Electromagnetique grenier

´ Electromagn´tisme et transmission e des ondes GEL-2900/GEL-3002 Dominic Grenier D´partement de g´nie ´lectrique et de g´nie informatique e e e e Universit´ Laval e Qu´bec (QC), G1V 0A6 e Automne 2012c DG-2000,2001,2004

NOTES : • Les unit´s utilisés sont toutes en SI ou en SI-d´rivé (longueur : m, masse : kg, e e e e temps : s, courant : A, puissance : W, tension : V, charge : C, fr´quence : Hz . . . ). e • – Les vecteurs sont identifi´s par l’identificateur en caract`re gras (e.g. E). e e – Les composantes d’un vecteur sont spćifiés par l’entremise de leur coordonné e e e mise en indice inf´rieur (e.g. Ex ou Eθ ). e – Les phaseurs et les quantit´s complexes qui en dćoulent, avec un module et e e une phase, sont plutˆt repr´sent´s par leur identificateur surmont´ d’une barre o e e e ¯ ¯ ¯ (e.g. E, Eθ ou Zi ). – Ainsi, les vecteurs-phaseurs sont identifi´s par l’identificateur en caract`re gras e e ¯ surmont´ d’une barre (e.g. E). e – Finalement, les modules d’un phaseur (en valeur crˆte) ou d’une quantit´ com- e e plexe, ainsi que les scalaires, sont identifi´s par leur identificateur r´gulier (e.g. e e E ou Eθ ou Zi ou h). • Ce document a ´t´ produit par L TEX. ee A Tout au long de l’ouvrage, vous pourrez apprćier la qualit´ des figures. C’est pourquoi e eje d´sire exprimer ma reconnaissance ` M. Fr´d´ric Jean qui est l’auteur de la majorit´ e a e e ed’entre elles ; il a su composer avec mes exigences parfois capricieuses.

Table des mati`res e1 Notions de base 1-1 1.1 Les champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-1 1.2 Phaseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3 1.3 Int´grales de ligne et de surface . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-4 1.4 Th´or`mes de Stokes et de Green e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-112 Les champs et les mat´riaux e 2-15 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-15 2.2 Champ ´lectrique statique . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-15 2.3 Champ d’induction magn´tique statique . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-20 2.4 Conducteur et conductivit´ . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-26 2.5 Di´lectrique et champ de d´placement . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-27 2.6 Mat´riau magn´tique et champ magn´tique . e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-293 Les lois de Maxwell 3-37 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-37 3.2 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-37 3.3 Loi d’Amp`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 3-41 3.4 ´ Equation de continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 3-44 3.5 ´ Equations de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-45 3.5.1 Charges magn´tiques . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 3-46 3.5.2 Charges ´lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 3-47 3.6 Formes diﬀ´rentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 3-50 3.7 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-51 3.7.1 Composante tangentielle du champ ´lectrique . e . . . . . . . . . . . 3-52 3.7.2 Composante tangentielle du champ magn´tique e . . . . . . . . . . . 3-52 3.7.3 Composante normale du champ d’induction . . . . . . . . . . . . . 3-53 3.7.4 Composante normale du champ de d´placement e . . . . . . . . . . . 3-54 3.7.5 R´sum´ des conditions aux limites . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . 3-54 3.7.6 Propri´t´s suppl´mentaires . . . . . . . . . . . . ee e . . . . . . . . . . . 3-554 Statique et Quasi-statique 4-65 4.1 introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-65 4.2 Applications directes aux champs statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-66

vi ` TABLE DES MATIERES 4.3 Voltage et potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-71 ´ 4.3.1 Equipotentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-73 4.4 Thórie des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 4-75 4.5 ´ Equation de Laplace, m´thode des diff´rences finies e e . . . . . . . . . . . . . 4-78 4.5.1 Interface entre di´lectriques . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 4-82 4.6 De l’´lectromagn´tisme aux circuits . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . 4-84 4.6.1 Capacitance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-85 4.6.2 Conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-86 4.6.3 Inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-88 4.6.3.1 Inductance externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-88 4.6.3.2 Inductance interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-91 4.6.3.3 R´luctance . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 4-92 4.7 ´ Energie emmagasiné . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 4-95 ´ 4.7.1 Energie ´lectrique emmagasiné . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . 4-95 ´ 4.7.2 Energie magn´tique emmagasiné . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . 4-98 4.8 Analyse de comportement en quasi-statique . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-101 4.8.1 Inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-101 4.8.2 Condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-105 5 Onde plane uniforme 5-113 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-113 ´ 5.2 Equation d’onde dans un mat´riau sans perte . . . e . . . . . . . . . . . . . 5-113 5.2.1 D´veloppement de l’´quation d’onde . . . . e e . . . . . . . . . . . . . 5-114 5.2.2 Solution ` l’´quation d’onde temporelle . . . a e . . . . . . . . . . . . . 5-115 5.2.3 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-115 5.3 Onde sinuso¨ ıdale dans un milieu quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-116 5.4 Puissance et vecteur de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-122 5.5 Caract´ristiques de l’onde plane . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 5-127 5.6 Param`tres de propagation des mat´riaux . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . 5-129 5.6.1 Di´lectrique parfait . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 5-130 5.6.2 Di´lectrique a faibles pertes . . . . . . . . . e ` . . . . . . . . . . . . . 5-131 5.6.3 Bon conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-133 5.6.3.1 Effet de peau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-135 5.6.4 Conducteur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-136 5.7 Propagation dans une direction arbitraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-136 5.7.1 Vecteur de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-138 5.7.2 Vitesses de l’ńergie, de phase et de groupe . e . . . . . . . . . . . . . 5-142 5.8 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-145 5.8.1 Polarisation lináire . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 5-145 5.8.2 Polarisations circulaire et elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-146

