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Arcos planos

  J. T. Celigüeta
Arcos planos. Definición
 Directriz curva plana. Sección transversal despreciable.
 Curvatura pequeña: radio mucho mayor que el canto R>>h
 Varias condiciones de apoyo en los extremos.




 1
Ejemplos




                          Velódromo olímpico (Atenas)                          Puente del Milenio (Londres)




Puente romano (Córcega)




                                                Puente Michigan (Detroit) L=80 m
 2
Teoría básica
 Esfuerzos internos: N, M, Q
 Hipótesis de Navier: secciones perpendiculares a la directriz
 curva se mantienen perpendiculares a la directriz deformada
 R >> h Es aplicable la teoría de flexión de vigas, en un dominio
 curvo (ds sustituye a dx), pero hay acople entre N y M.
 Energía elástica:
                N2        M2
           ∫       ds + ∫     ds + ∫ N αTmds − ∫ M αTgds
      *
     U =
               2EA        2EI




 3
Ecuaciones de equilibrio
                                            qs
                           M               Q+dQ

                                     ds          M+dM
                       N

                                                 N+dN
                                 Q

 Equilibrio radial:                        dQ        N
    Nuevo término asociado a N                = qs +
                                           ds        R



                                          dM
     Equilibrio de momentos:                  = −Q
                                           ds

 4
Arco triarticulado (I)
 Isostático


                                 C
                                                        fB

                                                             fA
                                                   B

                                                        h
                A
                       LA                  LB




              Se aplica la fórmula de los pórticos planos

              b=2 n=3 r=4 c=1

              6 b + r = 16    3 n + 3 b + c = 16       h=0
 5
Arco triarticulado (II)
                         CY

                          CX
                               CY
                                                      fB
                                                           fA
                                               B

                                                      h
           A
                 LA                    LB




     ∑ M AAC ) = 0
         (                                 extAC
                      −C x fA + C y LA + M A     =0
                                                                CX, CY
     ∑ M BBC ) = 0
         (                                 extCB
                       C x fB + C y LB + M B     =0
 6
Arco triarticulado simétrico. Carga uniforme (1)

     q
                                                       q
                                                                            CX
                                       f

                                                  AY


                     L
                                                           AX

         Forma y(x) sin definir.
                                                                  Gran reacción horizontal
         Por simetría: CY=0                                       en los apoyos (1/f)



                   qL2                           qL2                   qL
            Cx = −                 Cy = 0   Ax =                Ay =
                   8f                            8f                     2
 7
Arco triarticulado sin momento flector (2)
                                                                                     M N
          qL    qL2    qx 2                                      q               Q
      M =    x−     y−
           2    8f      2

          M =0
                                                             qL/2


                                                                      qL2/8f
        4f                                                                       x
     y = 2 (Lx − x 2 )      Parábola simétrica
        L



                    qL2         qL
     Q = qx cos α +     sin α −    cos α = 0
                    8f           2
                                                 Sustituyendo forma parabólica

 8
Arco triarticulado sin momento flector (3)
                                                                             1/ 2
               qL         qL2                     ⎛ L4               L2 ⎞
N = qx sin α −    sin α −     cos α        N = −q ⎜
                                                  ⎜        + x − xL + ⎟
                                                              2
                                                                        ⎟
                                                                        ⎟
                2         8f                      ⎜ 64 f 2
                                                  ⎝                  4⎠

                                               Es siempre de compresión
        qL       2
                                      qL
 NX = −                     NY = qx −
        8f                             2
     Proyección horizontal constante



                                                                             qL2
                                                                NClave    =−
        qL 2      2 1/ 2
                                                                             8f
 N A = − (L + 16 f )
        8f
 Valor máximo en los apoyos

 9
Arco triarticulado parabólico. Deformación
  Fuerza virtual unitaria




                      V=1
  1/2                                   1/2



               L/2f              L/2f




                   L       1                                L         1
      N   0V
                = − cos α − sin α                  Q 0V =      sin α − cos α
                   2f      2                                2f        2


                             1                      1                1
                ΔCY = ∫ N      N 0V ds + ∫ (M = 0)    M 0V ds = ∫ N    N 0V ds
                            EA                     EI               EA
 10
Arco triarticulado parabólico. Deformación
                                                        L         1
                                             N 0V = −      cos α − sin α
                     V=1                                2f        2
 1/2                                 1/2

                                                                           1/ 2
                                                     ⎛ L4               L2 ⎞
       L/2f                   L/2f
                                              N = −q ⎜
                                                     ⎜        + x − xL + ⎟
                                                                 2
                                                                           ⎟
                                                                           ⎟
                                                     ⎜ 64 f 2
                                                     ⎝                  4⎠


                     1 ⎛ −L        1     ⎞               1 ⎛ −L 1      ⎞
  ΔCY =       ∫   N    ⎜
                       ⎜    cos α − sin α⎟ ds =
                                         ⎟
                                         ⎟        ∫   N    ⎜
                                                           ⎜    − tan α⎟ cos α ds
                                                                       ⎟
                                                                       ⎟
                       ⎜ 2f
                    EA ⎝           2     ⎠                 ⎜ 2f
                                                        EA ⎝     2     ⎠


                                     1 ⎛ −L 4 f          ⎞
                      ΔCY =   ∫   N    ⎜
                                       ⎜    − 2 (L − 2x )⎟ dx
                                                         ⎟
                                                         ⎟
                                       ⎜ 2f
                                    EA ⎝     L           ⎠

 11
Simplificaciones habituales
• Rigidez axial infinita. Se desprecia la energía debida al esfuerzo axial
                                   1
                               γ=    =0
                                  EA

• Momento de inercia variable según la ley de la secante
  Flexibilidad a flexión μ variable según la ley coseno
                                       I0
                    I = I 0 sec α =                 I0 : momento de inercia en la clave
                                      cos α
                        1    1
                    μ=    =      cos α = μ0 cos α
                       EI   EI 0

  Simplifica las integrales pues :

                   ∫ f (x ) μds = ∫ f (x ) μ  0   cos α ds = μ0 ∫ f (x )dx
 12
Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (1)
q


                                f
                                                           M0                                   M1
                                                   0            N0                                   N1
                                           q       Q                                    1
                                                                                       Q


               L


                                        qL/2

         h=1   X1=Ax
                                                       x                          1         x


                                             q
                                        M 0 = (Lx − x 2 )                         M 1 = −y
                                             2

