Metodologia da matematica4

Metodologia e Prática do
Ensino da Matemática e
Ciências
Pedagogia
U412.11

Autores: Prof. Guilherme Santinho Jacobik
Profa. Verônica Azevedo
Colaboradores: Profa. Silmara Maria Machado
Prof. Nonato Assis de Miranda
Metodologia e Prática do
Ensino da Matemática e
Ciências

Professores conteudistas: Guilherme Santinho Jacobik / Verônica Azevedo
O professor Guilherme Santinho Jacobik é graduado em Pedagogia, mestre em Educação Matemática e Ciências pela
Universidade de São Paulo e doutorando em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas.
Professor do Ensino Fundamental desde 1989 e docente universitário desde 2003, é também formador de educadores
em escolas públicas e particulares desde 1994 e autor de artigos e livros educacionais.
Realizou inúmeras palestras, workshops e assessorias voltadas ao ensino da Matemática, Ciências e organização curricular.
Atualmente no doutorado, desenvolve um projeto de pesquisa relacionado à história de vida dos alunos e seus
desempenhos no início da escolaridade.
É docente da Universidade Paulista – UNIP e professor de Ensino Fundamental – ciclo I no Colégio Santa Cruz de São Paulo.
A profa. Verônica Azevedo é mestre em educação e doutora em ciência da comunicação pela Universidade de São Paulo.
Verônica é psicopedagoga e artista plástica. Dedica-se às artes plásticas desde 1960.
Como pedagoga participou de vários projetos de pesquisa em educação matemática (USP, CAPES, CNPQ, Estação
Ciência, Universidade de Laval – Canadá), foi responsável por vários cursos de aperfeiçoamento para professores das redes
estaduais e particulares de São Paulo, Minas Gerais e Bahia.
Como docente do Ensino Superior desenvolveu projetos pioneiros em didática do Ensino Superior.
Realizou pesquisas sobre o ensino de matemática junto ao Laboratório de Educação Matemática da USP, o qual ajudou
a criar. Suas publicações anteriores versam sobre sua larga experiência didática: a coleção Matemática Através de Jogos,
o livro Jogando e Construindo Matemática e Telejornalismo e Educação para a Cidadania. Além disso, mantém um site de
apoio a professores e pais com orientações de estudos: <www.veronicaweb.com.br>.
Desde 1998 participa de grupos de pesquisa sobre a interface comunicação e educação, tendo desenvolvido projetos
de educação para a cidadania, voltados para crianças e jovens. Esta pesquisa foi sistematizada em sua tese de doutorado
defendida na ECA-USP. Atualmente desenvolve projetos de educação e comunicação e é docente do ensino superior. É
professora titular da Universidade Paulista – UNIP.
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permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
J16m Jacobik, Guilherme Santinho
Metodologia e prática do ensino de matemática e ciências /
Guilherme Santinho Jacobik; Verônica Azevedo. – São Paulo, 2012.
192 p. il.
1. Metodologia. 2. Ensino - matemática. 3. Ensino - ciências
I. Título.
CDU 37.013

Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
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Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy
Prof. Marcelo Souza
Profa. Melissa Larrabure
Material Didático – EaD
Comissão editorial:
Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA)
Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
Apoio:
Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
Projeto gráfico:
Prof. Alexandre Ponzetto
Revisão:
Lucas Ricardi Aiosa

Sumário
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e
Ciências
Apresentação.......................................................................................................................................................7
Introdução............................................................................................................................................................7
Unidade I
1 Blocos de conteúdos para o Ensino Fundamental.............................................................11
1.1 O sistema de numeração decimal....................................................................................................11
1.2 Operações.................................................................................................................................................16
1.2.1 Ensinando o algoritmo convencional: compreendendo as características
das faixas etárias.................................................................................................................................................19
1.2.2 Utilizando o ábaco..................................................................................................................................23
1.2.3 Multiplicação.............................................................................................................................................28
1.2.4 Divisão..........................................................................................................................................................31
1.2.5 Frações..........................................................................................................................................................32
1.3 Espaço e forma.......................................................................................................................................38
1.4 Geometria e medidas...........................................................................................................................39
1.4.1 Dimensões...................................................................................................................................................42
1.4.2 Identificação de figuras .......................................................................................................................43
1.4.3 Simetria........................................................................................................................................................47
1.4.4 Conceito de medida................................................................................................................................48
1.4.5 Conceito de área .....................................................................................................................................55
1.4.6 Conceito de perímetro...........................................................................................................................56
1.5 Tratamento da informação...............................................................................................................56
2 Sugestões de conteúdos do 1º ao 5º anos do Ensino Fundamental.......................60
3 RECURSOS PARA O PLANEJAMENTO DA MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL.........69
3.1 Resolução de problemas.....................................................................................................................69
3.2 Portadores numéricos.......................................................................................................................... 81
3.3 Jogos...........................................................................................................................................................85
4 ATIVIDADES E ENCAMINHAMENTOS INTERESSANTES NO ENSINO DA MATEMÁTICA.......103
4.1 Sequências didáticas no ensino da Matemática....................................................................103
4.2 Projetos didáticos como metodologia de trabalho também no ensino
da Matemática.............................................................................................................................................106
4.3 Importância das atividades permanentes em Matemática................................................108

Unidade II
5 O Ensino de CiênciaS segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais .........120
5.1 Objetivos gerais de Ciências Naturais para o Ensino Fundamental ...............................122
5.2 Os conteúdos para o ensino de Ciências Naturais.................................................................122
5.2.1 Blocos temáticos................................................................................................................................... 123
6 Ações didáticas interessantes nas aulas de Ciências Naturais no
Ensino Fundamental..................................................................................................................................140
Unidade III
7 Experiências Práticas para você fazer com seus alunos...........................................154
7.1 Área temática “corpo humano”.....................................................................................................154
7.1.1 Olhos.......................................................................................................................................................... 154
7.1.2 Dentes........................................................................................................................................................ 155
7.1.3 Tato............................................................................................................................................................. 156
7.2 Área temática “seres vivos”: plantas e animais.......................................................................157
7.2.1 Classificações: pena, pelo, escamas............................................................................................... 157
7.2.2 Cadeia alimentar................................................................................................................................... 158
7.2.3 Sapo, rã ou perereca?...........................................................................................................................161
7.3 Área temática “conceitos físicos”..................................................................................................163
7.3.1 Boia ou afunda?.................................................................................................................................... 163
7.3.2 Relógio de sol......................................................................................................................................... 165
7.3.3 Cata-vento............................................................................................................................................... 166
7.3.4 Translúcido, opaco e transparente................................................................................................. 167
7.3.5 Gelinho...................................................................................................................................................... 168
7.3.6 Ilusão de ótica........................................................................................................................................ 169
7.4 Área temática “conceitos químicos”............................................................................................171
7.4.1 Papel reciclado........................................................................................................................................171
7.4.2 Fogo............................................................................................................................................................ 173
7.4.3 Substâncias parecidas ........................................................................................................................ 174
7.4.4 Separação de misturas........................................................................................................................ 175
7.4.5 Misturas: bolo de laranja maluco................................................................................................... 176
8 A Importância dos Estudos do meio...........................................................................................177

7
Apresentação
Este livro destina-se a você, educador(a), que está estudando para dar aulas de Matemática e Ciências
para crianças do Ensino Fundamental.
Aqui serão estudados os objetivos do ensino de Matemática e Ciências conforme as orientações
das discussões mais avançadas na abordagem metodológica dessas áreas do conhecimento. São aqui
apresentadas sugestões de conteúdos para o ensino do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental juntamente
com exemplos de atividades interessantes para inspirar você em seus futuros planejamentos. Também
apresentamos três possibilidades de recursos didáticos que favorecem o aprendizado de seus futuros
alunos.
Na Unidade I apontamos algumas questões que o(a) educador(a) deve considerar ao ensinar
Matemática. Elas são representativas das preocupações que têm sido debatidas no ensino dessa área do
conhecimento.
Na Unidade II apresentamos questões que devem fazer parte das reflexões do(a) educador(a) ao
se preparar para ensinar Ciências. Também serão apresentados os objetivos, os conteúdos e exemplos
práticos que lhe serão úteis para aprender mais.
As contribuições que serão apresentadas nesse livro-texto são pilares de sustentação para que o
futuro professor tenha condições de saber o que se ensina, como se ensina e por que se ensina. Dessa
forma, além de uma listagem de conteúdos, pretendemos problematizar as práticas e sugerir formas de
intervenção na relação professor-aluno.
Acreditamos que aliando teoria e prática você terá a possibilidade de uma ampliação significativa
de seus conhecimentos.
Introdução
Nas últimas décadas, os currículos do ensino da Matemática e das disciplinas científicas foram
alvo de revisões, críticas e novos direcionamentos, e sofreram mudanças nos vários níveis escolares.
Essas mudanças foram resultados de estudos analíticos sobre o papel das várias ciências na educação,
pesquisas sobre a aprendizagem de conceitos científicos pelas crianças, do estudo do papel da linguagem,
da motivação e do interesse nas diferentes faixas etárias, tendo motivado a produção de diferentes
materiais didáticos.
Todo esse estudo resultou em novos campos de conhecimento. Houve o movimento da chamada
matemática moderna nos anos setenta, passando pela modelagem matemática e a etnomatemática dos
anos noventa. Na primeira década de nosso século a corrente teórica didática da matemática dominou
o cenário brasileiro. Surgiram as Metodologias do Ensino da Matemática e das Ciências.
A Metodologia do Ensino da Matemática se preocupa, atualmente, não apenas com métodos de
ensino, mas com a formação cultural matemática do aluno e da sociedade. Transita entre as técnicas,

8
os sujeitos e a interpretação do mundo por intermédio dos saberes da matemática como área do
conhecimento.
Quanto às Ciências, nos dias de hoje, cientistas e educadores do nosso país concordam sobre os
objetivos do ensino dessa disciplina: pensar lógica e criticamente. Apesar dessa concordância sobre o
papel das disciplinas científicas na educação, os resultados práticos não condizem com as aspirações
teóricas. Essa situação sugere questões a serem discutidas, entre elas o papel da experimentação e seus
significados no ensino de Ciências.
As revisões das teorias nos últimos anos devem ser conhecidas de forma mais aprofundada por
você, futuro professor, para que possa escolher, se posicionar e desenvolver novas contribuições. Por
essa razão, sugerimos que não se limite ao material apresentado, mas busque em referências teóricas e
outras fontes mais informações além das apresentadas aqui.
A nova expectativa sobre o papel do docente, que o denomina “professor protagonista” e “professor
pesquisador”, faz com que ele não seja alguém passivo, mero executor de práticas sem reflexão, mas
sujeito do fazer docente, alguém autor consciente de seu papel como formador, exigindo do estudante,
futuro educador, uma postura rigorosa de constante formação.
Da mesma forma que se revisa o papel de quem ensina – normalmente o professor –, pesquisas
sobre a aprendizagem de conceitos científicos pelas crianças, do estudo do papel da linguagem,
da motivação e do interesse nas diferentes faixas etárias conduzem a um novo pensamento sobre
aquele que aprende – o aluno –, e essa preocupação deu origem à produção de novos e diferentes
materiais didáticos.
Nos textos que se seguem, nos inspiramos em experiências bem sucedidas no ensino
da Matemática e das Ciências. Além de nossas vivências pessoais como docentes e de nossa
contribuição teórica, trazemos as práticas e teorias de documentos de referência. Eles nos serviram
de base para a escrita deste livro-texto e se aliam a outras contribuições referenciadas ao longo
deste.
Observação
Em sua época de estudante do Ensino Fundamental, provavelmente
você deve ter se sentido desconfortável com a forma como o ensino era
desenvolvido sem levar em consideração a participação dos alunos, não é
mesmo?
Esperamos poder ajudá-lo a refletir sobre a importância que atualmente
a construção do conhecimento junto ao aluno tem e como a Ciência e a
Matemática ajudam nesse processo de conhecimento e participação social
mais amplo.

