LAS HOJAS DE CÁLCULO COMO
HERRAMIENTA EN EL ANÁLISIS
ESTRUCTURAL
DOCUMENTOS COMPLEMENTARIOS
HACER DOBLE CLIC EN EL CLIP PA...
Escribir tipo de proyecto
REALIZADO 4/30/2010
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Escribir tipo de proyecto
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INTRODUCCIÓN
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CAPÍTULO 1 ANÁLISIS
EL MÉTODO
1.1 MÉ...
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7.-Se desprecian las deformaciones a...
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1.2 ÁLGEBRA LINEAL
El álgebra lineal...
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Existen ciertas matrices que deberán...
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Transpuesta de una matriz
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Inversión de una matriz por el métod...
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Como se ha visto ya en la primera pa...
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La matriz de rigidez queda en funció...
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En el caso de las cargas que actúan ...
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Reacciones finales en los nudos
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CAPÍTULO 2 MICROSOFT
2.1 ENTORNO DE ...
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propia del Excel, es la celda B3. En...
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mostrará el resultado de esta operac...
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En el menú Herrami
Alt+F11, se abre ...
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Para dar de alta un procedimiento
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En el ejemplo3 se declara una matriz...
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m(0, 3) = valor1
Else
m(0, 3) = valo...
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CAPÍTULO 3 ANÁLISIS
MARCO PLANO
3.1 ...
Escribir tipo de proyecto
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L = Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1...
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f11 = Integral(1, 0, L, hj, hk, hmin...
Escribir tipo de proyecto
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Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez
mrei(2, 1) = mrei(1, 2)
mrei(2, 2) =...
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LAS HOJAS DE CÁLCULO COMO
HERRAMIENTA EN EL ANÁLISIS
ESTRUCTURAL
Existen aplicaciones como por ejemplo el SAP, Tricalc, uStatic, Etabs entre otras,
de carácter comercial muy conocidas y bastante utilizadas por los ingenieros civiles,
incluso dentro de las universidades del país ya se ha trabajado en este campo, de hecho
en la Universidad Autónoma de Zacatecas existen programas computacionales para el
análisis de estructuras.

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  1. 1. LAS HOJAS DE CÁLCULO COMO HERRAMIENTA EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DOCUMENTOS COMPLEMENTARIOS HACER DOBLE CLIC EN EL CLIP PARA ABRIR LA HOJA DE CÁLCULO Cliente: Escribir aquí el nombre del cliente Contratista: Calculó: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Fecha de elaboración:30 April 2010 Página: 1 De: Versión: Para aprendizaje Documento: Escribir nombre de archivo Revisión 1 LAS HOJAS DE CÁLCULO COMO HERRAMIENTA EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DOCUMENTOS COMPLEMENTARIOS HACER DOBLE CLIC EN EL CLIP PARA ABRIR LA HOJA DE CÁLCULO Escribir aquí el nombre del cliente TÍTULO: Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del pr Cálculo Estructural: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez INGENIERÍA EN PROYECTOS DE EDIFICACIÓN Tel (93) 493 2 ipe.consultores@gmail.com http://ipe.weboficial.com 30 April 2010 106 Para aprendizaje Escribir nombre de archivo Revisó Escribir quien revisa LAS HOJAS DE CÁLCULO COMO HERRAMIENTA EN EL ANÁLISIS HACER DOBLE CLIC EN EL CLIP PARA ABRIR LA HOJA DE CÁLCULO -> TÍTULO: Escribir tipo de proyecto ir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural
  2. 2. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez INTRODUCCIÓN ................................ CAPÍTULO 1 ANÁLISIS ESTRUCTURAL MEDIANTE FORMULACIÓN MATRICIA 1.1 MÉTODO DE LA RIGIDEZ 1.2 ÁLGEBRA LINEAL ................................ 1.3 MÉTODO DE RIGIDEZ E CAPÍTULO 2 MICROSOFT 2.1 ENTORNO DE TRABAJO 2.2 FUNCIONES MATEMÁTICAS 2.3 VISUAL BASIC PARA APLICACION CAPÍTULO 3 ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE UN EXCEL®................................ 3.1 CÓDIGO FUENTE ................................ 3.2 FORMA DE INTRODUCIR 3.3 FORMA DE INTERPRETAR 3.4 ALCANCE DEL PROGRAMA 3.4.1 Ventajas ................................ 3.4.2 Limitaciones ................................ CAPÍTULO 4 EJEMPLOS ................................ 4.1 MARCOS PLANO CON M 4.2 MARCOS PLANOS CON CAPÍTULO 5 CONCLUSIO Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 2 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa ................................................................................................ ESTRUCTURAL MEDIANTE EL MÉTODO DE RIGIDEZ FORMULACIÓN MATRICIAL................................................................................................ IGIDEZ................................................................................................ ................................................................................................ EN FORMULACIÓN MATRICIAL ................................ CAPÍTULO 2 MICROSOFT EXCEL®................................................................ RABAJO................................................................................................ ATEMÁTICAS ................................................................................................ ASIC PARA APLICACIONES................................................................. IS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICRO ................................................................................................................................ ................................................................................................ NTRODUCIR LOS DATOS................................................................ NTERPRETAR LOS RESULTADOS................................................................ ROGRAMA ................................................................................................ ................................................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ MIEMBROS DE SECCIÓN CONSTANTE ................................ ON MIEMBROS DE SECCIÓN VARIABLE ................................ CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES................................................................................................ Cálculo Estructural De: 106 .............................................................. 3 EL MÉTODO DE RIGIDEZ EN ......................................... 5 .................................................... 5 ............................................................... 15 ................................................................. 19 ...........................................................25 ..................................................... 25 .............................................. 26 ................................................................. 27 MARCO PLANO EN MICROSOFT ............................................32 ................................................................ 32 .............................................................. 46 ................................................ 59 ............................................... 65 .................................... 65 ........................................................... 65 ..............................................66 ...................................................... 66 ....................................................... 88 ...................................105
  3. 3. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez INTRODUCCIÓN Con el creciente y amplio uso imposible que su influencia no lle específica, al campo de la ingeniería estructural, tanto así que existen en la actualidad infinidad de herramientas comp diseño de estructuras. Existen aplicaciones como por ejemplo el SAP, Tricalc, uStatic, Etabs entre otras, de carácter comercial muy conocidas y bastante utilizadas por los ingenieros civiles, incluso dentro de las universidades del país ya se ha trabajado en este campo, de hecho en la Universidad Autónoma de Zacatecas existen programas computacionales para el análisis de estructuras. El análisis de estructuras mediante tecnologías digitales es muy r es de enorme utilidad al realizar cálculos laboriosos y extremadamente repetitivos, evitando así cometer posibles errores. Sin embargo, la parte importante y crucial de un problema de este tipo no es el realizar las operaciones requeridas p análisis, sino plantear el problema en cuestión de forma correcta. La tarea que lleva a cabo una computadora en el análisis estructural es tan sólo una parte de un proceso donde el ingeniero observa el problema, lo plantea, introduce en la correctos y, finalmente, interpreta los resultados obtenidos, entonces, no es posible que una máquina detecte un error en el planteamiento del problema, por consiguiente sigue siendo responsabilidad del ingeniero el ofrecer resultados Es obvio que cuando un calculista hace uso de un programa de estar familiarizado con el procedimiento que la máquina está realizando consecuentemente cualquiera que desee delegar el cálculo de una estructura a algoritmos computacionales, primero debe saber cómo se hacen a mano. Una vez que se ha ensayado y se tiene cierta experiencia se puede hacer uso de un programa computacional como apoyo en el análisis, para esto se ha realizado un programa computacional que pueda servir de ayuda para el análisis de estructuras, dicho programa es una hoja de cálculo en Microsoft Office Excel ®, dicha hoja resuelve marcos planos mediante el método matricial, se desprecian las deformaciones axiales y el número máximo de grados Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 3 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa creciente y amplio uso de la tecnología digital que se ha dado recientemente es mposible que su influencia no llegue a la rama de la ingeniería civil y, de manera más específica, al campo de la ingeniería estructural, tanto así que existen en la actualidad infinidad de herramientas computacionales dirigidas a resolver problemas de análisis y Existen aplicaciones como por ejemplo el SAP, Tricalc, uStatic, Etabs entre otras, de carácter comercial muy conocidas y bastante utilizadas por los ingenieros civiles, so dentro de las universidades del país ya se ha trabajado en este campo, de hecho en la Universidad Autónoma de Zacatecas existen programas computacionales para el El análisis de estructuras mediante tecnologías digitales es muy r es de enorme utilidad al realizar cálculos laboriosos y extremadamente repetitivos, evitando así cometer posibles errores. Sin embargo, la parte importante y crucial de un problema de este tipo no es el realizar las operaciones requeridas p análisis, sino plantear el problema en cuestión de forma correcta. La tarea que lleva a cabo una computadora en el análisis estructural es tan sólo una parte de un proceso donde el ingeniero observa el problema, lo plantea, introduce en la computadora los datos correctos y, finalmente, interpreta los resultados obtenidos, entonces, no es posible que una máquina detecte un error en el planteamiento del problema, por consiguiente sigue siendo responsabilidad del ingeniero el ofrecer resultados correctos. Es obvio que cuando un calculista hace uso de un programa computacional, debe de estar familiarizado con el procedimiento que la máquina está realizando consecuentemente cualquiera que desee delegar el cálculo de una estructura a algoritmos omputacionales, primero debe saber cómo se hacen a mano. Una vez que se ha ensayado y se tiene cierta experiencia se puede hacer uso de un programa computacional como apoyo en el análisis, para esto se ha realizado un programa computacional que r de ayuda para el análisis de estructuras, dicho programa es una hoja de cálculo en Microsoft Office Excel ®, dicha hoja