1. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Dalles
Introduction à l’élasticité

2. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Le gauchissement : près de l’appui
Fig. 7.35

3. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Le gauchissement: bande de champ
Fig. 7.35

4. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Le gauchissement : visualisation
Fig. 7.35

5. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
On pourrait éviter la torsion…
Fig. 7.37

6. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Dalles
Théorie de l’élasticité

7. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Equation différentielle des dalles
▪ Etablie par Lagrange
▪ Hypothèses de base:
–Dalles élancées (l/h > 5)
–Dalles isotropes homogènes
–Pas de déformation du feuillet moyen dans son
plan
–Les sections planes restent planes
–Les contraintes normales sont négligées
Fig. 7.5

8. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Elément infinitésimal de dalle
dx
dy
Fig. 7.6

9. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Equilibre d’un élément de dalle
( )m dm dyx x+ ⋅
Fig. 7.6
( )m dm dyx x+ ⋅
( )m dm dyxy xy+ ⋅( )m dm dxy y+ ⋅
( )m dm dxyx yx+ ⋅
( )v dv dyx x+ ⋅
( )v dv dxy y+ ⋅
v dxy ⋅v dyx ⋅
m dyx ⋅
m dxy ⋅
m dyxy ⋅
m dxyx ⋅
y
x
z dx
dy
q dx dy⋅ ⋅

10. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Equilibre autour de y
y
z
x0=−
∂
∂
+
∂
∂
x
xyx
v
y
m
x
m
Fig. 7.6
dy
x
m
m x
x ⋅





∂
∂
+
dymx ⋅
dxmxy ⋅
dx
y
m
m
xy
xy ⋅





∂
∂
+
dyvx ⋅
dy
x
v
v x
x ⋅





∂
∂
+

11. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Equilibre autour de x
y
z
x
0=−
∂
∂
+
∂
∂
y
xyy
v
x
m
y
m
Fig. 7.6
dy
y
m
m
y
y ⋅





∂
∂
+
ym
dymyx ⋅
dy
y
m
m
yx
yx ⋅





∂
∂
+
dxvy ⋅
dx
y
v
v
y
y ⋅





∂
∂
+

12. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Equilibre vertical
y
z
x
0=+
∂
∂
+
∂
∂
q
y
v
x
v yx
Fig. 7.6
dxvy ⋅
dx
y
v
v
y
y ⋅





∂
∂
+
dyvx ⋅
dy
x
v
v x
x ⋅





∂
∂
+

13. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Equilibre d’un élément infinitésimal de dalle
0=−
∂
∂
+
∂
∂
x
xyx
v
y
m
x
m
0=−
∂
∂
+
∂
∂
y
xyy
v
x
m
y
m
0=+
∂
∂
+
∂
∂
q
y
v
x
v yx
Fig. 7.6
q
y
m
yx
m
x
m yxyx
−=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
2
22
2
2
2
Eq. 7.2

14. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Déformation d’un élément de dalle
▪ Etablie par Lagrange
▪ Hypothèses de base:
–Dalles élancées (l/h > 5)
–Dalles isotropes homogènes
–Pas de déformation du feuillet moyen dans son
plan
–Les sections planes restent planes
–Les contraintes normales sont négligées
Fig. 7.5

15. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Déformation dans un plan parallèle au
feuillet moyen
x
v
y
u
yxxy
∂
∂
+
∂
∂
=+= γγγ
Fig. 7.7

16. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Répartition des contraintes
z
h
x
x ⋅=
2/
max,σ
σ
Fig. 7.8

17. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Moments en fonction de la déformée






∂
∂
+
∂
∂
−= 2
2
2
2
y
w
x
w
Bmx ν 





∂
∂
+
∂
∂
−= 2
2
2
2
y
w
x
w
Bmy ν
( )
yx
w
Bmxy
∂∂
∂
−−=
2
1 ν
( )2
3
112 ν−⋅
⋅
=
hE
Bavec
Eq. 7.9

18. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Equation de Lagrange (1811)
B
q
y
w
yx
w
x
w
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
4
4
22
4
4
4
2
Eq. 7.10

19. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Grille de poutres sans torsion
B
q
y
w
x
w
=
∂
∂
+
∂
∂
4
4
4
4
Fig. 7.37

20. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Conditions de bord
Type de condition cinématique
(déplacements connus)
statique
(efforts connus)
appui simple w = 0 m = 0
encastrement total w = 0,
∂w
∂n
= 0
encastrement élastique
w = 0
∂w
∂n
proportionnel à m
m proportionnel à
∂w
∂n
bord libre m = 0, r = 0
B
q
y
w
yx
w
x
w
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
4
4
22
4
4
4
2
Tab. 7.10

21. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Résolution de l’équation de Lagrange
w x y
qa
D m
y
b
y
b
y
b
m x
a
m m
m
m m
m
m
m
( , )
tanh
cosh
cosh
cosh
sinh sin
, , ,...
= −
+
+






=
∞
∑
4 1
1
2
2
2
2
2 24
5 5
1 3 5π
α α
α
α α
α
α π
w(x,y) = ∑
m
∞
∑
n
∞
amn · sin



mπx
a
· sin



nπy
b
avec α
π
m
m b
a
=
2
y
x
b
2
b
2
a
On peut le faire avec Excel !
Fig. 7.11

22. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Moments – dalle rectangulaire
0.04
0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
a a/2
0 1.5
M
qa2
b = a
b = 1.5 a
b = 2 a
b = 3 a b = 4 a
M
qa2
des moments
Diagramme
m à y = 0y
Diagramme
des moments
m à x = a/2x
Distribution transversale
des moments
m à x = a/2y
Distribution transversale
des moments
m à y = 0x
a 2a 3a 4a3a/2a/2
0.125
Diagramme
Diagramme Distribution
Distribution
Fig. 7.12

23. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Isolignes des déformations

24. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Vue 3D des déformations

25. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Vue 3D des déformations

26. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Isolignes des moments mx

27. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Isolignes des moments my

28. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Isolignes des moments de torsion mxy

29. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Moments élastiques (ν = 0.17)

30. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Soulèvement des coins
b) coins ancrésa) coins libres de se soulever
Fig. 7.14

31. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Efforts dans les coins
Fig. 7.15

32. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Torsion pure dans les coins de dalles
R
réaction répartie r
m-
m+
a
a
a
m-
m+
a) moments dans l'angle d'une dalle simplement
appuyée et ancrée
b) moments dans l'angle d'une dalle sur
quatre colonnes
A
A
Fig. 7.17

33. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Réactions d’appui
Fig. 7.13

34. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Dalle encastrée sur son pourtour
Fig. 7.18

35. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Etat de contraintes dans un coin
dz
dx dzσy
dy dzσx
dx dzτyx
dy dzτxy
dx dzσα
ds dzτα
dydx
α
z
y
x
Fig. 7.19

36. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Moments principaux
m
T
mm1
m2 mx
my
mxy
2α
mxy
Figs. 7.20 et 7.21

37. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Trajectoires des moments principaux

38. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Comparaison dalle-poutre (1)
h h
b
z
x
w
),( yxw )(xw
Dalle Poutre
z
x
w
y

39. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Comparaison dalle-poutre (2)
h h
b






∂
∂
⋅+
∂
∂
−= 2
2
2
2
y
w
x
w
Bmx ν






∂
∂
⋅+
∂
∂
−= 2
2
2
2
x
w
y
w
Bmy ν
( )
yx
w
Bmm yxxy
∂∂
∂
−−==
2
1 ν
2
2
dx
wd
BMx
′−=
0≡yM
0=xyM
12
3
bh
IEIB ==′

40. ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton II
Dr O. Burdet
Comparaison dalle-poutre (3)
h h
b
B
q
y
w
yx
w
x
w
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
4
4
22
4
4
4
2
B
q
x
w
′
=
∂
∂
4
4
121
3
2
h
I
EI
B =
−
=
ν 12
3
bh
IEIB ==′