1. Introducción al tratamiento de datos
Juan Abel Barrio
1
© José Luís Contreras

2. Enfoque
Intuitivo
(nos falta estadística y tiempo)
Práctico
(queremos trabajar en el laboratorio)
2

3. Indice
 Medidas.
 Unidades.
 Cálculo de incertidumbres.
 Presentación de resultados.
 Media ponderada.
 Regresión lineal.
 Interpolación.
 Ejercicios
3

4. Medir
Comparar una cantidad con su respectiva
unidad, con el fin de averiguar cuantas
veces la segunda está contenida en la
primera.
4

5. Partes de una medida I
Si medimos el largo de una mesa ...
El resultado podría ser ?
125,634
125,634 cm
125,634 ± 17,287 cm
125 ± 17 cm
5

6. Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
Presentación
valor unidades
±incertidumbre 6

7. Error e incertidumbre I
Muchas veces se cometen errores al medir.
Debemos corregirlos o al menos estimarlos
X Xreal
Xmedido X
7

8. Error e incertidumbre II
Error = Xreal –Xmedido
Xreal Xmedido X, Xmedido X)
X Xreal
Xmedido X
8

9. Nivel de Confianza
 X depende de lo seguros que queramos estar
 Nivel de confianza = fracción de las veces que
quiero acertar. 99%, 95%...
X Xreal
Xmedido X
9

10. Tipos de medidas
 Medidas directas
Las anoto de un instrumento
L1, L2
 Medidas indirectas L2
Provienen de aplicar
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2
L1
10

11. Tipos de errores
 Medidas directas
• Sistemáticos
•Aleatorios
 Medidas indirectas
• Derivados de los anteriores
11

12. Errores sistemáticos
 Errores sistemáticos
Limitaciones de los aparatos o métodos
• Precisión
• Calibración
72
73
10
12

13. Errores aleatorios I
 Factores que perturban nuestra medida.
• Suma de muchas causas
• Tienden a ser simétricos.
• Se compensan parcialmente.
• Repetir las medidas. medidas
• Estadística
Xreal 13

14. Errores aleatorios II
 Distribuciones
Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios.
 Tienden a curvas típicas
x
xx x
x x x xx x x x
Xreal 14

15. Cómo estimar el resultado
 Frente a errores sistemáticos.
• Medir correctamente
• Calibrar los aparatos
 Frente a errores aleatorios.
• Se compensan repetir varias veces la medida
• La media es el valor más probable
n
Xi
X
i 1 n 15

16. Ejemplo
 Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
Día L M X J V
Masa
73 72 74 72 73
(kg)
(73 72 74 72 73)
M 72,8 kg
5
16

17. Indice
 Medidas.
 Unidades.
 Cálculo de incertidumbres.
 Presentación de resultados.
 Media ponderada.
 Regresión lineal.
 Interpolación.
 Ejercicios
17

18. Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
Presentación
valor unidades
±incertidumbre 18

19. Tipos de errores
 Medidas directas
• Sistemáticos
•Aleatorios
 Medidas indirectas
• Derivados de los anteriores
19

20. Incertidumbre
 Se suele expresar como:
1. Absoluta: X
X X
2. Relativa: Er Er en % 100
X X
 Se suele descomponer en:
1. Incertidumbre factores sistemáticos: S1 S2
Destaca la de precisión
2. Incertidumbre factores aleatorios:
20

21. Incertidumbre de precisión Es
 En casos sencillos la estimaremos como:
La mitad (?) de la división menor de la escala
Ej: Balanza
 A veces depende del experimentador
No hay reglas sencillas para estimarla
Ej: Cronómetros
 No es fácil definir su intervalo de confianza
21

22. Incertidumbre aleatoria EA
 Para n medidas
s = Desviación
EA t n 1 típica de las
n 1 n medidas
Desviación típica
de la media
Factor de cobertura
t de Student
22

23. s: la dispersión de los datos
X 4
Xreal
¿¿ edir la separación con respecto al valor medio ?
edir la separación con respecto al valor real ?
¿Cómo?
No conocemos el valor real
n 2 2 2
2 (3 xx) x ( 4 x )2 55 x )
3 i 4 x
2
( 2x x 2
22
s2
s
s n2 1 i 1 3 4 4 4 5 40 2
1
n 1 3
33 3 1 33 2 23

