ดาวน์โหลดหนังสือเตรียมสอบนักเรียนนายสิบตำรวจฟรีได้ที่ >>> http://bit.ly/police_cadets

1. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
การหาผลบวกและผลต่างของตัวเลข
ผลบวก คือการนาตัวเลขมาบวกกัน มักจะมีคาว่า รวมกัน
ผลต่าง คือการนาตัวเลขมาลบกัน มักจะมีคาว่า ต่างกัน
วิธีคิด ศตวรรษ = 100 ปี >>> 2 ศตวรรษ = 200 ปี
สหัสวรรษ = 1000 ปี >>> 2 สหัสวรรษ = 2000 ปี
สรุป 2 ศตวรรษ และ 2 สหัสวรรษ = 2200 ปี
วิธีคิด 15 - (-15) = 15 + 15 = 30
วิธีคิด จานวนเฉพาะคือ
จานวนที่ไม่มีตัวอื่นหารได้ลง
ตัว ยกเว้น 1 และ ตัวมันเอง
เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,
59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,
97, 101, 103, 107, 109, 113...

2. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
วิธีคิด 92
= 81
992
= 9801
9992
= 998001 ดังนั้นข้อนี้ คิดอย่างเร็วเลยครับ 9992
- 12
= 998001 – 1 = 998000
99992
= 99980001
ผลบวกของเลขหลายจานวนเรียงกัน
1. เลขหลายจานวนที่เริ่มต้นจาก 1
สูตร ผลบวก = ((ต +ป)ป)2 ;โดยที่ ต = เทอมต้น , ป = เทอมปลาย
เช่น จงหาผลบวกตั้งแต่ 1 – 25
วิธีคิด ผลบวกตั้งแต่ 1 - 25 = ((1+25) 25) 2 = 325
2. เลขหลายจานวนที่ไม่ได้เริ่มจาก 1
สูตร ผลบวก = ((ต + ป) ท) 2 โดยที่ จานวนเทอม(ท) = ปลาย – ต้น + 1
เช่น ผลบวกของเลข 50 ถึง 100 มีค่าเท่าไร
วิธีคิด ท = 100 – 50 + 1 = 51
((50 + 100) ท)  2 = ((50+100) 51)  2 = 3825
Trick!!~ จะเห็นแนวโน้มว่า 992
=9,801 , 9992
=998,001 และ 9,9992
=9,998,001
นั่นคือ มีเลข 9 ในโจทย์กี่ตัว ผลลัพธ์ออกมาจะได้ เลข 9น้อยกว่าโจทย์อยู่หนึ่งตัว มีเลข
8 ขั้นกลาง จากนั้นมีเลข 0 เท่ากับเลข 9 ที่เป็นผลลัพธ์ และลงท้ายด้วยเลข 1 ลองคิดดู
เล่นๆสิครับว่า 99,9992
= ????
เฉลยนะครับ !! 9,999,800,001

3. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
3. เลขหลายจานวนเรียงกันเฉพาะเลขคู่ หรือเลขคี่
สูตร ผลบวก = ((ต+ป) ท)  2
ท = (ปลาย - ต้น)  2) + 1
เช่น ผลบวกเลขคู่เรียงกันจาก 10 - 20 มีค่าเท่าไร
วิธีคิด ผลบวก จาก 10 – 20 = ((10+20)  ท)  2
ท=((20 – 10)  2) + 1 = 6
ผลบวก จาก 10 – 20 = ((10 + 20)  6)  2 = 90
ผลบวกเลขคี่เรียงกันจาก 1 - 15 = ((1+15) ท)  2
ท = ((15 - 1)  2) + 1 = 8
ผลบวกจาก 1 – 15 = ((1+15)  8)  2 = 64
เศษส่วนและทศนิยม
การบวก ลบ เศษส่วน
1. เศษส่วนชนิดเดียวกัน สามารถนาตัวเศษมาบวกลบกันได้เลย โดยตัวส่วนมีค่าเท่าเดิม
เช่น
5
10
5
7
5
3
 ,
21
90
21
77
21
13
 ,
9
3
9
2
9
5

2. เศษส่วนที่มีส่วนไม่เท่ากัน ทาเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนชนิดเดียวกันก่อน แล้วจึงนาเศษส่วนมาบวก
ลบกันเหมือนวิธี 1
การทาส่วนให้เป็นชนิดเดียวกันมีหลายวิธี

4. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
การแปลงเศษส่วน หมายถึง การเปลี่ยนแปลงเศษส่วนจากชนิดหนึ่งไปเป็นเศษส่วนอีกชนิดหนึ่ง
โดยที่ค่าเศษส่วนชุดเดิมนั้นไม่เปลี่ยนแปลง เช่นเศษส่วนเกินเป็นเศษส่วนคละหรือการแปลง
เศษส่วนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน เช่น
4
3
1
4
3
1
4
3
4
4
4
7