resuelve marcos planos mediante el método matricial, se desprecian las deformaciones axiales y el número máximo de grados Cálculo Estructural De: 106 que se ha dado recientemente es rama de la ingeniería civil y, de manera más específica, al campo de la ingeniería estructural, tanto así que existen en la actualidad utacionales dirigidas a resolver problemas de análisis y Existen aplicaciones como por ejemplo el SAP, Tricalc, uStatic, Etabs entre otras, de carácter comercial muy conocidas y bastante utilizadas por los ingenieros civiles, so dentro de las universidades del país ya se ha trabajado en este campo, de hecho en la Universidad Autónoma de Zacatecas existen programas computacionales para el El análisis de estructuras mediante tecnologías digitales es muy recurrido ya que es de enorme utilidad al realizar cálculos laboriosos y extremadamente repetitivos, evitando así cometer posibles errores. Sin embargo, la parte importante y crucial de un problema de este tipo no es el realizar las operaciones requeridas por el método de análisis, sino plantear el problema en cuestión de forma correcta. La tarea que lleva a cabo una computadora en el análisis estructural es tan sólo una parte de un proceso computadora los datos correctos y, finalmente, interpreta los resultados obtenidos, entonces, no es posible que una máquina detecte un error en el planteamiento del problema, por consiguiente sigue computacional, debe de estar familiarizado con el procedimiento que la máquina está realizando, consecuentemente cualquiera que desee delegar el cálculo de una estructura a algoritmos omputacionales, primero debe saber cómo se hacen a mano. Una vez que se ha ensayado y se tiene cierta experiencia se puede hacer uso de un programa computacional como apoyo en el análisis, para esto se ha realizado un programa computacional que r de ayuda para el análisis de estructuras, dicho programa es una hoja de cálculo en Microsoft Office Excel ®, dicha hoja resuelve marcos planos mediante el método matricial, se desprecian las deformaciones axiales y el número máximo de grados
  4. 4. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez de libertad debe ser como máximo de 60, el programa resuelve problemas con elementos de sección variable. Se eligió el tema para afianzar los conocimientos sobre análisis estructural, además para alentar a otros estudiantes a un método de autoaprendizaje, también cualquier otro programa se conozca El objetivo no es el competir con los programas de su ramo que existen en el mercado, ya que éstos son en su mayoría desarrollados no por una sola persona sino por equipo de profesionistas contribuye en que el programa un uso profesional sino a un uso didáctico que sirva a los intereses de los estudiantes de ingeniería civil. Asimismo, contrario ventajas sobre el resto de los puede servir como un primer acercamiento al cálculo estructural mediante herramientas computacionales, ya que debido a su simplicidad será fácil para un estudiante comprender el mecanismo de operación. Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 4 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa debe ser como máximo de 60, el programa resuelve problemas con elementos Se eligió el tema para afianzar los conocimientos sobre análisis estructural, alentar a otros estudiantes a desarrollar sus propios programas un método de autoaprendizaje, también para que al utilizar un programa comercial cualquier otro programa se conozca –a grandes rasgos– la mecánica del mismo. no es el competir con los programas de su ramo que existen en el son en su mayoría desarrollados no por una sola persona sino por con estudios en leguajes de programación, sin embargo se contribuye en que el programa –como estudiante de ingeniería civil– onal sino a un uso didáctico que sirva a los intereses de los estudiantes de , contrario a lo que se podría pensar, el programa computacional tiene el resto de los que existen en el mercado en cuanto al hecho de puede servir como un primer acercamiento al cálculo estructural mediante herramientas computacionales, ya que debido a su simplicidad será fácil para un estudiante comprender el mecanismo de operación. Cálculo Estructural De: 106 debe ser como máximo de 60, el programa resuelve problemas con elementos Se eligió el tema para afianzar los conocimientos sobre análisis estructural, sus propios programas, ya que es para que al utilizar un programa comercial o la mecánica del mismo. no es el competir con los programas de su ramo que existen en el son en su mayoría desarrollados no por una sola persona sino por ios en leguajes de programación, sin embargo se está orientado no a onal sino a un uso didáctico que sirva a los intereses de los estudiantes de el programa computacional tiene cuanto al hecho de que éste puede servir como un primer acercamiento al cálculo estructural mediante herramientas computacionales, ya que debido a su simplicidad será fácil para un estudiante
  5. 5. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez CAPÍTULO 1 ANÁLISIS EL MÉTODO 1.1 MÉTODO DE LA Una de las definiciones fundamentales Celigüeta, en su Curso de Análisis Estructural estructura es, para un ingeniero, cualquier tipo de construcción formada por uno o varios elementos enlazados entre sí que están destinados a soportar la acción de una serie de fuerzas aplicadas sobre ellos.” Un concepto también definido técnica: “Una estructura es una cadena elástica estable, compuesta por un número finito de elementos unidos entre si mediante un número finito de juntas…” Consecuencia de lo anterior se dice miembros unidos entre sí elementos y a las uniones y voladizos se les designará mantener estable un estado de fuerzas estructural: Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se originan en la estructura como consecuencia de las cargas actuantes. Para efectuar el análisis de una estructura es necesario proceder p idealización, es decir a asimilarla a un modelo cuyo cálculo sea posible efectuar. Esta idealización se hace básicamente introduciendo algunas suposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman la estructura, sobre la forma en que en que se sustenta. Una vez idealizada la estructura se procede a su análisis, calculando las deformaciones y esfuerzos que aparecen en ella, y utilizando para ello las técnicas propias del Análisis Estructura Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 5 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa ANÁLISIS ESTRUCTURAL MEDIANTE MÉTODO DE RIGIDEZ EN FORMULACIÓN MATRICIAL A RIGIDEZ fundamentales es la de estructura, concepto que Curso de Análisis Estructural, define de la siguiente forma: ara un ingeniero, cualquier tipo de construcción formada por uno o varios elementos enlazados entre sí que están destinados a soportar la acción de una serie de fuerzas aplicadas sobre ellos.” (Celigüeta 1998: 1) Un concepto también definido por Roberto A. Falcón, aunque de manera “Una estructura es una cadena elástica estable, compuesta por un número finito de elementos unidos entre si mediante un número finito de juntas…”. (Falconí 2004: 5) Consecuencia de lo anterior se dice que las estructuras están formadas por (en lo sucesivo, los miembros de la estructura se denominarán y a las uniones y voladizos se les designará nudos), los cuales mantener estable un estado de fuerzas (o una carga), lo que nos lleva a definir Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se originan en la estructura como consecuencia de las cargas actuantes. Para efectuar el análisis de una estructura es necesario proceder p idealización, es decir a asimilarla a un modelo cuyo cálculo sea posible efectuar. Esta idealización se hace básicamente introduciendo algunas suposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman la estructura, sobre la forma en que éstos están unidos entre sí, y sobre la forma en que se sustenta. Una vez idealizada la estructura se procede a su análisis, calculando las deformaciones y esfuerzos que aparecen en ella, y utilizando para ello las técnicas propias del Análisis Estructural. Para este análisis Cálculo Estructural De: 106 MEDIANTE FORMULACIÓN concepto que Juan Tomás define de la siguiente forma: “Una ara un ingeniero, cualquier tipo de construcción formada por uno o varios elementos enlazados entre sí que están destinados a soportar la acción de una serie de Falcón, aunque de manera más “Una estructura es una cadena elástica estable, compuesta por un número finito . (Falconí 2004: 5) uras están formadas por (en lo sucesivo, los miembros de la estructura se denominarán ), los cuales se encargan de que nos lleva a definir análisis Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se originan en la estructura como consecuencia de las cargas actuantes. Para efectuar el análisis de una estructura es necesario proceder primero a su idealización, es decir a asimilarla a un modelo cuyo cálculo sea posible efectuar. Esta idealización se hace básicamente introduciendo algunas suposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman la éstos están unidos entre sí, y sobre la forma en que se sustenta. Una vez idealizada la estructura se procede a su análisis, calculando las deformaciones y esfuerzos que aparecen en ella, y utilizando l. Para este análisis
  6. 6. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez siempre se dispone, como datos de partida, de los valores de las acciones exteriores y las dimensiones de la estructura Entonces el objetivo del análisis estructural es calcular las fuerzas y las deflexiones en un punto cualquiera de una estructura, para esto algunos de los cuales se enumeran a continuación y se clasifican en cuatro grupos de acuerdo a su naturaleza. 1. Soluciones analíticas controlan el problema, por lo que normalmente sólo se pueden aplicar a casos sencillos. o Integración de la ecuación de la elástica en v. o Teoremas de Mohr para vigas. o Método de la viga conjugada para vigas. 2. Empleo de las ecuaciones de la estátic isostáticas. o Método del equilibrio de los nudos para o Método de las secciones para o Método de la barra sustituida para 3. Métodos basados en la flexibilidad. o Principio del trabajo vir complementario estacionario. o Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti o Método general de flexibilidad, basado en el segundo teorema de Engesser. o Método de la compatibilidad de deformaciones e o Fórmula de los tres momentos para vigas. o Principio de Müller Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 6 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa siempre se dispone, como datos de partida, de los valores de las acciones exteriores y las dimensiones de la estructura… (Celigüeta 1998: 3) Entonces el objetivo del análisis estructural es calcular las fuerzas y las deflexiones en n punto cualquiera de una estructura, para esto se pueden seguir muchos métodos, algunos de los cuales se enumeran a continuación y se clasifican en cuatro grupos de Soluciones analíticas: consisten en resolver directamente las ecu controlan el problema, por lo que normalmente sólo se pueden aplicar a casos Integración de la ecuación de la elástica en v. Teoremas de Mohr para vigas. Método de la viga conjugada para vigas. Empleo de las ecuaciones de la estática: sólo se pueden aplicar a estructuras Método del equilibrio de los nudos para armaduras. Método de las secciones para armaduras. Método de la barra sustituida para armaduras. Métodos basados en la flexibilidad. Principio del trabajo virtual complementario y principio del potencial complementario estacionario. Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser. Método general de flexibilidad, basado en el segundo teorema de Engesser. Método de la compatibilidad de deformaciones en vigas. Fórmula de los tres momentos para vigas. Principio de Müller-Breslau para cargas móviles. Cálculo Estructural De: 106 siempre se dispone, como datos de partida, de los valores de las acciones 3) Entonces el objetivo del análisis estructural es calcular las fuerzas y las deflexiones en se pueden seguir muchos métodos, algunos de los cuales se enumeran a continuación y se clasifican en cuatro grupos de : consisten en resolver directamente las ecuaciones que controlan el problema, por lo que normalmente sólo se pueden aplicar a casos a: sólo se pueden aplicar a estructuras omplementario y principio del potencial Engesser. Método general de flexibilidad, basado en el segundo teorema de Engesser.