24. s: propiedades
 Es la distancia del valor real a la que estará más
probablemente un nuevo dato
s n
cte
 Tiene las mismas unidades que el resultado
24

25. Dispersión de la media
s
sX
n
 SI hiceramos muchos grupos de n medidas...
 La media es más precisa que cualquier dato, los
errores aleatorios se compensan
 Pero despacio ....
 Los errores de precisión no se compensan
25

26. t de Student
 Ya tenemos X y s X pero el intervalo... X s X es pequeño y
conlleva un nivel de confianza variable 4 multiplicamos por un factor
corrector.
tn
 Si es el nivel de confianza t 4 t 4 (1 ) t 4 ( p) p=0.05.
 Para pocas medidas s= n-1 se estima mal y el factor es mayor para
compensar.
 ¿Quien fue Student ?
26

27. Coeficientes tn
n 1 2 3 4 5 10 20 40
tn
6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,81 1,72 1,68 1,64
P=0.1
tn
12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,23 2,08 2,02 1,96
P=0.05
tn
63,6 9,92 5,84 4,60 4,03 3,16 2,85 2,70 2,58
P=0.01
27

28. t de Student
 Ya tenemos X y s X pero el intervalo... X s X es
pequeño y conlleva un nivel de confianza variable 4
multiplicamos por un factor corrector.
 Si es el nivel de confianza t4 t 4 (1
n t ) t 4 ( p)
p=0.05.
 Para pocas medidas s= n-1 se estima mal y el factor es
mayor para compensar.
 ¿Quien fue Student ?
28

29. Un poco de Historia:Student
 Inglaterra - Irlanda
 Control de calidad
industrial
 Extraemos un número
pequeño de muestras de
un lote grande.
¿ Representan al producto ?
W. Gosset 1876-1937
29

30. Ejemplo
 Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
M 72 ,8 kg
Día L M X J V
Masa n 1 0,837 kg
73 72 74 72 73
(kg)
tn 1 t4 2,78
72,8 2 ,78 0 ,83772 72,8
2 2 2 2 2
n 1
E 73 72,8
A t 4
72
n 1 74 72,8 1,04 kg 72,8
73
5 5 1 5
30

31. Incertidumbre total
 Combinaremos las incertidumbres en cuadratura:
2 22 2 2
X
X E A1 2 
ES
 Propiedades
2 2
E A , ES EA ES EA ES
2 2
EA ES , EA ES EA
31

32. Resumen medidas directas
X final X
2 2
X final EA ES
S Media división n 1
mínima EA t
n 1 n
32

33. Ejemplo
 Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
M 72 ,8 kg
Día L M X J V
Masa EA 0,97 kg
73 72 74 72 73
(kg)
ES 0,5 kg
M 0,972 0,52 1,091 kg
Presentación
M 72 ,800 1,091 kg incorrecta !
33

34. Medidas indirectas I
 Dependen de otras mediantes expresiones
matemáticas
 Ej: Area de un cuadrado = (Lado)2
A = L2
L =5 cm cm2 , ¿?
 Recordando derivadas...
dA lim A dA
A L
dL L 0 L dL
34

35. Medidas indirectas II
dA
2L A 2L L
dL
 Significado L L
 Válido si L pequeño
L
 Interpretación geométrica
L
L
35

36. Medidas indirectas III
L1
 Area de un rectángulo
A = L1 x L2
 L1 conocido
perfectamente L2
dA
L1 A L1 L2
dL2
L2
 Y si L1, ,L2 inciertos ?
L2
L1
36

37. Medidas indirectas IV
L1
A L1 L2 L2 L1 ?
L2
L2 x L1
2 2
A L1 L2 L2 L
 Errores independiente se
compensan parcialmente L1 x L2
L1 x L2
37