9
Saiba mais
As recomendações dos PCN agregam boas recomendações e ainda
apresentam uma interessante divisão de objetivos e conteúdos do 1º
ao 5º ano. Para complementar a leitura deste conteúdo, acesse o site:
<http://lemad.fflch.usp.br/sites/lemad.fflch.usp.br/files/prefeitura_fundi_
saopaulo_geral_2007[1].pdf>.

11
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Unidade I
1 Blocos de conteúdos para o Ensino Fundamental
Na história do ensino da Matemática, durante muito tempo, a natureza interdisciplinar e significativa
dos conteúdos não foi considerada, ou seja, apostava-se em uma listagem de conceitos e atividades
com fim em si mesmo, que pouco contribuía para que o aluno encontrasse aplicação ao que estava
vendo e, teoricamente, aprendendo. O ensino pautado em atividades estanques dificultava ao aluno
compreender o sentido e aplicação do que vivenciava. No Brasil, foram os Parâmetros Curriculares
Nacionais e as mais recentes discussões acadêmicas acerca dessas questões que contribuíram para que
fosse repensada a forma de organizar os conteúdos.
Para fins didáticos, é possível agrupar os conteúdos de ensino recomendados aos alunos do
Ensino Fundamental (1º ao 5º ano) em cinco grandes blocos: sistema de numeração; operações;
espaço e forma; grandezas e medidas e tratamento da informação. Agrupados, eles possuem
objetivos similares que se complementam. Ao educador cabe organizá-los de forma que façam
sentido aos alunos, permitindo a eles resgatar o aprendido e utilizá-lo em novas situações (o que
se vem chamando de transposição didática).
1.1 O sistema de numeração decimal
A partir de um processo histórico de milhares de anos, o homem desenvolveu o sistema que hoje
denominamos numeração decimal, composto por apenas dez símbolos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0) e que
nos permite representar qualquer número. O valor representado pelo numeral depende de sua posição
na composição deste, por isso dizemos que nosso sistema é posicional. É também denominado decimal,
pois o que diferencia uma posição de outra são os agrupamentos de dez em dez. Sendo assim, para
formar uma dezena, utilizamos dez unidades; para uma centena, dez dezenas (ou dez agrupamentos de
dez unidades); para um milhar, dez centenas, e assim por diante, infinitamente.
Estes conceitos são complexos e precisam ser trabalhados com os alunos ao longo de todo o Ensino
Fundamental. Segundo Castro e Rodrigues apud Brocardo (2007, p. 118-119):
De um modo geral, o sentido de número diz respeito à compreensão global e
flexível dos números e operações com o intuito de compreender os números
e as suas relações e desenvolver estratégias úteis e eficazes para utilizarmos
no nosso dia a dia, na nossa vida profissional, ou como cidadãos ativos. Inclui
a capacidade de compreendermos que os números podem ter diferentes
significados e podem ser usados em contextos muito distintos. É, pois, uma
construção de relações e de modelos numéricos realizada ao longo da vida
e não apenas na escola.

12
Unidade I
O que nos foi descrito pelos autores citados nos remete à importância que este bloco tem em
relação à construção das relações matemáticas que as crianças estabelecem. Fazemos questão de
dizer a você, estudante da UNIP, que os blocos de conteúdos aqui apresentados são trabalhados
em todas as séries do Ensino Fundamental e que o sistema de numeração deve ser objeto de
planejamento em todas elas, assim como os demais blocos apresentados. Muitos educadores
consideram desnecessária a manutenção de atividades relacionadas ao ensino do sistema de
numeração, mas veremos adiante que algumas situações devem se tornar atividades permanentes,
como por exemplo recorrer ao calendário como forma de controlar e antecipar eventos, algo
essencial à vida do ser humano.
Lembrete
Ainvençãodonúmeroéfrutodeumlongoprocessohistórico,bemcomo
outras conquistas matemáticas; por essa razão deve ser apresentada ao
aluno, para que ele compreenda a importância dessa área do conhecimento.
Saiba mais
Recomendamos, para os alunos de todo o Ensino Fundamental, a leitura do
livro O bibliotecário que mediu a Terra, de Kathryn Lasky. Trata-se da biografia
de Eratóstenes, importante estudioso e matemático Líbio que viveu há mais de
2000 anos.
No entanto, o bloco de conteúdos e objetivos sistema de numeração decimal, que desde cedo
faz parte da vida do aluno, possui uma característica muito especial: ele é a base dos demais
blocos, pois é composto de diversos conceitos-chave. Nele se estuda a grafia dos numerais (o
traçado correto do 0, 1, 2, 3, ... 9), o sentido quantitativo do registro com algarismos (quando
representa uma quantia a ser contada, por exemplo, sendo chamado número), os algarismos
como representação simbólica (como o numeral de uma casa ou um telefone), e as noções de
posição e grandeza numérica (quando o 1 pode ser uma unidade, uma dezena, ou uma centena,
por exemplo).
Há muitas dúvidas sobre a nomenclatura correta, por essa razão, apresentamos a seguir um resumo
que apresenta a explicação dos conceitos de número, numeral e algarismo.
Saiba mais
Recomendamosaconsultaaointeressantetexto-fontedoqualpesquisamos
os significados em: <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa7a.html>.

13
Quadro 1 – Diferenciação entre número, numeral e algarismo
Número Numeral Algarismo
É a ideia de quantidade que nos
vem à mente quando contamos,
ordenamos e medimos. Assim,
estamos pensando em números
quando contamos as portas de um
automóvel, enumeramos a posição de
uma pessoa numa fila ou medimos o
peso de uma caixa.
É toda representação
de um número, seja
ela escrita, falada ou
indigitada.
É todo símbolo
numérico que
usamos para formar
os numerais escritos.
Infelizmente, nas escolas de maneira geral, ainda se observam atividades “mecânicas” em
que os alunos copiam exaustivamente os numerais, ou colam bolinhas de papel ou sementinhas
sobre numerais traçados pelo educador. Aprender a grafia correta dos numerais é importante,
mas isso deve ser realizado de forma mais contextualizada, pedindo aos alunos que escrevam a
idade que possuem e a data de seu aniversário, o numeral da residência ou do telefone dos pais
em uma agenda de contatos, por exemplo. Também é importante que os numerais componham
cartazes que se encontram no ambiente do aluno, como o calendário e a tabela de 0 a 100, para
sua consulta autônoma.
Principalmente nos primeiros anos (1º, 2º e 3º) do Ensino Fundamental, devemos planejar situações
didáticas que envolvam os números naturais, principalmente porque eles fazem parte do cotidiano das
crianças, utilizados em diferentes situações e em perguntas realizadas por elas, tais como: comparação
de idades; “quanto” tem?; “quanto” tenho?; se eu já tenho X, quanto falta para Y?; qual seu telefone?;
entre outras.
A experiência de vida da criança, mesmo que comparativamente menor que a do adulto, deve
ser levada em conta, e cabe à escola ajudá-la a ampliar o que sabe e construir novas relações e
pensamentos matemáticos. Dessa forma, como metáfora, seria interessante que a escola fosse
uma continuidade da casa, da vida social mais ampla. Desvendar o que a criança já sabe – seus
conhecimentos prévios – e, partindo deles, oferecer novas situações, que a permita avançar
no que sabe para construir o que ainda não sabe, constitui o importante papel mediador do
educador.
Quando menos experientes, as crianças têm mais dificuldade em grafar corretamente os
numerais; muitas invertem a ordem (ao invés de 21, grafam 12, por exemplo) ou os espelham (3 ao
invés de 3). Também apresentam dificuldade quanto à compreensão do valor posicional e tendem
a grafar como escutam. Neste caso, a forma oral como o numeral é enunciado leva as crianças a
erros construtivos, escrevendo, por exemplo, 301 para 31, pois entendem ser equivalente a trinta
(30) e um (1), o que resulta em 301 (30 + 1). Isso ocorre porque no processo de construção do
conceito de número as crianças aplicam aquilo que compreendem sobre a “leitura” que fazem
do que está ao seu redor. É o que chamamos de hipóteses de escrita, que ocorrem com as letras,
palavras e também com os numerais.

14
Unidade I
Observação
Mesmo nas séries finais do Ensino Fundamental (4º e 5º anos), o
bloco de conteúdos sistema de numeração continua a ser essencial. Erros
ocasionados pela elaboração de hipóteses ocorrem constantemente,
e as crianças precisam ser respeitadas em seu processo e naturalmente
orientadas de forma a construir uma relação positiva com o erro e a
possibilidade do acerto.
Exemplo de atividade
Sistema de numeração decimal – Construindo e explorando uma tabela numérica
• Identificar números até 100.
• Ler, escrever e comparar números em diferentes contextos de uso.
• Perceber algumas regularidades do sistema de numeração decimal, tais como: o valor
posicional (quanto vale um numeral em sua posição na composição de um número) –
por exemplo o 3, em 34, que vale 30; a possibilidade de saber a grandeza do número
por sua quantidade de algarismos – por exemplo, que 45 (dois algarismos) é maior que
9 (um algarismo); e observar a ideia de “família de números”, o que significa que todos
os números daquela sequência se iniciam pelo mesmo numeral, modificado a cada dez
unidades – por exemplo, que após o 29 vem o 30 (31, 32, 33, 34, ... 39).
Conteúdos
• Ordem de grandeza e regularidade do sistema de numeração.
• Leitura e escrita numérica.
Anos
1º e 2º.
Tempo estimado
Ao longo de todo o ano escolar.
Material necessário
• Um cartaz como o do modelo a seguir, que vá até 100, deve ser afixado para servir
de “dicionário” e ser consultado. Uma sugestão é digitar os números, recortá-los,

15
distribuí-los aos alunos e pedir a eles que o auxiliem na colagem sob um cartaz similar
(quadriculado, com dez espaços em cada linha e dez em cada coluna), mas com lacunas,
sem os números escritos.
• Providencie uma cópia menor para cada aluno (com os números) e mantenha ao alcance
objetos que portem sequências numéricas similares como calendários e volantes de
jogos de casas lotéricas.
• As primeiras tabelas devem começar com 1 e não com 0, pois muitos alunos se apoiam
na contagem para encontrar as escritas que não conhecem.
• Organize a série de 10 em 10 para a identificação das regularidades.
O cartaz deverá ficar assim:
tabela 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Desenvolvimento
Primeiro divida os cem números da tabela entre seus alunos e oriente-os a vir colá-los
conforme as comandas que fizer. A seguir, sugerimos ideias que os levarão a compreender
algumas regularidades do sistema numérico decimal:
• Chame para colar sobre o cartaz aqueles que tiverem números iniciados pelo numeral
3. Dessa forma, crianças que tenham a “família do trinta” colarão seus números e todos
poderão perceber a ideia de “família” e que o primeiro numeral é o mandante do número.
• Chame em seguida as crianças que tiverem números terminados pelo numeral 5. Virão
aqueles que têm o 5, 15, 25, 35, 45, 65, 75, 85 e 95, formando a coluna do 5 (como se
observa na tabela).
• Pode-se pedir, também, outras regularidades; por exemplo, que venham aqueles que
tenham números maiores que 13 e menores que 20; o número que vem imediatamente
depois do 39; o número que vem imediatamente antes de 67; o número que está entre
72 e 74; entre outras possibilidades.