  7. 7. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez 4. Métodos basados en la rigidez. o Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total estacionario. o Primer teorema de Castigliano. o Método de rigidez o Método de la distribución de momentos, o de Cross, para pórticos planos. De todos los métodos anteriores, para este trabajo el que nos interesa es el método de rigidez en formulación matricia sistematización en computadoras. Para explicar el método de la rigidez hace falta definir ciertos conceptos e hipótesis necesarios. Se dice que un modelo matemático es más exacto mientras más variables se involucren en el mismo; en el caso del análisis estructural intervienen muchísimas variables como son la naturaleza de los elementos de la estructura y de la forma en que están unidas, también intervienen los procedimientos de construcción, los cambios de temperatura, la calidad de los materiales, etc. En lo que atañe a nuestro caso muchas de estas variables se despreciarán, suponiendo comportamientos que, si bien no son los reales, se acercan muy bien a la realidad. A continuación se enumeran las hipótesis: 1.-Comportamiento lineal de la estructura y de los materiales. 2.-Movimientos pequeños comparados con las dimensiones de la estructura. 3.-Se desprecian los fenómenos que afectan y varían la rigidez. 4.-Los materiales son homogéneos e isótropos 5.-Las uniones de los 6.-Los desplazamientos y el sistema de cargas están sobre un plano (estructura en dos dimensiones). Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 7 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa Métodos basados en la rigidez. Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total estacionario. Primer teorema de Castigliano. Método de rigidez en formulación matricial, para estructuras de cualquier tipo. Método de la distribución de momentos, o de Cross, para pórticos planos. De todos los métodos anteriores, para este trabajo el que nos interesa es el método de rigidez en formulación matricial, debido a su fácil implementación y sistematización en computadoras. Para explicar el método de la rigidez hace falta definir ciertos conceptos e hipótesis necesarios. Se dice que un modelo matemático es más exacto mientras más variables se n el mismo; en el caso del análisis estructural intervienen muchísimas variables como son la naturaleza de los elementos de la estructura y de la forma en que están unidas, también intervienen los procedimientos de construcción, los cambios de la calidad de los materiales, etc. En lo que atañe a nuestro caso muchas de estas variables se despreciarán, suponiendo comportamientos que, si bien no son los reales, se acercan muy bien a la realidad. A continuación se enumeran las hipótesis: amiento lineal de la estructura y de los materiales. Movimientos pequeños comparados con las dimensiones de la estructura. Se desprecian los fenómenos que afectan y varían la rigidez. Los materiales son homogéneos e isótropos Las uniones de los elementos y de la estructura son ortogonales. Los desplazamientos y el sistema de cargas están sobre un plano (estructura en Cálculo Estructural De: 106 Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total estacionario. en formulación matricial, para estructuras de cualquier tipo. Método de la distribución de momentos, o de Cross, para pórticos planos. De todos los métodos anteriores, para este trabajo el que nos interesa es el , debido a su fácil implementación y Para explicar el método de la rigidez hace falta definir ciertos conceptos e hipótesis necesarios. Se dice que un modelo matemático es más exacto mientras más variables se n el mismo; en el caso del análisis estructural intervienen muchísimas variables como son la naturaleza de los elementos de la estructura y de la forma en que están unidas, también intervienen los procedimientos de construcción, los cambios de la calidad de los materiales, etc. En lo que atañe a nuestro caso muchas de estas variables se despreciarán, suponiendo comportamientos que, si bien no son los reales, se acercan muy bien a la realidad. A continuación se enumeran las hipótesis: Movimientos pequeños comparados con las dimensiones de la estructura. elementos y de la estructura son ortogonales. Los desplazamientos y el sistema de cargas están sobre un plano (estructura en
  8. 8. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez 7.-Se desprecian las deformaciones axiales y las torsiones en el eje longitudinal de los elementos. 8.-No necesariamente la sección de los elementos debe ser constante, sin embargo debe ser rectangular. Las hipótesis uno, dos y siete son de vital importancia, ya que son condiciones que debe cumplir una estructura para que se aplique el principio de superposición. principio establece que los efectos que produce un sistema de fuerzas aplicado a una estructura, son equivalentes a la suma de los efectos producidos por cada una de las fuerzas del sistema actuando independientemente. Dentro de la estructura, en c fuerzas y momentos será cero, en este caso, como es una estructura plana, se debe cumplir que: ∑ ‫ܨ‬௫ ൌ Para analizar una estructura primero se debe evaluar su estabilidad, se dice que una estructura es estable cuando la estructura mantiene el equilibro para cualquier caso posible de cargas. Si una estructura resulta ser inestable entonces no tiene caso seguir con el análisis y deberá replantearse una nueva estructura. En el caso de que se trate de una estructura estable, entonces se procede a determinar su grado de indeterminación. Como se mencionó anteriormente, se dispone de tres ecuaciones de equilibrio, entonces, e incógnitas que excedan el número de ecuaciones disponibles. Las incógnitas en el método de la rigidez son los desplazamientos en los nudos, ya sean traslaciones verticales, traslaciones horizontales o giros. Es término grado de indeterminación cinemática todos los desplazamientos independientes en los nudos. Ahora bien, ya que se han definido las hipótesis y las condiciones de la estructura, se debe hablar del método que se usará, a saber, el método de la rigidez (o de los Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 8 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa Se desprecian las deformaciones axiales y las torsiones en el eje longitudinal de esariamente la sección de los elementos debe ser constante, sin embargo Las hipótesis uno, dos y siete son de vital importancia, ya que son condiciones que debe cumplir una estructura para que se aplique el principio de superposición. principio establece que los efectos que produce un sistema de fuerzas aplicado a una estructura, son equivalentes a la suma de los efectos producidos por cada una de las fuerzas del sistema actuando independientemente. Dentro de la estructura, en cualquier elemento, sección o nudo, la suma de las fuerzas y momentos será cero, en este caso, como es una estructura plana, se debe ൌ 0 ∑ ‫ܨ‬௬ ൌ 0 ∑ ‫ܯ‬௭ ൌ 0 r una estructura primero se debe evaluar su estabilidad, se dice que una estructura es estable cuando la estructura mantiene el equilibro para cualquier caso posible de cargas. Si una estructura resulta ser inestable entonces no tiene caso seguir álisis y deberá replantearse una nueva estructura. En el caso de que se trate de una estructura estable, entonces se procede a determinar su grado de indeterminación. Como se mencionó anteriormente, se dispone de tres ecuaciones de equilibrio, entonces, el grado de indeterminación será el número de incógnitas que excedan el número de ecuaciones disponibles. Las incógnitas en el método de la rigidez son los desplazamientos en los nudos, ya sean traslaciones verticales, traslaciones horizontales o giros. Esto lleva a definir el grado de indeterminación cinemática, que no es otra cosa que la suma de todos los desplazamientos independientes en los nudos. Ahora bien, ya que se han definido las hipótesis y las condiciones de la estructura, r del método que se usará, a saber, el método de la rigidez (o de los Cálculo Estructural De: 106 Se desprecian las deformaciones axiales y las torsiones en el eje longitudinal de esariamente la sección de los elementos debe ser constante, sin embargo Las hipótesis uno, dos y siete son de vital importancia, ya que son condiciones que debe cumplir una estructura para que se aplique el principio de superposición. Dicho principio establece que los efectos que produce un sistema de fuerzas aplicado a una estructura, son equivalentes a la suma de los efectos producidos por cada una de las ualquier elemento, sección o nudo, la suma de las fuerzas y momentos será cero, en este caso, como es una estructura plana, se debe r una estructura primero se debe evaluar su estabilidad, se dice que una estructura es estable cuando la estructura mantiene el equilibro para cualquier caso posible de cargas. Si una estructura resulta ser inestable entonces no tiene caso seguir En el caso de que se trate de una estructura estable, entonces se procede a determinar su grado de indeterminación. Como se mencionó anteriormente, se dispone de l grado de indeterminación será el número de Las incógnitas en el método de la rigidez son los desplazamientos en los nudos, ya to lleva a definir el , que no es otra cosa que la suma de Ahora bien, ya que se han definido las hipótesis y las condiciones de la estructura, r del método que se usará, a saber, el método de la rigidez (o de los
