1. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
CHAPITRE 5 : SYSTEME LINEAIRE
I- Généralités.................................................................................................................................................2
I-1 Définition d’un système linéaire......................................................................................................................2
I-2 Ecriture matricielle d’un système linéaire .....................................................................................................2
I-3 Rang d’un système linéaire..............................................................................................................................3
II- Résolution d’un système linéaire triangulaire .......................................................................................4
II-1 Résolution d’un système triangulaire supérieur par montée......................................................................4
II-2 Résolution d’un système triangulaire inférieur par descente .....................................................................5
III- Résolution d’un système linéaire de Cramer ........................................................................................7
III-1 Définition d’un système de Cramer.............................................................................................................7
III-2 Résolution par l’inversion de la matrice du système..................................................................................7
III-3 Résolution par la méthode de Cramer ........................................................................................................9
IV- Résolution d’un système linéaire non de Cramer ...............................................................................11
IV-1 Résolution d’un système avec second membre .........................................................................................11
IV-2 Cas particulier d’un système homogène....................................................................................................14
V- Complément : résolution d’un système linéaire par la méthode d’élimination de Gauss ..................17
V-1 Etapes de la résolution :................................................................................................................................17
V-2 Exemple : .......................................................................................................................................................21
1
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2. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
· On appelle système linéaire de n équations à m inconnues tout système de la forme :
+ + =
a x a x b
11 1 1 m m
1
L
+ + =
M
a x L
a x b
1 1
n nm m n
· Les coefficients a ,b (1 £ i £ n et 1 £ j £ m) sont des réels donnés.
ij i · Le n -uplet ( b , L , b ) est dit second membre du système (S) .
1 n · x , L , x sont les inconnues du système.
1
m · Tout m -uplet ( , , ) 1 m x L x de réels qui vérifie les équations du système (S) est dit
· Le système (S) est dit homogène si 0 1 = = = n b L b .
S est un système linéaire de 3 équations à 4 inconnues
I-2 Ecriture matricielle d’un système linéaire
+ + =
a x a x b
11 1 1 m m
1
L
( ) peut s’écrire sous la forme
+ + =
M
a x L
a x b
1 1
n nm m n
11 1
m
a L
a
M M M
a L
a
1
n nm
11 1
m
b
L
L
1 1
11 1 1 1
( ) .
S M M
b
x
x
a a
M M M
a L
a
1
n nm m n
2
I- Généralités
I-1 Définition d’un système linéaire
Définition :



( S
)
solution du système.
Exemple :
¨



+ - + =
2 3 1
x x x x
1 2 3 4
+ - =
2 x x x
0
1 2 3
- + - - = -
2 2 3 1
( )
x x x x
1 2 3 4
¨ Tout système linéaire



S
matricielle A.X = b , avec :

  


=
  

A
,

  


=
  
1
X M

x
m x
et

  


=
  
1
b M

b
n b
¨

  


=
  


  


  


  


  

Û



+ + =
a x a x b
m m
+ + =
M
a x L
a x b
1 1
n nm m n
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3. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
Définition : (Matrice d’un système linéaire)
a x a x b
11 1 1 m m
1
M
L
a x L
a x b
1 1
n nm m n
· La matrice ij i n j m A = a £ £ £ £ ( )1 ,1 s’appelle la matrice du système (S) .
¨ La matrice du système (S) est égale à :
¨ L’écriture matricielle du système (S) est alors :
· On appelle le rang d’un système linéaire, celui de sa matrice.
¨ La matrice du système (S) est égale à :
-
1 2 3

  

  
det -
¹
¨ rg(S) = 3 car rg(A) = 3 : 0
3
Soit le système linéaire :



+ + =
+ + =
( S
)
Exemple :
¨ Le système (S) est donné par :



+ - + =
2 3 1
x x x x
1 2 3 4
+ - =
2 x x x
0
1 2 3
- + - - = -
2 2 3 1
( )
x x x x
1 2 3 4
S
1 2 3 1

  
2 1 3 0
1 2 2 3


  

-
-
- - -
=
A

  


  

-
=

    


    
.

1 2 3 1

  
2 1 3 0
1 2 2 3


  

-
-
- - -
1
0
1
x
1
2
3
x
x
4
x
I-3 Rang d’un système linéaire
Définition :
Exemple :
¨ Le système (S) est donné par :



+ - + =
2 3 1
x x x x
1 2 3 4
+ - =
2 x x x
0
1 2 3
- + - - = -
2 2 3 1
( )
x x x x
1 2 3 4
S
1 2 3 1

  
2 1 3 0
1 2 2 3


  

-
-
- - -
=
A
2 1 3
- -
1 2 2


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4. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
II- Résolution d’un système linéaire triangulaire
· Un système triangulaire supérieur c’est un système linéaire dont la matrice est
· Un système triangulaire inférieur c’est un système linéaire dont la matrice est
¨ Un système triangulaire admet une solution unique ssi sa matrice est inversible ssi ses
⇒ =
A est une matrice triangulaire supérieure, (S) est alors un système triangulaire supérieur.
⇒ =
A est une matrice triangulaire inférieure, (S) est alors un système triangulaire inférieur.
II-1 Résolution d’un système triangulaire supérieur par montée
¨ La matrice du système (S) est égale à :
4
Définition :
triangulaire supérieure.
triangulaire inférieure.
Remarque :
éléments diagonaux sont non nuls.
Exemples :
1)