     Parabólico                                                  4f
     Sin energía de esfuerzo axial.                        y=       (Lx − x 2 )
                                                                 L2
     Inercia variable según la ley de la secante
    13
Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (2)

                 M 1 = −y


 f11 =   ∫ N 1 γN 1ds + ∫ M 1μM 1ds =          ∫    (−y )2 μ ds

 f11   = ∫ (−y ) μ
                 2
                     0 cos α ds =   ∫   y 2 μ0 dx
         8μ0 f 2 L
 f11 =
            15



 Sin energía de esfuerzo axial.
 Inercia variable según la ley de la secante
 14
Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (3)
                    q
                 M = (Lx − x 2 )
                    0
                                                               M0
                                                                    N0
                    2                              q   0
                                                       Q


      D1 = −∫ N 0 γN 1ds − ∫ M 0 μM 1ds =
                 q
      D =1 −∫      (Lx − x 2 ) μ(−y )ds
                 2                              qL/2
                 q
      D1 = −∫ (Lx − x 2 ) μ0 cos α(−y ) ds
                 2                                         x
           q μ0 f L3
      D1 =
              15

                                     D1 qL2
                                AX =     =
                                     f11   8f
 15
Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (4)
                        M0                                        M1
                0            N0                           1            N1
      q        Q                                         Q



                                 q                                            M 1 = −y
                              M = (Lx − x 2 )
                                  0

 qL/2                            2
                                                                                 qL2
                                                                            AX =
                    x                              1          x
                                                                                 8f

                                                   2
                        q0      2   4f        2 qL
           M = M − yAX = (Lx − x ) − 2 (Lx − x )     =0
                        2           L            8f

                                                         Sustituyendo forma parabólica

                         qL2         qL
          Q = qx cos α +     sin α −    cos α = 0
                         8f           2
          Sin momento flector. Mismo comportamiento que el arco triarticulado
 16
Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (5)
Esfuerzo axial (igual que el triarticulado)
                                                                           1/ 2
                  qL         qL2
                                               ⎛ L4                 L2 ⎞
N = qx sin α −       sin α −    cos α   N = −q ⎜
                                               ⎜        + x 2 − xL + ⎟ ⎟
                                                                       ⎟
                   2         8f                ⎜ 64 f 2
                                               ⎝                    4⎠

       qL2                                   Es siempre de compresión
NX = −
       8f
             qL
NY = qx −
              2                                                              qL2
                                   N                             NClave   =−
                                                                             8f
       qL 2      2 1/ 2
N A = − (L + 16 f )
       8f
      Valor máximo en los apoyos
 17
Arco biarticulado parabólico. Carga puntual
           P                              5P μ0 f L2            75PL
 D1 = −∫     (L − x ) (−y )μ0 cos αds =                    AX =
           2                                 48                 384 f

               P ⎛ 75x 2       ⎞
      0
 M = M − yAX =    ⎜
                  ⎜      − 27x ⎟
                               ⎟
                               ⎟
               96 ⎜ L
                  ⎝            ⎠
                                                           P


                                                       M




        neg
      M max = −0.0253PL         x = 9L / 50


                               M clave = 0.0547PL
 18
Arco biarticulado. Cálculo de la rigidez (1)
 Cálculo de la columna 1: deformación unidad en δIX



K21                              K41

      IX=1                         K31
        K11

      h=1     X1 = K 11                                      Caso 1

Sin energía de esfuerzo axial.    f11 =   ∫   M 1μM 1ds =   ∫   (−y )2 μds

Condición de compatibilidad:

                                          1        1
                f11X1 = 1        X1 =        =             ≡ K11
                                         f11
                                                 ∫ y μds
                                                    2

 19
Arco biarticulado. Cálculo de la rigidez (2)
  Cálculo de la columna 1


                    K21                                  K41

                          IX=1                             K31
                               K11


  Condición de compatibilidad:          f11X1 = D1 + 1           D1 = 0

                 1        1
         X1 =       =                ≡ K11                         ⎡      K 11   ⎤
                f11                                                ⎢             ⎥
                        ∫ y μds
                           2
                                                                   ⎢ K =0 ⎥
                                                                   ⎢      21     ⎥
                                                                   ⎢             ⎥
                                                                   ⎢ K 31 = −K11 ⎥
                                                                   ⎢             ⎥
        K 31 = −K 11           K 21 = K 41 = 0                     ⎢ K 41 = 0 ⎥
                                                                   ⎣             ⎦
 20
Arco biarticulado. Matriz de rigidez

Columnas 2 y 4 nulas                           IY                  JY
Columna 3 igual a la 1                                         y

Agrupando las 4 columnas                             IX             JX




                                             ⎡ 1    0 −1 0⎤
                                             ⎢             ⎥
                                             ⎢ 0    0  0 0⎥
                                        1    ⎢             ⎥
                          KL =               ⎢−1    0  1 0⎥⎥
                                   ∫   y μds ⎢
                                        2
                                             ⎢             ⎥
                                             ⎢ 0    0  0 0⎥
                                             ⎣             ⎦
  Sólo aporta rigidez en la dirección X
  Sin energía de esfuerzo axial.
  21
Arco biarticulado parabólico. Rigidez

Directriz parabólica.
Inercia según la secante: I=I0 sec α
I0 inercia en la clave
                                                  8f 2 L
 ∫    y 2μds = ∫ y 2μ0 cos α ds = ∫ y 2μ0dx =
                                                 15EI 0

                                           ⎡ 1        0 −1 0 ⎤
                                           ⎢                 ⎥
                                           ⎢             0 0⎥
                                    15EI 0 ⎢ 0        0
                                                             ⎥
                               KL =        ⎢
                                     8Lf 2 ⎢−1        0  1 0⎥⎥
                                           ⎢                 ⎥
                                           ⎢ 0        0  0 0⎥
                                           ⎣                 ⎦
Si f se anula, no se obtiene la rigidez de la barra recta
pues no se ha considerado la energía de axial
 22
Arco biarticulado circular. Carga uniforme (1)
                                                                          M0
                                                                               N0                       M1
                                                             q   Q0                             1            N1
                                                                                            Q



   y

                                                     qL/2
         x

             R                    e                                   x
                                                                                        1           x

                    L
                                                      q                                 M 1 = −y
         h=1     X1=Ax                             M = (Lx − x 2 )
                                                         0