  9. 9. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez desplazamientos). Dicho método se llama así porque parte de la definición de rigidez, la cual nos dice que la fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la rigidez del mismo multiplicada por la deformación que sufre debido a dicha acción. En este método se utilizan acciones producidas por desplazamientos unitarios, éstas son traslaciones o rotaciones unitarias, y las acciones serán fuerzas o momentos. Las acciones causadas por desplazam Para plantear lo anterior se procede a aislar un elemento y determinar sus rigideces. En la figura anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del elemento se produce un desplazamiento desplazamiento es igual a la rigidez del elemento multiplicada por el mismo desplazamiento ‫ܨ‬ ൌ ݇ ∙ Δ, y jM 1=θ Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 9 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa desplazamientos). Dicho método se llama así porque parte de la definición de rigidez, la cual nos dice que la fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la rigidez del mismo a por la deformación que sufre debido a dicha acción. En este método se utilizan acciones producidas por desplazamientos unitarios, éstas son traslaciones o rotaciones unitarias, y las acciones serán fuerzas o momentos. Las acciones causadas por desplazamientos unitarios se conocen como “rigideces”. Para plantear lo anterior se procede a aislar un elemento y determinar sus FIGURA 1 anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del elemento se produce un desplazamiento giratorio unitario. Si la fuerza necesaria para producir dicho desplazamiento es igual a la rigidez del elemento multiplicada por el mismo si, Δ ൌ 1 entonces ‫ܨ‬ ൌ ݇. Por el método de la viga conjugada: L Cálculo Estructural De: 106 desplazamientos). Dicho método se llama así porque parte de la definición de rigidez, la cual nos dice que la fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la rigidez del mismo a por la deformación que sufre debido a dicha acción. En este método se utilizan acciones producidas por desplazamientos unitarios, éstas son traslaciones o ientos unitarios se conocen como “rigideces”. Para plantear lo anterior se procede a aislar un elemento y determinar sus anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del elemento se io. Si la fuerza necesaria para producir dicho desplazamiento es igual a la rigidez del elemento multiplicada por el mismo . Por el método de la viga conjugada: kM
  10. 10. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez ෍ ‫ܯ‬௝ ൌ Al provocar un giro unitario en el extremo factor de transporte de 1 2ൗ . EI M j Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 10 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa FIGURA 2 ൌ 0 ⟶ ‫ܯ‬௝ ∙ ‫ܮ‬ 2‫ܫܧ‬ ൬ 1 3 ൰ ‫ܮ‬ െ ‫ܯ‬௞ ∙ ‫ܮ‬ 2‫ܫܧ‬ ൬ 2 3 ൰ ‫ܮ‬ ൌ 0; ∴ ‫ܯ‬௝ ൌ 2‫ܯ‬௞ Al provocar un giro unitario en el extremo ݆ con ‫ܯ‬௝ se genera ‫ܯ‬௞ ൌ ெೕ ଶ , ൗ . L Cálculo Estructural De: 106 , es decir, existe un EI Mk
  11. 11. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez El cortante en ݆ es el valor del giro en ese punto ෍ ‫ܯ‬௞ Como ‫ܯ‬௞ ൌ ெೕ ଶ െ ‫ܯ‬௝ ∙ ‫ܮ‬ 2‫ܫܧ‬ ൬ 2 3 ൰ ‫ܮ‬ Como ܴ௝ ൌ ߠ ൌ 1 Entonces == VRj EI M j Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 11 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa FIGURA 3 es el valor del giro en ese punto ܴ௝ ൌ ߠ ‫ܯ‬௞ ൌ 0; ⟶ െ ‫ܯ‬௝ ∙ ‫ܮ‬ 2‫ܫܧ‬ ൬ 2 3 ൰ ‫ܮ‬ ൅ ‫ܯ‬௞ ∙ ‫ܮ‬ 2‫ܫܧ‬ ൬ 1 3 ൰ ‫ܮ‬ ൅ ‫ܴܮ‬௝ ൌ 0 ൬ ൰ ൅ ‫ܯ‬௝ ∙ ‫ܮ‬ 2‫ܫܧ‬ ൬ 1 3 ൰ ‫ܮ‬ ൅ ‫ܴܮ‬௝ ൌ 0 ⟶ െ 2 6 ‫ܯ‬௝‫ܮ‬ଶ ‫ܫܧ‬ ൅ 1 12 ‫ܯ‬௝‫ܮ‬ଶ ‫ܫܧ‬ ‫ܴܮ‬ ‫ܯ‬௝ ൌ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ ܴ௝ ‫ܯ‬௝ ൌ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ ; ‫ܯ‬௞ ൌ 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ θ= R L Cálculo Estructural De: 106 ܴ௝ ൌ 0 kR EI Mk
  12. 12. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez De manera similar se obtienen las rigideces pa extremo izquierdo y en el derecho, también cuando se aplica una traslación en el extremo izquierdo y en el derecho y las rigideces correspondientes se muestran en las figuras 6 y 7. 6 1=jθ j Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 12 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa e manera similar se obtienen las rigideces para cuando el giro se aplica en el extremo izquierdo y en el derecho, también cuando se aplica una traslación en el extremo izquierdo y en el derecho y las rigideces correspondientes se muestran en las figuras FIGURA 4 2 6 L EI 2 6 L EI − L EI2 L EI4 k Cálculo Estructural De: 106 ra cuando el giro se aplica en el extremo izquierdo y en el derecho, también cuando se aplica una traslación en el extremo izquierdo y en el derecho y las rigideces correspondientes se muestran en las figuras 4, 5, EI
  13. 13. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez 6 j j 1=∆ j 12 − j Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 13 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa FIGURA 5 FIGURA 6 FIGURA 7 2 6 L EI 2 6 L EI − L EI2 L EI4 =kθ k 3 12 L EI 2 6 L EI 2 6 L EI 3 12 L EI − k 3 12 L EI 2 6 L EI − 2 6 L EI − 3 12 L EI k =∆k Cálculo Estructural De: 106 1= EI 1=
  14. 14. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales, por ejemplo, si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las cargas de empotramiento 2 wL Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 14 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales, por ejemplo, si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las cargas de empotramiento FIGURA 8 12 2 wL 12 2 wL Cálculo Estructural De: 106 se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales, por ejemplo, si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las cargas de empotramiento serían: 2 wL
  15. 15. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez 1.2 ÁLGEBRA LINEAL El álgebra lineal incluye la teoría y la aplicación de sistemas lineales de ecuaciones, para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones de las cuales, para el propósito de este trabajo, bastarán los siguientes: El primer concepto a definir es el elementos – en nuestro caso números siguiente representa las ventas de 3 sucursales en un trimestre: Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3 columnas, entonces se dice que la matriz es de orden cual se denominará m y el segundo término será el número de columnas y se le denominará con la letra n. De manera genérica una matriz cualquiera de Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al renglón y luego a la columna, por ejemplo el elemento a la sucursal 2, en el mes de marzo. Cuando en una matriz es un vector, si ݉ ൌ 1 entonces es un vector renglón y si Matrices especiales Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 15 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa INEAL El álgebra lineal incluye la teoría y la aplicación de sistemas lineales de ecuaciones, para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones de las cuales, para el propósito de este trabajo, bastarán los siguientes: El primer concepto a definir es el de matriz, que es un arreglo rectangular de en nuestro caso números – escritos entre corchetes, por ejemplo la matriz siguiente representa las ventas de 3 sucursales en un trimestre: ܵ‫݈ܽݏݎݑܿݑ‬ 1 ܵ‫݈ܽݏݎݑܿݑ‬ 2 ܵ‫݈ܽݏݎݑܿݑ‬ 3 ‫݋ݎ݁݊ܧ‬ ‫݋ݎ݁ݎܾ݁ܨ‬ ‫݋ݖݎܽܯ‬ $1500 $1600 $1650 $1400 $1550 $1600 $750 $800 $1000 Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3 columnas, entonces se orden de 3x3 siendo el primer término el número de renglones, el y el segundo término será el número de columnas y se le . De manera genérica una matriz cualquiera de ‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ ൌ ൦ ܽଵଵ ܽଵଶ ⋯ ܽଵ௡ ܽଶଵ ܽଶଶ ⋯ ܽଶ௡ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ܽ௠ଵ ܽ௠ଶ ⋯ ܽ௠௡ ൪ Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al renglón y luego a la columna, por ejemplo el elemento ܽଶଷ de la matriz de ventas será $1600 2, en el mes de marzo. Cuando en una matriz ݉ o n es igual a 1 se dice que entonces es un vector renglón y si ݊ ൌ 1 será un vector columna. Cálculo Estructural De: 106 El álgebra lineal incluye la teoría y la aplicación de sistemas lineales de ecuaciones, para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones de las cuales, para el propósito de de matriz, que es un arreglo rectangular de escritos entre corchetes, por ejemplo la matriz A Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3 columnas, entonces se de 3x3 siendo el primer término el número de renglones, el y el segundo término será el número de columnas y se le . De manera genérica una matriz cualquiera de ݉ ൈ ݊ será: Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al renglón y luego a la de la matriz de ventas será $1600 que corresponde es igual a 1 se dice que será un vector columna.
  16. 16. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Existen ciertas matrices que deberán mencionarse deb método de le rigidez: Matrices cuadradas. Matriz simétrica.- ܽ Matriz diagonal.- Matriz identidad.- ܽ Adición de Matrices La adición se define únicamente para matrices tamaño y su suma –denotada por A+B correspondientes. Las matrices de orden diferente no pue Multiplicación por escalares El producto de cualquier matriz es un número o también es una matriz de orden 1 ܿ‫ܣ‬ ൌ ൣܿܽ௜௝൧ de ݉ ൈ ݊ obtenida al multiplicar cada elemento de A por c. Multiplicación de matrices El producto C=AB (en este orden) de una matriz ‫ܤ‬ ൌ ൣܾ௜௝൧ de ݉஻ ൈ ݊஻ está definido si y sólo si segundo factor B debe ser igual al número de columnas del primer factor resultado será la matriz ‫ܥ‬ ൌ Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 16 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa Existen ciertas matrices que deberán mencionarse debido a su utilidad en el Matrices cuadradas.- ݉ ൌ ݊ ܽ௜௝ ൌ ܽ௝௜ ܽ௜௝ ൌ ܽ௝௜ ൌ 0 excepto cuando ݅ ൌ ݆ ܽ௜௝ ൌ ܽ௝௜ ൌ 0 excepto cuando ݅ ൌ ݆ entonces ܽ௜௝ La adición se define únicamente para matrices ‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ y ‫ܤ‬ denotada por A+B– se obtiene sumando los elementos correspondientes. Las matrices de orden diferente no pueden sumarse. Multiplicación por escalares El producto de cualquier matriz ‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ de ݉ ൈ ݊ y cualquier escalar (un escalar es un número o también es una matriz de orden 1× 1) ܿ denotado por cA es la matriz obtenida al multiplicar cada elemento de A por c. El producto C=AB (en este orden) de una matriz ‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ de ݉ está definido si y sólo si ݊஺ ൈ ݉஻, es decir, el número de renglones del debe ser igual al número de columnas del primer factor ൌ ൣܿ௜௝൧ de ݉஺ ൈ ݊஻ de con elementos: ܿ௜௝ ൌ ෍ ܽ௜௞ܾ௞௝ ௡ಲ ௞ୀଵ Cálculo Estructural De: 106 ido a su utilidad en el ൌ 1 ൧ ‫ܤ‬ ൌ ൣܾ௜௝൧ del mismo se obtiene sumando los elementos den sumarse. y cualquier escalar (un escalar denotado por cA es la matriz ݉஺ ൈ ݊஺ y una matriz , es decir, el número de renglones del debe ser igual al número de columnas del primer factor A y entonces el