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Unidade I
Experiências cotidianas interessantes que podem se transformar em situações
didáticas escolares
Receitasdealimentos(envolvemnúmerosnasquantidadesdeingredientesecardinalidade
na ordem do modo de fazer); desenvolver uma coleção com os alunos (tampinhas, pedras,
conchas, figurinhas etc.) e ajudar as crianças a registrar as quantidades obtidas (por exemplo,
marcar riscos em uma tabela do 1 ao 100 como mecanismo de controle); grafar em um
calendário no mural da classe os dias idos à escola.
Saiba mais
Recomendamos a leitura do livro Os números: a história de uma grande
invenção, de Georges Ifrah. Trata-se da história da Matemática, em que o
autor nos faz acompanhar a evolução do raciocínio de nossos ancestrais
desde a pré-história, passando por diversas civilizações.
1.2 Operações
Por conta das necessidades cada vez mais complexas do homem, o sistema de numeração decimal
foi sendo desenvolvido para, por exemplo, controlar quantidades pequenas de animais e quantificar o
número de pessoas, consequentemente calculando a quantia de alimentos necessários para saciar a
fome de cada um. Da mesma forma, as estratégias de cálculo também evoluíram e foram se tornando
cada vez mais complexas.
Atualmente somos capazes de realizar cálculos que nos permitem compreender e alcançar até
mesmo o que ainda não palpamos. Antes mesmo de o homem pousar na Lua, engenheiros astronautas
já calculavam essa possibilidade. Podemos dizer que a criança que entra no Ensino Fundamental refaz
essa trajetória humana e repete etapas evolutivas da construção desse conhecimento. É comum vermos
crianças realizando contas com os dedos (base decimal = dez dedos), utilizando riscos e outros grafismos
não convencionais, exatamente como observamos nas inscrições rupestres (desenhos em paredes de
cavernas, ossos e peles de animais) encontradas em sítios arqueológicos de muitas localidades do planeta.
Assim, a criança segue evoluindo, passando da necessidade absoluta do elemento concreto à total
possibilidade de abstração e pura imaginação. Da mesma forma o homem, ao longo da história, evoluiu
do uso de instrumentos rudimentares como pedras e riscos à utilização da calculadora e do computador,
pois é capaz de inventar instrumentos para superar as limitações de sua mente, e a ferramenta faz o que
o homem seria incapaz de fazer.
Relembrar que a aprendizagem de cálculos é a construção junto ao aluno de conhecimentos
milenares nos serve de alerta para respeitar o seu desenvolvimento e fornecer a ele elementos que lhe
permitam avançar em seu conhecimento. Quando simplesmente substituímos a forma de pensar do
aluno pelo ensino forçado de técnicas e fórmulas, substituímos a reflexão pela memorização, trocamos
a tentativa que leva ao erro construtivo pela exercitação mecânica de algoritmos predefinidos.

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Nas escolas, de maneira geral, observamos educadores bem intencionados ensinando contas no
modelo “arme e efetue”. O que se nota é que muitas crianças não compreendem por que devem realizar
uma conta do menor valor ao maior, ou seja, da unidade para a dezena e desta para a centena. Além
do mais, em adições com reservas, aquelas cujas somas das unidades (ou das dezenas ou centenas)
ultrapassam 9, muitas vezes o aluno não compreende por que deve conservar a unidade e elevar a dezena
(contas de “vai”), por exemplo. Essas contas são comumente chamadas de algoritmos convencionais. Na
verdade, todo algoritmo é um “dispositivo prático, elaborado para facilitar a execução de uma certa
tarefa” (BRASIL, 2007, p. 7). Um exemplo é ordenarmos os ingredientes de uma receita de forma a facilitar
a execução das etapas de elaboração do alimento, outro exemplo são os procedimentos para dirigir um
carro ou armar e instalar um produto em nossa casa. Há pessoas que farão uso dessas técnicas sem
refletir sobre sua ação; estas estão sujeitas a tornarem-se pouco autônomas, agindo mecanicamente,
sem saber como proceder caso algo saia do controle.
De maneira análoga, “quem não dispõe de boas estratégias de cálculo passa por dificuldades em
inúmeras situações do dia a dia, que exigem autonomia de decisões sobre ‘que cálculo fazer’ e ‘como
fazê-lo’”. (Ibidem, p. 8).
Os algoritmos das quatro operações são estratégias de cálculos que se beneficiam da
organização do sistema de numeração decimal, mas que devem ser ensinadas no momento em
que as crianças já dominarem com segurança alguns conceitos, ou pré-requisitos, envolvidos
nessas operações e necessários para que operem com consciência. A seguir apresentamos alguns
desses conhecimentos:
Algoritmos
• Domínio dos fatos básicos: trata-se de operações em que são empregados
numerais de um só algarismo. São os cálculos realizados em uma operação que
devem ser realizados mentalmente, sem o auxílio do algoritmo (não fazendo uso,
por exemplo, de “arme e efetue”). Aos poucos o aluno deve memorizar resultados
que podem ser aplicados em diversas situações. As tabuadas de multiplicação e de
soma são exemplos de exercícios de aprendizagem dos fatos básicos.
• Sugestão de atividade: pedir às crianças que retirem de seu estojo cinco lápis de cor e
desafiá-las a formar diferentes composições com esses. Exemplos: III + II = 5, II + III = 5,
I + IIII = 5 etc.
• Conhecimento de outras estratégias de resolução: é muito importante que, antes
de ensinar a técnica operatória convencional (“arme e efetue”) – que obriga a criança
a operar da unidade em direção à dezena e desta para a centena (e assim por diante),
ela possa conhecer outras formas de resolução, ou estratégias de resolução. Para que
se compreenda melhor essa possibilidade, demonstramos, a seguir, algumas operações
executadas por alunos do 4º ano de uma escola do município de São Paulo.

18
Unidade I
• Conteúdo: ensinando a decompor.
• Pré-requisitos: saber contagens salteadas de 10 em 10 e 100 em 100.
Exemplos:
1) 156 + 234
1a
etapa
156 + 234
100 200
50 30
6 4
2a
etapa
300
80
10
3a
etapa
300
80 + 10 = 90
4a
etapa
300 + 90=390
2) 342 + 839
1a
etapa
300 + 800 = 1100 (ou 800 + 200 = 1000 + 100 = 1100)
2a
etapa
40 + 30 = 70
3a
etapa
2 + 9 = 11
4a
etapa
300 + 800 = 1100
5a
etapa
70 + 10 = 80 + 1 = 81
6a
etapa
1000 + 100 + 81 = 1181

19
3) 321 + 547
3 2 1 + 5 4 7
8(800) 6(60) 8(8)
Observação
Este modo deve vir após a compreensão dos valores posicionais; do
contrário, ficará apenas no ato mecânico. É preciso reforçar a leitura
correta da soma ao realizar esse tipo de estratégia, exemplo de 3 + 5,
que se lê “trezentos mais quinhentos”. Deve-se tomar cuidado com as
contas de “vai”, pois essa estratégia ocasiona confusões. As crianças
devem ser estimuladas a pensar na melhor estratégia para resolver um
cálculo.
4) Crianças do 1º ano de uma escola de São Paulo resolveram a seguinte conta dessa forma:
34 + 28
1a
etapa
34 = 10 + 10 + 10 + 4
28 = 10 + 10 + 8
2a
etapa
10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50
3a
etapa
8 + 4 = 12 (10 + 2)
4a
etapa
50 + 10 = 60
5a
etapa
60 + 2 = 62
1.2.1 Ensinando o algoritmo convencional: compreendendo as características das faixas
etárias
Como vimos, é necessário construir com a criança estratégias de resolução variadas, levando
em conta sua capacidade de reflexão. Evite exercícios mecânicos e repetitivos. Mais adiante

20
Unidade I
apresentaremos alguns recursos interessantes que você, futuro educador, possa utilizar para
diversificar suas aulas.
Para ensinar o algoritmo convencional, é preciso conhecer as características das faixas etárias
compreendidas entre o 1º e o 5º ano do Ensino Fundamental. Nessa fase a criança se encontra em
transição, segundo Jean Piaget (1971), entre um estágio de desenvolvimento chamado pré-operatório (2
a 7 anos) e estágio das operações concretas (7 a 11 anos). Vamos conhecer esses estágios para podermos
planejar intervenções e atividades eficientes?
Estágio pré-operatório (2 a 7 anos)
Manipular objetos e observar os resultados dessas ações é uma das características marcantes dessa
fase. A criança não depende exclusivamente das sensações para entender e interagir com o ambiente,
o fazendo também na compreensão e uso tanto das palavras e suas representações como dos símbolos
e suas imagens.
Ela associa, por exemplo, uma palavra ao seu significado, mesmo que o objeto nomeado não esteja
em seu campo visual, ou seja, sua capacidade de abstração amplia-se em relação ao estágio anterior
(sensório-motor), em que era necessária a presença física do objeto para nomeá-lo.
Em termos matemáticos, a criança nessa fase é capaz de ordenar, classificar e fazer correspondências
entreobjetos.Namaioriadasvezes,nãoécapazdeentenderareversibilidadenemconservaraquantidade
por meio de seu pensamento. Um exemplo: há dois copos, um baixo e largo e o outro comprido e
estreito. Coloca-se uma certa quantidade de água em um e depois se verte a água no outro. A criança
não compreende que a quantidade se manteve, e diz que há mais em um do que no outro. Sobre a
reversibilidade, um exemplo: pede-se a criança que junte três figurinhas com mais duas figurinhas,
essa operação ela realiza com sucesso. Agora se pede que de cinco figurinhas ela retire duas, ou seja, o
inverso. Na maioria das vezes, ela encontra dificuldade.
A incapacidade de a criança se colocar no lugar do outro e seu egocentrismo (que é a centralização
dos pensamentos sobre si mesma), a partir de seu ponto de vista e não o do outro, também são
característicos.
Uma dica de trabalho com Matemática nessa fase é proporcionar jogos e situações-problema em
que a criança tenha que partilhar impressões ou comparar o resultado das quantificações. Por exemplo,
ao final de um jogo de palitinhos, pedir que os participantes contem o resultado obtido uns dos outros.
É objetivo do trabalho de Matemática com crianças de seis anos de idade, no fim da Educação
Infantil em algumas localidades ou no início do Ensino Fundamental em outras, desenvolver a capacidade
de pensar a Matemática como algo dotado de sentido e possibilidade de uso real. A criança precisa
reconhecer a aplicação para então conhecer de fato o conceito.
Os jogos são fundamentais para o trabalho nessa área do conhecimento, assim como os
problemas, não apenas os enunciados por escrito, mas todas as situações em que os alunos