`TABLE DES MATIERES vii6 R´flexion et transmission e 6-159 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-159 6.2 Incidence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-159 6.3 Lois de r´flexion et de r´fraction . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . 6-163 6.4 Incidence oblique avec mat´riaux sans perte . . e . . . . . . . . . . . . . . . 6-165 6.4.1 Polarisation perpendiculaire/horizontale . . . . . . . . . . . . . . . 6-165 6.4.2 Polarisation parall`le/verticale . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . 6-169 6.4.3 Analyse et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-171 6.4.3.1 Angle critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-171 6.4.3.2 Angle de Brewster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-172 6.4.3.3 Comportement des coefficients . . . . . . . . . . . . . . . 6-174 6.5 Incidence sur un conducteur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-176 6.6 Incidence oblique sur un mat´riau ` pertes . . . e a . . . . . . . . . . . . . . . 6-1777 Ligne de transmission 7-183 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-183 7.2 Mode TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-184 7.3 Mod`le distribu´ d’une ligne . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-185 7.4 Correspondances ´lectromagn´tisme-circuit e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-188 ´ 7.4.1 Equivalences rapides C-G-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-189 7.4.2 Puissance transporté . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-191 7.5 Effet d’une ligne sans perte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-194 7.6 Effet d’une ligne quelconque ` pertes . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-196 7.7 Param`tres distribu´s vs facteur de forme . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-200 7.8 D´termination des param`tres de ligne . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-201 7.8.1 Technique analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-202 7.8.2 Technique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-205 7.8.3 Techniques num´riques . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-205 7.9 Mode quasi-TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-210 7.9.1 Constante di´lectrique effective . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-211 7.9.2 Modification aux calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-2138 R´gime transitoire sur ligne e 8-221 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-221 8.2 Rappels des notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-221 8.2.1 Transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-221 8.2.2 Principes de circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-222 ´ 8.2.3 Equivalent circuit des interrupteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-223 8.3 Effet de la ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-225 8.4 Transitoire d’un syst`me simple . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-226 8.4.1 Condition ` la source . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-227 8.4.2 Condition ` la charge . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-228 8.4.3 D´veloppement du transitoire . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-228

viii ` TABLE DES MATIERES 8.4.4 Approche raisonné . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-230 8.4.5 Signaux en r´gime permanent . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-233 8.5 Diagramme en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-235 8.5.1 Lecture du diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-236 8.6 Distribution de l’ńergie . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-240 8.7 Plusieurs sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-241 8.8 Endroit du changement et conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . 8-244 8.9 Point de jonction sur ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-248 8.9.1 R´sistance parall`le . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-249 8.9.2 R´sistance s´rie . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-250 8.9.3 Jonction quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-251 8.9.4 Diagramme en Z avec point de jonction . . . . . . . . . . . . . . . . 8-252 8.10 Imp´dance ráctive . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-255 8.10.1 Conditions initiales nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-257 8.10.2 Conditions initiales non-nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-261 8.11 Param`tres S . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-263 8.11.1 Ports sans adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-264 9 R´gime sinuso¨ e ıdal permanent sur ligne 9-275 9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-275 9.2 Tension et courant sur la ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-275 9.3 Court-circuit et circuit-ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-277 9.3.1 Puissance instantané et moyenne . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 9-282 9.4 Param`tres du r´gime sinuso¨ e e ıdal permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-283 9.4.1 Coefficient de r´flexion gń´ralis´ . . . . . . . . . e e e e . . . . . . . . . . 9-283 9.4.2 Diagramme d’onde stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-284 9.4.3 Rapport d’onde stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-289 9.4.4 Particularit´s sur les imp´dances vues . . . . . . . e e . . . . . . . . . . 9-290 9.5 Abaque de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-294 9.5.1 Construction de l’abaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-294 9.5.1.1 r et x versus u et v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-294 9.5.1.2 Superposition des lieux r =cte et x =cte . . . . . . . . . . 9-296 9.5.1.3 Finalisation de l’abaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-297 9.5.2 Param`tres mesurables sur l’abaque . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 9-297 9.6 Estimation de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-304 9.6.1 Principes thóriques de calcul de charge . . . . . e . . . . . . . . . . 9-304 9.6.2 Estimation exp´rimentale de charge . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 9-305 9.7 Adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-308 9.7.1 Transformateur quart-d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-310 9.7.2 Stub simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-312 9.7.3 Double stub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-318 9.7.4 Largeur de bande d’adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-325 9.8 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-326

`TABLE DES MATIERES ix 9.9 Lignes ` pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-331 a10 Guide d’ondes 10-343 10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-343 10.2 Modes sup´rieurs dans un guide ` plaques parall`les . . . . e a e . . . . . . . . . 10-345 10.2.1 Fr´quence de coupure . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-347 10.2.2 Longueur d’onde guidé . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-349 10.2.3 Vitesses de phase et de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-350 10.2.4 Imp´dance intrins`que en mode sup´rieur . . . . . . e e e . . . . . . . . . 10-351 10.2.5 Correspondance avec lignes en mode TEM . . . . . . . . . . . . . . 10-352 10.3 Guide d’ondes rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-354 10.3.1 Analyse math´matique . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-355 10.3.1.1 D´veloppement des ´quations de Maxwell e e . . . . . . . . . 10-356 10.3.1.2 Choix du mode de transmission . . . . . . . . . . . . . . . 10-357 ¯ 10.3.1.3 Expression des champs selon Hz . . . . . . . . . . . . . . . 10-358 ´ ¯ 10.3.1.4 Equation d’onde en Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-358 10.3.1.5 R´solution de l’´quation d’onde . . . . . . e e . . . . . . . . . 10-358 10.3.1.6 Respect des conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . 10-360 10.3.1.7 Expressions finales des autres composantes . . . . . . . . . 10-361 10.3.2 Quelques modes T Emn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-361 10.3.2.1 Mode fondamental T E10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-361 10.3.2.2 Mode T E20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-363 10.3.2.3 Mode T E11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-364 10.3.3 Principaux param`tres . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-365 10.3.3.1 Fr´quence de coupure . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-366 10.3.4 Longueur d’onde guidé . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-367 10.3.5 Vitesses de phase et de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-368 10.3.6 Imp´dance intrins`que en mode sup´rieur . . . . . . e e e . . . . . . . . . 10-369 10.3.7 Mode Transverse Magn´tique . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-369 10.3.8 Conclusion sur les guides rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . 10-370 10.4 Guide d’ondes circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-371 10.4.1 Expressions des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-371 10.4.2 Param`tres principaux . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-374 10.5 Puissance et ńergie (T E10 rectangulaire) . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-377 10.5.1 Puissance transporté . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-377 ´ 10.5.2 Energie emmagasiné par unit´ de longueur . . . . e e . . . . . . . . . 10-378 10.5.3 Vitesse de l’ńergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-378 10.6 Pertes dans le guide d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-378 10.6.1 Pertes dans le conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-379 10.6.2 Pertes dans le di´lectrique . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-381 10.7 Cavit´s r´sonnantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . 10-382 10.7.1 Expressions des champs T Emnp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-382 10.7.2 Param`tres principaux . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-383