  17. 17. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Transpuesta de una matriz Resulta útil definir la transpuesta de una matriz Inversa de una matriz Para el método de las rigideces únicamente se utilizarán inversas de matrices cuadradas, así pues la inversa de una matriz de ݉ ൈ ݊ tal que donde I es una matriz identidad de orden Si A tiene inversa, entonces A se llama matriz no singular. Si A no tiene inversa, entonces A se llama matriz singular. Determinante de una matriz Un determinante es un escalar asociado a una matriz. Sea una aplicación uno a uno ሺߪሻ del conjunto ሼ1 permutaciones será ݊! . Se dice que parejas ሺ݆݅ሻ tal que ݅ ൐ ݆ , si permutación es negativa. Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 17 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa ranspuesta de una matriz Resulta útil definir la transpuesta de una matriz ‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ como Inversa de una matriz Para el método de las rigideces únicamente se utilizarán inversas de matrices cuadradas, así pues la inversa de una matriz ‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ de ݉ ൈ ݊ se denota por ‫ܣܣ‬ିଵ ൌ ‫ܣ‬ିଵ ‫ܣ‬ ൌ ‫ܫ‬ donde I es una matriz identidad de orden ݉ ൈ ݊ Si A tiene inversa, entonces A se llama matriz no singular. Si A no tiene inversa, ama matriz singular. Determinante de una matriz Un determinante es un escalar asociado a una matriz. Sea una aplicación uno a ሼ1,2,3,4, ⋯ , ݊ሽ sobre sí misma, en este caso el número de . Se dice que ߪ es par o impar si hay un número par o impar de , si ߪ es par, la permutación es positiva, si 123 ൌ ሺ1,2ሻሺ1,3ሻሺ2,3ሻ ൌ 0 ൅ 231 ൌ ሺ2,3ሻሺ2,1ሻሺ3,1ሻ ൌ 2 ൅ 312 ൌ ሺ3,1ሻሺ3,2ሻሺ1,2ሻ ൌ 2 ൅ 321 ൌ ሺ3,2ሻሺ3,1ሻሺ2,1ሻ ൌ 3 െ 132 ൌ ሺ1,3ሻሺ1,2ሻሺ3,2ሻ ൌ 1 െ 213 ൌ ሺ2,1ሻሺ2,3ሻሺ1,3ሻ ൌ 1 െ Cálculo Estructural De: 106 como ‫ܣ‬் ൌ ൣܽ௝௜൧. Para el método de las rigideces únicamente se utilizarán inversas de matrices se denota por ‫ܣ‬ିଵ y es una Si A tiene inversa, entonces A se llama matriz no singular. Si A no tiene inversa, Un determinante es un escalar asociado a una matriz. Sea una aplicación uno a sobre sí misma, en este caso el número de mpar si hay un número par o impar de es par, la permutación es positiva, si ߪ es impar, la
  18. 18. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Sea el determinante de la matriz cuadrada calculada de todas las permutaciones | Menores y cofactores Si se considera una matriz cuadrada de 3x3 Los menores son: ‫ܯ‬ଵଵ ൌ ቂ ‫ܯ‬ଵଵ ൌ ቂ ‫ܯ‬ଷଵ ൌ ቂ Y los cofactores son: Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 18 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa Sea el determinante de la matriz cuadrada ‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ que se denota por calculada de todas las permutaciones ‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ ൌ ൥ ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ ൩ |‫|ܣ‬ ൌ ܽଵଵܽଶଶܽଷଷ ൅ ܽଶଵܽଷଶܽଵଷ ൅ ܽଷଵܽଵଶܽଶଷ െܽଵଷܽଶଶܽଷଵ െ ܽଶଷܽଷଶܽଵଵ െ ܽଷଷܽଵଶܽଶଵ e considera una matriz cuadrada de 3x3 llamada A ‫ܣ‬ ൌ ൣܽ௜௝൧ ൌ ൥ ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ ൩ ቂ ܽଶଶ ܽଶଷ ܽଷଶ ܽଷଷ ቃ ‫ܯ‬ଵଶ ൌ ቂ ܽଶଵ ܽଶଷ ܽଷଵ ܽଷଷ ቃ ‫ܯ‬ଵଷ ൌ ቂ ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଷଵ ܽଷଶ ቃ ቂ ܽଶଶ ܽଶଷ ܽଷଶ ܽଷଷ ቃ ‫ܯ‬ଶଶ ൌ ቂ ܽଵଵ ܽଵଷ ܽଷଵ ܽଷଷ ቃ ‫ܯ‬ଶଷ ൌ ቂ ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଷଵ ܽଷଶ ቃ ቂ ܽଵଶ ܽଵଷ ܽଶଶ ܽଶଷ ቃ ‫ܯ‬ଷଶ ൌ ቂ ܽଵଵ ܽଵଷ ܽଶଵ ܽଶଷ ቃ ‫ܯ‬ଶଷ ൌ ቂ ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଶଵ ܽଶଶ ቃ Cálculo Estructural De: 106 que se denota por |‫,|ܣ‬ la suma ቃ ቃ ቃ
  19. 19. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Inversión de una matriz por el método de la matriz adjunta Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ‫ܥ‬௜௝ , a esta matriz se le llama matriz de cofactores. A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz adjunta y se denota así matriz adjunta se divide entre el siempre y cuando el determinante sea diferente de cero. En este breve repaso de álgebra lineal se ha definido las herramientas necesarias que servirán para relacionar los elementos de una estructura, así como sus cargas, deformaciones y reacciones en una forma matricial, procedimiento que lleve a la solución del problema particular que se busca. 1.3 MÉTODO DE RIGIDEZ Matriz de rigidez de un miembro o elemento Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 19 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa ‫ܥ‬ଵଵ ൌ ൅‫ܯ‬ଵଵ ‫ܥ‬ଵଶ ൌ െ‫ܯ‬ଵ ‫ܥ‬ଵଷ ൌ ൅‫ܯ‬ଵଷ ‫ܥ‬ଶଵ ൌ െ‫ܯ‬ଶଵ ‫ܥ‬ଶଶ ൌ ൅‫ܯ‬ଶଶ ‫ܥ‬ଶଷ ൌ െ‫ܯ‬ଶଷ ‫ܥ‬ଷଵ ൌ ൅‫ܯ‬ଷଵ ‫ܥ‬ଷଶ ൌ െ‫ܯ‬ଷଶ ‫ܥ‬ଷଷ ൌ ൅‫ܯ‬ଷଷ Inversión de una matriz por el método de la matriz adjunta Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ܽ௜௝ se remplaza por el cofactor , a esta matriz se le llama matriz de cofactores. A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz adjunta y se denota así ݆ܽ݀‫ܣ‬ ൌ ൣ‫ܥ‬௜௝൧ ் . Si cada elemento de la matriz adjunta se divide entre el determinante, entonces resulta la inversa de la matriz, siempre y cuando el determinante sea diferente de cero. ‫ܣ‬ିଵ ൌ ݆ܽ݀‫ܣ‬ |‫|ܣ‬ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ ‫ܥ‬ଵଵ |‫|ܣ‬ ‫ܥ‬ଶଵ |‫|ܣ‬ ⋯ ‫ܥ‬௠ଵ |‫|ܣ‬ ‫ܥ‬ଵଶ |‫|ܣ‬ ‫ܥ‬ଶଶ |‫|ܣ‬ ⋯ ‫ܥ‬௠ଶ |‫|ܣ‬ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ‫ܥ‬ଵ௡ |‫|ܣ‬ ‫ܥ‬ଶ௡ |‫|ܣ‬ ⋯ ‫ܥ‬௠௡ |‫|ܣ‬ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ En este breve repaso de álgebra lineal se ha definido las herramientas necesarias que servirán para relacionar los elementos de una estructura, así como sus cargas, deformaciones y reacciones en una forma matricial, lo anterior para poder sistematizar un procedimiento que lleve a la solución del problema particular que se busca. IGIDEZ EN FORMULACIÓN MATRICIAL Matriz de rigidez de un miembro o elemento Cálculo Estructural De: 106 e remplaza por el cofactor , a esta matriz se le llama matriz de cofactores. A la transpuesta de la matriz de . Si cada elemento de la determinante, entonces resulta la inversa de la matriz, En este breve repaso de álgebra lineal se ha definido las herramientas necesarias que servirán para relacionar los elementos de una estructura, así como sus cargas, lo anterior para poder sistematizar un procedimiento que lleve a la solución del problema particular que se busca. ATRICIAL
  20. 20. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Como se ha visto ya en la primera parte de este rigideces es necesario aislar un elemento y suponer desplazamientos unitarios de traslación y de rotación en cada extremo de dicho elemento, para así determinar las rigideces. Al considerar dos traslaciones y dos rot formas en que se puede deformar un elemento y para cada situación se obtendrán cuatro reacciones a saber, dos momentos y dos cortantes. Se puede relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento así: ‫ܭ‬ La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del elemento y, como se puede observar, es simétrica. Cuando un elemento es de sección variable conviene expresarla de la siguiente mane ߠ௝ ൌ 1 ‫ܭ‬ ൌ ‫ܯ‬௝ ‫ܯ‬௞ ܸ௝ ܸ௞ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ ݇ଵଵ ݇ଶଵ ݇ଵଵ ൅ ݇ଵଶ ‫ܮ‬ െ ݇ଵଵ ൅ ݇ଶଵ ‫ܮ‬ Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 20 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa Como se ha visto ya en la primera parte de este capítulo, para aplicar el método de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer desplazamientos unitarios de traslación y de rotación en cada extremo de dicho elemento, para así determinar las rigideces. Al considerar dos traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que se puede deformar un elemento y para cada situación se obtendrán cuatro reacciones a saber, dos momentos y dos cortantes. Se puede relacionar todo esto en una para cada elemento así: ߠ௝ ൌ 1 ߠ௞ ൌ 1 Δ௝ ൌ 1 Δ௞ ൌ 1 ൌ ‫ܯ‬௝ ‫ܯ‬௞ ܸ௝ ܸ௞ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del elemento y, como se puede observar, es simétrica. Cuando un elemento es de sección variable conviene expresarla de la siguiente manera: ߠ௞ ൌ 1 Δ௝ ൌ 1 ݇ଵଶ ݇ଵଵ ൅ ݇ଵଶ ‫ܮ‬ െ ݇ ݇ଶଶ ݇ଶଶ ൅ ݇ଵଶ ‫ܮ‬ െ ݇ ݇ଶଶ ൅ ݇ଵଶ ‫ܮ‬ ݇ଵଵ ൅ ݇ଶଶ ൅ ݇ଵଶ ൅ ݇ଶଵ ‫ܮ‬ଶ െ ݇ଵଵ ൅ ݇ െ ݇ଶଶ ൅ ݇ଶଵ ‫ܮ‬ െ ݇ଵଵ ൅ ݇ଶଶ ൅ ݇ଵଶ ൅ ݇ଶଵ ‫ܮ‬ଶ ݇ଵଵ ൅ ݇ Cálculo Estructural De: 106 capítulo, para aplicar el método de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer desplazamientos unitarios de traslación y de rotación en cada extremo de dicho elemento, para así determinar las aciones tenemos cuatro diferentes formas en que se puede deformar un elemento y para cada situación se obtendrán cuatro reacciones a saber, dos momentos y dos cortantes. Se puede relacionar todo esto en una ‫ے‬ La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del elemento y, como se puede observar, es simétrica. Cuando un elemento es de sección variable conviene Δ௞ ൌ 1 ݇ଵଵ ൅ ݇ଶଵ ‫ܮ‬ ݇ଶଶ ൅ ݇ଶଵ ‫ܮ‬ ݇ଶଶ ൅ ݇ଵଶ ൅ ݇ଶଵ ‫ܮ‬ଶ ݇ଶଶ ൅ ݇ଵଶ ൅ ݇ଶଵ ‫ܮ‬ଶ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬
  21. 21. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez La matriz de rigidez queda en función de la longitud del elemento y de los elementos ݇ଵଵ, ݇ଵଶ, ݇ଶଵ, ݇ଶଶ. Para calcular la matriz de rigidez de un miembro o elemento de sección variable se recurre a la definición de fl de la rigidez. Si se toman los elementos La flexibilidad será: Y los desplazamientos serán: Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuación de rigidez: Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 21 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa La matriz de rigidez queda en función de la longitud del elemento y de los . Para calcular la matriz de rigidez de un miembro o elemento de sección variable se recurre a la definición de flexibilidad que no es otra cosa que el inverso Si se toman los elementos ݇ଵଵ, ݇ଵଶ, ݇ଶଵ, ݇ଶଶ de la matriz de rigidez ‫ܭ‬ ൌ ‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ ൤ ݇ଵଵ ݇ଵଶ ݇ଶଵ ݇ଶଶ ൨ La flexibilidad será: ‫ܨ‬ ൌ ‫ܭ‬ିଵ ൌ ‫ܮ‬ ‫ܫܧ‬ ൤ ݂ଵଵ ݂ଵଶ ݂ଶଵ ݂ଶଶ ൨ Y los desplazamientos serán: ൤ ߠ௝ ߠ௞ ൨ ൌ ‫ܮ‬ ‫ܫܧ‬ ൤ ݂ଵଵ ݂ଵଶ ݂ଶଵ ݂ଶଶ ൨ ൤ ‫ܯ‬௝ ‫ܯ‬௞ ൨ Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuación de rigidez: ൤ ‫ܯ‬௝ ‫ܯ‬௞ ൨ ൌ ‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 1 ݂ଵଵ݂ଶଶ െ ݂ଵଶ ଶ ൤ ݂ଶଶ െ݂ଵଶ െ݂ଵଶ ݂ଵଵ ൨ ൤ ߠ௝ ߠ௞ ൨ Cálculo Estructural De: 106 La matriz de rigidez queda en función de la longitud del elemento y de los . Para calcular la matriz de rigidez de un miembro o elemento de exibilidad que no es otra cosa que el inverso Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuación de rigidez:
