Makalah ini membahas tentang Riset Operasi dan beberapa metode yang digunakan dalam Riset Operasi seperti metode grafik, metode operasi baris elementer, metode simpleks, dan metode dual simpleks. Makalah ini bertujuan untuk menambah pengetahuan mahasiswa dalam mempelajari Riset Operasi."

1. KATA PENGANTAR
Segala puji saya panjatkan kehadirat
Allah SWT. Yang telah berkenan
memberi petunjuk dan kekuatan kepada saya membuat makalah, “Riset Operasi”.
Makalah ini disusun dan dibuat berdasarkan materi–materi yang ada. Materi–
materi bertujuan agar dapat menambah pengetahuan dan wawasan mahasiswa dalam
belajar Riset Operasi. Mudah-mudahan dengan mempelajari makalahini, para
mahasiswa akan mampu menghadapi masalah-masalah atau kesulitan-kesulitan yang
timbul dalam belajar Riset Operasi. Dan dengan harapan semoga mahasiswa mampu
berinovasi dan berkreasi dengan potensi yang dimiliki. Semoga Allah memberkahi
makalah ini sehingga benar-benar bermanfaat. Aamiin.
Batam, Juni 2013
Penulis
1

2. DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ................................................................................................. 1
DAFTAR ISI ................................................................................................................ 2
SOAL DAN JAWABAN ............................................................................................. 3
1.
Metode Grafik .................................................................................................. 3
2.
Metode Operasi Baris Elementer (OBE) ....................................................... 9
3.
Metode Simpleks ............................................................................................ 10
4.
Metode Dua Fase ( Two Phase methode ) ..................................................... 22
5.
Metode Primal Dual atau Metode Dual Simpleks ....................................... 24
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................ 28
2

3. SOAL DAN JAWABAN
1. Metode Grafik
Maksimisasidapatberupamemaksimalkankeuntunganatauhasil.
PT.TEKSTILMAJUmemiliki sebuahpabrikyangakanmemproduksi 2 jenis
produk, yaitu kain sutera dan kain wol.
Untuk memproduksi kedua
produk diperlukan bahan bakubenang sutera,bahanbakubenang woldan
tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60kg perhari,
benangwol30kg
perharidantenagakerja40jamperhari.Kebutuhansetiap
unitprodukakanbahanbakudanjamtenagakerjadapatdilihatdalamtabel
berikut:
Jenisbahanbaku
Kgbahanbaku&Jamtenagakerja
Maksimum
dantenagakerja
Kainsutera
penyediaan
Kainwol
Benangsutera
2
3
60kg
Benangwol
-
2
30kg
Tenagakerja
2
1
40jam
Keduajenisprodukmemberikan keuntungansebesarRp40jutauntukkain sutera dan
Rp
30
juta
untuk
kain
wol.
Masalahnya
adalah
bagaimana
menentukanjumlahunitsetiapjenisprodukyangakandiproduksisetiaphari
agarkeuntunganyangdiperolehbisamaksimal.
Langkah-langkah:
1) Tentukanvariabel
X1=kainsutera
X2=kainwol
2) Fungsitujuan
Zmax=40X1+30X2
3) Fungsikendala/batasan
1. 2X1+3X2≤60(benangsutera)
3

4. 2X2 ≤30(benangwol)
2.
3. 2X1+ X2 ≤ 40(tenagakerja)
4) Membuatgrafik
1. 2X1+3X2=60
X1=0, X2=60/3=20
X2=0, X1=60/2=30
2. 2X2≤ 30
X2=15
3. 2X1+X2≤40
X1=0, X2=40
X2=0, X1=40/2=20
Caramendapatkansolusioptimal:
1.DenganmencarinilaiZsetiaptitik ekstrim.
TitikA
X1=0,X2=0
masukkannilaiX1danX2keZ
Z= 40.0+30.0=0
TitikB
4