21
necessitem usar o raciocínio a fim de buscar soluções. Em ambos os casos, pensa-se em favorecer
o desenvolvimento e o uso de estratégias pessoais. Para registrá-las, os alunos poderão fazer uso
da “linguagem matemática” convencional (com seus símbolos numéricos e sinais próprios, como
+ e -) ou criar formas de representá-las. É recomendável garantir atividades em que as estratégias
e as representações particulares sejam socializadas e discutidas em grupo, a fim de permitir a
circulação de informações entre as crianças e a apropriação de estratégias e representações mais
econômicas e eficientes.
Paraaelaboraçãodassituações-problema,sugere-seutilizarfatosdodiaadiadascriançasparapensar
sobre as quantidades, compará-las ou operá-las. Elas devem envolver principalmente cálculos de adição
e subtração, noções aditivas da multiplicação e fracionárias da divisão. Contar, comparar, reconhecer e
grafar corretamente os números e as quantidades e usar adequadamente sinais matemáticos básicos,
como + (mais), - (menos) e = (igual), é desejável.
Em todas as situações, reais ou fictícias, deve-se ter em mente a importância do lúdico, do prazer, e
a possibilidade de explorar o interesse da criança, sua vontade em se arriscar sem medo do erro e suas
possibilidades de comunicar estratégias por meio de uma linguagem que traduza com eficiência as
bases de seu pensamento.
Exemplo de aplicação
Dicas e sugestões de atividades para essa fase
Pensando em crianças que estejam entre 6 e 7 anos (equivalente ao 1º e 2º anos do Ensino
Fundamental) e que tenham frequentado a Educação Infantil, considera-se que elas tenham muitas
informações no que se refere ao nosso sistema de numeração decimal e suas relações, que saibam
operar minimamente e que tenham algumas estratégias de resolução construídas ou aprendidas.
Procura-se garantir situações em que as crianças se sintam desafiadas a arriscar e que criem
ou aperfeiçoem estratégias pessoais para resolução dos problemas apresentados. Espera-se que
identifiquem regularidades na contagem e na representação de números de diferentes grandezas,
que conheçam e usem medidas convencionais e não convencionais, que continuem avançando na
compreensão do sistema de numeração decimal e que consigam transpor os conteúdos aprendidos
para as mais diversas situações.
Sendo assim, o trabalho nessa faixa etária continua tendo nos jogos, nos problemas e nas
situações cotidianas espaços privilegiados para se fazer relações matemáticas significativas.
Deve-se garantir uma gama de jogos que possibilitem o estabelecimento de inúmeras relações
matemáticas, que aprimorem inclusive conteúdos de procedimentos e atitudes. Baralhos, trilhas
e percursos, bingos, xadrez, damas, dominós tradicionais ou pedagogicamente modificados são
alguns dos jogos de que se pode lançar mão nos 1º e 2º anos. Uma boa dica para o ensino da
Matemática nessa fase é ter à mão um kit com objetos que facilitem o cálculo e a contagem, como
sementes, palitos, pedrinhas e miçangas, por exemplo.

22
Unidade I
Figura 1 - Materiais para jogos de Matemática
Os problemas propostos devem envolver as quatro operações e podem ser desenvolvidos
previamente pelo educador ou advir de uma situação cotidiana inesperada. Ainda se privilegiam
as estratégias pessoais de resolução, sempre as partilhando com os demais colegas da classe e
incentivando a troca, principalmente daquelas mais lógicas e econômicas. O educador deve ser
modelo também de resoluções convencionais, a fim de introduzir a linguagem matemática mais
formalizada, a exemplo de seu papel na escrita e notação numérica. Ou seja, não deve se eximir de
seu papel de mediador do conhecimento.
Estágio das operações concretas (7 a 11 anos)
A criança nesse estágio, que perpassa o 3º, 4º e 5º anos, é ainda dependente, na maioria dos casos,
da visualização dos objetos referidos para operar. Isso quer dizer que ela opera concretamente, apesar
de seu nível de abstração estar cada vez maior.
Ela consegue classificar, seriar e compreender a relação entre número e numeral, estruturas de
espaço e tempo, e a realização de operações básicas com estratégias próprias e outras formalizadas.
É também capaz de conservar a quantidade mesmo em situações desafiadoras, como apresentar as
mesmas quantidades em disposições diferentes, por exemplo, agrupar sementes em um montinho e
depois espalhar a mesma quantidade.
A manipulação de objetos, como quantificar palitinhos e realizar cálculos utilizando os dedos ou
sementes, ainda é necessária, principalmente no início do 3º ano do Ensino Fundamental. É possível,
entre o 3º e o 4º anos, operar cálculos de valores elevados utilizando técnicas operatórias mais formais,
principalmente o algoritmo convencional.

23
Exemplo de aplicação
Dicas e sugestões de atividades para essa fase
Todo trabalho desenvolvido nessa faixa etária, que compreende o equivalente ao 3º, 4º e 5º anos, deve
dar continuidade ao que vem sendo realizado desde os 1º e 2º anos, sem rupturas abruptas. Conteúdos
como divisão e multiplicação ganham mais força, com valores de cálculo cada vez maiores e mais
desafiadores, e aprimoram-se as estratégias de resolução para a subtração e a adição.
Por meio de instrumentos como a calculadora, o ábaco e o material dourado, pode-se ensinar a
“conta de armar”, ou algoritmo convencional. A criança deve ser motivada a aprimorar seu cálculo
mental, inclusive memorizando a tabuada/fatos da adição, da subtração e da multiplicação, a chamada
memorização compreensiva. O trabalho com medidas pode ser ampliado, bem como o ensino da
Geometria, da leitura e interpretação de tabelas e gráficos, e da leitura e compreensão dos números
fracionários (1/2, 1/3, 1/4).
Montagem de um ábaco
O ábaco é um dos muitos instrumentos de
cálculo que ajudam na compreensão do sistema de
numeração deciama, além de ser um ótimo auxiliar
na compreensão do algorítimo convencional, ou
contas de “armar”, facilitando o entendimento
das noções de “vai um” ou de “empréstimo”. Pode
ser construído com diversos materiais e formatos,
um dos mais comuns é o vertical (foto), em que as
argolas representam as unidades, dezenas, centenas
e milhares, de acordo com a sua posição da direita
para a esquerda. É possível encontrá-lo pronto para
comprar no comércio, em geral em seu formato
horizontal com argolas de “correr”.
Figura 2 - Montagem de um ábaco
Sempre que possível, os desafios matemáticos devem se aproximar das situações reais de uso; assim,
além das atividades tradicionais escolares, deve-se fazer uso de jogos, incentivar a consulta de fontes
diversas como jornais e revistas, e criar situações de compra e fatos cotidianos, como a simulação de um
mercado na classe.
1.2.2 Utilizando o ábaco
Vamos apresentar algumas formas de ensinar o algoritmo convencional (modelo “arme e efetue”)
por meio de um instrumento simples, barato e muito útil.

24
Unidade I
O modelo “arme e efetue” é bastante importante e significativo, pois representa uma grande
invenção humana, a possibilidade de operar cálculos que a mente não dá conta a partir da utilização dos
princípios do sistema numérico decimal. Para que a criança possa se valer dessa estratégia de resolução,
é necessário, como já dito, que ela tenha clareza do que está fazendo.
Em geral ensinamos o chamado algoritmo convencional (arme e efetue) entre o 2º e o 3º anos
do Ensino Fundamental. O ábaco é um instrumento que permite mostrar à criança noções de “vai
um” (adição com reserva) e empréstimo (subtração com reserva). Portanto, ele é eficaz para essas duas
operações, a adição e a subtração, mas é na sua capacidade de mostrar à criança o valor posicional que
ele se apresenta como um excelente recurso didático.
Sequência utilizando o ábaco – compreensão do valor posicional
1) Represente no ábaco os números:
a) 102 b) 1992
c) 73 d)836
1) Represente no ábaco os números:
a) 102 b) 1992
c) 73 d)836

25
2) Desenhe o ábaco e represente os números pedidos:
a) Sua idade hoje:
b) O ano em que nós estamos:
c) Um número par com três
algarismos:
d) Um número terminado em
0 maior que 90:
e) Um número maior que 500
e menor que 1000:
2) Desenhe o ábaco e represente os números pedidos:
a) Sua idade hoje:
6
b) O ano em que nós estamos:
2102
c) Um número par com três
algarismos:
221
d) Um número terminado em
0 maior que 90:
001
e) Um número maior que 500
e menor que 1000:
136

26
Unidade I
3) Represente no ábaco os números decompostos e escreva-os embaixo.
a) 2 centenas e 4 unidades:
.....................
b) 6 centenas:
.....................
c) 2 dezenas e 6 unidades:

.....................
d) 1 centena, 7 dezenas e 2 unidades:
.....................
e) 5 dezenas:
.....................
a) 2 centenas e 4 unidades:
204 .....................
b) 6 centenas:
600 .....................

27
c) 2 dezenas e 6 unidades:
26 .....................
d) 1 centena, 7 dezenas e 2 unidades:
172 .....................
e) 5 dezenas:
50 .....................
4) Decomponha os números a seguir e depois faça o registro deles no ábaco desenhado.
Número Decomposição Registro no ábaco
a) 249
____ unidades
____ dezenas
____ centenas
b) 942
____ unidades
____ dezenas
____ centenas
c) 603
____ unidades
____ dezenas
____ centenas
d) 129
____ unidades
____ dezenas
____ centenas
e) 227
____ unidades
____ dezenas
____ centenas

28
Unidade I
Número Decomposição Registro no ábaco
a) 249
9 unidades
4 dezenas
4 centenas
b) 942
2 unidades
4 dezenas
9 centenas
c) 603
3 unidades
0 dezenas
6 centenas
d) 129
9 unidades
2 dezenas
1 centenas
e) 227
7 unidades
2 dezenas
2 centenas
1.2.3 Multiplicação
A multiplicação envolve uma gama de conhecimentos sobre as propriedades dos números e
das operações, exigindo da criança estabelecer relações entre conceitos aprendidos, como as somas
sucessórias (por exemplo: 3 + 3 + 3 ou 3 x 3). Também é desejável que tenha memorizado os fatos
básicos (tabuada) do 1 ao 10, que servirão de base para que a criança possa compreender e operar o
algoritmo convencional da multiplicação.
Aaprendizagemdamultiplicaçãodeveserrealizadacombaseemdoisenfoques.Umdelesdiretamente
interligado à adição de parcelas iguais e o outro como raciocínio combinatório.
A adição de parcelas iguais pode ser exemplificada com o seguinte raciocínio:
2 X 4 = 4 + 4
4 X 2 = 2 + 2 + 2 + 2
O raciocínio combinatório equivale à verificação de quantas possibilidades há para se formar pares
com duas coleções.
Se uma menina tem 3 saias e 2 camisetas, de quantas maneiras diferentes ela pode se vestir sabendo
que suas saias são vermelha, rosa e preta e suas camisetas amarela e branca?

