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Repaso para el examen final de actuaría
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  • 1. REPASO PARA EL EXAMEN FINAL DE ACTUARÍA MAYO 20121) Repasen los problemas de interés simple y compuesto 1) Usted deposita $25, 000 al 4 % durante 6 años. ¿Cuál es el interés obtenido? I=P×r×n 25000*0.04*6 6000. I = $6, 000 2) Usted deposita $60, 000 a una tasa de interés r durante 5 años y obtiene un interés de $6, 500. ¿Cuál es el r? r = I / (P×n) 6500/(60000×5)//N 0.0216667 r = 2.17 % 3) Usted deposita un patrimonio P al 11 % de interés durante 7 años y obtiene un interés de $5, 000. ¿Cuál es P? P = I / (r×n) 5000/(0.11×7) 6493.51 P = $6,493.51 4) Usted deposita $100, 000 al 4.25 % y obtiene $18, 000. ¿Cuánto tiempo dejó invertido el dinero? n = I / (P×r) 18000/(100000×0.0425) 4.23529 n = 4.24 años 5) Cuando usted nació, un tío suyo depositó $100, 000 en una cuenta de banco que paga el 5 % de interés compuesto anualmente. Encuentre el patrimonio final si usted retira el dinero a: a) 18 años $240,662.00 b) 36 años $579,182.00 1
  • 2. c) 65 años $2,383,990.00 d) 99 años $12,523,900 P = P0×(1+r)n P[d_,r_,n_] = d × (1+r)n d (1+r)n P[100000,0.05,18] 240662. P[100000,0.05,36] 579182. P[100000,0.05,65] 2.38399×106 P[100000,0.05,99] 1.25239×1072) Sea a) Encuentre u’, u’’ b) Haga las gráficas de u’, u’’ 2
  • 3. 3
  • 4. c) Compruebe que u’ > 0, u’’ < 0 4
  • 5. 3) Sea S(x) la distribución de vida de Weibull con parámetro de forma r > 0 parámetro deescala λCon r = 5, λ = 2Haga a) Gráfica de S(x) S(x) 1.2 1 0.8 0.6 S(x) 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 -0.2 b) Fórmula de μ(x) y la gráfica 5
  • 6. u(x) 180 160 140 120 100 80 u(x) 60 40 20 0 -20 0 0.5 1 1.5 2 2.54) Sea y una perdida aleatoria con fdP.Suponga que la función de utilidad usada en la toma de decisiones esSuponga que w = 5. ¿Cuál es el máximo que se pagaría por un seguro contra y?Sea Y una pérdida aleatoria con f.d.p 6
  • 7. o w>0 o f(w) = wr 0 < r < 1 o o o o o o o o o5) Verifique que la función de utilidad cuadrática corresponde a un individuo adverso alriesgo.Nota: 7
  • 8. x = 5, u 8
  • 9. 6) Consider a 1 year term life insurance paying $75,000 if death is accidental, otherwise thebenefit will be $30,000. Let suppose that the probability of an accidental death within ayear is 0.0003 and the probability of non accidental death is 0.0031. Find out thedistribution of B given I=1. o Pr(I = 1 and B = 75,000)= 0.0003 o Pr(I = 1 and B = 30,000)= 0.0031 o Pr( I=1) = 0.0003 + 0.0031 = 0.0034 o Pr(B = 30,000 | I=1)= o Pr(B = 75,000 | I=1)=7) La tabla siguiente indica las ventas en ciertos días del año en miles de dólaresEstime las ventas en los días 59, 225, 322, 365.Aplicaciones:Días Vol. Ventas (miles)1 1515 12.529 1057 18.23111 35215 42.23283 41315 31.62345 22351 21.28 9
  • 10. X = 59La línea que pasa por (57,18.23) y (111,35) a) b) Usamos: y – y0 = m(x – x0)(x0,y0) = (57,18.23)Fórmula:En X = 59, se vendió 18.85X = 225La línea que pasa por (215,45.23) y (283,41) a) b) Usamos: y – y0 = m(x – x0)(x0,y0) = (215,45.23)Fórmula: En X = 225, se vendió 44.61X = 322La línea que pasa por (315,31.62) y (345,22) a) b) Usamos: y – y0 = m(x – x0)(x0,y0) = (315,31.62) 10
  • 11. Fórmula: En x = 322, se vendió 29.38X = 365La línea que pasa por (345,22) y (351, 21.28) a) b) Usamos: y – y0 = m(x – x0)(x0,y0) = (345,22)En X = 365, se vendió 19.68) Para la tabla X Y 8 5 13 6 14 -5 19 2 23 22Encuentre los polinomios de interpolación pedidos. Orden = 1, 2, 3, 4 11
