Cap02 aula02 variavel_complexa_funcoes

Sinais e Sistemas
Unidade 2 ‐ Conceitos de Matemática de
Variável Complexa
Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng.
rech.cassiano@gmail.com
Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
rcbeltrame@gmail.com

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2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
• Introdução
• Propriedades dos números complexos
• Operações com números complexos
• Fundamentos axiomáticos
• Funções de variável complexa
• Funções harmônicas complexas
• Resíduos e pólos
Conteúdo da unidade
Aula 01
Aula 02
Aula 03

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Aula 02
• Funções de variável complexa
– Funções unívocas e plurívocas
– Funções inversas e transformações
– Funções elementares
• Funções polinomiais
• Funções racionais algébricas
• Fórmula de Euler (expoentes complexos)
• Funções exponenciais
• Funções logarítmicas
• Funções algébricas e transcendentais
• Funções harmônicas complexas
– Funções trigonométricas circulares
– Funções trigonométricas hiperbólicas

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Funções de variável complexa
• z = qualquer conjunto de números (variável complexa)
• “z” muitas vezes é chamada de variável independente
enquanto que “w” é chamada de variável dependente
• Exemplo: f(z) = z², então, f(2j) = (2j)² = ‐4
Variáveis e funções
Se podemos associar a cada variSe podemos associar a cada variáável complexa vel complexa ““zz”” um ou um ou
mais valores de uma varimais valores de uma variáável complexa vel complexa ““ww””,,
dizemos que dizemos que ww éé funfunçção de ão de zz e escrevemos e escrevemos ww = = ff((zz))..

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• Exemplos
– w = z²  Função unívoca (z = ‐15‐8j  w = 161+240j)
– w = z1/2  Função plurívoca (z = ‐15‐8j  w = 1‐4j ou w = ‐1+4j)
Funções unívocas e plurívocas
Se a cada valor de Se a cada valor de z z corresponde somente um valor de corresponde somente um valor de ww, ,
dizemos que dizemos que ww éé uma uma funfunçção unão uníívocavoca de de zz..
Se a cada valor de Se a cada valor de z z corresponde mais de um valor de corresponde mais de um valor de ww, ,
dizemos que dizemos que ww éé uma uma funfunçção ão plurpluríívocavoca de de zz

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• Notação: z = g(w) = f ‐1(w)
Funções inversas
Algumas vezes, dada uma funAlgumas vezes, dada uma funçção ão ww = = ff((zz), podemos obter o ), podemos obter o
que se conhece por que se conhece por funfunçção inversaão inversa de de ff..

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• Igualando as partes reais e imaginárias temos que
u = u(x, y)   e
v = v(x, y)
Transformações
Se  Se  ww = = uu + + vjvj (onde (onde uu e e vv são funsão funçções reais) ões reais) éé uma funuma funçção ão
ununíívoca de  voca de  zz = = xx + + yjyj (onde (onde xx e e yy são reais), podemos são reais), podemos
escrever escrever uu + + vjvj = = ff((xx + + yjyj))..

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• Uma transformação leva de um conjunto de pontos (curva PQ)
em outro conjunto de pontos, dito imagem, (curva P’Q’)
• Exercício:
Seja w = z² e z = x + yj.
a) Obtenha a transformação z  w
b) Obtenha a imagem P(1, 2) (plano z) no plano w
a) w = z²  u + vj = (x + yj)²  u + vj = x² ‐ y² + 2xyj
Logo, u = x² ‐ y² e v = 2xy
b) P(1, 2)  P’(‐3, 4)

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• As funções polinomiais são definidas por
– Onde , a1, …, an são constantes complexas e n é um inteiro
positivo, dito o grau do polinômio P(z)
• A transformação é chamada de transform. linear
Funções polinomiais
 1 1
0 1 1
n n
n nw a z a z a z a P z

     
w az b 
0 0a 

1/5
• As funções racionais algébricas são definidas por
– Onde P(z) e Q(z) são polinômios
• O caso especial
– É conhecido como transformação bilinear ou linear fracionária
Funções racionais algébricas
 
 
P z
w
Q z

 
 
, 0
P az bz
w cz d
Q cz dz

   


