtre passe-bas droit

1
Selon l’annexe 2 (des notes de cours) :

2500²
3 4 3 4

4 3
3 4
1
4
1
3

2500²
K=1

2500 2500

7

Pas de zéros. 2 pôles complexes conjugués. C’est donc un passe-bas de pente égale à -40
dB/déc à partir de la pulsation de cassure 2500 rad/s.

2500 /
roots([1 2500 2500^2])= -1250 + 2165.0635094611 *i et -1250 - 2165.0635094611*i.

Pulsation de cassure =

Ordre = 2

Type : filtre passe-bas


6
Filtre passe-haut gauche

5
1 2500
5 6

de 0 rad/s (en fait 0 est rejeté à l’ ∞). Pente descend à 0 dB/déc à partir de 2500 rad/s car
Un zéro en 0. Un pôle à la pulsation 2500 rad/s. Asymptote avec une pente +20 dB/déc venant

annulation mutuelle du zéro et du pôle. Il s’agit donc d’un passe-haut.

Pulsation de cassure = 2500

Ordre=1

Type : filtre passe-haut


Filtre passe-haut droit

Selon l’annexe 3 ( des notes de cours) , filtre de type Sallen-Key :

= 2500²

8 7
7 8
1
7
1
8
K=1

8

2500 2500

Un zéro double en 0. 2 pôles complexes conjugués en la pulsation 2500 rad/s. +40 dB/déc à
partir de 0 rad/s. 0 dB/déc à partir de 2500 rad/s car annulation mutuelle du zéro double et des
2 pôles complexes conjugués. C’est donc un passe-haut.

Pulsation de cassure = 2500

Ordre = 2

Type : filtre passe-haut


N.B.* Les fréquences de cassure sont calculées en divisant les pulsations de cassure par 2π.

*Les ordres sont déterminés via le degré du dénominateur.

*Le type de filtre est déterminé par calcul des racines du numérateur et du dénominateur.
Un zéro simple (double) (au numérateur) donne une contribution de +20 dB/déc (+40 dB/déc)
à partir de la pulsation du zéro.

*Un pôle simple (double) (au dénominateur) donne une contribution de -20 dB/déc (-40
dB/déc) à partir de la pulsation du pôle.

5. Explication de l’approximation des filtres (Butterworth,
Chebyshev 1 ou Cauer ?)

Il est intéressant de faire un rappel théorique concernant les différentes approximations
possibles des filtres en expliquant les différences sur l’étude des représentations dans le plan
de Gauss des zéros et des pôles des fonctions de transfert. Voir annexes (2). Plaçons les zéros
et les pôles des fonctions de transfert dans le plan complexe en utilisant la fonction ’zplane‘
de Matlab. On a considéré que l’on multipliait les ensemble (explications dans le point
6) pour obtenir les filtres globaux les pôles et zéros s’ajoutent sur le même graphe.

Filtre passe-haut :

1 2
2500 2500 2500
Code Matlab :

N1=[-1 0] ; D1=[ 1 2500] ; N2=[1 0 0] ; D2=[1 2500 2500²] ;

zplane(N1,D1) ; hold on; zplane (N2,D2);

abs(roots(D1)); abs(roots(D2));
9

On constate qu’on est donc en présence d’une approximation de Butterworth car tous les
pôles sont localisés à gauche de l’axe imaginaire sur un cercle de rayon 2500.
(abs(roots(D1))= 2500 ;abs(roots(D2)) = 2500 , 2500 ) ;

2500 2500²
Filtre passe-bas

3 4
2500 2500 2500

Code Matlab :

N3=[0 -2500] ; D3=[ 1 2500] ;

N4=[0 0 2500²] ; D4=[1 2500 2500²] ;

zplane(N3,D3) ; hold on ; zplane(N4,D4);

abs(roots(D2)); abs(roots(D1));

10

On constate qu’on est donc en présence d’une approximation de Butterworth car tous les
pôles sont localisés à gauche de l’axe imaginaire sur un cercle de rayon 2500.
(abs(roots(D1))= 2500 ;abs(roots(D2)) = 2500 , 2500 ) ;