0-0 ` TABLE DES MATIERES 11 Antennes - introduction 11-391 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-391 11.2 Imp´dance . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-392 11.2.1 R´sistance de rayonnement e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-393 11.2.2 Circuit avec antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-394 11.2.3 Efficacit´ de rayonnement e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-395 11.3 Intensit´ de rayonnement . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-395 11.4 Diagramme de rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-397 11.5 Angle solide du faisceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-399 11.6 Directivit´ et gain . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-400 11.7 Ouverture ou longueur effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-403 11.8 Ouverture vs directivit´ . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-404 11.9 Valeurs pour antennes filiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-406 A Syst`me de coordonnés e e A-409 A.1 Transformations scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-409 A.2 Transformations d’´l´ments diff´rentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee e . . A-409 A.3 Transformations vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-410 B Lettres grecques B-412 C Constantes physiques fondamentales C-413 C.1 Valeurs recommandés . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-413 C.2 Unit´s SI . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-413 C.3 Unit´s SI suppl´mentaires . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-414 C.4 Unit´s utilisés avec SI . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-414 C.5 Pr´fixes SI . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-414 D Table des symboles D-415 ´ E Equations de base en EM E-419 ´ E.1 Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-419 ´ E.2 Equation de continuit´ . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-419 E.3 Relations constitutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-419 ´ E.4 Equation du courant de conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-419 E.5 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-419

Chapitre 1Notions de base1.1 Les champsUn champ est une entit´ physique difficile ` concevoir mais qui existe bel et bien et n’a e arien d’un concept thórique utile pour faciliter l’interpr´tation de phńom`nes existants. e e e eLe champ est reli´ ` une r´gion de l’espace ; son existence est d´terminé par la pr´sence ea e e e ed’un phńom`ne physique ` l’int´rieur de cette r´gion. Il est souvent responsable de l’ap- e e a e eplication de forces sur des objets. Tout le monde connaˆ bien le champ gravitationnel de ıtla Terre qui cré une force attirant les objets vers son centre. Les champs ´lectriques et e emagn´tiques sont aussi des champs de force reli´s aux forces de r´pulsion ou d’attraction e e e 1´lectriques et magn´tiques . Dans un contexte plus large, on dira qu’un champ est unee equantit´ physique qui varie selon la position dans la r´gion de l’espace. e e Quoique l’invisibilit´ de la gravitation n’empˆche pas celle-ci d’ˆtre facilement comprise e e eet interpr´té, il n’en va pas ainsi pour tous les champs. Il faut dire que la gravitation eeest le plus simple des champs. En effet, il existe diff´rents type de champs comme on le ed´taille ci-dessous. e • Le champ peut ˆtre identique partout dans la r´gion de l’espace dans lequel cas on e e le dit uniforme ; • Le champ peut varier en fonction du temps. Il sera donc statique ou variant (dans le temps – “time-varying”) selon qu’il soit ind´pendant ou non du temps ; e • Plus encore, le champ peut ˆtre vectoriel ou scalaire lorsque la quantit´ qu’il repr´sente e e e a une direction dans l’espace ou non respectivement.Ainsi le champ gravitationnel est relativement uniforme, statique et vectoriel contraire-ment au champ ´lectromagn´tique souvent non-uniforme, variant et toujours vectoriel. e eOn peut ouvrir ici une premi`re parenth`se : s’il n’y a pas d’´volution dans le temps, e e ele champ ´lectrique et le champ magn´tique sont dissociables ; par contre une variation e e 1 Il existe quatre types de force dans la nature soit la force gravitationnelle, la force ´lectromagn´tique, e eles forces nucláires faible et forte ; on verra que les forces ´lectrique et magn´tique sont en fait une mˆme e e e eforce dite ´lectromagn´tique. e e

