COMPETENCIA PISA 2015

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COMPETENCIA PISA 2015

  1. 1. LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 ORIENTACIONES DIDÁCTICAS
  2. 2. la competencia matemática en el marco de pisa 2015 ORIENTACIONES DIDÁCTICAS
  3. 3. LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS MINISTERIO DE EDUCACIÓN Av. De la Arqueología, cuadra 2 - San Borja Lima, Perú Teléfono 615-5800 www.minedu.gob.pe Tiraje: 0000 Propuesta de contenidos: Roger Saavedra Revisión pedagógica: Manuel Núñez Corrección de estilo: Esteban Rodríguez / Gerson Rivera / Jesús Reynalte Diseño y diagramación: Hungria Alipio Saccatoma Impreso por: nombre de imprenta Dirección imprenta RUC falta © Ministerio de Educación Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este material por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: Nº 2015-xxxxx Impreso en el Perú / Printed in Peru
  4. 4. 3 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Índice Presentación......................................................................................................................... 5 1. Definición de la competencia según PISA 2015 .............................................................. 7 2. Medición de la competencia según PISA 2015 ............................................................... 9 2.1 Procesos matemáticos y capacidades matemáticas subyacentes ........................... 9 2.2 Capacidades matemáticas fundamentales ............................................................ 14 2.3 Conocimiento matemático específico que se utilizará en las preguntas de la prueba ............................................................................... 15 2.3.1 Cambio y relaciones...................................................................................... 16 2.3.2 Espacio y forma............................................................................................. 16 2.3.3 Cantidad........................................................................................................ 17 2.3.4 Incertidumbre y datos................................................................................... 18 2.4 Contenidos temáticos que guían la evaluación de la competencia matemática...... 19 2.5 Los contextos en los que se insertarán las preguntas de la prueba ...................... 21 2.6 Estructura de la prueba de matemática de PISA 2015 .......................................... 22 3. Niveles de la competencia según PISA 2015 ................................................................ 24 3.1 ¿En qué situación están nuestros estudiantes según el proceso de evaluación PISA 2012? ..................................................................................... 25 3.2 Relación entre las capacidades fundamentales y los niveles de competencia ...... 26 4. Formato de la prueba PISA 2015 para la competencia de matemática ........................ 29 4.1 Transición de los ítems en papel a los ítems en computadora .............................. 31 4.2 Uso de la calculadora en la prueba ....................................................................... 35 5. Diferencias y similitudes con marcos teóricos anteriores ............................................ 36 6. Articulación de la competencia de matemática según PISA 2015 con las Rutas del Aprendizaje ....................................................................................... 37 7. Recomendaciones pedagógicas para el desarrollo de la competencia matemática en el marco de la evaluación PISA ............................................................ 39 Anexo 1: Análisis de algunas preguntas liberadas de la evaluación PISA .......................... 42 Anexo 2: Algunas preguntas liberadas en su versión electrónica ...................................... 49 Referencias ........................................................................................................................ 56
  5. 5. 4 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS
  6. 6. 5 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Presentación Estimados docentes: El presente documento ha sido elaborado con la finalidad de facilitar la comprensión del marco conceptual del Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes (PISA, por sus siglas en inglés) de la Organización para la Cooperación y Desarrollo Económico (OCDE). La prueba PISA es una evaluación estandarizada internacional diseñada y aplicada en casi 70 países, que mide el nivel de desarrollo de los estudiantes en cuatro competencias: lectora, matemática, científica y financiera. Esta evaluación se aplica cada tres años y el 2015 se realizará la sexta edición, en la cual participará el Perú. Al inicio del documento, se fundamenta la importancia del desarrollo de una de las competencias antes mencionadas, se presenta su definición y el enfoque provisto por la OCDE. Igualmente, se aborda la descripción de los aspectos evaluados: contenido (información), capacidades y contextos (en los que se aplica el conocimiento). Asimismo, se explican los formatos y tipos de pregunta que se proponen en la evaluación PISA y se brindan algunas recomendaciones sobre los aspectos a tener en cuenta para entender y trabajar los niveles de desempeño de la competencia. Porotrolado,sepresentaenformadidácticalaarticulaciónexistenteentrelasRutasdelAprendizaje del VII ciclo (sus competencias y sus correspondientes capacidades) con las categorías en las que se organizan las competencias del área según el enfoque de PISA 2015. Además, se plantean recomendaciones para incorporar este enfoque en el quehacer pedagógico. Cabe resaltar que en el caso de las competencias matemática, lectora y científica, el presente material ha sido elaborado con base en documentos de trabajo producidos por la OCDE (ediciones 2015), constituyendo una adaptación y no una traducción literal de dichos documentos. En el caso de la competencia financiera, la fuente es el texto en español del 2012, elaborado por el Ministerio de Educación de España. Si bien PISA es una evaluación que nos proporciona información acerca del nivel de desempeño que alcanzan los estudiantes en diversas competencias, es importante considerar que los logros que se obtengan en ella deben ser producto no de un trabajo que desarrolle destrezas para resolver una prueba, sino del esfuerzo por concretar en el aula un enfoque curricular orientado por el logro de competencias y capacidades, como indican las Rutas del Aprendizaje. Contamos con ustedes para poner en práctica las orientaciones señaladas en el documento y compartir con sus colegas los aprendizajes, dudas, ideas y propuestas que surjan de su lectura y reflexión, con el fin de ayudar a nuestros estudiantes a desarrollar competencias que les permitirán enfrentar los actuales retos que el mundo les ofrece.
  7. 7. 6 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS
  8. 8. 7 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS 1. Definición de la competencia según PISA 2015 La definición de la competencia matemática para los propósitos de la evaluación PISA 2015 es la siguiente: ¿Qué aspectos relevantes para nuestra práctica pedagógica podríamos identificar en esta definición? Lo primero que llama la atención es la ausencia de la expresión “resolución de problemas” con la que estamos habituados. No porque resulte irrelevante. Por el contrario, en la definición de competencia matemática de PISA, el proceso de resolver un problema es descrito con base en tres procesos básicos denominados formular, emplear e interpretar. Estos términos tienen un sentido muy preciso en este marco teórico y resulta pertinente profundizar en ellos para comprender mejor este marco. Lo segundo es que se enfatiza el uso de la matemática en una variedad de contextos. Precisamente, esta será una variable fundamental al momento de elaborar las preguntas con las que se evalúa en PISA. En dicho marco son cuatro los contextos escogidos para evaluar la competencia matemática: personal, profesional, social y científico. Lacapacidaddelindividuoparaformular,empleareinterpretarlasmatemáticas en distintos contextos. Incluye el razonamiento matemático y la utilización de conceptos, procedimientos, datos y herramientas matemáticas para describir, explicar y predecir fenómenos. Ayuda a los individuos a reconocer el papel que las matemáticas desempeñan en el mundo y a emitir los juicios y las decisiones bien fundadas que los ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos necesitan.
  9. 9. 8 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Para comprender mejor cómo se relacionan estas variables, PISA presenta un esquema que muestra cómo la competencia matemática se desenvuelve en la práctica. La figura 1 muestra cómo el concepto de competencia matemática tiene lugar en un contexto de resolución de problemas. El recuadro exterior muestra los desafíos que el mundo real plantea, los mismos que pueden ser caracterizados por dos variables o categorías, el contexto y el contenido. De esa manera una persona se enfrentará a situaciones problemáticas surgidas en el mundo real que pueden caracterizarse como de contexto personal, social, ocupacional y científico; cuyos contenidos pueden categorizarse como relativos a cantidad, espacio y forma, cambio y relaciones o incertidumbre y datos. En lo que respecta al resolutor y los recursos que debe movilizar al enfrentarse a un problema contextualizado, se distinguen el uso de conceptos, conocimientos, capacidades y los tres procesos mencionados anteriormente (formular, emplear e interpretar). El primer proceso denominado” formular” supone la transformación de un problema del mundo real a uno matemático. El segundo proceso denominado “emplear” supone el uso de conceptos, capacidades y estrategias para la resolución del problema matemático antes formulado. Finalmente, el proceso denominado “interpretar” implica que los resultados matemáticos antes obtenidos deben interpretarse para dar respuesta al problema original. En ese sentido, corresponde a una fase en la que es necesario pasar de “resultados matemáticos” a “resultados en contexto” que respondan al problema del mundo real que originó todo el proceso. Fig. 1. Un modelo de competencia matemática en la práctica Categorías de contenidos matemáticos: cantidad; incertidumbre y datos; cambio relaciones, y espacio y forma. Categoría de contexto del mundo real: personal, social, profesional y científico. (Si profesional y científico son categorías independientes) Conceptos, conocimientos y destrezas matemáticas Capacidades matemáticas fundamentales: comunicación; representación; diseño de estrategias, matematización; razonamiento y argumentación; utilización de operaciones y de un lenguaje formal y técnico y utilización de herramientas matemáticas. Procesos: formular, emplear, interpretar/valorar. Desafío en el contexto del mundo real Pensamiento y acción matemática Problemas en contexto Problema matemático Resultados en contexto Resultado matemático Valorar Formular Interpretar Emplear
  10. 10. 9 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS 2. Medición de la competencia según PISA 2015 Para la evaluación de la competencia matemática PISA 2015, que mantiene la definición de competenciadePISA2012,seasumeunmodelodemediciónqueconsideratresdimensionesdela competencia matemática: los procesos y capacidades matemáticas, los contenidos matemáticos y los contextos. Es decir, cada una de las preguntas de la evaluación se ha construido de manera que reflejan el rango de procesos, contenidos y contextos además; hacen operativa la definición de competencia matemática. Este modelo se puede representar mediante el siguiente esquema: Fig. 2. Dimensiones de la competencia 2.1 Procesos matemáticos y capacidades matemáticas subyacentes La definición de la competencia matemática hace referencia a la capacidad de las personas para formular, emplear e interpretar las matemáticas. Estas tres palabras proporcionan una estructura útil y significativa para organizar los procesos matemáticos que describen lo que hacen las personas para relacionar el contexto de un problema con las matemáticas y, de este modo, Proceso Contenido Pregunta Contexto
  11. 11. 10 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS resolverlo. Las preguntas de la evaluación de matemáticas de PISA 2015 serán asignadas tal como se hizo por primera vez en PISA 2012, a uno de dichos procesos matemáticos mencionados anteriormente. Ello no implica que cada pregunta esté asociada a un único proceso. Por el contrario, dos o más procesos suelen concurrir en una pregunta. Sin embargo, para efectos de categorizar a las preguntas se escoge aquel que más se enfatiza en cada una de ellas. Formular ¿Qué debemos entender por “formular”? La palabra “formular” en la definición de la competencia matemática hace referencia a la capacidad de las personas de reconocer e identificar oportunidades para usar matemáticas y luego proporcionar una estructura matemática a un problema presentado en forma contextualizada. En el proceso de formulación matemática de las situaciones, las personas determinan dónde pueden emplear las matemáticas esenciales para analizar, plantear y resolver el problema. Realizan la traducción de una situación del mundo real al ámbito de las matemáticas, con lo cual dotan de una estructura, representación y especificidad matemática al problema de contexto real. Ejemplo: LA RUEDA DE LA FORTUNA Una gigante rueda de la fortuna se encuentra al lado del río. Mira la foto y el diagrama presentados a continuación. La rueda de la fortuna tiene un diámetro exterior de 140 metros y su punto más alto está a 150 metros por encima y a un lado del cauce del río Támesis. Esta gira en el sentido indicado por las flechas.