6. Degré global des filtres passe-haut et passe-bas actifs
de ce Crossover actif à 2 voies.

1 2
Filtre passe-haut

N.B. On peut multiplier les fonctions de transfert en cascade uniquement dans ce cas-ci car on
est en présence de filtres actifs c’est-à-dire des filtres utilisant des amplificateurs
opérationnels. La mise en cascade ne pompe donc pas un courant supplémentaire qui aurait pu
fausser la multiplication des fonctions de transfert. Si on avait mis des filtres passifs en
cascade, on aurait dû utiliser les matrices de chaîne pour calculer la fonction de transfert
globale du filtre passe-haut.

deg(H(p))= deg( H1(p)) + deg(H2(p))

Degré = nombre de pôles ou degré du dénominateur

11

deg(H1(p))=1

deg(H2(p))=2

Degré du filtre passe-haut=3

3 4
Filtre passe-bas

deg(H(p))=deg(H3(p)) + deg (H4(p))

deg(H3(p))=1

deg(H4(p))=2

Degré du filtre passe-bas=3

7. Examen des réponses en fréquence des filtres globaux
passe-haut et passe-bas sous Matlab et vérification de leur
bon fonctionnement

Filtre passe-haut :

N1 = [-1 0] ; D1 = [ 1 2500] ;

1 2
N2 = [1 0 0] ; D2=[1 2500 2500²] ;

1 2

1, 2 ;
1, 2 ;
1 0 0 0 ;
1 5000 12500000 15625000000 ;

On doit obtenir une fréquence de cassure de l’ordre de 400 Hz. On doit donc centrer le w sur
une valeur = 2π400 rad/s= 2513.27412287183 rad/s.

log10(2513.27412287183)= 3.40023985968608 on va centrer autour de 3 : [1,6].

w=logspace(1,6,10000) ;

freqs(N,D,w) ; --pour obtenir la réponse en fréquence du filtre global

12

Filtre passe-bas :

N3=[0 -2500] ; D3=[ 1 2500] ;

3 4
N4=[0 0 2500²] ; D4=[1 2500 2500²] ;

3 4

3, 4 ;
3, 4 ;
0 0 0 15625000000 ;
1 5000 12500000 15625000000 ;

On doit obtenir une fréquence de cassure de l’ordre de 400 Hz.

log10(2513.27412287183)= 3.40023985968608

w=logspace(1,6,10000) ;

freqs(N,D,w) ; --pour obtenir la réponse en fréquence du filtre global

13

Combinaison des 2 filtres

2497.97⁄2 397.564574082
Zoom sur l’intersection des 2 courbes ginput(2) ;

0.738958828675281 2506.84⁄2 398.976500136
ans=2497.97189052758 0.70131419564850

2506.84328356954
. .
.
0.000962108275655247
Moyenne=398.270537109441 Hz Erreur relative =

Conclusion : il y a une erreur relative de 0.09 % par rapport à la fréquence de 397.88 Hz
que nous étions sensés obtenir. Nous avons obtenu une bonne précision.

14

Deuxième partie : conception d’un banc de
filtres actifs

L’objectif de cette seconde partie est de réaliser la synthèse d’un filtre passe-bas d’un
Crossover à 2 voies en définissant nos propres paramètres caractéristiques du filtre.
Cependant, certaines restrictions nous sont imposées : maximum de deux amplis
opérationnels, zone de transition la plus réduite possible, fréquence de cassure entre 300 et
500Hz. Pour réaliser cela, plusieurs étapes ont été nécessaires :

1. Conception des gabarits des filtres

Gabarit du filtre passe-bas :

Nous avons choisi comme spécifications du filtre passe-bas une bande passante allant de 0 à
ωp valant 2*pi*400 = 2513.27 rad/s, un affaiblissement en bande passante Ap égal à 2dB et
une atténuation en bande atténuée As de 60dB. En pulsations normalisées, la valeur de ωp
vaudra 1 (formule de normalisation : p = ω / ωc = ωp / ωp = 1). Le fait de normaliser nous
permettra de manipuler des coefficients de H(p) peu élevés.