+ 2
=
x x b
1 3 1
+ 3
=
x x b
2 3 2
=
x b
3 3
2
( S
)

  

1 0 2

  

0 1 3
0 0 2
A
2)
3



=
x b
1 1
+ =
x x b
1 2 2
+ + =
2
3 2
x x x b
1 2 3 3
( S
)
3 0 0

  
2 1 0


  

3 2 1
A
¨ Soit le système triangulaire supérieur

  

  

+ + =
a x LLLL
a x b
11 1 1 1
M M
n
+ = Σ
n n
+ =
a x a x b
ii i ij j
j i
1
M M
+ + =
0. 0.
x x a x b
-
i
L
1 , 1
n n nn n n
( S
)

    


=
    

-
L
11 12 1
n
nn
nn
a a a
O O M
a
a
A
0
M O O
0 0
1
L
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5. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
¨ La solution du système triangulaire supérieur (S) est donnée par :
n
- £ £ - = = Σ+
=
¨ On dit qu’on résolu le système par une méthode de montée.
⇒ =
¨ 1 11 a = , 1 22 a = et 2 33 a = : a ¹ 0, "1 £ i £ 3 ii ⇒ det A ¹ 0
¨ La matrice A est alors inversible et le système admet une unique solution, donnée par :
1
= =
33
a
1
1
b
3
= - = - = -
22
a
1
( b a x ) 3 x
3
2 23 3 3
= - - = + - = -
( b a x a x ) 1 x 2 x
4
1 12 2 13 3 2 3
X est alors l’unique solution du système (S) .
II-2 Résolution d’un système triangulaire inférieur par descente
¨ La matrice du système (S) est égale à :
5
( ), 1 1
1
,
1
b a x i n
i ij j
1
a
b x
a
x
j i
ii
n i
nn
n
Exemple :

  
1 1 2
0 1 3

 -
  




- + =
2 1
x x x
1 2 3
+ =
3 0
x x
2 3
=
0 0 2
2 2
( )
3
A
x
S

  

  

a
11
3
2
x
x
x
1
¨

  
4
3
1

-
=

-
  

¨ Soit le système triangulaire inférieur

  

  

+ + + =
11 1 12 1 0. 0.
a x x x b
n
L
M M
+ =
Σ -
1
=
a x a x b
ii i i
i
j
ij j
M M
1
+ + =
a x LLLL
a x b
1 1
n nn n n
( S
)

    


=
    

a
11
a
21
0 L
0
O O M
0
M O O
n nn- nn a a a
A
L
1 1
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6. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
¨ La solution du système triangulaire inférieur (S) est donnée par :
= 1 1
= ( - Σ ), 2
£ £ i -
¨ On dit qu’on résolu le système par une méthode de descente.
⇒ =
¨ 3 11 a = , 1 22 a = et 2 33 a = - : a ¹ 0, "1 £ i £ 3 ii ⇒ det A ¹ 0
¨ La matrice A est alors inversible et le système admet une unique solution, donnée par :
1
= =
a
11
1
1
b
1
= - = - =
( ) 4 2 2
1
b a x x
2 21 1 1
b a x a x x x
3 31 1 32 2 1 2
-
22
a
1
= - - =
X est alors l’unique solution du système (S) .
6
i
b a x i n
1
a
,
b x
a
x
i ij j
j
ii
=
1
1
11
1
Exemple :

  


  

3 0 0
2 1 0
-



=
3 3
+ =
x
1
2 x x
4
1 2
+ - =
3 2 2
3 2 2 1
( )
x x x
1 2 3
A
S

  

  

- - =
(1 3 2 ) 3
2
( )
33
x
1
2
x
x
3
a
¨

  


=
  

1
2
3
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7. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
III- Résolution d’un système linéaire de Cramer
III-1 Définition d’un système de Cramer
Un système linéaire est dit de Cramer si le nombre de ses inconnues m est égal au
nombre de ces équations n et est égal à son rang r (n = m = r) .
Un système linéaire est de Cramer ssi sa matrice associée est carrée (n = m) et
Un système linéaire de Cramer admet une unique solution.
L’unique solution d’un système linéaire homogène de Cramer est le vecteur nul.
+ 3 + 2
=
x x x b
1 2 3 1
+ + =
2 3
x x x b
1 2 3 2
+ + =
x x x b
1 2 3 3
¨ n = m = 3⇒ A est une matrice carrée d’ordre 3.
det A = = : det A ¹ 0 et A est alors une matrice inversible (r = 3) .
¨ Le système (S) est alors un système linéaire de Cramer.
III-2 Résolution par l’inversion de la matrice du système
On propose de résoudre un système linéaire (S) de n équations à n inconnues, écrit sous sa
¨ On vérifie si le système (S) est de Cramer :
· Si det A = 0 alors le système (S) n’est pas de Cramer.
· Si det A ¹ 0 alors le système (S) est de Cramer, et on passe à sa résolution.
¨ Un vecteur X est solution du système (S) ssi A.X = b ssi X = A-1b car A est inversible.
1 1 C A
A- = t
· On calcule A-1 : ( ( ))
· X = A-1.b est alors l’unique solution du système (S) .
7
Définition :
Théorème :
inversible (r = n) .
Exemple :