  22. 22. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una sección variable serán: De donde ݂ଵଵ, ݂ଵଶ,݂ଶଶ Vector de cargas del miembro o elemento Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 22 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una sección variable serán: ݇ଵଵ ൌ ‫ܫܧ‬௜ ‫ܮ‬ ݂ଶଶ ݂ଵଵ݂ଶଶ െ ݂ଵଶ ଶ ݇ଵଶ ൌ ݇ଶଵ ൌ െ ‫ܫܧ‬௜ ‫ܮ‬ ݂ଵଶ ݂ଵଵ݂ଶଶ െ ݂ଵଶ ଶ ݇ଶଶ ൌ ‫ܫܧ‬௜ ‫ܮ‬ ݂ଵଵ ݂ଵଵ݂ଶଶ െ ݂ଵଶ ଶ son: ݂ଵଵ ൌ ‫ܫ‬௜ ‫ܮ‬ଷ න ሺ‫ܮ‬ െ ‫ݔ‬ሻଶ ‫ܫ‬௫ ݀‫ݔ‬ ு ଴ ݂ଵଶ ൌ ‫ܫ‬௜ ‫ܮ‬ଷ න ‫ݔ‬ሺ‫ܮ‬ െ ‫ݔ‬ሻ ‫ܫ‬௫ ݀‫ݔ‬ ு ଴ ݂ଶଶ ൌ ‫ܫ‬௜ ‫ܮ‬ଷ න ‫ݔ‬ଶ ‫ܫ‬௫ ݀‫ݔ‬ ு ଴ Vector de cargas del miembro o elemento Cálculo Estructural De: 106 Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una sección variable serán:
  23. 23. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez En el caso de las cargas que actúan sobre un elemento también se puede asignar una matriz o más específicamente un vector cuyo nombre será vector de cargas ejemplo para el caso de un elemento sometido a una carga uniformemente distribuida, el vector de cargas será: Matriz de rigidez de la estructura La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las matrice elementos de acuerdo al desplazamiento en que estén involucrados. La nueva matriz será una matriz cuadrada de orden igual al grado de indeterminación cinemática de la estructura y se denotará por la letra Vector de cargas de la estructura Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que estén involucrados y se representará por la letra J. Deformaciones en los nudos Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estru estructura se pueden obtener fácilmente las deformaciones en los nudos así: ሾ‫ݏ݁݊݋݅ܿܽ݉ݎ݋݂݁ܦ‬ሿ ൌ Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 23 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa En el caso de las cargas que actúan sobre un elemento también se puede asignar una matriz o más específicamente un vector cuyo nombre será vector de cargas so de un elemento sometido a una carga uniformemente distribuida, el ܳ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ ‫ܮݓ‬ଶ 12 െ ‫ܮݓ‬ଶ 12 ‫ܮݓ‬ 2 ‫ܮݓ‬ 2 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Matriz de rigidez de la estructura La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las matrice elementos de acuerdo al desplazamiento en que estén involucrados. La nueva matriz será una matriz cuadrada de orden igual al grado de indeterminación cinemática de la estructura y se denotará por la letra S. Vector de cargas de la estructura vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que estén involucrados y se representará por Deformaciones en los nudos Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de la estructura se pueden obtener fácilmente las deformaciones en los nudos así: ሿ ൌ ሾ‫ݖ݅ݎݐܽܯ‬ ݀݁ ‫݁݀݅݃݅ݎ‬ ‫ݖ‬ ݀݁ ݈ܽ ݁‫ܽݎݑݐܿݑݎݐݏ‬ሿିଵሾെܸ݁ܿ‫ݎ݋ݐ‬ Cálculo Estructural De: 106 En el caso de las cargas que actúan sobre un elemento también se puede asignar una matriz o más específicamente un vector cuyo nombre será vector de cargas Q. Por so de un elemento sometido a una carga uniformemente distribuida, el La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que estén involucrados. La nueva matriz será una matriz cuadrada de orden igual al grado de indeterminación cinemática de la vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que estén involucrados y se representará por ctura y el vector de cargas de la estructura se pueden obtener fácilmente las deformaciones en los nudos así: ܸ݁ܿ‫ݎ݋ݐ‬ ݀݁ ܿܽ‫ݏܽ݃ݎ‬ሿ
  24. 24. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Reacciones finales en los nudos Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de rigidez de cada elemento por su deformación real y se suma la carga expresada en su vector de carga correspondiente. ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ ‫ܯ‬௝ ‫ܯ‬௞ ܸ௝ ܸ௞ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ൌ ሾ‫ݖ݅ݎݐܽܯ‬ ݀݁ ‫ݖ݁݀݅݃݅ݎ‬ Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 24 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa ሾ‫ܦ‬ሿ ൌ ሾܵሿିଵሾെ‫ܬ‬ሿ Reacciones finales en los nudos Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de rigidez de cada elemento por su deformación real y se suma la carga expresada en su vector de carga correspondiente. ‫ݖ݁݀݅݃݅ݎ‬ ݈݀݁ ݈݁݁݉݁݊‫݋ݐ‬ሿ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ ߠ௝ ߠ௞ Δ௝ Δ௞‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ൅ ሾܸ݁ܿ‫ݎ݋ݐ‬ ݀݁ ܿܽ‫ݏܽ݃ݎ‬ ݈݀݁ ܴ ൌ ሾ‫ܭ‬ሿሾ‫ܦ‬௜ሿ ൅ ሾܳሿ Cálculo Estructural De: 106 Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de rigidez de cada elemento por su deformación real y se suma la carga expresada en su vector de carga correspondiente. ݈݀݁ ݈݁݁݉݁݊‫݋ݐ‬ሿ
  25. 25. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez CAPÍTULO 2 MICROSOFT 2.1 ENTORNO DE TRABAJO Para el propósito que se aspectos más básicos de Excel y sólo se limitará a describir los componentes que serán de especial utilidad en el programa a desarrollar. Un archivo de Excel es en realidad un libro de cálculo que hojas, cada hoja contiene filas y 256 columnas; estas celdas pueden contener texto, números, fechas y fórmulas. En la siguiente figura se muestra un libro abierto en Excel Como puede verse, las filas o renglones están numeradas en forma sucesiva 1, 2, 3…etc., mientras las columnas están nombradas con letras del abecedario A, B, C…etc. En el ejemplo anterior la celda seleccionada es la de la fila 3, columna 2, o en notación Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 25 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa MICROSOFT EXCEL® RABAJO Para el propósito que se persigue, se partirá del hecho de que la mayoría conoce los aspectos más básicos de Excel y sólo se limitará a describir los componentes que serán de especial utilidad en el programa a desarrollar. Un archivo de Excel es en realidad un libro de cálculo que consta de una o más hojas, cada hoja contiene 16, 777, 216 campos llamados celdas ordenados en 65, 536 filas y 256 columnas; estas celdas pueden contener texto, números, fechas y fórmulas. En la siguiente figura se muestra un libro abierto en Excel FIGURA 9 o puede verse, las filas o renglones están numeradas en forma sucesiva 1, 2, las columnas están nombradas con letras del abecedario A, B, C…etc. En el ejemplo anterior la celda seleccionada es la de la fila 3, columna 2, o en notación Cálculo Estructural De: 106 persigue, se partirá del hecho de que la mayoría conoce los aspectos más básicos de Excel y sólo se limitará a describir los componentes que serán de consta de una o más campos llamados celdas ordenados en 65, 536 filas y 256 columnas; estas celdas pueden contener texto, números, fechas y fórmulas. En o puede verse, las filas o renglones están numeradas en forma sucesiva 1, 2, las columnas están nombradas con letras del abecedario A, B, C…etc. En el ejemplo anterior la celda seleccionada es la de la fila 3, columna 2, o en notación
  26. 26. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez propia del Excel, es la celda B3. En el entorno varias celdas a la vez, a un conjunto de celdas se le llama rango y su notación consiste en escribir la primera celda arriba a la izquierda, luego separar con dos puntos y última celda abajo a la derecha, por ejemplo B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1:B3. Abajo en la izquierda pueden observarse tres fichas tituladas “Hoja 1”, “Hoja 2” y “Hoja 3”, que s conforman el libro. 2.2 FUNCIONES MATEMÁTICAS Como ya se mencionó, las celdas pueden contener fórmulas sea confundida con texto simple, éstas siempre deben empezar con el signo igual (=), las fórmulas están compuestas de una o más funciones. H que si bien no son todas las disponibles serán las necesarias para resolver un p de análisis estructural. A continuación se presenta una tabla con dichas funciones: Además de las funciones anteriores, también en una celda se pueden realizar operaciones directas, por ejemplo si escribimos en cualquier celda “=5*8+1” la celda FUNCIÓN SUMA SUMA(número1 MAX MAX(número1 MMULT MMULT(matriz1 MINVERSA MINVERSA Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 26 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa ia del Excel, es la celda B3. En el entorno de trabajo de Excel pueden seleccionarse un conjunto de celdas se le llama rango y su notación consiste en escribir la primera celda arriba a la izquierda, luego separar con dos puntos y última celda abajo a la derecha, por ejemplo, si seleccionamos las celdas A1, A2, A3, B1, B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1:B3. Abajo en la izquierda pueden observarse tres fichas tituladas “Hoja 1”, “Hoja 2” y “Hoja 3”, que s ATEMÁTICAS Como ya se mencionó, las celdas pueden contener fórmulas y para que una fórmula no sea confundida con texto simple, éstas siempre deben empezar con el signo igual (=), las uestas de una o más funciones. Haré hincapié en algunas funciones que si bien no son todas las disponibles serán las necesarias para resolver un p continuación se presenta una tabla con dichas funciones: funciones anteriores, también en una celda se pueden realizar operaciones directas, por ejemplo si escribimos en cualquier celda “=5*8+1” la celda SINTAXIS DESCRIPCIÓN número1;número2; ...) Suma todos los números en los rangos indicados número1;número2; ...) Devuelve el valor máximo de un conjunto de valores. matriz1;matriz2) Devuelve la matriz producto de dos matrices. El resultado es una matriz con el mismo número de filas que matriz1 y el mismo número de columnas que matriz2. MINVERSA(matriz) Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz. Cálculo Estructural De: 106 de trabajo de Excel pueden seleccionarse un conjunto de celdas se le llama rango y su notación consiste en escribir la primera celda arriba a la izquierda, luego separar con dos puntos y escribir la si seleccionamos las celdas A1, A2, A3, B1, B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1:B3. Abajo en la izquierda pueden observarse tres fichas tituladas “Hoja 1”, “Hoja 2” y “Hoja 3”, que son las hojas que para que una fórmula no sea confundida con texto simple, éstas siempre deben empezar con el signo igual (=), las aré hincapié en algunas funciones que si bien no son todas las disponibles serán las necesarias para resolver un problema continuación se presenta una tabla con dichas funciones: funciones anteriores, también en una celda se pueden realizar operaciones directas, por ejemplo si escribimos en cualquier celda “=5*8+1” la celda DESCRIPCIÓN Suma todos los números en los rangos Devuelve el valor máximo de un conjunto Devuelve la matriz producto de dos matrices. El resultado es una matriz con el mismo número de filas que matriz1 y el mismo número de columnas que matriz2. Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz.