1-2 Notions de base temporelle de l’un ou l’autre rend ces deux champs indissociables d’o` le nom combin´ u e ´lectromagn´tisme. e e La temp´rature et la pression atmosph´rique sont des exemples de champs scalaires ; e e par contre leur gradient sont des quantit´s vectorielles. Soit le cas de la temp´rature dans e e un syst`me de coordonnés cart´siennes pour bien se fixer les idés. Si la temp´rature d’une e e e e e pi`ce est assumé identique partout et fixe dans le temps alors T = cte ; par contre si elle e e est non-uniforme mais toujours constante alors T = T (x, y, z). On comprend ais´ment e que pour tenir compte de l’´volution de la temp´rature dans le temps – dˆ e aux pertes, e e u au syst`me de chauffage ou de climatisation – on a maintenant le cas gń´ral : e e e T = T (x, y, z, t) . (1.1) y (x0 , y0 ) Fy (x0 , y0) Fx (x0 , y0 ) x Figure 1.1 – Lignes de champ vectoriel dans un espace cart´sien ` deux dimensions. e a Pour un champ vectoriel, il existe autant de composantes que la dimension de l’espace soit 3 pour un espace physique. Le champ vectoriel F s’ćrit : e F (x, y, z, t) = Fx (x, y, z, t)ax + Fy (x, y, z, t)ay + Fz (x, y, z, t)az . (1.2) La figure 1.1 montre un exemple de champ vectoriel dans un plan cart´sien (espace a e ` 2 dimensions). Les fl`ches indiquent la direction et leur longueur est proportionnelle a e ` l’amplitude. Des expression similaires existent pour les autres syst`mes de coordonnés. En cylin- e e drique ou en sph´rique, on obtient : e F (r, φ, z, t) = Fr (r, φ, z, t)ar + Fφ (r, φ, z, t)aφ + Fz (r, φ, z, t)az (1.3) F (r, θ, φ, t) = Fr (r, θ, φ, t)ar + Fθ (r, θ, φ, t)aθ + Fφ (r, θ, φ, t)aφ . (1.4) Comme on peut le remarquer par ces exemples, une quantit´ vectorielle est identifié e e par un caract`re gras normalement majuscule sauf pour les vecteurs unitaires notés ak . e e 2 Ces derniers sont des vecteurs dont le module (ou longueur) vaut l’unit´. e 2 Pour obtenir la grandeur d’un vecteur, il suffit de prendre la racine carré de la somme des compo- e 2 2 2 santes au carr´ de la base e.g. F = |F | = Fx + Fy + Fz en cart´sien. Si un vecteur F poss`de une e e e direction aF = mx ax + my ay + mz az (avec m2 + m2 + m2 = 1 car module unitaire), alors Fx = F · mx , x y z Fy = F · my , Fz = F · mz .

1.2 Phaseur 1-31.2 PhaseurLes phaseurs sont des outils math´matiques utilis´s lorsque les signaux varient sinuso¨ e e ıdale-ment dans le temps aussi appel´s variations harmoniques. Ce sont des nombres complexes equi, ramen´s sous la forme polaire, ont un module et un argument3 e • Le module repr´sente l’amplitude crˆte du signal. e e • L’argument correspond au d´phasage du signal sinuso¨ e ıdal ` l’origine. aOn d´montre que la r´ponse en r´gime permanent d’un syst`me lináire a un excitation e e e e e `sinuso¨ ıdale reste sinuso¨ıdale et avec la mˆme fr´quence d’oscillations. Seuls le module et e ela phase changent. De plus, ce r´gime sinuso¨ e ıdal permanent est pratique car il permetd’obtenir plus facilement la r´ponse d’un syst`me lináire. Comme toute forme de signal e e epeut se dćomposer en une somme de composantes sinuso¨ e ıdales4 , l’idé est de d´terminer e ela r´ponse du syst`me pour chacune des composantes ind´pendamment des autres et de e e esommer ces r´ponses dans le plan complexe. e Soit la fonction harmonique F (t) = A cos(ωt+φ). Dans cette expression, A est l’ampli-tude de la variation sinuso¨ ` ıdale et (ωt+φ) est la phase. A l’origine i.e. ` t = 0, le d´phasage a eest simplement φ. Cette fonction peut aussi s’ćrire ` partir des identit´s d’Euler comme e a esuit : F (t) = Re{Aejφ ejωt } (1.5) ¯ F u ¯o` F est le phaseur repr´sentant la fonction. On peut alors travailler uniquement avec le ephaseur sachant que la variation temporelle est du type ejωt . Lorsqu’on utilise les pha-seurs, tous les param`tres qui en dćoulent sont souvent complexes, comme les phaseurs e ed’ailleurs. On surmonte d’une barre (¯) le param`tre en question pour bien montrer que eson emploi est limit´ au r´gime sinuso¨ e e ıdal permanent. Im b ¯ F A φ a Re Figure 1.2 – Repr´sentation d’un phaseur dans le plan complexe. e Le phaseur et, par extension, tous les param`tres complexes peuvent ˆtre repr´sent´s e e e esous la forme rectangulaire autant que sur la forme polaire comme sur la figure 1.2. Laconversion entre les deux formes est simple et bien connu. On doit ajouter qu’une addition 3 Le mot phase convient aussi. 4 C’est la transformé de Fourier qui permet de trouver les diverses composantes sinuso¨ e ıdales.

1-4 Notions de base (soustraction) de deux phaseurs se rálise ais´ment en rectangulaire alors que la multi- e e plication (division) est plus simple en polaire. Dans l’exemple de la fonction harmonique F (t), on a : ¯ F = A ejφ (1.6) = A cos(φ) + j A sin(φ) (1.7) a b avec √ A = a2 + b2 (1.8) φ = arctan(b/a) . (1.9) La solution d’une ´quation diff´rentielle d’un syst`me lináire avec la technique des e e e e phaseurs consiste ` remplacer toutes les d´rivés simples par jω. En effet, la d´rivé a e e e e premi`re de la fonction harmonique F (t) est e dF (t) = − ωA sin(ωt + φ) = ωA cos(ωt + φ + π/2) (1.10) dt ¯ = Re{ω Aejφ ejπ/2 ejωt } = Re{jω F ejωt } (1.11) ¯ F j u e ¯ o` on remarque que le phaseur r´sultant est jω F soit le produit du phaseur initial par jω. On peut aussi voir que la d´rivé produit une avance de phase de π/2 correspondant e e a ` +j dans le plan complexe. 1.3 Int´grales de ligne et de surface e F2 F1 Fn α2 αn α1 ∆l2 ∆ln ∆l1 C Figure 1.3 – Mod´lisation de l’int´grale de ligne. e e L’int´grale de ligne d’un champ vectoriel F le long d’un parcours quelconque C est e simplement d´finie comme : e F · dl . C

