1. Resolução da Lista 2 de FF-207
01. Dois corpos de massa m são unidos por um bastão de comprimento
l, do qual o centro é vinculado a se mover num círculo de raio a.
Escreva a equação da energia cinética nas coordenadas
generalizadas.
SOLUÇÃO:
Como as massas dos corpos das
extremidades do bastão são iguais, temos
que o centro do bastão é a posição do
centro de massas dos corpos. Agora, vamos
considerar que o bastão é tangente à
trajetória (circunferência, nesse caso) de seu
centro que se move a uma velocidade
angular de constante.
Para escrever as equações de transformação de coordenadas
cartesianas para coordenadas generalizadas em relação ao centro
de massa, é necessário primeiro analisar a existência de vínculos
holonômicos. Com isso, sabemos que a distância do centro de
massa à origem O é constante. Daí, temos o seguinte vínculo
holonômico:
Com este vínculo, podemos escrever as equações de transformação
de coordenadas para o centro de massa que são:
Este vínculo também reduz o número de coordenadas
independentes, pois antes se tinha 2, que eram os cartesianos x, y e
agora só tem 1, que é a coordenada generalizada .
Então, através da figura, é fácil ver que:

2. Logo, fazendo as derivadas temporais de e , teremos:
Daí, podemos calcular a energia cinética do sistema como:
Calculando e , temos:
De maneira análoga, temos que:
Assim, concluímos que a energia cinética em coordenadas
generalizadas é:
02. Obtenha as equações de Lagrange para o movimento de um
pêndulo esférico, ou seja, uma massa puntiforme suspendida por
uma barra de massa desprezível.

3. SOLUÇÃO:
Podemos pensar inicialmente
que o pêndulo esférico tem 3
coordenadas independentes,
que são as cartesianas x, y e z.
No entanto, o comprimento da
barra é constante, o que
implica na seguinte equação de
vínculo holonômico:
Dessa forma, o número de
coordenadas generalizadas
será apenas 2, a saber e , como mostra a figura.
Assim, temos as seguintes equações de transformação de
coordenadas:
Fazendo as derivadas temporais, temos:
Então, a energia cinética é calculada da seguinte maneira:
Já a energia potencial é calculada da seguinte maneira:
Assim, temos a seguinte função Lagrangiana:

4. Para obtermos as equações de Lagrange, utilizamos a fórmula
abaixo, para cada coordenada generalizada , onde j=1,2:
Para j = 1, temos = e:
De (1) e (2), temos:
Para j = 2, temos = e:
De (1) e (3), temos:
Assim, as equações de Lagrange são:
03. Duas massas puntiformes e são conectadas por uma corda
através de um buraco em uma mesa lisa, tal que está na

5. superfície da mesa e está suspensa. Assumindo que possa se
mover somente na vertical, quais são as coordenadas generalizadas
do sistema? Escreva as equações de Lagrange para o sistema e, se
possível discuta o significado físico que elas podem ter. Reduza o
problema a uma única equação diferencial de segunda ordem e
obtenha a primeira integral da equação. Qual é o seu significado
físico? (Considere no movimento tal que nem e nem passa
pelo buraco).
SOLUÇÃO:
Como o sistema é composto por duas partículas, teríamos um total
de 6 variáveis independentes para descrevê-lo. No entanto, existem
alguns vínculos. Um deles é que a massa se move somente no
plano da mesa, logo (considerando o plano da mesa como z
= 0). Assim, também podemos descrever a posição de usando
coordenadas polares r, θ. O outro é que só se move no eixo z
(vertical), então e . O último vínculo é que as massas
estão conectadas pela corda, assim temos que que
integrando tem ,
onde k é a constante . Como há 4 equações de
vínculos holonômicos, tem-se apenas duas variáveis independentes,
a saber z e θ. Assim, as coordenadas generalizadas do sistema são z
e θ. Com isso, podemos determinar os vetores posições de e .
Derivando em função do tempo, temos:
Assim, a energia cinética do sistema é:
Já a energia potencial do sistema é:

6. Assim, temos a seguinte função Lagrangiana:
Para obtermos as equações de Lagrange, utilizamos a fórmula
abaixo, para cada coordenada generalizada , onde j=1,2:
Para j = 1, temos = e:
De (1) e (2), temos:
Para j = 2, temos = e:
De (1) e (3), temos:

7. Assim, as equações de Lagrange são:
Analisando as equações (**) e (*), vemos que e que
é igual ao momento angular da
massa na direção . Como sua derivada temporal é igual a zero
(ver equação (**)), temos que o momento angular se conserva, e
disso podemos tirar que à medida que diminui, ou seja, a massa
desce, a velocidade angular de aumenta. De fato, se a
Lagrangiana do sistema independe de alguma coordenada
generalizada, temos da equação (1) que:
E então a grandeza vai se conservar no tempo.
Também da equação (**), podemos tirar que ,
ou seja, , onde . Substituindo na equação
(4), temos:
A equação (5) é a equação diferencial de segunda ordem pedida no
enunciado. Fazendo a primeira integração, temos:

8. Substituindo na equação acima, temos:
O sentido físico é que a energia mecânica se conserva ao longo do
tempo.
04. A partir do Princípio de D’Alembert, mostre que:
SOLUÇÃO:
A partir da equação de movimento temos:

9. Onde é o deslocamento virtual da partícula i.
Como o trabalho virtual das forças de vínculos é zero, temos:
Esse primeiro termo é:
Onde é a força generalizada definida como .
Já no segundo termo, temos:
Como , podemos escrever:
Também, como , temos:

10. Então, podemos concluir que:
Considerando que seja de classe , para que se possa garantir a
igualdade das derivadas parciais de segunda ordem mistas, i.e.,
e , pode-se concluir de (2) e (3) que:
Também, podemos escrever:
Logo, voltando à equação (1), tem-se:

11. De (*) e (**), podemos provar que: