Matematika Kelas X

Hak Cipta © 2014 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
Dilindungi Undang-Undang
MILIK NEGARA
TIDAK DIPERDAGANGKAN
Disklaimer: Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka
implementasi Kurikulum 2013. Buku guru ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah
koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal
penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki,
diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman.
Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini.
Katalog Dalam Terbitan (KDT)
Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
Matematika: Buku Guru/Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.-- Edisi Revisi.
Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2014.
xxii, 578 hlm. : ilus. ; 25 cm.
Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X
ISBN 978-602-282-494-7 (jilid lengkap)
ISBN 978-602-282-495-4 (jilid 1)
1. Matematika — Studi dan Pengajaran I. Judul
II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
ii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
510
Kontributor Naskah : Bornok Sinaga, Pardomuan N.J.M. Sinambela, Andri Kristianto
Sitanggang, Tri Andri Hutapea, Lasker Pangarapan Sinaga,
Sudianto Manullang, Mangara Simanjorang, dan Yuza Terzalgi
Bayuzetra.
Penelaah : Agung Lukito dan Sisworo.
Penyelia Penerbitan : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.
Cetakan Ke-1, 2013
Cetakan Ke-2, 2014 (Edisi Revisi)
Disusun dengan huruf Times New Roman, 11 pt.

Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi
sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan
dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan
yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan
evaluasi selanjutnya.
Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matematis akan dapat diselesaikan
dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan. Karenanya
matematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien. Perlu kemampuan berpikir kritis-kreatif
untuk menggunakan matematika seperti uraian diatas: menentukan variabel dan parameter, mencari
keterkaitan antar variabel dan dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu
gagasan, membuktikan kesetaraan antar beberapa rumusan matematika, menyelesaikan model abstrak
yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh.
Buku Matematika Kelas X untuk Pendidikan Menengah ini disusun dengan tujuan memberi pengalaman
konkret-abstrak kepada peserta didik seperti uraian diatas. Pembelajaran matematika melalui buku ini
akan membentuk kemampuan peserta didik dalam menyajikan gagasan dan pengetahuan konkret secara
abstrak, menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, dan berlatih berfikir rasional, kritis dan kreatif.
Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap,
pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran
berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang metode-metode matematika,
dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya,
dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan.
Buku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan peserta didik untuk mencapai kompetensi
yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, peserta didik
diberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran
guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap peserta didik dengan ketersedian
kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain
yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam.
Implementasi terbatas pada tahun ajaran 2013/2014 telah mendapat tanggapan yang sangat positif
dan masukan yang sangat berharga. Pengalaman tersebut dipergunakan semaksimal mungkin dalam
menyiapkan buku untuk implementasi menyeluruh pada tahun ajaran 2014/2015 dan seterusnya. Buku
ini merupakan edisi kedua sebagai penyempurnaan dari edisi pertama. Buku ini sangat terbuka dan terus
dilakukan perbaikan dan penyempurnaan. Untuk itu, kami mengundang para pembaca memberikan kritik,
saran dan masukan untuk perbaikan dan penyempurnaan pada edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut,
kami ucapkan terima kasih. Mudah-mudahan kita dapat memberikan yang terbaik bagi kemajuan dunia
pendidikan dalam rangka mempersiapkan generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (2045).
Jakarta, Januari 2014
Menteri Pendidikan dan Kebudayaan
iii Matematika
Mohammad Nuh

Bapak, Ibu guru kami yang terhormat, banyak hal yang sudah kita lakukan sebagai usaha
membelajarkan peserta didik dengan harapan, mereka berketuhanan, berperikemanusiaan,
berpengetahuan, dan berketerampilan melalui pendidikan matematika. Harapan dan tugas mulia ini
cukup berat, menuntut tanggung jawab yang tidak habis-habisnya dari generasi ke generasi.
Banyak masalah pembelajaran matematika yang kita hadapi, bagaikan menelusuri sebuah
lingkaran dengan titik-titik masalah yang tak berhingga banyaknya. Tokoh pendidikan matematika
Soedjadi dan Yansen Marpaung menyatakan, kita harus berani memilih/menetapkan tindakan dan
menghadapi resiko untuk meningkatkan kualitas pendidikan matematika di setiap sekolah tempat
guru melaksanakan tugas profesionalitasnya. Artinya, guru sebagai orang yang pertama dan yang
utama bertindak sebagai pengembang kurikulum yang mengenal karakteristik siswa dengan baik,
dituntut bekerjasama memikirkan jalan keluar permasalahan yang terjadi. Pola pembelajaran yang
bagaimana yang sesuai dengan karakteristik matematika dan karakteristik peserta didik di sekolah
Bapak/Ibu ?.
Salah satu alternatif, kita akan mengembangkan pembelajaran matematika berbasis paham
konstruktivisme. Buah pikiran ini didasari prinsip bahwa: (1) setiap anak lahir di bumi, mereka telah
memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi budaya, (3)
matematika adalah produk budaya, yaitu hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian
masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia. Untuk itu diperlukan
perangkat pembelajaran, media pembelajaran, asesmen otentik dalam pelaksanaan proses
pembelajaran di kelas.
Model pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik yang relevan dengan karakteristik
matematika dan tujuan pembelajaran matematika cukup banyak, seperti (1) model pembelajaran
berbasis masalah, (2) pembelajaran kontekstual, (3) pembelajaran kooperatif dan banyak model
pembelajaran lainnya. Bapak/Ibu dapat mempelajarinya secara mendalam melalui aneka sumber
pembelajaran.
Pokok bahasan yang dikaji dalam buku petunjuk guru ini, antara lain: (1) eksponen dan logaritma,
(2) persamaan dan pertidaksamaan linier, (3) sistem persamaan dan pertidaksamaan linier, (4)
matriks, (5) relasi dan fungsi, (6) barisan dan deret, (7) persamaan dan fungsi kuadrat, (8) geometri,
(9) trigoniometri, (10) statistik, (11) peluang, dan (12) limit fungsi yang tertera dalam kurikulum
2013. Berbagai konsep, aturan dan sifat-sifat dalam matematika ditemukan melalui penyelesaian
masalah nyata, media pembelajaran, yang terkait dengan materi yang diajarkan. Seluruh materi
yang diajarkan berkiblat pada pencapaian kompetensi yang ditetapkan dalam kurikulum matematika
2013. Semua petunjuk yang diberikan dalam buku ini hanyalah pokok-pokoknya saja. Oleh karena
itu, Bapak dan Ibu guru dapat mengembangkan dan menyesuaikan dengan keadaan dan suasana
kelas saat pembelajaran berlangsung.
Akhirnya, tidak ada gading yang tak retak. Rendahnya kualitas pendidikan matematika adalah
masalah kita bersama. Kita telah diberi talenta yang beragam, seberapa besar buahnya yang
dapat kita persembahkan padaNya. Taburlah rotimu di lautan tanpa batas, percayalah kamu akan
mendapat roti sebanyak pasir di tepi pantai. Mari kita lakukan tugas mulia ini sebaik-baiknya, semoga
buku petunjuk guru ini dapat digunakan dan bermanfaat dalam pelaksanaan proses pembelajaran
matematika di sekolah.
iv Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Jakarta, Pebruari 2013
Tim Penulis

Surat untuk Guru .............................................................................................................. iv
Daftar Isi ............................................................................................................................ v
Petunjuk Penggunaan Buku Guru..................................................................................... ix
Model Pembelajaran Berbasis Konstruktivistik
Dengan Pendekatan Scientific Learning........................................................................... ix
Pedoman Penyusunan Rencana Pembelajaran ............................................................... xv
Fase Konstruksi Matematika ............................................................................................ xviii
Contoh Analisis Topik ................................................................................................. xix
Peta Konsep Matematika SMP Kelas X ........................................................................... xx
Bab 1 Eksponen dan Logaritma ................................................................................ 1
A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 1
B. Peta Konsep ............................................................................................... 2
C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 3
1. Menemukan Konsep Eksponen ........................................................... 3
2. Pangkat Bulat Negatif .......................................................................... 10
3. Pangkat 0 ............................................................................................. 10
4. Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif ........................................................... 11
5. Pangkat Pecahan ................................................................................. 18
Uji Kompetensi 1.1 ............................................................................................. 20
6. Bentuk Akar .......................................................................................... 22
7. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat ............................... 24
8. Operasi Pada Bentuk Akar ................................................................... 25
a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar ................. 25
b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar ........................... 26
c. Merasionalkan Penyebut Berbentuk Akar .................................... 27
Uji Kompetensi 1.2 ............................................................................................. 34
9. Menemukan Konsep Logaritma ........................................................... 37
10. Sifat-sifat Logaritma ............................................................................. 43
Uji Kompetensi 1.3 ............................................................................................. 49
D. Penutup........................................................................................................ 52
Bab 2 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear ........................................................ 55
B. Peta Konsep ............................................................................................... 56
1. Memahami dan Menemukan Konsep Nilai Mutlak .............................. 57
2. Persamaan Linear ................................................................................ 65
3. Pertidaksamaan Linear ........................................................................ 74
Uji Kompetensi 2.1 ............................................................................................. 78
4. Persamaan Linear yang Melibatkan Nilai Mutlak ................................. 80
5. Pertidaksamaan Linear yang Melibatkan Nilai Mutlak ......................... 83
Uji Kompetensi 2.2 ............................................................................................. 92
D. Penutup ................................................................................................. 95
v Matematika

Bab 3 Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear ........................................... 97
B. Peta konsep ................................................................................................ 98
1. Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ............ 99
Uji Kompetensi 3.1 ............................................................................................. 112
2. Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel ............ 113
Uji Kompetensi 3.2 ............................................................................................. 124
3. Penyelesaian Sistem Persamaaan Linear .......................................... 126
a. Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem
Persamaan Linear Dua variabel .................................................... 126
b. Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem
Persamaan Linear Tiga Variabel ................................................... 135
Uji Kompetensi 3.3 ............................................................................................. 142
Kunci Jawaban Soal-Soal Tantangan ................................................................ 147
4. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel ....................................... 152
Uji kompetensi 3.4 ............................................................................................. 157
D. Penutup ................................................................................................. 160
Bab 4 Matriks ................................................................................................. 163
B. Peta Konsep ............................................................................................... 164
1. Menemukan Konsep Matriks ................................................................ 165
2. Jenis-Jenis Matriks ............................................................................... 176
3. Transpos Matriks .................................................................................. 180
4. Kesamaan Dua Matriks ........................................................................ 185
Uji Kompetensi 4.1 ............................................................................................. 187
5. Memahami Operasi Sederhana Matriks serta Menerapkannya
dalam Pemecahan Masalah ................................................................. 191
a. Operasi Hitung pada Matriks ......................................................... 191
Uji Kompetensi 4.2 ............................................................................................. 207
D. Penutup ................................................................................................. 210
Bab 5 Relasi dan Fungsi ............................................................................................ 213
B. Peta Konsep ............................................................................................... 214
1. Menemukan Konsep Relasi ................................................................. 215
2. Sifat-Sifat Relasi ................................................................................... 225
3. Menemukan Konsep Fungsi ................................................................ 230
Uji Kompetensi 5.1 ............................................................................................. 240
D. Penutup ................................................................................................. 245
Bab 6 Barisan dan Deret ............................................................................................ 247
B. Peta Konsep ............................................................................................... 248
1. Menemukan Pola Barisan dan Deret ................................................... 249
2. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Aritmetika ............................. 258
Uji Kompetensi 6.1 ............................................................................................. 270
vi Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

3. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri .............................. 272
a. Barisan Geometri ......................................................................... 272
b. Deret Geometri ............................................................................. 275
Uji Kompetensi 6.2 ............................................................................................. 285
D. Penutup ................................................................................................. 287
Bab 7 Persamaan dan Fungsi Kuadrat ..................................................................... 289
A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar............................................... 289
B. Peta Konsep ............................................................................................... 290
1. Persamaan Kuadrat ............................................................................. 291
a Menemukan Konsep Persamaan Kuadrat Satu Variabel .............. 291
Uji Kompetensi 7.1 ............................................................................................. 304
b. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat ................................. 306
c. Menemukan Rumus Untuk Menentukan Jumlah dan Hasil Kali
Akar-akar Persamaan Kuadrat ...................................................... 312
d. Persamaan Kuadrat dengan Akar-akar x1 dan x2 ........................ 315
Uji Kompetensi 7.2 ............................................................................................. 316
2. Fungsi Kuadrat...................................................................................... 318
a. Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat ............................................ 318
Uji Kompetensi 7.3 ............................................................................................. 331
b. Grafik Fungsi Kuadrat ................................................................... 332
c. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat .................... 341
Uji Kompetensi 7.4 ............................................................................................. 343
D. Penutup ................................................................................................. 344
Bab 8 Trigonometri ................................................................................................. 347
B. Peta Konsep ............................................................................................... 348
1. Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)...................................................... 349
2. Konsep Dasar Sudut ............................................................................ 352
Uji Kompetensi 8.1 ............................................................................................. 355
3. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku ........................... 356
Uji Kompetensi 8.2 ............................................................................................. 365
4. Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran ........................ 367
5. Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 300, 450, dan 600................... 373
6. Grafik Fungsi Trigonometri ................................................................... 386
Uji Kompetensi 8.3 ............................................................................................. 396
D. Penutup ................................................................................................. 400
Bab 9 Geometri ................................................................................................ 403
B. Peta Konsep ............................................................................................... 404
1. Menemukan Konsep Jarak Titik, Garis, dan Bidang ............................ 405
a. Kedudukan Titik ............................................................................. 405
b. Jarak Antara Titik dan Titik ............................................................ 408
c. Jarak Titik ke Garis ........................................................................ 412
d. Jarak Titik ke Bidang ..................................................................... 416
e. Jarak antara Dua Garis dan Dua Bidang yang Sejajar ................. 423
vii Matematika

Uji Kompetensi 9.1 ............................................................................................. 424
2. Menemukan Konsep Sudut pada Bangun Ruang ................................ 426
a. Sudut antara Dua Garis dalam Ruang .......................................... 430
b. Sudut antara Garis dan Bidang pada Bangun Ruang ................... 434
c. Sudut antara Dua Bidang pada Bangun Ruang ............................ 440
Uji Kompetensi 9.2 ............................................................................................. 443
D. Penutup ................................................................................................. 446
Bab 10 Limit Fungsi ................................................................................................. 449
B. Peta Konsep ............................................................................................... 450
1. Menemukan Konsep Limit Fungsi......................................................... 452
2. Sifat-Sifat Limit Fungsi ......................................................................... 466
3. Menentukan Limit Fungsi ..................................................................... 484
Uji Kompetensi 10.1 ........................................................................................... 493
D. Penutup ................................................................................................. 496
Bab 11 Statistika ................................................................................................. 499
B. Peta Konsep ............................................................................................... 500
1. Data Tunggal ........................................................................................ 501
a. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel ................................................ 501
b. Penyajian dalam Bentuk Diagram .................................................... 505
2. Data Kelompok ..................................................................................... 513
a. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel ................................................ 513
b. Penyajian Dalam bentuk Diagram (Histogram) ................................ 516
Uji Kompetensi 11.1 ........................................................................................... 517
Penutup ................................................................................................. 520
Bab 12 Peluang ................................................................................................. 521
B. Peta Konsep ............................................................................................... 522
1. Kemungkinan Suatu Kejadian .............................................................. 523
2. Frekuensi Realtif Suatu Hasil Percobaan ............................................ 529
3. Peluang Suatu Kejadian ....................................................................... 534
Uji Kompetensi 12.1 ........................................................................................... 544
Penutup ................................................................................................. 546
A. Petunjuk Pelaksanaan Penilaian ................................................................ 548
1. Penilaian Kompetensi Pengetahuan .................................................... 548
2. Penilaian Kompetensi Keterampilan .................................................... 554
3. Penilaian Kompetensi Sikap................................................................. 564
Lembar Partisipasi.............................................................................................. 571
B. Petunjuk Pelaksanaan Remedial dan Pengayaan ...................................... 574
Daftar Pustaka ............................................................................................................... 577
viii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

A. PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU GURU
Dalam bagian ini diuraikan hal-hal penting yang perlu diikuti guru, saat
guru menggunakan buku ini. Hal-hal esensial yang dijabarkan, antara lain: (1)
pentingnya guru memahami model pembelajaran berbasis konstruktivis dengan
pendekatan scientific learning terkait sintaksis model pembelajaran yang diterapkan,
sistem sosial, prinsip reaksi pengelolaan (perilaku guru mengajar di kelas), sistem
pendukung pemeblajaran yang harus dipersiapkan (berbagai fasilitas, misalnya buku
siswa, lembar aktivitas siswa, media pembelajaran, instrumen penilaian, tugas-tugas
yang akan diberikan), serta dampak intruksional dan dampak pengiring (sikap) yang
harus dicapai melalui proses pembelajaran; (2) mengorganisir siswa belajar (di
dalam dan luar kelas) dalam memberi kesempatan mengamati data, informasi, dan
masalah, kerja kelompok dalam memecahkan masalah, memberi bantuan jalan keluar
bagi siswa; (3) memilih model, strategi, dan metode pembelajaran untuk tujuan
pembelajaran yang efektif; (4) memilih sumber belajar yang melibatkan partisipasi
aktif siswa dalam proses pembelajaran yang dipicu melalui pengajuan masalah,
pemberian tugas produk, projek; (5) petunjuk penggunaan asesmen otentik untuk
mengecek keberhasilan aspek sikap, pengetahuan dan keterampilan; (6) petunjuk
pelaksanaan remedial dan pemberian pengayaan.
Isi buku guru ini, memuat petunjuk pembelajaran di setiap bab yang berdampingan
dengan aktivitas yang ada di buku siswa. Pertanyaan-pertanyaan kritis dan latihan
memiliki kunci jawaban dan arahan pembelajaran dari guru untuk pemecahannya.
Di samping proses pembelajaran yang tertuang dalam penjelasan singkat model
pembelajaran konstruktivis, tersedi petunjuk pelaksanaan pembelajaran remedial dan
pengayaan serta pelaksanaan penilaian berbasis proses.
B. MODEL PEMBELAJARAN BERBASIS
KONSTRUKTIVISTIK DENGAN PENDEKATAN
SCIENTIFIC LEARNING
Model pembelejaran yang diterapkan dalam buku ini, dilandasi teori pembelajaran
yang menganut paham konstruktivistik, seperti Project-Based Learning, Problem-
Based Learning, dan Discovery Learning dengan pendekatan scientific learning
melalui proses mengamati, menanya, menalar, mencoba, membangun jejaring dan
mengomunikasikan berbagai informasi terkait pemecahan masalah real world,
analisis data, dan menarik kesimpulan. Proses pembelajaran memberi perhatian
pada aspek-aspek kognisi dan mengangkat berbagai masalah real world yang sangat
ix Matematika

mempengaruhi aktifitas dan perkembangan mental siswa selama proses pembelajaran
dengan prinsip bahwa, (1) setiap anak lahir, tumbuh dan berkembang dalam matriks
sosial tertentu dan telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi
setiap orang dipengaruhi nilai budayanya, (3) matematika adalah hasil konstruksi
sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah
hasil abstraksi pikiran manusia.
Metode pembelajaran yang diterapkan, antara lain: metode penemuan,
pemecahan masalah, tanya-jawab, diskusi dalam kelompok heterogen, pemberian
tugas produk, unjuk kerja, dan projek. Pembelajaran matematika yang diharapkan
dalam praktek pembelajaran di kelas adalah (1) pembelajaran berpusat pada aktivitas
siswa, (2) siswa diberi kebebasan berpikir memahami masalah, membangun strategi
penyelesaian masalah, mengajukan ide-ide secara bebas dan terbuka, (3) guru melatih
dan membimbing siswa berpikir kritis dan kreatif dalam menyelesaikan masalah,
(4) upaya guru mengorganisasikan bekerjasama dalam kelompok belajar, melatih
siswa berkomunikasi menggunakan grafik, diagram, skema, dan variabel, (5) seluruh
hasil kerja selalu dipresentasikan di depan kelas untuk menemukan berbagai konsep,
hasil penyelesaian masalah, aturan matematika yang ditemukan melalui proses
pembelajaran.
Rancangan model pembelajaran yang diterapkan mengikuti 5 (lima) komponen
utama model pembelajaran yang dijabarkan sebagai berikut.
1. Sintaks
Pengelolaan pembelajaran terdiri 5 tahapan pembelajaran, yaitu:
a. Apersepsi
Tahap apersepsi diawali dengan mengimformasikan kepada siswa kompetensi
dasar dan indikator yang akan dicapai siswa melalui pembelajaran materi yang
akan diajarkan. Kemudian guru menumbuhkan persepsi positif dan motivasi belajar
pada diri siswa melalui pemaparan manfaat materi matematika yang dipelajari
dalam penyelesaian masalah kehidupan serta meyakinkan siswa, jika siswa terlibat
aktif dalam merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian
masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan kehidupan siswa dengan
strategi penyelesaian yang menerapkan pola interaksi sosial yang pahami siswa dan
guru. Dengan demikian, siswa akan lebih baik menguasai materi yang diajarkan,
imformasi baru berupa pengetahuan lebih bertahan lama di dalam ingatan siswa,
dan pembelajaran lebih bermakna sebab setiap informasi baru dikaitkan dengan apa
yang diketahui siswa dan menunjukkan secara nyata kegunaan konsep dan prinsip
matematika yang dipelajari dalam kehidupan.
x Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

xi Matematika
b. Interaksi Sosial di antara Siswa, Guru, dan Masalah
Pada tahap orientasi masalah dan penyelesaian masalah, guru meminta siswa
mencoba memahami masalah dan mendiskusikan hasil pemikiran melalui belajar
kelompok. Pembentukan kelompok belajar menerapkan prinsip kooperatif, yakni
keheterogenan anggota kelompok dari segi karakteristik (kemampuan dan jenis
kelamin) siswa, berbeda budaya, berbeda agama dengan tujuan agar siswa terlatih
bekerjasama, berkomunikasi, menumbuhkan rasa toleransi dalam perbedaan, saling
memberi ide dalam penyelesaian masalah, saling membantu dan berbagi informasi.
Guru memfasilitasi siswa dengan buku siswa, Lembar Aktivitas Siswa (LAS) dan
Asesmen Otentik. Selanjutnya guru mengajukan permasalahan matematika yang
bersumber dari lingkungan kehidupan siswa. Guru menanamkan nilai-nilai matematis
(jujur, konsisten, tangguh menghadapi masalah) dan nilai-nilai budaya agar para
siswa saling berinteraksi secara sosio kultural, memotivasi dan mengarahkan jalannya
diskusi agar lebih efektif, serta mendorong siswa bekerjasama.
Selanjutnya, guru memusatkan pembelajaran pada siswa dalam kelompok
belajar untuk menyelesaikan masalah. Guru meminta siswa memahami masalah
secara individu dan mendiskusikan hasil pemikirannya dalam kelompok, dan
dilanjutkan berdialog secara interaktif (berdebat, bertanya, mengajukan ide-ide,
berdiskusi) dengan kelompok lain dengan arahan guru. Antar anggota kelompok
saling bertanya-jawab, berdebat, merenungkan hasil pemikiran teman, mencari ide
dan jalan keluar penyelesaian masalah. Setiap kelompok memadu hasil pemikiran
dan menuangkannya dalam sebuah LAS yang dirancang guru. Jika semua anggota
kelompok mengalami kesulitan memahami dan menyelesaikan masalah, maka salah
seorang dari anggota kelompok bertanya pada guru sebagai panutan. Selanjutnya
guru memberi scaffolding, yaitu berupa pemberian petunjuk, memberi kemudahan
pengerjaan siswa, contoh analogi, struktur, bantuan jalan keluar sampai saatnya siswa
dapat mengambil alih tugas-tugas penyelesaian masalah.
c. Mempresentasikan dan Mengembangkan Hasil Kerja
Pada tahapan ini, guru meminta salah satu kelompok mempresentasikan hasil
kerjanya di depan kelas dan memberi kesempatan pada kelompok lain memberi
tanggapan berupa kritikan disertai alasan-alasan, masukan bandingan pemikiran.
Sesekali guru mengajukan pertanyaan menguji pemahaman/penguasaan penyaji dan
dapat ditanggapi oleh kelompok lain. Kriteria untuk memilih hasil diskusi kelompok
yang akan dipresentasikan antara lain: jawaban kelompok berbeda dengan jawaban
dari kelompok lain, ada ide penting dalam hasil diskusi kelompok yang perlu mendapat
perhatian khusus. Dengan demikian kelompok penyaji bisa lebih dari satu. Selama
presentasi hasil kerja, guru mendorong terjadinya diskusi kelas dan mendorong siswa
mengajukan ide-ide secara terbuka dengan menanamkan nilai soft skill.