                                                      2
Longitud del arco S=2Rα
Inercia constante. Sin energía de axial



        f11 = ∫ M 1μM 1ds =           ∫   (−y )2 μRd θ
                                                                      y = R cos θ − e
              R 2S + 2e 2S − 3eLR                                     x = R sin θ + L / 2
        f11 =
                      2EI
  23
Arco biarticulado circular. Carga uniforme (2)
                                +α
                                   q
      D1 = −∫ M μM ds = −∫
                    0    1
                                     (Lx − x 2 ) μ(−y )Rd θ
                                −α
                                   2
              q
      D1 =          (2RL3 − 3L2eS − 6e 2RL + 6R2eS )
             24EI

                    3     2        2      2
               q 2RL − 3L eS − 6e RL + 6R eS
      X = AX =
               12     R 2S + 2e 2S − 3eLR
                                                                   M 1=-yA x

Momento flector                                                     f Ax

             q
M = M − yAX = (Lx − x 2 ) − (R cos θ − e)AX
              0

             2
                                                              M0   qL 2/8
Momento máximo en la clave x=L/2, θ=0

             q ⎛ L L2 ⎞            qL2
M     max
            = ⎜L − ⎟ − (R − e)AX =
               ⎜      ⎟
                      ⎟                − fAX
             2⎝⎜ 2 4⎠               8
 24
Arco biarticulado circular. Rigidez
Directriz circular: Radio R, Luz L.
Longitud del arco S=2Rα
Inercia constante

Particularizando la expresión general de la
rigidez del arco biarticulado

   y = R cos θ − e
                                              +α

  ∫    y μds = ∫ (R cos θ − e) μ ds = ∫
        2                       2
                                                   (R cos θ − e)2 μ Rd θ
                                              −α


                                         ⎡ 1               0 −1 0⎤
                                         ⎢                        ⎥
                                         ⎢ 0               0  0 0⎥
                            2EI          ⎢                        ⎥
                 KL = 2                  ⎢
                     R S + 2e 2S − 3eL R ⎢−1               0  1 0⎥⎥
                                         ⎢                        ⎥
                                         ⎢ 0               0  0 0⎥
                                         ⎣                        ⎦
  25
Arco atirantado
                                                   No se transmite reacción horizontal en A.
                                                   Tampoco en B para cargas verticales


                                                           Flexibilidad del tirante

                                                                   1     L
                                                            ρt =      =
                                                                   Kt   Et At


               N t = K t Δt + N 0t
Pretensión de montaje en el tirante: N0t
Positiva a tracción

Error en longitud del tirante:
(positivo más largo)               λt = −N 0t ρt

              N t = K t (Δt − λt )
 26
Arco atirantado. Cálculo por flexibilidad
                                        h=1     X1=Nt

                          M0
                               N0
        q            Q0



                                         q                                           M 1 = −y
                                    M 0 = (Lx − x 2 )
    qL/2                                 2                                           N 1 = − cos α




f11 =   ∫   M 1μM 1ds + N t1ρt N t1 =           ∫   (−y )2 μds + (1)ρt (1)
                                                                             Directriz parabólica
                          8μ0 f 2L                                           Inercia según la secante:
        ∫
             2
f11 =       y μ0dx + ρt =          + ρt                                            I=I0 sec α
                            15
                                 qf μ0L3
D1 = −∫ M μM ds − N ρ N − λt N =
                 0        1            0
                                      t t
                                            1
                                         − λt
                                            t
                                                       1
                                                       t
 27
                                    15
Arco atirantado. Esfuerzo en el tirante
                                             La pretensión aumenta el
                                             esfuerzo final en el tirante

                      qf μ0L3
                               + N 0t
            D          15ρt
         X = 1 = Nt =
            f11        8μ0 f 2L
                                +1
                         15ρt

                                                  Constante D > 1



       Esfuerzo final en el tirante siempre positivo
       para q hacia abajo y pretensión de tracción
       Nota:
       Si ρt=0 (tensor infinitamente rígido) sale Nt = q L 2 / 8f
       como en el arco biarticulado

 28
Arco atirantado. Momento flector
                                        q
      M = M 0 + XM 1 = M 0 + N t (−y ) = (Lx − x 2 ) − y N t
                                        2

                          Momento sin tirante    El tirante hace disminuir el
                          (Punto A libre)        momento flector. Disminuye
                                                 más cuanto más arriba (y)


Momento en la clave C:

                    qL2
 MC = M (x = L 2) =     − f Nt                                 M1=-yNt
                     8

 Similar al arco biarticulado:
               2                                 M=M0 – y Nt
  biart     qL
 MC =          − f AX
             8                                  M0
 29
Arco atirantado. Esfuerzo axial
                           ⎛ qL     ⎞
              N = N + XN = ⎜−
                           0      1
                                    ⎟
                           ⎜ 2 + qx ⎠ sin α − N t cos α
                           ⎝        ⎟
  Axial siempre de compresión

                                                        La tracción del tirante
               Axial sin tirante (Punto A libre)
                                                        aumenta el valor de la
               (negativo)
                                                        compresión en el arco.




                                                   NC = −N t


             N1 = - cos
      N0

           N=N0 – Nt cos

 30
Arco atirantado. Deformación del apoyo A
      Es igual a la deformación del tirante
                                                                   N
                   Δt
            Nt =      + N 0t                                               N0t
                   ρt
                                                                       t
      Despejando la deformación:

          Δt = (N t − N 0t )ρt

  Sustituyendo el valor del esfuerzo en el tirante:
                      qf μ0L3 1 − D                 D= denominador de la expresión
                 Δt =        +      ρt N 0t         del esfuerzo en el tirante. D>1
                       15D      D

      Segundo sumando negativo.
      La pretensión hace disminuir la deformación del apoyo:
 31
Arco atirantado pretensado. Resumen
Sin reacción horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales

Esfuerzo final en el tirante:                                              3
- siempre positivo para q hacia abajo y pretensión de tracción N t = qf μ0L + N 0t
- la pretensión aumenta el esfuerzo final en el tirante              15ρt D   D

Aparece momento flector
                                                             q
- el esfuerzo en el tirante hace disminuir el flector     M = (Lx − x 2 ) − y N t
                                                             2

Axial siempre de compresión
- La tracción del tirante aumenta el               ⎛ qL    ⎞
                                               N = ⎜− + qx ⎟ sin α − N t cos α
                                                   ⎜ 2     ⎟
                                                           ⎟
valor de la compresión en el arco                  ⎝       ⎠



La pretensión hace disminuir                        qf μ0L3 1 − D
                                               Δt =        +      ρt N 0t
la deformación del apoyo.                            15D      D

