ECUACIONES DIFERENCIALES<br />Salvador Solis Valdez<br />
En esta presentación hare tres <br />Ejemplos , Resolviendo por Coeficientes Indeterminados<br />Las ejemplos son:<br />1....
Bien resolvamos el primero:<br />y’’- 3y’ =  8e3x+ 4senx<br />Para resolver encontremos yc para eso usamos la ecuación aux...
Como el valor de las  m son distintos y reales aplicamos el caso#1 en el que nos queda:<br />      yc= C1 + C2e3x<br />  D...
 Para encontrar el operador anulador hay que observar los terminos de f(x).<br />En la ecuación tenemos que<br />      y’’...
Entonces nos queda que<br />(D-3)(D2 + 1)=0<br />     D1= 3           D2=D3=i<br />   Aplicando los casos nos queda :<br /...
yp= C3xe3x  + C4 cosx + C5senx<br />y’p = 3C3xe3x  + C3e3x  - C4senx  + C5cosx<br />y’’p= 9C3xe3x+3C3e3x +3C3e3x –C4cosx-C...
y’’- 3y’ =  8e3x+ 4senx<br />9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx -C5senx -3(3C3xe3x  +C3e3x -C4senx+C5cosx)<br />=  8e3x+ 4senx<br />9...
Ahora igulamos coeficientes<br />   3C3=8    C3=8/3<br />   (-3)   3C4-C5=4<br />             -C4-3C5=0<br />          -9C...
Entonces yp=C3xe3x  + C4 cosx + C5senx<br />Es igual a    yp=8/3xe3x +6/5cosx+2/5senx<br />La formula dice que la solucion...
En los siguientes ejemplos los mostrare de forma mas simplificada:<br />2.- y’’ + y = xcosx – cosx<br />         y’’+y=0<b...
Anuladores<br />xcosx-cosx es  (D2 +1)2 (D2+1)=0<br /> D1=D2=D3=D4= i<br />yp=C3xcosx +C4xsenx +C5x2cosx+C6x2senx<br />y’p...
y’’p=-C3xcosx-2C3senx- C4xsenx +2 C4cosx -C5x2 cosx-4C5xsenx+2C5cosx-C6x2senx  +4C6xcosx +2C6cosx <br />Sustituimos en Ec....
Igualamos coeficientes<br />-2C3+2C6=0                    C3=1/4<br />2C4+2C5=-1                    C4=-1/2<br />-4C5=0   ...
3.- y’’ + 4y = 4 cosx + 3senx -8<br />y’’+4y=0<br />m2+4= 0<br />m1=m2=2i<br />yc= C1cosx +C2senx<br />(D2+1)(D2+1)D= 0<br...
yp=C3+C4cosx+C5senx+C6xcosx+C7xsenx<br />y’p=-C4senx+C5cosx-C6xsenx+C6cosx+C7xcosx+C7senx<br /> y’’p=-C4cosx-C5senx-C6xcos...
3C4+2C7=4            C4=4/3<br />3C5-2C6=3              C5=1<br />3C6=0                       C6=0<br />3C7=0             ...
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Ejemplos

  1. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES<br />Salvador Solis Valdez<br />
  2. 2. En esta presentación hare tres <br />Ejemplos , Resolviendo por Coeficientes Indeterminados<br />Las ejemplos son:<br />1.- y’’-3y’= 8e3x+4senx<br />2.- y’’ + y = xcosx - cosx<br />3.- y’’ + 4y = 4 cosx + 3senx -8<br />
  3. 3. Bien resolvamos el primero:<br />y’’- 3y’ = 8e3x+ 4senx<br />Para resolver encontremos yc para eso usamos la ecuación auxiliar.<br />y’’ – 3y’ = 0<br />m2 – 3m= 0<br />m (m-3)=0 m1=0 y m2=3<br />
  4. 4. Como el valor de las m son distintos y reales aplicamos el caso#1 en el que nos queda:<br /> yc= C1 + C2e3x<br /> Despues de Encontrar yc encontremos yp<br /> para esto hay que aplicar un operador <br /> anulador.<br />
  5. 5. Para encontrar el operador anulador hay que observar los terminos de f(x).<br />En la ecuación tenemos que<br /> y’’-3y’= 8e3x+4senx<br />El anulador de 8e3x es D-3<br />El anulador de 4senx es D2 + 1<br />
  6. 6. Entonces nos queda que<br />(D-3)(D2 + 1)=0<br /> D1= 3 D2=D3=i<br /> Aplicando los casos nos queda :<br /> yp= C3xe3x + C4 cosx + C5senx<br />Ahora derivamos dos veces yp para sustitur en la ecuacion original.<br />
  7. 7. yp= C3xe3x + C4 cosx + C5senx<br />y’p = 3C3xe3x + C3e3x - C4senx + C5cosx<br />y’’p= 9C3xe3x+3C3e3x +3C3e3x –C4cosx-C5senx<br />y’’p= 9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx -C5senx<br />Ahora lo cambiamos en la ecuacion original.<br />
  8. 8. y’’- 3y’ = 8e3x+ 4senx<br />9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx -C5senx -3(3C3xe3x +C3e3x -C4senx+C5cosx)<br />= 8e3x+ 4senx<br />9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx- C5senx -9C3xe3x -3C3e3x +3C4senx-3C5cosx =8e3x+ 4senx<br /> 3C3e3x –C4cosx -C5senx +3C4senx-3C5cosx<br /> = 8e3x+ 4senx<br />
  9. 9. Ahora igulamos coeficientes<br /> 3C3=8 C3=8/3<br /> (-3) 3C4-C5=4<br /> -C4-3C5=0<br /> -9C4+3C5=-12 C4=-12/-10= 6/5<br /> -C4-3C5=0 -6/5-3C5=0<br /> -10C4 = -12 C5=2/5<br />
  10. 10. Entonces yp=C3xe3x + C4 cosx + C5senx<br />Es igual a yp=8/3xe3x +6/5cosx+2/5senx<br />La formula dice que la solucion general es<br /> y=yc+yp<br /> y=C1 + C2e3x+8/3xe3x +6/5cosx+2/5senx<br />
  11. 11. En los siguientes ejemplos los mostrare de forma mas simplificada:<br />2.- y’’ + y = xcosx – cosx<br /> y’’+y=0<br /> m2+1= 0<br /> m1=m2=i <br />yc=C1cosx +C2senx<br />
  12. 12. Anuladores<br />xcosx-cosx es (D2 +1)2 (D2+1)=0<br /> D1=D2=D3=D4= i<br />yp=C3xcosx +C4xsenx +C5x2cosx+C6x2senx<br />y’p=-C3xsenx+C3cosx+C4xcosx+C4senx-C5x2senx<br /> +2C5xcosx+C6x2cosx+2C6xsenx<br />y’’p=-C3xcosx-C3senx-C3senx -C4xsenx + C4cosx + C4cosx-C5x2 cosx-2C5xsenx-2C5xsenx+2C5cosx+<br /> -C6x2senx +2C6xcosx +2C6xcosx+2C6senx<br />
  13. 13. y’’p=-C3xcosx-2C3senx- C4xsenx +2 C4cosx -C5x2 cosx-4C5xsenx+2C5cosx-C6x2senx +4C6xcosx +2C6cosx <br />Sustituimos en Ec. Original<br />-C3xcosx-2C3senx- C4xsenx +2 C4cosx -C5x2 cosx-4C5xsenx+2C5cosx-C6x2senx +4C6xcosx +2C6senx +C3xcosx +C4xsenx +C5x2cosx +C6x2senx= xcosx – cosx<br />- 2C3senx +2C4cosx -4C5xsenx+2C5cosx +4C6xcosx +2C6senx = xcosx-cosx<br />
  14. 14. Igualamos coeficientes<br />-2C3+2C6=0 C3=1/4<br />2C4+2C5=-1 C4=-1/2<br />-4C5=0 C5=0<br />4C6=1 C6=1/4<br />y=C1cosx+C2senx+1/4xcosx-1/2xsenx+1/4x2senx<br />
  15. 15. 3.- y’’ + 4y = 4 cosx + 3senx -8<br />y’’+4y=0<br />m2+4= 0<br />m1=m2=2i<br />yc= C1cosx +C2senx<br />(D2+1)(D2+1)D= 0<br />D1=0 D2=D3=D4=D5=i<br />
  16. 16. yp=C3+C4cosx+C5senx+C6xcosx+C7xsenx<br />y’p=-C4senx+C5cosx-C6xsenx+C6cosx+C7xcosx+C7senx<br /> y’’p=-C4cosx-C5senx-C6xcosx-2C6senx-C7xsenx+2C7cosx<br />3C4cosx+3C5senx+3C6xcosx-2C6senx+3C7xsenx+2C7cosx+4C3=4COSX+3senx-8<br />Se igualan coeficientes<br />4C3=-8 C3=-2 <br />
  17. 17. 3C4+2C7=4 C4=4/3<br />3C5-2C6=3 C5=1<br />3C6=0 C6=0<br />3C7=0 C7=0<br /> <br />y=C1cos2x+C2sen2x+4/3cosx+senx-2<br />

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