Gabarit du filtre passe-bas normalisé :

De la même façon, nous allons établir le gabarit du filtre passe-haut.

15

Gabarit du filtre passe-haut :

Les valeurs des paramètres du passe-haut sont identiques à celles du filtre passe-bas.
Cependant, la normalisation ne s’effectue pas de la même façon. Pour p, cela ne change rien
p = ωc / ω = ωp / ωp = 1, on se ramène à une valeur unitaire malgré le fait que la fraction ait
été inversée par rapport au passe-bas. Mais en ce qui concerne le paramètre s = ωc / ωs , il
sera l’inverse du s du passe-bas. Nous y reviendrons lors de l’approximation analytique des
filtres sous Matlab.

2. Approximations analytiques du filtre passe-bas

Nous allons, dans cette partie, faire correspondre des filtres au modèle que nous nous sommes
fixés au point précédent. Le but sera d’établir une fonction de transfert vérifiant au mieux les
paramètres du gabarit. Sachant que les filtres doivent être au maximum d’ordre 4 étant donné
que nous disposons de 2 amplis opérationnels, nous allons à l’aide de Matlab minimiser la
zone de transition [ p , s ]. Les approximations que nous allons utilisées sont celles de
Butterworth, Chebyshev I et Cauer (voir annexes (2) ). Par approximations successives, nous
réduirons au maximum la zone de transition sans dépasser l’ordre 4 et obtiendrons ainsi la
valeur de s qu’il nous manquait pour définir complètement le gabarit du filtre.

Passe-bas
Butterworth :

Code Matlab :

[N, N] = buttord ( p , s , Ap , As ,’s’);

= buttord (1 , 6.02 ,2 , 60 ,’s’) ;

--> N=4

[A,B]= butter (N, N ,’s’);

Nous obtenons comme fonction de transfert :

16

1.3134
2.7974 3.9128 3.2059 1.3134

*pôles de H(p) : -0.4097+/- 0.9890 i

-0.9890+/- 0.4097 i

*filtre d’ordre 4

* réponse en fréquence :

10

0

-10

-20

-30
dB

-40

-50

-60

-70

-80
-1 0 1
10 10 10
rad/s

Il s’agit bien d’un filtre passe-bas présentant une asymptote à 0 dB pour ω 0 rad/s et une
asymptote tendant vers -∞ en +∞ rad/s. On observe bien une chute de 3 dB à la pulsation de
cassure de 1 rad/s. Mais ce qui est le plus important à remarquer sur ce graphe et qui permet
de vérifier qu’il est bien conforme aux spécifications imposées, est qu’il présente bien une
chute de 58 dB (2 60 dB ) entre 1 et 6.02 rad/s ( intervalle de pulsation normalisée
correspondant à notre zone de transition).

17

*réponse en phase :

Asymptotic and Bode Plot : phase
0

-1

-2

-3
rad

-4

-5

-6

-7
-1 0 1
10 10 10
rad/s

*position des pôles et zéros (il n’y en a pas dans ce cas-ci) :

1

0.8

0.6

0.4
Imaginary Part

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1 -0.5 0 0.5 1
Real Part

18

Nous constatons que les pôles sont bien répartis le long d’un cercle.

Chebyshev I :

Code Matlab :

[N, N] = cheb1ord ( p , s , Ap , As ,’s’);

= cheb1ord (1 , 3.65 ,2 , 60 ,’s’) ;

--> N=4

[A,B]= cheby1 (N , Ap , N ,’s’);

0.1634

0.7162 1.2565 0.5168 0.2058

*pôles de H(p) : -0.1049+/- 0.9580 i
-0.2532+/- 0.3968 i
*filtre d’ordre 4

0

-10

-20

-30

-40
dB

-50

-60

-70

-80

-90

-100
-1 0 1
10 10 10
rad/s

19

De nouveau, nous obtenons bien un filtre passe-bas qui répond parfaitement aux
spécifications imposées. En effet, on observe bien une chute de 58 dB sur une gamme de
pulsation allant de 1 à 3.65 rad/s qui correspond effectivement à notre zone de
transition.