1.3 Int´grales de ligne et de surface e 1-5Pour comprendre l’int´grale de ligne, on dćompose le parcours en segments infinit´simaux e e e∆l1 , ∆l2 , . . . , ∆ln . Elle est alors ´quivalente ` la somme des n produits scalaires de F k e a(la valeur du champ ´valu´ ` la position du segment k) par le segment ∆lk , donc : e ea n F · dl ≈ Fk ∆lk cos αk (1.12) C k=1o` αk est l’angle entre F k et ∆lk comme il apparaˆ sur la figure 1.3. Il faut bien voir u ıtque le champ est une fonction de l’espace donc de la position ` laquelle on l’´value. On a epourrait ćrire F (l). e Dans le syst`me de coordonnés cart´sien, l’approximation de l’int´grale de ligne de- e e e evient : n F · dl ≈ ( Fx ∆xk + Fy ∆yk + Fz ∆zk ) (1.13) C k=1en prenant dl = dxax + dyay + dzaz . (1.14)Il y a cependant un danger ` ćrire l’´quation de cette mani`re car on pourrait croire a e e eque l’int´grale de ligne se r´sume ` trois int´grales de la mˆme fonction sur chacune des e e a e ecoordonnés. Il n’en est rien car les ´l´ments diff´rentiels dx, dy et dz, de l’´quation ne e ee e esont pas ind´pendants puisqu’ils d´pendent tous du parcours suivi. Il faut donc les relier e ea e` l’´quation du parcours entre les deux points.Exemple 1.1 Soit la fonction F = 5yax + x2 az . ◮ Faites l’int´grale de ligne du point (0, 0, 0) au point (1, 2, 3) le long du parcours e 2x = y, 9x = z 2 . z 3 P (1, 2, 3) C 2 y x Figure 1.4 – Parcours de l’int´grale de ligne. e On commence par d´river les ´quations du parcours d’o` : e e u 2dx = dy, 9dx = 2zdz .

1-6 Notions de base L’´l´ment diff´rentiel s’ćrit donc en fonction de dx par exemple, comme : ee e e 9dx dl = dxax + 2dxay + az 2z On a maintenant : (1,2,3) (1,2,3) 9x2 dx F · dl = 5ydx + . C(0,0,0) C(0,0,0) 2z Puis, en rempla¸ant les variables y et z par leur relation avec x suivant c l’´quation du parcours, on obtient : e (1,2,3) 1 9x2 dx F · dl = 5(2x)dx + √ C(0,0,0) 0 2(3 x) 1 = (10x + 1.5x3/2 )dx 0 1 = 5x2 + 0.6x5/2 0 = 5.6 . On peut aussi proc´der de cette mani`re : e e (1,2,3) 1 3 F · dl = 5ydx + x2 dz C(0,0,0) 0 0 1 3 = 5(2x)dx + (z 2 /9)2 dz 0 0 5 3 1 z = 5x2 0 + = 5.6 . 405 0 F c1 a b c2 Figure 1.5 – Int´grale de ligne sur un parcours ferm´ ou la circulation du champ. e e Si le parcours est ferm´, on ćrit l’int´grale de cette mani`re F · dl pour bien le e e e e montrer. Cette int´grale est connue sous le nom de circulation. On v´rifie que si la circu- e e lation d’un champ est nulle sur un parcours passant par deux points distincts a et b, c’est que l’int´grale de ligne est ind´pendante du parcours utilis´ pour se rendre du point a au e e e

1.3 Int´grales de ligne et de surface e 1-7point b. En effet, sur la figure 1.5 on dćompose le parcours ferm´ en deux parcours : l’un e epassant par c1 et l’autre par c2 . Ainsi : F · dl = F · dl + F · dl = 0 (1.15) ac1 bc2 a ac1 b bc2 adonc F · dl = − F · dl (1.16) ac1 b bc2 a = + F · dl . (1.17) ac2 b On appelle champ irrotationnel ou conservatif, un champ pour lequel la circulation estnulle pour tout parcours. Dans un tel champ, aucune ńergie n’est perdue ou gagné en e ed´pla¸ant un corps pour enfin revenir au point de d´part. Dans le cas contraire le champ est e c enon-conservatif et l’int´grale de ligne d´pendra non seulement des points de d´part et d’ar- e e erivé mais aussi du parcours emprunt´. Le champ gravitationnel terrestre est un exemple e ede champ conservatif puisque la variation d’ńergie potentielle d’une masse passant d’un epoint a ` un point b ne d´pend pas du parcours mais uniquement de la diff´rence de hau- a e eteur des deux points. Le champ ´lectrique statique en est un autre exemple car l’int´grale e ede ligne d’un point a vers b sur un parcours quelconque, donne la diff´rence de potentiel eentre les deux points Vab . Cependant, si le champ ´lectrique varie temporellement alors il edevient non-conservatif. Une int´grale de ligne nulle sur un parcours ferm´ ne peut garantir que le champ est e econservatif. Il faudrait v´rifier pour une infinit´ de parcours. En fait, si le champ dćoule e e e ´d’un gradient i.e. F = ∇G, alors il est conservatif. Evidemment, une seule int´grale de eligne non-nulle sur un parcours ferm´ suffit pour dire que le champ est non-conservatif. e L’int´grale de surface du champ F sur une surface S est elle d´finie comme : e e F · dS . SElle indique la quantit´ de flux traversant la surface d’o` son autre nom int´grale de flux. e u e Pour comprendre l’int´grale de surface, on dćompose la surface en surfaces infi- e enit´simales ∆S1 , ∆S2 , . . . , ∆Sn . Ces surfaces ´tant petites, on assume que le champ e epassant au travers chacune est uniforme quoiqu’il peut ˆtre non-uniforme sur une plus egrande ćhelle. Si la surface est perpendiculaire aux champs (la normale a la surface est e `parall`le), alors le flux sera maximal comme sur la figure 1.6(a). Au contraire, lorsque la esurface est parall`le aux lignes de champ, le flux sera nul (figure 1.6(b)). L’angle α entre ela normale ` la surface et la direction du champ est donc important d’o` la nćessit´ de a u e ed´finir l’unit´ infinit´simale de surface vectorielle. Celle-ci poss`de deux caract´ristiques e e e e eessentielles a savoir son aire et son orientation dans l’espace : ` dS = dSan (1.18)o` an est un vecteur unitaire normal ` la surface dS. u a

