1. Técnica del Valor Presente
Matemática Básica de
Actuaría
Presentación para la clase
MATH 6300 - Actuaría
Dr. Balbino García
Por:
Maritsa Menéndez
Rosa E. Padilla Torres
15 de mayo de 2012

2. Introducción
• Este capítulo trata de la segunda de dos técnicas para el
análisis de planes de pensiones.
• Esta técnica considera un numero de personas aseguradas en
un tiempo determinado y calcula los valores probables actuales
de los salarios asegurados futuros, y de los beneficios de
pensiones pagaderas a los miembros del conjunto y sus
sobrevivientes.
• Esta técnica está especialmente adaptadas a la valoración de
los esquemas de pensiones generalmente financiado en su
totalidad.
• Este no es el caso de los esquemas de fondos parciales de las
pensiones del seguridad social , para lo cual la técnica de
proyección es la técnica de valoración adecuada.

3. • Sin embargo, la técnica del valor presente puede
proporcionar una visión financiera adicional y por lo
tanto puede ser un complemento útil en la técnica de
proyección.
• Las aproximaciones discretas a las funciones de
conmutación continuas se desarrollarán con el fin
de permitir la aplicación práctica de la
teoría.
• Se extenderá a los beneficios de incapacidad y los
beneficios de los sobrevivientes.
• Sin embargo, se pueden adoptar ciertas
simplificaciones. En primer lugar, la variación en el
tiempo de las bases económicas no se tomaran en
consideración.

4. • Sin embargo, se pueden adoptar ciertas
simplificaciones. En primer lugar, la variación en
el tiempo de las bases económicas no se
tomaran en consideración.
• Si se asume que ϒ(t), β(t) y δ(t) son
constantes, que i y j son las tasas de interés,
y se introducen los factores de descuento
correspondiente se obtiene:

5. • Segundo, la densidad de los factores de dc y db se
toman como unidad de todas las edades. Por
último, sólo una edad de jubilación r será
modelada, b es la edad mas joven.
• Las fórmulas de valor presente se desarrollaran
para el caso sencillo donde la pensión (de jubilación
o incapacidad) se acumula en el 1 por ciento de la
salario total por año de servicio.
• La pensión para los viudos/as se denota por
la proporción RWP de la pensión actual o la
pensión potencial de la persona fallecida, y cada
pensión de orfandad se denota por la proporción de
ROP de la pensión del difunto.

6. Función de conmutación especial
• Una serie de funciones especiales de
conmutación a base de genero son necesarias
para aplicar la técnica del valor presente.
• Las funciones basadas en una tabla de servicio
activo se calcularán a una tasa de interés i,
mientras que los basados ​en las otras
tablas se calculan a una tasa j.
• Funciones basadas en la tabla de servicio activo
(b ≤ x ≤ r)

7. • Funciones basadas • Funciones basadas
en la tabla de servicio en la tabla de vida de
activo (b ≤ x ≤ r). los incapacitados
(b ≤ x < w).

8. • Funciones basadas en la
tabla de la • Funciones basadas
disminución doble para las en la tabla de servicio
viudas o viudos
(y * ≤ y < w). activo y la tabla de
incapacidad
(b ≤ x < r).
•

9. • Funciones basadas • Funciones basadas en la
en la tabla de servicio tabla de servicio activo, la
activo y la tabla tabla de incapacidad y la
de disminución de tabla de disminución doble
viudas o viudos para viudas o viudos
(b ≤ x <r). (b ≤ x <R).

10. • Funciones basadas • Las conmutaciones ya
mencionadas y las
en la tabla de funciones de
vida para los jubilados anualidades se refieren a
salarios y pensiones a
(r ≤ x <w) . pagar de forma continua
y es adecuada si los
pagos se hacen con
frecuencia, por
ejemplo semanal.
• Ellos pueden ser
ajustados con mayor
exactitud a cualquier plan
de pago específico.