  

1 3 2

  

⇒ =



2 1 3
3 2 1
3 2
( )
A
S
1 3 2
¨ 2 1 3
18
3 2 1
forme matricielle A.X = b .
Etapes de la résolution :
det
A
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8. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
( S
)
¨ L’écriture matricielle du système (S) est :
det A = = : det A ¹ 0 A est alors une matrice inversible
¨ Le vecteur X est solution du système (S) ssi A.X = b ssi X = A-1b .
1 1 C A
A- = t
· Calcul de A-1 : ( ( ))
2 3
1 3
+ - +
3 1
1 2
2 1
3 2
- + -
3 1
1 2
2 1
3 2
+ - +
2 1
3 2
1 3
3 2
1 3
2 1
-
=
5/18 1/18 7 /18
7 /18 5/18 1/18
1/18 7 /18 5/18

  

-
X est alors l’unique solution su système (S)
8
Exemple :
¨ Le système (S) est donné par :



+ + =
3 2 6
x x x
1 2 3
+ + =
2 x x 3 x
6
1 2 3
+ + = -
3 x 2 x x
12
1 2 3

  


  

-
=

  


  


  

1 3 2

  

6
6
12
2 1 3
3 2 1
x
1
2
3
x
x

  
A et

1 3 2

=
  

2 1 3
3 2 1

  


  

-
=
6
6
12
b
¨ le système (S) est de Cramer :
18
1 3 2
2 1 3
3 2 1
det
A
5 7 1

  
1 5 7
7 1 5


-
=
  

-
-

      


      

=
2 3
1 3
C(A)

  
5 1 7
7 5 1
1 7 5


-
=
  

-
-
t (C(A))

  


  

-
-

  
5 1 7
7 5 1
1 7 5


  

-
-
-
1 1 A
- =
18
· X = A-1.b

  

-
=
  


  


  

  
.


- 5 1 7
7 5 1
-
-
=

  


  

⇒ =
6
0
6
6
6
12
1 7 5
1
18
x
1
2
3
x
x
X
¨

  

-
=
  

6
0
6
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9. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
III-3 Résolution par la méthode de Cramer
On propose de résoudre un système linéaire (S) de n équations à n inconnues, écrit sous sa
¨ On calcule le déterminant de la matrice A : det A
· Si det A = 0 alors le système (S) n’est pas de Cramer.
· Si det A ¹ 0 alors le système (S) est de Cramer, et on passe à sa résolution.
¨ On calcule les déterminants, dits de Cramer D i n
la matrice A où l’on a remplacé la colonne i par le vecteur b :
a L a b a L
a
- +
11 1 1 1 1 1 1
i i n
det M M M M M M M
, 1 £ i £ n
a L a b a L
a
- +
1 1 1
n ni n ni nn
x
1
X M
n x
M est alors l’unique solution du système (S) .
( S
)
¨ L’écriture matricielle du système (S) est :

  

-
9
forme matricielle A.X = b .
Etapes de la résolution :
xi , 1 £ £ , où
xi D est le déterminant de

  


  

=
x
D
i
¨ On calcule le vecteur solution

  


=
  

D
x xi
i = , 1 £ £
: i n
A
det
¨

      


      

=
1
A
x
det
xn
A
D
D
X
det
Exemple :
¨ Le système (S) est donné par :



+ + =
3 2 6
x x x
1 2 3
+ + =
2 x x 3 x
6
1 2 3
+ + = -
3 x 2 x x
12
1 2 3

  


  

-
=

  


  


  

1 3 2

  

6
6
12
2 1 3
3 2 1
x
1
2
3
x
x

  
A et

1 3 2

=
  

2 1 3
3 2 1

  

=
6
6
12
b
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10. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
det A = = : det A ¹ 0 A est alors une matrice inversible
x1 D ,
x2 D et
x3 D :
2 1
( , 2 ) 6 3 2
6 3 2
® - ® +
L L L L L L
2 2 1 3 3 1
-
=
=
- = ´
= -
1 · 108
- -
6 1
( 2 , 3 ) 1 6 2
1 6 2
® - ® -
L L L L L L
2 2 1 3 3 1
=
=
- -
= ´
=
2 · 0
- -
5 6
( 2 , 3 ) 1 3 6
1 3 6
® - ® -
L L L L L L
2 2 1 3 3 1
=
=
- -
= ´
=
3 · 108
X : ( x = D /det A, 1 £ i £ 3
X est alors l’unique solution su système (S)
10
¨ le système (S) est de Cramer :
18
1 3 2
2 1 3
3 2 1
¨ Calcul des déterminants de Cramer
8 5
6
0 2 1
0 8 5
6 1 3
12 2 1
-
Dx
- -
30 5
1
0 6 1
- -
0 30 5
2 6 3
-
3 12 1
Dx
- -
7 30
1
0 5 6
- -
0 7 30
2 1 6
-
3 2 12
Dx
¨ Calcul du vecteur solution