Tujuan tahapan ini adalah untuk mengetahui keefektifan hasil diskusi dan hasil kerja
kelompok pada tahapan sebelumnya. Dalam penyajiannya, kelompok penyaji akan
diuji oleh kelompok lain dan guru tentang penguasaan dan pemahaman mereka atas
penyelesaian masalah yang dilakukan. Dengan cara tersebut dimungkinkan tiap-tiap
kelompok mendapatkan pemikiran-pemikiran baru dari kelompok lain atau
alternatif jawaban yang lain yang berbeda. Sehingga pertimbangan-pertimbangan
secara objektif akan muncul di antara siswa. Tujuan lain tahapan ini adalah melatih
siswa terampil menyajikan hasil kerjanya melalui penyampaian ide-ide di depan
umum (teman satu kelas). Keterampilan mengomunikasikan ide-ide tersebut adalah
salah satu kompetensi yang dituntut dalam pembelajaran berdasarkan masalah, untuk
memampukan siswa berinteraksi/berkolaborasi dengan orang lain.
d. Temuan Objek Matematika dan Penguatan Skemata Baru
Objek-objek matematika berupa model (contoh konsep) yang diperoleh dari
proses dan hasil penyelesaian masalah dijadikan bahan inspirasi dan abstraksi
konsep melalui penemuan ciri-ciri konsep oleh siswa dan mengkonstruksi konsep
secara ilmiah. Setelah konsep ditemukan, guru melakukan teorema pengontrasan
melalui pengajuan contoh dan bukan contoh. Dengan mengajukan sebuah objek,
guru meminta siswa memberi alasan, apakah objek itu termasuk contoh atau bukan
contoh konsep.
Guru memberi kesempatan bertanya atas hal-hal yang kurang dipahami. Sesekali
guru menguji pemahaman siswa atas konsep dan prinsip yang ditemukan, serta
melengkapi hasil pemikiran siswa dengan memberikan contoh dan bukan contoh
konsep. Berdasar konsep yang ditemukan/direkonstruksi, diturunkan beberapa sifat
dan aturan-aturan. Selanjutnya siswa diberi kesempatan mengerjakan soal-soal
tantangan untuk menunjukkan kebergunaan konsep dan prinsip matematika yang
dimiliki.
e. Menganalisis dan Mengevaluasi Proses dan Hasil Penyelesaian Masalah
Pada tahapan ini, guru membantu siswa atau kelompok mengkaji ulang hasil
penyelesaian masalah, menguji pemahaman siswa dalam proses penemuan konsep dan
prinsip. Selanjutnya, guru melakukan evaluasi materi akademik dengan pemberian
kuis atau meminta siswa membuat peta konsep atau memberi tugas dirumah atau
membuat peta materi yang dipelajari.
2. Sistem Sosial
Pengorganisasian siswa selama proses pembelajaran menerapkan pola
pembelajaran kooperatif. Dalam interaksi sosio kultural di antara siswa dan
temannya, guru selalu menanamkan nilai-nilai soft skill dan nilai matematis. Siswa
xii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

dalam kelompok saling bekerjasama dalam menyelesaikan masalah, saling bertanya/
berdiskusi antara siswa yang lemah dan yang pintar, kebebasan mengajukan pendapat,
berdialog dan berdebat, guru tidak boleh terlalu mendominasi siswa, bersifat
membantu dan gotong royong) untuk menghasilkan penyelesaian masalah yang
disepakati bersama. Dalam interaksi sosio kultural, para siswa diizinkan berbahasa
daerah dalam menyampaikan pertanyaan, kritikan, pendapat terhadap temannya
maupun pada guru.
3. Prinsip Reaksi
Model pembelajaran yang diterapkan dalam buku ini dilkamusi teori konstruktivis
dan nilai budaya dimana siswa belajar yang memberi penekanan pembelajaran
berpusat pada siswa, sehingga fungsi guru sebagai fasilitator, motivator dan mediator
dalam pembelajaran. Tingkah laku guru dalam menanggapi hasil pemikiran siswa
berupa pertanyaan atau kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan masalah harus
bersifat mengarahkan, membimbing, memotivasi dan membangkitkan semangat
belajar siswa.
Untuk mewujudkan tingkah laku tersebut, guru harus memberikan kesempatan
pada siswa untuk mengungkapkan hasil pemikirannya secara bebas dan terbuka,
mencermati pemahaman siswa atas objek matematika yang diperoleh dari proses
dan hasil penyelesaian masalah, menunjukkan kelemahan atas pemahaman siswa
dan memancing mereka menemukan jalan keluar untuk mendapatkan penyelesaian
masalah yang sesungguhnya. Jika ada siswa yang bertanya, sebelum guru memberikan
penjelasan/bantuan, guru terlebih dahulu memberi kesempatan pada siswa lainnya
memberikan tanggapan dan merangkum hasilnya. Jika keseluruhan siswa mengalami
kesulitan, maka guru saatnya memberi penjelasan atau bantuan/memberi petunjuk
sampai siswa dapat mengambil alih penyelesaian masalah pada langkah berikutnya.
Ketika siswa bekerja menyelesaikan tugas-tugas, guru mengontrol jalannya diskusi
dan memberikan motivasi agar siswa tetap berusaha menyelesaikan tugas-tugasnya.
4. Sistem Pendukung
Agar model pembelajaran ini dapat terlaksana secara praktis dan efektif,
guru diwajibkan membuat suatu rancangan pembelajaran yang dilkamusi teori
pembelajaran konstruktivis dan nilai soft skill matematis yang diwujudkan dalam
setiap langkah-langkah pembelajaran yang ditetapkan dan menyediakan fasilitas
belajar yang cukup. Dalam hal ini dikembangkan buku model yang berisikan teori-teori
pendukung dalam melaksanakan pembelajaran, komponen-komponen model,
petunjuk pelaksanaan dan seluruh perangkat pembelajaran yang digunakan seperti
rencana pembelajaran, buku guru, buku siswa, lembar kerja siswa, objek-objek
abstraksi dari lingkungan budaya, dan media pembelajaran yang diperlukan.
xiii Matematika

5. Dampak Instruksional dan Pengiring yang Diharapkan
Dampak langsung penerapan pembelajaran ini adalah memampukan siswa
merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah dan
terbiasa menyelesaikan masalah nyata di lingkungan siswa. Pemahaman siswa
terhadap obek-objek matematika dibangun berdasarkan pengalaman budaya dan
pengalaman belajar yang telah dimiliki sebelumnya. Kebermaknaan pembelajaran
yang melahirkan pemahaman, dan pemahaman mendasari kemampuan siswa
mentransfer pengetahuannya dalam menyelesaikan masalah, berpikir kritis dan
kreatif. Kemampuan menyelesaikan masalah tidak rutin menyadarkan siswa akan
kebergunaan matematika. Kebergunaan akan menimbulkan motivasi belajar
secara internal dari dalam diri siswa dan rasa memiliki terhadap matematika akan
muncul sebab matematika yang dipamami adalah hasil rekonstruksi pemikirannya
sendiri. Motivasi belajar secara internal akan menimbulkan kecintaan terhadap
dewi matematika. Bercinta dengan dewi matematika berarti penyatuan diri dengan
keabstrakan yang tidak memiliki batas atas dan batas bawah tetapi bekerja dengan
simbol-simbol.
Selain dampak di atas, siswa terbiasa menganalisis secara logis dan kritis
memberikan pendapat atas apa saja yang dipelajari menggunakan pengalaman
belajar yang dimiliki sebelumnya. Penerimaan individu atas perbedaan-perbedaan
yang terjadi (perbedaan pola pikir, pemahaman, daya lihat dan kemampuan), serta
berkembangnya kemampuan berkolaborasi antara siswa. Retensi pengetahuan
matematika yang dimiliki siswa dapat bertahan lebih lama sebab siswa terlibat aktif
di dalam proses penemuannya.
Dampak pengiring yang akan terjadi dengan penerapan model pembelajaran
berbasis konstruktivistik adalah siswa mampu menemukan kembali berbagai konsep
dan aturan matematika dan menyadari betapa tingginya manfaat matematika bagi
kehidupan sehingga dia tidak merasa terasing dari lingkungannya. Matematika
sebagai ilmu pengetahuan tidak lagi dipandang sebagai hasil pemikiran dunia luar
tetapi berada pada lingkungan budaya siswa yang bermanfaat dalam menyelesaikan
permasalahan di lingkungan budayanya. Dengan demikian terbentuk dengan
sendirinya rasa memiliki, sikap, dan persepsi positif siswa terhadap matematika dan
budayanya. Siswa memkamung bahwa matematika terkait dan inklusif di dalam
budaya. Jika matematika bagian dari budaya siswa, maka suatu saat diharapkan siswa
memiliki cara tersendiri memeliharanya dan menjadikannya Landasan Makna
(Landasan makna dalam hal ini berpihak pada sikap, kepercayaan diri, cara berpikir,
cara bertingkah laku, cara mengingat apa yang dipahami oleh siswa sebagai pelaku-pelaku
budaya). Dampak pengiring yang lebih jauh adalah hakikat tentatif keilmuan,
keterampilan proses keilmuan, otonomi dan kebebasan berpikir siswa, toleransi
terhadap ketidakpastian dan masalah-masalah non rutin.
xiv Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

PEDOMAN PENYUSUNAN RENCANA PEMBELAJARAN
Penyusunan rencana pembelajaran berpedoman pada kurikulum matematika
2013 dan sintaksis Model Pembelajaran. Berdasarkan analisis kurikulum matematika
ditetapkan hal-hal berikut
1. Kompetensi dasar (lihat Permendikbud Nomor 69 dan 70 Tahun 2013) dan
indikator pencapaian kompetensi dasar untuk tiap-tiap pokok bahasan. Rumusan
indikator dan kompetensi dasar harus disesuaikan dengan prinsip-prinsip
pembelajaran matematika berdasarkan masalah, memberikan pengalaman belajar
bagi siswa, seperti menyelesaikan masalah otentik (masalah bersumber dari fakta
dan lingkungan budaya), berkolaborasi, berbagi pengetahuan, saling membantu,
berdiskusi dalam menyelesaikan masalah.
2. Materi pokok yang akan diajarkan, termasuk analisis topik, dan peta konsep
xv Matematika
(contoh disajikan di bawah).
3. Materi prasyarat, yaitu materi yang harus dikuasai oleh siswa sebagai dasar untuk
mempelajari materi pokok. Dalam hal ini perlu dilakukan tes kemampuan awal
siswa.
4. Kelengkapan, yaitu fasilitas pembelajaran yang harus dipersiapkan oleh guru,
misalnya: rencana pembelajaran, buku petunjuk guru, buku siswa, lembar
aktivitas siswa (LAS), objek-objek budaya, kumpulan masalah-masalah yang
bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa, laboratorium, dan alat peraga
jika dibutuhkan.
5. Alokasi waktu: banyak jam pertemuan untuk setiap pokok bahasan tidak harus
sama tergantung kepadatan dan kesulitan materi untuk tiap-tiap pokok bahasan.
Penentuan rata-rata banyak jam pelajaran untuk satu pokok bahasan adalah hasil
bagi jumlah jam efektif untuk satu semester dibagi banyak pokok bahasan yang
akan diajarkan untuk semester tersebut.
6. Hasil belajar yang akan dicapai melalui kegiatan pembelajaran antara alain:
Produk : Konsep dan prinsip-prinsip yang terkait dengan materi pokok
Proses : Apersepsi budaya, interaksi sosial dalam penyelesaian
masalah, memodelkan masalah secara matematika,
merencanakan penyelesaian masalah, menyajikan hasil
kerja dan menganalisis serta mengevaluasi kembali hasil
penyelesaian masalah.
Kognitif : Kemampuan matematisasi, kemampuan abstraksi, pola pikir
deduktif, berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis dan berpikir
kreatif).