  12. 12. 11 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS ¿Por qué este ítem corresponde al proceso “formular”? Antes de responder a esta pregunta conviene que intente resolver el problema anterior; si ya lo hizo, ignore este párrafo. ¿Necesitó toda la información? O, por el contrario, ¿tuvo que seleccionar solo aquella que resultaba necesaria? ¿Qué información fue esa? ¿Cómo utilizó dicha información? ¿Utilizó el gráfico? ¿Modificó alguna parte del gráfico? Aun cuando haya otros procesos involucrados este ítem corresponde a la categoría “formular”. Ello porque es el estudiante quien tiene que distinguir qué información del contexto requiere ser expresada en forma matemática. Expresar algo en forma matemática no significa necesariamente escribir una ecuación. El gráfico que acompaña el ítem, y que seguramente modificó parcialmente para llegar a la respuesta, es una manera de expresar una situación real de un modo matemático. A dicha representación se denomina “modelo” matemático y al acto de elaborar uno a partir de un problema real se denomina “modelizar”. Una ecuación es también una forma de modelización, pero no la única. Los esquemas y gráficos son modelos tan legítimos y útiles como las ecuaciones. Emplear ¿Qué debemos entender por “emplear”? Eltémino“emplear”,enladefinicióndelacompetenciamatemática,hacereferenciaalacapacidad del individuo para aplicar conceptos, datos, procedimientos y razonamientos matemáticos en la resolución de problemas formulados matemáticamente con el fin de llegar a conclusiones matemáticas. En el proceso de empleo de conceptos, datos, procedimientos y razonamientos matemáticos para resolver problemas, las personas ejecutan los procedimientos matemáticos Pregunta PM934Q02 La rueda de la fortuna gira a una velocidad constante. La rueda da una vuelta completa en exactamente 40 minutos. Juan comienza su paseo en la rueda de la fortuna en el punto de embarque, P. ¿Dónde estará Juan después de media hora? A. En R. B. Entre R y S. C. En S. D. Entre S y P.
  13. 13. 12 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS necesarios para obtener resultados y encontrar una solución matemática (p. ej.: realizan cálculos aritméticos, resuelven ecuaciones, realizan deducciones lógicas a partir de supuestos matemáticos, llevan a cabo manipulaciones simbólicas, extraen información matemática de tablas y gráficos, representan y manipulan formas en el espacio, y analizan datos). Además, sobre un modelo de la situación del problema, establecen regularidades, identifican relaciones entre entidades matemáticas y elaboran argumentos matemáticos. Pregunta: PM957Q03 Elena fue en bicicleta desde su casa hasta el río que está a 4 km de distancia. El viaje le tomó 9 minutos. Luego, volvió a casa montando su bicicleta por una ruta más corta (de 3 km de longitud) que solo le tomó 6 minutos. ¿Cuál fue la velocidad promedio de Elena en km/h para el trayecto de ida y vuelta a su casa? Velocidad promedio del trayecto: ……….km/h ¿Por qué este ítem corresponde al proceso “emplear”? Como en el caso anterior, antes de responder a esta pregunta conviene que intente resolver el problema anterior; si ya lo hizo, ignore este párrafo. Seguramente, usted ha debido realizar algún dibujo o esquema para comprender mejor el problema. Sin embargo, el dibujo por sí mismo no permite calcular la velocidad promedio. Es necesario, en principio, haber construido ese concepto y, lo más importante, poder emplearlo. Interpretar ¿Qué debemos entender por “interpretar”? El término “interpretar”, utilizado en la definición de competencia matemática, se centra en la capacidad del individuo para reflexionar sobre soluciones, resultados o conclusiones matemáticas e “interpretarlas” en el contexto de los problemas de la vida real. Esto implica traducir las soluciones matemáticas o razonar de nuevo sobre el contexto del problema y determinar si los resultados son razonables y si tienen sentido en dicho contexto. Esta categoría de proceso matemático incluye tanto la flecha “interpretar” como la flecha “valorar” representadas en el modelo de competencia matemáticaenlapráctica,definidaanteriormente(verfig.1).Losindividuosquetomanparteeneste proceso pueden ser llamados a elaborar y comunicar explicaciones y argumentos en el contexto del problema, reflexionando tanto en el proceso de construcción del modelo como en sus resultados.
  14. 14. 13 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS EL PODER DEL VIENTO Villazed está considerando construir algunas estaciones de energía eólica para producir electricidad. El Gobierno de Villazed recabó información acerca del siguiente modelo: Modelo: E-82 Altura de la torre: 138 metros Número de aspas del rotor: 3 Longitud de un aspa del rotor: 40 metros Máxima velocidad de rotación: 20 rotaciones por minuto Costo de construcción: 3 200 000 zeds Utilidad: 0,10 zeds por kWh generado Costo de mantenimiento: 0,01 zeds por kWh generado Eficiencia: opera el 97 % del año Nota: kilowatt hora (kWh) es una medida de la energía eléctrica. Pregunta PM922Q01 Determina si las siguientes afirmaciones acerca de la estación de energía eólica E-82 se pueden deducir de la información brindada. Encierra en un círculo “Sí” o “No” en cada afirmación. Afirmación ¿Se puede deducir esta afirmación a partir de la información brindada? La construcción de 3 estaciones de energía eólica costará más de 8 000 000 zeds en total. Sí / No El costo de mantenimiento de la estación de energía eólica corresponde, aproximadamente, al 5 % de su utilidad. Sí / No El costo de mantenimiento de la estación de energía eólica depende de la cantidad de kWh generados. Sí / No En exactamente 97 días por año, la estación de energía eólica no estará operativa. Sí / No Ejemplo:
  15. 15. 14 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS ¿Por qué este ítem corresponde al proceso “interpretar”? Como en el primer caso, antes de responder a esta pregunta conviene que intente resolver el problema presentado; si ya lo hizo, ignore este párrafo. Seguramente, como en el proceso “formular”, para responder a cada pregunta ha debido seleccionar la información pertinente. Sin embargo, lo que aquí se pretende es la tarea de evaluar, valorar y argumentar determinadas afirmaciones. La tarea se convierte en una actividad donde la capacidad de comprender el texto y deducir conclusiones a partir de él es clave. Precisamente por ello, esta pregunta recae en la categoría “interpretar”. Una situación problemática con enunciado verbal no es el único tipo de pregunta en esta categoría. La interpretación de gráficos estadísticos, infografías o información expresada en cualquier otro soporte corresponde a esta categoría. 2.2 Capacidades matemáticas fundamentales Las siete capacidades matemáticas fundamentales usadas en este marco son las siguientes: Matematización. Esta capacidad permite transformar un problema definido en el mundo real en una forma propiamente matemática (que puede incluir la estructuración, conceptualización, elaboración de suposiciones o formulación de un modelo). Es también interpretar o valorar un resultado o un modelo matemático con relación al problema original. Comunicación. Esta capacidad implica la lectura, decodificación e interpretación de enunciados, preguntas, tareas u objetos para formar un modelo mental de la situación, que es un paso importante para la comprensión, clarificación y formulación de un problema. Durante el proceso de solución, puede ser necesario resumir y presentar los resultados intermedios. Posteriormente, una vez encontrada la solución, la persona que resuelve el problema puede presentarla a otros y tal vez dar una explicación o justificación. Representación. Esta capacidad implica la selección, interpretación, traducción y utilización de distintas representaciones para reflejar una situación, interactuar con un problema o presentar el propio trabajo. Las representaciones pueden ser gráficos, tablas, diagramas, imágenes, ecuaciones, fórmulas o materiales concretos. Razonamiento y argumentación. Esta capacidad implica procesos de pensamiento arraigados en forma lógica que exploran y conectan los elementos del problema para realizar inferencias a partir de ellos, comprobar una justificación dada o proporcionar una justificación de los enunciados o soluciones de los problemas. Diseño de estrategias para resolver problemas. Esta capacidad implica un conjunto de procesos de control fundamentales que guían a la persona para que reconozca, formule y resuelva
  16. 16. 15 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS problemas eficazmente. Se caracteriza por la selección o diseño de un plan o estrategia cuyo fin es utilizar las matemáticas para resolver los problemas derivados de una tarea o contexto, además de guiar su implementación. Esta capacidad puede ser requerida en cualquier etapa del proceso de resolución de problemas. Utilización de herramientas matemáticas1 . Esta capacidad implica el uso de herramientas físicas, como los instrumentos de medición, además de calculadoras y herramientas informáticas, que son cada vez más accesibles. En esta capacidad están implicados el conocimiento y la habilidad para el uso de distintas herramientas que pueden favorecer la actividad matemática, así como el conocimiento de sus limitaciones. Asimismo, las herramientas matemática pueden jugar un papel crucial en la comunicación de los resultados. Utilización de operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico. Esta capacidad implica la comprensión, interpretación, manipulación y utilización de expresiones simbólicas en un contexto matemático (incluidas las expresiones y operaciones aritméticas) regido por convenciones y reglas matemáticas. También supone la comprensión y utilización de constructos formales basados en definiciones, reglas y sistemas formales, así como el uso de algoritmos con estas entidades. Los símbolos, las reglas y los sistemas empleados varían en función de los conocimientos concretos de contenido matemático que se requieren en un ejercicio específico para formular, resolver e interpretar las matemáticas. 2.3 Conocimiento matemático específico que se utilizará en las preguntas de la prueba La comprensión de contenidos matemáticos y la capacidad para aplicar estos conocimientos en la resolución de problemas contextualizados son consideradas de suma importancia para el ciudadano actual. Con estas cuatro categorías, pueden organizarse los contenidos matemáticos de modo que se garanticen la diversidad de preguntas de toda el área como el planteamiento de problemas matemáticos ricos y desafiantes basados en situaciones reales. Cambio y relaciones. Espacio y forma. Cantidad. Incertidumbre y datos. Si bien esta clasificación por categorías de contenidos es importante para la elaboración y selección de las preguntas y la comunicación de los resultados, hay preguntas en la prueba que implican más de una categoría de contenido; por ejemplo, la pregunta LA PIZZA, planteada en el anexo del presente documento, implica contenidos de medición, cuantificación y cambio y relaciones. 1 En algunos países, las “herramientas matemáticas” pueden referirse también a los procesos matemáticos establecidos, como los algoritmos. Para los propósitos del marco PISA, se refieren solamente a las herramientas físicas y digitales descritas en esta sección.