5. X1=20,X2=0
masukkannilaiX1danX2keZ
Z= 40.20+30.0=800
TitikC
Mencarititikpotong(1)dan(3)
2X1+3X2=60
2X1+X2 =40
2X2=20X2=10
MasukkanX2kekendala(1)
2X1+3X2=60
2X1+3.10=60
2X1+30=60
2X1=30X1=15
masukkannilaiX1danX2keZ
40X1+30X2=40.15+30.10=600+300=900 (optimal)
TitikD
2X2=30
X2=15
masukkanX2kekendala(1)
2X1+3.15=60
2X1+45=60
2X1=15X1=7,5
masukkannilaiX1danX2keZ
Z= 40.7,5+ 30.15= 300+450=750
TitikE
X2=15
5

6. X1=0
masukkannilaiX1danX2keZ
Z=
40.0+30.15=450
Kesimpulan:
untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan
keuntungansebesarRp900juta.
2.Dengancaramenggeser garis fungsi tujuan.
Solusioptimalakantercapaipadasaatgarisfungsitujuanmenyinggung
feasible(daerahyangdiliputiolehsemuakendala)yangterjauh
daerah
darititikorigin.
Padagambar,solusioptimaltercapaipadatitikCyaitupersilangangariskendala
(1)dan(3).
TitikC
Mencarititikpotong(1)dan(3)
2X1+3X2=60
2X1+X2 =40
2X2=20
X2=10
MasukkanX2kekendala(1)
2X1+3X2=60
2X1+3.10=60
2X1+30=60
2X1=30X1=15
masukkannilaiX1danX2keZ
40X1+30X2=40.15+30.10=600+300=900
6

7. Minimisasidapat
berupameminimumkanbiayaproduksi.Solusioptimaltercapai
padasaatgarisfungsitujuanmenyinggungdaerahfasibleyangterdekatdengan
titikorigin.
PerusahaanmakananROYAL
KINGmerencanakanuntukmembuatdua
jenis makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan
tersebut
mengandung
vitamindanprotein.RoyalBeepalingsedikitdiproduksi2 unitdanRoyalJelly
palingsedikitdiproduksi1unit.Tabelberikutmenunjukkanjumlahvitaminda
nproteindalamsetiapjenismakanan:
Jenismakanan
Vitamin (unit) Protein(unit) Biayaperunit
RoyalBee
2
2
RoyalJelly
1
3
minimumkebutuhan
8
(riburupiah)
100
12
80
Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan
Biayaproduksi. Langkah–langkah:
1. Tentukanvariabel
X1=RoyalBee
X2=RoyalJelly
2. Fungsitujuan
Zmin=100X1+80X2
3. Fungsikendala
1) 2X1+X2≥ 8
(vitamin)
2) 2X1+3X2≥12
(protein)
3) X1≥2
4) X2≥1
4. Membuatgrafik
1) 2X1+X2=8
7

8. X1=0, X2=8
X2=0, X1=4
2) 2X1+3X2=12
X1=0, X2=4
X2=0, X1=6
3) X1=2
4) X2=1
Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat
dengan titik origin), yaitu
persilangangariskendala(1)dan(2).
2X1+ X2= 8
2X1+3X2=12
-2X2=-4X2=2
masukkanX2kekendala (1)
2X1+X2=8
2X1+2=8
2X1=6
X1=3
masukkannilaiX1danX2keZ
Zmin=100X1+80X2=100.3+80.2=300+ 160=460
8