  • 12. 252015 y = 0.976x - 9.0310 Series1 5 Linear (Series1) 0 0 5 10 15 20 25 -5-10 25 20 y = 0.2478x2 - 6.7751x + 44.966 15 10 Series1 5 Poly. (Series1) 0 0 5 10 15 20 25 -5-10 25 y = 0.0318x3 - 1.2096x2 + 13.91x - 44.88 20 15 10 Series1 5 Poly. (Series1) 0 0 5 10 15 20 25 -5-10 12
  • 13. 40 30 y = -0.0349x4 + 2.2448x3 - 51.533x2 + 496.89x - 20 1678.2 Series1 10 Poly. (Series1) 0 0 5 10 15 20 25 -10 -20Suponga que an está definido por la formula que aparece abajo. Escriba los primeros 100 términos yhaga la grafica (a) usando Excel (b) usando R: (1) (2)Usando Exceln an (1) an (2) 1 0.5 2 2 0.4 1.106682 2.5 3 0.3 1.032481 4 0.235294 1.014044 2 5 0.192308 1.00732 6 0.162162 1.004291 1.5 7 0.14 1.002729 an (1) 8 0.123077 1.001842 1 an (2) 9 0.109756 1.001302 10 0.09901 1.000954 0.5 11 0.090164 1.000719 12 0.082759 1.000556 0 13 0.076471 1.000439 14 0.071066 1.000352 15 0.066372 1.000287 16 0.062257 1.000237 13
  • 14. 17 0.058621 1.00019818 0.055385 1.00016719 0.052486 1.00014220 0.049875 1.00012221 0.047511 1.00010522 0.045361 1.00009223 0.043396 1.0000824 0.041594 1.00007125 0.039936 1.00006326 0.038405 1.00005627 0.036986 1.0000528 0.035669 1.00004529 0.034442 1.0000430 0.033296 1.00003631 0.032225 1.00003332 0.03122 1.0000333 0.030275 1.00002734 0.029386 1.00002535 0.028548 1.00002336 0.027756 1.00002137 0.027007 1.00001938 0.026298 1.00001839 0.025624 1.00001740 0.024984 1.00001541 0.024376 1.00001442 0.023796 1.00001343 0.023243 1.00001244 0.022716 1.00001245 0.022211 1.00001146 0.021729 1.0000147 0.021267 1.0000148 0.020824 1.00000949 0.0204 1.00000850 0.019992 1.00000851 0.0196 1.00000752 0.019224 1.00000753 0.018861 1.00000754 0.018512 1.00000655 0.018176 1.00000656 0.017851 1.00000657 0.017538 1.000005 14
  • 15. 58 0.017236 1.00000559 0.016944 1.00000560 0.016662 1.00000561 0.016389 1.00000462 0.016125 1.00000463 0.015869 1.00000464 0.015621 1.00000465 0.015381 1.00000466 0.015148 1.00000367 0.014922 1.00000368 0.014703 1.00000369 0.01449 1.00000370 0.014283 1.00000371 0.014082 1.00000372 0.013886 1.00000373 0.013696 1.00000374 0.013511 1.00000275 0.013331 1.00000276 0.013156 1.00000277 0.012985 1.00000278 0.012818 1.00000279 0.012656 1.00000280 0.012498 1.00000281 0.012344 1.00000282 0.012193 1.00000283 0.012046 1.00000284 0.011903 1.00000285 0.011763 1.00000286 0.011626 1.00000287 0.011493 1.00000288 0.011362 1.00000189 0.011235 1.00000190 0.01111 1.00000191 0.010988 1.00000192 0.010868 1.00000193 0.010751 1.00000194 0.010637 1.00000195 0.010525 1.00000196 0.010416 1.00000197 0.010308 1.00000198 0.010203 1.000001 15
  • 16. 99 0.0101 1.000001100 0.009999 1.000001Usando RAn(1)> for(i in 1:100){print(i/(1+i^2))}[1] 0.5[1] 0.4[1] 0.3[1] 0.2352941[1] 0.1923077[1] 0.1621622[1] 0.14[1] 0.1230769[1] 0.1097561[1] 0.0990099[1] 0.09016393[1] 0.08275862[1] 0.07647059[1] 0.07106599[1] 0.06637168[1] 0.06225681[1] 0.05862069[1] 0.05538462[1] 0.05248619[1] 0.04987531[1] 0.04751131[1] 0.04536082[1] 0.04339623[1] 0.04159445[1] 0.0399361[1] 0.03840473[1] 0.0369863[1] 0.03566879[1] 0.03444181[1] 0.03329634[1] 0.03222453[1] 0.03121951[1] 0.03027523[1] 0.02938634[1] 0.02854812[1] 0.02775636[1] 0.0270073[1] 0.02629758[1] 0.02562418[1] 0.02498438 16
  • 17. [1] 0.02437574[1] 0.02379603[1] 0.02324324[1] 0.02271554[1] 0.02221125[1] 0.02172886[1] 0.02126697[1] 0.0208243[1] 0.02039967[1] 0.019992[1] 0.01960031[1] 0.01922366[1] 0.01886121[1] 0.01851217[1] 0.01817581[1] 0.01785145[1] 0.01753846[1] 0.01723626[1] 0.01694428[1] 0.01666204[1] 0.01638904[1] 0.01612484[1] 0.01586902[1] 0.01562119[1] 0.01538097[1] 0.01514804[1] 0.01492205[1] 0.0147027[1] 0.01448971[1] 0.0142828[1] 0.01408171[1] 0.01388621[1] 0.01369606[1] 0.01351105[1] 0.01333096[1] 0.01315562[1] 0.01298482[1] 0.01281841[1] 0.0126562[1] 0.01249805[1] 0.0123438[1] 0.01219331[1] 0.01204644[1] 0.01190307[1] 0.01176308[1] 0.01162634[1] 0.01149273[1] 0.01136217 17