  17. 17. 16 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS A continuación se describen los conocimientos de contenido matemático que caracterizan las categorías Cambio y relaciones, Espacio y forma, Cantidad, e Incertidumbre y datos. 2.3.1 Cambio y relaciones El mundo natural y artificial muestran una multitud de relaciones temporales y permanentes entre los objetos y circunstancias, donde los cambios ocurren dentro de los sistemas de objetos relacionados entre sí o en circuntancias donde los elementos se influyen mutuamente. En muchos casos, estos cambios ocurren en el tiempo, y en otros casos, los cambios en un objeto o cantidad se relacionan con los cambios en otro. Algunas de estas situaciones experimentan cambios discretos, otros cambian continuamente. Algunas relaciones son de naturaleza permanente o invariante. Ser más alfabetizados en cambio y relaciones supone comprender los tipos fundamentales de cambio y reconocer cuándo se producen, con el fin de utilizar los modelos matemáticos adecuados para describirlos y predecirlos. Matemáticamente, esto significa modelar el cambio y relaciones con las funciones apropiadas y las ecuaciones, así como crear, interpretar y traducir entre representaciones simbólicas y gráficas de las relaciones. La categoría cambio y relaciones se evidencia en diversas situaciones como el crecimiento de los organismos, la música, el ciclo de estaciones, los patrones climáticos, los niveles de empleo y las condiciones económicas. Aspectos de contenido matemático tradicional como las funciones y el álgebra, incluyendo expresiones algebraicas, ecuaciones y desigualdades, representaciones tabulares y gráficas, son fundamentales para describir, modelar e interpretar fenómenos de cambio. La evaluación electrónica de matemáticas de PISA 2015 hace que sea posible presentar a los estudiantes imágenes dinámicas, representaciones múltiples que están conectadas en forma dinámica, y la oportunidad de manipular funciones. Por ejemplo, el cambio a lo largo del tiempo (como el crecimiento o el movimiento), puede reproducirse directamente mediante animaciones y simulaciones, y representarse por medio de funciones, gráficos y tablas de datos afines. El descubrimiento y la utilización de modelos matemáticos de cambio aumentan cuando el sujeto puede explorar y describir el cambio mediante programas informáticos que permitan representar funciones gráficamente, manipular parámetros, elaborar tabla de valores, experimentar con relaciones geométricas, organizar y representar datos, y realizar cálculos con fórmulas. La capacidad de las hojas de cálculo y las aplicaciones gráficas para trabajar con fórmulas y representar datos tienen especial relevancia. 2.3.2 Espacio y forma Espacio y forma abarca una amplia gama de fenómenos que se encuentran en todas partes en nuestro mundo visual y físico: patrones, propiedades de objetos, posiciones y orientaciones, representaciones de objetos, decodificación y codificación de la información visual, navegación e interacción dinámica con formas reales, así como con las representaciones. La geometría sirve como un fundamento esencial para el espacio y la forma, pero la categoría se extiende más allá de la geometría tradicional en contenido, significado y método, basándose en elementos
  18. 18. 17 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS de otras áreas matemáticas, tales como la visualización espacial, la medición y el álgebra. Por ejemplo, las formas pueden cambiar, y un punto puede moverse a lo largo de un lugar geométrico, requiriéndose, por tanto, el concepto de función. Fórmulas de medición son fundamentales en esta área. La manipulación y la interpretación de las formas en entornos que requieren herramientas que van desde el software de geometría dinámica al software del sistema de posicionamiento global (GPS, por sus siglas en inglés) se incluyen en esta categoría de contenido. PISA presupone que la comprensión de un conjunto de conceptos básicos y habilidades básicas es importante para la competencia matemática relativa a espacio y forma. La competencia matemática en esta área de espacio y forma incluye una serie de actividades tales como la comprensión de la perspectiva (por ejemplo en pinturas), la elaboración y lectura de mapas, la transformación de las formas con o sin tecnología, la interpretación de vistas tridimensionales desde diferentes perspectivas y la construcción de las representaciones de las formas. La evaluación electrónica de PISA 2015 ofrece a los estudiantes la oportunidad de manipular representacionesdinámicasdeformasyexplorarlasrelacionesenyentrelosobjetosgeométricos en tres dimensiones, que prácticamente se puedan rotar para crear una imagen mental exacta. Los estudiantes pueden trabajar con mapas donde los zums y las rotaciones son posibles para construir la imagen mental de un lugar y utilizar estas herramientas para facilitar la planificación de las rutas. Pueden elegir y usar herramientas virtuales para realizar mediciones (p. ej.: de ángulos y segmentos) sobre los planos, imágenes y modelos, y utilizar los datos en los cálculos. La tecnología permite a los estudiantes integrar conocimientos de geometría con información visual para construir un modelo mental preciso. Por ejemplo, para obtener el volumen de una taza, una persona podría manipular la imagen para determinar que se trata de un cono truncado, para identificar la altura perpendicular y dónde puede medirse, y para establecer que lo que parecen elipses en la parte superior e inferior de una imagen bidimensional son realmente círculos en el espacio tridimensional. 2.3.3 Cantidad La noción de cantidad puede ser el aspecto matemático más esencial y extendido de relacionarse con el funcionamiento de nuestro mundo. Incorpora la cuantificación de los atributos de los objetos, las relaciones y entidades en el mundo, interpretando distintas representaciones de esas cuantificaciones, y juzgando interpretaciones y argumentos basados en la cantidad. Participar en la cuantificación supone comprender las mediciones, los cálculos, las magnitudes, las unidades, los indicadores, el tamaño relativo, las tendencias y los patrones numéricos. Aspectos del razonamiento cuantitativo —como el sentido del número, las múltiples representaciones de éstos, el cálculo mental, la estimación y la evaluación de la razonabilidad de los resultados— constituyen la esencia de la competencia matemática relativa a la cantidad. La cuantificación es el método más importante para describir y medir un vasto conjunto de atributos de los aspectos del mundo. Permite construir modelos de las situaciones, examinar el cambio y las relaciones, describir y manipular el espacio y la forma, organizar e interpretar datos y medir y evaluar la incertidumbre. Por tanto, la competencia matemática de cantidad aplica los conocimientos del número y las operaciones numéricas a una amplia variedad de contextos.
  19. 19. 18 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS La evaluación electrónica ofrece a los estudiantes la oportunidad de aprovechar la enorme capacidad de cálculo de la tecnología moderna. Es importante señalar que, si bien la tecnología puede librar al individuo del peso de los cálculos y liberar algunos recursos cognitivos para centrarse en el significado y la estrategia a la hora de resolver problemas, esto no quita que los individuos matemáticamente competentes deban seguir teniendo una comprensión profunda de las matemáticas. Una persona que carezca de dicha comprensión puede, en el mejor de los casos, utilizar la tecnología solo para tareas rutinarias, lo que no es coherente con la definición de competencia matemática de PISA 2012. Además, la integración de la tecnología en la evaluación electrónica opcional permite incluir preguntas que requieren unos niveles de cálculo numérico y estadístico imposibles de realizar en forma escrita. 2.3.4 Incertidumbre y datos En ciencia, tecnología y la vida cotidiana, la incertidumbre es un hecho probado. Por tanto, la incertidumbre es un fenómeno que se encuentra en el corazón del análisis matemático de muchas situaciones problemáticas, y la teoría de la probabilidad y la estadística, así como las técnicas de representación y descripción de datos, se han establecido para darles respuesta a estas situaciones. La categoría de contenido incetidumbre y datos, incluye el reconocimiento del lugar de la variación en los procesos, la posesión de un sentido de cuantificación de esa variación, la admisión de la incertidumbre y el error en las mediciones y los conocimientos sobre el azar. Asimismo, comprende la elaboración, interpretación y valoración de las conclusiones extraídas de situaciones donde la incertidumbre es fundamental. La presentación e interpretación de datos son conceptos clave en esta categoría (Moore, 1997). Hay incertidumbre en las predicciones científicas, los resultados electorales, las predicciones meteorológicas y los modelos económicos. Existe variación en los procesos de fabricación, las puntuaciones de los exámenes y los resultados de las encuestas y el azar es esencial en muchas actividadesrecreativasdelasquedisfrutanlaspersonas.Loscontenidoscurricularestradicionales de probabilidad y estadística ofrecen los medios formales para describir, modelar e interpretar una determinada clase de fenómenos relativos a la incertidumbre y realizar inferencias. Además, el conocimiento del número y de aspectos del álgebra, como los gráficos y las representaciones simbólicas, facilita la participación en problemas de esta categoría de contenido. La evaluación electrónica proporciona a los estudiantes la oportunidad de trabajar con series más grandes de datos y la capacidad de cálculo y manejo de datos que necesitan para trabajar con dichas series. Asimismo, se les da la oportunidad de elegir las herramientas adecuadas para manipular, analizar y representar datos y tomar muestras de poblaciones de datos. Las representaciones afines permiten a los estudiantes examinar y describir esos datos de diferentes maneras. La capacidad para generar resultados aleatorios, incluidos números, permite examinar mediante simulaciones las situaciones probabilísticas, como la probabilidad empírica de los sucesos y las propiedades de las muestras.
  20. 20. 19 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS 2.4 Contenidos temáticos que guían la evaluación de la competencia matemática Para comprender y resolver eficazmente problemas contextualizados que implican cambio y relaciones, espacio y forma, e incertidumbre y datos, es necesario recurrir a diversos conceptos, procedimientos, datos y herramientas matemáticas, pero a un nivel adecuado de profundidad y sofisticación. Al ser una evaluación de la competencia matemática, PISA trata de evaluar los niveles y los tipos de matemáticas que son apropiadas para estudiantes de 15 años en su trayectoria para convertirse en ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos, capaces de emitir juicios y decisiones bien fundadas. También se da el caso de que PISA, no es ni pretende ser una evaluación de currículo, intenta reflejar las matemáticas que los estudiantes han tenido probablemente la oportunidad de aprender hasta los 15 años de edad. Con la intención de desarrollar una evaluación que sea innovadora y que, a la vez, sea el reflejo de las matemáticas que los estudiantes de 15 años han tenido seguramente la oportunidad de aprender, se analizó una muestra de estándares de aprendizaje de matemáticas de once países con el fin de determinar lo que se enseña en las clases de matemáticas de todo el mundo y también lo que los países creen que es una preparación realista e importante para los estudiantes a medida que se aproxima su incorporación al mercado laboral o su admisión en un centro de educación superior. Tomando como base los elementos comunes identificados en estos análisis y las opiniones de los expertos en matemáticas, se describe el contenido que se considera apropiado para incluir en la evaluación de la competencia matemática de los estudiantes de 15 años en PISA 2012. Las cuatro categorías de contenido —cambio y relaciones, espacio y forma, cantidad, e incertidumbre y datos— sirven de base para identificar esta diversidad de contenido, aunque no existeunacorrespondenciaunívocaentreloscontenidostemáticosyestascategorías.Porejemplo, el razonamiento proporcional entra en juego en contextos tan dispares como la realización de conversiones de medidas, el análisis de las relaciones lineales, el cálculo de probabilidades y el examen de las longitudes de los lados de formas similares. El siguiente contenido pretende reflejar la importancia de muchos de estos conceptos para las cuatro categorías de contenido y reforzar la coherencia de las matemáticas como disciplina. Su intención es ilustrar los temas de contenido incluidos en PISA 2015, más que ser un listado exhaustivo: Funciones: el concepto de función, enfatizando p funciones lineales (pero sin limitarse a ellas), sus propiedades y la variedad de sus descripciones y representaciones. Las representaciones utilizadas normalmente son verbales, simbólicas, tabulares y gráficas. Expresiones algebraicas: interpretación verbal y manejo de expresiones algebraicas que incluyen números, símbolos, operaciones aritméticas, potencias y raíces simples.