 32
Arco biempotrado
                      q                        M0       N0                          M1        N1
                                                                               Q1

                              y            Q0                       y
                  B
                                                                                      Caso 1
                                       Caso 0

     A
                                                x                        1            x


                                                              M 1 = −y       N 1 = − cos α
                                                M2       N2                         M3
                                           2                                                   N3
                                       Q                                       Q3
         ⎧A ⎫
         ⎪ X⎪
         ⎪ ⎪
         ⎪ ⎪                  y                                     y
     X = ⎪ AY ⎪
         ⎨ ⎬
         ⎪ ⎪
         ⎪ ⎪                                                                                 Caso 3
         ⎪M A ⎪
         ⎪ ⎪
                                     Caso 2
         ⎪ ⎪
         ⎩ ⎭              1

                                                    x                    1               x


                  M2 = x          N 2 = − sin α               M 3 = −1       N3 = 0
33
Arco biempotrado
 Ecuaciones de compatibilidad:          fX=D


 ⎡ I +J                          ⎤ ⎧ A ⎪ ⎧∫ N 0 γ cos αds + ∫ αTm cos αds − ∫ αTg yds + ∫ M 0μyds ⎫
                                   ⎪ ⎫ ⎪
              −I 11 + J 11 I 01 ⎥ ⎪ x ⎪ ⎪  ⎪                                                      ⎪
                                                                                                  ⎪
 ⎢ 02     02
                                   ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪                                                       ⎪
                                                                                                  ⎪
 ⎢                               ⎥⎪                                                               ⎪
⎢−I 11 + J 11 I 20 + J 20 −I 10 ⎥ ⎨ Ay ⎬ = ⎨ ∫ N γ sin αds + ∫ αTm sin αds − ∫ αTg xds − ∫ M μxds ⎬
                                                0                                           0

⎢                                ⎥⎪ ⎪ ⎪
                                   ⎪ ⎪ ⎪                                                          ⎪
                                                                                                  ⎪
⎢ I 01           −I 10     I 00 ⎥⎥ ⎪M A ⎪ ⎪                                                       ⎪
⎢⎣                               ⎦⎪ ⎪ ⎪
                                   ⎪ ⎪ ⎪
                                   ⎩ ⎭ ⎪                     −∫ αTgds + ∫ M μds
                                                                              0
                                                                                                  ⎪
                                                                                                  ⎪
                                           ⎩                                                      ⎪
                                                                                                  ⎭

I mn = ∫ μ x m y n ds      m, n = 0,1, 2

J mn = ∫ γ sinm α cosn αds

 Esfuerzos finales:

    M = M 0 − yAX + xAY − M A                        N = N 0 − AX cos α − AY sin α

   34
Arco biempotrado parabólico. Carga uniforme
Energía axial nula        f jk = ∫ M j μ M k ds

      M 1 = −y   M2 = x    M 3 = −1                        A
                                                               B

Inercia según la ley de la secante

                            ⎡ 8Lf 2      L2 f     2Lf ⎤
                            ⎢          −              ⎥
                            ⎢ 15          3        3  ⎥
                            ⎢ 2                       ⎥
                            ⎢ Lf        L3          L2⎥
                   f = EI 0 ⎢−                    −   ⎥
                            ⎢ 3          3          2 ⎥
                            ⎢                         ⎥
                            ⎢ 2Lf        L2
                            ⎢ 3        −           L ⎥⎥
                            ⎢⎣            2           ⎥⎦



 35
Arco biempotrado parabólico. Carga uniforme
                                                                        M0
Coeficientes D     D j = −∫ M μ M ds
                                0   j                     q                  N0


                                                              y        Q0
                                           0  qx 2
          ⎧−qL3 f /10EI ⎫                M =−
          ⎪
          ⎪              ⎪
                        0⎪                     2
          ⎪
          ⎪              ⎪
          ⎪ qL4 / 8EI ⎪
        D=⎨              ⎪
                      0 ⎬
          ⎪
          ⎪              ⎪
          ⎪ −qL / 6EI ⎪
                                                                         x

          ⎪
                3        ⎪
                       0 ⎪
          ⎪
          ⎩              ⎪
                         ⎭



          ⎧ A ⎫ ⎧qL2 / 8 f ⎫        Mismas reacciones que en el arco isostático
          ⎪ X⎪ ⎪
          ⎪ ⎪ ⎪             ⎪
                            ⎪
          ⎪ ⎪ ⎪             ⎪       No hay momento en los apoyos
          ⎪ ⎪ ⎪
      X = ⎨ AY ⎬ = ⎨ qL / 2 ⎪
                            ⎬
          ⎪ ⎪ ⎪
          ⎪ ⎪ ⎪             ⎪
          ⎪M A ⎪ ⎪ 0 ⎪
          ⎪ ⎪ ⎪    ⎪        ⎪
                            ⎪
          ⎪ ⎪ ⎩
          ⎩ ⎭               ⎪
                            ⎭

 36
Arco biempotrado parabólico. Carga uniforme
Momento flector: nulo !!
                                    qx 2    qL2    qL
      M = M 0 − yAX + xAY − M A = −      −y     +x    +0= 0
                                     2      8f      2

Axial: igual que en el arco isostático
                                    1/ 2
        ⎛ L4                 L2 ⎞
 N = −q ⎜
        ⎜        + x 2 − xL + ⎟ ⎟
                                ⎟
        ⎜ 64 f 2
        ⎝                    4⎠            Es siempre de compresión



                                                                                  qL2
                                      N                               NClave   =−
                                                                                  8f
       qL 2      2 1/ 2
N A = − (L + 16 f )
       8f
       Valor máximo en los apoyos
 37
Arco biempotrado. Cálculo de la rigidez (1)
                                                M0          N0                 M1        N1
                                                                          Q1
Columna 1 de K           h=3
                                   y         Q0                   y


                                                                                Caso 1
                                            Caso 0
                                            Descargado

                                                    x                 1         x




                                                    M2       N2                M3
                                                2                                         N3
                                            Q                             Q3
      X1 = AX = K11                    y                          y

      X 2 = A = K 21
             Y
                                           Caso 2                                       Caso 3
      X 3 = M A = K 31
                               1

                                                        x             1             x




 38
Arco biempotrado. Cálculo de la rigidez (2)
  Sin energía de esfuerzo axial.
  Directriz parabólica.
  Inercia según la secante: I=I0 sec(α)
                                                           fij =   ∫   M i μM jds