Keterampilan : Keterampilan menyelesaikan masalah, ketrampilan
berkolaborasi, kemampuan berkomunikasi.
Afektif : Menghargai budaya, penerimaan individu atas perbedaan
yang ada, bekerjasama, tangguh menghadapi masalah, jujur
mengungkapkan pendapat, berlatih berpikir kritis, kreatif,
dan senang belajar matematika.
Sintaksis pembelajaran adalah langkah-langkah pembelajaran yang dirancang
dan dihasilkan dari kajian teori yang melandasi model pembelajaran berbasis
konstruktivistik. Sementara, rencana pembelajaran adalah operasional dari sintaks.
Sehingga skenario pembelajaran yang terdapat pada rencana pembelajaran
disusun mengikuti setiap langkah-langkah pembelajaran (sintaks). Sintaks model
pembelajaran terdiri dari 5 langkah pokok, yaitu: (1) apersepsi budaya, (2) orientasi
dan penyelesaian masalah, (3) persentase dan mengembangkan hasil kerja, (4) temuan
objek matematika dan penguatan skemata baru, (5) menganalisis dan mengevaluasi
proses dan hasil penyelesaian masalah. Kegiatan yang dilakukan untuk setiap tahapan
pembelajaran dijabarkan sebagai berikut:
1. Kegiatan guru pada tahap apersepsi budaya antara lain:
a. Menginformasikan indikator pencapaian kompetensi dasar.
b. Menciptakan persepsi positif dalam diri siswa terhadap budayanya dan
matematika sebagai hasil konstruksi sosial.
c. Menjelaskan pola interaksi sosial, menjelaskan peranan siswa dalam
menyelesaikan masalah.
d. Memberikan motivasi belajar pada siswa melalui penanaman nilai matematis,
soft skill dan kebergunaan matematika.
e. Memberi kesempatan pada siswa menanyakan hala-hal yang sulit dimengerti
pada materi sebelumnya.
2. Kegiatan guru pada tahap penyelesaian masalah dengan pola interaksi edukatif
antara lain:
a. Membentukan kelompok
b. Mengajukan masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa
c. Meminta siswa memahami masalah secara individual dan kelompok
d. Mendorong siswa bekerjasama menyelesaikan tugas-tugas
e. Membantu siswa merumuskan hipotesis (dugaan).
f. Membimbing, mendorong/mengarahkan siswa menyelesaikan masalah dan
mengerjakan LKS
g. Memberikan scaffolding pada kelompok atau individu yang mengalami
kesulitan
xvi Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

h. Mengkondisikan antar anggota kelompok berdiskusi, berdebat dengan pola
kooperatif
i. Mendorong siswa mengekspresikan ide-ide secara terbuka
j. Membantu dan memberi kemudahan pengerjaan siswa dalam menyelesaikan
masalah dalam pemberian solusi
3. Kegiatan guru pada tahap persentasi dan mengembangkan hasil kerja antara lain:
a. Memberi kesempatan pada kelompok mempresentasikan hasil penyelesaian
masalah di depan kelas
b. Membimbing siswa menyajikan hasil kerja
c. Memberi kesempatan kelompok lain mengkritisi/menanggapi hasil kerja
kelompok penyaji dan memberi masukan sebagai alternatif pemikiran
Membantu siswa menemukan konsep berdasarkan masalah
d. Mengontrol jalannya diskusi agar pembelajaran berjalan dengan efektif
e. Mendorong keterbukaan, proses-proses demokrasi
f. Menguji pemahaman siswa
4. Kegiatan guru pada tahap temuan objek matematika dan penguatan skemata baru
antara lain:
a. Mengarahkan siswa membangun konsep dan prinsip secara ilmiah
b. Menguji pemahaman siswa atas konsep yang ditemukan melalui pengajuan
contoh dan bukan contoh konsep
c. Membantu siswa mendefinisikan dan mengorganisasikan tugas-tugas belajar
yang berkaitan dengan masalah
d. Memberi kesempatan melakukan konektivitas konsep dan prinsip dalam
mengerjakan soal tantangan
e. Memberikan scaffolding
5. Kegiatan guru pada tahap menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil
penyelesaian masalah antara lain:
a. Membantu siswa mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah
b. Memotivasi siswa untuk terlibat dalam penyelesaian masalah yang selektif
c. Mengevaluasi materi akademik: memberi kuis atau membuat peta konsep atau
xvii Matematika
peta materi.

xviii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

xx Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

xxii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

Eksponen dan Logaritma
A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar
Setelah mengikuti pembelajaran eksponen dan
logaritma, siswa mampu:
1. Memiliki motivasi internal, kemampuan
bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa
percaya diri, dan sikap toleransi dalam
perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan
menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
2. Memilih dan menerapkan aturan eksponen
dan logaritma sesuai dengan karakteristik
permasalahan yang akan diselesaikan dan
memeriksa kebenaran langkah-langkahnya.
3. Menyelesaikan masalah nyata menggunakan
operasi aljabar berupa eksponen dan logaritma
serta menyelesaikannya menggunakan
sifat – sifat dan aturan yang telah terbukti
kebenarannya.
Melalui pembelajaran materi eksponen dan
logaritma, siswa memperoleh pengalaman belajar:
• mengkomunikasikan karakteristik masalah
otentik yang pemecahannya terkait eksponen
dan logaritma.
• merancang model matematika dari sebuah
permasalahan otentik yang berkaitan dengan
eksponen dan logaritma.
• menyelesaikan model matematika untuk
memperoleh solusi permasalahan yang
diberikan.
• menafsirkan hasil pemecahan masalah.
• menuliskan dengan kata-katanya sendiri
konsep persamaan kuadrat.berdasarkan ciri-cirinya
dituliskan sebelumnya.
• membuktikan berbagai sifat eksponen dan
logaritma.
• menerapkan berbagai sifat eksponen dan
logaritma dalam pemecahan masalah.
• berkolaborasi memecahkan masalah.
• berlatih berpikir kritis dan kreatif
Bab
• Bilangan Pokok (Basis)
• Perpangkatan
• Eksponen
• Logaritma

B. PETA KONSEP
2 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi

3 Matematika
C. MATERI PEMBELAJARAN
Beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari –
hari dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep dan
aturan matematika. Sebagai contoh, konsep eksponen
dan logaritma berperan penting dalam menyelesaikan
permasalahan yang berkaitan dengan aritmatika sosial,
peluruhan zat kimia, perkembangan bakteri dan lain –
lain. Untuk itu perhatikan dan selesaikan dengan cermat
permasalahan – permasalahan yang diberikan pada bab
ini. Di dalam proses pemecahan masalah-masalah yang
diberikan, kamu diminta untuk mencermati objek-objek
yang dilibatkan dalam permasalahan yang diberikan
tersebut.
1. Menemukan Konsep Eksponen
Pada subbab ini, konsep eksponen ditemukan
dengan mengamati beberapa masalah nyata berikut
dan mencermati beberapa alternatif penyelesaiannya.
Tentu saja, kamu diminta untuk melakukan pemodelan
matematika yang melibatkan eksponen. Dari beberapa
model matematika yang diperoleh dari langkah-langkah
penyelesaian masalah, kamu secara individu menuliskan
ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnya dengan
temanmu. Berdasarkan ciri-ciri tersebut, kamu
menuliskan konsep eksponen dengan pemahamanmu
sendiri.
Banyak permasalahan dalam
kehidupan yang penyelesaian-nya
terkait dengan konsep dan
aturan-aturan dalam matema-tika.
Secara khusus keterkaitan
konsep dan prinsip-prinsip
eksponen dan logaritma dengan
permasalahan masalah nyata
yang menyatu/ bersumber
dari fakta dan lingkungan
budaya kita. Konsep eksponen
dan logaritma dapat
dibangun/ ditemukan di dalam
penyelesaian permasalahan
yang kita hadapi. Untuk itu
arahkan siswa menyelesaiakan
permasalahan-permasalahan
yang diberikan.
Di dalam proses penyelesaian
masalah-masalah yang
diberikan, ajak siswa mencer-mati
objek-objek budaya atau
objek lingkungan budaya yang
dilibatkan dalam permasa-lahan
yang diberikan. Objek-objek
itu menjadi bahan
aspirasi/inspirasi, karena
terkadang ada konsep
matematika melekat pada
objek itu yang tidak disadari
dan ternyata sebagai kata
kunci dalam penyelesaian
masalah. Demikian juga siswa
tidak boleh mengabaikan atau
melupakan konsep-konsep dan
aturan-aturan matematika

Masalah-1.1
Seorang peneliti di sebuah lembaga penelitian sedang
mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah
laboratorium mikrobiologi. Pada kultur bakteri tertentu,
satu bakteri membelah menjadi r bakteri setiap jam.
Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri
pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2
jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi 40.000
bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak
bakteri sebagai hasil pembelahan dan mencari tahu
banyak bakteri dalam pada akhir 8 jam.
Alternatif Penyelesaian
Diketahui:
Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam.
Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan
setelah 2 jam kemudian, jumlahnya menjadi 40.000 bakteri.
Ditanya:
a. Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan.
b. Berapa jumlah bakteri dalam pada akhir 8 jam.
Sebagai langkah awal buat tabel laju pertumbuhan bakteri
terhadap waktu setiap jam.
Misalkan jumlah bakteri pada awalnya (t = 0) adalah x0.
Isilah tabel berikut!
Pada akhir t jam 0 1 .... .... .... ....
Jumlah bakteri (xt) x0 rx0 .... .... .... ....
Dari hasil pengamatan data pada tabel di atas, kita dapat
membuat hubungan pertumbuhan jumlah bakteri tersebut
terhadap perubahan waktu untuk setiap jam dinyatakan
sebagai berikut:
x = r × r × r ×...× r ×
x t
1442443 0
t
faktor
yang telah dipelajari
sebelum-nya, baik di tingkat
Sekolah Dasar, SMP,
bahkan pada materi yang
baru saja dipelajari.
Ajukan Masalah 1.1 pada
siswa. Minta siswa men-gamati
masalah dan men-uliskan
apa yang diketa-hui
dan yang ditanyakan.
Selanjutnya dorong siswa
memunculkan berbagai
pertanyaan terkait ma-salah
yang dipecahkan.
Akomodasi berbagai per-tanyaan
dan coba mem-beri
petunjuk agar siswa
dapat melakukan penal-aran
dan mencoba mem-ecahkan
masalah.
Meminta siswa mem-buat
tabel laju pertum-buhan
bakteri dengan
waktu setiap jam. Arah-kan
siswa menemukan
model matematika yang
menyatakan hubungan
banyak bakteri hasil pem-belahan
pada saat waktu
tertentu.

5 Matematika
x(t) = rt x0.................................................................... (1)
dengan t menyatakan banyak jam, x0 adalah jumlah
bakteri saat t = 0 dan r adalah banyak bakteri setelah
pembelahan terjadi pada setiap jam.
Pada Masalah-1.1 diketahui bahwa pada akhir 3
jam terdapat 10.000 bakteri dan setelah 5 jam terdapat
40.000 bakteri. Kita substitusikan t = 3 dan t = 5 ke
formula (1) di atas, maka diperoleh x= r3x= 10.000
3 0 dan x= r5x= 40.000
5 0 x
5
=
40 .
000
x
10 .
000
3
r 5
x
0
=
4
r 3
x
0
r
2
=
4
r
=
2
Jadi, peneliti tersebut menemukan bahwa bakteri
membelah menjadi 2 bakteri setiap 1 jam
Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t =
0, substitusi r = 2 ke persamaan r3x0 = 10.000 sehingga
8x0 = 10.000. Dengan demikian x0 = 1.250.
Subtitusikan x0 = 1.250 ke persamaan (1), pola
pertumbuhan bakteri tersebut dinyatakan
Dalam Masalah-1.1, ditemukan
r2 = 4, dan kemudian r = 2. Apakah
r = –2 tidak berlaku? Berikan
alasanmu!
x
x
t
= t
=
=
1250 2
2 1250
320 000
8
8
.
( )( )
.
Jadi, pada akhir setelah 8 jam, peneliti mendapatkan
jumlah bakteri sudah mencapai 320.000 bakteri.
Organisasikan siswa be-lajar
dalam kelompok
dengan banyak anggota
kelompok 4-5 orang un-tuk
mendiskusikan model
matematika yang ditemu-kan
secara individu. Guru
menjembatani perbedaan
hasil pemikiran antar
siswa dalam setiap kelom-pok
dan menuliskan hasil
pemikiran bersama pada
lembar kerja.
Meminta beberapa siswa
untuk memberi pendapat
mengapa pada Masalah 1.1
Jika r2 = 4, maka r = 2.
Kenapa tidak berlaku r =
-2?
Alasan:
r2 = 4, r ∈ R ⇒ r = 2 atau
r = -2. Tetapi dalam Ma-salah
1.1, r menyatakan
banyak pembelahan bak-teri
untuk setiap jam. Jadi
bakteri membelah menjadi
2, bukan -2.
Guru meminta salah satu
kelompok untuk mempre-sentasikan
hasil kerjanya
di depan kelas. Jembatani
jika ada cara yang berbe-da
hasil kerja di antara ke-lompok.
Beri kesempatan
antar kelompok berdebat
atas perbedaan pendapat
untuk melatih kemampuan
komunikasi siswa.