9. Kesimpulan:
Untukmeminimumkanbiayaproduksi,makaX1=
3danX2=2denganbiaya
produksi460riburupiah.
2. Metode Operasi Baris Elementer (OBE)
Ibu Ratih menjual jajanan 3 macam, yaitu risoles, pisang goreng dan bakwan.
Untuk menjual jajanan, diperlukan proses pembungkusan, pengumpulan dan
penyajian. Dengan rincian sebagai berikut.
Proses
Risoles
Pisang
Bakwan
Kapasitas
Goreng
Pembungkusan
1
2
1
0
Pengumpulan
3
8
7
8
Penyajian
2
7
9
15
Penyelesaian:
x + 2y + z = 0
3x + 8y + 7z = 8
2x + 7y + 9z = 15
Dapat ditulis secara matriks A3x3 X3x1 = B3x1, dengan
Matriks lengkap dari atas adalah
Untuk menyelesaikannya, dilakukan dengan membuat koefisien x pada
persamaan-2 dan persamaan-3 menjadi nol atau unsur a21 dan a31 adalah nol.
Untuk dilakukan operasi baris berikut:
9

10. Matriks terakhir merupakan matriks lengkap dari atas adalah
x + 2y + z = 0
y + 2z = 4
z = 3.
Substitusi z=3 ke persamaan-2 didapat y + 2 . 3 = 4 sehingga y = -2.
Dengan mensubstitusikan z=3 dan y=-2 ke persamaan-1 diperoleh
x + 2 . (-2) + 3 = 0 sehingga x = 1.
HS = {(1,-2,3)}.
3. Metode Simpleks
1. Ibu Sari membuat 3 jenis kue. Harga jual kue tersebut yaitu 8, 9 dan 4
rupiah per kue. Sebut saja kuenya kue Lapis, Nagasari, dan Putu.
Kebutuhan proses produksiuntuk ketiga kue tersebut dapat ditabelkan
sebagai berikut:
KEPERLUAN
LAPIS
NAGASARI
PUTU
Bahan baku
1
1
2
Tenaga kerja
2
3
4
Lainnya
7
6
2
Kapasitas yang tersedia untuk bahan baku = 2 (satuan), tenaga kerja = 3 (satuan),
dan lainnya = 8 (satuan).
Tentukan formulasi dan solusinya?
10

11. Maksimum z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3
Kendala :
x1 + x2 + 2x3 ≤ 2
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 3
7x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8
x1,x2,x3 ≥ 0
Penyelesaian :
Bentuk bakunya adalah :
Maksimum Z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3 + 0S1 + 0S2 + 0S3
Kendala :
x1 + x2 + 2x3 + s1 = 2
2x1 + 3x2 + 4x3 + s2 = 3
7x1 + 6x2 + 2x3 + s3 = 8
Solusi/table awal simpleks :
Var
Cj
X2
X3
S1
S2
S3
8
Dasar
X1
9
4
0
0
Kuantitas
0
S1
0
1
1
2
1
0
0
2
S2
0
2
3
4
0
1
0
3
S3
0
7
6
2
0
0
1
8
Zj
0
0
0
0
0
0
0
Zj -
-8
-9
-4
0
0
0
Cj
Karena nilai negative terkecil ada pada kolom X2, maka kolom X2 adalah kolom
pivot dan X2 adalah variabel masuk. Rasio pembagian nilai kanan dengan kolom
pivot terkecil adalah 1 bersesuaian dengan baris s2, maka baris s2 adalah baris
pivot dan s2 adalah varisbel keluar. Elemen pivot adalah 3.
Var
Dasar
Cj
X1
X2
X3
S1
S2
S3
8
9
4
0
0
Kuantitas Rasio
0
11

12. S1
0
1
1
2
1
0
0
2
2/1=2
S2
0
2
3
4
0
1
0
3
3/3=1
S3
0
7
6
2
0
0
1
8
8/6=4/3
Zj
0
0
0
0
0
0
0
Zj -
-8
-9
-4
0
0
0
Cj
Iterasi 1
Nilai pertama yang kita miliki adalah nilai baris pivot baru (baris x2). Semua nilai
pada baris s2 pada tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen pivot).
Var
Cj
X1
S1
S3
S2
S3
9
4
0
0
0
2/3
9
S1
3/3
4/3
0/3
1/3
0/3
Kuantitas
0
X2
X3
8
Dasar
X2
0
3/3
Zj
Zj - Cj
Perhitungan nilai baris baru yang lainnya :
Baris s1 :
1
1
2
1
0
0
2
1 (2/3
1
4/3
0
1/3
0
1)-
1/3
0
2/3
1
-1/3
0
1
6
2
0
0
1
8
1
4/3
0
1/3
0
1)-
0
-6
0
-2
1
2
Baris s3 :
7
6 ( 2/3
3
Maka tabel iterasi 1 ditunjukkan tabel di bawah. Selanjutnya kita periksa apakah
tabel sudah optimal atau belum. Karena nilai baris z di bawah variabel x 1 masih
negatif, maka tabel belum optimal. Kolom dan baris pivotnya ditandai pada tabel
di bawah ini :
12