  


=
  

x
1
2
3
x
x
i xi )
108
D
x x
· 6
1 = = - = -
18
det
1
A
D
x x
· 0
2 = =
det
2
A
108
D
x x
· 6
3 = = =
18
det
3
A
¨

  

-
=
  

6
0
6
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11. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
IV- Résolution d’un système linéaire non de Cramer
Un système linéaire non cramien ou non de Cramer c’est un système dont le nombre
des inconnues m n’est pas égal au nombre des équations n ou dont le nombre des
inconnues m est égal au nombre des équations n mais dont le rang r ne leur est pas égal
(n ¹ m) ou (n = m et r ¹ n) .

 
+ + + =
2 3 4 2
x x x x
1 2 3 4
+ + =
2 2 2
x x x
2 3 4
1) ⇒
(S) est un système linéaire non de Cramer : AÎM(4) et rg(A) = 2 ¹ 4 , (n = m = 4 et r ¹ n)
=
A et
Le système (S) est un système linéaire non de Cramer : AÎM(4,3) , (n ¹ m)
IV-1 Résolution d’un système avec second membre
On propose de résoudre un système linéaire non de Cramer (S) de n équations à m inconnues,
1
X M
¨ On cherche le rang r de la matrice A : rg(A) = r
· Si (n = m = r) alors le système est un système linéaire de Cramer et sa résolution se
fait par l’une des méthodes développées au paragraphe précédent.
· Sinon, le système est alors un système linéaire non de Cramer. Pour le résoudre, on suit
11
Définition :
Exemples :

 

- - - =
2 x x 2 x
2
1 2 4
- + =
2 2 2
( )
x x
1 3
S

   
A et


   

1 2 3 4
0 1 2 2
- - -
-
=
2 1 0 2
2 0 2 0

    


=
    

2
2
2
2
b

 
+ - =
2 x 3 x x
2
1 2 3
- + =
2
x x x
1 2 3
2) ⇒

5 3 2
 
x x
2 3
3 2 2

- =
+ =
( )
x x
1 2
S
2 3 1

   
1 1 1
0 5 3


   

-
-
-
3 2 0

    


=
    

2
2
2
2
b
écrit sous sa forme matricielle A.X = b .

  


=
  
L
11 1
M M M

m
a a
a L
a
1
n nm
A
,

  


=
  

x
m x
et

  


=
  
1
b M

b
n b
Etapes de la résolution :
les étapes suivantes .
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12. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
¨ On suppose que la matrice r A formée par les r premières lignes et les r premières
colonnes de la matrice A a un déterminant non nul r D :
a L a a L
a
+
1,1 1, 1, 1 1,
r r m

      
M M M M M M
a L a a L
a
+
,1 , , 1 ,
r r r r r r m
a L a a L
a
+ + + + +
1,1 1, 1, 1 1,
r r r r r r m
M M M M M M
a L a a L
a
+
,1 , , 1 ,
n n r n r n m
· Cette hypothèse peut toujours être vérifiée, à un changement près de l’ordre des
équations et/ou de l’ordre des inconnues. Elle ne restreint donc pas l’étude qui suit
mais en simplifie seulement l’exposé.
· r D s’appelle le déterminant principal. On en déduit :
Les inconnues principales r x , , x 1
L , dont les coefficients sont les colonnes de r A
les autres inconnues r m x , , x 1
+ sont dites non principales ou arbitraires.
Les équations principales, qui sont les lignes du déterminant principal : ce sont les
r premières équations du système.
Les autres équations sont dites équations non principales.
¨ On écrit les matrices (M , 1 h n r) h £ £ - de type (r +1, r +1) définies par :
a L
a b
1,1 1, r
1

   

=
   
M M M M
h £ £ -
a L
a b
,1 ,
r r r r
a L
a b
+ ,1 + ,
+
r h r h r r h
· Les déterminants des matrices (M , 1 h n r) h £ £ - s’appellent les déterminants
caractéristiques du système A.X = b . On note M h n r h h D = det( ), 1 £ £ -
¨ On vérifie les conditions, dites conditions de compatibilité du système A.X = b :
h n r h D = 0, 1 £ £ -
· 1er cas : $1 £ h £ n - r avec D ¹ 0 h
Les équations sont dites incompatibles et le système A.X = b est impossible ou insoluble.
· 2ème cas : 1 £ h £ n - r , D = 0 h
Le système est possible. Pour le résoudre, on résout le système formé des r équations
principales dont les inconnues sont les inconnues principales et où les inconnues arbitraires
sont considérées comme des paramètres et sont ajoutées au second membre du système.
12
r
a L
a
1,1 1,
M M M
a L
a
,1 ,
r r r
⇒ D =
r
A

      