Masalah-1.2
Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang.
Lipatlah kertas tersebut di tengah-tengah sehingga
garis lipatan membagi bidang kertas menjadi dua
bidang yang sama. Lipatlah lagi dengan cara yang
sama kertas hasil lipatan tadi. Lakukan terus-menerus
pelipatan ini. Temukanlah pola yang menyatakan
hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang
kertas yang terbentuk.
Sebagai langkah awal buat tabel keterkaitan antara
banyak lipatan dengan banyak garis bidang kertas yang
terbentuk.
Banyak
Lipatan
Banyak Bidang
Kertas
Pola Perkalian
1 2 2 = 2
2 4 4 = 2 × 2
3 8 8 = 2 × 2 × 2
4 ... ...
... ... ...
n k ...
Berdasarkan tabel di atas, misalkan k adalah banyak
bidang kertas yang terbentuk sebagai hasil lipatan bidang
kertas menjadi dua bagian yang sama, n adalah banyak
lipatan.
k dapat dinyatakan dalam n, yaitu
k(n) = 2n........................................................................ (2)
Coba kamu uji kebenaran persamaan k(n) = 2n dengan
mensubtitusikan nilai n ke persamaan tersebut.
Motivasi siswa belajar
dengan memperlihatkan
kebergunaan matematika
dalam kehidupan. Ajukan
Masalah 1.2 dan mem-fasilitasi
siswa terhadap
alat yang dibutuhkan.
Arahkan siswa melakukan
percobaan melipat kertas
dan menemukan pola dari
data yang diperoleh sekai-tan
membangun model
matematika terkait ekspo-nen.
Meminta siswa membuat
tabel keterkaitan antara
banyak lipatan dengan
banyak bidang kertas
yang terbentuk. Arahkan
siswa menemukan model
matematika yang me-nyatakan
hubungan ban-yak
lipatan kertas dan
banyak bidang kertas
yang terbentuk. Diharap-kan
siswa menuliskan hal
seperti tabel di samping.
Selanjutnya guru me-minta
siswa mengamati
dan mencermati data
pada tabel. Diharapkan
siswa menemukan model
matematika yang me-nyatakan
hubungan ban-yaknya
bidang kertas den-gan
banyaknya lipatan.

7 Matematika
Berdasarkan persamaan (1) dan (2), diperoleh
Dari persamaan (1) x(t) = rtx0, r adalah bilangan pokok
dan t adalah eksponen dari r.
Dari persamaan (2) k(n) = 2n, 2 adalah bilangan pokok dan
n adalah eksponen dari 2.
Untuk menyederhanakan penulisan hasil kali bilangan
yang sama, kita dapat menggunakan notasi pangkat.
Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1.1
Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif.
Notasi an menyatakan hasil kali bilangan a sebanyak
n faktor, dapat ditulis an a a a a
= 1×44×2×4..4.×3 dengan
n faktor
a sebagai basis bilangan berpangkat dan n sebagai
pangkat.
Catatan:
1. Pada Definisi-1.1 di atas, kita sepakati, a1 cukup ditulis
a.
2. Hati-hati dengan bilangan pokok a = 0, tidak semua a0
dengan a bilangan real menyatakan 1. Coba tanyakan
pada gurumu, mengapa demikian?
3. Jika n adalah sebuah variabel sebagai eksponen dari
a, maka perlu dicermati semesta variabel itu. Sebab an
= a × a × ... × a sebanyak n faktor, ini hanya berlaku
ketika semesta n∈N.
Arahkan siswa mengamati
kedua model matematika
di samping. Minta mereka
menuliskan ciri-ciri bilan-gan
berpangkat dan ber-dasarkan
ciri-ciri tersebut
dapat menuliskan penger-tian
dari an.
Beri penjelasan pada
siswa, tentang pemaha-man
unsur-unsur yang
ada pada Definisi 1.1,
mengapa n harus bilangan
bulat positif. Minta siswa
untuk memegang teguh
sifat matematika dalam
menetapkan definisi bi-langan
berpangkat; yaitu,
matematika bersandar
pada kesepakatan, meng-gunakan
variabel-varia-bel
yang kosong dari arti,
menganut kebenaran kon-sistensi.
Minta siswa mencermati
beberapa catatan penting
terkait Definisi 1.1. Beri
penjelasan bahwa ketika
a = 0 dan n = 0, maka
an = 00, hasilnya taktentu.

Perhatikan Masalah-1.3 berikut!
Masalah-1.3
Suatu zat yang disuntikkan ke dalam tubuh manusia
akan dikeluarkan dari darah melalui ginjal. Setiap 1 jam
separuh zat itu dikeluarkan oleh ginjal. Bila 100 mg zat
itu disuntikkan ke tubuh manusia, berapa miligram zat
itu tersisa dalam darah setelah:
1) 1 jam?
2) 2 jam?
3) 3 jam?
4) Buatlah model matematika pengurangan zat
tersebut dari tubuh melalui ginjal!
5) Gambar pasangan titik (waktu, jumlah zat) pada
koordinat kartesius untuk 8 jam pengamatan.
Langkah awal isilah tabel berikut:
Waktu (t dalam jam) 1 2 3 4 5 6 7 8
Jumlah zat z(t)
dalam mg 50 25 12,5 ... ... ... ... ...
Isilah secara lengkap data pada tabel dan coba gambarkan
pasangan titik-titik tersebut pada sistem koordinat kartesius
(coba sendiri)!
Selanjutnya perhatikan grafik fungsi (Gambar-1.2) di
bawah ini. Isilah nilai-nilai fungsi tersebut dan sajikan
nilai-nilai tersebut pada tabel yang diberikan.
Ajak siswa untuk menga-mati
Masalah 1.3 dan me-mahami
tentang perma-salahan
yang ditanyakan
pada Masalah 1.3. Beri
kebebasan bagi siswa
menggali ide-ide secara
bebas terbuka, mengaju-kan
berbagai pertanyaan
dalam menganalisis infor-masi
yang tersedia pada
Masalah 1.3.
Minta siswa mengisi se-cara
lengkap data pada
tabel dan mencoba meng-gambarkan
data-data
(pasangan titik) tersebut
pada sistem koordinat
kartesius!

9 Matematika
6
4
2
0
4 2 2 4 x
2
4
y
f(x) = 3-x f(x) = 2-x f(x) = 2x f(x) = 3x
Gambar-1.2: Grafik Fungsi Eksponensial
x
–3 –2 –1 0 1 2 3 4
f(x) = 2x
f(x) = 2-x
f(x) = 2x
f(x) = 3x
f(x) = 3-x
Latihan 1.1
Amati grafik (Gambar-1.2) di atas. Tuliskan sedikitnya 5
(lima) sifat grafik fungsi tersebut dan disajikan hasilnya
di depan kelas. Dalam paparan jelaskan mengapa kita
perlu mengetahui sifat-sifat tersebut.
Organisasikan siswa bela-jar
dalam kelompok. Min-ta
siswa diskusi dengan
temannya satu kelompok,
bagaimana perilaku grafik
ketika x menuju -∝ dan ke-tika
x menuju ∝? Apakah
grafik itu sampai berpo-tongan
atau tidak sampai
menyinggung sumbu x?
Sajikan hasil kerja kelom-pok
di depan kelas.
Untuk menguatkan konsep
siswa, minta siswa untuk
mencoba menyelesaikan
Latihan 1.1 di samping.
Misalnya grafik fungsi
f(x) = 2x, x bilangan real.
Sifat grafik yang diharap-kan
ditemukan siswa, an-tara
lain:
1. Grafik seluruhnya di
atas sumbu-x.
2. Sumbu-x sebagai asim-tot
3. Memotong sumbu-y
pada satu titik, saat
x = 0.
4. Grafik tidak memotong
sumbu-x, untuk x menu-ju
0.
5. Untuk nilai x sema-kin
besar, maka nilai y
semakin besar. Seba-liknya
untuk nilai x se-makin
kecil, diperoleh
nilai y semakin kecil

2. Pangkat Bulat Negatif
Definisi 1.2
Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat positif,
didefinisikan
a
a a a a
− ( )= =
3 4 = −
=
a
m
m
− =

1
Definisi di atas dijelaskan sebagai berikut:
a
a a a a a
m
m
− =

=

×

×

× ×

1 1 1 1 ... 1
sebanyyak faktor
faktor
m
m
m
a
14444244443
1442443
=
× × × ×
=
1
1
...
Contoh 1.1
Jika x = –2 dan y = 2, tentukan nilai x-3 (y4)
x y y
x
−
=
−
4
3
4
3
2
2
16
8
2
( )
3. Pangkat Nol
Definisi 1.3
Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, maka a0 = 1.
6. Untuk x ∝ menuju ∝,
diperoleh y menuju ∝.
Untuk x menuju -∝, di-peroleh
y menuju 0.
Ajukan beberapa con-toh
yang dipahami siswa
tentang perpangkatan di
SMP, dalam membangun
pemahaman terhadap
Definisi 1.2 di samping.
Misalnya
3 1
3
1
3
3
3
3
− = =

=

×

×

1
3
1
3
1
3
=
1
3 3 3
1
× × 9
Selanjutnya menga-jak
siswa mencermati
penjelasan Definisi 1.2
secara deduktif, seperti
disajikan disamping.
Untuk lebih memahami
Definisi 1.2, minta siswa
mencermati Contoh 1.1 di
samping. Cek kebenaran
hasil kerja siswa mener-apkan
Definisi 1.2, dalam
menyelesaikan soal pada
Contoh 1.1.
Arahkan siswa memahami
Deinisi 1.4 di samping,
dengan mengajukan be-berapa
pertanyaan, sep-erti:

11 Matematika
Untuk lebih memahami definisi di atas, perhatikan
pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut.
23 = 8 33 = 27
22 = 4 32 = 9
21 = 2 31 = 3
20 = 1 30 = 1
Perhatikan hasil pemangkatan 2 dengan 0, dan hasil
pemangkatan 3 dengan 0, hasil perpangkatannya adalah 1.
4. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif
Coba cermati bukti sifat-sifat bilangan berpangkat
bulat positif menggunakan definisi bilangan berpangkat
yang kamu telah pelajari sebelumnya.
Sifat-1
Jika a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif maka
am × an = am+n
Bukti:
am an a a a a a a a a
× = 1×44×2×4..4.×3×1×44×2×4..4.×3
m faktor nfaktor
am an a a a a a a
= × = × × × × ×
144424443
m +
n
= am+n
• Perhatikan am a a a a
= 1×44×2×4..4.×3 .
m faktor
Diskusikan dalam kelompokmu,
apakah benar perpangkatan adalah
perkalian berulang?
• Bagaimana jika m dan n bukan
bilangan bulat positif?
Mengapa batasan bilan-gan
real dan . Bagaimana
hasil a0, ketika a = 0. Beri
penjelasan bahwa ketika
a = 0 maka a0 = 00, hasil-nya
taktentu. Selanjutnya
ajak siswa mengamat pola
hasil perpangkatan bilan-gan
2 dan 3 di samping.
Untuk meyakinkan siswa
bahwa a0 = 1, a ≠ 0
Minta siswa untuk dapat
membuktikan Sifat-1 se-hingga
siswa dapat me-nyimpulkan
bahwa sifat
tersebut benar untuk m
dan n bilangan bulat posi-tif.
Jelaskan pada siswa bah-wa
perpangkatan adalah
perkalian berulang. Si-fat-
1, hanya berlaku a
bilangan real, m dan n bi-langan
bulat positif. Jika
m dan n bukan bilangan
bulat positif, Sifat-1 tidak
berlaku, misalnya a = 0
dan m = n = 0, tidak ber-laku

Sifat-2
Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat
positif, maka
a
m
= a
m−n .
a
n
Bukti:
a
a
a a a a
a a a a
m
n
...
...
× × × ×
× × × ×
1442443
m
1442443
n
=
faktor
faktor
(sesuai Definisi 1.1)
• Pada persyaratan Sifat-2, mengapa a ≠ 0
dipersyaratkan?
• Bagaimana jika a = 0? Apa dampaknya pada
hasil pembagian
m
n ? Jika kamu tidak tahu
a
a
bertanya ke guru!
Sifat-1 di atas hanya berkaitan dengan bilangan bulat
positif m dan n. Ada 3 (tiga) kemungkinan, yaitu (a) m n,
(b) m = n, dan (c) m n.
a) Kasus m n
Jika m dan n bilangan bulat positif dan m n maka m
– n 0. Dengan demikian
a 1442443
× a × a × ... ×
a
a ×
aa a a
a
m
m
a
n
a × a × a × ...
×
a
a a a a
1442443
n
=
=
faktor
faktor
1442443
× × × ×
1442443
m
n = am-n, dengan m, n bilangan bulat positif dan
× × ×
n a a a
n
× × × ×
...
...
.. faktor
faktor
..
...
( )
( )
×
= × × × ×
=
−
−
−
a
a a a a
a
m n
m n
m n
faktor
faktor
1442443
1442443
Jadi a
a
m n
Selanjutnya bimbing
siswa agar memaha-mi
tentang Sifat-2 dan
data menunjukkan bukti
dari sifat tersebut. Beri
penjelasan pada siswa
dalam Sifat-2, tidak diiz-inkan
a = 0, sebab ben-tuk
perpangkatan pada
Sifat-2 adalah bentuk ra-sional.
Dalam pecahan
penyebutnya tidak lazim
nol.Ketika a = 0 dan m,
n bilangan bulat positif,
maka am atau an dimung-kinkan
hasilnya 0.Jika
hasil am dan an keduanya
nol, maka hasil baginya
tak tentu. Jika am = 0
dan an ≠ 0, maka hasil
baginya 0. Tetapi jika
am ≠ 0 dan an = 0, maka
hasil baginya tak ter-definisi.

