Ecuaciónes Diferenciales<br />VARIACIÓN DE PARÁMETROS<br />Salvador Solis Valdez<br />
Para explicar este tema comenzare con un ejemplo:<br />Solucion de y’’ + 3y’ + 2y = sen(ex)<br />y’’ + 3y’ + 2y = 0<br />H...
 yh = C1 e-2x  +  C2 e-xç<br />                y1            y2<br />Y ENCONTRAMOS Y1 Y Y2<br />
2.- Por cramer hallamos  W(y1; y2)<br />W(y1; y2) =  e-2xe-x      = -e-3x + 2e-3x =  e-3x<br />                          -...
3.- Hallamos<br />U’1 =      -y2f(x)        = -e-x sen (ex)    = -e2x sen (ex)<br />             W(y1; y2)               e...
4.Integramos u1 = ∫ u’1 dx y u2 = ∫ u’2 dx<br />u1 =∫ u’1 dx<br />= ∫-e2x sen (ex) dx         <br />z= ex<br />haciendo   ...
= -∫z2sen(z) dz/z<br />= -∫z sen(z) dz<br />integrando por partes        v = z                  dv = dz  <br />           ...
u2   =∫u’2 dx = ∫ex sen (ex) dx<br />       =∫z sen z dz/z = ∫senz dz<br />= -cos z = -cos(ex)<br />
5. La solucion particular yp = u1y1 + u2y2<br />yp = u1y1 + u2y2<br />         = [ex cos(ex) - sen (ex)] e-2x  -e-x cos(ex...
6. La solucion general y = yh + yp = C1y1 + C2y2 + u1y1 + u2y2<br />y = yh + yp<br />  = C1e-2x + C2e-x – e-2x sen (ex)<br...
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Variacion De Parametros

  1. 1. Ecuaciónes Diferenciales<br />VARIACIÓN DE PARÁMETROS<br />Salvador Solis Valdez<br />
  2. 2. Para explicar este tema comenzare con un ejemplo:<br />Solucion de y’’ + 3y’ + 2y = sen(ex)<br />y’’ + 3y’ + 2y = 0<br />Hallamos y1 y y2 soluciones linealmente independientes de la homogenea asociada:<br /> m2 + 3m + 2 = 0 <br /> (m + 2)(m + 1) = 0<br /> m1 = -2; m2 = -1<br />
  3. 3. yh = C1 e-2x + C2 e-xç<br /> y1 y2<br />Y ENCONTRAMOS Y1 Y Y2<br />
  4. 4. 2.- Por cramer hallamos W(y1; y2)<br />W(y1; y2) = e-2xe-x = -e-3x + 2e-3x = e-3x<br /> -2e-2x -e-x<br />
  5. 5. 3.- Hallamos<br />U’1 = -y2f(x) = -e-x sen (ex) = -e2x sen (ex)<br /> W(y1; y2) e-3x<br />U’2 = y1f(x) = e-2xsen (ex) = exsen (ex)<br />W(y1; y2) e-3x<br />
  6. 6. 4.Integramos u1 = ∫ u’1 dx y u2 = ∫ u’2 dx<br />u1 =∫ u’1 dx<br />= ∫-e2x sen (ex) dx <br />z= ex<br />haciendo dz = ex dx <br /> dx = dz/z<br />
  7. 7. = -∫z2sen(z) dz/z<br />= -∫z sen(z) dz<br />integrando por partes v = z dv = dz <br /> dw = -sen zdz w = cos z<br />= z cos z -∫cos z dz<br />= z cos z - sen z <br />= ex cos(ex) - sen (ex)<br />
  8. 8. u2 =∫u’2 dx = ∫ex sen (ex) dx<br /> =∫z sen z dz/z = ∫senz dz<br />= -cos z = -cos(ex)<br />
  9. 9. 5. La solucion particular yp = u1y1 + u2y2<br />yp = u1y1 + u2y2<br /> = [ex cos(ex) - sen (ex)] e-2x -e-x cos(ex)<br /> = -e-2xsen (ex)<br />
  10. 10. 6. La solucion general y = yh + yp = C1y1 + C2y2 + u1y1 + u2y2<br />y = yh + yp<br /> = C1e-2x + C2e-x – e-2x sen (ex)<br />Espero que este ejemplo les haya ayudado<br />

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