  21. 21. 20 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Ecuaciones y desigualdades: ecuaciones lineales y afines y desigualdades, ecuaciones simples de segundo grado y métodos de resolución analíticos y no analíticos. Sistemas de coordenadas: representación y descripción de datos, posición y relaciones. Relaciones en y entre objetos geométricos en dos y tres dimensiones: relaciones estáticas como las conexiones algebraicas entre elementos de las figuras (p. ej.: el teorema de Pitágoras, al definir la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo), la posición relativa, la semejanza y congruencia, y las relaciones dinámicas que implican la transformación y el movimiento de objetos, así como las correspondencias entre los objetos bidimensionales y tridimensionales. Medida: cuantificación de las características de y entre las formas y objetos, como las medidas de los ángulos, la distancia, la longitud, el perímetro, la circunferencia, el área y el volumen. Números y unidades: conceptos; representaciones de los números y sistemas numéricos, incluidas las propiedades de los números enteros y racionales; los aspectos relevantes de los números irracionales; así como las cantidades y unidades que hacen referencia a fenómenos como el tiempo, el dinero, el peso, la temperatura, la distancia, el área y el volumen, y las cantidades derivadas y su descripción numérica. Operaciones aritméticas: la naturaleza y propiedades de estas operaciones y las convenciones de notación relativas a ellas. Porcentajes, ratios y proporciones: descripción numérica de la magnitud relativa y aplicación de las proporciones y el razonamiento proporcional en la resolución de problemas. Principios de cálculo: combinaciones y permutaciones simples. Estimación: aproximación de las cantidades y expresiones numéricas atendiendo a su función, incluidas las cifras significativas y el redondeo. Recogida, representación e interpretación de datos: naturaleza, génesis y recogida de distintos tipos de datos y las diferentes formas de representarlos e interpretarlos. Variabilidad y descripción de datos: conceptos como la variabilidad, distribución y tendencia central de series de datos y las formas de describirlos e interpretarlos en términos cuantitativos. Muestras y muestreo: conceptos de muestreo y muestreo de poblaciones de datos, incluidas las inferencias simples basadas en las propiedades de las muestras. Azar y probabilidad: noción de sucesos aleatorios, las variaciones aleatorias y su representación, el azar y la frecuencia de los sucesos y los aspectos básicos del concepto de probabilidad.
  22. 22. 21 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS 2.5 Los contextos en los que se insertarán las preguntas de las prueba La introducción de los contextos como eje organizador del currículo es la contribución más interesante, desde el punto de vista del diseño curricular, que aporta el denominado “currículo por compentencias” (Goñi, 2008). Es decir, hay que desarrollar las competencias matemáticas que sean precisas para poder integrarse de manera plena y activa en estos contextos. Las competencias implican la movilización e intergracion de capacidades, conocimientos y actitudes. Esta movilización solo es pertinente cuando está contextualizada y cada competencia depende de la situación particular en la que es requerida (Perrenoud, 2004). Por ello, es necesario que las actividades de evaluación recreen estos contextos particulares en los que una determinada competencia tenga sentido. Un aspecto importante de la competencia matemática es el uso de las matemáticas en la resolución de problemas planteados en un contexto determinado. El contexto es el aspecto del mundodelapersonaenlaquesitúanlosproblemas.Laeleccióndeestrategiasyrepresentaciones matemáticas adecuadas depende normalmente del contexto en el que se presenta el problema. Lacapacidadparatrabajarenuncontextosevaloraenormenteparaasignarexigenciasadicionales a quien resuelve problemas (Watson y Callinghan, 2003). Para PISA es importante la utilización de una amplia variedad de contextos, que ofrece la posibilidad de conectar con una gama más amplia posible de intereses personales y el abanico de situaciones en el que operan los individuos del siglo XXI. Para los efectos de la evaluacion de matemáticas de PISA 2015, se han definido cuatro categorías de contexto que emplean para la construcción y la clasificación de las preguntas: Personal: los problemas clasificados en la categoría de contexto personal se centran en la actividades del propio individuo, su familias o el grupo de sus pares. Los tipos de contextos que pueden considerarse personales incluyen, aunque no se limitan solo a ellos, aquellos que involucran la preparacion de alimentos, las compras, los juegos, la salud personal, el transporte personal, los deportes, los viajes, la planificación personal y las propias finanzas. Ocupacional: los problemas clasificados en esta categoría se centran en el mundo laboral. Las preguntas clasificadas en este contexto pueden incluir, por ejemplo, aspectos como la medición, el cálculo de costes, el pedido de materiales para la construcción, la nómina/contabilidad, el control de calidad, la planificación, el inventario, el diseño, la arquitectura y la toma de decisiones relacionadas con el trabajo. Los contextos profesionales pueden referirse a cualquier tipo de mano de obra, desde el trabajador no especializado hasta el nivel más alto del trabajador profesional, aunque las preguntas de la prueba PISA deben ser accesibles a los estudiantes de 15 años.
  23. 23. 22 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Social: los problemas clasificados en este contexto se centran en la propia comunidad ya sea local, nacional o mundial. Pueden incluir, aunque sin limitarse solamente a estos, aspectos como los sistemas electorales, el transporte público, gobierno, políticas públicas, demografía, publicidad, las estadísticas nacionales y la economía. Aunque las personas están involucradas en estos aspectos a título personal, en la categoría de contexto social los problemas ponen énfasis en la perspectiva comunitaria. Científico:losproblemasdecontextocientíficohacenreferenciaalaaplicacióndelasmatemáticas al mundo natural y a cuestiones y temas relacionados con la ciencia y la tecnología. Determinados contextos podrían incluir (aunque sin limitarse a estos) áreas como la meteorología o el clima, la ecología, la medicina, las ciencias espaciales, la genética, las mediciones y el propio mundo de las matemáticas. La pregunta “BASURA” (ver anexo 1) se sitúa en el contexto científico, puesto que se centra en cuestiones relacionadas con el medio ambiente y, en particular, con información del tiempo de descomposición. Las preguntas intramatemáticas, donde todos los ítems implicados pertenecen al mundo de las matemáticas, entran en el contexto científico. Los ítems de la evaluación PISA se organizan en unidades de manera que comparten el mismo estímulo. Entiéndase que estímulo se denomina al enunciado o la descripción del problema, los gráficos, tablas, imágenes, etc., o una combinación de ellos, a partir de los cuales se formula una pregunta. Por cuanto comparten un mismo estímulo, los ítems de una unidad pertenecen a un mismo contexto; excepcionalmente el mismo estímulo puede examinarse desde un punto de vista personal en una pregunta, y desde el punto de vista social en otra. La utilización de la categoría de contexto permite seleccionar distintos contextos para la elaboración de preguntas y garantizar que la evaluación refleje una amplia variedad de usos de las matemáticas, desde los personales cotidianos hasta las exigencias científicas de los problemas mundiales. Además, es importante que cada categoría de contexto contenga ítems que reflejen una amplia gama de dificultades. Puesto que la principal finalidad de estos contextos es retar a los estudiantes, cada una de las categorías debe contribuir en forma sustancial a la medición de la competencia matemática. El nivel de dificultad de las preguntas de la evalución que representa una categoría de contexto no debe ser sistemáticamente mayor o menor que el de otra categoría. 2.6 Estructura de la prueba de matemática de PISA 2015 En PISA 2012, cuando la evaluación de la competencia matemática era el dominio principal, el instrumento con soporte de papel contenía un total de 270 minutos de tiempo de prueba de matemáticas distribuido en nueve grupos de preguntas, donde cada grupo representa 30 minutos de prueba. De este total, tres grupos (que representan 90 minutos de tiempo de prueba) incluían preguntas de enlace utilizadas en anteriores evaluaciones de PISA, cuatro grupos “estándar” (que representan 120 minutos de tiempo de prueba) contenían preguntas nuevas con distintos niveles de dificultad y dos grupos fáciles (que representan 60 minutos de prueba) estaban dedicados a preguntas con un nivel de dificultad más bajo.
  24. 24. 23 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS La competencia matemática no será el dominio principal para el 2015 y los estudiantes tomarán menos bloques. La evaluación de matemáticas de PISA 2015 incluye preguntas con distintos niveles de dificultad, equiparables a las distintas capacidades de estudiantes de 15 años. Contiene preguntas que constituyen un reto para los estudiantes más capaces y hay preguntas para los estudiantes menos capacitados, del conjunto de participantes en la evaluación de matemáticas. Desde una perspectiva psicométrica, una prueba que está diseñada para medir a una cohorte particular de individuos es más eficaz y eficiente cuando la dificultad de las preguntas de la evaluación coincide con la capacidad de los sujetos medidos. Además, las escalas de competencia descritas, que se utilizan como parte central de la presentación de los resultados de PISA, solo pueden incluir información útil para todos los estudiantes, si las preguntas de las que se extraen las descripciones de la competencia abarcan el abanico de las capacidades descritas. Las escalas de la competencia están basadas en niveles crecientes de activación de las capacidades matemáticas fundamentales. Los ciclos anteriores de PISA han demostrado que, en conjunto, estas capacidades son indicadores de la demanda cognitiva y, por tanto, contribuyen en forma esencial a la dificultad de las preguntas (Turner, 2012; Turner et al., 2013). La escala para PISA 2012, que continúa para el 2015, se elaboró después de la prueba piloto PISA 2012, basado en la descripción de la activación requerida de estas capacidades. Esta escala ofrece una medida empírica de la demanda cognitiva de cada pregunta.