      La matriz f es la empleada para el cálculo del arco por flexibilidad.
      El vector D es nulo, pues el caso 0 está descargado.
      Hay que considerar el desplazamiento impuesto en la dirección X


                                                ⎡ 8Lf 2     L2 f   2Lf   ⎤
                                                ⎢         −              ⎥
                                                ⎢ 15         3      3    ⎥ ⎡ K ⎤ ⎡ 1⎤
                                                 ⎢ 2                      ⎥ ⎢ 11 ⎥ ⎢ ⎥
                                                 ⎢ Lf      L3        L2   ⎥⎢       ⎥ ⎢ ⎥
                                           EI 0 ⎢−                 −      ⎥⎢  K 21 ⎥ = ⎢ 0⎥
                 f X = D + Δ0                    ⎢ 3        3        2    ⎥⎢       ⎥ ⎢ ⎥
                                                 ⎢                        ⎥ ⎢K 31 ⎥ ⎢ 0⎥
                                                 ⎢ 2Lf      L2
                                                 ⎢        −            L ⎥⎥ ⎣      ⎦ ⎣ ⎦
                                                ⎢⎣ 3         2           ⎥⎦


 39
Arco biempotrado. Cálculo de la rigidez (3)
Repitiendo para las columnas 1, 2 y 3 de K en el nudo I: sólo cambia la deformación unidad




             Columna 1                                Columna 2                            Columna 3



                                                                        Deformación impuesta
              ⎡ 8Lf 2     L2 f   2Lf⎤
               ⎢        −            ⎥
               ⎢ 15        3      3  ⎥⎡             K13 ⎥⎤ ⎡⎢1 0 0⎤⎥
               ⎢ 2                   ⎥ ⎢K11 K12
               ⎢ Lf      L3        L2⎥⎢                  ⎥ ⎢        ⎥
         EI 0 ⎢−                 −   ⎥ ⎢K 21 K 22   K 23 ⎥ = ⎢ 0 1 0⎥      fII KII = I
               ⎢ 3        3        2 ⎥⎢                  ⎥ ⎢        ⎥
               ⎢                     ⎥ ⎢K                ⎥ ⎢ 0 0 1⎥
               ⎢ 2Lf      L2         ⎥ ⎢⎣ 31 K 32   K 33 ⎥
                                                         ⎦ ⎣        ⎦
               ⎢        −         L ⎥
              ⎢⎣ 3         2        ⎥⎦
                                                                                    −
                                                                            KII = fII 1

        Flexibilidad en el nudo I       Rigidez en el nudo I
   40
Arco biempotrado. Rigidez
Sin energía de esfuerzo axial.
Directriz parabólica.                                IY                                        JY

Inercia según la secante.
     I=I0 sec(α)                                                                                    JX
I0 inercia en la clave                                                IX

                                                              I                                     J

                            ⎡ 45                15             45            15 ⎤
                             ⎢                −           −                       ⎥
                             ⎢ 4Lf 2     0     2Lf            4Lf 2     0   2Lf ⎥
                             ⎢                                                    ⎥
               ⎧PIX ⎫
               ⎪    ⎪        ⎢          12      6                       12    6 ⎥     ⎧δIX ⎫
                                                                                      ⎪ ⎪
               ⎪    ⎪        ⎢                                        − 3         ⎥   ⎪ ⎪
               ⎪
               ⎪P ⎪ ⎪        ⎢ 0        L3     L2           0           L    L2 ⎥     ⎪ ⎪
                                                                                      ⎪δ ⎪
               ⎪ IY ⎪
               ⎪    ⎪        ⎢ 15                                                 ⎥   ⎪ IY ⎪
                                                                                      ⎪ ⎪
               ⎪    ⎪        ⎢−          6      9          15            6     3 ⎥    ⎪ ⎪
               ⎪M ⎪
               ⎪ I⎪          ⎢                                        − 2   − ⎥       ⎪θ ⎪
                                                                                      ⎪ I ⎪
               ⎪    ⎪ = EI ⎢ 2Lf        L2     L          2Lf           L      L ⎥    ⎪ ⎪
               ⎨    ⎬     0 ⎢                                                         ⎨ ⎬
               ⎪PJX ⎪
               ⎪    ⎪        ⎢− 45             15          45                 15 ⎥⎥   ⎪δJX ⎪
                                                                                      ⎪ ⎪
               ⎪    ⎪        ⎢ 4Lf 2                                       −          ⎪ ⎪
               ⎪P ⎪
               ⎪ JY ⎪        ⎢          0     2Lf         4Lf 2         0    2Lf ⎥⎥   ⎪δ ⎪
                                                                                      ⎪ JY ⎪
               ⎪    ⎪        ⎢                                                        ⎪ ⎪
               ⎪
               ⎪M ⎪ ⎪
                    ⎪        ⎢           12      6                     12      6 ⎥⎥   ⎪ ⎪
                                                                                      ⎪θ ⎪
               ⎪ J⎪
               ⎪            ⎢ 0        − 3    − 2                          − 2 ⎥      ⎪ ⎪
                                                                                      ⎪ J ⎪
               ⎩    ⎭                    L      L           0          L3     L ⎥     ⎩ ⎭
                             ⎢
                             ⎢ 15       6        3           15          6    9 ⎥⎥
                             ⎢                −           −           − 2
                            ⎣⎢ 2Lf      L2       L          2Lf         L    L ⎦⎥
 41
Ejemplo 1
                                                                                                q

                                                q

                                                                 Y                               f
                                                    f

                                                                     X



                            Rígido
                          axialmente
                                                    H                                           H


           L                           L
                                                                                  L



Pilar central infinitamente             ⎡ 45I 0 12I                      15I 0     6I ⎤
                                        ⎢       + 3                  −          + 2⎥
rígido axialmente                       ⎢ 4Lf 2   H         0            2Lf       H ⎥
                                        ⎢                                             ⎥    ⎧Δ ⎫ ⎧F ⎫
                                                                                           ⎪ X⎪ ⎪ X⎪
                                        ⎢               12I 0    A            6I 0    ⎥    ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
                                                                                           ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
Arco parabólico, sin                    ⎢                      +           − 2        ⎥    ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
                                                                                           ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
                                       E⎢       0        L3      H             L      ⎥    ⎨ΔY ⎬ = ⎨FY ⎬
energía de esfuerzo                     ⎢                                             ⎥    ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
                                                                                           ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
                                        ⎢− 15I 0 + 6I         6I         9I 0 4I ⎥         ⎪ θ ⎪ ⎪M ⎪
axial, inercia según la                 ⎢ 2Lf             − 20                +       ⎥    ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
                                                                                           ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
                                                                                           ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
                                        ⎢          H2         L           L       H ⎥
secante.                                ⎢                                             ⎥
                                        ⎢⎣                                            ⎥⎦
   42
Ejemplo 1. Fuerzas