13. Var
Cj
X1
X3
S1
S2
S3
8
Dasar
X2
9
4
0
0
Kuantitas
0
S1
0
1/3
0
2/3
1
-1/3
0
2
X2
9
2/3
1
4/3
0
1/3
0
3
S3
0
3
0
-6
0
-2
1
8
Zj
6
9
12
0
3
0
27
Zj - Cj
-2
0
8
0
3
0
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
NK
Rasio
Z
-2
0
8
0
3
0
9
-
S1
1/3
0
2/3
1
-1/3
0
1
3
X2
2/3
1
4/3
0
1/3
0
1
3/2
S3
3
0
-6
0
-2
1
2
2/3
Iterasi 2 :
Var
Cj
X2
X3
S1
S2
S3
8
Dasar
X1
9
4
0
0
Kuantitas Rasio
0
S1
0
1/3
0
2/3
1
-1/3
0
2
3
X2
9
2/3
1
4/3
0
1/3
0
3
3/2
S3
0
3
0
-6
0
-2
1
8
2/3
Zj
6
9
12
0
3
0
27
0
8
0
3
0
Zj - Cj -2
Variabel masuk dengan demikian adalah X1 dan variabel keluar adalah S3 . Hasil
Iterasi ke 2 sbb:
Var
Cj
X2
X3
S1
S2
S3
8
Dasar
X1
9
4
0
0
Kuantitas Rasio
0
S1
0
0
0
4/3
1
-1/9
-1/9
7/9
3
X2
9
0
1
8/3
0
7/9
-2/9
5/9
3/2
13

14. X1
8
1
0
-2
0
-2/3
1/3
2/3
Zj
8
9
8
0
5/3
2/3
31/3
Zj -
0
0
4
0
5/3
2/3
2/3
Cj
Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan !
2. Perusahaan “Maju Terus” menghadapi fungsi tujuan : Z = 50x1 + 20x2 +
30x3, dengan kendala-kendala :
2x1 + 3x2 ≤ 1000
3x1 + 2x3 ≤ 2100
x2 + 5x3 ≤ 1500
x1, x2, x3 ≥ 0
Tentukan tingkat produksi yang harus dilakukan agar Z maksimum!
Untuk menyelesaikan masalah di atas dilakukan langkah-langkah dibawah ini :
1. Pada fungsi tujuan, pindahkan seluruh variabel ke ruas kiri.
Contoh :
Z = 50x1 + 20x2 + 30x3
Sehingga :
Z - 50x1 - 20x2 - 30x3 = 0
2. Untuk fungsi kendala, tambahkan variabel antara (slack variabel) disetiap
fungsi kendala secara berurutan dan ubah tanda ≥ dan ≤ menjadi = .
Contoh :
Kendala :
2x1 + 3x2 ≤ 1000
3x1 + 2x3 ≤ 2100
x2 + 5x3 ≤ 1500
sehingga :
2x1 + 3x2 + x4 = 1000
3x1 + 2x3 + x5 = 2100
x2 + 5x3 + x6 = 1500
14