13 Matematika
b) Kasus m = n
Jika m = n, maka a
m
n = 1 = a0 = am–n.
a
Bukti:
a
a
a
a
m
n
m
m = , sebab m = n
=
a 1442443
× a × a × ×
a
m
a × a × a × ×
a
1442443
m
= 1
= a0
...
...
faktor
faktor
Latihan 1.2
Buktikan sendiri untuk kasus m n. Jelaskan perbedaan
hasilnya dengan kasus (a).
Buktikan
positif, m n, maka
a
a
a
m
n
= m−n .
Bukti:
Ambil sebarang m dan n bilangan bulat positif, m n.
m n ⇒ m – n 0.
a a a a
a
m
1442443
m faktor
a
n
a a a a
1442443
n m faktor
=
× × × ×
× × × ×
−
...
...
( )
a 1442443
a a a
m faktor
a a a a
1442443
=
× × × ×
× × × ×

n −
m faktor
...
...

( )

×

× × × ×

=
× × ×
1
1
a a a a
a a a
m faktor
...
...
1442443
×

=

1442443
n m faktor
1

a
= =
−
−
− − −
a
a a
n m
n m m n
( )
( )
(karena m n, maka m – n 0)
Agar siswa benar-benar
dapat menguasai kon-sep
tentang Sifat-2 un-tuk
kasus m n, sesuai
Latihan 1.2. Alternatif
jawaban yang diharap-kan
dari siswa sebagai
bukti Sifat-1.2 untuk kasus
m n, dapat dicermati di
samping.

Sifat-3
positif, maka (am)n = amn
Bukti:
a a a a a
( ) = × × × ×
m n m m m m
144424443
n
...
faktor
a × a × a × ...
×
a

14442443 1442443
m
=
faktor

... ...
1442443 1442443
14444444244444443

a a a a
14424..4. 3
Selanjutnya minta siswa
untuk mencoba mema-hami
bukti Sifat-3 dengan
memberi bantuan sebagai
berikut.
(32)3 = (3 × 3)3
= (9)3 = 9 × 9 × 9
= 729 = 36 = 32×3
Selanjutnya mengarahkan
siswa membuktikan Si-fat-
3 secara umum, seper-ti
yang tertera pada buku
siswa di samping
6 ( ) = = =
× × × ×

× × × ×
a a a a
a a a a
m
...
...
faktor
a a a a
mm m
faktor faktor

× × × ×

= × × × ×

×
n
m n
faktor
faktor

(am )n = am×n (terbukti)
Diskusi
Diskusikan dengan temanmu, apakah syarat bahwa
m dan n bilangan positif diperlukan untuk Sifat-3 dan
Sifat-4. Bagaimana jika m dan n adalah negatif atau
kedua-duanya bilangan negatif.
Catatan
Dalam beberapa definisi, sifat, dan proses pembuktian
sering kita menggunakan simbol logika. Beberapa simbol
yang sering kita gunakan dijelaskan sebagai berikut.
a. Simbol ∀ dibaca untuk setiap atau untuk semua.
Misalnya, ∀ x∈R, berlaku x2 ≥ 0 (dibaca, untuk setiap
x bilangan real, maka x kuadrat lebih dari atau sama
dengan nol).
b. Simbol p ⇒ q dibaca jika p, maka q. Misalnya
x = 2 ⇒ x2 = 4
Ajak siswa berdiskusi
dalam kelompok belajar,
untuk menganalisis pent-ingnya
syarat m dan n
bilangan bulat positif un-tuk
Sifat-3. Jika m dan n
adalah salah satu negatif
dan ketika a = 0, misalnya
0 0 0 1
0
2 − 3 − 2 × 3 −
6
Tentu 06 = 0. Dengan
demikian 1
0
1
6 0 = hasil-nya
tak terdefinisi.
Jelaskan pada siswa
catatan penting di sam-ping,
tentang pemanfaatan
dan makna simbol logika
matematika yang sering
digunakan dalam definisi,
sifat, dan proses pembuk-tian.

15 Matematika
c. Simbol p ⇔ q dibaca p jika dan hanya jika q atau p bila
dan hanya bila q. Misalnya x2 = 4 ⇔ x = 2 atau x = -2
Contoh 1.2
(a) Buktikan jika a ∈ R, a 1 dan n m, maka an am !
Bukti:
Karena a 1 dan n m maka n – m 0 dan an 0, am
0. Akibatnya, berlaku
= ( )
n
m
a a
−
a
n
m
a
a
Lihat sifat-1di atas
n
m
a
a
n m
1(Mengapa 1?Berialaasamu

Karena
n
m
× ×

terbukti
!)
( )
( )
a
a
a a a
a a
m m m
m n
1 0
(b) Perlukah syarat a 1?
Misalkan kita ambil a bilangan real yang memenuhi a
1 dan n m. Apakah yang terjadi?
Pilih a = –2, dengan n m, pilih n = 3 dan m = 2.
Apakah yang terjadi?
(–2)3 = (–2) × (–2) × (–2) = –8
(–2)2 = (–2) × (–2) = 4
Dengan demikian, an = –8 4 = am atau an am. Jadi,
tidak benar bahwa an am bila a 1 dan n m. Jadi,
syarat a adalah bilangan real, dengan a 1 dan n m
merupakan syarat cukup untuk membuktikan an am .
Latih siswa berpikir anal-itis
dengan mengajukan
Contoh 1.2 di samping.
Minta siswa membuktikan
masalah yang diberikan
dan beri bantuan, jika
siswa mengalami kesuli-tan.
Ajukan berbagai per-tanyaan
untuk menguji
pemahaman siswa, dalam
pemanfaatan kosep dan
sifat yang sudah dipela-jari
sebelumnya, untuk
proses pembuktian.
Minta siswa memberi con-toh
yang lain dengan me-milih
nilai a tertentu, agar
pernyataan pada Contoh
1.2 tidak berlaku, apabila
a 1. Seperti halnya con-toh
penyangkal pada buku
siswa di samping.

Diskusi
Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok. Analisis
pernyataan pada Contoh 1.2!
• Apa akibatnya bila syarat a 1 tidak dipenuhi?
• Perlukah diperkuat dengan syarat n m 0?
Jelaskan!
• Bolehkah syarat a 1 di atas diganti a ≥ 1? Jelaskan!
• Bagaimanakah bila 0 a 1 dan a 0?
• Buat aturan hubungan antara an dan am untuk
bermacam-macam nilai a di atas!
• Buat laporan hasil diskusi kelompokmu.
Contoh 1.3
Terapkan berbagai sifat bilangan berpangkat untuk
menentukan hasil operasi bilangan pada soal yang disajikan
pada contoh. Ujilah kebenaran hasilnya!
1. 2 × 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ×
2
{ 1442443
2 5
faktor faktor
2 2 2 2 2
2 5
= × × × ×
11442443
7
faktor
=
= +
2
2
7
2 5
dengan menggunakan
Sifat-1
2.
dengan menggunakan
Sifat-2 kasus b
2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
5
5
0
=
× × × ×
× × × ×
=
= 25–5
= 25–5
Arahkan siswa diskusi
dengan temannya satu
kelompok. Minta siswa
menganalisis beberapa
pernyataan pada tabel di
samping.
Jika syarat a 1 tidak
dipenuhi, maka per-nyataan
jika a ϵ R , a
1 dan n m, maka an
am, belum tentu benar.
Tidak perlu diperkuat
syarat n m menjadi
n m 0, sebab per-nyataan
pada Contoh
1.4 berlaku untuk n dan
m yang negatif.
Syarat a 1 tidak boleh
diganti dengan a ≥ 1, se-bab
untuk a = 1, an = am.
Arahkan siswa mencer-mati
beberapa contoh
yang disajikan, agar lebih
mema-hami penggunaan
sifat-sifat bilangan ber-pangkat
dalam penyele-saian
berbagai soal.Cek
pemahaman siswa dengan
mengajukan pertanyaan-pertanyaan
terkait peman-faatan
sifat tersebut

17 Matematika
3.
dengan menggunakan
Sifat-3
( 2 3 ) 2 =( 2 3 )×( 2
3
)
= ( 2 × 2 × 2 )×( 2 × 2 × 2
)
14243 14243
( 2
× × × × )
faktor faktor
3 3
= ×
22 2 2 2 2
144424443
2
2
6
3 3
6
=
=
+
faktor
( × ) = ( × )×( × )×( × )
4. 2 3 2 3 2 3 2 3
2 2 2 3 3 3
3
= × × × × ×
14243 142433
3 faktor 3
faktor
= 23 ×33
dengan menggunakan
Definisi 1.1
5. 2
3
2
3
2
3
2
3
64f7akto48r
2 2 2
3 3
3
3

=

×

×

=
× ×
× ×
3
14243
3
3
3
2
3
faktor
=
dengan menggunakan
Definisi 1.1
Contoh 1.4
Buktikan bahwa jika a 1 dan n m dengan n dan m
bilangan bulat negatif, maka an am.
Bukti:
Karena n m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka
–n dan –m adalah bilangan bulat positif dan –m –n.
Karena a 1 maka a
a
a
a
m
n
n
m
−
− = 1 (Gunakan sifat a–m =
1
am ).
n
m 1 ⇒ an am (terbukti)
a
a
Latih siswa berpikir kri-tis,
analitis, dan kreatif
dengan mengajukan Con-toh
1.4 di samping. Minta
siswa membuktikan per-nyataan
yang diberikan
dan beri bantuan, jika
siswa mengalami kesuli-tan.
Ajukan berbagai per-tanyaan
untuk menguji
pemahaman siswa, dalam
pemanfaatan konsep dan
sifat yang sudah dipelajari
sebelumnya, untuk proses
pembuktian.
Pernyataan pada Contoh
1.4, tidak berlaku untuk a
1, misalnya pilih a = –3,
n = –2, dan m = –3.
a
n
=
a
m (− )
(− )
=
(− )
(− )
−
−
3
3
3
3
2
3
3
2
=
−
27 = −
9
3 1
a
a
a a
n
m
1 n m.

Contoh 1.5
Berdasarkan sifat perkalian dengan bilangan 7, tentukan
angka satuan dari 71234 tanpa menghitung tuntas. Perhatikan
angka satuan dari perpangkatan dari 7 berikut?
Perpangkatan
7 Nilai Angka Satuan
71 7 7
72 49 9
73 343 3
74 2401 1
75 16807 7
76 117649 9
77 823543 3
78 5764801 1
Coba lanjutkan langkah berikutnya untuk menemukan
angka satuan 71234. Cermati sifat satuan pada tabel di
atas. Saat periode ke berapakah berulang? Selanjutnya
manfaatkan sifat-sifat perpangkatan dan perkalian bilangan
berpangkat.
5. Pangkat Pecahan
Definisi 1.4
Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat
1
positif, maka am
= p adalah bilangan real positif,
sehingga pm = a.
Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan
bilangan real dengan pangkat pecahan.
Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0, m, n bilangan bulat
m
positif didefinisikan a n a
n
Beri bantuan siswa
melanjutkan langkah pe-nyelesaian
di samping. Alternatif
penyelesaiannya adalah
Dengan menggunakan si-fat
eksponen, maka kita
peroleh:
71234 = 7(4 × 308) × 72.
71234 = (74)308 × 72. Ingat:
amxn = (am)n = (an)m
71234 = (74)308 × 72
sehingga satuan dari
[71234] = satuan dari
[(74)308 × 72]
Satuan dari [71234] = satu-an
dari [(1)308] × satuan
dari [72].
Satuan dari [71234] = 1 × 9
Satuan dari [71234] = 9
Jadi, angka terakhir dari
71234 adalah 9.
1
2
= =
×
=
Contoh-1.5
m
=

1
.
Definisi 1.5
Jelaskan pada siswa me-lalui
beberapa contoh
yang sudah dipelajari se-belumnya
di SMP untuk
membangun pemahaman
terhadap Definisi-1.4 dan
1.5. Misalnya,
4 2 4 2
4 2
4
1
2
2
2
1
2
2

=

( )=
2
4 2
2
2
Dalam contoh ini,
a = 4, p = 2, dan m = 2.