การขยายเศษส่วน หมายถึง เป็นการแปลงเศษส่วนอีกลักษณะหนึ่ง โดยให้จานวนเลขที่เป็น
เศษส่วนมีจานวนมากกว่าเดิม แต่ค่าของเศษส่วนชุดเดิมไม่เปลี่ยนแปลง
เช่น
3
1
6
2
6
2
2
2
3
1
3
1

การทอนเศษส่วน คือ การแปลงเศษส่วนที่ทาให้ตัวเลขทั้งเศษและส่วนน้อยลง โดยค่าของเศษส่วน
นั้นไม่เปลี่ยนแปลง หรือ เรียกอีกอย่างว่า การตัดเศษส่วน เช่น
2
1
4
2
 ,
3
1
9
3

การคูณเศษส่วน สามารถนา เศษคูณเศษ ส่วนคูณส่วน ได้เลย จากนั้นอาจจะสามารถทอนเศษส่วนหรือทา
เป็นเศษส่วนอย่างต่าได้เช่น
8
5
16
10
4
5
4
2
 ,
4
1
1
8
2
1
8
10
8
2
5  หรือ หรือใช้การตัดเลข เพื่อให้ได้
เศษส่วนที่น้อยลง โดยการตัดเศษและส่วน ก่อนทาการคูณ หรือเรียกว่า เทคนิคการตัดเลข
เช่น , ,
การหารเศษส่วน ทาได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายหารเป็นคูณแล้วกลับเศษเป็นส่วน แล้วทาเหมือนการคูณ
เศษส่วนได้เลย เช่น
8
7
1
8
15
2
5
4
3
5
2
4
3

ข้อควรจา ในการทาโจทย์ที่มีการบวก ลบ คูณ หารระคนกัน ให้ทาตามลาดับขั้นตอนดังนี้
1. ตัวเลขที่อยู่ในเครื่องหมายวงเล็บต้องทาก่อนอย่างอื่น
2. คาว่า "ของ" หมายถึงการคูณ
3. คูณ หาร ทาพร้อมกันได้
2
1
10
4
4
5
2
1

9
2
3
1
3
2
36
6
18
24 1
3
2
3

4
1
23
3
12
23
1
4


5. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
4. บวกลบทาพร้อมกันได้
5. ต้องทาคูณหารก่อนบวกลบเสมอ
วิธีคิด ทาเศษส่วนละคนให้เป็นเศษส่วนธรรมดาก่อนทาการบวก ดังนี้
1. นาตัวส่วน คูณ จานวนเต็ม แล้วบวกด้วยตัวเศษ จะได้ว่า
4
5
4
1
1  และ
10
21
10
1
2 
2. นา
10
21
4
5
 แต่ตัวส่วนไม่เหมือนกัน ต้องทาตัวส่วนให้เหมือนกันก่อน โดย นา 5 ไปคูณ
4
5
ทั้งเศษ
และส่วน และนา 2 ไปคูณ
10
21
ทั้งเศษและส่วน เพื่อให้ได้ตัวส่วนเป็น 20 ทั้งสองตัว
3. จะได้ว่า
20
7
3
20
67
20
42
20
25
10
21
2
2
4
5
5
5

วิธีคิด
1. ใช้วิธีลบธรรมดาไปเรื่อยๆ จนกว่าจะหมด จะได้ 5 ครั้ง

6. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
2. ใช้การหาร จะได้ว่า
2
5
2
1
2  และ
2
25
2
1
12  ดั้งนั้น ได้
2
5
2
25

จากนั้น เปลี่ยนหารเป็นคูณ กลับเศษเป็นส่วน จะได้ว่า 5
5
2
2
25

วิธีคิด
>>> ใช้เทคนิคการตัดเลขได้เลย คือ 8 ตัดกับ 8 เหลือ 11
11
121

ทศนิยม ค่าของจานวนเต็มที่แบ่งออกเป็นสิบส่วน ร้อยส่วน พันส่วน ... เท่าๆกัน ซึ่งเขียนได้ในรูปของ
เศษส่วน เช่น 2.0
10
2
 , 02.0
100
2

จานวน 327.35 จะเขียนให้อยู่ในรูปกระจายได้ดังนี้
3 อยู่ในหลักร้อย มีค่า 300
2 อยู่ในหลักสิบ มีค่า 20
7 อยู่ในหลักหน่วย มีค่า 7
3 อยู่หลังจุดเป็นตัวแรกเรียกว่าหลักส่วนสิบ ซึ่งมีค่า
10
3
หรือ 0.3
5 อยู่หลังจุดเป็นตัวที่สองเรียกว่าหลักส่วนร้อย ซึ่งมีค่า
100
5
หรือ 0.05
11
8
121
11
8
121
8
11
8
1331
64
121
8
11
8
121
80
121
8
11
8
121
96
121
8
11
8





7. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
ดังนั้น 327.35 อ่านว่า สามร้อยยี่สิบเจ็ดจุดสามห้า หรือสามารถเขียนในรูปกระจายการบวกได้ดังนี้
327.35 = 300 + 20 + 7 + 0.3 + 0.05
การบวก ลบ ทศนิยม สามารถทาได้ดังนี้
1. จัดให้จุดทศนิยมตรงกัน
2. บวก หรือ ลบ เหมือนจานวนเต็ม
เช่น 0.34 + 3.56 = 3.90 , 15.7 – 3.62 = 12.08 , 144.747 + 155.6 = 300.347 , 1000.50 – 100.45 = 900.05
การคูณทศนิยม สามารถทาได้หลายวิธี ดังนี้
1. การคูณโดยใช้วิธีการบวก เช่น 2 x 4.5 = 4.5 + 4.5 = 9.0
2. การคูณโดยเปลี่ยนทศนิยมเป็นเศษส่วน เช่น 1
10
10
10
2
52.05  ,
9
10
90
10
45
25.42 
3. การหาผลคูณโดยวิธีลัด ให้คูณเหมือนการคูณจานวนนับด้วยจานวนนับ และผลคูณจะมีตาแหน่ง
ทศนิยมเท่ากับทศนิยมที่โจทย์กาหนดให้ เช่น 3 x 0.7 = 2.1 หรือ 4 x 2.17 = 8.68
การหารทศนิยม ต้องทาให้ตัวหารเป็นจานวนเต็มเสียก่อน โดยการเลื่อนจุดทั้งของตัวตั้งและตัวหาร จนทา
ให้ตัวหารเป็นจานวนเต็ม แล้วหารเหมือนการหารจานวนเต็ม เช่น 916.1
65
55.124
5.6455.12  ,
7.120
2
4.241
2.014.24 

8. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
จา!!~ เครื่องหมายลบ เจอเครื่องหมายลบ ได้เป็นบวกนะครับ เหมือนตัวอย่างดังต่อไปนี้
จงหาผลลบ 63.02 - ( -86.38 )
วิธีทา 63.02 - ( -86.38 ) = 63.02 + ( 86.38 ) = 149.4
จงหาผลลบ 87.56 - (-0.03)
วิธีทา 87.56 - (-0.03) = 87.56 + 0.03 = 87.59
จงหาผลลบ 12.1 - (-0.76)
วิธีทา 12.1 - (-0.76) = 12.1 + 0.76 = 12.86
เลขคู่ และเลขคี่
ในทางคณิตศาสตร์ จานวนเต็มใดๆ จะเป็นจานวนคู่ หรือจานวนคี่ อย่างใดอย่างหนึ่ง ถ้าจานวนนั้น
เป็นพหุคูณของ 2 มันจะเป็นจานวนคู่
ตัวอย่างของจานวนคู่ เช่น -4, 8, 0 และ 70 (เลข 0 เป็นจานวนคู่ เพราะ 0 = 0 × 2)
ตัวอย่างของจานวนคี่ เช่น -5, 1 และ 71
เซตของจานวนคู่สามารถเขียนได้ดังนี้ จานวนคู่ = 2Z = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6,...}
เซตของจานวนคี่สามารถเขียนได้ดังนี้ จานวนคี่ = 2Z + 1 = {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5,…}

9. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.)
ตัวหารร่วม หรือ ตัวประกอบร่วม คือ จานวนที่สามารถหารจานวนที่กาหนดให้ได้ลงตัวทุกจานวน
เช่น 15 มีตัวหารคือ 1, 3, 5, 15 และ 45 มีตัวหารคือ 1, 3, 5, 9, 15, 45 เราจะเรียก 1 , 3 , 5 , 15 เป็นตัวหาร
ร่วมของ 15 และ 45 เพราะว่า 1, 3, 5, 15 ต่างก็หาร 15 และ 45 ได้ลงตัว
ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) คือ ตัวหารร่วมที่มีค่ามากที่สุดในตัวหารร่วมทั้งหมด ซึ่งหารทุกจานวนใน
กลุ่มจานวนที่กาหนดให้ได้ลงตัว เช่น 25 มีตัวหารคือ 1, 5, 25 และ 40 มีตัวหารคือ 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
ตัวหารร่วม ของ 25 และ 40 คือ 1 , 5 แต่ตัวหารร่วมที่มากที่สุด คือ 5 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 25 และ 40 คือ 5
เราสามารถหา ห.ร.ม. ได้ 2 วิธี คือ
1. โดยวิธีแยกตัวประกอบของจานวนที่กาหนดให้
ขั้นที่ 1. แยกตัวประกอบของจานวนทุกจานวนที่กาหนดให้
ขั้นที่ 2. หาตัวหารร่วมที่มีค่ามากที่สุด โดยการนาตัวประกอบที่ซ้ามาคูณกัน ผลคูณที่ได้จะ
เป็น ห.ร.ม.
ตัวอย่างเช่น จงหา ห.ร.ม. ของ 24 และ 36
วิธีทา 24 = 2 x 2 x 2 x 3
36 = 2 x 2 x 3 x 3
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 คือ 2 x 2 x 3 = 12
2. โดยวิธีตั้งหารสั้น มีหลักดังนี้
ขั้นที่ 1. ให้จานวนทุกจานวนที่กาหนดให้เป็นตัวตั้ง
ขั้นที่ 2. นาจานวนที่สามารถหารทุกจานวนในขั้นที่ 1. ลงตัว มาเป็นตัวหาร และทาการ
หารแบบหารสั้น
ขั้นที่ 3. ทาแบบขั้นที่ 2. ไปเรื่อยๆ จนกระทั่งไม่มีจานวนใดหารทุกจานวนลงตัว ผลคูณ
ของตัวหารทุกตัว คือ ห.ร.ม.
** วิธีนี้นิยมใช้หา ห.ร.ม. เมื่อกาหนดจานวนมาให้หลายจานวน **
ตัวอย่างเช่น จงหา ห.ร.ม. ของ 234 , 288 , 270
วิธีทา
2 ) 234 288 270
3 ) 117 144 135
3 ) 39 48 45
13 16 15 >> บรรทัดนี้ไม่มีจานวนใดหารลงตัว นอกจาก 1

10. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
ดังนั้น ตัวหารทั้งหมด คือ 2, 3, 3
ผลคูณของตัวหารทั้งหมด คือ 2 x 3 x 3 = 18 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 234, 288, 270 คือ 18
เทคนิคและการแก้โจทย์ปัญหา เรื่อง ห.ร.ม.
การนา ห.ร.ม. ไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหา
โจทย์ปัญหาที่ใช้ห.ร.ม.
 การแบ่งกลุ่มคน หรือ สิ่งของให้เท่าๆกัน แต่ได้จานวนมากที่สุด
 การแบ่งเชือก หลายๆ เส้น ออกเป็นท่อนๆ ที่ยาวเท่ากัน และมีความยาวที่สุด
ตัวอย่างที่ 1 โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชั้น ม.1 = 240 คน ม.2 = 225 คน ม.3 = 210 คน
ถ้าจะแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่มๆ ที่มีจานวนนักเรียนมากที่สุด จะได้กี่กลุ่ม แต่ละกลุ่มมีนักเรียนกี่คน
วิธีคิด 240 = 3 x 5 x 2 x 2 x 2 x 2
225 = 3 x 5 x 3 x 5
210 = 3 x 5 x 7 x 2
ดังนั้น ห.ร.ม. คือ 3 x 5 = 15
ม.1 = 24015 = 16 กลุ่ม
ม.2 = 22515 = 15 กลุ่ม
ม.3 = 21015 = 14 กลุ่ม
รวม = 45 กลุ่ม
นั่นคือ แบ่งนักเรียนเป็นกลุ่มใหญ่ที่สุดได้45 กลุ่ม แต่ละกลุ่มมีนักเรียน 15 คน
ตัวอย่างที่ 2 ห้องหนึ่งกว้าง 7.50 เมตร ยาว 12.5 เมตร ถ้าขีดเส้นใต้เป็นตารางที่ใหญ่ที่สุด จะได้กี่ตาราง
แต่ละตารางมีขนาดเท่าไร
วิธีคิด ก. = 7.50 ม. = 750 เซนติเมตร = 5 x 5 x 5 x 2 x 3
ข. = 12.50 ม. = 1250 เซนติเมตร = 5 x 5 x 5 x 2 x 5
ดังนั้น ห.ร.ม. = 5 x 5 x 5 x 2 = 250
ก. = 750 cm = 750250 = 3
ข. = 1250 cm = 1250250 = 5
รวม 15
นั่นคือ แบ่งออกเป็นตารางใหญ่ที่สุดได้15 ตาราง แต่ละตาราง มีขนาดด้านละ 250 เซนติเมตร หรือด้านละ
2.5 เมตร

11. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
ตัวอย่างที่ 3 นักเรียน ม.1/1 มี 56 คน
นักเรียน ม.1/2 มี 48 คน
นักเรียน ม.1/3 มี 48 คน
นักเรียน ม.1/4 มี 40 คน
จะแบ่งเป็นหมู่ลูกเสือ ได้กี่หมู่ ถ้าให้แต่ละหมู่ มีจานวนลูกเสือ มากที่สุดและแต่ละหมู่มีลูกเสือกี่นาย
วิธีคิด นักเรียน ม.1/1 มี 56 คน = 2 x 2 x 2 x 7
นักเรียน ม.1/2 มี 48 คน = 2 x 2 x 2 x 2 x 3
นักเรียน ม.1/3 มี 48 คน = 2 x 2 x 2 x 2 x 3
นักเรียน ม.1/4 มี 40 คน = 2 x 2 x 2 x 5
ดังนั้น ห.ร.ม. คือ 2 x 2 x 2 = 8
ดังนั้น ม.1/1 = 856 = 7 หมู่
ม.1/2 = 848 = 6 หมู่
ม.1/3 = 848 = 6 หมู่
ม.1/4 = 840 = 5 หมู่
รวม 24 หมู่
นั่นคือ แบ่งหมู่ลูกเสือได้24 หมู่ แต่ละหมู่มีลูกเสือ 8 นาย
ตัวอย่างที่ 4 มีเชือก 4 เส้น ยาว 132,84,180 และ 240 ซม. ถ้าต้องการแบ่งเชือกทั้ง 4 เส้น ออกเป็นท่อนๆ ให้
แต่ละท่อนยาวเท่ากัน และให้ยาวที่สุด จะได้กี่ท่อน และแต่ละท่อนยาวเท่าไร
วิธีคิด 132 = 12 x 11
84 = 12 x 7
180 = 12 x 15
240 = 12 x 20
ดังนั้น ห.ร.ม. คือ 12
จานวนท่อน = 11 + 7 +15 + 20 = 53 ท่อน
นั่นคือ แบ่งเชือกได้ 53 ท่อน แต่ละท่อนยาว 12 ซม.
ตัวอย่างที่ 5 จงหาจานวนที่มากที่สุด เมื่อนาไปหาร 545 เหลือเศษ 1 แต่เมื่อนาไปหาร 436 เหลือเศษ 11
วิธีคิด นาไปหาร 545 เศษ = 1 ดังนั้น 545 – 1 = 544
นาไปหาร 436 เศษ = 11 ดังนั้น 436 – 11 = 425
544 = 17 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
425 = 17 x 5 x 5 ห.ร.ม. = 17 นั่นคือ จานวนที่มากที่สุดจานวนนี้คือ 17

12. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
ตัวอย่างที่ 6 ที่แปลงหนึ่งกว้าง 50 m ยาว 150 m ถ้าล้อมลวดหนามโดยรอบแล้วจะต้องปักเสาอย่าง
น้อยกี่ต้น
วิธีคิด กว้าง 50 m = 50 x 1
ยาว 150 m = 50 x 3
ดังนั้น ห.ร.ม. = 50
เส้นรอบรูป = 2 ( ก + ย )
= 2( 50 + 150 )
= 400 m
นั่นคือ จานวนเสาที่น้อยที่สุด = 4005 = 8 ต้น
ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.)
ตัวคูณร่วมน้อย หมายถึง จานวนที่มีค่าน้อยที่สุด เมื่อนาจานวนที่กาหนดให้ทั้งหมดมาหารจานวนนั้นได้ลง
ตัว เช่น
จานวนที่มี 6 เป็นตัวประกอบ คือ 6, 12, 18, 24, 30, 36 …
จานวนที่มี 9 เป็นตัวประกอบ คือ 9, 18, 27, 36, 45 …
จะเห็นว่า ตัวคูณร่วมของ 6 และ 9 ได้แก่ 18, 36 และจานวนอื่นๆ อีกหลายจานวน เนื่องจาก 18 เป็นจานวนที่
น้อยที่สุดที่นา 6, 9 ไปหารแล้วลงตัว ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของ 6, 9 คือ 18
วิธีหาตัวคูณร่วมน้อย ( ค.ร.น. )
1. วิธีแยกตัวประกอบ มีหลักดังนี้
 ให้แยกตัวประกอบของจานวนทุกจานวนที่กาหนดให้
 ตัวประกอบใดที่ซ้ากับตัวประกอบของจานวนอื่นๆ ให้นามาใช้เพียงตัวเดียว และตัว
ประกอบใดที่ไม่ซ้ากันให้นามาใช้ให้หมด
 ค.ร.น. เท่ากับผลคูณของทุกๆ จานวนที่นามาใช้
ตัวอย่างที่ 1 จงหา ค.ร.น. ของ 18, 45, 84
วิธีคิด 18 = 3 x 3 x 2
45 = 3 x 3 x 5
84 = 3 x 2 x 2 x 7
ค.ร.น. ของ 18 , 45 , 84 คือ 3 x 3 x 2 x 2 x 5 x 7 = 1,260

13. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
ตัวอย่างที่ 2 จงหา ค.ร.น. ของ 12 , 24
วิธีคิด 12 = 2 x 2 x 3
24 = 2 x 2 x 2 x 3
ค.ร.น. ของ 12 , 24 คือ 2 x 2 x 2 x 3 = 24
** ข้อสังเกต ** ถ้าจานวนที่กาหนดให้ทุกจานวนเป็นจานวนเฉพาะ การหา ค.ร.น. ให้นาจานวนที่
กาหนดให้ทั้งหมดมาคูณกัน ผลคูณที่ได้คือ ค.ร.น. เช่น
- ค.ร.น. ของ 2 กับ 7 คือ 2 x 7 = 14
- ค.ร.น. ของ 5 กับ 19 คือ 5 x 19 = 95
2. วิธีตั้งหาร มีหลักดังนี้
 ให้จานวนทุกจานวนที่กาหนดให้เป็นตัวตั้ง
 นาจานวนเฉพาะที่สามารถหารจานวนที่กาหนดให้อย่างน้อย 1 จานวนลงตัวมาเป็นตัวหาร
และทาการหารแบบหารสั้น
 จานวนที่หารไม่ลงตัวให้คงไว้ตามเดิม และให้นาลงมาเป็นตัวตั้งของการหารครั้งต่อไป
ทาไปเรื่อยๆ จนได้ผลหารของทุกจานวนเป็นจานวนเฉพาะที่ไม่เหมือนกันหรือเป็น 1
 ค.ร.น. คือ ผลคูณของจานวนเฉพาะที่เป็นตัวหารทุกตัวกับผลหารที่ได้ในบรรทัดสุดท้ายทุก
ตัว
ตัวอย่างที่ 3 จงหา ค.ร.น. ของ 12 , 20 , 24
วิธีทา 2) 12 20 24
2) 6 10 12
3) 3 5 6
1 5 2
ค.ร.น. ของ 12 , 20 , 24 = 2 x 2 x 3 x 1 x 5 x 2 = 120
การนา ค.ร.น. ไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหา
โจทย์ปัญหา ที่ใช้ค.ร.น. มักจะมีคาว่า “พร้อมกัน”
 การหาว่า ระฆังจะกลับมาตีพร้อมกัน
 การหาว่า นาฬิกาจะเดินมาพร้อมกัน
 การหาว่า นักกีฬา จะวิ่งกลับมาพร้อมกันอีก ที่จุดๆ หนึ่ง

14. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
ตัวอย่างที่ 1. จงหาจานวนที่น้อยที่สุด เมื่อหารด้วย 25 และ 35 แล้วเหลือ เศษ 2 เท่ากัน
วิธีคิด 25 = 5x5
35 = 5x7
ดังนั้น ค.ร.น. = 5x5x7 =175
จานวนนั้น คือ 175+2 = 177
ตัวอย่างที่ 2. มีระฆัง 3 ใบ ใบที่ 1 ตีทุกๆ 5 นาที ใบที่2 ตีทุกๆ 9 นาที ใบที่ 3 ตีทุกๆ 15 นาที เมื่อเริ่มตีพร้อม
กัน อีกนานเท่าไรจึงจะกลับมาตีพร้อมกันอีก
วิธีคิด 5 = 5
9 = 3x3
15 = 5x3
ดังนั้น ค.ร.น. คือ 5x3x3 = 45
นั่นคือ อีก 45 นาที จะกลับมาตีพร้อมกันอีก
ความสัมพันธ์ ของจานวนสองจานวน กับ ค.ร.น. , ห.ร.ม. >> (จานวนที่ 1 x จานวนที่ 2) = (ค.ร.น. x ห.ร.ม.)
ร้อยละ
ร้อยละ หรือ เปอร์เซ็นต์ (percentage/percent) คือแนวทางในการนาเสนอจานวนโดยใช้เศษส่วนที่มี
ตัวส่วนเป็น 100 มักใช้สัญลักษณ์เป็น เครื่องหมายเปอร์เซ็นต์ "%" เช่น ร้อยละ 45 หรือ 45% มีค่าเทียบเท่า
กับ
100
45
หรือ 0.45
1. การเปลี่ยนรูปอัตราส่วนเป็นร้อยละ
เมื่อต้องการเปลี่ยนอัตราส่วนในรูปร้อยละ มีวิธีการเปลี่ยนให้อัตราส่วนนั้น อยู่ในรูปของ
อัตราส่วนใหม่ ที่มีจานวนหลังเป็น 100 แล้วจานวนแรก จะเป็นค่า ของร้อยละตามต้องการ ซึ่งมีวิธีคิดอยู่
หลายวิธี เช่น
ตัวอย่างที่ 1. จงเขียน 17 : 25 ให้อยู่ในรูปร้อยละ
วิธีที่ 1.
วิธีที่ 2. 68
25
100
25
25
100
17
25
17




68
425
417
25
17





15. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
วิธีที่ 3. 68%100
25
17
25
17

2. การเปลี่ยนรูปร้อยละเป็นอัตราส่วน
เมื่อต้องการเปลี่ยนร้อยละให้อยู่ในรูปอัตราส่วน ทาได้โดยเขียนร้อยละนั้นให้เป็นอัตราส่วนที่มีจานวนหลัง
เป็นร้อย เช่น
5:4
5
4
10
8
100
80
%80 
4:1
54
1
100
25
%25 
100:13
100
13
%13 
การคานวณค่าเกี่ยวกับร้อยละสามารถคานวณได้ 2 วิธีคือ
วิธีที่ 1 : เขียนสัดส่วนแล้วแก้สมการ
วิธีที่ 2 : เขียนสมการแล้วแก้สมการ
ข้อสังเกต คาว่า " ของ " ให้เปลี่ยนสัญลักษณ์เป็นเครื่องหมาย “คูณ”
คาว่า " เป็น , อยู่ , คือ , เท่ากับ " ให้เปลี่ยนสัญลักษณ์เป็นเครื่องหมาย ”เท่ากับ” (=)
เช่น ตัวอย่างที่ 1. 8% ของ 75 เท่ากับเท่าไร
วิธีที่ 1 ให้ a แทน 8% ของ 75
เขียนสัดส่วน
วิธีที่ 2 ให้ 8% ของ 75 เท่ากับ a
เขียนสมการ
ดังนั้น 8% ของ 75 เท่ากับ 6
6
75
100
8
100
8
75