15. 3. Masukkan setiap koefisien variabel ke dalam tabel simplex.
Sehingga :
Variabel Dasar
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Nilai Kanan
Z
1
-50
-20
-30
0
0
0
0
x4
0
2
3
0
1
0
0
1000
x5
0
3
0
2
0
1
0
2100
x6
0
0
1
5
0
0
1
1500
4. Tentukan kolom kunci dengan mengidentifikasi nilai negatif yang terbesar
pada baris tujuan (baris Z).
Pada contoh di atas nilai negatif yang tebesar adalah -50 pada kolom x1.
Sehingga :
Variabel Dasar
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Nilai Kanan
Z
1
-50
-20
-30
0
0
0
0
x4
0
2
3
0
1
0
0
1000
x5
0
3
0
2
0
1
0
2100
x6
0
0
1
5
0
0
1
1500
↓
Kolom kunci
5. Tentukan baris kunci dengan membagi nilai kanan dengan setiap angka pada
kolom kunci. Carilah nilai positif yang terkecil.
Jadi nilai terkecil adalah 500, sehingga baris kuncinya ada pada x4.
Variabel Dasar
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Nilai Kanan
15

16. Z
1
-50 -20 -30
0
0
0
0
x4
0
2
3
0
1
0
0
1000
x5
0
3
0
2
0
1
0
2100
x6
0
0
1
5
0
0
1
1500
→ baris kunci
↓
Kolom kunci
Angka kunci = 2
6. Karena nilai kunci berada pada kolom x1, maka baris x4 kita ubah namanya
menjadi x1, dan nilai-nilai pada baris x4 kita ubah pula dengan cara
membagi nilai baris dengan angka kunci.
Sehingga :
kolom x 1
kolom x 2
kolom x 3
kolom x 4
kolom x 5
kolom x 6
NK
2
1
2
3
1, 5
2
0
0
2
1
0 ,5
2
0
0
2
0
0
2
1000
50 0
2
Maka kita mendapat nilai baris kunci yang baru (baris x1) :
Variabel Dasar
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Nilai
16

17. Kanan
Z
1
x1
0
x5
0
x6
0
1
1,5
0
0,5
0
0
500
7. Untuk mengisi nilai setiap sel, gunakan rumus :
Baris baru : baris lama – (angka kolom kunci X nilai baru baris kunci)
Misalnya :
Pada baris Z lama :
Variabel Dasar
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Z
1
-50
-20
-30
0
0
0
Nilai
Kanan
0
x1
x5
x6
↓
Kolom kunci
Angka kolom kunci = -50
Sedangkan baris kunci yang baru :
Variabel Dasar
Z
Z
0
x5
0
x6
x2
x3
x4
x5
x6
1
1,5
0
0,5
0
0
Nilai
1
x1
x1
0
Kanan
500
Sehingga baris Z yang baru :
x1 = (-50) – ((-50) X 1) = -50 + 50 = 0
x2 = (-20) – ((-50) X 1,5) = 55
x3 = (-30) –((-50) X 0) = -30
17

18. x4 = 0 – ((-50) X 0,5) = 25
x5 = 0 – ((-50) X 0) = 0
x6 = 0 – ((-50) X 0) = 0
Nilai kanan baru = 0 – ((-50) X 500) = 25000
Untuk baris x5, angka kolom kuncinya adalah 3. Sehingga baris x5 baru :
x1 = 3 – (3 X 1) = 0
x2 = 0 – (3 X 1,5) = -4,5
x3 = 2 – (3 X 0) = 2
x4 = 0 – (3 X 0,5) = -1,5
x5 = 1 – (3 X 0) = 1
x6 = 0 – (3 X 0) = 0
Nilai kanan baru = 2100 – (3 X 500) = 600
Untuk baris x6, angka kolom kuncinya adalah 0. Sehingga baris x6 baru :
x1 = 0 – (0 X 1) = 0
x2 = 1 – (0 X 1,5) = 1
x3 = 5 – (0 X 0) = 5
x4 = 0 – (0 X 0,5) = 0
x5 = 0 – (0 X 0) = 0
x6 = 1 – (0 X 0) = 1
Nilai kanan baru = 1500 – (0 X 500) = 1500
8. Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simplex yang baru.
Variabel Dasar
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Nilai Kanan
Z
1
0
55
-30
25
0
0
25000
x1
0
1
1,5
0
0,5
0
0
500
x5
0
0
-4,5
2
-1,5
1
0
600
x6
0
0
1
5
0
0
1
1500
9. Perhatikan kembali tabel di atas, bila pada baris Z masih ada variabel yang
bernilai negatif, maka fungsi tujuan belum maksimal. Sehingga untuk
18

