1) La teoría de juegos analiza situaciones de interacción estratégica entre jugadores interdependientes. 2) Fue desarrollada por John von Neumann y Oskar Morgenstern en 1944 para modelar la conducta racional. 3) Tiene aplicaciones en economía, ciencia política y otros campos donde hay competencia entre agentes.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÈCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÒN-PORLAMAR
REALIZADO POR:
STALIN MEZA
C.I:17.090.049

2. La teoría de juego es un análisis dirigido a predecir el resultado de mayor
probabilidad resultado cierto o el resultado más probable. Fue diseñada y elaborada
por el matemático John von Neumann y el economista Oskar Morgenstern en 1939,
con el fin de realizar análisis económico de ciertos procesos de negociación. Von
Neumann y Morgenstern escribieron el libro The Theory of Games and Economic
Behaviour (1944).
A.W. Tucker es quien diseñó el famosísimo problema del “Dilema del Prisionero”. El
matemático John Forbes Nash, Jr. (1928-) creó en 1950 la noción de "Equilibrio
Nash", que corresponde a una situación en la que dos partes rivales están de
acuerdo con determinada situación del juego o negociación, cuya alteración ofrece
desventajas a ambas partes. Otros importantes representantes de la teoría de
juegos fueron el húngaro nacionalizado estadounidense John Harsanyi (1920-) y el
alemán Reinhard Selten. Nash, Harsanyi y Selten recibieron el Premio Nobel de
Economía de 1994 por sus contribuciones a la Teoría de Juegos.

3. Un juego en forma extensiva se compone de los siguientes elementos:
1. El conjunto de jugadores, quienes toman decisiones y son racionales
(intentan maximizar su utilidad).
2. Un árbol del juego.
3. La información que dispone un jugador en cada nodo en el que le toca
decidir.
4. Las estrategias de cada jugador, las cuales guiarán al jugador hacia la
acción a elegir cuando llega a cada nodo (conjuntos de información).
5. Los resultados de los jugadores, los cuales se muestran en los nodos
terminales del árbol del juego.

4. La conducta de un jugador
Se requiere tipificar la conducta de cada jugador, de manera que pueda saberse de qué
forma probable o cierta se comportará el jugador. La regla de oro del análisis de juegos
es la siguiente: “cada jugador buscará su máximo bienestar posible”. De esta forma,
cuando estudiemos el proceder de un jugador, sabremos que éste deberá calificar cada
situación y perseguir siempre las situaciones particulares que ofrezcan el mayor
bienestar.
La función de utilidad
Un concepto central es el de la función de utilidad. La función de utilidad convierte a
los pagos en bienestar. Por ejemplo, si se consiguió un pago de veinticinco dólares, éste
pago podría generar un bienestar de veinticinco unidades de bienestar, y estaríamos
hablando de una función identidad.

5. La solución y el Valor de la solución de un juego
La solución de un juego es la combinación de ganancias o pérdidas que da el juego con
certidumbre o con alta probabilidad a los jugadores. Si el juego es suma cero, lo que
ganan unos lo pierden otros.
Curvas de Reacción
En la teoría de juegos, las curvas de reacción muestran, en un gráfico cartesiano, las
combinaciones de decisiones (puede ser en las abscisas) y pagos (puede ser en las
ordenadas).
Árboles de resultados sucesivos
Un diagrama de árbol de resultados sucesivos se utiliza en juegos que implican
secuencias de movimientos (un movimiento es un binomio decisión-acción). En este
árbol, se define un punto de partida (por ejemplo, la posición inicial del jugador A). A
partir del inicio, se extienden ramas que representan los diferentes movimientos que
puede realizar el jugador que inicia la competencia.