  27. 27. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez mostrará el resultado de esta operación, o sea “41”, de igual forma si en otra celda escribimos “=A1+3” entonces se sumará el valor de la celda “A1” más tres. 2.3 VISUAL BASIC PARA APLICACION Excel cuenta con un lenguaje de programación como una extensión de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones, dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron anteriormente, es decir, libros, hojas, celdas, funciones, etc., esto permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo. A continuación se explica cómo FIGURA 10 Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 27 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa mostrará el resultado de esta operación, o sea “41”, de igual forma si en otra celda ces se sumará el valor de la celda “A1” más tres. ASIC PARA APLICACIONES. Excel cuenta con un lenguaje de programación como una extensión de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones, dicho lenguaje se ajusta a los Excel que se mencionaron anteriormente, es decir, libros, hojas, celdas, funciones, etc., esto permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo. A cómo hacer uso de esta característica de Excel. Cálculo Estructural De: 106 mostrará el resultado de esta operación, o sea “41”, de igual forma si en otra celda ces se sumará el valor de la celda “A1” más tres. Excel cuenta con un lenguaje de programación como una extensión de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones, dicho lenguaje se ajusta a los Excel que se mencionaron anteriormente, es decir, libros, hojas, celdas, funciones, etc., esto permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo. A hacer uso de esta característica de Excel.
  28. 28. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez En el menú Herrami Alt+F11, se abre una ventana como é FIGURA 11 El espacio a la derecha sirve para escribir el código que deseemos ejecutar, es decir, aquí escribiremos todas las instrucciones que deseamos que el programa eje en este entorno se le llama macro. Una macro está constituida de uno o más bloques de instrucciones llamados procedimientos. Veamos el siguiente ejemplo: Sub Ejemplo1 Application.WorkBooks(1).WorkSheets(1).Range("A1").Value = 2 + 3 End Sub Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 28 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa En el menú Herramientas>Macro>Editor de Visual Basic, o bien pulsando +F11, se abre una ventana como ésta: El espacio a la derecha sirve para escribir el código que deseemos ejecutar, es decir, aquí escribiremos todas las instrucciones que deseamos que el programa eje en este entorno se le llama macro. Una macro está constituida de uno o más bloques de instrucciones llamados procedimientos. Veamos el siguiente ejemplo: Application.WorkBooks(1).WorkSheets(1).Range("A1").Value = 2 + 3 Cálculo Estructural De: 106 entas>Macro>Editor de Visual Basic, o bien pulsando El espacio a la derecha sirve para escribir el código que deseemos ejecutar, es decir, aquí escribiremos todas las instrucciones que deseamos que el programa ejecute, Una macro está constituida de uno o más bloques de instrucciones llamados
  29. 29. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Para dar de alta un procedimiento instrucción Sub. A continuación se escribe la lista de tareas que llevará a cabo dicho procedimiento. En el ejemplo anterior, el procedimiento se llama va a realizar es llamar a Excel “Application” hoja 1 “WorkSheets(1)”, y al rango A1 asignarle el valor “2+3” y se mostrará el resultado “5”, finalmente se termina el procedimiento con la instrucción End Sub. En la mayoría de los casos, Application no ser momento se estará trabajando en la misma aplicación, o sea Excel. A menos que sucediera lo contrario, Workbook tampoco será necesario porque se trabajará con un solo libro. Worksheets sí será necesario especificarlo y, obviamente, Range también deberá estar definido. Variables Como en todo lenguaje de programación existen datos variables que nos sirven para almacenar diferentes valor véase el siguiente ejemplo: Sub Ejemplo2 i = 0 i =WorkSheets(1).Range("A1").Value End Sub En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda A1. En VBA también se pueden definir v ejemplo: Sub Ejemplo3 Dim m(0,3) m(0,0) =WorkSheets(1).Range("A1").Value m(0,1) =3.15 m(0,2) =WorkSheets(1).Range("A1").Value m(0,0) = m(0,0) End Sub Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 29 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa ar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre continuación se escribe la lista de tareas que llevará a cabo dicho procedimiento. En el ejemplo anterior, el procedimiento se llama “Ejemplo1” y la tarea que a Excel “Application” llamar al libro 1 “WorkBooks(1)”, llamar a la hoja 1 “WorkSheets(1)”, y al rango A1 asignarle el valor “2+3” y se mostrará el resultado “5”, finalmente se termina el procedimiento con la instrucción End Sub. ayoría de los casos, Application no será necesario especificarlo, momento se estará trabajando en la misma aplicación, o sea Excel. A menos que sucediera lo contrario, Workbook tampoco será necesario porque se trabajará con un solo rksheets sí será necesario especificarlo, ya que se trabajarán con diferentes hojas Range también deberá estar definido. Como en todo lenguaje de programación existen datos variables que nos sirven para almacenar diferentes valores según lo requiera el programa. Para ilustrar lo anterior WorkSheets(1).Range("A1").Value En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda A1. En VBA también se pueden definir variables del tipo matriz como se hace en el siguiente WorkSheets(1).Range("A1").Value WorkSheets(1).Range("A1").Value+3.15 Cálculo Estructural De: 106 asignarle un nombre anteponiendo la continuación se escribe la lista de tareas que llevará a cabo dicho Ejemplo1” y la tarea que al libro 1 “WorkBooks(1)”, llamar a la hoja 1 “WorkSheets(1)”, y al rango A1 asignarle el valor “2+3” y se mostrará el resultado “5”, finalmente se termina el procedimiento con la instrucción End Sub. á necesario especificarlo, ya que en todo momento se estará trabajando en la misma aplicación, o sea Excel. A menos que sucediera lo contrario, Workbook tampoco será necesario porque se trabajará con un solo trabajarán con diferentes hojas Como en todo lenguaje de programación existen datos variables que nos sirven es según lo requiera el programa. Para ilustrar lo anterior ariables del tipo matriz como se hace en el siguiente
  30. 30. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez En el ejemplo3 se declara una matriz de un re que se especifique lo contrario, el número de renglones y columnas se cuenta desde cero, o sea la matriz m tiene el renglón 0 y las columnas 0, 1, 2, 3). Obviamente las matrices pueden contener diferentes tipos de datos, po si no se les indica un tipo de datos específico se toma un tipo variable, pero hay que ser congruente en el momento de realizar operaciones ya que si se multiplica un número por un texto, devolverá un error. Instrucciones lógicas Existen determinadas sentencias o instrucciones lógicas que son de gran utilidad para evaluar datos, una de las más importantes es la sentencia condicionante Si y su sintaxis es: If condición Then [instrucciones] Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque: If condición Then [instrucciones] [ElseIf condición-n Then [instrucciones_elseif] ... [Else [instrucciones_else]] End If A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento: Sub ejemplo4 Dim m(0, 3) m(0, 0) = 1 m(0, 1) = 5 m(0, 2) = 3 valor1 = m(0, 1) valor2 = m(0, 2) If valor1 > valor2 Then Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 30 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa En el ejemplo3 se declara una matriz de un renglón y cuatro columnas (a menos que se especifique lo contrario, el número de renglones y columnas se cuenta desde cero, o sea la matriz m tiene el renglón 0 y las columnas 0, 1, 2, 3). Obviamente las matrices pueden contener diferentes tipos de datos, por ejemplo números, texto, etc. Pero en VBA si no se les indica un tipo de datos específico se toma un tipo variable, pero hay que ser congruente en el momento de realizar operaciones ya que si se multiplica un número por un texto, devolverá un error. rucciones lógicas Existen determinadas sentencias o instrucciones lógicas que son de gran utilidad para evaluar datos, una de las más importantes es la sentencia If y su sintaxis es: ]-[Else instrucciones_else] Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque: A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento: Cálculo Estructural De: 106 nglón y cuatro columnas (a menos que se especifique lo contrario, el número de renglones y columnas se cuenta desde cero, o sea la matriz m tiene el renglón 0 y las columnas 0, 1, 2, 3). Obviamente las matrices r ejemplo números, texto, etc. Pero en VBA si no se les indica un tipo de datos específico se toma un tipo variable, pero hay que ser congruente en el momento de realizar operaciones ya que si se multiplica un número por Existen determinadas sentencias o instrucciones lógicas que son de gran utilidad If que significa una
  31. 31. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez m(0, 3) = valor1 Else m(0, 3) = valor2 End If End Sub En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores a los t primeros elementos, después se almacena en la variable en la variable valor2 el valor del elemento tres. A continuación se evalúa si la variable valor1 es mayor que valor2 la matriz m será igual a la variable se termina la instrucción con End If. Instrucciones cíclicas Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando intervienen este tipo de instrucciones, una instrucción muy utilizada, será la instrucción indicará su sintaxis y se dará un ejemplo de su utilización. For contador = principio To fin [Step [instrucciones] [Exit For] [instrucciones] Next [contador] En el siguiente ejemplo se escribirán los números del 1 al 10 en las primeras 10 celdas de la columna uno. Sub Ejemplo5 For i = 1 to 10 Step 1 WorkSheets(1). Next i End Sub Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 31 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores a los t primeros elementos, después se almacena en la variable valor1 el valor del elemento dos y el valor del elemento tres. A continuación se evalúa si la variable valor2, en caso de que sea verdadero entonces el ele será igual a la variable valor1, si no entonces será igual a la variable se termina la instrucción con End If. Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando intervienen este tipo de instrucciones, una instrucción muy utilizada, será la instrucción For, indicará su sintaxis y se dará un ejemplo de su utilización. Step incremento] En el siguiente ejemplo se escribirán los números del 1 al 10 en las primeras 10 WorkSheets(1).Cells(i,1) = i Cálculo Estructural De: 106 En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores a los tres el valor del elemento dos y el valor del elemento tres. A continuación se evalúa si la variable , en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro de , si no entonces será igual a la variable valor2 y Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando intervienen este tipo de For, a continuación se En el siguiente ejemplo se escribirán los números del 1 al 10 en las primeras 10