19. menghilangkan nilai negatif kita ulangi lagi langkah-langkah sebelumnya.
Ini kita lakukan terus-menerus hingga tiada variabel Z yang negatif.
Variabel
Nilai
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Z
1
0
55
-30
25
0
0
25000
x1
0
1
1,5
0
0,5
0
0
500
x5
0
0
-4,5
2
1
0
600
x6
0
0
1
5
0
1
1500
Dasar
1,5
0
↓
Kanan
→ baris kunci
Kolom kunci
Angka kunci = 5
Menentukan baris kunci :
Nilai baris kunci yang baru (x3) dihitung dengan membagi semua angka baris
kunci dengan angka kunci.
Baris x3 baru :
19

20. kolom x 1
kolom x 2
kolom x 3
kolom x 4
kolom x 5
kolom x 6
1
0,2
5
1
5
1
5
0
0
5
0
0
5
1
0,2
5
1500
NK
0,2
5
30 0
5
kolom x 5
kolom x 6
1500
NK
0
0
5
1
0,2
5
30 0
5
Nilai baris kunci yang baru :
Variabel
Dasar
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Nilai
Kanan
Z
x1
x5
20

21. x3
0
0,2
0,2
1
0
0
0,2
300
Baris Z lama :
0
55
-30
25
0
0
25000
↓
Angka kolom kunci = -30
Baris Z baru :
6
61
0
25
0
6
34000
1
1,5
0
0,5
0
0
500
Baris x1 lama :
↓
Angka kolom kunci = 0
Baris x1 baru :
1
1,5
0
0,5
0
0
500
0
-4,5
2
-1,5
1
0
600
1
-0,4
0
Baris x5 lama :
↓
Angka kolom kunci = 2
Baris x5 baru :
-0,4 -4,9
0
-1,5
Sehingga tabel simplex yang baru :
Variabel
Nilai
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Z
1
6
61
0
25
0
6
34000
x1
0
1
1,5
0
0,5
0
0
500
Dasar
Kanan
21

22. x5
0
-0,4
-4,9
0
-1,5
1
-0,4
0
x3
0
0,2
0,2
1
0
0
0,2
300
Perhatikan tabel di atas! Karena seluruh variabel pada fungsi Z sudah bernilai
positif, maka fungsi kita sudah maksimal.
Sehingga dapat kita simpulkan bahwa untuk memperoleh hasil maksimum,
perusahaan harus memproduksi :
x1 = 500 unit
x2 = 0
x3 = 300 unit
Z = 50 x1 + 20 x2 + 30 x3
Z = 50(500) + 20(0) + 30(300)
Z = 34000
4. Metode Dua Fase ( Two Phase methode )
Sebuah butik Princess menjual berbagai macam busana muslim diantaranya,
yaitu kerudung, baju dan batik. Dengan harga 30 ribu, 40 ribu dan 60 ribu
rupiah per unit. Untuk menjual busana muslim, diperlukan proses
pembungkusan, pengumpulan dan pengiriman. Dengan rincian sebagai berikut.
Proses
Kerudung
Baju
Batik
Kapasitas
Pembungkusan
4
5
6
60000
Pengumpulan
4
6
8
75000
Pengiriman
2
5
5
45000
Penyelesaian:
Fungsi Tujuan : Maksimum : Z = 30x1 + 40x2+ 60x3
Fungsi Batasan :
4 x1
5 x2
6 x3
60 . 000
4 x1
6 x2
8x
3
75 . 000
2 x1
5 x2
5x
3
45 . 000
22