6. Equilibrio Nash
Dada una situación cualquiera definida por una elección de A y una elección de B, si
ocurre que A supone que B no modificará su elección y opta por no modificar la suya
propia y, simultáneamente, B supone que A no modificará su elección y opta también
por no modificar la suya, se dice que tal situación es un equilibrio Nash. Como se ve, el
equilibrio Nash es una situación que presenta ventajas para los dos jugadores, y en
razón de tales ventajas, ni A ni B cambiarán de decisión.
Estrategias puras y estrategias mixtas
Una estrategia pura es aquella decisión que se toma con certeza. En contraposición a tal
concepto, una estrategia mixta es una combinación de decisiones tomada de acuerdo a
una serie de probabilidades, la suma de las cuales debe necesariamente dar el 100%.
Cuando un problema no alcanza una solución vía estrategias puras, con frecuencia
puede ser enfocado desde una perspectiva de estrategias mixtas. Así, se dice que los
problemas que no tienen solución vía estrategias puras pueden tenerla vía estrategia
mixtas. Ambas situaciones pueden ser vistas como soluciones ciertas versus gamas de
soluciones probables.

7. El principal objetivo de la teoría de los juegos es determinar los papeles de conducta
racional en situaciones de "juego" en las que los resultados son condicionales a
las acciones de jugadores interdependientes. Un juego es cualquier situación en la
cual compiten dos o más jugadores. El ajedrez y el póker son buenos ejemplos, pero
también lo son el duopolio y el oligopolio en los negocios. La extensión con que un
jugador alcanza sus objetivos en un juego depende del azar, de sus recursos físicos
y mentales y de los de sus rivales, de las reglas del juego y de los cursos de
acciones que siguen los jugadores individuales, es decir, sus estrategias. Una
estrategia es una especificación de la acción que ha de emprender un jugador en
cada contingencia posible del juego.

8. En la teoría de los juegos, un “concepto de solución” para juegos con dos o más
jugadores, el cual asume que:
Cada jugador conoce y ha adoptado su mejor estrategia, y
Todos conocen las estrategias de los otros.
Consecuentemente, cada jugador individual no gana nada modificando su
estrategia mientras los otros mantengan las suyas. Así, cada jugador está
ejecutando el mejor "movimiento" que puede dados los movimientos de los demás
jugadores.
En otras palabras, un equilibrio de una situación en la cual todos los jugadores han
puesto en práctica, y saben que lo han hecho, una estrategia que maximiza sus
ganancias dadas las estrategias de los otros. Consecuentemente, ningún jugador
tiene ningún incentivo para modificar individualmente su estrategia.

9. Formulación de juegos de dos personas con suma cero Para ilustrar las
características básicas de un modelo de teoría de juegos, considérese el juego
llamado pares y nones. Éste consiste nada más en que los dos jugadores muestran
al mismo tiempo uno o dos dedos. Si el número de dedos coincide, el jugador que
apuesta a pares (por ejemplo, el jugador 1) gana la apuesta (digamos $l) al jugador
que va por nones (jugador II). Si el número no coincide, el jugador 1 paga $l al
jugador II.
Entonces, cada jugador tiene dos estrategias: mostrar uno o dos dedos. La tabla a
continuación contiene el pago en dólares que resulta para el jugador 1 en una matriz
de pagos.

10. En general, un juego de dos personas se caracteriza por :
1. Las estrategias del jugador I.
2. Las estrategias del jugador II.
3. La matriz de pagos.
Antes de iniciar el juego, cada jugador conoce las estrategias de que dispone, las
que tiene su oponente y la matriz de pagos. Una jugada real en el juego consiste en
que los dos jugadores elijan al mismo tiempo una estrategia sin saber cuál es la
elección de su oponente. Una estrategia puede constituir una acción sencilla, como
mostrar un número par o non de dedos en el juego de pares y nones.
Por otro lado, en juegos más complicados que llevan en sí una serie de
movimientos, una estrategia es una regla predeterminada que especifica por
completo cómo se intenta responder a cada circunstancia posible en cada etapa del
juego. Por ejemplo, una estrategia de un jugador de ajedrez indica cómo hacer el
siguiente movimiento para todas las posiciones posibles en el tablero, de manera
que el número total de estrategias posibles sería astronómico.