                                                            Fuerzas de fase 0 en el arco
                                                            debidas a la fuerza q
 qL/2                 M0=0                         qL/2


             qL2/8f                   qL2/8f

                                                                        ⎧ ⎛qL2 ⎞⎫
                                                                        ⎪ ⎜ ⎟⎪
                                                                        ⎪−⎜ ⎟⎪
                                                                        ⎪      ⎟⎪
                                                                 ⎧F ⎫ ⎪ ⎜ 8 f ⎠⎪
                                               q
                                                                 ⎪ X⎪ ⎪ ⎪ ⎝      ⎪
                                                                                 ⎪
                                                                 ⎪ ⎪ ⎪
                                                                 ⎪ ⎪ ⎪ ⎛qL ⎞ ⎪
                                                                 ⎪ ⎪ ⎪
                                                                 ⎪F ⎬ = ⎨ −⎜ ⎟ ⎬
                                                                     ⎪           ⎪
                                                                                 ⎪
                                                                 ⎨ Y           ⎟
                                                                               ⎟
                                                                           ⎜ 2 ⎠⎪
      qL/2                                qL/2                   ⎪ ⎪ ⎪ ⎝
                                                                 ⎪ ⎪ ⎪           ⎪
                                                                 ⎪M ⎪ ⎪
                                                                 ⎪ ⎪ ⎪           ⎪
                                                                                 ⎪
                                                                 ⎪ ⎪ ⎪
                                                                 ⎩ ⎭
                                                                        ⎪ 0 ⎪
                                                                        ⎪        ⎪
                                                                                 ⎪
             qL2/8f          qL2/8f                                     ⎪        ⎪
                                                                        ⎪
                                                                        ⎩        ⎪
                                                                                 ⎭


                                                          No hay momentos en la fase 0


 43
Ejemplo 1. Esfuerzos finales en el arco
              ⎧ qL2 ⎫
              ⎪     ⎪
              ⎪
              ⎪     ⎪        ⎡ 45               15        45            15 ⎤
              ⎪ 8f ⎪
              ⎪     ⎪
                    ⎪
                             ⎢                −      −                       ⎥
              ⎪     ⎪        ⎢ 4Lf 2     0     2Lf       4Lf 2     0   2Lf ⎥
              ⎪     ⎪        ⎢                                               ⎥
      ⎧PIX ⎫ ⎪ qL ⎪
      ⎪    ⎪ ⎪      ⎪        ⎢          12      6                  12    6 ⎥     ⎧ΔX ⎫
                                                                                 ⎪   ⎪
      ⎪    ⎪ ⎪ 2 ⎪           ⎢                                   − 3         ⎥   ⎪   ⎪
      ⎪P ⎪ ⎪
      ⎪    ⎪ ⎪
      ⎪ IY ⎪ ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪        ⎢ 0        L3     L2      0           L    L2 ⎥     ⎪
                                                                                 ⎪Δ ⎪
                                                                                 ⎪ Y⎪⎪
      ⎪    ⎪ ⎪      ⎪        ⎢ 15                     15                     ⎥   ⎪   ⎪
      ⎪    ⎪ ⎪ 0 ⎪
      ⎪M ⎪ ⎪        ⎪        ⎢−          6      9                   6     3 ⎥    ⎪
                                                                                 ⎪ θ ⎪
                                                                                     ⎪
      ⎪ I⎪ ⎪        ⎪        ⎢                                   − 2   − ⎥       ⎪   ⎪
      ⎪
      ⎨
           ⎪ ⎪
           ⎬ =⎨     ⎪ + EI ⎢ 2Lf
                    ⎬
                                        L2     L     2Lf           L      L ⎥    ⎪
                                                                                 ⎨
                                                                                     ⎪
                                                                                     ⎬
                          0 ⎢
      ⎪PJX ⎪ ⎪ qL2 ⎪
      ⎪    ⎪ ⎪−     ⎪        ⎢− 45             15     45                 15 ⎥⎥   ⎪ 0 ⎪
                                                                                 ⎪   ⎪
      ⎪    ⎪ ⎪      ⎪        ⎢ 4Lf 2                                  −          ⎪   ⎪
      ⎪
      ⎪PJY ⎪ ⎪ 8 f ⎪
           ⎪ ⎪      ⎪        ⎢          0     2Lf    4Lf 2         0    2Lf ⎥⎥   ⎪
                                                                                 ⎪ 0 ⎪
                                                                                     ⎪
      ⎪    ⎪ ⎪
           ⎪ ⎪ qL ⎪          ⎢                                                   ⎪   ⎪
      ⎪             ⎪                    12      6                12      6 ⎥    ⎪
                                                                                 ⎪   ⎪
      ⎪
      ⎪MJ ⎪ ⎪
      ⎪    ⎪ ⎪
           ⎪ ⎪
                    ⎪
                    ⎪        ⎢         − 3    − 2                     − 2 ⎥      ⎪ 0 ⎪
                                                                                 ⎪   ⎪
                                                                                     ⎪
      ⎪
      ⎩    ⎪ ⎪ 2 ⎪
           ⎭        ⎪       ⎢ 0          L      L      0          L3     L ⎥⎥    ⎪
                                                                                 ⎩   ⎪
                                                                                     ⎭
              ⎪     ⎪       ⎢
              ⎪
              ⎪     ⎪
                    ⎪       ⎢ 15        6        3      15          6    9 ⎥
              ⎪
              ⎪ 0 ⎪ ⎪       ⎢                 −      −           − 2        ⎥
              ⎪     ⎪       ⎢⎣ 2Lf      L2       L     2Lf         L    L ⎥⎦
              ⎪
              ⎪
              ⎩     ⎪
                    ⎪
                    ⎭




                                                                             Hay momentos,
                                                                             producidos por las deformaciones
                                                                             del nudo I




 44
Ejemplo 1. Flector en el arco
               qL2    45EI 0ΔX 15EI 0θ
         PIX =     +            −
               8f       4Lf 2       2Lf
               qL 12EI 0ΔY        6EI 0θ
         PIY =     +           +
                2       L3          L2
                 15EI 0ΔX     6EI 0ΔY    9EI 0θ
         MI = −            +           +
                    2Lf         L2         L