=
L
h n r
M


, 1
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13. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires

 
+ + + =
2 3 4 1
x x x x
1 2 3 4
+ + =
2 2 0
x x x
2 3 4
1) ⇒
¨ AÎM(4) et rg(A) = 2⇒ rg(S) = 2⇒ r = 2
2 D = . On en déduit :
· Les inconnues principales : 1 x et 2 x
· Les inconnues arbitraires : 3 x et 4 x
· Les équations principales :
  
x x x x
1 2 3 4
x x x
¨ Les conditions de compatibilité sont : D = 0, 1 £ h £ 2 h
1 2 1
D = et 0
· Les conditions de compatibilité sont alors vérifiées et le système est possible.
Sa résolution revient à résoudre le système de Cramer suivant :
+ = - +
2 1 (3 4 )
x x x x
1 2 3 4
S
1 x x x
= - +
(2 2 )
2 4 3
La solution du système ( ) 1 S est donnée par :
¨ La solution du système (S) est alors égale à l’ensemble :
{ ( ) 2}
E(S) = (x , x , x , x )Î IR / x = 1+ x , x = -2x - 2x , x , x Î IR
1 2 3 1 3 2 3 4 3 4
+ + - - + + =
(1 x ) 2.( 2 x 2 x ) 3 x 4 x
1
3 3 4 3 4
- - + + =
( 2 x 2 x ) 2 x 2 x
0
3 4 3 4
- + - - - - = -
2.(1 x ) ( 2 x 2 x ) 2 x
2
3 3 4 4
- + + = -
2.(1 x ) 2 x
2
3 3
13
Exemples :

 

- - - = -
2 x x 2 x
2
1 2 4
- + = -
2 2 2
( )
x x
1 3
S

   
A et


   

1 2 3 4
0 1 2 2
- - -
-
=
2 1 0 2
2 0 2 0

    


    

-
-
=
1
0
2
2
b
¨ Un déterminant principal est :
1 2
0 1
+ 2 + 3 + 4 =
1
2 2 0
+ + =
2 3 4
1 2 1
1 =
· 0 1 0
0
- - -
2 1 2
D =
0 1 0
=
2 - -
2 0 2
  
( )
  
= - + -
1 (3 4 ) 2
x x x x
1 3 4 2
x x x
= - +
(2 2 )
2 4 3
4
¨ Vérification :

 

 

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14. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires

 
+ + + =
2 3 4 1
x x x x
1 2 3 4
+ + =
2 2 0
x x x
2 3 4
2) ⇒
2 D = . On en déduit :
x x x x
1 2 3 4
x x x
1 2 1
D = et 4 0
2 2 = ⇒ D ¹
14

 

- - - = -
2 x x 2 x
2
1 2 4
- + =
2 2 2
( )
x x
1 3
S

   
A et


   

1 2 3 4
0 1 2 2
- - -
-
=
2 1 0 2
2 0 2 0

1 2
+ 2 + 3 + 4 =
1
2 2 0
1 2 1
0 1 0
=
1 - - -
0 1 0
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
    

    

-
=
1
0
2
2
b
¨ AÎM(4,4) et rg(A) = 2⇒ rg(S) = 2⇒ r = 2
¨ Un déterminant principal est :
0 1
· Les inconnues principales : 1 x et 2 x
· Les inconnues arbitraires : 3 x et 4 x
· Les équations principales :
  
+ + =
2 3 4
¨ Les conditions de compatibilité sont : D = 0, 1 £ h £ 2 h
· 0
2 1 2
2 0 2
-
D =
· Les conditions de compatibilité ne sont alors pas vérifiées et le système est impossible.
IV-2 Cas particulier d’un système homogène
On propose de résoudre un système linéaire homogène non de Cramer (S) de n équations à m
inconnues, écrit sous sa forme matricielle A.X = 0 .
Etapes de la résolution :
¨ On cherche le rang r de la matrice A : rg(A) = r
· Si (n = m = r) alors le système est un système linéaire de Cramer et son unique
solution est le vecteur nul.
· Sinon, le système est alors un système linéaire non de Cramer. Pour le résoudre, on suit
les mêmes étapes que pour un système linéaire non de Cramer avec second membre
(Les conditions de compatibilité étant toujours vérifiées).

15. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
¨ On cherche le déterminant principal r D :
Les r inconnues principales r x , , x 1
Les m - r inconnues arbitraires r m x , , x 1
Les r équations principales correspondantes à r D .
¨ Les conditions de compatibilité sont toujours vérifiées ( h n r h D = 0, 1 £ £ - ) :
a L
a b
1,1 1, r
1

   

