Ensayo circunferencia
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Ensayo circunferencia Ensayo circunferencia Document Transcript

  • RUBEN BLANCAS RIVERALA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO DE VISTA ANÁLITICOFACULTAD DE CIENCIAS FISICO-MATEMÁTICAS BUAP FECHA: 30 DE NOVIEMBRE 20121
  • Índice1. Definición………………………………………………………………………..32. Ecuación canoníca …………………………………………………………….43. Ecuación general……………………………………………………………….64. Trasformación de la forma general a la forma canoníca…………………...65. La circunferencia como cónica………………………………………………..86. Algunas aplicaciones de la circunferencia………………………………….9 2
  • INTRODUCCIÓNDespués de la recta, la línea más familiar es la circunferencia, ya que desde losinicios conocemos sus propiedades, pero es hasta el nivel bachillerato cuando elalumno la ve desde un punto de vista analítico. El objetivo de este ensayo esmostrar el punto de vista analítico que tiene la circunferencia. Este ensayocomenzaremos por darle la definición apropiada a la circunferencia, despuésobtenemos una de las formas más simples de representar analíticamente a lacircunferencia, para seguir con su ecuación cartesiana o general de este lugargeométrico, luego veremos algunas observaciones sobre la circunferencia, asíconcluiremos algunas aplicaciones y un ejercicio.Este ensayo queda dirigido específicamente a los estudiantes de bachillerato, quellevan su curso de geometría analítica. DEFINICIÓNVeamos las siguientes definiciones:Wooton, W. Beckenbach E. & Fleming, L. (1985) “define a la circunferenciacomo el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal maneraque se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano”Lehman C. (1980) “la definen como el lugar geométrico (conjunto) de todos lospuntos del plano que están a una distancia dada (radio) de un punto dado (centro).Al segmento cuyos extremos son el centro der círculo y aun punto de lacircunferencia se llama segmento radial”Así citando estas definiciones podemos crear una en base a estas y es lasiguiente:La circunferencia es el lugar geométrico, de todos los puntos del plano donde ladistancia con respecto a un solo punto llamado centro es siempre constante. ECUACIÓN CANONICAEl tipo más simple de ecuación ordinaria de una curva se denominafrecuentemente, forma canónica, donde la ecuación ordinaria de una curva es la 3
  • forma que nos permite obtener más rápida y fácilmente sus característicasimportantes.A continuación vamos a mostrar cómo se obtiene la ecuación canónica de lacircunferencia, esta ecuación se obtiene en base a la definición de este lugargeométrico ya dado. Mediante algunos pasos sencillos de algebra elemental yconociendo la definición de distancia entre dos puntos del plano podemos llegar alobjetivo de sección. FIGURA 1.1Sea cualquier punto de la circunferencia, o un punto genérico de ese lugar geométrico, y Denotaremos a la distancia de P a C como Luego, pongamos , o bien si tenemos (Definición de distancia)Así como ambos lados de la ecuación son positivos, podemos obtener el cuadrado de la ecuación anterior y asi obtener lo siguiente: 4
  • A esta ecuación se le llama, ecuación canoníca de la circunferencia.Luego si el centro de la circunferencia es el origen, o sea , la ecuacióncanoníca se reduce al siguiente término: EJEMPLO 1.1Halla la ecuación canónica de la circunferencia con centro y radio .Solución: Note usted que un punto (x,y) del plano se encuentra en la circunferencia dada, si ysólo si : (1)Así usando la definición de distancia entre dos puntos del plano obtenemos la siguiente ecuación: (2) (3) (4)Así de la ecuación 1, tenemos que: (5)Note que ambos miembros de la ecuación son únicos así al tomar el cuadrado de ambos seobtiene: (6)Así la ecuación (6) representa la ecuación canónica de la circunferencia de centro y radio . 5
  • ECUACIÓN GENERALDesarrollaremos la ecuación canoníca de la circunferencia. (1)Luego, desarrollaremos los cuadrados, de la ecuación (1) para obtener la siguienteecuación: (2)Así, usaremos la asociatividad de los reales para tener, (3)Luego definamos de la ecuación (3) aAsí obtenemos la siguiente ecuación, sustituyendo.Esta ecuación representa la forma general en la que podemos expresar a unacircunferencia. Donde se le denomina comúnmente ecuación general, o ecuacióncartesiana de la circunferencia. TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL A LA FORMA CANONICA DE LA CIRCUFERENCIA Recordemos la forma de la ecuación general o cartesiana de la circunferencia. (1) 6