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• Seja a série infinita ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ...
– A mesma possui validade quando x = θj
– Assim, expandindo a série, obtém‐se:
• Observar que
Fórmula de Euler
θ
cosθ senθ, 2,71828j
e j e  
 
θ
θ cosθ senθ
j
z r r j
z re
  
 Forma compacta de expressar uma variável complexa

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• As funções exponenciais são definidas por
– Onde e = 2,71828 … é a base natural dos logaritmos
• Se a é real e positivo, logo
– Onde ln a é o logaritmo natural de a
– Se a = e, esta reduz‐se à anterior
• Propriedades:
Funções exponenciais
 cos sen
Eulerz x yj x yj x
w e e e e e y j y
    
 lnz az
w a e
1 2 1 2
1 2 1 2
a)
b)
z z z z
z z z z
e e e
e e e


 


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• A função logarítmica natural é inversa da função exponencial
– Onde
– Notar que ln z é uma função plurívoca cujo ramo principal é
• Mudança de base:
• Propriedades:
Funções logarítmicas
  ln ln 2 , 0, 1, 2,w z r j k k      θ π
 2
, ej j k
z e e r z z
   θ θ π
θ
ln ln , 0 2w z r j    θ θ π
ln
log
ln
a
z
w z
a
 
 1 2 1 2log log logz z z z  

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• Se w é uma solução da equação polinomial a seguir, onde
são polinômios em z e n é um
inteiro positivo, então w = f(z) é chamada função algébrica de z
– Qualquer função que não puder ser expressa como solução da equação
anterior é chamada de função transcendental
– Exemplos: funções logarítmicas e trigonométricas hiperbólicas
Funções algébricas e transcendentais
       1 1
0 1 1 0n n
n nP z w P z w P z w P z
    
     0 10, , , nP z P z P z

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• Seja z uma variável complexa
Funções harmônicas complexas
Funções circulares
sen
2
zj zj
e e
z
j



cos
2
zj zj
e e
z



 
sen
tg
sen
zj zj
zj zj
z e e
z
z j e e



 

0
5
10
15
-5
0
5
x 10
4
-1
0
1
2
x 10
5
Ângulo (rad)Real
Imaginário
wt = linspace(0,4*pi,1000);
a = 1;  b = 1;
z = wt*(a + b*j);
w1 = sin(z);
plot3 (wt, real(w1), imag(w1));
xlabel ('Ângulo (rad)');  ylabel ('Real')
zlabel ('Imaginário')
a = 1;  b = 1;
z = wt*(a + b*j);
w1 = sin(z);

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• Propriedades
 
 
 
  
2 2
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
a)  sen cos 1
b)  1 tg sec
c)  1 cotg csec
d)  sen sen
e)  cos cos
f)  sen sen cos cos sen
g)  cos cos cos sen sen
z z
z z
z z
z z
z z
z z z z z z
z z z z z z
 
 
 
  
 
  
 

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• Seja z uma variável complexa
senh
2
z z
e e
z



cosh
2
z z
e e
z



senh
tgh
senh
z z
z z
z e e
z
z e e



 

a = 1;  b = 1;
z = wt*(a + b*j);
w1 = sinh(z);
a = 1;  b = 1;
z = wt*(a + b*j);
w1 = sinh(z);
Funções hiperbólicas
0
5
10
15
-1
0
1
2
x 10
5
-6
-4
-2
0
2
x 10
4
Ângulo (rad)Real
Imaginário

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• Propriedades
 
 
 
  
2 2
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
a)  cosh senh 1
b)  1 tgh sech
c)  cotgh 1 csech
d)  senh senh
e)  cosh cosh
f)  senh senh cosh cosh senh
g)  cosh cosh cosh senh senh
z z
z z
z z
z z
z z
z z z z z z
z z z z z z
 
 
 
  
 
  
 

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Relação entre funções circulares e hiperbólicas
 
 
 
 
 
 
a)  sen senh
b)  cos cosh
c)  tg tgh
d)  senh sen
e)  cosh cos
f)  tgh tg
zj j z
zj z
zj j z
zj j z
zj z
zj j z







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[1] MURRAY, R. S. Variáveis complexas. São Paulo: McGraw‐Hill do Brasil, 1973.
[2] BROWN, J.W.; CHURCHILL R. V. Complex variables and applications. New
York: McGraw‐Hill, 1996.
Bibliografia

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