   
D = =
0
L
1,1 1,
M M M M
M M M M
h h = = £ £ -
a L
a b
,1 ,
r r r r
a a b
L
,1 ,
L
L
+ ,1 + ,
+ + +
r h r h r r h
¨ On résout le système de Cramer formé par les r équations principales, dont les inconnues
sont les r inconnues principales et où l’on fait passer les m - r inconnues arbitraires au
second membre du système A.X = b .
¨ La solution de tout système linéaire non de Cramer homogène est un sous espace vectoriel
de dimension égale au nombre de ses inconnues arbitraires égale au rang de sa matice
=
A et
¨ AÎM(4) et rg(A) = 2 ⇒ rg(S) = 2 ⇒ r = 2
1 2
2 D = . On en déduit :
0 1
Les inconnues principales : 1 x et 2 x
Les inconnues arbitraires : 3 x et 4 x
  
x x x x
1 2 3 4
x x x
15
r
a L
a
1,1 1,
M M M
a L
a
,1 ,
r r r
D =
r
¨ On en déduit :
L .
L
.
+ h n r
a a
a a
r
r r r
a a
det( M
) det
,1 ,
r h r h r


0, 1
0
0
Remarque :
Exemple :
⇒

 

 

+ + + =
2 3 4 0
x x x x
1 2 3 4
+ + =
2 2 0
x x x
2 3 4
- - - =
2 x x 2 x
0
1 2 4
- + =
2 2 0
( )
x x
1 3
S

   


   

1 2 3 4
0 1 2 2
- - -
-
2 1 0 2
2 0 2 0

    


=
    

0
0
0
0
b
¨ Un déterminant principal :
Les équations principales :
+ 2 + 3 + 4 =
0
2 2 0
+ + =
2 3 4
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16. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
¨ Le système étant homogène, les conditions de compatibilité sont vérifiées.
La résolution du système (S) revient alors à résoudre le système de Cramer
+ = - +
2 (3 4 )
x x x x
1 2 3 4
S
1 x x x
= - +
2 4 3
La solution du système ( ) 1 S est donnée par :
¨ La solution du système A.X = 0 est alors égale au sous espace vectoriel :
( ) = {( , , , )Î / = , = -2 - 2 ,( , )Î 2}= (1,-2,1,0), (0,-2,0,1)
E S x x x x IR x x x x x x x IR
1 2 3 4 1 3 2 3 4 3 4
+ - - + + =
( x ) 2.( 2 x 2 x ) 3 x 4 x
0
3 3 4 3 4
- - + + =
( 2 x 2 x ) 2 x 2 x
0
3 4 3 4
- - - - - =
2.( x ) ( 2 x 2 x ) 2 x
0
3 3 4 4
- + =
2.( ) 2 0
16
suivant :
  
(2 2 )
( )
  
= - + -
(3 4 ) 2
x x x x
1 3 4 2
x x x
= - +
(2 2 )
2 4 3
4
¨ Vérification :

 

 

x x
3 3
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17. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
V- Complément : résolution d’un système linéaire par la méthode
d’élimination de Gauss
¨ On considère un système linéaire (S) de n équations à n inconnues :
¨ On l’écrit sous sa forme matricielle A.X = b :
1
X M
La méthode d’élimination de Gauss consiste à construire un système linéaire triangulaire
(supérieur si on effectue les changements sur les lignes de la matrice du système ou inférieur si on
effectue les changements sur les colonnes de la matrice du système) équivalent au système linéaire (S) et
le résoudre par montée (système triangulaire supérieur) ou descente (système triangulaire inférieur).
¨ On note A(1) = A et b(1) = b , le système s’écrit alors : A(1) .X = b(1)
11 a ¹ peut toujours être vérifiée, à un changement près de l’ordre des
équations et/ou de l’ordre des inconnues.
¨ On définit des nouveaux coefficients a i j n ij , 1 £ , £ (2) et b i n i , 1 £ £ (2) par :
= 1
£ £
(1)
1
(2)
1
a a j n
j j
a
(1)
= - × (1) + (1)
2 £ £ , 1
£ £
a a i n j n
j ij
=
(1)
1
a
(2)
1
b b
(1)
= - × + £ £
i (1) (1) 2
b b i n
17



+ + =
a x a x b
11 1 1 n n
1
L
+ + =
M
a x L
a x b
1 1
n nn n n
( S
)

  


=
  
L
11 1
M M M

n
a a
a L
a
1
n nn
A
,

  


=
  

x
n x
et

  


=
  
1
b M

b
n b
V-1 Etapes de la résolution :
V-1-1 Etape 1
V-1-2 Etape 2 : 0 (1)
11 a ¹
¨ L’hypothèse 0 (1)



(2) 1
(1) 1
11
a
a
i
ij
et :



(2) 1
(1) 1
11
a
b
i
i
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18. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
¨ Ce qui revient à effectuer pour la matrice A et le vecteur b les changements en lignes
=
a
(1)
1
(2)
1
L L
(1)
= - × £ £
i i (1) , 2
L i n
¨ Le système A(2) .X = b(2) ainsi obtenu est alors équivalent au système A(1) .X = b(1) :
est solution du système A(2) .X = b(2)
n
=
(2)
. = (2) , 1
£ £ ij j Σo ssi a x b i n i
=
a
.
(1)
1
(1)
1
a x b
a
j j
(1)
(1)
- × (1)
= (1) - 1
× (1)
£ £
(1) 1
( a ) x b
, 2
j j
=
n
Σ
=
.
(1)
1
(1)
1
a x b
a
n
j
n
j j
(1)
1
1
Σ Σ
a
(1)
- × a (1)
x = b
- × £ £
j j
(1)
n
(1)
1 1
b
a a
i
i × = ×Σ=
o ssi (1)
(1) 1
11
est solution du système A(1) .X = b(1)
¨ On continue la même démarche jusqu’à construire le système A(k ) .X = b(k ) à l’étape k .
18
suivantes :