  • Luego, usaremos un poco de algebra, lo cual es primero despejar y completar cuadrados. (2)Después, la ecuación (2) se reducirá a lo siguiente, ya que al completar cuadrados obtuvimos un binomio cuadrado perfecto. (3)Analizando la parte derecha de la ecuación (3), observe los siguientes casos:1.- Si la ecuación (3) representa una circunferencia de radio: Y centro: .2.- Si la ecuación (3) representa un punto ocircunferencia de radio cero.3.- Si entonces no hay lugar geométrico. TANGENCIA DE LA CIRCUFERENCIA FIGURA 1.3 7
  • Se busca dada una recta tangente en un punto a la circunferencia , se tiene queencontrar una ecuación de dicha recta.Sea C una circunferencia de radio r y T (y´, x´) punto de tangencia, observe lafigura 1.3. Encontrar la ecuación de la recta tangente LT.Sea , Note que LT es tangente a la circunferencia si y solo sies perpendicular a .Sea , punto genérico, note que , v es un vector de dirección deLT.Así si y sólo si v es perpendicular a r, o bienAsíO bien si tenemos: , la ecuación de la recta tangente en punto de C. LA CIRCUFERENCIA COMO CONICASe le llama cónica a las figuras geométricas obtenidas interceptando un doblecono circular recto con un plano. 8
  • FIGURA 1.3 Se le llama cónica a las figuras geométricas obtenidas interceptando un doble cono circular recto con un plano.Si el plano corta completamente a lo largo de uno de los dos conos, y este planoes perpendicular al eje del cono como se muestra en la FIGURA 1.1, la curva de lasección obtenida se denomina circunferencia ALGUNAS APLICACIONES DE LA CIRCUFERENCIA EN LA VIDA COTIDIANALa circunferencia es uno de los elementos de la geometría más importantes queestán normalmente en la vida, aunque no lo parezca y desde los tiempos antiguosque es usada. En la prehistoria, con la invención de la rueda se dio inicio a toda latecnología de hoy en día, todo gracias a este invento, la rueda, y aunque seaindirectamente, y en este caso tenemos aplicaciones de la circunferencia. Está entodas partes.Se utilizan técnicas circunferenciales para muchas cosas hoy en día, por ejemplolos CDs que aunque parezcan piezas ordinarias en la música actual requieren demucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo tanto para su fabricaciónse utilizan las técnicas del radio y del diámetro. La Circunferencia es un elemento geométrico de mucha importancia. Esta muy adiario en todas partes, gracias a este se pueden realizar muchas técnicas de granprecisión con productos como los Cds, los relojes, etc. 9
  • También podemos decir que gracias a esto, tenemos mucha más seguridad a lahora de comprar cosas como una bicicleta ya que sabemos que en ella hantrabajado Ingenieros que conocen muy bien a la Circunferencia y aprovechan almáximo todo lo que esta les puede entregar.Para finalizar, tenemos el siguiente problema que nos ayudara a usar losconceptos obtenidos de la circunferencia.PROBLEMA: Un servicio sismológico de Baja California detectó un sismo conorigen en la ciudad de Mexicali a 5 km este y a 3km sur del centro de la ciudad,con un radio de 4km a la redonda. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia delárea afectada? Utilizando esta ecuación, indica si afecto a la Ciudad de Mexicali.SOLUCIÓN: Note que el epicentro se encuentra en (5,-3) , un punto del planodonde el eje x delimitado con dirección hacia x positiva el este, hacia x negativa eloeste ,y el eje y , hacia el norte las y positiva y al sur las y negativa, así porhipótesis este punto tiene sentido en el plano de acuerdo a como se dio lasdirecciones. Así obtenemos de acuerdo a la hipótesis una circunferencia de radior=4 con centro en (5,-3). Usando la ecuación canoníca de la circunferencia:Así la ecuación de la circunferencia pedida esObservemos que la ciudad de Mexicali se encuentra en el punto (0,0), veamos qué(0,0) satisface la ecuación de la circunferencia así sabremos si afecta a la ciudadel sismo o no.Al sustituir vemos que no satisface la ecuación, por lo tanto, el sismo no afecto laCiudad de Mexicali. 10
  • CONCLUSIÓNCon esta teoría sobre las representaciones analíticas que tiene la circunferenciapodemos tener una noción más de este lugar geométrico, se vio que no escomplejo entender todo esto, se necesitan nociones muy básicas de algebra ygeometría analítica. Cuando se inició todo esto se buscaba dar una breve peroentendible explicación sobre la circunferencia en la geometría analítica.Se espera que para el estudiante, este ensayo haya sido de lo más fructífero,además de constituís un aprendizaje paralelo al del salón de clases. 11
  • REFERENCIAS:Wooton ,W. (1979) Geometría Analítica México: McGraw hillLehmann ,C. (1990).Geometría Analítica. México: LimusaKindle ,J. (1988). Geometría Analítica. México: McGraw hillKletenik, D. (1998). Geometría Analítica. México: McGraw hillGrossman, S. (2008). Algebra Lineal. México: McGraw hill 12