  25. 25. 24 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS 3. Niveles de la competencia según PISA 2015 Los resultados de la evaluación PISA de matemáticas se presentan de distintas maneras. Se obtienen estimaciones de la competencia matemática global de los estudiantes seleccionados en cada país participante y se definen una serie de niveles de competencia. Asimismo, se elaboran descripciones del grado de competencia matemática típica de los estudiantes de cada nivel. En la tabla 1 se facilitan las descripciones de los seis niveles de competencia presentados para la escala general de matemáticas de PISA en los años 2003, 2006 y 2009, que constituyen la base de la escala de matemáticas de PISA 2012. La escala final de PISA 2012 se utilizará para informar los resultados de PISA 2015. Puesto que la competencia matemática es un dominio menor de PISA 2015, se divulga solamente la escala general de la competencia. Tabla 1: Descripción de la competencia matemática por niveles (2003-2009) Nivel Descripción de la competencia 6 Los estudiantes pueden conceptualizar, generalizar y utilizar información basada en sus investigaciones y el modelamiento de situaciones problemáticas complejas. Pueden vincular diferentes fuentes de información y representaciones y hacer traducciones flexibles entre ellas. Son capaces de alcanzar el razonamiento y el pensamiento matemático avanzado. Aplican la intuición y comprensión acompañadas de un manejo diestro de la relaciones y operaciones matemáticas en el nivel formal y simbólico para desarrollar estrategias y aproximaciones nuevas para manejar situaciones novedosas. Pueden comunicar y formular con precisión sus acciones y razonamientos considerando sus hallazgos, interpretaciones, argumentos, y la adecuación de estos a la situación original. 5 Los estudiantes pueden desarrollar y trabajar con modelos aplicables a situaciones complejas identificando restricciones y especificando presuposiciones. Pueden seleccionar, comparar y evaluar estrategias apropiadas de solución para tratar problemas complejos relativos a estos modelos. Pueden trabajar estratégicamente usando habilidades de razonamiento y de pensamientobiendesarrollado,representacionesadecuadamentevinculadas,caracterizaciones formales y simbólicas e intuiciones propias de las situaciones complejas. Pueden razonar sobre sus acciones y formular y comunicar sus interpretaciones y razonamientos.
  26. 26. 25 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS 3.1 ¿En qué situación están nuestros estudiantes según el proceso de evaluación PISA 2012? La descripción de estos niveles de competencia matemática es única para todos los países participantes. Ello no significa que en todos los países los estudiantes evaluados se ubiquen a lo largo de esos seis niveles. En nuestro país, por ejemplo, casi no hay estudiantes que puedan ser ubicados en el nivel 4 (2,1 %) o posteriores (nivel 5: 0,5% y nivel 6: 0,0 %). Por el contrario, el 47 % de los estudiantes evaluados se encuentra por debajo del nivel 1. Precisamente, estos resultados nos obligan a seguir nutriendo nuestra práctica pedagógica con enfoques que, como este, privilegien el concepto de competencia matemática; es decir, el pensar matemáticamente y aplicar dicho pensamiento en contextos diversos. No es casualidad que las competencias matemáticas vigentes en las Rutas del Aprendizaje enfaticen también dicho punto. 4 Los estudiantes pueden trabajar eficientemente con modelos explícitos aplicables a situaciones concretas, pero complejas que pueden incluir restricciones y demandar presuposiciones. Pueden seleccionar e integrar diferentes representaciones, incluyendo las simbólicas, para ligarlas directamente a situaciones problemáticas del mundo real. En este nivel los estudiantes pueden utilizar habilidades bien desarrolladas y razonamiento flexible junto con algunas intuiciones. Pueden construir y comunicar explicaciones y argumentaciones basadas en sus interpretaciones, argumentos y acciones. 3 Los estudiantes pueden ejecutar procedimientos previamente descritos incluyendo aquellos que requiere decisiones secuenciales. Pueden seleccionar y aplicar estrategias simples de solución de problemas. Pueden interpretar y usar representaciones basadas en diferentes fuentes de información y razonar directamente sobre ellas. Pueden desarrollar comunicaciones cortas informando sus interpretaciones, resultados y razonamientos. 2 Los estudiantes pueden interpretar y reconocer situaciones en contextos que requieren solo inferencias directas. Pueden extraer información relevante de una sola fuente y hacer uso de un modo específico de elaborar representaciones. Pueden utilizar algoritmos básicos, fórmulas, procedimientos o convenciones. Pueden hacer uso del razonamiento directo y de interpretaciones literales de los resultados. 1 Original: Los estudiantes pueden responder preguntas dentro de contextos familiares en los que toda la información relevante está presente y las preguntas están claramente definidas. Son capaces de identificar información y de realizar procedimientos rutinarios siguiendo instrucciones directas en situaciones explicitas. Pueden realizar actividades que son obvias y que se siguen inmediatamente del estímulo dado.
  27. 27. 26 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS 3.2 Relación entre las capacidades fundamentales y los niveles de competencia Las capacidades matemáticas fundamentales desempeñan un papel central a la hora de definir lo que signfica estar en distintos niveles de las escalas de la competencia matemática. Por ejemplo, en la descripción de la escala de competencia correspondiente al nivel 4 (ver en la tabla 6), la segunda frase subraya aspectos de la matematización y representación que son evidentes en este nivel. La oración final pone en relieve la comunicación, los razonamientos y los argumentos característicos del nivel 4, que contrastan con los breves escritos y la falta de argumentos del nivel 3 y la reflexión adicional del nivel 5. Una buena guía de la dificultad empírica de las preguntas se puede obtener analizando qué aspectos de las capacidades matemáticas fundamentales son necesarios para aplicar y ejecutar una respuesta (Turner, 2012; Turner y Adams 2012; Turner et al, 2013). Las preguntas más fáciles requerirán la activación de algunas capacidades de forma relativamente sencilla, mientras que las más difíciles demandarán la activación compleja de varias. Los siguientes apartados describen las características que hacen que la activación de las capacidades sea más o menos compleja (Turner 2012) Comunicación: son varios los factores que determinan el nivel y el alcance de la exigencia comunicativa de una tarea, y la capacidad de un individuo para satisfacer estas exigencias indica hasta qué punto posee esta capacidad de comunicación. Por lo que respecta a los aspectos receptivos de la comunicación, estos factores incluyen la longitud y complejidad del texto u otro objeto que haya que leer o interpretar; la familiaridad de las ideas o de la información a las que un texto u objeto hacen referencia; el grado en que la información requerida deber ser desligada de otra infomación; la clasificación de la información y si esta se corresponde con el orden de los procesos de pensamiento necesarios para interpretarla y utilizarla, y el grado en el que existen distintos elementos (texto, elementos gráficos, gráficos, tablas, planos) que deban ser interpretados relacionándolos entre sí. Por lo que respecta a los factores expresivos de la comunicación, se observa un bajo nivel de complejidad en los ejercicios que exigen que se dé simplemente una respuesta numérica. A medida que se exije que la respuesta sea más larga, por ejemplo, cuando se pide una explicación o justificación verbal o escrita del resultado, la exigencia comunicativa aumenta. Matematización: en algunas tareas no es necesaria la matematización, pues o bien el problema ya está en una forma suficientemente matemática, o la relación entre el modelo y la situación que representanoesnecesariapararesolverelproblema.Ensuformamássencilla,lamatematización es imprescindible cuando el sujeto que resuelve el problema tiene que interpretar o inferir directamente a partir de un modelo dado o traducir directamente una situación a términos matemáticos (p.ej.: estructurar o conceptualizar la situación de forma relevante, identificar y seleccionar variables relevantes, recopilar mediciones relevantes o elaborar diagramas). La demanda de matematización aumenta con requisitos adicionales para modificar o utilizar un modelo dado con el fin de reflejar las nuevas condiciones o interpretar relaciones inferidas;
  28. 28. 27 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS para seleccionar un modelo familiar dentro de unas restricciones limitadas y claramente articuladas; o crear un modelo en el que las variables, relaciones o restricciones exigidas sean claras o explícitas. En un nivel aún más alto, la demanda de matematización está asociada con la necesidad de crear o interpretar un modelo en una situación donde deben identificarse o definirse muchos supuestos, variables, relaciones y restricciones y comprobar que el modelo satisface los requisitos del ejercicio; o valorar o comparar modelos. Representación: esta capacidad matemática es necesaria en su nivel más bajo para manejar directamente una representación familiar dada, por ejemplo, para pasar directamente de texto a números o leer directamente un valor en un gráfico o tabla. Las tareas de representación son más exigentes desde un punto de vista cognitivo, cuando requieren seleccionar o interpretar una representación estándar o familiar con relación a una situación. Unnivelmásaltodedemandaescuandoserequieretraduciroutilizardosomásrepresentaciones distintas de forma conjunta con relación a una situación, incluida la modificación de una representación; o cuando lo que se requiere idear es una representación directa de la situación. La exigencia cognitiva de nivel superior se caracteriza por la necesidad de comprender y utilizar una representación no estándar que requiere una notable decodificación e interpretación; diseñar una representación que refleje los aspectos clave de una situación compleja; o comparar o valorar distintas representaciones. Razonamiento y argumentación: en las tareas que requieren de una activación muy baja de esta capacidad, el razonamiento exigido puede ser, sencillamente, seguir las instrucciones dadas. En un nivel de exigencia ligeramente superior, las preguntas requieren una cierta reflexión para asociar distintas informaciones con el fin de realizar inferencias (p.ej.: relacionar distintos elementos presentes en un problema, o utilizar el razonamiento directo dentro de un aspecto del problema). En un nivel superior, las tareas requieren el análisis de la información para seguir o crear un argumento compuesto de varios pasos o relacionar distintas variables; a razonar a partir de fuentes de información afines. En un nivel aún más alto de demanda, hay la necesidad de sintetizar y evaluar la información, utilizar o crear cadenas de razonamiento para justificar inferencias, o para hacer generalizaciones recurriendo a múltiples datos o combinando varios elementos de información de una manera sostenida y dirigida. Diseño de estrategias: en tareas con una demanda relativamente baja de esta capacidad, suele ser suficiente la realización de actuaciones directas, donde la estrategia requerida está indicada o es obvia. En un nivel de exigencia ligeramente superior puede ser que sea necesario decidirse por una estrategia adecuada que utilice la información relevante dada para llegar a una conclusión. Lademandacognitivaseacentúaaúnmáscon lanecesidad deidear yconstruiruna estrategiaque transforme la información dada para llegar a una conclusión. Incluso los ejercicios más exigentes requieren el desarrollo de una estrategia elaborada para encontrar una solución exhaustiva o una conclusión generalizada; o valorar o comparar diferentes estrategias posibles.