(2) (1) 1
(1) 1
11
a
L L
i

   


=
   

(2)
1
n
(2)
2
(2)
12
a a a
(2)
22
n
L
a L
a
M M M M
(2) (2)
2
(2)
11
(2)
0
0
a a
n nn
A
et

    


=
    

(2)
1
b
(2)
2
M
(2)
(2)
b
n b
b
En effet :
o

  


=
  
1
X M

x
n x
j
1
o ssi

 

 

n
Σ
=
j
n
1
Σ
=
b i n
(1) 1
11
a
(1) 1
11
a
a
i
i
j
i
ij
1
o ssi

 

 

(1) 1
11
a
(1)
a x
i
ij j
= =
, 2
(1)
b i n
(1) 1
(1) 1
11
a
i
i
j
j
1
1
a x
(1) 1
11
1
(1)
a
a
j
j j
n
=
(1)
. = (1) , 1
£ £ ij j Σssi a x b i n i
j
1
o ssi

  


=
  
1
X M

x
n x
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007

19. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
k k a peut toujours être vérifiée, à un changement près de l’ordre
des équations et/ou de l’ordre des inconnues.
ij , 1 £ , £ ( ) et b i n k
i , 1 £ £ ( ) par :
¨ On définit des nouveaux coefficients a i j n k
-
= £ £ - £ £
( ) ( 1)
k
ij
k
ij
1 1, 1
a a i k j n
- -
-
-
a
( k
1)
= - × ( 1) + ( 1)
£ £ £ £
k
ij
k
, 1
a a k i n j n
-
= £ £ -
( ) ( 1) 1 1
k
i
k
i
b b i k
- -
-
-
a
( k
1)
= - × ( 1) + ( 1)
£ £
k
i
k
b b k i n
¨ Ce qui revient à effectuer pour la matrice A et le vecteur b les changements en lignes
-
= £ £ -
( ) ( 1)
k
i
k
i
1 1
L L i k
-
-
a
( k
1)
- -
= - × ( k
1)
,
£ £
L k i n
( ) ( 1) , 1
k i k
i
- -
- -
( 1) 1
1, 1
k k
k k
¨ On montre de même que le système A(k ) .X = b(k ) ainsi obtenu est équivalent au système
A(k -1) .X = b(k -1) , donc au système A.X = b :
( k
)
1,
n
L L
O M M M
( )
,
k
k n
M L
M M M M M
( )
,
k
n n
a a a
a a
a a
¨ On continue encore jusqu’à la dernière étape :
19
1, 1 - ¹
- -
V-1-3 Etape k : ( k
1) 0
k k a
1, 1 - ¹
- -
¨ L’hypothèse ( k
1)
0 


( ) , 1
k i k
ij
- -
- -
a
a
( 1) 1,
1, 1
k k j
k k
et :



( ) , 1
k i k
i
- -
- -
a
b
( 1) 1
1, 1
k k
k k
suivantes :



a
k
i
L L

     


     

=
( k
)
1,
k
( )
,
k
k k
( )
,
( )
1,1
( )
0
k
0
0 0
k
n k
k
A
L
et

    


=
    

( k
)
1
b
( k
)
2
M
( )
( )
b
k
n
k
b
b
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20. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
¨ On construit à cette étape, le système : A(n) .X = b(n) , où :
a L L L
a
O L L M
M O L M
0
0
n
0
M M O M
0 0 0 0
-
= £ £ -
( ) ( 1)
n
ij
n
ij
1 , 1
a a i j n
- -
-
-
a
( n
1)
= - × ( 1) + ( 1)
= - £ £
n
ij
n
, 1
a a i n n j n
( ) , 1
n i n
ij
( 1) 1,
1, 1
n n j
n n
-
= £ £ -
( ) ( 1) 1 1
n
i
n
i
b b i n
- -
-
-
a
( n
1)
= - × ( 1) + ( 1)
=
n
i
n
b b i n
¨ Ce qui revient à effectuer pour la matrice A et le vecteur b les changements en lignes
-
= £ £ -
( ) ( 1)
n
i
n
i
1 1
L L i n
-
-
a
( n
1)
- -
= - × ( n
1)
,
=
L i n
( ) ( 1) , 1
n i n
i
- -
- -
( 1) 1
1, 1
n n
n n
¨ Le système A(n) .X = b(n) ainsi obtenu est un système triangulaire supérieur dont la
résolution se fait simplement par une méthode de montée.
¨ On montre de même que le système ainsi obtenu A(n) .X = b(n) est équivalent au système
A(n-1) .X = b(n-1) , donc au système A.X = b .
¨ On a ainsi déterminer un système triangulaire supérieur équivalent au système A.X = b .
20
1, 1 - ¹
- -
V-1-4 Etape n : ( n
1) 0
n n a