6
6
6
2
19 Matematika
Sifat-4
Misalkan a bilangan real dengan a 0, p
n
m
n
dan
m
n
p
n
adalah bilangan pecahan n ≠ 0, maka a a a
m p
n

=( ) +
.
Bukti:
Berdasarkan Sifat-4, jika a bilangan real dan a ≠ 0, m, n
m

m
adalah bilangan bulat positif, maka a n =
a
n

1
. Dengan
p
m
n
p
n n
m
demikian a a a a
n

=

1 1
1 1
a a a a
1 1 1 1
a a a a
m
n
p
n n
m
n
p
n n n

=

... n
= × × × ×
1 1 1 1
444...4
144424443 14442 3
m
a a a a
n n n n
p
faktor faktor

× × × ×
1 1 1 1
an an an an
144424443

= × × × ×

m +
p
...
faktor
SSesuaiSifat
an a
BerdasarkanDefinisi1.5 = ,sehing
1
1
( )

m m
n gga diperoleh
m
n
p
n n
m p
m p
n
a a a a terbu

=

=( )
+
1 +
( kkti)
Sifat-5
Jika a adalah bilangan real dengan a 0,
m
n
dan
p
q
p
q
m
n
p
q
bilangan pecahan q, n ≠ 0, maka a a a
m
n

=
+
.
Untuk Definisi 1.5 berikan
contoh agar siswa lebih
memahaminya. Misalnya
2 2
6
2 = 3
= 2 × 2 × 2
= 8
1
2
2 2
1
2

=( ) ×
= (2)3 = 2 × 2 × 2
= 2
Berarti 2 2
1
2
6
=

Selanjutnya arahkan
siswa membuktikan Sifat-4
menggunakan Definisi 1.5
Arahkan siswa membukti-kan
Sifat-5 menggunakan
definisi dan sifat perpang-katan
yang sudah dipela-jari.
Alaternatif pembuk-tian
dapat dicermati di
samping.

Uji Kompetensi 1.1
1. Sederhanakanlah hasil operasi bilangan berpangkat
berikut.
a. 25 × 29 × 212
b. 25 × 36 × 46
2 5 × 3 5 c. ×
4
2
12
2
6 2
d. (−5) × 25
125
7 3
e. 3 7 2
× ×
( )
42
3
2. Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat,
sederhanakanlah bentuk berikut.
a. 2x3 × 7x4 × (3x)2
b.
−

p 4 2
q
2 × − × 2

( q) p
5

c. y5 × (x × y)3 1
x2 × y

a3 b5
a
b
4 2
8
2 a b
a b

d. (a × b × c)4 ×
3
b
×
3 27
3
(b × c) a
5
e.
− ×

f. 1 2
3
5
3
4 2 2
2
x y
x
y x
× × × ( y)
g. (− × ) ×
−

×

a b b
a
a
b
3
4 5
2
3
h. 24
6
4
2
3 8
5
3
3
b a
a
×
×

×
×

Minta siswa untuk meny-elesaikan
uji kompetensi
melalui pemberian tugas
untuk menilai penguasaan
siswa terhadap materi
yang sudah dipelajari.
Terutama tugas projek
yang tersedia. Gunakan
rubrik penilaian projek
yang telah tersedia pada
bagian akhir dari buku
guru ini.

4 4 4 4
4 4 4 4
5
3
1
2
2
3
3
2
7
6
1
2
2
3
−
−
21 Matematika
i. 36 2
3
12 3
9
2
2
2
2
2
x y
x y
x y
x y
( × )
×

÷ ( )

j. (− ) ×(− ) ×
3
2 3
− ( )

÷
− ( )

p q r
p q
pqr
qr
3 2 3
2 3
2
12
3. Hitunglah hasil operasi bilangan
berpangkat berikut.
a. −

4 2
× −

2
3
1
2
1
6
b. (− ) ×

×

×

5 1
15
10
3
9
5
3
2 4 5
c. 3
x2 ×
y3
24
x
× (2y)2; untuk x = 2
dan y = 3
d.
2
3
3
4
2
3
x y
2
xy

×

(− )
untuk x =
1
2
dan y =
1
3
e.
2 p
p q
3 3
2 3
4
2 4
2 2
q
p
×(− )
(− ) ×(− )
×

;
untuk p = 4 dan q = 6
f.
− −
x y x y x y
x y y
3
2
3
2
3
2
3
2 1
2 1 2
+

−

( + + )
−
− −
untuk x =
1
2
dan y =
1
2
4. Hitunglah
− − − −
− − − −
1 2 3 4
1 3 5 7
+ + + +
+ + + +
...
...
5. Sederhanakanlah a b a b
a b a b
.
6. Tentukan nilai x yang memenuhi
persamaan berikut
a. 2x = 8
b. 4x = 0,125
c. 2
1
5

=
x
7. Tentukan hasil dari
( ) − ×
2 2 2 2
n n
2 2 2
2 n 2
n
2
+
+
×
8. Misalkan kamu diminta menghitung
764. Berapa banyak perkalian yang
kamu lakukan untuk mendapatkan
nilai akhirnya? Bandingkan
jawabanmu dengan temanmu.
Pemenang di antara kalian adalah
yang dapat mencari hasilnya dengan
melakukan perkalian sesedikit
mungkin. Coba tuliskan prosedur
mengalikan yang paling sedikit
perkaliannya untuk menghitung
764. Apakah prosedur tersebut dapat
dipergunakan untuk pangkat positif
berapapun?
9. Berdasarkan sifat bilangan 7,
tentukan angka satuan dari 71234 +
72341 + 73412 + 74123 tanpa menghitung
tuntas!

10. Tentukan angka satuan dari 6 26 62 (( ) )
berdasarkan sifat bilangan 6,
tanpa menghitung tuntas.Selanjutnya lakukan hal
tersebut berdasarkan sifat angka 2, 3, 4, 5, 8, 9.
11. Tunjukkan bahwa 12001 + 22001 + 32001 + … + 20012001
( + × )
( + × ) .
2008 2013 2012 2011
Projek
Bilangan yang terlalu besar atau terlalu kecil sering
dituliskan dalam notasi eksponen yang dituliskan
sebagai a E b yang nilainya adalah a × 10b. Sehingga
0,000052 ditulis sebagai 5,2 E 5. Cari besaran-besaran
fisika, kimia, astronomi, dan ekonomi
yang nilainya dinyatakan dengan notasi eksponen.
Misalkan kecepatan cahaya adalah 300.000 km/det,
sehingga dalam notasi eksponen ditulis sebagai 3 E
8 m/det.
6. Bentuk Akar
Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan
merupakan kebalikan dari pemangkatan suatu bilangan.
Akar dilambangkan dengan notasi ” ”.
Definisi 1.6
Misalkan a bilangan real dengan a 0, p
q
adalah
bilangan pecahan dengan
q ≠ 0. q ≥ 2. a
p
q = c, sehingga c = q a p atau a
p
q = q a p
adalah kelipatan 13.
12. Bagaimana cara termudah untuk mencari
3 10 5 2
5 6 3 2
2012 2010 2009 2008
Tugas proyek diberikan
sebagai tugas individu
untuk menginformasikan
kepada siswa bahawa be-lajar
eksponen sangat di-perlukan
dalam perkem-bangan
ilmu dan dalam
menyelesaikan perma-salahan
kehidupan.
Berdasarkan penyelesa-ian
masalah dan konsep
yang sudah dipelajari se-belumnya
arahkan siswa
untuk dapat mendefinisi-kan
definisi-definisi beri-kut.

23 Matematika
Perhatikan permasalahan berikut.
Masalah-1.4
Seorang ahli ekonomi menemukan hubungan antara
harga (h) dan banyak barang (b) yang dinyatakan
dalam persamaan h = 33 b2 . Jika nilai b = 8, maka
berapa nilai h?
h = 3 3 b 2 h
=
38
3 2
h
h
h
3 3
64
3 4 4 4 3 4
12
=
= 3
× × = ×
=
Akar ke-n atau akar pangkat n dari suatu bilangan a
dituliskan sebagai n a , dengan a adalah bilangan pokok/
basis dan n adalah indeks/eksponen akar.
Bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan
sebaliknya. Sebelum mempelajari bentuk akar, kamu harus
memahami konsep bilangan rasional dan irrasional terlebih
dahulu.
Bilangan rasional berbeda dengan bilangan irrasional.
Bilangan rasional adalah bilangan real yang dapat dinyatakan
dalam bentuk
a
b
, dengan a dan b bilangan bulat dan
b ≠ 0. Karena itu, bilangan rasional terdiri atas bilangan
bulat, bilangan pecahan biasa, dan bilangan pecahan
campuran. Sedangkan bilangan irasional adalah bilangan
real yang bukan bilangan rasional. Bilangan irasional
merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal
tak berhingga dan tak berpola. Contoh bilangan irasional,
misalnya 2 = 1,414213562373..., e = 2,718..., dan › =
3,141592653…
Selanjutnya minta siswa
mengamati masalah 1.4
dan menghimpun informa-si
yang terkandung pada
masalah tersebut. Mem-beri
kesempatan kepada
siswa menganalisis dan
memunculkan ide-ide dan
pertanyaan-pertanyaan
sekitar masalah yang dia-jukan
sebagai pengantar
kepada siswa tentang kon-sep
bentuk akar.
Jelaskan perbedaan bilan-gan
rasional dan irasional
pada siswa. Berikan be-berapa
contoh untuk me-mahami
konsep bilangan
rasional dan irasional.

Bilangan irasional yang menggunakan tanda akar (
) dinamakan bentuk akar. Tetapi ingat, tidak semua
bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan
bilangan irasional. Contoh: 25 dan 64 bukan bentuk
akar, karena nilai 25 adalah 5 dan nilai 64 adalah 8,
keduanya bukan bilangan irasional.
Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut.
1. 20 adalah bentuk akar
2. 3 27 bukan bentuk akar, karena 3 27 = 3
7. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan
Berpangkat
Perlu diketahui bahwa bilangan berpangkat memiliki
hubungan dengan bentuk akar. Berdasarkan Sifat-4, jika
a adalah bilangan real dengan a 0,
1
2
1
2
+ + = p1 = p dan perhatikan juga bahwa
p
n
dan
m
n
adalah
m
n

p
n

bilangan pecahan dengan n ≠ 0, maka a a a
m p
n

=( )
+
.
Dengan demikian p p p
1
2
1
× = 2 + = p dan perhatikan bahwa
1
2 = .
p× p = p , sehingga dapat disimpulkan p p
Perhatikan untuk kasus di bawah ini
1
1
1
1
1
1
p 3
× p 3
× p 3
= p
3
3
3
3 p×3 p×3 p = p , sehingga berdasarkan Definisi 1.6
disimpulkan p p
1
3 = 3 .
Ajak siswa memahami
pengertian bentuk akar
melalui contoh dan bukan
contoh. Gunakan contoh
dan bukan contoh bentuk
akar yang tertera pada
buku siswa.
Minta siswa mengamati
hubungan bentuk akar
dengan bilangan ber-pangkat
menggunakan
sifat-sifat yang sudah di-pelajari
sebelumnya.

25 Matematika
Latihan 1.3
Cermatilah dan buktikan apakah berlaku secara umum
1
bahwa pn = n p
.
2
3
2
3
Perhatikan bahwa p p p
2
´ ´ 3 = p2, sehingga berdasarkan
sifat perkalian bilangan berpangkat diperoleh:
2
3
p
3

= p2 Ingat, (pm)n = pm × n
2
3 = 3 2 .
dapat diubah, p p
m
n n m n
Secara umum dapat disimpulkan bahwa p p p
m
= =( )
sebagaimana diberikan pada Definisi-1.6.
8. Operasi pada Bentuk Akar
a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk
Akar
Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk
akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama.
Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai
eksponen dan basis sama. Untuk setiap p, q, dan r adalah
bilangan real dan r ≥ 0 berlaku sifat-sifat berikut.
+ = ( + )
− = ( − )
p n r q n r p q n
r
p n r q n r p q n
r
Perhatikan contoh berikut ini!
Minta siswa untuk me-nyelesaikan
Latihan 1.3
dengan caranya sendiri .
Jawaban yang diharapkan
dari siswa, bahwa per-nyataan
pada Latihan 1.3
berlaku untuk n bilangan
bulat positif dan p ≥ 0.
Operasi pada bentuk akar
yang digunakan dalam
pembelajaran ini adalah
operasi penjumlahan,
pengurangan, perkalian,
dan pembagian.