23. Dan semua variabel tidak negatif
Jawab :
Z -30 x1 - 40x2 -60 x3 +0 x4+0 x5+0 x6
Fungsi Batasan :
4 x1
5 x2
6 x3
x4
60 . 000
4 x1
6 x2
8x
3
x5
75 . 000
2 x1
5 x2
5x
3
x6
45 . 000
X1
X2
X3
X4
X5
X4
4
5
6
1
0
0
60000
10000
X5
4
6
8
0
1
0
75000
9375
X6
2
5
5*
0
0
1
45000
9000
-30
-40
-60
0
0
0
0
0
X1
X2
X3
X4
X4
6/5
-1
0
1
0
-6/5
60000
6000
X5
4/5*
-2
0
0
1
-8/5
3000
3750
X3
2/5
1
1
0
0
1/5
9000
22500
-6
20
0
0
0
12
540000
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
6/5
-1
0
1
0
-6/5
60000
6000
X1
1
-5/2
0
0
5/4
-2
3750
3750
X3
2/5
1
1
0
0
1/5
9000
22500
-6
20
0
0
0
12
540000
X5
X6
X6
23

24. X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
2
0
1
-3/2
6/5
1500
X1
1
-5/2
0
0
5/4
-2
3750
X3
0
2
0
0
-1/2
1
7500
0
5
0
0
36/4
0
562500
Nilai pada tabel optimal , adalah :
X1= 3750 , X3= 7500, dengan Z maksimum = 562.500
5. Metode Primal Dualatau Metode Dual Simpleks
Metode dual simpleks digunakan jika tabel optimal tidak layak.
Jika
fungsi kendala ada yang menggunakan pertidaksamaan ≥ dan tidak ada =
dalam bentuk umum PL, maka metode dual simpleks dapat digunakan.
Sebuah toko buku Sinar Terang menjual berbagai macam buku diantaranya,
yaitu buku pelajaran, majalah dan novel. Dengan harga 21 ribu, 18 ribu dan 15
ribu rupiah per unit. Untuk menjual buku, diperlukan proses pembungkusan,
pengumpulan dan pengiriman. Dengan rincian sebagai berikut.
Proses
Buku
Majalah
Novel
Kapasitas
Pelajaran
Pembungkusan
90
20
40
200
Pengumpulan
30
80
60
180
Pengiriman
10
20
60
150
Penyelesaian:
Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3
Terhadap
90x1 + 20x2 + 40x3 ≥ 200
30x1 + 80x2 + 60x3 ≥ 180
10x1 + 20x2 + 60x3 ≥ 150
x1, x2, x3 ≥ 0
24

25. Semua kendala
menggunakan
pertidaksamaan
≥.Kendala
dengan
pertidaksamaan ≥ dapat diubah ke pertidaksamaan ≤ dengan mengalikan
pertidaksamaan dengan -1. Bentuk umum PL di atas berubah menjadi:
Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3
-90x1 - 20x2 - 40x3 ≤ -200
Terhadap
-30x1 - 80x2 - 60x3 ≤ -180
-10x1 - 20x2 - 60x3 ≤ -150
x1, x2, x3 ≥ 0
Semua fungsi kendala sudah dalam bentuk pertidaksamaan ≤, maka kita
kita hanya perlu menambahkan variabel slack untuk mengubah bentuk umum ke
bentuk baku/standar. Variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis awal.
Bentuk Baku/standar:
Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3
Terhadap
-90x1 - 20x2 - 40x3 + s1 = -200
-30x1 - 80x2 - 60x3 + s2 = -180
-10x1 - 20x2 - 60x3 + s3 = -150
x1, x2, x3, s1, s2, s3 ≥ 0
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
NK
Z
-21
-18
-15
0
0
0
0
1
0
0
-200
S1
-90
-20
-40
-180
S2
-30
-80
-60
0
1
0
-150
-20
0
0
1
STabel di-10
atas optimal -60 tidak layak (ingat, untuk fungsi tujuan
tapi
3
minimisasi, tabel sudah optimal jika semua koefisien baris tujuan sudah negatif
atau 0). Untuk membuat tabel tersebut layak, kita harus gunakan metode dual
simpleks.
Langkah-langkah penyelesaian simpleks menggunakan metode dual
adalah:
1. Tentukan baris pivot. Baris pivot adalah baris dengan nilai kanan negatif
25