38. Medidas indirectas V
Y f X 1 , X 2 ,
2 2
Y Y
Y X1 X2 
X1 X2
Derivada parcial de Y respecto a X1
38

39. Derivadas parciales
Y f X 1 , X 2 ,
Y Como varía Y si varía sólo X1
X1 EJEMPLOS
M
y 3x 4z
V
2 3
y x z V 2
r h
39

40. Casos simples
Y c X Y c X
2 2
Y X1 X2 Y X1 X2
Y X1 X 2 2 2
X1 X2
Y Y
X1 X1 X2
Y
X2
X
n Y Y n
Y X X
40

41. Ejemplo (casi) completo I
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
n0 1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
1
M
3 V
2
41

42. Ejemplo (casi) completo II
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
n0 1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1 M 14 .400 g
ES 0.05 g 2 2
M ES E A 0.282 g
M 14.400 0.282g
0.224
EA 2.78 g 0.278 g
5
42

43. Ejemplo (casi) completo III
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
2
4 3 V
V r V r 4 r2 r
3 r
V 4,2 1,3 cm 3
V r
ER ,V 0.3 3
V r 43

44. Ejemplo (casi) completo IV
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
M M
2
V
2
V M V
g
3,4377 1,0335 3 ?
cm
44

45. Presentación de resultados
 Los resultados se presentan redondeados
g g
3,4377 1,0335 3 ? 3,4377 1,0 3 ?
cm cm
g
(3,4 1,0) 3
cm
1. NO tengo tanta precisión en como
pretendo
2. ¿ Si tengo una incertidumbre de
unidades...Por qué doy diezmilésimas en
46

46. Cifras significativas
 Cifras significativas 
 Todas salvo los ceros a la izquierda
 Sobreviven a un cambio de notación
 Ejemplos:
123 3 c.s. 123 103 3 c.s.
0,123 3 c.s. 123 10-3 3 c.s.
67 2 c.s. 670 3 c.s.
0,67 2 c.s 0,670 3 c.s.
47

47. Reglas (arbitrarias) de Redondeo
 La incertidumbre se expresa con 2 cifras significativas.
 El valor se expresa con tantos decimales como la
incertidumbre.
 Valor e incertidumbre se expresan con las mismas
unidades y potencia de 10.
48

48. Comparación de resultados
 Resultados compatibles
 Resultado más preciso.
Review of particle porperties (PDG). Phys. Rev. D 45 Part II (1992) I.11
49

49. Calculadora
50

50. Excel
Cálculos para la curva característica de una resistencia
I) Medida de I frente a V (Salamanques & Anitua)
Promax (40 mA)
V (V) V (V) I(mA) I(mA) R(k ) R(k ) I_teor(mA) I_residuo(mA) R(k )^2 R(k )/ R(k )^2
1.00 0.101 0.45 0.0145 2.22222 0.23558985 0.455 0.005 18.01718182 40.03818182
4.00 0.104 1.82 0.0282 2.19780 0.06652046 1.80964286 -0.010357143 225.9901621 496.6816749
7.00 0.107 3.17 0.0417 2.20820 0.04453215 3.16428571 -0.005714286 504.2578521 1113.503143
10.00 0.110 4.52 0.0552 2.21239 0.03636286 4.51892857 -0.001071429 756.2824602 1673.191284
13.00 0.113 5.86 0.0686 2.21843 0.03234635 5.87357143 0.013571429 955.7611244 2120.289184
16.00 0.116 7.22 0.0822 2.21607 0.02991129 7.22821429 0.008214286 1117.711575 2476.923157
19.00 0.119 8.58 0.0958 2.21445 0.02834979 8.58285714 0.002857143 1244.228592 2755.284761
22.00 0.122 9.95 0.1095 2.21106 0.0272474 9.9375 -0.0125 1346.944938 2978.169713
II) Regresión Lineal
Media x: 11.5
12
Varianza x: 47.25 D: 378
(sigma_x)^2
10
Media y: 5.19625
8 Varianza y: 9.634123438 E: 77.0729875
(sigma_y)^2
I (mA)
6 Covarianza: 21.335625
(sigma_xy)
4 t_n-2: 2.446911846
s_res: 0.009850066
2
0
0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00
V (V)
m:
R (k ):
0.451547619
2.214605853
m:
R (k ):
0.001239686
0.006080012
c:
R (%):
0.003452381
0.274541517
c: 0.01660901
Intervalo_R (k ): 2.20852584 2.22068587
51