20


0

-1

-2

-3
rad

-4

-5

-6

-7
-1 0 1
10 10 10
rad/s

* position des pôles et zéros (il n’y en a pas non plus) :

1

0.8

0.6

0.4
Imaginary Part

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1 -0.5 0 0.5 1
Real Part

21

Cauer :

Code Matlab :

[N, N] = ellipord ( p , s , Ap , As ,’s’);

= ellipord (1 , 2.25 , 2 , 60 ,’s’) ;

--> N=4

[A,B]= ellip (N , Ap , As , N ,’s’);

0.001 0.0372 0.1821

0.7128 1.2817 0.5366 0.2293
*pôles de H(p) : -0.0951+/- 0.9637 i
-0.2613+/- 0.4197 i
*filtre d’ordre 4

0

-20

-40

-60

-80
dB

-100

-120

-140

-160

-180
-1 0 1 2
10 10 10 10
rad/s

Nous constatons encore plus facilement grâce à une asymptote en +∞ à -60dB que nous
spécifications sont respectées. De plus, le graphe présente 2 anti-résonances correspondant à
deux zéros sur l’axe imaginaire. Ces pics n’ont pas d’importance puisqu’ils sont situés en
bande atténuée.

22


1

0

-1

-2
rad

-3

-4

-5

-6

-7
-1 0 1 2
10 10 10 10
rad/s

* position des pôles et zéros

6

4

2
Imaginary Part

0

-2

-4

-6
-6 -4 -2 0 2 4 6
Real Part

23

Remarque : nous avons réalisé la même démarche pour le filtre passe-haut. Celle-ci est
détaillée dans les annexes (3).

3. Choix du filtre à retenir

Nous avons séléctionné le filtre de Cauer car il présente une zone de transition moins large
que celles de Butterworth et Chebyshev. Cependant, dans l’approximation de Cauer, on peut
observer que la condition de non-distorsion sur la phase n’est pas respectée. Cela n’est pas
important pour le cas qui nous préoccupe car il s’agit d’un signal audio. En effet , l’oreille
humaine est un récepteur quadratique en intensité et est insensible au déphasage sur le signal
entendu. De plus, la distorsion en amplitude se situe en bande atténuée et n’est donc pas un
problème.

4. Synthèse du filtre passe-bas
La fonction de transfert du filtre de Cauer :

0.001 0.0372 0.1821
0.7128 1.2817 0.5366 0.2293

Etant donné que nous construisons notre passe-bas avec deux amplis opérationnels, nous
allons construire deux cellules (un ampli par cellule) présentant chacune une fonction de
transfert avec un dénominateur du second ordre. Notre H(p) global sera ainsi du 4ème ordre au

H H H
dénominateur.

Nous avons donc rassemblé, pour chaque cellule, deux pôles avec deux zéros (et ainsi avoir
du deuxième ordre au dénominateur pour chaque cellule). L’objectif est de maximiser la
dynamique de notre filtre c’est-à-dire construire une première cellule qui ne sature pas la
seconde. Il faut donc que la réponse en fréquence de chaque cellule soit la plus plate possible
dans le domaine de fréquences utiles. Nous allons choisir des pôles qui ont le plus grand
facteur de qualité Q et les associer avec les zéros les plus proches afin d’obtenir la résonance
la plus basse ( « pôles tirant les zéros vers le bas »).

zéros et pôles de Cauer :

zéros : +/- 5.5991 i (A) pôles : -0.0951 +/- 0.9637 i (C)

+/- 2.4104 i (B) -0.2613 +/- 0.4197 i (D)

24

0.968
Les pôles qui ont le plus grand Q : pôles (C)

Q 5.09
0.19

pôles (D)

0.494
Q 0.94
0.522
On va donc associer les pôles (C) avec les zéros les plus proches (B). Nous obtenons alors
comme fonction de transfert : (remarque : nous avons calculé ces fonctions à partir du ‘format
long’ de Matlab afin d’obtenir la plus grande précision. En rédigeant, nous avons arrondi les
valeurs mais dans les calculs qui suivront nous avons conservé un maximum de chiffres après
la virgule).

