Resolução dos exercícios da Lista 1 da disciplina de Funções de uma variável, do prof. Cláudio Meneses, da Universidade Federal do ABC. Dúvidas/Comentários/Comunicação de Erros: rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br

1. Rodrigo Thiago Passos Silva
Universidade Federal do ABC – Santo André
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
RESOLUÇÃO DA LISTA 1 DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Prof. Cláudio N. Meneses
1 Prove que é par o produto de um número par qualquer por um número ímpar
qualquer.
Tomando x um número par e y um número inteiro ímpar, temos que:
onde
Admitindo Certamente par ou ímpar.
Portanto xy = 2k, um número par.
□
2 Prove que a soma de dois números pares quaisquer é par.
Tomando dois números pares quaisquer x = 2k1 e y = 2k2, onde
x + y = 2k1 + 2k2 = 2(k1 + k2)
Assumindo k1 + k2 = k, temos:
x + y = 2k, portanto um número par.
□
3 Prove que a soma de três números inteiros consecutivos quaisquer é um múltiplo de
três.
Tomando três números consecutivos quaisquer x = k, y = k + 1 e z = k + 2, com .
x + y + z = k + k + 1 + k + 2 = 3k + 3 = 3(k+1)
Considerando k + 1 = r, um número, certamente, inteiro, temos que:
x + y + z =3r, um número múltiplo de três.
□
4 Sabendo que a soma e o produto de dois números inteiros são também números
inteiros, prove que a soma de dois números racionais é também um número racional.
Hipótese: A soma e o produto de dois números inteiros são também inteiros.
Considerando x e y números racionais e dados por e , com
.
+
Pela hipótese apresentada, são números inteiros, portanto x + y, por
ser um quociente de dois inteiros, é um número racional.
□

2. Rodrigo Thiago Passos Silva
Universidade Federal do ABC – Santo André
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
5 Prove que entre dois números racionais diferentes sempre existe outro racional.
Considerando x e y números racionais e dados por e , com
e z, um racional entre eles.
z está, certamente, entre x e y quando: Queremos provar que z é um número
racional.
Sabemos que a soma e multiplicação de dois números inteiros resulta em, também,
números inteiros. Assim sendo, é trivial que z é um número racional, pois é o quociente
de dois números inteiros.
□
6 Prove que:
1.
Utilizando o Princípio da Indução Finita (PIF):
i) Testando a propriedade para n = 1:
A propriedade é válida para n = 1.
ii) Hipótese indutiva -
Tese -
Assumindo a hipótese como verdadeira temos:
Logo:
Portanto a P(k + 1) é verdadeira e a propriedade é válida para qualquer n ≥ 1.
□
2.
Utilizando o Princípio da Indução Finita (PIF):
i) Verificando a propriedade para n = 1:
Portanto P(1) é válida.
ii) Hipótese indutiva:
Tese:

3. Rodrigo Thiago Passos Silva
Universidade Federal do ABC – Santo André
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Assumindo a hipótese indutiva como verdadeira, temos que
Logo:
Comprovada a hipótese indutiva, comprova-se que a propriedade é válida para qualquer
número natural maior ou igual a 1.
□
3.
i) Verificando o somatório para n = 1:
Portanto, a propriedade é válida para n = 1.
ii) Hipótese indutiva -
Tese -
Considerando verdadeira a hipótese indutiva, temos que:
Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade, obtemos:
A igualdade não é válida, portanto a hipótese é falsa e a propriedade inválida para
qualquer n natural maior que 1.
□
4.
i) Verificando a propriedade para n = 1:
Portanto P(1) é verdadeira.
ii) Hipótese indutiva:
Tese:

4. Rodrigo Thiago Passos Silva
Universidade Federal do ABC – Santo André
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Admitindo a hipótese indutiva como verdade, temos que:
Desenvolvendo algebricamente o lado esquerdo da igualdade:
Comprovando-se a igualdade comprova-se conjuntamente a veracidade da hipótese
indutiva, e, portanto, a validade da propriedade para n ≥ 1.
□
5.
Desenvolvendo ambos os lados da igualdade
i) Verificando a igualdade para n = 1:
É trivial que a igualdade é válida, pois 1³ = 1.
ii) Hipótese indutiva -
Tese -
Admitindo como verdadeira a hipótese indutiva, temos que:
A primeira parcela do lado esquerdo da igualdade e o somatório do lado direito são
progressões aritméticas, portanto podem ser reescritas da seguinte forma:
Partindo, então, do lado esquerdo, temos:
Portanto, a hipótese indutiva é, de fato, verdadeira e a propriedade é válida para todo
número natural maior ou igual a 1.
□

5. Rodrigo Thiago Passos Silva
Universidade Federal do ABC – Santo André
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
7 Prove, usando o princípio da indução matemática, que todo inteiro maior do que 1 é
primo ou produto de primos.
i)Tomando n = 1, observa-se que a propriedade é válida, pois 1 é primo.
ii) Hipótese indutiva – P(k): k é um número primo ou produto de primos
Tese – P(k + 1): k + 1 é primo ou produto de primos
Há duas possibilidades para k + 1:
a) k + 1 é primo, logo P(k + 1) é válida.
b) k + 1 não é primo. Então k + 1 = ab, onde 1 < a < k + 1 e 1 < b < k + 1.
Pela hipótese indutiva P(2), P(3), ... ,P(n), para n ≤ k, são primos ou produto de primos,
logo a e b são também primos ou produto de primos e, finalmente, provamos que k + 1
= ab também é primo ou produto de primos.
□
8 Denote por an o número de subconjuntos de {1,2,3,..,n} (incluindo o conjunto vazio
e o próprio conjunto).
(a) Mostre que an = 2an-1 (não é necessário usar indução aqui).
Tomando o conjunto a An-1 = {1,2,..., n - 1} onde an-1 é o número de subconjuntos de An-
1.
Sendo . Todos os subconjuntos de An-1 são também subconjuntos de
An. Os demais subconjuntos são obtidos incluindo o elemento {n}. Logo an = 2an-1.
□
(b) Adivinhe a fórmula para o valor de an e use indução para provar que você está
certo.
O número de conjuntos de An é dado por 2n
.
i) Para o conjunto B = {u}, de um único elemento, temos os seguintes subconjuntos: { }
e {a}. Para n = 1, an = 2, o que é confirmado pela demonstração acima.
ii) Hipótese indutiva – P(n): Um conjunto de n elementos tem 2n
subconjuntos.
Tese – P(n + 1): Um conjunto de n + 1 elementos tem 2n+1
subconjuntos.
Tomando o conjunto An+1 tal que .
Pela hipótese indutiva temos que an = 2n
.
Reescrevendo, sem perda de sentido, o que foi comprovado em (a) temos an+1 = 2an.
Logo, an+1 = 2 × 2n
= 2n+1
, comprovando assim a tese e a propriedade P(n) para todo n ≥
1.
□