29
Quadro 2 – Possibilidades combinatórias
Saia vermelha Saia rosa Saia preta
Camiseta amarela * * *
Camiseta branca * * *
Resposta: seis combinações (2 X 3 = 6)
Sequências utilizando a adição de parcelas iguais
Exemplo A
1) Pinte da mesma cor os quadros correspondentes:
4 x 5 3 + 3 + 3 + 3 + 3 5 x 3
2 + 2 3 + 8 5 + 5 + 5 + 5 5 x 7
2 x 6 4 x 10 2 x 2 8 + 8 + 8
10 + 10 + 10 6 + 6 7 + 7 + 7 + 7 + 7
2) Escreva a adição correspondente a estas multiplicações e dê o resultado:
2 x 5 = 5 + 5 = 10 .
8 x 2 = _______________________= ___________
5 x 6 = _______________________= ___________
4 x 5 = _______________________= ___________
3 x 7 = _______________________= ___________
5 x 5 = _______________________= ___________
3 x 4 = _______________________= ___________
3 x 8 = _______________________= ___________
4 x 3 = _______________________= ___________
5 x 0 = _______________________= ___________
4 x 1 = _______________________= ___________
6 x 2 = _______________________= ___________
3) Escolha 2 multiplicações do exercício 2 e monte um único problema usando estas
operações e outras que achar necessário:

30
Unidade I
Exemplo B
1) Pinte de azul a casinha do 8 e continue pintando de 8 em 8:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
2) Quais os resultados que você encontrou nas multiplicações por 8?
3) Monte as multiplicações por 8:
1 x 8 =
2 x 8 =
Exemplo C
1) Efetue as multiplicações por 9:
1 x 9 =
2 x 9 =
3 x 9 =
4 x 9 =

31
5 x 9 =
6 x 9 =
7 x 9 =
8 x 9 =
9 x 9 =
10 x 9 =
2) Observe os resultados e registre suas descobertas:
3) Pinte de amarelo a casinha do 10 e continue pintando de 10 em 10:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
4) Monte as multiplicações por 10:
1 x 10 =
2 x 10 =
1.2.4 Divisão
A divisão também tem dois enfoques. De início, a criança será levada a explorar apenas a chamada
divisão-repartição, para chegar depois à divisão-comparação ou medida.

32
Unidade I
• Divisão-repartição: a ação de repartir encontra-se em situações nas quais é conhecido o número
de grupos que deve ser formado com um determinado total de objetos, e é preciso definir a
quantidade de objetos de cada grupo. Por exemplo: se 12 lápis precisam ser separados em 4
subconjuntos iguais, quantos lápis haverá em cada subconjunto?
• Divisão comparação ou medida: ações que envolvem este tipo de divisão são encontradas em
situações nas quais é preciso saber quantos grupos podemos formar com um determinado total
de objetos, sendo conhecida a quantidade que cada grupo deve ter. Por exemplo: se 12 lápis serão
separados em subconjuntos de 3 lápis cada um, quantos conjuntos serão feitos?
Em atividades de divisão-repartição, a criança sabe, por exemplo, que deve distribuir os 12 lápis em 4
caixas ou pelos 4 cantos da mesa. Isso permite a aplicação de uma estratégia simples: ela pode distribuir
1 lápis de cada vez, até que os lápis se esgotem. Após essa ação, ela verifica, então, quantos lápis ficaram
em cada caixa ou canto da mesa. Já na divisão-comparação, a criança tem os mesmos 12 lápis sobre
a carteira e sabe que deve formar grupinhos de 3 lápis. Ela deverá aplicar outra estratégia: separar seu
material de 3 em 3 e verificar, ao final da atividade, “quantos cabem”, ou seja, qual a quantidade de
grupos formados (BRASIL. (a), 1997).
Sequências usando a divisão repartição
1) Um video game custa em média R$ 1.000,00. Quanto custará cada parcela, se o valor for
dividido em 4 vezes?
2) Um álbum de figurinhas tem 576 figurinhas. Quero distribuí-las igualmente em 64
páginas. Quantas figurinhas deverão ser coladas em cada página?
Sequências usando a divisão comparação ou medida
1) Em um prédio de apartamentos, uma reforma custou R$ 6.150,00. Para cobrir as despesas,
os moradores de cada apartamento deram R$ 150,00. Quantos eram os apartamentos?
2) Preciso distribuir 1.230 refrigerantes em caixas. Cada caixa cabe 24 refrigerantes.
a) Quantas caixas ficarão completas?
b) Quantos refrigerantes caberão na caixa incompleta?
1.2.5 Frações
As frações surgem, depois de todas as operações com números naturais terem sido inventadas,
da necessidade do homem quantificar e registrar partes (frações/farturas) de um todo, que pode
ser um objeto ou uma quantidade numérica abstrata.

33
As operações com frações tornam-se um difícil aprendizado para os alunos se partirmos para
a explicação dos conceitos sem que eles tenham atingido a compreensão de sua utilização na
prática. É indispensável o contato com material concreto e com dados da realidade, como uma
forma de ajudar os alunos a perceberem a utilidade prática de aprender a lidar com números
fracionários.
Apresentamos a seguir uma sequência interessante que busca sistematizar a leitura, o registro e o
uso dos números representados por frações mais comuns. Visa levar o aluno a compreender e calcular
frações de quantidades utilizando pesquisa, desenho e material concreto e o ensina a comparar frações
e atingir a noção de equivalência de frações.
Saiba mais
Você encontrará observações e sugestões interessantes de atividades no
endereço <http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/fasciculo_mat.pdf>.
A fração é um conceito matemático amplamente utilizado na nossa vida prática. Quando fazemos
receitas em nossa cozinha, ou quando enchemos o tanque de combustível, estamos operando com
frações, sem necessariamente estar entendendo os conceitos envolvidos.
Nessa aula, pretendemos utilizar os conhecimentos trazidos pelos alunos e suas experiências do dia
a dia para dar significado aos conceitos sistematizados sobre as operações com frações, estabelecendo
assim um diálogo entre os conhecimentos empíricos (da experiência dos alunos) e os sistematizados
pela escola (teóricos).
Exemplo de atividdade
Sequência de frações
Estas atividades são recomendadas para o 3º e 4º anos.
Método de trabalho: análise e reflexão em grupo, experimentação e pesquisa em grupo
e individual, registro coletivo de informações, atividades escritas para serem resolvidas
coletiva e individualmente, resolução de situações-problema e aulas expositivas.
Material necessário: recipientes (garrafas, vasos, copos, xícaras e outros), diversos
alimentos (de acordo com a receita utilizada), folhas de sulfite e cartolina (para cartazes).
Avaliação: contínua e progressiva. A cada passo o professor avalia, por meio de diversos
instrumentos (observação, atividades avaliativas escritas, entre outras), e com base nessas
avaliações ele planeja suas ações.

34
Unidade I
Descrição da aula
Primeiro passo
Levaralgumasreceitasemqueapareçamfraçõesparaasaladeaula,epedirqueosalunos,
em grupos, destaquem a forma como estão registradas as quantidades de ingredientes.
Abordar com os grupos suas conclusões e dúvidas, destacando na lousa as informações
obtidas e ressaltando de que maneira se lê e se interpreta os números representados por
frações.
Oprofessornãoprecisanecessariamenteutilizarostermos“numerador”e“denominador”,
porém precisará explicar aos alunos como se lê um número fracionário. Deverá deixar claro
que o número que fica acima do traço (numerador) lê-se exatamente como é (um, dois, três
etc.), e que o número abaixo do traço (denominador), possui um nome particular: “2” lê-se
meio, “3” lê-se terço, “4” lê-se quarto, e assim por diante.
É importante explicar que o número fracionário representa uma parte do todo que
se quer utilizar. Portanto, quando se diz 1/4 (um quarto) do quilo de café, significa que
ao dividirmos o quilo de café em quatro partes, queremos utilizar apenas uma delas. Esta
explicação deverá ser retomada a todo instante, seja na orientação teórica, seja na utilização
de material concreto, para fixar com os alunos o seu significado.
Dica: Utilizar um quadro pode ser uma boa maneira de deixar esta explicação exposta
para futuras consultas.
Quadro 3 – Números e frações de 1 a 9
2 3 4 5 6 7 8 9
meio terço quarto quinto sexto sétimo oitavo nono
Segundo passo
Propor algumas atividades, tais como:
• fazer com os alunos algumas receitas em que sejam utilizadas frações;
• utilizar recipientes (copo, vaso, xícara, garrafa) para medir quantidades, por exemplo:
1/2 xícara de açúcar, 1/4 de litro de leite, entre outros;
• utilizar alimentos que possam ser divididos, como pizza 1/2 mussarela 1/2 calabresa, 1/4
de quilo de café, entre outros.
Observação: nesta atividade o professor deverá retomar a ideia inicial, explicando que o
número fracionário representa uma parte do todo que se vai utilizar. Por exemplo, que 1/2
é a metade de um todo, ou seja, de um todo divido em duas partes.

35
Terceiro passo
Pedir aos alunos que pesquisem em quais situações do cotidiano se utilizam frações. O
professor também pode sugerir portadores de fração (receitas, cartazes etc.), caso os alunos
não tragam material suficiente. É possível que surjam respostas como:
• receitas: 1/2 xícara, 1/4 de copo, 1/2 litro, 1/2 quilo;
• relógio: meia hora, meio-dia, meia-noite, 1/4 de hora;
• tanque de combustível: 1, 3/4, 1/2, 1/4;
• meias: meia 3/4, meia 7/8;
• construção civil: 1/2 metro, 1 1/2 polegada, 1/4 de areia;
• estatísticas: 1/3 da população; 1/4 das urnas foram apuradas até o momento.
As informações devem ficar registradas em local de fácil consulta (caderno, mural,
cartaz).
Tendo como base as informações obtidas, portadoras de fração, o professor poderá
desenvolver diversas situações-problema, como por exemplo:
1) Para ir para o trabalho meu pai utiliza 15 litros de gasolina, ou 1/4 de tanque de
combustível. Responda:
a) Quanto ele gasta para ir e voltar?
( ) 3/5 ( ) 1/4 ( ) 1/2 ( ) 3/4
b) Quantos litros ele gastará deixando o tanque vazio, sabendo que 1/4 corresponde a
15 litros?
2) Se 1/3 das urnas foram apuradas em 4 horas, quantas horas levará a apuração inteira?
3) Numa sala de aula há 36 alunos, e 1/3 deles possuem animais de estimação. Quantos
não possuem?
Dicas:
• Redigir receitas com os alunos pode ser uma boa maneira para que aprendam a
registrar números fracionários. Elaborar as receitas também pode ajudar a fixar os
conceitos aprendidos.
• O trabalho com estatísticas pode enriquecer a aprendizagem. Por exemplo, pode-se
montar com os alunos um gráfico representando diversas situações, como a fração

36
Unidade I
de alunos do sexo masculino e feminino, a fração de alunos que moram em casa ou
apartamento, e assim por diante.
Quarto passo
A partir do trabalho com os números fracionários na prática, e verificando a real
compreensão dos alunos, o professor poderá introduzir conceitos importantes para as
operações com números fracionários.
Numerador e denominador
Numerador: é o número que fica acima do traço. Ele numera a quantidade de partes
utilizada do todo.
Denominador: é o numero que fica abaixo do traço. Ele denomina a quantidade de
partes em que foi dividido o todo.
1/4
Frações equivalentes e simplificação de frações
Exercícios com papel podem ajudar os alunos a entenderem a noção de equivalência e facilitar a
compreensão na hora de operar a adição de frações com mesmo denominador.
Uma forma de realizar esse trabalho é entregar a cada aluno várias tiras de papel de mesmo
comprimento e altura. Elas deverão ser dobradas ou cortadas para formarem as seguintes operações:
1/2 + 1/2 = 2/2 ou 1 inteiro
1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 ou 1 inteiro
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 4/4 ou 1 inteiro
1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 5/5 ou 1 inteiro
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 ou 1 inteiro

37
1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7+ 1/7 + 1/7 = 7/7 ou 1 inteiro
1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 +1/8 + 1/8 = 8/8 ou 1 inteiro
Com o material nas mãos, o professor poderá trabalhar com os alunos a equivalência entre frações,
mostrando que existem certas porções iguais em inteiros de um mesmo tamanho, quando divididos (é
o que acontece quando tomamos 1/2, 2/4, 3/6 ou 4/8, e assim por diante).
Ainda utilizando esse tipo de material, o professor poderá trabalhar com os alunos a simplificação
de frações. Em vez de apenas ensinar o processo de divisão do denominador pelo numerador, ele poderá
comprovar, na prática, que 12/36 equivalem a 1/3, quando se trata de inteiros de mesmo tamanho.
Alguns problemas envolvendo frações
1) Numa área reservada foram plantadas 396 árvores. A terça parte desse total é de
pinheiros. Quantos pinheiros existem nessa área?
2) Karim e Luiza estão lendo um livro de crônicas que contém 348 páginas. Karim já leu
3/4 do livro, e Luiza já leu 3/6.
a) Sem fazer nenhum cálculo, você consegue saber quem leu mais páginas? Explique.
b) Quantas páginas faltam para cada uma terminar de ler esse livro?
3) O pipoqueiro da escola ganha R$ 273,00 por semana. Quanto ele receberá se trabalhar
19 dias?
4) Toda 6ª feira vou para a escola com R$ 36,00 e só gasto 2/6 deste dinheiro. Com
quanto volto para casa?