a
a
a
6
75
100
8


a
a

16. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
ตัวอย่างที่ 2. 6 เป็นกี่เปอร์เซ็นต์ ของ 40
วิธีที่ 1 ให้ 6 เป็น X% ของ 40
เขียนสัดส่วน
วิธีที่ 2 ให้ 6 เป็น X% ของ 40
เขียนสมการ
ดังนั้น 6 เป็น 15% ของ 40
ตัวอย่างที่ 3. 140 เป็น 35% ของจานวนใด
วิธีที่ 1 ให้ 140 เป็น 35% ของ Y
เขียนสัดส่วน
วิธีที่ 2 ให้ 140 เป็น 35% ของ Y
เขียนสมการ
ดังนั้น 140 เป็น 35% ของ 400
การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับร้อยละ สรุปหลักการคิด ดังนี้
1. สมมุติตัวแปรในสิ่งที่ต้องการ
2. สร้างสมการ หรือ สร้างสัดส่วน
3. แก้สมการหรือแก้สัดส่วนหาค่าตัวแปร
ความหมายของร้อยละที่ควรทราบ
 อัตราดอกเบี้ย 12% หมายความว่า เงินต้น 100 บาท ในเวลา 1 ปี ได้ดอกเบี้ย 12 บาท
 ขายของได้กาไร 20% หมายความว่า ทุน 100 บาท ได้กาไร 20 บาท ขายไปราคา 120 บาท
15
100
40
6
10040
6



X
X
X
15
40
100
6


X
X
400
35
100140
100
35140




Y
Y
Y
400
35
100140
100
35
140




Y
Y
Y

17. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
 ขายของขาดทุน 15% หมายความว่า ทุน 100 บาท ขาดทุน 15 บาท ขายไปราคา 85 บาท
 ลดราคาสินค้า 5% หมายความว่า ติดราคาไว้100 บาท ลดให้ 5 บาท ขายไปราคา 95 บาท
ตัวอย่างที่ 4. กมลสอบได้สังคมได้95% ถ้าคะแนนเต็ม 180 คะแนน จงหาว่ากมลสอบได้กี่คะแนน
วิธีทา สมมติให้ กมลสอบได้ X คะแนน
จะได้ สัดส่วน
180100
95 X

10018095  X
100
18095
X
X = 171 ดังนั้น กมลสอบได้171 คะแนน
ตัวอย่างที่ 5. ทีมฟุตบอลของโรงเรียนแห่งหนึ่งแข่งขันชนะ 75% ของจานวนครั้งที่ลงแข่งขัน ถ้าทีมนี้ลง
แข่งขัน 24 ครั้ง จะชนะกี่ครั้ง
วิธีทา สมมติให้ ทีมที่ชนะ Y ครั้ง
จะได้ สัดส่วน
24100
75 Y

Y x 100 = 75 x 24
Y =
100
2475
Y = 18 ดังนั้น ทีมฟุตบอลนี้ชนะการแข่งขัน 18 ครั้ง
ตัวอย่างที่ 6. มีเป็ดทั้งหมด 250 ตัว เมื่อเป็ดโตขึ้นปรากฏว่าเหลือเป็ดเพียง 220 ตัว อยากทราบว่าเป็ดตาย
ไปกี่เปอร์เซ็นต์ของเป็ดทั้งหมด
วิธีทา สมมติให้ เป็ดตายไป K%
เป็ดตาย = 250 - 220 = 30 ตัว
จะได้ สัดส่วน
250
30
100

K
K x 250 = 30 x 100
K =
250
10030
K = 12 ดังนั้น เป็ดตายไป 12%

18. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
ตัวอย่าที่ 7. ฉันซื้อโทรทัศน์เครื่องหนึ่งได้ส่วนลด 15% ของราคาที่ปิดไว้ ซึ่งคิดเป็นเงินส่วนลดได้
750 บาท จงหาราคาที่ปิดไว้
วิธีทา ส่วนลด 15% คือ ปิดราคาขาย 100 บาท ลดราคา 15 บาท
ขายไป 85 บาท
สมมติให้ ราคาที่ปิดไว้ M บาท
จะได้ สัดส่วน
100
15750

M
M x 15 = 750 x 100
M =
15
100750
M = 5,000 ดังนั้น ราคาที่ปิดไว้ 5,000 บาท
ตัวอย่าที่ 8. ชายคนหนึ่งจองบ้านพร้อมที่ดินราคา 1,250,000 บาท เขาต้องชาระเงินดาวน์ล่างหน้า 25%
ของราคาบ้านและที่ดิน จงหาว่าเขาต้องจ่ายเงินดาวน์ จานวนเท่าใด
วิธีทา เงินดาวน์ 25% คือ ขาย 100 บาท ชาระเงินดาวน์ 25 บาท
จะต้องชาระเพิ่ม 75 บาท
สมมติให้ จ่ายเงินดาวน์ R บาท
จะได้ สัดส่วน
100
25
000,250,1