  29. 29. 28 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Utilización de operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico: la demanda para la activación de esta capacidad varía enormemente de una tarea a otra. En las tareas más sencillas, no hay reglas matemáticas o expresiones simbólicas que deben activarse más allá de los cálculos aritméticos fundamentales, cuando se opera con números pequeños o fácilmente manejables. El trabajo con tareas más exigentes puede suponer realizar cálculos aritméticos secuenciales o emplear en forma directa una relación funcional simple, ya sea implícita o explícita (p.ej.: relaciones lineales habituales); utilizar símbolos matemáticos formales (p.ej.: mediante sustitución directa o cálculos aritméticos continuos con fracciones y decimales); o activar y usar directamente una definición matemática formal, convención o concepto simbólico. Una demanda cognitiva mayor se caracteriza por la necesidad de usar y manipular símbolos de forma explícita (p.ej.: la reorganización algebraica de una fórmula), y por la activación y el uso de reglas matemáticas, definiciones, convenciones, procedimientos o fórmulas matemáticas empleando una combinación de múltiples relaciones o conceptos simbólicos. Un nivel aún más altodedemandasecaracterizaporlanecesidaddeunaaplicacióndeprocedimientosmatemáticos formales que requieren múltiples pasos, el trabajo flexible con relaciones algebraicas funcionales o complejas, o la utilización de técnicas y conocimientos matemáticos para producir resultados. Uso de herramientas matemáticas: las tareas y actividades que impliquen un nivel de demanda relativamente baja de esta capacidad puede requerir el uso directo de herramientas familiares, como los instrumentos de medición, en situaciones donde el uso de esas herramientas es bastante practicada. Mayores niveles de demanda surgen cuando el uso de herramientas implica una secuencia de procesos, o la vinculación de diferentes informaciones utilizando la herramienta, y cuando la familiaridad de las herramientas en sí es menor o cuando la situación en la que se requiere la aplicación de la herramienta es menos familiar. Mayor aumento de la demanda se ve cuando la herramienta se va a utilizar para procesar y relacionar varios elementos de datos, cuando la aplicación de una herramienta es requerida en una situación muy diferente de las aplicaciones familiares, cuando la herramienta es más compleja por sí misma con múltiples funcionalidades y cuando hay la necesidad de reflexionar para comprender y evaluar las ventajas y limitaciones de la herramienta.
  30. 30. 29 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Estímulo Pregunta Pregunta 4. Formato de la prueba PISA 2015 para la competencia de matemática El cuestionario de preguntas de matemáticas de PISA está compuesto de unidades de evaluación. Una unidad de evaluación está compuesta por un estímulo y por una o más preguntas. El estímulo describe el contexto o la situación problemática de forma verbal y, con frecuencia, acompañado con otra información como tablas, planos, gráficos o diagramas. LA RUEDA DE LA FORTUNA Una gigante rueda de la fortuna se encuentra al lado del río. MIra la foto y el diagrama presentados a continuación. La rueda de la fortuna tiene un diámetro exterior de 140 metros y su punto más alto está a 150 metros por encima y a un lado del cauce del río Támesis. Esta gira en el sentido indicado por las flechas. Pregunta 116: LA RUEDA DE LA FORTUNA PM934Q01 - 0 1 9 La letra M en el diagrama indica el centro de la rueda. ¿A cuántos metros (m) por encima del cauce del río se encuentra el punto M? Respuesta: ........................... m Pregunta 117: LA RUEDA DE LA FORTUNA PM934Q02 La rueda de la fortuna gira a una velocidad constante. La rueda da una vuelta completa en exactamente 40 minutos. Juan comienza su paseo en la rueda de la fortuna en el punto de embarque P. ¿Dónde estará Juan después de media hora? A En R B Entre R y S C En S D Entre S y P En el caso de una unidad de evaluación con más de una pregunta, quienes redactan las preguntas intentan garantizar la máxima independencia posible entre ellas. Ello quiere decir, en forma simple, que no es necesario responder a la primera pregunta para poder responder a la segunda.
  31. 31. 30 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Las preguntas además pueden ser de tres tipos o formatos: De respuesta construida abierta. De respuesta construida cerrada. Selección de respuesta. Las primeras requieren una respuesta escrita de cierta extensión por parte del estudiante. Asimismo, estas preguntas pueden pedirle al estudiante que indique los pasos dados o que explique cómo ha obtenido la respuesta. Para estas preguntas es necesario contar con expertos cualificados que codifiquen manualmente las respuestas de los estudiantes. Las preguntas de respuesta construida cerrada ofrecen un contexto más estructurado para presentar las soluciones de los problemas y provocan una respuesta del estudiante que puede valorarse fácilmente como correcta o incorrecta. Las respuestas construidas cerradas más frecuentes son solo números. La primera pregunta de la unidad de evaluación “La rueda de la fortuna” corresponde a este formato. En las preguntas de respuesta seleccionada es necesario elegir una o más respuestas de una serie de opciones. Por lo general, las respuestas a estas preguntas se pueden procesar de forma automática. La segunda pregunta de la unidad de evaluación “La rueda de la fortuna” corresponde a este formato. Para elaborar los instrumentos de evaluación se ha utilizado un número aproximadamente igual de cada uno de estos tipos de formato de pregunta. Por el tipo de material empleado para la presentación de las preguntas, estas se clasifican en preguntas con soporte impreso y preguntas con soporte electrónico. En el caso de las primeras, las preguntas de la evaluación se presentan en forma impresa y las respuestas se registran en forma escrita, para lo cual los estudiantes utilizan el lápiz y el papel como recurso principal. En cambio, las preguntas con soporte electrónico se presentan en la pantalla de la computadora y las respuestas de los estudiantes se registran directamente haciendo uso de recursos sencillos de este sistema electrónico.
  32. 32. 31 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Fig. 2. Editor de PISA 2015 En ambos tipos de soporte, sea impresa o electrónica, se utilizan los mismos formatos: preguntas de selección de respuesta, respuesta construida abierta y respuesta construida cerrada. Para la formulación de respuestas a preguntas de estos últimos formatos, los estudiantes harán uso del editorPISA2015,talcomosemuestraenlafigura2,yotrasherramientassencillasdelacomputación. Criterios de calificación de las respuestas Aunque la mayoría de las preguntas se puntúan en forma dicotómica (es decir, con o sin puntuación),aveceslaspreguntasderespuestaconstruidaabiertapuedenincluirunapuntuación parcial, lo que permite asignar a las respuestas una puntuación en función de los distintos grados de “corrección”. Para este tipo de preguntas, se proporciona una guía detallada de codificación, que permite asignar a cada una de estas preguntas una puntuación máxima, parcial o ninguna puntuación. Esta guía se facilita al personal formado para codificar las respuestas de los estudiantes en los distintos países participantes, con el fin de garantizar que las respuestas se codifiquen en forma consistente y fiable. 4.1 Transición de los ítems en papel a los ítems en computadora El recojo de información para la evaluación PISA 2012, se realizó principalmente mediante instrumentos con soporte impreso. Sin embargo, a partir de PISA 2015 se generalizará la evaluación con soporte electrónico y para garantizar la comparabilidad de los resultados, las mismas preguntas de PISA 2012 se presentarán en formato electrónico.
  33. 33. 32 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS La definición de competencia matemática de PISA 2015 reconoce el importante papel de las herramientas electrónicas al señalar lo que se espera de los individuos competentes en matemáticas: que hagan uso de dichas herramientas en sus esfuerzos por describir, explicar y predecir fenómenos. En esta definición, el término “herramienta” se refiere a las calculadoras y computadoras, además de otros objetos físicos como las reglas y los transportadores utilizados en las mediciones y construcciones. Una segunda consideración es que el uso de las mejoras que ofrece la tecnología informática se traduce en preguntas de evaluación más atractivas para los estudiantes, con más colorido y más fáciles de entender. Por ejemplo, se puede presentar a los estudiantes un estímulo móvil, representaciones de objetos tridimensionales que se pueden rotar o un acceso más flexible a la información relevante. Los nuevos formatos de pregunta, como los que obligan a los estudiantes a «arrastrar y soltar» información o a utilizar «zonas activas» en una imagen, están diseñados para atraer a los alumnos, ofrecer una mayor diversidad de tipos de respuesta y proporcionar un panorama más completo de la competencia matemática. Finalmente, las investigaciones revelan que las exigencias matemáticas en un trabajo ocurren, cada vez más, en presencia de la tecnología electrónica, de manera que la competencia matemática y el uso de computadoras se fusionan (Hoyles et al. 2002) Al igual que las evaluaciones de lápiz y papel, que se basan en un conjunto de habilidades para trabajar con materiales impresos, las evaluaciones basadas en computadora dependen de un conjunto de habilidades fundamentales de las TIC para el uso de las computadoras. Estos incluyen conocimientos de hardware básico (por ejemplo, teclado y ratón) y convenciones básicas (por ejemplo, las flechas para moverse hacia adelante, y presionar botones específicos para ejecutar comandos). La intención es mantener estas habilidades a un nivel mínimo básico en la evaluación con computadoras. En las siguientes páginas se muestran dos preguntas en versión electrónica. Tal como se puede apreciar, para responder a la pregunta el estudiante debe estar familiarizado con determinados entornos informáticos y manipular adecuadamente sus elementos para desenvolverse con comodidad. Asimismo, debe ser capaz de explicar sus procedimientos utilizando un soporte informático. Procesos de piloteo (ensayos preliminares para contextualizar la prueba PISA a nuestra realidad) dan cuenta de la poca familiaridad de los estudiantes con estos entornos. Ello nos da una señal clara de que debemos exponer más a los estudiantes a entornos informáticos en el contexto de su actividad matemática.
  34. 34. 33 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Para cualquier figura, un punto (S) se llama punto de estrella si al unirlo con cualquier otro punto (P) la línea (SP) se queda dentro de la figura. Así se utilizan los botones PUNTO (S) y LÍNEA (SP). Pincha el botón PUNTO (S) y luego pincha una de las figuras para crear un solo punto. Pincha el botón LÍNEA (SP) y luego pincha una de las figuras para crear una línea entre los puntos S y P. Para cambiar un punto o una línea, pincha encima y arrastra el punto o la línea. Para borrar un punto o una línea, pincha el punto o la línea. Figura 1 S es un punto de estrella Figura 2 S no es un punto de estrella Figura 3 Figura 4 PUNTOS DE ESTRELLA PUNTO (S) LINEA (SP) REINICIAR Pregunta 1: PUNTOS DE ESTRELLA CM020Q01 Arriba se muestran cuatro figuras planas. En la Figura 1, el punto S es un punto de estrella porque, donde quiera que pongas P, la línea SP siempre queda dentro de la figura. Pero en la Figura 2, el punto S no es un punto de estrella porque hay algunas líneas SP, como se muestra en el ejemplo, que van por fuera de la figura. Crea un punto de estrella para la Figura 3 y un punto que no sea un punto de estrella para la Figura 4. ?
  35. 35. 34 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Nótese cómo la pregunta demanda en el estudiante la necesidad de manipular y construir objetos (líneas y puntos) que respondan a unas características dadas. En ese sentido, el estudiante debe comprender y utilizar herramientas, tales como los botones PUNTO (S), LÍNEA (SP) y REINICIAR como un medio para responder a la pregunta. PRODUCCIÓN DE CD Zedtec ofrece un servicio de copia de CD. Hay dos métodos para hacer copias de CD: el duplicado y la réplica. Los gráficos y la calculadora de precios muestran los precios para copiar distintas cantidades de CD usando los dos métodos. Puedes introducir diferentes valores en la casilla “Número de copias” para hallar el costo exacto del duplicado y de la réplica. 2000 1600 1200 800 400 0 0 Número de copias 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Precio de la copia de CD utilizando el duplicado o la réplica. Precio de la réplica Tu presupuesto: réplica Precio del duplicado Tu presupuesto: duplicado CALCULADORA DE PRECIO Número de copias Precio de la réplica Precio del duplicado 100 420 000 zeds 360 000 zeds Pregunta 2: PRODUCCIÓN DE CD CM015Q03 Zedtec hace la siguiente afirmación en su anuncio: “El duplicado es más barato para cantidades pequeñas de copias (hasta 500 CD)”. Explica por qué el número citado en la afirmación anterior, 500 CD, es incorrecto ¿Cuál es el máximo número de copias que haría que la afirmación fuese correcta? Número de copias = ?