                                qx 2
      M = PIY x − PIX y − M I −
                                2f
                                                      IY

      Variación parabólica en x
                                                  I        IX




 45
Ejemplo 2
                                      q
               C                                          Arco semi circular uniforme

1Y                                   2Y
                                                                   2EIC  16EI
                          L/
                             2                             KC =         = 3 C
                       R=


          1X                              2X                       R 2S   Lπ


      A                                   H
                                 B             ⎡ 3EI                          ⎤
                                               ⎢ 3 + KC    0      −KC       0 ⎥
                                               ⎢H                             ⎥ ⎧Δ ⎫ ⎧F ⎫
                                               ⎢                              ⎥ ⎪ 1X ⎪ ⎪ 1X ⎪
                                                                                 ⎪    ⎪ ⎪ ⎪
                                               ⎢          EA
                                                                            0 ⎥⎥ ⎪ Δ ⎪ ⎪F ⎪
                   L
                                                ⎢    0              0            ⎪
                                                                                 ⎪ 1Y ⎪ ⎪ 1Y ⎪
                                                                                      ⎪ ⎪ ⎪
                                                ⎢         H                    ⎥⎪     ⎪=⎪ ⎪
                                                ⎢               3EI            ⎥ ⎪Δ ⎬ ⎨F ⎬
                                                                                 ⎨
                                                                                      ⎪ ⎪ ⎪
                                                ⎢ −KC      0        + KC    0 ⎥ ⎪ 2X ⎪ ⎪ 2X ⎪
                                                ⎢               H 3
                                                                               ⎥⎪⎪    ⎪ ⎪ ⎪
                                                                                      ⎪ ⎪ ⎪
                                                ⎢                              ⎥ ⎪Δ2Y ⎪ ⎩F2Y ⎭
                                                                                      ⎪ ⎪ ⎪
                                                ⎢                          EA ⎥ ⎪⎩    ⎭ ⎪ ⎪
                                                ⎢    0     0        0          ⎥
                                               ⎢⎣                          H ⎥⎦


 46
Ejemplo 2. Fuerzas



       qL/2

1        F1X                  -F2X    2

                  L=2R                              0      2qL
                                                  F =−
                                                   2X
                                                            3π
                                                    0   qL
                                                  F1Y =
        q  2RL3 − 3L2eS − 6e 2RL + 6R 2eS   2qL          2
F10
  X   =           2      2
                                          =             qL
        12      R S + 2e S − 3eLR            3π     0
                                                  F2Y =
                                                         2
 47
Ejemplo 2. Ecuación de equilibrio
                          q




2qL                      2qL



           qL/2   qL/2


                               ⎡ 3EI                          ⎤          ⎧ 2qL ⎫
                                                                         ⎪−    ⎪
                               ⎢ 3 + KC   0      −KC       0 ⎥           ⎪     ⎪
                               ⎢H                             ⎥ ⎧Δ ⎫ ⎪ 3π ⎪
                                                                         ⎪     ⎪
                               ⎢                              ⎥ ⎪ 1X ⎪ ⎪
                                                                ⎪    ⎪ ⎪ qL ⎪  ⎪
                               ⎢          EA
                               ⎢     0            0        0 ⎥⎥ ⎪ Δ ⎪ ⎪ −
                                                                ⎪
                                                                ⎪    ⎪
                                                                     ⎪ ⎪       ⎪
                                                                               ⎪
                                          H                     ⎪ 1Y ⎪ = ⎪ 2 ⎪
                               ⎢
                               ⎢               3EI
                                                             ⎥⎨      ⎬ ⎪
                                                             ⎥ ⎪Δ ⎪ ⎪ 2qL ⎬
                                                                         ⎨     ⎪
                               ⎢ −KC                                           ⎪
                                          0        + KC    0 ⎥ ⎪ 2X ⎪ ⎪
                                                                ⎪    ⎪ ⎪       ⎪
                               ⎢               H 3
                                                             ⎥⎪      ⎪ ⎪ 3π ⎪  ⎪
                               ⎢                             ⎥ ⎪Δ2Y ⎪ ⎪
                                                                ⎪    ⎪ ⎪ qL ⎪  ⎪
                               ⎢                          EA ⎥  ⎩    ⎭ ⎪       ⎪
                               ⎢     0    0       0           ⎥          ⎪−
                                                                         ⎪ 2 ⎪ ⎪
                               ⎢⎣                         H ⎥⎦           ⎪
                                                                         ⎩     ⎪
                                                                               ⎭

      48
Ejemplo 3. Añadimos un tirante pretensado
                                                     q
                         C
           1Y                                       2Y




                                    2
                                    L/
                                  R=
                    1X                                   2X