38
Unidade I
5) Recebo de meu pai R$ 210,00 de semanada.
a) Quanto posso gastar por dia de forma que eu tenha dinheiro a semana toda?
b) Quero comprar um tênis que custa 3/7 da minha mesada. Quanto custa o tênis?
c) Quanto vai me sobrar em dinheiro?
d) Do restante do meu dinheiro, vou gastar 2/4 em roupa. Quanto vou gastar em
roupa?
6) Numa sala de aula com 40 alunos, 3/4 são meninos e o restante meninas. Quantas são
as meninas? Desenhe a fração.
7) Juliana já leu 1/7 do livro “A droga da obediência”.
a) Desenhe a fração.
b) Sabendo-se que o livro tem 105 páginas, quanto Juliana já leu?
c) Quanto em fração falta para ela terminar de ler o livro?
8) Na prova de Ciências, Cláudia acertou 5/7 das questões. Sabendo-se que ela errou 6
questões, responda:
a) Quantas questões Cláudia acertou?
b) Quantas questões havia na prova toda?
c)Desenhe a fração.
Saiba mais
Para conhecer outras maneiras de trabalhar as quatro operações e a
fração/porcentagem, acesse o site do Programa de Formação Continuada
de Professores dos Anos/Séries Iniciais do Ensino Fundamental: <portal.
mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>. Sugerimos especial atenção aos
fascículos 2 e 4.
1.3 Espaço e forma
Trabalhamos os objetivos e conteúdos de espaço e forma durante todo o Ensino Fundamental (1º
ao 5º anos). Espera-se que as crianças se aproximem do uso de instrumentos e sistemas de medidas
convencionais, utilizando procedimentos pessoais e unidades de medida não convencionais – por
exemplo, medindo objetos e espaços com os pés, as mãos e pedaços de barbante. Futuramente, aprendem

39
a usar régua, metros, trenas e outros instrumentos padronizados de medidas, além de se familiarizarem
com conceitos de metro (m), centímetro (cm), metro linear, metro quadrado e metro cúbico.
Oobjetivo,segundoosPCNdeMatemática(BRASIL,1997),équeosalunospossamteraoportunidade
delidarcomesseselementosemsituaçõesdocotidiano,equerealizemalgumasestimativasderesultados
de medições. Espera-se que o aluno utilize elementos de posição como referência para situar-se e
movimentar-se em espaços que lhe sejam familiares, assim como para definir a situação de um objeto
num determinado espaço.
Acerca da forma (ou geometria), deseja-se que o aluno seja capaz de estabelecer semelhanças e
diferenças entre os objetos, pela observação de suas formas.
Nas aulas sobre espaço e forma, devemos proporcionar diferentes situações que levem o aluno a
realizar observações e chegar a conclusões associadas ao que observa no cotidiano. Não se trata, de
forma absoluta, de “decorar conceitos”, saber de memória o nome dos sólidos geométricos ou das
formas planificadas. As crianças devem ser incentivadas a se expor de forma gráfica, oral, trazendo e
mostrando materiais etc.
1.4 Geometria e medidas
Geometria é o estudo das propriedades dos objetos e das transformações às quais podem ser
submetidas,comoalteraçãodeposição,alteraçãodetamanhooudeformações.Porcausadenecessidades
humanas, o nosso mundo é constituído de objetos que agem uns sobre os outros, transformando-se
mutuamente, e de ações humanas que causam modificações a esses objetos. Podemos mesmo dizer que
o mundo em que vivemos é geométrico. Talvez seja por isso que a Geometria foi o primeiro corpo de
conhecimento a se organizar historicamente em um sistema ordenado e coerente de ideias a respeito do
mundo. O método criado para isso, o dedutivo, serviu depois de modelo para todas as demais ciências
ao longo da história.
Desde o seu nascimento, as ações da criança ao explorar o espaço e conhecê-lo revelam uma
geometria espontânea, isto é, independente dos ensinamentos escolares, mas influenciada pelo meio
social e pela riqueza das experiências da criança. É por isso que a criança é um ser inquieto, que se
movimenta, sem descanso, por todos os lados, manipulando e explorando ativamente os objetos que a
rodeiam, primeiro pelos sentidos e, mais tarde, pela razão.
A Geometria está também presente na natureza. Malba Tahan (2001) expressa bem esta questão:
É notável a variedade de formas geométricas que os organismos vivos
nos apresentam. Os alvéolos das abelhas apresentam a forma de prismas
hexagonais que se fecham por meio de três losangos iguais e ligados. Pode-
se ver a hélice cônica rigorosamente desenhada no perfil de uma concha.
No girassol vemos um feixe de espirais logarítmicas e as curvas, com um
ponto em comum, formam um entrelaçamento de rara beleza. Um caramujo
se desenvolve segundo uma espiral logarítmica. A geometria, disse Platão,

40
Unidade I
existe por toda parte. No disco do Sol, na folha da tamareira, no arco-íris, no
diamante, na estrela do mar, na teia de aranha, na flor de maracujá. Vamos
encontrar, no perfil de certas palmeiras, uma curva que os matemáticos
estudam e analisam como todas as minúcias. É a curva logarítmica. É a
forma adotada por um princípio de economia, pois o vegetal, adotando
o perfil logarítmico, pode, com a menor quantidade de material, resistir
melhor ao empuxo do vento. O engenheiro, depois de longas e laboriosas
transformações de cálculo infinitesimal, demonstra que a curva logarítmica
é o perfil mais conveniente para uma torre de farol. A palmeira parecia
conhecer esse segredo (TAHAN, 2001 pp. 45-46).
Saiba mais
Sugerimos que o educador conheça a obra O homem que calculava,
escrita por Malba Tahan, na qual é encontrado um importante referencial
sobre a história da Matemática e diversos conteúdos matemáticos em
forma de romance, que podem ser adaptados a crianças de qualquer
idade.
A Geometria está presente em várias áreas da atividade humana, como a do engenheiro, do arquiteto,
do decorador de ambientes, do paisagista, dos operários da construção civil, do artista plástico, do
coreógrafo, da organização do tráfego de uma cidade, da costureira, do estilista de moda, do piloto de
avião, do comandante de um navio e até mesmo do menino que dobra e recorta papéis ou madeira para
fazer um brinquedo.
Sendo assim, poderíamos pensar que a aquisição racional das relações espaciais se daria
espontaneamente no indivíduo, decorrendo naturalmente de estímulos ambientais aleatórios. Mas isso
não é verdade. São precisos vários anos de desenvolvimento da criança para que se possa construir o
espaço perceptual, com a participação fundamental da maturação orgânica e psicológica. Por outro
lado, a construção do espaço conceitual, ou lógico, é devida em grande parte à aprendizagem e ao
desenvolvimento de relações perceptivas e do raciocínio lógico. É aí que entra o papel da escola com o
ensino da Geometria.
Saiba mais
Sugerimos também o acesso ao endereço eletrônico do programa Arte
na Matemática, que trata de maneira instigante a Geometria e outros
conteúdos matemáticos. Disponível em: <http://www2.tvcultura.com.br/
artematematica/home.html>.

41
Para muitos professores, o ensino de Geometria no Ensino Fundamental é associado apenas ao
trabalho de nomear figuras simples, como quadrado, triângulo, retângulo e círculo, e calcular a área
e perímetro dessas figuras. Isso, além de não esgotar o conteúdo geométrico necessário no Ensino
Fundamental, se constitui em seus assuntos terminais.
Para ensinar Geometria para crianças, há que se buscar um ensino conceitual construtivista que
propicie um aprendizado não apenas por meio dos sentidos, mas baseado em conceituação e construção
em uma exploração ativa dos objetos reais, funcionando como retificadores de erros resultantes da mera
avaliação perceptiva ou de ideias preconcebidas.
Lembrete
A manipulação de objetos concretos não conduz necessariamente
à formação de conceitos. Os objetos concretos devem permear todo o
processo de aprendizagem, mas só se prestam à análise geométrica quando
mediados pelos conceitos e construções.
Não é suficiente afirmar que o ensino de Geometria deve se iniciar pelo estudo dos objetos reais e
desenvolver-se no sentido espaço-plano. É preciso que o ensino-aprendizagem de Geometria não tenha
um sentido único e obrigatório de percurso. Deve ser um “ir e vir” de explorações de superfícies e sólidos
do espaço tridimensional sempre que possível e necessário, favorecendo o estabelecimento de relações
entre essas dimensões.
Saiba mais
Para obter algumas sugestões de atividades envolvendo geometria,
acesse o site: <http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-
pedagogica/tangram-geometria-figuras-planas-618928.shtml>.
O ensino de Geometria para crianças deve priorizar a exploração conceitual e lógica de fenômenos
relativos:
• à forma dos objetos, distinção, reconhecimento e representação;
• às relações posicionais dos objetos entre si e de suas partes;
• às relações métricas dos objetos;
• às propriedades das transformações aplicadas aos objetos.
Para tanto, o professor deve proporcionar aos seus alunos experiências de classificações sucessivas
utilizando critérios ou conceitos, indo dos mais gerais aos mais específicos. Dessa forma, as figuras

42
Unidade I
mais utilizadas na escola aparecerão no final do processo, pois as crianças precisarão de conceitos
intermediários para construírem autonomamente essas figuras, conhecendo com profundidade tais
figuras e as relações entre elas.
Um bom exemplo disso é o trabalho didático que se pode fazer com o tangram, um antigo jogo
chinês que, com sete peças geométricas, admite a montagem de um grande número de figuras. As
peças são sempre um quadrado, um paralelogramo e cinco triângulos retângulos. Essas peças têm
relações de tamanho entre elas, de tal forma que, dois dos triângulos podem formar o quadrado
por justaposição, isto é, se colocados lado a lado sem superposição. Esses mesmos dois triângulos
podem formar um outro triângulo e também um paralelogramo. E essas cinco peças menores
podem todas juntas formar os dois triângulos grandes do jogo. É fácil concluir que existem várias
relações de forma e tamanho entre as peças, o que permite ao professor trabalhar com os alunos
situações que vão desde as posições das peças até o conceito de fração mediante a comparação
dos tamanhos das peças.
Saiba mais
Você pode conhecer mais sobre o uso de dobraduras no ensino de
Geometria consultando os sites:
<http://euler.mat.ufrgs.br/~ensino2/alunos/02/index.html>;
<http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/2007/trab_finais/EF-TrabFinal-
Edney.pdf>.
1.4.1 Dimensões
O critério geométrico mais comum para a classificação de objetos está baseado no conceito de
dimensão.
Considerando um objeto como uma linha, podemos verificar que, ao cortá-la em duas partes, o corte
utiliza só um ponto. Assim, todo objeto que tem como seção um ponto é unidimensional. É chamado
de curva ou caminho.
Uma folha de papel sulfite, por exemplo, se for dividida em dois pedaços, o corte será feito sobre
uma curva ou caminho. Objetos cujo corte é uma curva ou caminho são objetos bidimensionais. Um
objeto bidimensional é chamado de superfície.
Se uma bola de isopor for cortada em duas partes, o corte será uma seção bidimensional. Objetos
cujo corte é bidimensional, como uma bola, são chamados tridimensionais. Todo objeto que for
tridimensional é um sólido.