11. Expresiones para los posibles valores actuales
de salarios y beneficios asegurados
• Las expresiones siguientes se refieren a un grupo de
sexo determinado, con edad x en la fecha de
evaluación y se refieren a una unidad de salario
asegurado en esa fecha. Las expresiones para
huérfanos no están indicados, pero se pueden
derivar de las mismas forma que para las viudas o
viudos.
• Valor presente para salarios asegurados (b ≤ x < r).

12. • Valor presente para pensiones de retiro
donde p(r, x) denota la pensión de retiro de ese grupo por
edad x como una proporción del salario final.
• Valor presente de pensiones por incapacidad (b ≤ x < r)
donde p(t, x) denota la pensión por incapacidad como una
proporción del salario para una persona x si la incapacidad
es adquirida en la edad (t, t+1).

13. • Valor presente de las pensiones de las viudas /
viudos
(b ≤ x <r)
• Valor presente de las pensiones de las viudas /
viudos (la muerte después de la incapacidad)
(b ≤ x <r)

14. Desarrollo de expresiones para una
fórmula simple de pensión
• Se ilustra a continuación una fórmula simple cuando la
pensión acumula el 1% del sueldo total por
año. Si ps (x) denota el pasado servicio en la fecha
de evaluación,
donde

15. donde
donde

16. Cálculo de la prima promedio
• La aplicación del método del valor presente se
ilustra en esta sección para calcular el promedio
de las primas de la API y AP2 respectivamente
para la primera población, los nuevos entrantes,
la prima promedio general, GAP y por un nuevo
régimen de pensiones.
• Para simplificar sólo se considera un sexo.
• Se debe entender que en la práctica, los
resultados para los machos y hembras tienen
que ser combinados.

17. • Suponer que Ac(x, 0) denota la población de la
edad inicial x en la fecha de evaluación y s(x, 0) el
promedio del salario asegurado de esta población.
• Además, pr(x) denota la proporción de los
nuevos entrantes a la edad x, suponiendo que es
el mismo para todas las generaciones de nuevos
entrantes y na(t) el número de nuevos ingresos en
el año t (t - l, t), y se asume que comienza a mitad
de año.
• Sea sn(x) el promedio del salario asegurado de una
generación estándar de los nuevos entrantes que
entran en la fecha de evaluación.

18. • Las primas promedio de la población inicial y nuevos
entrantes esta dada por lo siguiente:
• Si las expresiones anteriores se abrevian como
y
• La prima promedio general esta dada por
donde k esta dada por

19. Apéndice I
Matemática Actuarial Básica

20. Introducción
• La actividad aseguradora está difundida en el
mundo entero, son de uso corriente los seguros
de automóviles, incendios, robos, vida, etc.
• Esta actividad responde a la incertidumbre que
sienten los individuos ante ciertas situaciones
que pueden provocar distintos daños, tanto
materiales como personales.

21. Introducción
• El miedo a la posibilidad de que ocurran dichos
acontecimientos se intenta eliminar mediante la
compra de un seguro que compensará al
asegurado en el caso de producirse algún daño.
• La base de esta actividad radica en la existencia
de un equilibrio entre la prestación que hará la
compañía de seguros y la contraprestación que
ella recibe del asegurado.

22. Antecedentes históricos
• En sus comienzos, el seguro era una forma de
solidaridad entre los miembros de una
comunidad.
• Consistía en un fondo o bolsa en la que todas
las personas depositaban parte de su dinero.
• Con el capital que acumulaban entre todos, se
pagaban los daños que sufrían algunos de ellos.

23. Antecedentes históricos
• La Ciencia Actuarial tal como hoy se concibe
comienza en el siglo XVII.
• Durante este periodo las necesidades
comerciales dieron lugar a operaciones que
acarreaban un interés compuesto, los seguros
marítimos eran algo habitual y el álgebra de las
rentas vitalicias comenzaba su andadura.