11. Dada una aplicación y un elemento del conjunto , resolver una ecuación consiste en
encontrar todos los elementos que verifican la expresión: . Al elemento se le
llama incógnita. Una solución de la ecuación es cualquier elemento que verifique .
El estudio de las ecuaciones depende de las características de los conjuntos y la
aplicación; por ejemplo, en el caso de las ecuaciones diferenciales, los elementos del
conjunto son funciones y la aplicación debe incluir alguna de las derivadas del
argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.
La definición que se ha dado incluye las ecuaciones de la forma , pues, si es un grupo
basta con definir la aplicación y la ecuación se transforma en .
El método de programación dinámica rompe este problema de decisión en
subproblemas más pequeños. Principio de Richard Bellman de optimalidad se explica
cómo hacerlo:

12. Como sugiere el principio de optimalidad, consideraremos la primera decisión por
separado, dejando de lado todas las decisiones futuras (vamos a empezar de nuevo
de vez en 1 con el nuevo estado ). La recogida de las futuras decisiones entre
paréntesis a la derecha, el problema anterior es equivalente a:
sujeto a las restricciones:
Aquí estamos eligiendo , Sabiendo que nuestra elección hará que el tiempo de 1
estado sea . Ese nuevo estado será entonces afectar el problema de decisión de
vez en 1. Todo el problema de decisión futura aparece dentro de los corchetes de la
derecha.
La ecuación de tiempo discreto correspondiente se refiere generalmente como
la ecuación de Bellman. En tiempo continuo, el resultado puede ser visto como una
extensión del trabajo a principios de la física clásica en la ecuación de Hamilton-
Jacobi por William Rowan Hamilton y Carl Gustav Jacob Jacobi.

13. El punto de silla consiste en localizar el mínimo valor de las filas y al
lado derecho de cada fila y el máximo de las columnas al pie de cada columna, luego
se determina el máximo de los mínimos y el mínimo de los máximos. Si el máximo de
los mínimos es igual al mínimo de los máximos entonces se ha encontrado el punto de
silla que se convertirá automáticamente en el valor del juego
MINMAX = 5
MAXMIN =
MINMAX PUNTO DE SILLA = 5
VALOR DE JUEGO 5
VALOR DE + R
Esta es una de las técnicas para analizar y resolver un problema de juegos. No es
el caso más común en la teoría de juegos.

14. Este tipo de solución es aplicable cuando no existe un punto de silla y
preferiblemente cuando la matriz de consecuencias es cuadrada. Para una mejor
comprensión, se considera un juego bipersonal en el cual cada uno de los oponentes
maneja dos estrategias. La matriz de consecuencias es la siguiente

15. Reinhard Selten demostró que cualquier juego que se
pueda dividir en "subjuegos" contiene un subconjunto de
todas las opciones disponibles en el juego principal y que
por lo tanto tendrá una estrategia de equilibrio perfecto en
subjuegos (posiblemente una estrategia mixta).3La
perfección en subjuegos sólo se utiliza con juegos de
información completa. El equilibrio perfecto en subjuegos
puede utilizarse con juegos completos de forma extensiva,
pero de información imperfecta.
El equilibrio de Nash perfecto en subjuegos es
normalmente deducido por "inducción hacia atrás" de los
distintos resultados finales del juego, eliminando las
ramas que impliquen cualquier jugador que hace un
movimiento que no es creíble (porque no es óptimo) de
ese nodo.

16. El siguiente método gráfico que presentaremos para resolver
un caso simple, de juego de dos personas, pierde eficiencia
cuando aparecen dimensiones mayores. En este caso hay que
recurrir a métodos más complicados de cálculo, dando lugar
a posibilidades amplias de aplicación de métodos de la
programación lineal.
método gráfico.
Supongamos que tenemos el siguiente juego:
para saber que probabilidades tenemos que asignarle a cada
alternativa, se procede de manera separada para cada
jugador, asi:
:

17. Para el jugador renglón:
p1: la probabilidad de elegir la estrategia I
p2: la probabilidad de elegir la estrategia II.
p1 + p2 = 1
Ahora tenemos que hallar las ecuaciones que resultan al determinar
los valores esperados por el jugador renglón, teniendo en cuenta lo
que juega el jugador columna.
Si el jugador columna elige la estrategia I, el valor esperado por en
jugador renglón es:
Pero tenemos que:
Entonces nos queda:

18. Si el jugador columna juega la estrategia II:
Ahora se procede a graficar las dos
ecuaciones:
Para la ecuación 1:
Si p1 = 0, entonces Ve = -1
Si p1 = 1, entonces Ve = 3
Para la ecuación 2:
Si p1 = 0, entonces Ve = 5
Si p1 = 1, entonces Ve = -2
La gráfica queda de la siguiente manera