1-8 Notions de base F an ∆s F ∆s an (a) (b) Figure 1.6 – Diff´rents cas de l’int´grale de surface ou de flux. e e Fk an k αk ∆Sk Figure 1.7 – Division d’une surface en surfaces ´l´mentaires pour une int´grale de flux. ee e Ainsi, on obtient : n F · dS ≈ Fk ∆Sk cos αk (1.19) S k=1 o` αk est l’angle entre F k et la normale ` la surface ∆Sk comme il apparaˆ sur la figure u a ıt 1.7 . Exprimer l’´l´ment diff´rentiel de surface est la principale difficult´ de l’int´grale de ee e e e flux. Une fa¸on de proc´der qui fonctionne ` tout coup, consiste a param´triser la surface c e a ` e selon deux coordonnés u et v : e F · dSan = F (r(u, v)) · N (u, v) dudv (1.20) S R avec R le nouveau domaine d’int´gration dans le plan uv, et : e r(u, v) = x(u, v)ax + y(u, v)ay + z(u, v)az (1.21) ∂r ∂r dS = × dudv . (1.22) ∂u ∂v N

1.3 Int´grales de ligne et de surface e 1-9 On peut aussi choisir deux longueurs infinit´simales orthogonales dl1 et dl2 situés e edans la surface d’int´gration et ćrire : e e dS = dl1 × dl2 . (1.23)Attention cependant aux inter-relations entres toutes les coordonnés si la surface n’est eparall`le ` aucun axe de coordonnés. Dans le cas contraire, on a avantage a prendre e a e `l’une des deux longueurs infinit´simales suivant l’axe parall`le (e.g. dzaz pour une surface e everticale).Exemple 1.2 Soit la fonction F = 5xax + y 2 az . ◮ Faites l’int´grale de flux au travers la portion du plan x = 1 − 2y comprise e entre z = 0 et z = 3 dans le premier octant x, y, z > 0. z 3 1 y 1 x Figure 1.8 – Surface d’int´gration pour le calcul du flux. e On commence par trouver l’expression de l’´l´ment de surface. Pour ce faire, ee il suffit de multiplier vectoriellement deux vecteurs dl1 et dl2 se trouvant dans le plan. Ici, on pose : u = y v = z donc, on a selon (1.21) et (1.22) : r(u, v) = (1 − 2u)ax + uay + vaz N = (−2ax + ay ) × az dS = (2ay + ax )dudv .

1-10 Notions de base L’int´gration de flux devient fonction uniquement des variables param´triques e e u et v : 3 0.5 F · dS = 5(1 − 2u)ax + u2 az · (2ay + ax ) dudv R 0 0 3 0.5 = 5(1 − 2u) dudv 0 0 0.5 u2 = 5(3) 2 −u = 15(0.25) = 3.75 . 2 0 On peut sauter l’´tape de param´trisation pour obtenir directement selon e e (1.23) : dl1 = dzaz dl2 = dxax + dyay = −2dyax + dyay a ` cause de la relation entre x et y telle que dx = −2dy. Donc : dS = dl1 × dl2 = dzaz × (dxax + dyay ) = −dxdzay + dydzax . Les bornes d’int´gration peuvent ˆtre en x (0 ≤ x ≤ 1) et en z ; ou en y e e (0 ≤ y ≤ 0.5) et en z. Le r´sultat sera le mˆme. Ainsi, on a : e e F · dS = 5xax + y 2 az · (−dxdzay + dydzax ) S S 3 0.5 = 5(1 − 2y)dydz 0 0 0.5 = 5(3) y − y 2 0 dz = 3.75 . Si la surface est fermé i.e. si elle d´limite un volume, l’int´grale de surface fermé e e e e donne le bilan du flux ´manant du volume. Les normales aux surfaces sont choisies en e pointant hors du volume pour que le flux quittant le volume soit positif tandis que celui entrant, n´gatif. Un bilan positif indique la pr´sence d’une source de flux a l’int´rieur e e ` e du volume. Par exemple, l’int´grale de surface du champ d’induction magn´tique B est e e appelé flux magn´tique Ψ. Celui-ci peut ˆtre non-nul. Cependant, l’int´grale de surface e e e e fermé du champ d’induction magn´tique est toujours nulle car il n’existe pas de charge e e 5 magn´tique isolé . e e 5 Une source magn´tique comprend toujours les deux pˆles, on ne peut s´parer le pˆle “positif” du e o e o “n´gatif”. e