43
Para o desenvolvimento de noções geométricas, o professor deve preparar para as aulas um
universo de objetos variados com a participação dos alunos. Esse universo deve ser composto
por rolhas, borrachas de várias formas, objetos de isopor, massa de modelar, barras de sabão,
pedaços de linha de várias cores, fios de cobre recobertos e coloridos, barbante, dobraduras de
papel colorido, embalagens, copinhos de plástico, pratinhos de papelão, sólidos geométricos de
madeira, bolinhas de pingue-pongue, bolinhas de gude, poliedros de cartolina, legumes, lâminas de
alumínio, molas, fios flexíveis, moedas, anéis, figuras geométricas planas que podem ser acopladas
com elásticos para montar sólidos.
Inicialmente, o professor deve pedir aos alunos para que separem os objetos em grupos,
usando critérios de semelhança. São classificações espontâneas, que deverão ser exploradas pelo
professor com o objetivo de verificar quais os critérios que inspiraram tais classificações. Esses
critérios são geométricos?
O professor deve pedir que os alunos verbalizem e expliquem tais separações, observando
a linguagem geométrica espontânea da criança. Aos poucos, o professor vai escolhendo certos
grupos de objetos que permitem a exploração de intuições geométricas propriamente ditas. O
professor pode escolher objetos de dimensões diferentes e, com ajuda de uma faca ou tesoura,
trabalhar com os alunos o conceito de corte como recurso de classificação, introduzindo os
conceitos de curva, superfície e sólido.
A seguir o professor pode iniciar com os alunos o estímulo às representações dos diferentes objetos
estudados. Exemplo: uma argola, uma moeda e uma bola de gude. Propor que os alunos desenhem esses
objetos de modo que o aluno os reconheça nas suas diferenças, apenas observando os desenhos.
O professor deve comentar com toda a classe os vários trabalhos dos alunos, discutindo com eles
a necessidade de fixar alguns critérios para representar figuras parecidas em uma folha de papel,
levantando questões como quais foram as figuras de maior dificuldade de representar e por que. Deve-
se ainda associar essas dificuldades à noção de dimensão e discutir as formas de representação feitas
pelos alunos e as vantagens de se adotar padrões de representação.
1.4.2 Identificação de figuras
Além de definir a dimensão do objeto, o segundo critério para classificação de objetos é o conceito
de planicidade. As superfícies dividem-se em planas e não-planas. Uma superfície é considerada plana
quando não possuir ondulações, depressões, dobras ou rugosidades em qualquer de suas partes.
Intuitivamente, toda superfície plana deve resistir ao teste da mesa. Ao colocá-la sobre uma mesa, todos
os seus pontos devem tocar na mesa. Caso contrário, será não plana.
Chamamos todas as linhas de curvas, e podem ser abertas ou fechadas. As abertas têm começo e
fim, e as fechadas podem ser percorridas indefinidamente e sempre se volta ao ponto inicial. As curvas
planas encostam todos os seus pontos em um plano, e as não planas não encostam. Uma curva é
simples quando, ao ser percorrida, não passa mais de uma vez por nenhum dos seus pontos, ou seja, não
há intersecção em nenhum ponto dela.

44
Unidade I
Exemplos:
curva plana simples fechada curvas planas simples abertas
curva plana não simples fechada curva plana não simples aberta
Figura 3
Curvas
Recorte pedaços de 20 cm de barbante, um para cada aluno. Peça que eles joguem o
barbante sobre a mesa e copiem o formato das linhas em uma folha de sulfite, escrevendo
ao lado do desenho sua classificação (se é curva plana simples fechada, curva plana simples
aberta, curva plana não simples fechada e curva plana não simples aberta). Os alunos podem
colar o barbante na última jogada, classificar a curva e colocar seu trabalho em um mural
para que todos da sala possam consultar.
O conceito de reta define que ela é ilimitada dos dois lados. Quando se delimita uma parte da reta
por dois pontos, a parte que está entre os dois pontos é um segmento de reta. Quando vários segmentos
de reta estão se tocando e têm direções diferentes, temos uma linha poligonal e, se essa linha for
fechada, teremos um polígono. Exemplos:
linha poligonal aberta linha poligonal fechada – polígono
Figura 4
Os segmentos de reta podem ser classificados pela sua posição relativa no espaço:
• segmentos paralelos nunca se cruzam e os pontos de ambos estão em um mesmo plano;
• segmentos concorrentes possuem um único ponto em comum e não são coincidentes;

45
• segmentos colineares ocorrem quando os seus prolongamentos são coincidentes;
• segmentos reversos não se cruzam e não pertencem ao mesmo plano.
Exemplos:
segmentos paralelos segmentos concorrentes
A B C
segmentos colineares
Figura 5
Esses critérios de classificação de linhas e segmentos permitem definir os polígonos.
Um polígono é uma curva plana, fechada, simples, formada por segmentos de reta consecutivos e
não colineares. Ou melhor, é uma superfície plana delimitada por uma linha poligonal fechada. Exemplos
de polígonos:
Figura 6
No quadro a seguir é possível ver a posição dos polígonos em relação às figuras do espaço.
Quadro 4 – Polígonos
Sólidos Superfícies
Curvas
abertas
Curvas fechadas
Sólidos
geométricos
Planas
Abertas
simples
Fechadas
simples e não
polígonos
Polígonos Simples
Planas
Abertas não
simples
Fechadas não simples Não simples
Não planas Não planas
Cadasegmentoderetadopolígonoseráumdeseuslados,ecadapontodeintersecçãooucruzamento
de dois lados será um vértice do polígono.
Os polígonos podem ser classificados pelo número de lados. O número mínimo de lados é três e será
o triângulo. Veja a lista:
• 3 lados – triângulo;

46
Unidade I
• 4 lados – quadrilátero;
• 5 lados – pentágono;
• 6 lados – hexágono;
• 7 lados – heptágono;
• 8 lados – octógono;
• 9 lados – eneágono;
• 10 lados – decágono.
Se os lados do polígono são todos do mesmo comprimento, então é um polígono regular. Se os lados
são diferentes é um polígono irregular.
A classificação dos quadriláteros é bem interessante. Se os 4 lados são paralelos dois a dois,
chama-se paralelogramo. Se dois lados são paralelos e dois não, então é um trapézio. Se os
quatro ângulos são retos (com 90º), é um retângulo. Se todos os lados são iguais e paralelos, é um
losango. Quando o quadrilátero for ao mesmo tempo retângulo e losango, ele será um quadrado.
Veja no esquema a seguir:
• os quadriláteros dentro da linha marrom são trapézios;
• os quadriláteros dentro da linha preta são todos paralelogramos;
• os quadriláteros dentro da linha azul são losangos;
• os quadriláteros dentro da linha vermelha são retângulos.
Observe onde estão os quadrados. Eles são ao mesmo tempo retângulos e losangos.
Figura 7
Para que os alunos cheguem a estabelecer essas relações, é interessante oferecer a eles
atividades de construção de figuras com quebra-cabeças de cartão ou madeira (como o tangram),
montagem de figuras com palitos de sorvete, percevejos de metal e um geoplano, que é uma placa
com vários pregos onde se podem criar figuras com elásticos. Atividades de recortes de papel e
colagem e dobraduras.

47
1.4.3 Simetria
Além de classificar as figuras, é interessante propor aos alunos a observação das posições dos
objetos no espaço, bem como as transformações dessas posições sem alteração de forma e tamanho:
transformações isométricas.
As transformações isométricas nos permitem perceber as simetrias, que podem ser por translação,
por rotação e por reflexão. As translações são resultado de movimentos das figuras sobre retas
paralelas, como os vagões de um trem sobre seus trilhos. As rotações são movimentos das figuras sobre
circunferências, como, por exemplo, os ponteiros do relógio. As reflexões são movimentos das figuras
em volta de um eixo, como o fenômeno de reflexão diante de um espelho.
Oestudodessesmovimentos,quemudamasposiçõesdasfigurassemalterarsuasformasedimensões,
é importante para desenvolver a percepção espacial das crianças e tem influência na alfabetização, pois
nosso alfabeto possui letras que têm a mesma forma e se diferenciam apenas pela sua posição no
espaço, como visto em:
• “b”, “p” e “q”;
• “u” e “n”,
• “6” e “9”,
• “E” e “3”.
Entre as letras “p” e “q” há uma simetria por reflexão. Veja a representação a seguir na qual a linha
vertical representa o espelho.
p q
Entre as letras “b” e “q” há uma simetria por rotação, o mesmo que entre “n” e “u” e entre os números
6 e 9.
6 9 b q n u
Figura 8

48
Unidade I
Para ajudar a criança a descobrir esses conceitos e os efeitos dessas transformações, o professor pode
recorrer a atividades de dobradura, recorte e colagem, montagem de figuras (como quebra-cabeças),
construções com blocos de montagem e observação dessas construções diante de um espelho, além de
desenhar em frente ao espelho e observar fatos do cotidiano, como o letreiro das ambulâncias. Podem
também ser realizadas atividades de artes plásticas, como desenhar rosáceas com ajuda de compasso
e régua, observar mosaicos antigos e padrões de cerâmicas encontrados em pisos e revestimentos de
paredes, assim como criar, por meio de desenho ou mediante recorte e colagem, padrões e montagem de
mosaicos. Há também as dobraduras acompanhadas de recortes que dão um efeito mágico para crianças,
como aqueles bonecos de papel que, quando são desdobrados, parecem de mãos dadas. Também são
úteis as atividades de ginástica rítmica em frente ao espelho e exercícios de mímica.
Como você pode ver aqui, a geometria pode ser integrada às aulas de alfabetização, de artes e
educação física.
Saiba mais
Você pode conhecer mais sobre Matemática e arte visitando exposições
de arte como a do artista Escher ou visitando o site da Fundação Escher:
<http://www.mcescher.com>.
Há também artistas brasileiros que pesquisam simetrias em mandalas
como Marisa Nunes. Você pode conhecer algumas obras dela no site:
<http://www.girassol355.com.br/marisa.nunes/Mandalas/Mandalas.htm>.
1.4.4 Conceito de medida
O conceito de medida apoia-se na noção de comparação de tamanhos. Pode-se iniciar as atividades
com os alunos pela comparação dos tamanhos das curvas entre si, com a finalidade de levantar, discutir
e desfazer as possíveis ilusões dos alunos associadas à noção de comprimento. Uma ilusão muito
frequente é a de que apenas a comparação das extremidades das curvas entre si é suficiente para decidir
a respeito dos seus comprimentos. Nesse sentido, as curvas 1 e 2 a seguir teriam, para muitos alunos, o
mesmo comprimento, ao passo que as curvas 3 e 4 teriam comprimentos diferentes, pelo simples fato
de a curva 4 avançar em relação à curva 3, desprezando, ou não se atendo ao fato, de que esse avanço
da curva 4 é compensado pelo mesmo avanço em sentido oposto da curva 3.
Curva 1
Curva 2
Curva 3
Curva 4
Figura 9

