1. Matemática I
Tópico 09– Integrais
Ricardo Bruno N. dos Santos
Professor Faculdade de Economia
e do PPGE (Economia) UFPA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA
FACULDADE DE ECONOMIA

2. Integração

3. 9 – Integração

4. 9 – Integração

5. 9 – Integração: A integral indefinida

6. Regras Básicas

7. 9 – Integração: Regras básicas de integração

8. 9 – Integração: Regras básicas de integração

9. 9 – Integração: Regras básicas de integração

10. 9 – Integração: Regras básicas de integração

11. 9 – Integração: Regras básicas de integração

12. 9 – Integração: Regras básicas de integração

13. 9 – Integração: Regras básicas de integração

14. 9 – Integração: Regras básicas de integração

15. 9 – Integração: Regras básicas de integração

16. 9 – Integração: Regras básicas de integração

17. 9 – Integração: Regras básicas de integração

18. 9 – Integração: Regras básicas de integração

19. 9 – Integração: Regras básicas de integração

20. 9 – Integração: Regras básicas de integração

21. 9 – Integração: Regras básicas de integração

22. 9 – Integração: Regras básicas de integração
Como escolher u e dv
Escolha u e dv, tais que
1 – du é mais simples que u;
2 – dv é mais fácil de integrar

23. 9 – Integração: Regras básicas de integração

24. Integral: Exemplos no Geogebra
Vamos verificar alguns comandos importantes
para uso de integrais no Geogebra.

25. A Integral Definida

26. 9 – Integração: A Integral Definida
( )f t
t
1,2
4
O produto irá dar 4,8 milhões de barris.

27. 9 – Integração: A Integral Definida
x a
x b ( )y f x

28. 9 – Integração: A Integral Definida

29. Essa respectiva área S é conhecida como área sob o gráfico de f
no intervalo [a,b], ou de a a b.
Vamos partir de um exemplo interativo que no final culminará
com o uso do conceito da integral. Imagine que tenhamos o seguinte
gráfico abaixo:
2
( )f x x
9 – Integração: A Integral Definida

30. Vamos supor que queiramos calcular um valor de área até o
ponto 2.
É mais fácil fazer o cálculo de áreas retangulares, bem
podemos dividir a área abaixo em áreas retangulares onde:
9 – Integração: A Integral Definida

31. Calculando a área teremos:
1
4
1
4
f
1
2
3
4
f
3
4
1
2
f
1
1
4
1
1
4
f
3
2
3
2
f
1f
3
2
4
f
3
2
4
1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 3
1 1 2
4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 2 4 4
1
0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 2,75
4
A f f f f f f f
A f f f f f f f
9 – Integração: A Integral Definida

32. Continuando o calculo da área
Ou aproximadamente 2,1875 unidade quadrada.
Porém, podemos reduzir ainda mais o tamanho
dessa área com o objetivo de melhorar a precisão do
valor da área, uma forma de conseguirmos isso é
reduzindo o tamanho do retângulo de ¼ para 1/8.
Assim teríamos o gráfico:
2 2 2 2 2 2 21
0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 2,75
4
0,25(0,0625 0,25 0,5625 1 1,5625 2,25 3,0625)
0,25(8,75)
2,1875
A
9 – Integração: A Integral Definida

33. Calculando a área teremos:
9 – Integração: A Integral Definida

34. 9 – Integração: A Integral Definida

35. 9 – Integração: A Integral Definida
Agora vamos dar atenção ao estudo de limites de
somas de Riemann envolvendo funções que não são
necessariamente não-negativas. Tais limites surgem em
muitas aplicações do cálculo.
Por exemplo, o cálculo da distância percorrida por um
corpo que se move ao longo de uma reta envolve a
determinação de um limite dessa forma. O cálculo da receita
total realizada por uma companhia num certo período, o
cálculo da energia elétrica total consumida numa residência
ao longo de 24 horas, a concentração média de uma droga
num corpo ao longo de um certo intervalo de tempo, e o
volume de um sólido – todos envolvem limites desse tipo.
Vamos então a uma nova definição:

36. 9 – Integração: A Integral Definida

37. 9 – Integração: A Integral Definida

38. 9 – Integração: A Integral Definida

39. 9 – Integração: A Integral Definida

40. 9 – Integração: A Integral Definida
O Teorema fundamental do cálculo
E a partir da definição de integral definida que
chegamos a um dos mais importantes teoremas da
matemática, trata-se do teorema fundamental do cálculo.
O teorema a seguir nos mostra como calcular a integral
definida de uma função contínua, desde que possamos
encontrar uma antiderivada desta função. Devido à sua
importância em estabelecer a relação entre diferenciação e
integração, este teorema, descoberto independentemente
por sir Isaac Newton na Inglaterra e Gottfried Wilhelm Leibniz
na Alemanha.

41. 9 – Integração: A Integral Definida

42. 9 – Integração: A Integral Definida

43. 9 – Integração: A Integral Definida

44. 9 – Integração: A Integral Definida

45. 9 – Integração: A Integral Definida

46. 9 – Integração: A Integral Definida

47. 9 – Integração: A Integral Definida
A situação (5) pode ser retratada no gráfico acima.

48. 9 – Integração: A Integral Definida

49. 9 – Integração: A Integral Definida

50. 9 – Integração: A Integral Definida

51. 9 – Integração: A Integral Definida

52. 9 – Integração: Área entre duas curvas
Suponha que em um certo país as projeções
sejam de que o consumo de petróleo cresça à taxa de
f(t) milhões de barris por ano, daqui a t anos, pelos
próximos 5 anos. Então, o consumo total de petróleo
daquele país durante o período em questão é dado
pela área sob o gráfico de f no intervalo [0, 5]. Em
seguida suponha que devida a implementação de
certas medidas de economia de energia, a taxa de
crescimento do consumo de petróleo seja ao invés de
f(t), passa a ser g(t) milhões de barris de petróleo ano.
Neste caso, o consumo total de petróleo projetado
para o período de 5 anos é dado pela área sob o
gráfico de g no intervalo [0, 5].

53. 9 – Integração: Área entre duas curvas

54. 9 – Integração
y=f(t)
y=g(t)

55. 9 – APLICAÇÕES DA INTEGRAL: O excedente do
consumidor e do produtor

56. 9 – APLICAÇÕES DA INTEGRAL: O excedente do
consumidor e do produtor

57. 9 – APLICAÇÕES DA INTEGRAL: O excedente do
consumidor e do produtor
Já o excedente do produtor parte da lógica de que se
os ofertantes (produtores) estiverem dispostos a
vender seus produtos a um preço mais baixo que o de
mercado. Com isso, toda a área que estiver entre o
preço praticado no mercado e o preço de oferta dos
produtores será o excedente, podemos visualizar isso
pelo gráfico a seguir:

58. 9 – APLICAÇÕES DA INTEGRAL: O excedente do
consumidor e do produtor

59. 9 – APLICAÇÕES DA INTEGRAL: O excedente do
consumidor e do produtor

60. Aplicação

61. FIM DO TÓPICO