1.4 Thór`mes de Stokes et de Green e e 1-111.4 Thór`mes de Stokes et de Green e ePar le thór`me de Stokes, on peut faire le lien entre la circulation, l’int´grale de surface e e eet le rotationnel d’un champ comme suit : F · dl = ∇ × F · dS (1.24) C So` S est une surface quelconque d´limité par le contour C. On ouvre ici une parenth`se u e e epour annoncer que le thór`me de Stokes sera particuli`rement utile pour convertir les e e edeux premi`res ´quations de Maxwell – les ´quations de Maxwell sont les ´quations fon- e e e edamentales de l’´lectromagn´tisme – et celle dite de continuit´ de la forme int´grale a la e e e e `forme diff´rentielle. e 111 000 dSk 111 000 an an k 111 000 111 000 S 111 000 111 000 C C Figure 1.9 – R`gle de la main droite pour le thór`me de Stokes. e e e Il existe malheureusement une ambigu¨ e sur le sens de la normale ` la surface tout ıt´ acomme sur le sens de l’int´gration sur le parcours ferm´. Pour lever l’ambigu¨ e, on se sert e e ıt´de la r`gle bien connue de la main droite. Le sens d’int´gration d´termine par cette r`gle e e e ele sens de la normale comme montr´ sur la figure 1.9 . e De mˆme, le thór`me de Green6 unit l’int´grale de surface fermé, l’int´grale de e e e e e evolume et la divergence : F · dS = ∇ · F dV (1.25) S Vo` V est le volume d´limit´ par la surface fermé S. Encore une fois, tout comme le u e e ethór`me de Stokes, le thór`me de Green permettra de convertir les deux autres ´quations e e e e ede Maxwell restantes de la forme int´grale ` la forme diff´rentielle. e a e Pour utiliser les thór`mes de Stokes ou de Green afin de passer de la forme int´grale e e ea` diff´rentielle, le plus simple est de prendre un contour ferm´ formant une surface carré e e edans le thór`me de Stokes, ou une surface fermé formant un volume cube dans celui de e e eGreen ; puis de faire tendre ce contour ou cette surface vers quelque chose d’infinit´simal. e Soit l’´galit´ suivante : e e F · dl = G · dS (1.26) C S 6 Le thór`me de Green est aussi connu sous les noms de thór`me de la divergence ou thór`me de e e e e e eGauss

1-12 Notions de base d (x, y, z + ∆z) c e (x, y, z) z a b (x, y + ∆y, z) f g (x + ∆x, y, z) y x Figure 1.10 – Parcours rectangulaires et orthogonaux infinit´simaux pour faire le passage de e la forme int´grale ` la forme diff´rentielle. e a e avec les parcours ferm´s pr´sent´s sur la figure 1.10 i.e. abcda, adef a et af gba. On obtient e e e avec la partie gauche de l’´quation sur les 3 parcours : e F · dl = [Fy ](x,z) ∆y + [Fz ](x,y+∆y) ∆z − [Fy ](x,z+∆z)∆y − [Fz ](x,y) ∆z (1.27) abcda F · dl = [Fz ](x,y) ∆z + [Fx ](y,z+∆z) ∆x − [Fz ](x+∆x,y) ∆z − [Fx ](y,z) ∆x (1.28) adef a F · dl = [Fx ](y,z) ∆x + [Fy ](x+∆x,z)∆y − [Fx ](y+∆y,z) ∆x − [Fy ](x,z) ∆y (1.29) af gba D’autre part, on a respectivement avec la partie droite : G · dS = [Gx ](x,y,z) ∆y∆z (1.30) S[abcd] G · dS = [Gy ](x,y,z) ∆z∆x (1.31) S[adef ] G · dS = [Gz ](x,y,z) ∆x∆y (1.32) S[af gb] En rúnissant les ´quations qui vont ensemble (par exemple (1.27) avec (1.30) et ainsi de e e suite), on trouve que : ∆[Fz ](x,y) ∆[Fy ](x,z) − = [Gx ](x,y,z) (1.33) ∆y ∆z ∆[Fx ](y,z) ∆[Fz ](x,y) − = [Gy ](x,y,z) (1.34) ∆z ∆x ∆[Fy ](x,z) ∆[Fx ](y,z) − = [Gz ](x,y,z) (1.35) ∆x ∆y Avec des parcours infinit´simaux, il est facile de voir que les trois expressions ci-dessus e correspondent ` : a ∇×F = G (1.36)

1.4 Thór`mes de Stokes et de Green e e 1-13 d c e h z a b f g y xFigure 1.11 – Boite rectangulaire infinit´simale pour le passage de la forme int´grale ` e e a diff´rentielle. ed´montrant ainsi que (1.26) et (1.36) sont ´quivalentes d’o` le thór`me de Stokes. e e u e e Le passage avec Green est plus simple. Soit l’´galit´ suivante : e e F · dS = gdv (1.37) S Vavec le volume V d´limit´ par les six surfaces du cubes de la figure 1.4. Les flux ´manant e e ede chacune des surface sont, en respectant le sens des parcours qui procure une normalesortant du volume (` ne pas oublier) : a F · dS = −[Fx ](x) ∆y∆z (1.38) [adcb] F · dS = [Fx ](x+∆x) ∆y∆z (1.39) [hef g] F · dS = −[Fy ](y) ∆z∆x (1.40) [af ed] F · dS = [Fy ](y+∆y) ∆z∆x (1.41) [hgbc] F · dS = −[Fz ](z) ∆x∆y (1.42) [abgf ] F · dS = [Fz ](z+∆z) ∆x∆y . (1.43) [hcde]Le cˆt´ droit de (1.37) donne simplement g∆x∆y∆z d’o` : oe u ∆Fx ∆Fy ∆Fz + + = g. (1.44) ∆x ∆y ∆zAvec un volume infinit´simal, le terme de gauche de l’´quation ci-dessus est la divergence e ede F donc : ∇·F = g (1.45) Cette derni`re expression est ce qui ressort du thór`me de Green. En effet, en com- e e eparant (1.25) et (1.37), on s’aper¸oit tr`s vite que (1.45) dćoule naturellement. c e e