24. Antecedentes históricos
• Las primeras tablas son debidas a John
Graunt (1662).

25. Antecedentes históricos
• En 1693 Edmund Halley, matemático ingles,
publicó un famoso documento describiendo la
construcción de tablas de vida completas a
partir de la hipótesis de estacionariedad de la
población, así como el método de valoración
de las rentas vitalicias, que es en esencia el
mismo que se utiliza hoy en día.

26. Antecedentes históricos
• Las tablas de Halley se utilizaron por la mayoría
de las compañías de seguros inglesas creadas
durante el siglo XVIII.

27. Interés compuesto

28. Interés compuesto
• El interés puede ser considerado como
la recompensa pagada por un prestatario por el
uso de un activo, que se refiere
como el capital o principal, que pertenece a la
entidad crediticia.
• Se supone que tanto el capital e interés se
miden en unidades de una moneda
determinada.
• El interés puede ser simple o compuesto.

29. Interés simple
• Si un capital de unidades de C se presta a un
interés simple en la tasa de i por año para n
años, la suma acumulada al final del
período está dada por:
AS C 1 ni

30. Interés compuesto
• Si, por otro lado, la suma es colocada a interés
compuesto, la suma acumulada está dada por:
n
AS C1 i
• En el concepto de interés compuesto subyace el
avalúo y evaluación de inversiones.

31. Interés compuesto
• Es basado en periodos anuales.
• La relación entre e i se expresa como:
log e 1 i e 1 i

32. Interés compuesto
• El símbolo v a menudo es utilizado para
denotar el recíproco de 1+i; así:
1
v e
1 i
• Al final del periodo, tenemos:
n n n
PV k1 i kv ke

33. Interés compuesto
• Valor probable presente:
n
PPV pke

34. Anualidades financieras

35. Anualidades financieras
• Anualidad financiera: cantidad de dinero que
es pagadera al inicio de cada ano por un
término de n años.
• Valor presente de la anualidad:
1 vn

an 1 v v 2 ... v n 1
1 v
• Anualidad de vida:
an 
van

36. Anualidades financieras
• Valor acumulado de una anualidad: suma de
los valores acumulados de los pagos
individuales.
• Valor acumulado de anualidad inmediata:
n 1 n 2 n
Sn 1 i 1 i ... 1 i 1 i an

37. Anualidades financieras
• Anualidades pagada en m cuotas de forma
homogénea:
( m) i
a ( m)
an
n
i
( m) ( m) i

a a an
n n
m
• donde ( m) 1
i m1 i m
1

38. Anualidades financieras
• Valores actuales correspondientes a los
valores acumulados:
n n
1 e e 1
an Sn

39. Tablas de vida
• Tablas de vida: mecanismo para la exposición
sobre la mortalidad humana.
• Está representada por la función l x indicando
los sobrevivientes a una edad exacta x .
• Está sujeta a reducción única, la muerte.
• El alcance de x es (0, ).
• Función auxiliar:
dx lx lx 1

40. Tablas de vida
• Taza de mortalidad central a una edad x mx
• Taza de mortalidad de la taza de vida qx
• Probabilidad de que una persona muera dentro
de un periodo de un año:
2d x dx 2mx
mx qx
lx lx 1 lx 2 mx

41. Tablas de vida
• Complemento de taza de mortalidad de la tabla
de vida:
lx
px 1 qx
lx 1
• Representa la probabilidad para que una
persona de edad x sobreviva a una edad x+1.

42. Tablas de vida
• Fuerza de mortalidad a cualquier edad:
l dlx
x
lx d x

43. Tablas de vida
• Fuerza de mortalidad a la edad x+0.5:
qx
x 0 .5
1 0.5q x

44. Tablas de vida
• Promedio de la vida futura:
lx lx ... 0 1
ex 1 2 ex l y dy
lx lx x
• La expectativa completa es aproximada por:
0
ex ex 0.5

45. Funciones elementales de
conmutación
• Son derivadas mediante la combinación
de funciones de tablas de vida con las de
interés compuesto.
• Son utilizadas para el cálculo de
anualidades de vida y funciones de
seguros.