  • 18. [1] 0.01123454[1] 0.01110974[1] 0.01098768[1] 0.01086828[1] 0.01075145[1] 0.01063709[1] 0.01052515[1] 0.01041554[1] 0.01030818[1] 0.01020302[1] 0.01009998[1] 0.009999An(2)> for(a in 1:100){print((1+1/a)^(1/a^2))}[1] 2[1] 1.106682[1] 1.032481[1] 1.014044[1] 1.00732[1] 1.004291[1] 1.002729[1] 1.001842[1] 1.001302[1] 1.000954[1] 1.000719[1] 1.000556[1] 1.000439[1] 1.000352[1] 1.000287[1] 1.000237[1] 1.000198[1] 1.000167[1] 1.000142[1] 1.000122[1] 1.000105[1] 1.000092[1] 1.00008[1] 1.000071[1] 1.000063[1] 1.000056[1] 1.00005[1] 1.000045[1] 1.00004[1] 1.000036[1] 1.000033 18
  • 19. [1] 1.00003[1] 1.000027[1] 1.000025[1] 1.000023[1] 1.000021[1] 1.000019[1] 1.000018[1] 1.000017[1] 1.000015[1] 1.000014[1] 1.000013[1] 1.000012[1] 1.000012[1] 1.000011[1] 1.00001[1] 1.00001[1] 1.000009[1] 1.000008[1] 1.000008[1] 1.000007[1] 1.000007[1] 1.000007[1] 1.000006[1] 1.000006[1] 1.000006[1] 1.000005[1] 1.000005[1] 1.000005[1] 1.000005[1] 1.000004[1] 1.000004[1] 1.000004[1] 1.000004[1] 1.000004[1] 1.000003[1] 1.000003[1] 1.000003[1] 1.000003[1] 1.000003[1] 1.000003[1] 1.000003[1] 1.000003[1] 1.000002[1] 1.000002[1] 1.000002[1] 1.000002[1] 1.000002 19
  • 20. [1] 1.000002[1] 1.000002[1] 1.000002[1] 1.000002[1] 1.000002[1] 1.000002[1] 1.000002[1] 1.000002[1] 1.000002[1] 1.000001[1] 1.000001[1] 1.000001[1] 1.000001[1] 1.000001[1] 1.000001[1] 1.000001[1] 1.000001[1] 1.000001[1] 1.000001[1] 1.000001[1] 1.000001[1] 1.000001Gráficas de línea:plot(a1, type="l", col="blue",ylim=c(0,2))lines(a2, type="l", lty=2, col="red")Gráficas de puntos:plot(a1, type="l", col="blue",ylim=c(0,2))lines(a2, type="l", lty=2, col="red")x<-1:100y<-(1+(1/x))^(1/(x)^2)plot(x,y)plot(x,y,type="l")plot(x,y,type="b") 20
  • 21. 9) Usando inducción matemática, compruebe que: a) b) c)Solución: a) 1. ¿Se cumple para n=1? 1(1+1) = 1(2) =2 sí!!! 2. Si se cumple para n, ¿se cumple para n+1? b) 1. ¿Se cumple para n=1? sí!!! 2. Si se cumple para n, ¿se cumple para n+1? 21
  • 22. c) 1. ¿Se cumple para n=0? 2. Si se cumple para n, ¿se cumple para n+1?10) Mencione 2 paquetes de R usados en actuaría. Explique sus características técnicas y susaplicaciones (por lo menos media página para cada uno)Paquetes de contingencias de vida – paquete para llevar a cabo las matemáticas actuariales enlas contingencias de la vida y los cálculos de matemáticas financieras.Este paquete y las funciones de este documento se proporcionan tal cual, sin ningún tipo degarantía respecto a la exactitud de los cálculos. El autor se exime de cualquier responsabilidadque surja por las eventuales pérdidas debido a la utilización directa o indirecta de este paquete.Ejemplos:##financial mathematics example#calculates monthly installment of a loan of 100,000,#interest rate 0.05i=0.05monthlyInt=(1+i)^(1/12)-1Capital=100000 22
  • 23. #Montly installmentR=1/12*Capital/annuity(i=i, n=10,k=12, type = "immediate")Rbalance=numeric(10*12+1)capitals=numeric(10*12+1)interests=numeric(10*12+1)balance[1]=Capitalinterests[1]=0capitals[1]=0for(i in (2:121)) {balance[i]=balance[i-1]*(1+monthlyInt)-Rinterests[i]=balance[i-1]*monthlyIntcapitals[i]=R-interests[i]}loanSummary=data.frame(rate=c(0, rep(R,10*12)),balance, interests, capitals)head(loanSummary)tail(loanSummary)##actuarial mathematics example#APV of an annuitydata(soaLt)soa08Act=with(soaLt, new("actuarialtable",interest=0.06,x=x,lx=Ix,name="SOA2008"))#evaluate and life-long annuity for an aged 65axn(soa08Act, x=65)Valor acumulativo – Esta función devuelve el valor en el instante n de una serie de pagosequidistante de 1.Uso:accumulatedValue(i, n,m=0, k,type = "immediate")Argumento:i Tasa de interés efectiva expresado en forma decimal.n Numero de termino de pagos.M Período diferido, donde el valor es cero.k Frecuencia de pago.tipo De inmediato o termino de cancelación.El valor acumulado es el valor futuro de los términos de una anualidad. Su expresiónmatemática esSn = (1+i)n an 23