1-14 Notions de base Exercices Question 1 En utilisant les phaseurs, exprimez la fonction suivante comme une seule fonction du temps cosinuso¨ıdale : 5 sin(ωt + 60◦ ) − 5 cos(ωt + 30◦ ) − 3 sin(ωt) . Question 2 ¯ Soit la fonction p´riodique A(t) = 5 cos(105 t − 30◦ ). Soit maintenant le phaseur B tel e ¯ ¯ ´ que le rapport avec A/B = 2∠15◦ . Ecrivez : a) le phaseur correspondant ` A(t) ; a b) l’expression de la fonction B(t). Question 3 √ Calculez l’int´grale curviligne sur le parcours x = y = e z entre le centre de coor- donnés et le point (1, 1, 1) de la fonction : e F = 5zax + xyay + x2 zaz . Question 4 Calculez le flux ψ passant par la surface plane x + y + z = 1 limité par le premier e octant de la fonction : F = x2 ay + 3y 2az . R´ponses : e 1. 2 cos(ωt − 90◦ ). ¯ 2. a) A = 5∠ − 30◦ ; b) B(t) = 2.5 cos(105 t − 45◦ ). 1 3. 0 (5x2 + x2 + 2x5 )dx = 7/3. 1 1−v 4. N = ax + ay + az , ψ = 0 0 (u2 + 3v 2 )dudv = 1/3.

Chapitre 2Les champs et les mat´riaux e2.1 IntroductionAvant d’entreprendre une ´tude de l’´lectromagn´tisme, il convient de connaˆ les diff´- e e e ıtre erents champs en pr´sence et leurs origines. Pour ce faire, il est plus pratique de com- emencer avec les champs statiques. C’est aussi la mani`re historique de leur dćouverte. e eDu mˆme coup, il est opportun d’introduire les diff´rents mat´riaux et faire ressortir les e e ecaract´ristiques int´ressantes face ` l’´lectromagn´tisme. e e a e e Au d´part, donc, on avait l’impression que l’´lectricit´ et le magn´tisme ´taient deux e e e e enotions distinctes. Dans les faits, le cas statique (on peut aussi inclure le cas quasi-statique)dćouple les deux effets de sorte que leurs affinit´s n’apparaissent pas. Il aura fallu des e eexp´riences plus avancés pour apercevoir les inter-relations et dćrire plus gń´ralement e e e e ele comportement de ce qui sera appel´ l’´lectromagn´tisme. e e e Les premiers pionniers de l’´lectricit´ et du magn´tisme croyaient vraiment en deux e e eforces : Benjamin Franklin (1706-1790) qui ´tablit la loi de conservation de la charge, eCharles A. de Coulomb (1736-1806) qui mesura les forces ´lectriques et magn´tiques, e eKarl F. Gauss (1777-1855) qui ńon¸a le thór`me de la divergence, Hans E. Oersted e c e e(1777-1851) qui dćouvrit que l’´lectricit´ pouvait produire du magn´tisme et, a l’inverse, e e e e `Michael Faraday (1791-1867) trouva que le magn´tisme pouvait gń´rer de l’´lectricit´, e e e e eAndr´ M. Amp`re qui rálisa un solńo¨ e e e e ıde. Il a fallu attendre James C. Maxwell (1831-1879) pour comprendre que les deux notions n’en formaient qu’une. Heinrich Hertz (1857-1894) qui fut le p`re de la radiodiffusion, et Guglielmo Marconi (1874-1937) ont d’ailleurs eappliqu´ les principes pour rayonner une onde ´lectromagn´tique. e e e On peut donc voir l’´lectricit´ et le magn´tisme comme un cas particulier de l’´lectro- e e e emagn´tisme dans laquelle la fr´quence du signal est tr`s faible pour ne pas dire nulle. e e e2.2 Champ ´lectrique statique eLes concepts de base en ´lectricit´ reposent sur les observations faites des exp´riences e e ede Coulomb et d’Amp`re. Coulomb remarqua qu’il existait des charges de deux signes eoppos´s car il y avait, dans certains cas, attraction et dans d’autres cas, r´pulsion. Ces e e

2-16 Les champs et les mat´riaux e charges sont si petites qu’on peut les assimiler ` des “points de charge”1 appelés charges a e ponctuelles. F2 a12 R Q2 a21 F1 Q1 Figure 2.1 – Force ´lectrique qui s’exerce entre deux charges ´lectriques. e e Soient deux charges #1 et #2 telles que montrés sur la figure 2.1, la force d’attraction e ou de r´pulsion produite par #2 qui agit sur #1 d´pend de l’importance des charges Q1 e e et Q2 , de la distance les s´parant R et du milieu selon : e Q1 Q2 F1 = a21 (2.1) 4πǫR2 o` u • Q1 et Q2 montrent l’importance des charges en terme de Coulombs ; la plus petite charge est celle d’un ´lectron soit −1.6022 × 10−19 C ; e • ǫ est la constante de proportionnalit´ qui tient compte du milieu, elle est appelé e e permittivit´ et s’exprime en Farads/m`tre ; la permittivit´ du vide est noté ǫo et a e e e e une valeur de : ǫo ≈ 8.854 × 10−12 F/m (2.2) soit approximativement 10−9 /36π ; • a21 est un vecteur unitaire orient´ suivant l’axe du segment partant de #2 vers #1. e D’une mani`re similaire ` celle du champ gravitationnel par rapport a la force gravi- e a ` tationnelle mais en utilisant la charge au lieu de la masse – le champ gravitationnel est la force produite par la masse #1 sur la masse #2 par unit´ de masse #2 –, on d´finit le e e champ ´lectrique E ` partir d’une charge de test q sur laquelle agit une force ´lectrique e a e F comme suit : F dF E = lim = (2.3) q→0 q dq La charge de test q doit ˆtre petite pour ne pas affecter le champ ´lectrique dans lequel elle e e est placé. Une charge ponctuelle Q produit donc un champ ´lectrique dont l’expression e e est : Qq d 4πǫR2 aR Q E = = aR . (2.4) dq 4πǫR2 1 Les charges sont localisés ` un point prćis de l’espace et n’occupent aucun volume. e a e

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