26. terbesar. Jika negatif terbesar lebih dari satu, pilih salah satu sembarang.
2. Tentukan kolom pivot.
Kolom pivot diperoleh dengan terlebih dahulu
membagi nilai baris z dengan baris pivot. Dalam hal ini, semua nilai baris
pivot dapat menjadi pembagi kecuali nilai 0. Kolom pivot adalah kolom
dengan rasio pembagian mutlak terkecil.
Jika rasio pembagian mutlak
terkecil lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.
3. Pembentukan tabel berikutnya sama dengan prosedur dalam primal
simpleks.
Gunakan tabel awal simpleks di atas.
¾ Baris pivot adalah baris S1, baris dengan nilai kanan negatif terbesar.
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
NK
Z
-21
-18
-15
0
0
0
0
1
0
0
-200
S1
-90
-20
-40
-180
-30
0
1
0
-10
-20
-60
S3 Kolom pivot adalah kolom X1 0
¾
0
1
S2
-80
-60
-150
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
NK
Z
-21
-18
-15
0
0
0
0
1
0
S1
-90
-20
-40
0
-200
-180
S
S3 2
Rasio
-10-30
21/90
-80
-20 -60 -60
18/20
0
0
15/40
1
0
0 1
0
0
0
-150
-
¾ Iterasi-1:
VB
X1
Z
0
X1
1
X2
X3
S1
S2
S3
NK
-40/9
-9
-7/30
0
0
140/3
2/9
4/9
-1/90
0
0
20/9
-340/3
S2
0
-220/3 -140/3 -1/3
1
0
-1150/9
26
S3
0
-160/9 -500/9 -1/9
0
1

27. Rasio
-
0.0485 0.19286 0.7
-
-
¾ Iterasi-2
VB
Z
X1 X2
0
X1
X3
0
S2
S3
NK
-611/99
0
S1
-0.213131
-2/33
0
53.535
10/33
0.0303
1/330
0
0
1.8788
17/11
0
X2
1
7/11
1/220
-3/220
0
-100.3030
Rasio
- - 0.139498 7.0340 2.500
0
0
-0.0303
S3 ¾ Iterasi-3 0 -44.2424 optimal -0.02424 1
-
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
NK
Z
0
0
0
-0.208934
-0.0572
-0.13948
67.52628
X1 1
0
0
0.000000140.00286 0.006848
1.19173
0.102818
X2 0
1
0
0.0041127 -0.0139860.01438
X3 0
0
1
0.00068
2.267
0.00055 -0.0226
27

28. DAFTAR PUSTAKA
Noer, Bustanul Arifin. 2010. Belajar Mudah Riset Operasional. Yogyakarta :
ANDI.
PUSTAKA ELEKTRONIK
http://id.scribd.com/doc/71240796/RISET-OPERASIONAL1
http://besoklagiaja.blogspot.com/2013/04/metode-simpleks_10.html
aning.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/27625/RisetOperasi
http://elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/999104-DM05921/2011/04/20110413_Operasi%20Baris%20Elementer_OBE_.pdf
http://ocw.gunadarma.ac.id/course/diploma-three-program/study-program-ofinformatics-management-2013-d3/teknik-riset-operasional/metode-big-m-duafase-dan-dual-simpleks
http://aning.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/27625/RisetOperasi.doc
http://www.ut.ac.id/html/suplemen/espa4212/materi%20III%20Metode%20SIMP
LEX.doc
28