49
Outra ilusão que ocorre é a de que a mudança da forma de uma curva altera o seu comprimento.
Assim, se imprimirmos um fio esticado à forma de uma mola, ou então ligarmos as suas extremidades
formando uma curva fechada, muitos alunos acreditarão que o comprimento da curva inicial foi alterado.
Um trabalho prévio de comparação de curvas entre si é necessário para que o professor avalie o
estágio em que a maioria dos alunos se encontra em relação à noção de comprimento. É também um
pré-requisito para a determinação do comprimento por meio do método de cobrimento do objeto por
uma unidade de medida. Para isso é interessante apresentar situações de vários tipos:
• curvas que possuem a mesma forma e mesmo comprimento;
• curvas que possuem a mesma forma e comprimentos diferentes;
• curvas que possuem formas diferentes e mesmo comprimento;
• curvas que possuem formas diferentes e comprimentos diferentes.
Essas atividades podem ser feitas com a manipulação de fios maleáveis de cobre, uns cortados em
comprimentos diferentes e outros em comprimentos iguais. Mudando as formas dos pedaços de fios e
apresentando-os aos alunos, esses devem observar e decidir quais têm o mesmo comprimento. Pede-se
que os alunos organizem os fios de comprimento diferente em ordem crescente. A seguir eles devem
conferir mudando as formas para melhor compararem.
Outro tipo de atividade é fornecer curvas impressas em uma folha de papel, barbante para medir,
cola, tesoura e pedir que façam as comparações. Veja no exemplo:
Curva 1
Curva 2
Curva 3
Curva 4
Figura 10
Lembrete
Você pode usar vários materiais como fios de náilon, corda, lã, barbante
e fios de cobre flexíveis, cobertos de várias cores, cortados de vários
tamanhos iguais e diferentes, e pedir aos alunos que criem formas variadas
e depois que comparem os comprimentos. Depois eles mesmos devem
conferir, criando um método próprio de comparação.

50
Unidade I
Devem também ser abordados com os alunos outros tipos de atividades que possibilitam a
comparação de tamanhos das superfícies planas entre si, a partir do método do cobrimento, como,
por exemplo, o que os pedreiros fazem ao colocar cerâmica em um piso ou azulejos em paredes.
Outro tipo de exercício é o que se faz decompondo uma superfície por recorte e transformando-a
em outra, pela desmontagem e remontagem com outra forma. Muitas vezes os alunos pensarão
que a nova figura é maior ou menor que a figura inicial, porque mudou de forma, mesmo sem
perder nenhum pedaço.
Atividades com esse objetivo podem ser feitas com recorte e colagem de formas em papel colorido,
para recobrir uma superfície previamente desenhada com a formação de mosaicos, por exemplo. Outro
tipo de recurso pode ser feito com montagens variadas a partir de um mesmo conjunto de figuras, como
é o caso do tangram.
Dizemos que duas superfícies são do mesmo tamanho quando uma das seguintes hipóteses se
verifica:
• É possível sobrepor exatamente uma à outra pela simples mudança de posição de uma delas,
ou seja, por meio de movimentos de rotação, translação, reflexão ou de combinação desses
movimentos.
• Existe pelo menos uma maneira de cortar uma delas em um certo número de partes que, dispostas
de outra forma, sem superposição de partes, cobrem exatamente a outra superfície, como no caso
das figuras feitas com as sete peças do tangram.
Exemplos:
A B C D
Figura 11
As figuras A e B podem ser sobrepostas exatamente por movimento combinado de rotação e
translação. As figuras C e D podem ser sobrepostas cortando-se o retângulo C na linha que o atravessa
no desenho e com os dois triângulos obtidos pelo corte da figura D. Outra forma é cortar o triângulo D
e com as duas partes obtidas sobrepor o retângulo C.

51
Observação
Você pode facilmente recortar um jogo de tangram a partir de um
quadrado de cartolina, cortando-o em diagonal obtendo dois triângulos
retângulos. Um dos triângulos você corta ao meio, obtendo dois triângulos.
Reserve essas duas peças. O outro triângulo grande você corta em cinco
partes conforme o esquema abaixo. Assim você junta as sete peças do jogo:
um quadrado, um paralelogramo e cinco triângulos de três tamanhos. Veja
a figura a seguir:
Figura 12
Essas atividades de movimentos de figuras, recorte e montagem ajudam o desenvolvimento dos
alunos. Esse tipo de abordagem inicial justifica-se pelo fato de o desenvolvimento do aluno passar por
certos estágios, durante os quais o seu pensamento prende-se a certas ilusões perceptivas relacionadas
com o conceito de área de uma superfície. Com tais atividades, o professor estará favorecendo esse
desenvolvimento.
Em uma segunda etapa, para medir comprimentos e superfícies, o professor deve apresentar aos
alunos os instrumentos de medida convencionais e propor o uso desses instrumentos para medir objetos
com os quais os alunos têm contato no seu cotidiano, assim como elaborar problemas que estimulem
a imaginação.
Medirosobjetos,asdistâncias,otempo,entreoutrascoisas,semprefoiumdesafioparaahumanidade.
O homem conseguiu estabelecer medições de quase tudo o que o cerca.
Desde o tempo em que a sobrevivência do ser humano dependia quase que totalmente do plantio e
da colheita, e que as condições do clima ditavam o sucesso ou não dessas, o homem começou a olhar o
céu para observar fenômenos, construir mapas celestes e fazer grandes medidas astronômicas. Quando
descobriu os micro-organismos e elementos minúsculos, como átomos, começou a fazer medições
microscópicas.
Entretanto, nas trocas, no comércio e nas relações culturais em geral, cada povo usava unidades
de medida diferentes. Na Inglaterra, a polegada, o pé, o estádio e a milha; na Rússia, o arcsin e o
verstas; e assim por diante. Com o desenvolvimento do comércio, das comunicações, das trocas
culturais e das ciências, foram fixadas, no século XIX, algumas unidades de medida internacionais,

52
Unidade I
a partir da fundação da Repartição de Pesos e Medidas, com sede em Paris. A primeira e mais
simples medida padronizada é a medida de comprimento cuja unidade é o metro linear.
Os alunos, que inicialmente tiveram a oportunidade de comparar os tamanhos das linhas em
busca de igualdade ou não, têm agora que ampliar o conceito de medida a partir da introdução de
unidades padronizadas para a medição do comprimento de objetos. Esse tema é importante porque
trará o conceito de número para o domínio das relações espaciais, possibilitando a continuidade
da exploração métrica do espaço com novos recursos. Assim, o aluno perceberá que a aritmética e
a geometria são dois ramos da Matemática que se relacionam, se fundem e se completam, abrindo
novos caminhos de conhecimento. Além disso, esse tema reforçará a compreensão do conceito de
equivalência de frações e dará a todos maior amplitude a esse conceito aplicado.
A medida é o resultado de um confronto, ou seja, só se pode medir o comprimento de um objeto
comparando-o com o comprimento de outro objeto que se toma como unidade de medida. O processo
de medição segue três passos:
• escolher outro objeto para funcionar como unidade de medida;
• verificar quantas vezes a unidade de medida escolhida cabe no objeto a ser medido;
• tentar encontrar um número que possa expressar rigorosamente o resultado da medição.

Existem casos específicos. A unidade de medida pode ser menor que o objeto e caber nele um número
inteiro de vezes, resultando como medida um número inteiro. Às vezes, a unidade de medida escolhida
pode não caber um número exato de vezes no objeto, sobrando um pedaço. A unidade precisará então
ser dividida em pedaços menores, frações, que permitam medir o restante do objeto. Pode acontecer
também do objeto ser menor do que a unidade de medida, precisando então de frações da unidade para
que seja possível medir o objeto. Surge, assim, a necessidade dos submúltiplos da unidade. Se o objeto a
medir for muitíssimo maior que a unidade de medida, o número que resulta da medição é muito grande.
Então torna-se interessante a criação de unidades de medida maiores para facilitar a medição, surgindo
os múltiplos.
Desta forma surgem as frações do metro (decímetro, centímetro e milímetro) e os múltiplos do
metro (decâmetro, hectômetro e quilômetro). Essas novas unidades de medida do sistema métrico são
expressas pelos números decimais.
O sistema métrico, surgido na França em 1790, é hoje utilizado em 138 países. Os Estados Unidos são
o único país desenvolvido que não o adotou oficialmente, embora também o utilizem. O Brasil assumiu
o sistema métrico decimal por meio da Lei Imperial, em 26 de junho de 1862.
É necessário fazer o aluno conhecer o metro visualmente, mediante a régua, a trena, a fita métrica
etc. A partir disso, basta proceder à construção dos seus submúltiplos. Depois, é preciso que o aluno
utilize esses instrumentos para efetuar medidas de objetos reais, e só então passará a medir segmentos
de retas das representações gráficas das figuras geométricas, podendo resolver problemas geométricos
mais teóricos.

53
Sequência de trabalho com o conceito de medidas que pode ser aplicado aos
alunos do 1º e 2º anos.
Exemplo A
Para esta atividade você precisará de:
• Régua.
• Estojo (com materiais).
• Lápis para escrever.
1) Meça com a régua o comprimento do maior objeto que tiver dentro do estojo.
Objeto: _________________
Medida: _________________
2) Agora meça com a régua o comprimento do menor objeto que tiver dentro do estojo.
Objeto: _________________
Medida: _________________
3) Você usaria sua régua para medir a altura de uma pessoa? Por quê?
Exemplo B
1) ________________ tem _____ centímetros de altura. Quantos centímetros faltam
para ele chegar a 150?
2) ________________ tem _____ centímetros de altura e o professor tem _____
centímetros. Se ________________ crescer _____ centímetros, ele vai alcançar a altura
do professor? Por quê?
3) ________________ tem _____ centímetros de altura. Se ele crescer 5 centímetros,
ele vai ficar com _____ centímetros.
Exemplo C
Lição de casa

54
Unidade I
1) Descubra a altura de sua mãe e escreva aqui.
2) Usando sua régua ou, se tiver, uma fita métrica ou trena, meça o tamanho da cama
em que você dorme e escreva aqui.
3) Sua mãe caberia em sua cama sem precisar dobrar o corpo?
Exemplo D
Lição de casa
1) Cada vez que você escova os dentes, usa 2 centímetros de pasta de dente. Escovando
os dentes 4 vezes ao dia você usará _____ centímetros por dia (se quiser use a régua).
Exemplo E
1) Complete as informações do quadro:
Quadro 5
Grupo/professor
Nome Idade Altura
Exemplo F
1) Complete este quadro com a sua altura e a de seus colegas:

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