Contoh 1.6
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut
dalam bentuk yang sederhana!
1. 3 5 4 5 3 4 5
+ = ( + )
7 5
=
2. 5 + 3 (tidak dapat disederhanakan
karena akarnya tidak senama)
− = ( − )
3. 2 3 4 3 3 4 2 3 3
4
4
3
= −
− = ( − )
x x x
4. 3 3 1
3 3 3
2
3
x
=
b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa
p
a q = q a
p . Sifat perkalian dan pembagian bentuk akar
dapat dicermati pada beberapa contoh berikut.
Contoh 1.7
3
1) 3 8 = 3 23 = 2 3 = 2 1 =
2
6
2) 6 64 = 6 26 = 2 6 = 2 1 =
2
3) 43 5 × 23 7 = (4× 2)(3 5× 7 ) = 83 35
1
5

4) 35 5 57 5 3 5 5 5 15 5 15 5
Jelaskan beberapa con-toh
berikut untuk me-latih
siswa menerapkan
berbagai aturan terkait
operasi aljabar dalam
bentuk akar. Ajukan ber-bagai
pertanyaan pada
siswa untuk menguji
pemahaman mereka.
1
7
12
× = ( × ) × 35 35 12

=

=
5) 3 4
4 5
3
4
4
5
3
3
= 3
6)
2 3
3 5
2
3
3
5
4
4
= 4
Ajak siswa mengerjakan
Latihan 1.4. Cek kebena-ran
hasil kerja siswa,
dengan meminta beberapa
siswa menyajikan hasil
kerja di depan kelas. Ha-sil
kerja yang diharapkan
dari siswa adalah

n
1 1
n n n n
= ( )
( )
= ×
27 Matematika
Latihan 1.4
1) Buktikan bahwa jika a bilangan real dan a 0,
maka n an = a.
2) Buktikan bahwa jika a, b, c, dan d bilangan real,
c 0 dan d 0, maka a n c ×bn d = abn cd .
3) Buktikan bahwa jika a, b, c, dan d bilangan real,
c 0 dan d 0, maka a c
b d
a
b
c
d
n
n
= n .
c. Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti
2, 5, 3 + 7, 2 − 6 , dan seterusnya merupakan
bilangan irasional. Jika bentuk akar tersebut menjadi
penyebut pada suatu pecahan, maka dikatakan sebagai
penyebut irasional.
Penyebut dalam bentuk akar dapat diubah menjadi
bentuk pangkat rasional. Cara merasionalkan penyebut
bentuk akar tergantung pada bentuk akar itu sendiri.
Akan tetapi, prinsip dasarnya sama; yaitu mengalikan
dengan bentuk akar sekawannya. Proses ini dinamakan
merasionalkan penyebut.
1) Merasionalkan bentuk
p
q
Bentuk
p
q
dirasionalkan dengan cara mengalikannya
dengan q
q
.
p
q
p
q
q
q
p
q
= . = q
1) a 0
n a n
= a n = a 1 =
a (terbukti)
2) a, b, c, dan d bilangan
real, c 0 dan d 0
c d a c b d
ab c d
ab cd
n
n
× =

×

= ( × )
=
1
(terbukti)
3) a, b, c, dan d bilangan
real, c 0 dan d 0
a c
b d
a c
b d
a
b
c
d
a
b
c
d
n
n
n
n
n
n

=
1
1
1
(terbukti)
Latih siswa merasion-alkan
berbagai bentuk
akar mengalikan dengan
bentuk akar sekawannya
melalui berbagai contoh
yang bervariasi, antara
lain bentuk

Diskusi
Menurutmu mengapa penyebut bilangan pecahan
berbentuk akar harus dirasionalkan?
Mengapa kita harus mengalikan
, , , dan
+ −
p
q
dengan q
q
?
Karena q selalu positif, maka q
q
= 1.
Jadi perkalian
p
q dengan
q
q
tidak akan mengubah
nilai
p
q
namun menyebabkan penyebut menjadi
bilangan rasional.
2) Merasionalkan bentuk
r
p q
r
p q
r
p q
r
+ − + p − q
Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar
di atas, perlu kita pahami bentuk-bentuk campuran
bilangan rasional dan bilangan irasional.
a) Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan
bilangan irasional maka hasilnya bilangan
irasional. Contoh 2 + 7 = 2 + 2,645751.... = 4,
645751... (bilangan irasional).
b) Jika bilangan irasional dijumlahkan dengan
bilangan irasional maka hasilnya bilangan
irasional atau rasional, Contoh (1) 5 + 7 =
2,236068.... + 2,645575... = 4,881643... (bilangan
irasional), (2) 2 5 + (-2 5 ) = 0 (bilangan
rasional). Jika dua bilangan irasional dikurangkan,
bagaimana hasilnya?
c) Jika bilangan rasional dikalikan dengan bilangan
irrasional, maka hasilnya bilangan rasional atau
irasional. Contoh. 0× 2 = 0 (0 adalah bilangan
p
q
r
p q
r
p q
r
p q
dan r
p q
, ,
,
+ −
Selanjutnya jelaskan Con-toh
1.8 dan Contoh 1.9
yang tersedia pada buku
siswa.

29 Matematika
rasional) atau 2× 5 = 2 5 adalah bilangan
irasional
d) Jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan
irasional, maka hasilnya dapat bilangan rasional
atau bilangan irasional.
Contoh:
• 5 × 125 = 5 × 5 5 = 25
(25 adalah bilangan rasional)
• 3 × 5 = 15 ( 15 adalah bilangan
irasional)
e) n a disebut bentuk akar apabila hasil akar pangkat
n dari a adalah bilangan irasional.
Untuk merasionalkan bentuk r
p q
r
, ,
+ p − q
r
p + q
, dan r
p − q
.
dapat dilakukan dengan memperhatikan sifat perkalian (a + b)
(a – b) = a2 – b2, sehingga
( )( ) ( ) 2 ( ) 2
+ − = − = −
( + )( − ) = − ( ) = −
p q p q p q p q
2 p q p q p 2 q p 2
q
Bentuk ( p + q ) dan bentuk ( p − q ) saling sekawan,
bentuk ( p + q ) dan ( p − q )juga saling sekawan.
Jika perkalian bentuk sekawan tersebut dilakukan maka
dapat merasionalkan bentuk akar. Untuk p, q dan r bilangan
real.
r
p q
r
p q
( − )
( − ) . 2 dimana q ≥
( p − q
)
( =
p − q
) r p q
( + ) p q =
( + )
0 dan p2 ≠ q.

r
p q
r
p q
( + )
( − ) . 2 dimana q ≥
( p + q
)
( =
p + q
) ( − )
( − ) .
( − )
( − ) =
( + )
( − ) .
( + )
( + ) =
=
2 ( 3 2
)
3 2 3 2
( )( )
2 3 2
9 2
6 2 2
r p q
( − ) p q =
( − )
0 dan p2 ≠ q.
r
p q
r
p q
p q
p q
r p q
( + ) p q =
( + )
dimana p ≥ 0, q ≥ 0 dan p ≠ q
r
p q
r
p q
p q
p q
r p q
( − ) p q =
( − )
dimana p ≥ 0, q ≥ 0 dan p ≠ q
Contoh 1.8
Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut.
a. 2
3 2
2
3 2
3 2
− −
3 2
×
+
+
=
+
− +
=
( + )
−
=
+
= +
7
6
7
2
7
7
b.
3
6 3
3
6 3
6 3
6 3
3 6 3
6 3 6 3
+
=
+
×
−
−
=
( − )
( + )( − )

31 Matematika
=
18 −
3 3
36 −
3
18 3 3
=
−
33
6
11
= −
3
11
c.
4
7 5
4
7 5
7 5
7 5
4 7 5
7 5 7 5
4 7 5
7 5
4 7 4 5
2
2 7 2 5
−
=
−
×
+
+
=
( + )
( − )( + )
=
( + )
( − )
=
+
= +
Contoh 1.9
Pikirkan cara termudah untuk menghitung jumlah bilangan-bilangan
berikut
1
1 2
1
2 3
1
3 4
1
4 5
1
... ...?
99 100
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara
merasionalkan penyebut tiap suku; yaitu,
=
1
1 2
1 2
×
−
− +
+ 1 2
1
2 3
2 3
×
−
− +
+ 2 3
1
3 4
3 4
×
−
− +
+ 3 4
Jelaskan cara mera-sionalkan
bentuk akar
dengan mengalikan ben-tuk
sekawan sesuai penye-but
dari bentuk rasional
seperti pada Contoh 1.9.
Beri kesempatan pada
siswa untuk mencoba
menguji penyelesaian soal
pada contoh-contoh yang
diberikan.

1
4 5
4 5
×
−
− + ... +
+ 4 5
1
99 100
99 100
×
−
−
+ 99 100
= 1 2
1
2 3
1
+ − + − + −
+ −...− +
= 3 + 1
3 4
1
4 5
1
99 100
1
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+ +
−
−
...
= – 1 2 2 3 3 4
4 5 99 100
= − 1 + 100 = −1+10 = 9 .
Contoh 1.10
Tentukan nilai dari
1
3 1
3 1
3
+
+
+ ...
Perhatikan pola bilangan berikut. Misalkan,
P= +
+
+
3 1
3 1
3 ...
atau P
P
⇔ P2 – 3P – 1 = 0
Dengan mengubah ke bentuk kuadrat sempurna diperoleh:
⇔ (P − ) − = 3
2
13
4
2 0
⇔ P =
6 + 2 13
4
Minta siswa mengamati
Contoh 1.10 dan memberi
kebebasan berpikir dalam
menganalisis permasala-han
yang diberikan. Uji
pemahaman dengan men-gajukan
berbagai per-tanyaan
serta ingatkan
kembali materi prasyarat
yang dibutuhkan dalam
pentelesaian soal terse-but.
Bantu siswa memanfaat-kan
pemisalan dan ingat-kan
kembali materi persa-maan
kuadrat yang telah
dipelajari di SMP, tentang
bentuk kuadrat sempurna,
agar siswa dapat melan-jutkan
tugas memahami
langkah penyelesaian
Contoh 1.10

33 Matematika
Jadi, nilai
1
3 1
3 1
3
1
6 2 13
4
4
+ 6 2 13
+
+
=
+
=
+
...
Dengan merasionalkan bentuk tersebut, maka
4
6 2 13
4
6 2 13
. ( )
6 2 13
6 2 13
4 6 2 13
=
+ +
16
−
−
=
−
−
=
2 13 − 6
2
Jadi, 1
2 13 6
2 +
3 1
3 1
3
+
+
=
−
...
3) Menyederhanakan bentuk ( p + q) ± 2 pq
Sekarang kita akan menyederhanakan bentuk
akar yang mempunyai bentuk khusus; yaitu, bentuk
( p + q) ± 2 pq . Perhatikan proses berikut ini!
Diskusikanlah masalah berikut dengan temanmu!
a. ( p + q )( p + q )
b. ( p − q )( p − q )
Dari hasil kegiatan yang kamu lakukan, kamu
akan memperoleh bentuk sederhananya menjadi
( p + q) ± 2 pq . Selanjutnya, perhatikan contoh berikut!
Arahkan siswa mema-hami
cara penyederha-naan
bentuk akar dengan
menjelaskan penyelesaian
Contoh 1.11.

( ) 2
+ = +
− + = ( − ) = −
Uji Kompetensi 1.2
2
1. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut ini!
a. 5
15
d. 6
−
+
a
a +
24
b. 2
20
e. 2 2
48
c. 3
18
f. 2
3
a
a
2. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut ini!
a. 1
5 − 3
d. 3
5 − 10
b. 4 2
4 2
e.
xy
x + y
c.
2
3 5
f. 24 + 54 −
150
96
Contoh 1.11
Sederhanakan bentuk akar berikut ini!
a. 8 + 2 15 = (5 + 3) + 2 5×3 = 5 + 2 5×3 + 3
= 5 3 5 3
b. 9 − 4 5 = 5 4 5 4 5 2 5 2
Berikan soal-soal pada
Uji Kompetensi 1.2 se-bagai
pekerjaan rumah
sesuaikan dengan materi
yang telah dipelajari. Hal
ini berguna untuk mengu-kur
penguasaan siswa ter-hadap
konsep dan prinsip
matematika yang telah di-pelajari.

Matematika Kelas X

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (17)

Similar a Matematika Kelas X

Similar a Matematika Kelas X (20)

Más de Randy Ikas

Más de Randy Ikas (20)

Último

Último (20)

Matematika Kelas X