  32. 32. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez CAPÍTULO 3 ANÁLISIS MARCO PLANO 3.1 CÓDIGO FUENTE Para explicar el código fuente es necesario mencionar algunos detalles acerca de cómo se van a ordenar los datos en el libro de Excel. El libro va a contener seis hojas, la hoja uno se llamará “CONFIGURACIÓN”, en ésta se van para el cálculo, las hojas dos, tres, cuatro y cinco, llamadas “PASO_1”, “PASO_2”, “PASO_3” y “PASO_4”, respectivamente se escribirán los resultados y en la hoja seis titulada “SECCIONES” se almacenarán los tipos de seccione estructura disponibles para el cálculo. A continuación se explica el procedimiento llamado “PASO_1”, el cual calcula y escribe en la hoja “PASO_1” las matrices de rigidez de los elementos de la estructura. (El texto color negro es el código fuente, el texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1() Worksheets("PASO_1").Select Dim mrei(4, 4) 'Declara matriz de elementos de 4 x 4 numel = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets( numero de elementos Worksheets("PASO_1").Cells.Clear RENGLON = 1 'Se establece un contador para renglones For i = 1 To numel 'Ciclo para obtener las matrices de rig Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 32 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE EN MICROSOFT EXCEL® UENTE Para explicar el código fuente es necesario mencionar algunos detalles acerca de cómo se van a ordenar los datos en el libro de Excel. El libro va a contener seis hojas, la hoja uno se llamará “CONFIGURACIÓN”, en ésta se van a escribir los datos necesarios para el cálculo, las hojas dos, tres, cuatro y cinco, llamadas “PASO_1”, “PASO_2”, “PASO_3” y “PASO_4”, respectivamente se escribirán los resultados y en la hoja seis titulada “SECCIONES” se almacenarán los tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el cálculo. A continuación se explica el procedimiento llamado “PASO_1”, el cual calcula y escribe en la hoja “PASO_1” las matrices de rigidez de los elementos de la estructura. (El el código fuente, el texto color verde son comentarios explicativos) Worksheets("PASO_1").Select 'Selecciona la Hoja llamada "PASO_1" 'Declara matriz de elementos de 4 x 4 numel = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("a:a")) Worksheets("PASO_1").Cells.Clear 'Se limpian los datos existentes en la hoja "PASO_1" 'Se establece un contador para renglones 'Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento Cálculo Estructural De: 106 DE UN Para explicar el código fuente es necesario mencionar algunos detalles acerca de cómo se van a ordenar los datos en el libro de Excel. El libro va a contener seis hojas, la a escribir los datos necesarios para el cálculo, las hojas dos, tres, cuatro y cinco, llamadas “PASO_1”, “PASO_2”, “PASO_3” y “PASO_4”, respectivamente se escribirán los resultados y en la hoja seis s de los elementos de la A continuación se explica el procedimiento llamado “PASO_1”, el cual calcula y escribe en la hoja “PASO_1” las matrices de rigidez de los elementos de la estructura. (El el código fuente, el texto color verde son comentarios explicativos) "CONFIG").Range("a:a")) 'Se obtiene el 'Se limpian los datos existentes en la hoja "PASO_1"
  33. 33. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez L = Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 2).Value elemento iner = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 3).Value ‘Se guarda en la variable iner el momento elas = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 2).Value ‘Se guarda en la variable elas el módulo de elasticidad del elemento tipo = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1 ‘Se guarda en la variable tipo el tipo de sección del elemento Select Case tipo ‘Se evalúa el tipo de sección y de acuerdo a ésta se calculan los coeficientes de rigidez Case 1 ’Caso uno la sección es constante mrei(1, 1) = (4 * iner * elas) / L mrei(1, 2) = (2 * iner * elas) / L mrei(2, 1) = (2 * iner * elas) / L mrei(2, 2) = (4 * iner * elas) / L Case 2 ’Caso dos la sección es varía de una altura en j a otra altura en k hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Works hk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 5).Value If hj < hk Then hmin = hj If hj > hk Then hmin = hk If hj = hk Then hmin = hk a = 1 Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 33 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa L = Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 2).Value ‘Se guarda en la variable L la longitud del iner = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 3).Value ‘Se guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento elas = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 2).Value ‘Se guarda en la variable elas el módulo de elasticidad del elemento tipo = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 8).Value ‘Se guarda en la variable tipo el tipo de sección del elemento ‘Se evalúa el tipo de sección y de acuerdo a ésta se calculan los coeficientes de ’Caso uno la sección es constante * iner * elas) / L mrei(1, 2) = (2 * iner * elas) / L mrei(2, 1) = (2 * iner * elas) / L mrei(2, 2) = (4 * iner * elas) / L ’Caso dos la sección es varía de una altura en j a otra altura en k hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4).Value hk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, Cálculo Estructural De: 106 ‘Se guarda en la variable L la longitud del iner = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 3).Value elas = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 2).Value , 3).Value + 1, 8).Value ‘Se evalúa el tipo de sección y de acuerdo a ésta se calculan los coeficientes de heets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4).Value hk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1,
  34. 34. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez f11 = Integral(1, 0, L, hj, hk, hmin, L, a) f12 = Integral(2, 0, L, hj, hk, hmin, L, a) f22 = Integral(3, 0, L, hj, hk, hmin, L, a) mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f11 * f22 mrei(1, 2) = iner * elas * f12 / (L * (f11 * f22 mrei(2, 1) = mrei(1, 2) mrei(2, 2) = iner * elas * f11 / (L * (f11 * f22 Case 3 ‘La sección varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4 hk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 5).Value a = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 7).Value If hj < hk Then hmin = hj If hj > hk Then hmin = hk If hj = hk Then hmin = hk f11 = Integral(1, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(1, L * a, L Integral(1, L - L * a, L, hk, hj, hmin, L, a) f12 = Integral(2, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(2, L * a, Integral(2, L - L * a, L, hk, hj, hmin, L, a) f22 = Integral(3, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(3, L * a, L Integral(3, L - L * a, L, hk, hj, hmin, L, a) mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f11 * f22 mrei(1, 2) = iner * elas * f12 / (L * (f11 * f22 Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 34 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa = Integral(1, 0, L, hj, hk, hmin, L, a) f12 = Integral(2, 0, L, hj, hk, hmin, L, a) f22 = Integral(3, 0, L, hj, hk, hmin, L, a) mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) mrei(1, 2) = iner * elas * f12 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) mrei(2, 2) = iner * elas * f11 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) La sección varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4 hk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, a = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 7).Value f11 = Integral(1, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(1, L * a, L - L * a, hk, hk, hk, L, 1) + L * a, L, hk, hj, hmin, L, a) f12 = Integral(2, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(2, L * a, L - L * a, hk, hk, hk, L, 1) + L * a, L, hk, hj, hmin, L, a) f22 = Integral(3, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(3, L * a, L - L * a, hk, hk, hk, L, 1) + L * a, L, hk, hj, hmin, L, a) * f22 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) mrei(1, 2) = iner * elas * f12 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) Cálculo Estructural De: 106 hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4).Value hk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, a = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 7).Value L * a, hk, hk, hk, L, 1) + L * a, hk, hk, hk, L, 1) + L * a, hk, hk, hk, L, 1) +
  35. 35. Escribir tipo de proyecto REALIZADO 4/30/2010 Nombre: Ing. Leonel Iván Miranda Méndez mrei(2, 1) = mrei(1, 2) mrei(2, 2) = iner * elas * f11 / (L * (f11 * f22 Case 4 ‘La sección varia de hj a hk, luego h a h y de hk a hj hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4).Value hk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 5).Value h = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets a = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 7).Value If hj < hk Then hmin = hj If hj > hk Then hmin = hk If hj = hk Then hmin = hk If h < hmin Then hmin = h If hj = hk = h Then hmin = h f11 = Integral(1, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(1, L * a, L L * a, L, hk, hj, hk, L, a) f12 = Integral(2, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(2, L * a, L L * a, L, hk, hj, hk, L, a) f22 = Integral(3, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(3, L * a, L L * a, L, hk, hj, hk, L, a) mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f mrei(1, 2) = iner * elas * f12 / (L * (f11 * f22 mrei(2, 1) = mrei(1, 2) mrei(2, 2) = iner * elas * f11 / (L * (f11 * f22 Escribir tipo de proyecto Escribir la ubicación del proyecto. Cálculo Estructural Escribir nombre de archivo Versión: Para aprendizaje Fecha: 4/30/2010 Página: 35 REVISADO 09/01/2010 Ing. Leonel Iván Miranda Méndez Nombre: Escribir quien revisa mrei(2, 2) = iner * elas * f11 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) ‘La sección varia de hj a hk, luego h a h y de hk a hj a lo largo de L hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4).Value hk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, h = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 6).Value a = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 7).Value If hj = hk = h Then hmin = h f11 = Integral(1, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(1, L * a, L - L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(1, L f12 = Integral(2, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(2, L * a, L - L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(2, L f22 = Integral(3, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(3, L * a, L - L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(3, L mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) mrei(1, 2) = iner * elas * f12 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) mrei(2, 2) = iner * elas * f11 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) Cálculo Estructural De: 106 hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4).Value hk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, ("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 6).Value a = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 7).Value L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(1, L - L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(2, L - L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(3, L -

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