  36. 36. 35 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Nótese cómo, en este caso, la pregunta demanda explicar la falsedad de una afirmación. El estudiante no solo debe entonces estar en capacidad para responder correctamente a una situación problemática, sino que también debe desarrollar la habilidad de argumentar con claridad las razones detrás de sus acciones. 4.2 Uso de la calculadora en la prueba LapolíticadePISApermitealosestudianteselusodelacalculadoraenelcomponenteconsoporte impreso, tal como se utiliza normalmente en las instituciones educativas. Esto representa la evaluación más auténtica de lo que los estudiantes pueden lograr y proporciona la comparación más instructiva del rendimiento de los sistemas educativos. En el componente impreso de PISA 2012 se dio acceso a los estudiantes a una calculadora en línea o a programas informáticos con una funcionalidad equivalente en el caso de preguntas donde esto pudiese ser relevante. PISA 2015 incluirá una herramienta que permitirá a los estudiantes dar respuestas construidas y mecanografiadas y mostrar su trabajo como sea requerido por la competencia matemática. La herramienta permite introducir textos y números a los estudiantes. Ajustando los botones, los estudiantes pueden introducir una fracción, raíz cuadrada o exponente. Los símbolos adicionales como pi (π), mayor o igual (≥), menor o igual (≤), estarán disponibles, así como los operadores de multiplicación y división, etc. Un entorno similar para desarrollar la habilidad en el uso de estas herramientas es el ofrecido en algunos procesadores de texto como Microsoft World, que cuentan con un editor de ecuaciones con una lógica similar al utilizado en la evaluación PISA.
  37. 37. 36 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS 5. Diferencias y similitudes con marcos teóricos anteriores El programa PISA a la fecha ha realizado cinco evaluaciones del rendimiento de los estudiantes de 15 años en comprensión lectora, matemática y ciencias. Esta evaluación se ha llevado a cabo cada tres años desde el año 2000.En cada uno de los ciclos se ha enfatizado la evaluación en una de las áreas, tal como se puede observar en la siguiente tabla: PISA 2000 PISA 2003 PISA 2006 PISA 2009 PISA 2012 PISA 2015 C. lectora C. lectora C. lectora C. lectora C. lectora C. lectora Matemática Matemática Matemática Matemática Matemática Matemática Ciencias Ciencias Ciencias Ciencias Ciencias Ciencias Área evaluada con mayor énfasis En los ciclos PISA 2003 y PISA 2012, el área enfatizada fue matemática, lo que ha implicado la evaluación de la competencia matemática con mayor profundidad, que se tradujo en la aplicación de mayor número de preguntas y la utilización de un marco de evaluación más amplio. El marco PISA 2015 se ha actualizado para reflejar los cambios en el modo de aplicación de instrumentos, incluyendo una discusión de las consideraciones de la transición de la evaluación de matemáticas en papel a la evaluación en computadora. Sin embargo, la definición y los constructos de competencia matemática permanecen invariables y constantes con PISA 2012 (OECD, 2013: 3). El nuevo marco de evaluación de PISA ofrece continuidad al marco anterior, de manera que se pueda medir las tendencias entre una evaluación y otra. La comparación entre las nociones centrales y entre las categorías manejadas en los marcos teóricos de PISA de 2003 y de 2012, ponendemanifiestounamayorprecisiónconceptualyterminológica,unavanceyprofundización derivados de la necesidad de interpretar con mayor rigor y precisión los resultados de las evaluaciones. Los cambios muestran una mejora derivada del análisis conceptual del estudio y mayor potencia de las categorías utilizadas para el análisis didáctico resultante.
  38. 38. 37 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS 6. Articulación de la competencia de matemáticas según PISA 2015 con las Rutas del Aprendizaje Un análisis comparativo de los marcos de evaluación PISA con los marcos curriculares vigentes evidenciados en las Rutas del Aprendizaje da cuenta de una convergencia entre ambos. Esa convergencia se manifiesta en aspectos tales como: El desarrollo de la competencia matemática y no solo del conocimiento matemático per se Así, la competencia matemática se entiende como “la facultad de toda persona para actuar conscientemente sobre una realidad, sea para resolver un problema o cumplir un objetivo, haciendousoflexibleycreativodelosconocimientos,lashabilidades,lasdestrezas,lainformación o las herramientas que tenga disponibles y considere pertinentes a la situación” (Minedu 2014, citado en Rutas del Aprendizaje versión 2015). La manera de categorizar las situaciones en las que surgen los fenómenos matemáticos Así,lascompetenciasseformulancomoactuarypensarmatemáticamenteatravésdesituaciones de cantidad; regularidad, equivalencia y cambio; forma, movimiento y localización; gestión de datos e incertidumbre. Todo ello en la misma línea en que el marco de evaluación PISA organiza sus propios contenidos (Cantidad, Cambio y relaciones, Incertidumbre y datos y Espacio y forma). Esta organización de los contenidos, como se ha indicado entre paréntesis, está fuertemente articulada con la propuesta en el marco de la evaluación PISA. En lo relativo a las capacidades matemáticas fundamentales, la articulación también se da, aunque las denominaciones cambian ligeramente. De este modo, las siete capacidades fundamentales planteadas en el marco teórico PISA se encuentran reorganizadas en cuatro capacidades según las Rutas del Aprendizaje. Así tenemos: Matematiza situaciones Eslacapacidaddeexpresarunproblema(reconocidoenunasituación)enunmodelomatemático. En su desarrollo se usa, interpreta y evalúa el modelo matemático, de acuerdo a la situación que le dio origen. Ello correspondería a matematización.
  39. 39. 38 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Comunica y representa ideas matemáticas Es la capacidad de comprender el significado de las ideas matemáticas, y expresarlas en forma oral y escrita usando el lenguaje matemático y diversas formas de representación con material concreto, gráfico, tablas, símbolos y recursos TIC, y transitando de una representación a otra. Ello correspondería a comunicación, representación y utilización de operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico. Elabora y usa estrategias Es la capacidad de planificar, ejecutar y valorar una secuencia organizada de estrategias y diversos recursos (entre ellos las tecnologías de información y comunicación) empleándolas de manera flexible y eficaz en el planteamiento y resolución de problemas, incluidos los matemáticos. Esto implica ser capaz de elaborar un plan de solución, monitorear su ejecución, pudiendo incluso reformular el plan en el mismo proceso con la finalidad de llegar a la meta. Asimismo, revisar todo el proceso de resolución, reconociendo si las estrategias y herramientas fueron usadas de manera apropiada y óptima. Ello correspondería al diseño de estrategias y utilización de herramientas matemáticas. Razona y argumenta generando ideas matemáticas Eslacapacidaddeplantearsupuestos,conjeturasehipótesisdeimplicanciamatemáticamediante diversas formas de razonamiento (deductivo, inductivo y abductivo), así como el verificarlos y validarlos usando argumentos. Esto implica partir de la exploración de situaciones vinculadas a la matemática para establecer relaciones entre ideas, establecer conclusiones a partir de inferencias y deducciones que permitan generar nuevas conexiones e ideas matemáticas. Ello correspondería a razonamiento y argumentación. Análisis comparativo entre las capacidades fundamentales según el marco de evaluación PISA y el marco curricular vigente (Rutas del Aprendizaje versión 2015) MARCO EVALUACIÓN PISA RUTAS DEL APRENDIZAJE Matematización Matematiza situaciones Comunicación Comunica y representa ideas matemáticas Representación Utilización de operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico. Razonamiento y argumentación Razona y argumenta generando ideas matemáticas Diseño de estrategias Elabora y usa estrategias Utilización de herramientas matemáticas.
  40. 40. 39 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS 7. Recomendaciones pedagógicas para el desarrollo de la competencia matemática en el marco de la evaluación PISA El enfoque basado en la resolución de problemas orienta el proceso educativo hacia la resolución de problemas matemáticos en situaciones de diversos contextos (Gramvemijer K., Teruel J., Freudental H., 2000). Para hacer realidad este enfoque en situaciones de enseñanza es necesario que se planteen y resuelvan problemas de diversos contextos y que respondan a las necesidades e intereses de los estudiantes. Un insumo de primera calidad para el desarrollo de la competencia matemática lo proveen las Rutas del Aprendizaje, en las que se plantean actividades de aprendizaje para el desarrollo de las competencias matemáticas de los estudiantes. Por otro lado, es posible abordar los ítems tipo PISA en los proceso de evaluación y de enseñanza. Aunque en realidad, enseñar y evaluar son dos caras de la misma moneda, y se distinguen solamente por la intencionalidad con que se realizan y por las decisiones que se derivan de cada uno de estos procesos, tal como afirman Coll y Martín (1996): Las prácticas de la evaluación son inseparables de las prácticas pedagógicas. No son dos cosas distintas, ni siquiera dos cosas complementarias: son una sola y misma cosa vista desde dos perspectivas diferentes. La evaluación es inseparable de la planificación y desarrollo de la acción didáctica. Cuando se toma una opción de metodología didáctica, se está tomando, aunque sea implícitamente, una decisión de evaluación. Mientras evaluamos, enseñamos; pero también cuando enseñamos, estamos evaluando. A continuación, algunas recomendaciones finales para el desarrollo de la competencia matemática:
  41. 41. 40 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS 1. Utilice la matemática en situaciones contextualizadas reales y genuinas. Las competencias no son en sí mismas conocimientos, saberes o actitudes, movilizan e integran este tipo de recursos, y esta movilización es pertinente solo cuando está contextualizada. 2. Plantee situaciones problemáticas de alta demanda cognitiva. Asimismo, las competencias implican la puesta en marcha de actividades complejas, por lo que no es suficiente con situar las actividades en determinado contexto, conviene que estas actividades sean problemáticas. 3. Incluya situaciones de evaluación auténtica. Para el desarrollo de la competencia matemática es necesario plantear actividades de evaluación auténtica. Recordemos que una actividad de evaluación es auténtica cuando las condiciones de la prueba y la demanda cognitiva se corresponden con las necesidades reales de los estudiantes en tanto ciudadanos o futuros profesionales. Usted puede encontrar más ejemplos de este tipo de situaciones en los siguientes enlaces: <http://www.mecd.gob.es/dctm/inee/internacional/pisa2012- resolucionproblemas/preguntasliberadasmatematicasweb. pdf?documentId=0901e72b81936c1a> <http://umc.minedu.gob.pe/wp-content/uploads/2012/05/Matem%C3%A1tica- preguntas-PISA-liberadas-2000-2003-2012.pdf> Sin embargo, es recomendable que usted mismo dedique un tiempo a crear actividades y evaluaciones de este tipo. El acceso a información diversa con contenido matemático se ha visto enormemente facilitado con el uso de internet. Navegue en internet en busca de situaciones que considere de interés y que tengan un contenido matemático aprovechable. Algunas ideas pueden ser: <http://www.sutran.gob.pe/portal/images/ranking_ipa/ranking_Ene_jun2012.pdf> <http://www.profesorenlinea.cl/fisica/Detencion_de_movil.html> <http://www.fierasdelaingenieria.com/los-aviones-de-pasajeros-mas-grandes-del- mundo/>
  42. 42. 41 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS 4. Incorpore el uso de soportes electrónicos para la manipulación, cálculo, justificación y registro de procedimientos matemáticos. Entre ellos, editores de ecuaciones y software matemáticos de uso libre, tales como GeoGebra,Desmos,etc.Losenlacesadichosprogramassemuestranacontinuación: <https://www.desmos.com/calculator> <https://www.geogebra.org/> Asimismo en este enlace encontrará más ejemplos de preguntas de PISA en formato electrónico. <http://erasq.acer.edu.au/index.php?cmd=toMaths> 5. Promueva entre sus estudiantes la argumentación o explicación de sus ideas matemáticas. Utilice en su práctica cotidiana actividades de argumentación y explicación de sus razonamientos. Plantee situaciones que generen debates sobre estrategias, procedimientos o conclusiones lógicas para que sus estudiantes analicen la corrección fundamentando claramente sus razones. 6. Incentive la escritura en la clase de matemática y la comprensión de textos matemáticos. La comprensión de los enunciados y soportes gráficos es fundamental para la resolución de problemas en general. Asegúrese de que sus estudiantes comprenden lo que leen, plantéeles preguntas al respecto, solicite que usen sus propias palabras para describir la situación problemática, que identifiquen qué información les resultará útil para responder a una pregunta o no. 7. Incluya actividades de modelamiento. Plantee a sus estudiantes patrones diversos y contextualizados y anímelos a generalizar estos haciendo uso de variables y otro tipo de representaciones. 8. Anime asusestudiantesaresolver unproblemausandodiversasestrategias y discuta sobre ellas. El peso en la clase de matemática debe trasladarse de encontrar la respuesta a un problema (muchas veces de forma irreflexiva), a una reflexión profunda sobre las estrategias con las que este puede ser resuelto. Otorgue una importancia clave a las representaciones gráficas.