  • 24. Valor: Un valor numérico que representa el valor calculado acumulado.Advertencias:La proporción tal cual, sin ninguna garantía con respecto a la exactitud del cálculo.Renunciamos a cualquier responsabilidad por las eventuales pérdidas derivadas del uso directoo indirecto del software.Ejemplo:#A man wants to save 100,000 to pay for his sons#education in 10 years time. An education fund requires the investors to#deposit equal installments annually at the end of each year. If interest of#0.075 is paid, how much does the man need to save each year in order to#meet his target?R=100000/accumulatedValue(i=0.075,n=10) 24
  • 25. 11) Mencione algunos de los modelos actuariales utilizados en seguridad social (por lo menos mediapágina)Los Modelos son de dos tipos principales: estocásticos y deterministas. La aproximación clásicaactuarial basada en valores esperados (aproximación determinista) es la usada al trabajar con elSeguro Social. Esto significa que, dados los parámetros de fondo, el resultado en términos defunciones actuariales es tomado como únicamente determinado. En un modelo determinista, laspruebas de sensitividad son las únicas medias de estimar un rango de resultados realistas. Pero lanaturaleza estocástica subyacente de las funciones puede ser apreciada.Bajo la aproximación estocástica el valor resultante de una función actuarial es usado solo como elpromedio o valor esperado del resultado. Un modelo estocástico es un modelo matemático en elcual la representación de un fenómeno dado es expresada en términos de probabilidades. El modeloestocástico es usado para derivar un estimado del valor esperado de una variable aleatoria y unintervalo de confianza para esta variable. La salida de un modelo estocástico de este modo incluyeun rango amplio de posibles resultados, de los cuales es asociado con la probabilidad de ocurrencia.Los métodos estocásticos han sido ampliamente aplicados en seguros de vida y generales, pero hanvisto solo una aplicación limitada en el campo de pensiones, específicamente con el Seguro Social.El modelo determinista, por otro lado, es basado en un conjunto dado de datos y suposiciones yproduce un conjunto de salidas. Un modelo determinista es una simplificación del modeloestocástico en el cual la proporción de ocurrencias de un evento dado estimado por el modeloestocástico es asumido de que ocurra con probabilidad de uno. a) métodos actuariales de primas de finanzas b) métodos actuariales de sistemas de retiro c) métodos actuariales de supervivencia y mortalidad d) métodos actuariales en sistemas de financiamiento e) métodos actuariales en seguro social de Estados Unidos f) métodos actuariales de Seguro temporal. g) métodos actuariales de Seguro por incapacidad. h) Métodos actuariales de seguros de vida i) métodos actuariales en accidentes laborales. j) Métodos actuariales en orfandad k) Métodos actuariales por enfermedad l) Métodos actuariales por desempleo m) Métodos actuariales por maternidad n) Métodos actuariales de paquetes de salud o) Métodos actuariales de beneficios de reemplazo de salario poen caso de enfermedad o accidente 25