2.4104 2.4104
0.0951 0.9637 0.0951 0.9637

,
Code Matlab:

,

où - poly permet d’obtenir un polynôme des zéros et des pôles

5.8102
- conv réalise la multiplication des polynômes

0.1901 0.9378
De même,

,
Code Matlab:

,

31.3499
0.5226 0.2445

25

Il ne faut pas oublier les constantes et associées à chaque cellule. Leur produit doit
valoir la constante globale de et le gain de chaque cellule doit être similaire dans les
domaines de fréquences utiles.

5.8102
0.1901 0.9378

31.3499
0.5226 0.2445

Pour trouver les gains, il suffit de calculer ce que valent les fonctions de transfert en
On sait que avec et similaires

bande passante c’est-à-dire à ω = 0 rad/s:

0 5.8102
0.9378

0 31.3499
0.2445

0 0.1821
0.2293
Après calculs, on trouve =0.143857 et =0.006951

et
Après avoir remplacé et dans l’expression des fonctions de transfert, nous obtenons
bien que qui est la preuve que les valeurs de sont correctes.

Ordre des cellules

Nous allons placer l’ampli qui a le plus petit facteur de qualité c’est-à-dire la plus petite

.
résonance comme premier ampli opérationnel afin de ne pas saturer l’ampli suivant.

Q de = 5.094 et Q de = 0.944 sera placé devant

Choix du type des cellules

ω est le réjecteur de fréquence de Sallen-Key. Nous avons
Nous remarquons que la seule cellule disponible dans le catalogue de filtres qui ait un
numérateur du type
également Q<5 (quasiment pour ).

26

Calcul des éléments des cellules

calculées précédemment( , ,
Nous allons déterminer les valeurs des composants à l’aide de ‘Second Order Active Filters’.
Nous rentrons pour certains composants des valeurs fixées par les fonctions de transfert
. Par contre, les valeurs des capacités sont fixées
arbitrairement et initialisées dans un premier temps à 1F. Ensuite par tatônnement, nous
essayons de régler ces capacités afin de faire correspondre les et que nous avons
calculés avec l’output du logiciel. Le but est d’obtenir des valeurs de composants ayant des
ordres de grandeur similaires car nous devrons par la suite dénormaliser et aller chercher ces
composants dans le catalogue Farnell.
Fonction de transfert Fonction de transfert

ω √31.3499 = 5.5991 rad/s
Input :

ω √5.8102 = 2.4104 rad/s
Input :

. .
. .
= 0.8911 Hz

ω ω √0.2445 = 0.4945 rad/s
= 0.3836 Hz

√0.9378 = 0.9684 rad/s
. .
. .

1 Ω (fixé abitrairement) 1 Ω (fixé abitrairement)
= 0.1541 Hz = 0.0786Hz

0.1901 0.5226
* *

* *

. .
. .
= 5.0947 = 0.9445

. .
* doit respecter la condition : * doit respecter la condition :

| | | |
1 1

0.0000958 0.000012437
Output : Output :

0.00105 0.001

0.001 0.001

0.001 0.1

1002.16 Ω 1139.48 Ω

1956.59 Ω 2278.95 Ω

578.388 Ω 750.318 Ω

2959.88 Ω 54.8326 Ω

0.782665 Ω 55.5965 Ω

27

Les et sont respectivement égaux à 0.14385 et 0.00695158 ce qui est très proche des
valeurs théoriques. Les indices utilisés pour les résistances et les capacités sont ceux
prédéfinis dans ‘Second Order Active Filters’.

5. Vérification des réponses sous Multisim
Circuit associé à la fonction de transfert
R3 R6

1 782.665m

R1 R2 U1

1.00216k 1.95659k XBP1
C1 C2

V2 OPAMP_3T_VIRTUAL IN OUT
95.8uF 1.05mF
1 Vpk IC=0V IC=0V R4
1kHz R5 C3 C4 2.95988k
0Deg 578.388 1mF 1mF
IC=0V IC=0V

Réponse en fréquence associée au circuit (tous les fichiers multisim sont dans le zip « Multisim »)

Remarque : l’axe des ordonnées est gradué
en dB (gain) et l’axe des abscisses en Hz
Caractéristiques de la réponse : (fréquence)