R
R x 100 = 25 x 1,250,000
R =
100
000,250,125
R = 312,500 ดังนั้น เขาต้องจ่ายเงินดาวน์ 312,500 บาท
ตัวอย่างที่ 9. พ่อค้าซื้อสินค้ามาในราคา 1,250 บาท ขายไปในราคา 1,500 บาท จะได้กาไรกี่เปอร์เซ็นต์
วิธีทา ราคาทุน 1,250 บาท ราคาขาย 1,500 บาท
ได้กาไร 1,500 - 1,250 = 250 บาท
สมมติให้ ได้กาไร F%
จะได้ สัดส่วน
250,1
250
100

F
F x 1,250 = 250 x 100
F =
250,1
100250
F = 20 ดังนั้น พ่อค้าได้กาไร 20%

19. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
ตัวอย่างที่ 10. วิทยุเครื่องหนึ่งบอกขาย 1,350 บาท แต่ลดให้ผู้ซื้อเงินสด 10% อยากทราบว่า ถ้าผู้ซื้อเงิน
สดนาไปขายต่อในราคา 1,300 บาท เขาจะได้กาไรหรือขาดทุนประมาณกี่เปอร์เซ็นต์
วิธีทา ลด 10% คือ ปิดราคาขาย 100 บาท ลดให้ 10 บาท ขายไป 90 บาท
สมมติให้ ส่วนลดของวิทยุ W บาท
จะได้ สัดส่วน
350,1100
10 W

W x 100 = 10 x 1,350
W =
100
350,110
W = 135
ดังนั้น ผู้ซื้อเงินสดได้ส่วนลด 135 บาท
แสดงว่า ผู้ซื้อเงินสดซื้อวิทยุได้ในราคา 1,350 - 135 = 1,215 บาท
แต่นาไปขายต่อในราคา 1,300 บาท ดังนั้น เขาได้กาไร 1,300 - 1,215 = 85 บาท
ผู้ซื้อเงินสด ซื้อมา 1,215 บาท ขายได้กาไร 85 บาท
ให้ ผู้ซื้อเงินสด ซื้อมา 100 บาท ขายได้กาไร H บาท
จะได้ สัดส่วน
X
100
85
215,1

X x 1,215 = 100 x 85
X =
215,1
85100
X = 6.95 ดังนั้น ผู้ซื้อเงินสดนาไปขายต่อได้กาไรประมาณ 6.95 %
นาฬิกา
นาฬิกา ส่วนใหญ่มักจะมีหน้าปัดเป็นวงกลม ซึ่งวงกลมมีมุม 360° ในวงกลมมีตัวเลขทั้งหมด 12
ตัวเลข และขีดย่อยซึ่งเรียกเป็นนาทีอีก 60 ขีด ดังนั้น ตัวเลขแต่ละตัวจะห่างกัน 30 องศา และขีดย่อยแต่ละ
ขีดห่างกัน 6 องศา ส่วนมากในข้อสอบมักจะถามว่า เมื่อเวลา.... เข็มสั้นและเข็มยาวทามุมกันกี่องศา เช่น

20. By : The Road To Soldier & Police เส้นทางสู่อาชีพทหารตารวจ ห้ามจาหน่าย ! !
วิธีคิด 14 นาฬิกา หรือที่เรียกว่า บ่ายสองโมง เข็มสั้นชี้ที่เลข 2 เข็มยาวชี้ที่เลข 12
ดังนั้น มุมระหว่างเลข 12 ถึงเลข 2 ก็จะเท่ากับ 60 องศา เนื่องจาก 12-1 = 30 องศา และ 1-2 = 30 องศา รวม
ได้เป็น 60 องศา
หรือใช้หลักการคูณจะรวดเร็วกว่า คือ เข็มยาวทามุมกับเข็มสั้น 2 ช่อง ดังนั้น 230 = 60 องศา
หรือ ระหว่างเลข 12-2 ในหน้าปัดมี 10 ขีดย่อย ดังนั้น 106 = 60 องศา
วิธีคิด จากเวลา 13.00 น. – 13.25 น. แสดงว่า เข็มยาวเดิมอยู่ที่เลข 12 จากนั้น เดินไปจนถึงเลข 5
เพราะฉะนั้น เข็มยาวเดินไป 5 ช่องใหญ่ เราทราบว่า 1 ช่องใหญ่ = 30 องศา ดังนั้น 530 = 150 องศา
หรือ เดินช่องย่อยที่เป็นช่องนาทีไป 25 ช่อง 1ช่องย่อย = 6 องศา ดังนั้น 256 = 150 องศา เช่นกัน