1. TEOREMA DE
BAYES
Probabilidad y Estadística

2. PROBLEMA 1 (INTRODUCTORIO)
 En la Compañía Armadora del Norte, 3
máquinas automatizadas B1, B2, B3,
ensamblan 28%, 34% y 38% de los
motores de combustión interna,
respectivamente.
 Después de un análisis exhaustivo se
llegó a la conclusión el 3%, 4% y 2% de
los motores ensamblados por cada
máquina, respectivamente, presentaban
defectos. 2

3.  Sise selecciona al azar uno de los
motores terminados, ¿cuál es la
probabilidad de que sea
defectuoso?
3

4. DIAGRAMA ILUSTRATIVO:
S
B1
A B2
B1
B3
B3
4

5.  En el esquema, el espacio muestral S
está representado por el rectángulo. S
contiene a las regiones (particiones)
B1, B2, B3, que representan los eventos
de la siguiente manera:
 Evento B1: Motor ensamblado por la
máquina B1.
 Evento B2: Motor ensamblado por la
máquina B2.
 Evento B3: Motor ensamblado por la
máquina B3.
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6.  Los eventos B1, B2, B3 son disjuntos
(mutuamente excluyentes)
 Nótese que
P (B1) + P (B2) + P (B3) =
0.28 + 0.34 + 0.38 = 1
 Se cumple que P (S) = 1
También, en el esquema, se muestra una
región sombreada A, que representa el
 Evento A: Motor defectuoso.
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7. TEOREMA DE PROBABILIDAD
TOTAL (REGLA DE ELIMINACIÓN)
 Para resolver el problema …
 TEOREMA: Si los eventos B1, B2,...,
Bn, representan una partición del
espacio muestral S tal que P (Bi) ≠ 0
para i = 1, 2,..., n, entonces para
cualquier evento A de S
P A   PBi  PA Bi 
n
i 1 7

8. Idea para entender como se
obtiene el resultado del teorema
 Deldiagrama se puede notar que el
evento A es la unión de los eventos
correspondientes a la intersección de
A con B1, B2 y B3, de modo que
n
P( A)   P( A  Bi )
i 1
8

9. DIAGRAMA ILUSTRATIVO:
S
B1
A∩B1 B2
B1
A∩B2
B3
A∩B3
B3 A
9

10.  Utilizando probabilidad condicional
P( A  Bi )
P( A Bi ) 
P( Bi )
P( A  Bi )  P( Bi )  P( A Bi )
n
Por lo tanto P( A)   P( A  Bi ) 
i 1
P( A)   PBi  PA Bi 
n
i 1
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11. Solución del problema 1
 Aplicando el teorema de
probabilidad total al problema se
obtiene
P (A) = (0.28) (0.03) + (0.34) (0.04)
+ (0.38) (0.02)
P (A) = 0.0296
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12. PROBLEMA 2
 Con base en los datos del problema
1, suponga que al seleccionar
aleatoriamente un producto, éste sea
defectuoso. La preguntas ahora serán
 a) ¿cuál es la probabilidad de que
este producto fuera hecho por la
máquina B2? ¿o por la máquina B3?
¿o por B1?
 b) Preguntas de este tipo puede
responderse con ayuda del
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13. TEOREMA DE BAYES
 TEOREMA: Si los eventos B1, B2,..., Bn
representan una partición del espacio
muestral S, donde P (Bi) ≠ 0 para
i = 1, 2,..., n, entonces para cualquier
evento A en S tal que P(A) ≠ 0,
PBr  PA Br 
PBr A  ; para r  1,2,, n
 P B  P  A Bi 
n
i
i 1
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14. Demostración
Por probabilidad condicional se sabe que
P A  Br 
PBr A 
P(A)
Pero como
P A   PBi  PA Bi 
n
i 1
Entonces P A  Br 
PBr A 
 P B  P  A Bi 
n
i
i 1
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15. Así también, como
P A  Br 
PA Br   
P( Br )
P A  Br   P( Br )  PA Br 
De modo que al sustituir en la expresión
previa se tiene que
PBr  PA Br 
PBr A 
 P B  P  A Bi 
n
i
i 1
15

16. Nota
 ElTeorema de Bayes se aplica
cuando los eventos, para los
cuales deseamos calcular sus
probabilidades posteriores, son
mutuamente excluyentes, y la
unión de todos ellos es el espacio
muestral.
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17. Solución al problema 2
 Aplicando el Teorema de Bayes, con r = 2
PB2  PA B2 
PB2 A 
PB1  PA B1   PB2  PA B2   PB3  PA B3 
PB2 A 
0.34 0.04
0.280.03  0.340.04  0.380.02
PB2 A 
136 17
  0.4594
296 37
17

18.  Con r= 3
PB3  PA B3 
PB3 A 
PB1  PA B1   PB2  PA B2   PB3  PA B3 
P (B3 | A) = (0.38*0.02) / (0.28*0.03 +
0.34*0.04 + 0.38*0.02)
= 0.0076 / 0.0296
P (B3 | A) = 76/296 = 19/74 = 0.2567
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19. EJERCICIO
 En una biblioteca son asignados
cuatro estudiantes para colocar
sellos de identificación en los
libros: Ricardo, Rosy, Enrique y
Juanita.
 Los sellos tienen que ser
colocados estrictamente con una
orientación vertical (“al derecho”).
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20.  Ricardo, que sella el 26% de los libros, no
coloca el sello adecuadamente en 1 de
cada 400 libros.
 Rosy, que sella el 34% de los libros, no
coloca el sello adecuadamente en 1 de
cada 460 libros.
 Enrique, que sella el 22% de los libros, no
coloca el sello adecuadamente en 1 de
cada 200 libros.
 Juanita, que sella el 18% de los libros, no
coloca el sello adecuadamente en 1 de
cada 300 libros.
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21.  Sise elige, al azar, un libro que ya
pasó por el proceso de sellado, y
se observa que sello de
identificación ha sido colocado con
una orientación contraria (“al
revés”) ¿cuál es la probabilidad de
que el libro haya sido sellado por
Juanita?
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22. Solución
Sean los eventos:
 A = Sello mal colocado.
 B1 = Libro sellado por Ricardo.
 B2 = Libro sellado por Rosy.
 B3 = Libro sellado por Enrique.
 B4 = Libro sellado por Juanita.
 Empleando Teorema de Bayes
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23. PB4 A 
PB4  PA B4 
PB1  PA B1   PB2  PA B2   PB3  PA B3   PB4  PA B4 
P (B4 | A) = (0.18*1/300) / (0.26*1/400
+ 0.34*1/460 + 0.22*1/200
+0.18*1/300)
P (B4 | A) = 0.1942.
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