*une courbe chutant à environ 100 kHz *une asymptote pour ω 0 rad/s de -
provenant de la saturation de l’ampli 0.997 dB

* une asymptote pour ω +∞ rad/s de - *une résonance en 154.369 mHz de
16.844 dB (juste avant la saturation dans 11.6dB. Nous retombons presque sur la

10 . / 4.5 . Erreur dûe aux arrondis.
ce cas-ci) valeur du Q calculée précédemment valant
5 (nous obtenons ici une valeur de
*une anti-résonance en 380.943mHz
tendant vers -∞ (zéro sur l’axe imaginaire)

28

Circuit associé à la fonction de transfert

R9 R12

1 55.5965

R7 R8 U2

1.13948k 2.27895k
XBP2
C5 C6

V3 OPAMP_3T_VIRTUAL
12.437uF 1mF IN OUT
1 Vpk IC=0V IC=0V
1kHz R11 C7 C8 R10
0Deg 750.318 1mF 100mF 54.8326
IC=0V IC=0V

Réponse en fréquence associée au circuit

(fréquence)

Caractéristiques de la réponse :
*une asymptote pour ω 0 rad/s de -
0.972 dB
*pas de résonance, ce qui correspond à nos
prédictions théoriques (Q= 0.944 < 1)
*une anti-résonance en 890.123mHz
tendant vers -∞ (zéro sur l’axe imaginaire)
* une asymptote pour ω +∞ rad/s de -
43.161 dB (juste avant la saturation dans
ce cas-ci)
*une courbe chutant à environ 20 kHz
provenant de la saturation de l’ampli
* fréquence de cassure = 66.742mHz

29

Circuit associé à la fonction de transfert globale


(fréquence)

Caractéristiques de la réponse :
*une asymptote pour ω 0 rad/s de -
1.972 dB
*fréquence de cassure = 149.908 mHz *2 anti-résonances en 380.9mHz et 890.1
mHz tendant vers -∞
* une asymptote pour ω +∞ rad/s à -
60.005 dB (avant la saturation)
*une courbe chutant à environ 20kHz
provenant de la saturation de l’ampli

Conclusion : le filtre répond parfaitement au cahier des charges imposé. En effet, la
courbe d’affaiblissement en bande passante vaut bien -2 dB (≈ -1.972 dB) et
l’atténuation en bande atténuée est de -60dB (≈-60.005 dB).

30

6. Calcul de la sensibilité de ωp par rapport à R

R

de n %, combien de m %, ω varie-t-il ? ». La
La sensibilité (théorique ) de ωp par rapport à : répond à la

question suivante : « Si on modifie
sensibilité peut donc également être calculée par le rapport m/n (expérimental).

R
1 1 R
ω
R . . . C
1 C

. .
K=

/
S=K* = -0.5

578.388 Ω 636.2268 Ω ), ω varie de 4.9% ( 0.9684
Vérifications :

rad/s 0.9232 /
Si varie de 10%

peut retrouver le signe en constatant que ω diminue de 4.9%). De même, si
m/n = 4.9 / 10 = 0.49 qui est la valeur de S en valeur absolue ( on

ω varie de 9.5% 9.5/20 = 0.48 qui est très proche de 0.5.
varie de 20%,

7. Dénormalisation en fréquence et en impédance

normalisation ω .
On dénormalise le filtre en fréquence en divisant les capacités par la pulsation de

ω =2 400 2513 .274 /


La réponse est exactement la même du
point de vue des amplitudes mais le
graphe a subi un glissement au niveau
des fréquences. Nous obtenons une
fréquence de cassure de 401.997 Hz
alors que nous devions obtenir 400 Hz.
Le petit écart provient des arrondis
successifs et de la précision du curseur.

31

Pour obtenir des valeurs de résistances et de capacités ayant des valeurs classiques c’est-à-dire

10 et diviser les capacités par ce même . La fonction de transfert ne s’en trouve
facilement trouvables dans le catalogue Farnell, nous allons multiplier les résistances par

pas modifiée. Nous obtenons alors comme valeurs de R et C pour les deux filtres.