46. Funciones elementales de
conmutación
• Funciones de conmutación de nivel 1 (0 ≤ x < ω):
x x 1
Dx lxv Cx d xv
• Funciones de conmutación de nivel 2:
Nx Dy Mx Cy
y x y x
• Funciones de conmutación de nivel 3
– Sx y Rx se obtienen a través de la realización de
sumas similares a las del segundo nivel.

47. Anualidades de vida y
seguros

48. Anualidades de vida y seguros
• Anualidad de vida debida: serie de pagos de
una unidad al inicio de cada año, pagable
siempre y cuando a una edad x está vivo.
• Valor probable de anualidad:
Nx

ax
Dx
• Anualidad de vida inmediata:
Nx 1
ax
Dx

49. Anualidades de vida y seguros
• Anualidad de vida pagadera o de inmediato:
( m) m 1

ax

ax
2m
( m) m 1
a x ax
2m

50. Anualidades de vida y seguros
• Anualidad de vida continua probable:
Nx
ax
dx
• Donde:
Nx Nx 1
Nx
2

51. Anualidades de vida y seguros
• Anualidad de vida temporal:
Nx Nx

a x:n n
Dx
( m) m 1 Dx n

a 
a 1
x::n x::n
2m Dx

52. Anualidades de vida y seguros
• Anualidad de vida conjunta:
lx t l y t t
axy v
t lx l y

53. Anualidades de vida y seguros
• Anualidad final de sobreviviente:
ax / y a y a xy

54. Anualidades de vida y seguros
• Seguro de vida entera:
Mx
Ax
Dx

55. Anualidades de vida y seguros
• Seguro de capital:
Mx Mx n Dx n
Ax:n|
Dx Dx

56. Anualidades de vida y seguros
• Seguro de investidura:
Mx Mx 1
Mx
2

57. Tablas de disminución múltiple

58. Tabla de disminunción múltiple
• Es similar a la tabla de vida.
• Su diferencia es que se encuentra más de una
disminunción para ser considerados.
• Existen tazas dependientes e independientes.

59. Tabla de disminunción múltiple
• Tazas independientes:
– Se aplican cuando una disminución actúa por sí sola.
• Tazas dependientes:
– Usada en casos donde la disminución ocurre con una
o más disminuciones.
• Doble disminución:
– Se generalizan a tres decrementos.

60. Tabla de disminunción múltiple
• Tazas dependientes:
– Sea lx el número de sobrevivientes a una edad x en
la tabla de disminución doble.
– Tazas dependientes correspondientes a la
disminución: * *
x x
– Tazas independientes correspondientes: x x
– Tazas dependientes en términos de tazas
dependientes:
* *
x x 1 2
x
x x 1 x
2

61. Tabla de disminunción múltiple
• Funciones auxiliares
* *
dx l x x dx l x x
lx 1 lx dx dx
* *
lx 1 l x (1 x x ) l x (1 x )(1 x )

62. Tabla de disminunción múltiple
• Funciones auxiliares
* x x x x
x x 1
2 3
* * *
lx 1 l x (1 x x x ) l x (1 x )(1 x )(1 x )

63. Tabla de disminunción múltiple
• Tabla de servicio activo
a a
l x
l x
b x r
qx ix

64. http://rosaepadilla.blogspot.com
Gracias por su atención

65. Referencias
• http://antropicos.blogspot.com/2012/04/azarquiel
-el-gran-astronomo-de-al.html
• http://sph.bu.edu/otlt/lamorte/EP713/Web_Page
s/EP713_History/EP713_History4.html
• http://www.ilo.org/gimi/gess/RessShowRessourc
e.do?ressourceId=778
• Actuarial mathematics of social security
pensions