  • 26. A. lifecontingenciesEl análisis de los seguros de vida envuelve calcular estadísticas relacionadas alflujo de dinero. Por ejemplo, las primas de las pólizas de seguros es un análisisde un flujo de dinero cuya probabilidad está basada en la contingencia de vidadel asegurado. Una tabla de vida o tabla de mortalidad es una tabla que muestracomo la mortalidad afecta un sujeto de un cohorte a través de diferentesedades. Utilizando una perspectiva estadística una tabla de vida permite quela distribución de probabilidad del futuro de vida de un sujeto de edad x, sepueda deducir.La librería “lifecontingencies” permite realizar cálculos demográficos, financierosy actuariales para modelar seguros de vida de contingencias. Sus funciones soncapaces de determinar el valor esperado y la distribución aleatoria de beneficiosasegurados. Por lo tanto puede ser utilizado para determinar el precio denuevas pólizas y para determinar el capital necesario basado en el riesgo. Unafunción de la librería es la habilidad de generar muestras de tablas de vida y dedistribuciones aleatorias de seguros de vida.Dos limitaciones de la librería son que solamente puede manejar tablas de vida endecrementos sencillos y que no puede modelar contingencias de vida en tiempocontinuo. La certeza de los cálculos realizados por la librería han sido verificadoscon ejemplos numéricos del texto "Actuarial Mathematics Schaumbrg" y sehan encontrado exactos con la excepción del cálculo de las anualidades de pagofraccionadas.Hasta marzo de 2012, la librería lifecontingencies es la primera dentro de Rpara manejar la evaluación de seguros de vida. Esta librería es una alternativaa los programas comerciales Moses y Prophet que son hasta el momento losmás utilizados en la construcción de modelos de seguros de vida. La libreríalifecontingencies fue creada y es mantenida por Giorgio A. Spedicato, asesorfinanciero. B. 2 actuarLa librería actuar es una que contiene funciones de Matemática Actuarial. Lalibrería fue creada en 2005 por Vincent Goulet, profesor de ciencias actuarialesde la Universidad de Laval de Canadá. La librería contiene funciones parautilizar en los campos de teoría de riesgo, distribución de pérdida y teoría decredibilidad.En el campo de distribuciones de pérdida la librería tiene capacidad para: momentospuros y limitados, data de grupos, estimados de distancia mínima, modificacionesde cobertura(deducibles, limites, inflación, coseguros). La libreríaprovee funciones d, p, q, y r (densidad, distribución, cuantila y aleatoriarespectivamente) para leyes de probabilidad útiles en la construcción de modelos deseveridad de pérdida. 26
  • 27. La versión actual de actuar 1.1-3 puede calcular solo un problema de teoríade riesgo: el cálculo de la distribución del conjunto de total de reclamacionesde un portafolio de seguros utilizando el modelo clásico colectivo de teoría deriesgo. La librería ofrece cinco distintos métodos de aproximación de la distribucióny cuatro técnicas distintas para discretizar una variable de pérdida continua.La capacidad de actuar para teoría de credibilidad consiste de un conjunto dedatos y tres funciones principales. El conjunto de datos es el de Hachemeister(1975). El conjunto de datos Hachemeister consiste del promedio de reclamacionesen seguros de automóviles en cinco estas de Estados Unidos entre Juliode 1970 y junio de 1973 con el número de reclamaciones correspondiente. Lasfunciones principales son: simpf para simular data de modelos jerárquicos compuestos,cm para ajustar modelos de credibilidad jerárquicos lineales, bstraub unversión más rápida y simple de la función cm para ajustar modelos Buhlmanny Buhlmann-Straub.En versiones futuras de actuar se tiene planeado mejorar la velocidad de ejecuciónde la librería, y añadir funciones mas avanzadas como capacidad paratrabajar con modelos de dependencia en teoría de riesgo y regresión de modelosde credibilidad. 27