Remarque : les indices sont ceux de Multisim.

3.8118 10 494.85 10
Fonction de transfert Fonction de transfert

41.778 10 39.789 10

39.789 10 39.789 10

39.789 10 3.9789 10

10.0216 Ω 11.3948 Ω

19.5659 Ω 22.7895Ω

10 Ω 10 Ω

29.5988 Ω 548.326 Ω

5.78388 Ω 7.50318 Ω

7.82665 Ω 555.965 Ω

Nous remarquons, comme nous l’avions prédit, que la réponse est identique :

32

8. Utilisation de composants normalisés et estimation du
prix du filtre
En consultant le catalogue Farnell, nous avons essayé d’approcher au mieux les valeurs
théoriques des différents composants. Pour ce faire, nous avons mis la majorité des
composants en série. Pourquoi ne pas avoir mis les capacités en parallèle ? La précision de la
mise en parallèle est limitée à la précision de la capacité la plus petite disponible (0.1 µF
nous devions être plus précis). De plus, cela nous a permis de n’utiliser que deux capacités en
série pour se ramener à notre valeur théorique et ainsi réduire le coût du filtre. Enfin, utiliser
plus de deux capacités pour augmenter la précision peut avoir l’effet inverse : les erreurs
relatives vont s’additionner.

Capacités : Résistances :

C1 en série 4.7 µF (0.68€) avec 20 R1 10 (0.041 €)
µF(1.04€) C1=3.8057 µF
R2 19.6 (0.43€)
C2 en série 200 µF (1.28€) avec 52 µF (4.84€) : C2=
41.2698 µF R3 et R9 0.01 (0.73€)

C3 et C4 et C6 en série 180 µF (3.52€) avec 50 µF R4 en série 29.4 (0.43€ )et 0.2 (0.43€)
(3.49€) : C3/C4/C6= 39.1304 µF R4=29.6

C5 en série 640nF (provenant de la mise en // de R5 en série 5.76 (0.43€ )et 0.02 (0.36€)
2*100 nF et 2*220 nF) (2.28€) avec 1500nF (0.54€), le R5=5.78
tout placé en // avec 47 nF (2.60€) : C5= 495.4981 nF
R6 en série 7.5 (0.43€ )et 0.3 (1.92€)
C8 en série 20mF (1.04€) avec 5mF(1.29€) : R6=7.8
C8=4mF R7 11.5 (0.43€ )

R8 en série 22.6 (0.43€ )et 0.15 (0.43€)
R8=22.75

R10 549 (0.43€ )

R11 7.5 (0.078€ )

R12 en série 549 (0.43€ )et 7 (2.18€)
R12=556

Conclusion : nous constatons en comparant les deux réponses que notre fréquence de
cassure est quasi identique (+/- 5Hz). Notre zone atténuée est toujours à -60.1 dB et
notre bande passante vaut -1.89dB réponse presque identique. Prix du filtre = 47€.

33

Conclusion
Après avoir conçu notre propre banc de filtres actifs, nous nous
rendons compte qu’obtenir un filtre répondant exactement aux
spécifications imposées est très compliqué. La moindre erreur de
précision se répercute immédiatement sur la position de notre
fréquence de cassure. De plus, le fait d’utiliser des composants réels
fait perdre également de la précision. Par ailleurs, être plus précis se
solde par une augmentation du nombre de composants utilisés et par
conséquent du prix du filtre. Cependant, le crossover obtenu répond
relativement bien au gabarit que nous nous étions fixés.

34

Bibliographie
Ce projet a été réalisé sur base :

* des notes de cours « THEORIE DES CIRCUITS » par T. DUTOIT et B.
GOSSELIN, 2006, Editions des Etudiants de la Faculté Polytechnique de Mons.

* du protocole de laboratoire « MINI-PROJET - CONCEPTION D’UN
BANC DE FILTRES POUR HAUT-PARLEURS MULTIVOIES
BIAMPLIFIES » par S. DEVUYST, 2008.

* des notes de cours « INTRODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTRES
ACTIFS » par T. DUTOIT, 2000, Editions des Etudiants de la Faculté
Polytechnique de Mons.

35

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