  43. 43. 42 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Anexo 1: Análisis de algunas preguntas liberadas de la evaluación PISA Los nuevos CD de los grupos BTA Bailar y Caballos Desbocaos salieron a la venta en enero. En febrero los siguieron los CD de los grupos Amor de Nadie y Los Metalgaites. El siguiente gráfico muestra las ventas de CD de estos grupos desde enero hasta junio. LISTA DE ÉXITOS Pregunta 1: ¿Cuántos CD de la banda Metalgaites se han vendido en abril? A. 250 B. 500 C. 1000 D. 1270 Pregunta 2: ¿En qué mes vendió por primera vez el grupo Amor de Nadie más CD que el grupo Caballos Desbocaos? A. En ningún mes. B. En marzo. C. En abril. D. En mayo. BTA Bailar Amor de Nadie Caballos Desbocaos Los Metalgaites 1250 1500 1750 2000 2250 1000 750 500 250 0 Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Ventas de CD por mes NúmerodeCDvendidospormes
  44. 44. 43 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Pregunta 3: El mánager de Caballos Desbocaos está preocupado porque el número de CD vendidos disminuyó de febrero a junio. ¿Cuál es el volumen de ventas estimado para julio si continúa la misma tendencia negativa? A. 70 CD B. 370 CD C. 670 CD D. 1340 CD Análisis: Las tres preguntas de esta unidad pertenecen a la categoría de contenido incertidumbre y datos, pues en ellas se pide a los estudiantes que lean, interpreten y utilicen datos presentados de forma gráfica y matemática. La pregunta 1 requiere la lectura directa de los datos del gráfico para responder a una cuestión sobre el contexto. Los estudiantes tenían que familiarizarse con la información presentada, identificar la serie de datos que representa las ventas del grupo mencionado y la barra correspondiente al mes indicado en esa serie, y leer el valor de 500 CD directamente en el eje vertical. Para responder a la pregunta 2, los estudiantes deben prestar atención a la relación entre dos series de datos que se muestran en el gráfico de barras y tener en cuenta cómo varía esa relación a lo largo del periodo indicado, para ver que la circunstancia especificada en la pregunta se produjo por primera vez en abril. La pregunta 3 es algo distinta de las dos primeras, pues se centra fundamentalmente en la comprensión de una relación matemática representada en el gráfico y su extrapolación para predecir el valor del siguiente mes. Las tres preguntas están incluidas en la categoría de contexto social, pues los datos están relacionados con información de carácter público sobre las ventas de la música, del tipo que podría encontrarse en un periódico, revista musical o internet. Las dos primeras preguntas son un ejemplo de la categoría de proceso “interpretación”, pues entrañan la interpretación de la información matemática presentada en el gráfico con relación a las características contextuales presentadas; pero la tercera pregunta encaja en la categoría de “emplear”, pues se centra en la aplicación de conocimientos procedimentales para manipular la representación matemática con el fin de realizar una nueva inferencia.
  45. 45. 44 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS El Monte Fuji es un famoso volcán inactivo del Japón. SUBIDA AL MONTE FUJI Pregunta 1: La subida al Monte Fuji solo está abierta al público desde el 1 de julio hasta el 27 de agosto de cada año. Alrededor de unas 200 000 personas suben al Monte Fuji durante este periodo. Como media, ¿alrededor de cuántas personas suben al Monte Fuji cada día? A. 340 B. 710 C. 3400 D. 7100 E. 7400 Pregunta 2: La ruta de Gotemba, que lleva hacia la cima del Monte Fuji, tiene unos 9 kilómetros (km) de longitud. Los caminantes tienen que de la caminata de 18 km a las 20:00 horas. Toshi calcula que puede ascender la montaña caminando a 1,5 kilómetros por hora, como media, y descenderla al doble de velocidad. Estas velocidades tienen en cuenta las paradas para comer y descansar. Según las velocidades estimadas por Toshi, ¿a qué hora puede, como muy tarde, iniciar su caminata de modo que pueda estar de vuelta a las 20:00 horas? Respuesta: Pregunta 3: Toshi llevó un podómetro para contar los pasos durante su recorrido por la ruta de Gotemba. Según el podómetro, dio 22 500 pasos en la subida. Calcula la longitud media del paso de Toshi en su ascención de 9 km por la ruta de Gotemba. Expresa tu respuesta en centímetros (cm). Respuesta cm
  46. 46. 45 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS SUBIDA AL MONTE FUJI La segunda unidad de ejemplo es la titulada “SUBIDA AL MONTE FUJI”. La primera pregunta es de elección múltiple sencilla y la segunda y la tercera son de respuesta construida y requieren una contestación numérica. La pregunta 1 requiere que se calcule el número medio de personas al día. La estrategia usual supone obtener el número de días a partir de las fechas facilitadas y utilizar esa información para determinar la media. La pregunta 2 implica elaborar un plan con tres partes principales. Se tiene que calcular las horas que lleva ascender y descender la montaña a partir de las velocidades medias para, a continuación, calcular la hora de salida a partir de la hora de llegada y la duración de la caminata. En la pregunta 3 el principal objetivo es calcular la longitud media del paso a partir de la distancia y el número de pasos, siendo obligatoria la conversión de las unidades. Las preguntas 1 y 3 pertenecen a la categoría de contenido cantidad, pues en ellas se pide a los alumnos que realicen cálculos utilizando fechas y medidas y que hagan conversiones. El concepto clave de la pregunta 2 es la velocidad y, por tanto, se encuentra en la categoría de contenido cambio y relaciones. Todas ellas pertenecen a la categoría de contexto social, pues los datos hacen referencia al acceso del público al Monte Fuji y a sus rutas. Las dos primeras preguntas son ejemplos de la categoría de proceso “formular”, ya que la principal exigencia de estas preguntas implica la elaboración de un modelo matemático que pueda dar respuesta a las preguntas planteadas. Lapregunta3seubicaenlacategoría“emplear”,puesenestecasolaprincipalexigenciaescalcular un promedio, asegurándose de que la conversión de las unidades se realiza correctamente, de ahí que se trabaje fundamentalmente en los detalles del problema más que en la asociación de esos detalles con los elementos contextuales.
  47. 47. 46 LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PIZZA Una pizzería ofrece dos pizzas redondas del mismo grosor en diferentes tamaños. La pequeña tiene 30 cm de diámetro y cuesta 30 zeds. La grande tiene 40 cm de diámetro y cuesta 40 zeds. ¿Qué pizza es la mejor opción en relación con su coste? Escribe tu razonamiento. LA PIZZA La pregunta de respuesta construida abierta titulada “LA PIZZA” es simple en su forma pero rica en contenido e ilustra varios elementos del marco de matemáticas. “LA PIZZA” se inserta en el contexto personal, con el que estarían familiarizados muchos jóvenes de 15 años. Esto es así porque la pregunta planteada es qué pizza es la mejor opción para el comprador en relación con su coste. Los precios se presentan en una moneda neutral denominada zed. El tamaño y el precio están relacionados a través del concepto de relación calidad-precio. La pregunta hace uso de diversas áreas de las matemáticas. Tiene elementos geométricos que normalmente se clasifican dentro de la categoría de contenido espacio y forma. Las pizzas se pueden modelar como cilindros finos, de modo que se necesita el área del círculo. La pregunta también incluye la categoría de contenido cantidad, con la necesidad implícita de comparar la cantidad de pizza con la cantidad de dinero. No obstante, la clave del problema está en la conceptualización de las relaciones entre las propiedades de las pizzas y en cómo las propiedades relevantes cambian de la pizza pequeña a la grande. Puesto que esos aspectos constituyen la parte fundamental del problema, esta pregunta se clasifica dentro de la categoría de contenido cambio y relaciones. La pregunta pertenece a la categoría de proceso “formulación”. Un paso clave para resolver este problema, de hecho la mayor exigencia cognitiva, es la de formular un modelo matemático que refleje el concepto de relación calidad-precio. La persona que resuelve el problema debe reconocer que, puesto que en teoría las pizzas tienen un grosor uniforme y los grosores son idénticos, el análisis puede centrarse en el área de la superficie circular de la pizza en vez de en el volumen o la masa. De ese modo, la relación entre la cantidad de pizza y la cantidad de dinero queda reflejada en el concepto de relación calidad-precio bajo la forma «coste por LA PIZZA Una pizzería ofrece dos pizzas redondas del mismo grosor en diferentes tamaños. La pequeña tiene 30 cm de diámetro y cuesta 30 zeds. La grande tiene 40 cm de diámetro y cuesta 40 zeds. ¿Qué pizza es la mejor opción en relación con su coste? Escribe tu razonamiento.

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