     


     

=
( n
)
1,
n
( )
,
( )
1,1
( )
n
n n
n
a
A
et

    


=
    

( n
)
1
b
( n
)
2
M
( )
( )
b
n
n
n
b
b
avec :



- -
- -
a
a
et :



( ) , 1
n i n
i
- -
- -
a
b
( 1) 1
1, 1
n n
n n
suivantes :



a
n
i
L L
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21. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
⇒
¨ On note A(1) = A et b(1) = b , le système s’écrit alors : A(1) .X = b(1)
¨ On effectue pour la matrice A et le vecteur b les changements en lignes suivantes :
=
(1)
(1)
1
a
L L
= - × £ £
(1) , 2 4
L i
2 1 0 4
0 0 3 1
A(2) et
- -
0 1 2 0
- - -
0 3 12 1
21
V-2 Exemple :

 

 

+ + =
2 x x 4 x
2
1 2 4
- - + - = -
4 x 2 x 3 x 7 x
9
1 2 3 4
+ - + =
4 x x 2 x 8 x
2
1 2 3 4
- - - =
3 12 2
( )
x x x
2 3 4
S

   
2 1 0 4
4 2 3 7
A et
4 1 2 8
0 3 12 1


   
- - -
=

-
- - -

    


-
=
    

2
9
2
2
b
V-2-1 Etape 1 :
V-2-2 Etape 2 : 2 0 (1)
11 a = ¹



(2)
1
(2) (1) i
1
(1) 1
11
a
L L
i i
ou encore :

   

   

®
L L
1 1
® - - 4
×
L L L
2 2 1
2
4
® - ×
L L L
3 3 1
2
0
® - ×
L L L
4 4 1
2
ie :

 

 

®
L L
1 1
® +
2
L L L
2 2 1
® -
2
L L L
3 3 1
®
L L
4 4
¨ On obtient alors :

   


    
=

    


    

-
-
=
2
5
2
2
b(2)
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22. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
2,2 a = : on effectue alors un changement de l’ordre des équations
2,2 a ¹ , ce qui revient à échanger la ligne 2 et la ligne 3 :
2 1 0 4
- -
0 1 2 0
A(2) et
0 0 3 1
- - -
0 3 12 1
¨ On effectue pour la matrice A et le vecteur b les changements en lignes suivantes :
= £ £
L L i
(2)
(3) (2)
a
i i
= - × £ £
1 2
, 3 4
L i

   
2 1 0 4
0 1 2 0
A(3) et
0 0 3 1
0 0 6 1

- -
- -
22
V-2-3 Etape 3 : (2) 0
2,2 a =
¨ On est dans le cas où 0 (2)
pour obtenir ( 0) (2)

   


   

=

    


    

-
-
=
2
2
5
2
b(2)



(2)
(3) (2) i
2
(2) 2
22
a
L L
i i
ou encore :

  

  

0
×
-
L L
1 1
L L
2 2
L L L
3 3 2
×
®
®
® -
® - -
1
3
L L L
4 4 2
-
1
ie :

 

 

®
L L
1 1
®
L L
2 2
®
L L
3 3
® -
L L 3L
4 4 2
¨ On obtient alors :

   

=

    


    
-
=

-
2
2
5
8
b(3)
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23. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires
¨ On effectue pour la matrice A et le vecteur b les changements en lignes suivantes :
= £ £
1 3
L L i
(3)
(4) (3)
a
i i
= - × =
, 4
L i

   
2 1 0 4
0 1 2 0
A(4) et
0 0 3 1
0 0 0 1

¨ Pour résoudre le système A.X = b , il suffit alors de résoudre le système triangulaire
o Le système A(4) .X = b(4) s’écrit :

  

  

x x x
x x
x x
x

    

-
=
    

    

    

   

   
2 1 0 4
- - -
=
2
9
3
4
4 2 3 7
A X = b
-
4 1 2 8
- - -
0 3 12 1
23
V-2-4 Etape 4 : 3 0 (3)
3,3 a = ¹



(3)
(4) (3) i
3
(3) 3
33
a
L L
i i
ou encore :

  

  

®
L L
1 1
®
L L
2 2
®
L L
3 3
® - - 6
×
L L L
4 4 3
3
ie :

 

 

®
L L
1 1
®
L L
2 2
®
L L
3 3
® +
L L 2L
4 4 3
¨ On obtient alors :

   

- -
=

    


     
-
=
-
-
2
2
5
2
b(4)
supérieur A(4) .X = b(4) par montée :
⇒

 

 

+ + =
2 x x 4 x
2
1 2 4
- - = -
2 2
x x
2 3
+ = -
3 5
= -
2
x x
3 4
4
x
⇒
1
= - - =
(2 4 ) 3
2
1 2 4
= - =
2 2 4
2 3
1
= - - = -
( 5 ) 1
3
3 4
= -
2
4

    


    

-
-
=
3
4
1
2
X
V-2-5 Vérification :



.

-
-


2
2
1
2
.
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