                              K

                A                                        H
                                                B

                              L




      ⎡ 3EI                                                 ⎤          ⎧ 2qL
                                                                       ⎪−             ⎫
      ⎢ 3 + KC + K       0               −KC − K          0 ⎥          ⎪     − (−N 0 )⎪
                                                                                      ⎪
      ⎢H                                                    ⎥ ⎧Δ ⎫ ⎪ 3 π
                                                                       ⎪              ⎪
                                                                                      ⎪
      ⎢                  EA                                 ⎥ ⎪ 1X ⎪ ⎪
                                                              ⎪    ⎪ ⎪                ⎪
                                                                                      ⎪
      ⎢                                                     ⎥⎪⎪    ⎪ ⎪        qL      ⎪
      ⎢     0                               0             0 ⎥ ⎪Δ ⎪ ⎪
                                                                   ⎪ ⎪      −         ⎪
      ⎢                  H                                  ⎥ ⎪ 1Y ⎪ = ⎪       2      ⎪
                                                                                      ⎪
       ⎢                           3EI                        ⎨    ⎬ ⎨
                                                            ⎥ ⎪Δ ⎪ ⎪ 2qL              ⎬
                                                                                      ⎪
       ⎢ −KC − K         0             + KC + K           0 ⎥⎪⎪
                                                                2X ⎪
                                                                   ⎪ ⎪ ⎪     − (N ) ⎪
                                                                                 0
                                                                                      ⎪
       ⎢                           H3                       ⎥⎪     ⎪ ⎪ 3π             ⎪   Disminuyen las fuerzas
       ⎢                                                    ⎥ ⎪Δ2Y ⎪ ⎪
                                                              ⎪    ⎪ ⎪                ⎪
                                                                                      ⎪
       ⎢                                                 EA ⎥ ⎩    ⎭ ⎪        qL      ⎪   exteriores
       ⎢    0            0                  0               ⎥          ⎪
                                                                       ⎪    −         ⎪
                                                                                      ⎪
      ⎢⎣                                                 H ⎦⎥          ⎪
                                                                       ⎩       2      ⎪
                                                                                      ⎭
                              Aumenta la rigidez (poco)
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  • 1. Arcos planos J. T. Celigüeta
  • 2. Arcos planos. Definición Directriz curva plana. Sección transversal despreciable. Curvatura pequeña: radio mucho mayor que el canto R>>h Varias condiciones de apoyo en los extremos. 1
  • 3. Ejemplos Velódromo olímpico (Atenas) Puente del Milenio (Londres) Puente romano (Córcega) Puente Michigan (Detroit) L=80 m 2
  • 4. Teoría básica Esfuerzos internos: N, M, Q Hipótesis de Navier: secciones perpendiculares a la directriz curva se mantienen perpendiculares a la directriz deformada R >> h Es aplicable la teoría de flexión de vigas, en un dominio curvo (ds sustituye a dx), pero hay acople entre N y M. Energía elástica: N2 M2 ∫ ds + ∫ ds + ∫ N αTmds − ∫ M αTgds * U = 2EA 2EI 3
  • 5. Ecuaciones de equilibrio qs M Q+dQ ds M+dM N N+dN Q Equilibrio radial: dQ N Nuevo término asociado a N = qs + ds R dM Equilibrio de momentos: = −Q ds 4
  • 6. Arco triarticulado (I) Isostático C fB fA B h A LA LB Se aplica la fórmula de los pórticos planos b=2 n=3 r=4 c=1 6 b + r = 16 3 n + 3 b + c = 16 h=0 5
  • 7. Arco triarticulado (II) CY CX CY fB fA B h A LA LB ∑ M AAC ) = 0 ( extAC −C x fA + C y LA + M A =0 CX, CY ∑ M BBC ) = 0 ( extCB C x fB + C y LB + M B =0 6
  • 8. Arco triarticulado simétrico. Carga uniforme (1) q q CX f AY L AX Forma y(x) sin definir. Gran reacción horizontal Por simetría: CY=0 en los apoyos (1/f) qL2 qL2 qL Cx = − Cy = 0 Ax = Ay = 8f 8f 2 7
  • 9. Arco triarticulado sin momento flector (2) M N qL qL2 qx 2 q Q M = x− y− 2 8f 2 M =0 qL/2 qL2/8f 4f x y = 2 (Lx − x 2 ) Parábola simétrica L qL2 qL Q = qx cos α + sin α − cos α = 0 8f 2 Sustituyendo forma parabólica 8
  • 10. Arco triarticulado sin momento flector (3) 1/ 2 qL qL2 ⎛ L4 L2 ⎞ N = qx sin α − sin α − cos α N = −q ⎜ ⎜ + x − xL + ⎟ 2 ⎟ ⎟ 2 8f ⎜ 64 f 2 ⎝ 4⎠ Es siempre de compresión qL 2 qL NX = − NY = qx − 8f 2 Proyección horizontal constante qL2 NClave =− qL 2 2 1/ 2 8f N A = − (L + 16 f ) 8f Valor máximo en los apoyos 9
  • 11. Arco triarticulado parabólico. Deformación Fuerza virtual unitaria V=1 1/2 1/2 L/2f L/2f L 1 L 1 N 0V = − cos α − sin α Q 0V = sin α − cos α 2f 2 2f 2 1 1 1 ΔCY = ∫ N N 0V ds + ∫ (M = 0) M 0V ds = ∫ N N 0V ds EA EI EA 10
  • 12. Arco triarticulado parabólico. Deformación L 1 N 0V = − cos α − sin α V=1 2f 2 1/2 1/2 1/ 2 ⎛ L4 L2 ⎞ L/2f L/2f N = −q ⎜ ⎜ + x − xL + ⎟ 2 ⎟ ⎟ ⎜ 64 f 2 ⎝ 4⎠ 1 ⎛ −L 1 ⎞ 1 ⎛ −L 1 ⎞ ΔCY = ∫ N ⎜ ⎜ cos α − sin α⎟ ds = ⎟ ⎟ ∫ N ⎜ ⎜ − tan α⎟ cos α ds ⎟ ⎟ ⎜ 2f EA ⎝ 2 ⎠ ⎜ 2f EA ⎝ 2 ⎠ 1 ⎛ −L 4 f ⎞ ΔCY = ∫ N ⎜ ⎜ − 2 (L − 2x )⎟ dx ⎟ ⎟ ⎜ 2f EA ⎝ L ⎠ 11
  • 13. Simplificaciones habituales • Rigidez axial infinita. Se desprecia la energía debida al esfuerzo axial 1 γ= =0 EA • Momento de inercia variable según la ley de la secante Flexibilidad a flexión μ variable según la ley coseno I0 I = I 0 sec α = I0 : momento de inercia en la clave cos α 1 1 μ= = cos α = μ0 cos α EI EI 0 Simplifica las integrales pues : ∫ f (x ) μds = ∫ f (x ) μ 0 cos α ds = μ0 ∫ f (x )dx 12
  • 14. Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (1) q f M0 M1 0 N0 N1 q Q 1 Q L qL/2 h=1 X1=Ax x 1 x q M 0 = (Lx − x 2 ) M 1 = −y 2 Parabólico 4f Sin energía de esfuerzo axial. y= (Lx − x 2 ) L2 Inercia variable según la ley de la secante 13
  • 15. Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (2) M 1 = −y f11 = ∫ N 1 γN 1ds + ∫ M 1μM 1ds = ∫ (−y )2 μ ds f11 = ∫ (−y ) μ 2 0 cos α ds = ∫ y 2 μ0 dx 8μ0 f 2 L f11 = 15 Sin energía de esfuerzo axial. Inercia variable según la ley de la secante 14
  • 16. Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (3) q M = (Lx − x 2 ) 0 M0 N0 2 q 0 Q D1 = −∫ N 0 γN 1ds − ∫ M 0 μM 1ds = q D =1 −∫ (Lx − x 2 ) μ(−y )ds 2 qL/2 q D1 = −∫ (Lx − x 2 ) μ0 cos α(−y ) ds 2 x q μ0 f L3 D1 = 15 D1 qL2 AX = = f11 8f 15
  • 17. Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (4) M0 M1 0 N0 1 N1 q Q Q q M 1 = −y M = (Lx − x 2 ) 0 qL/2 2 qL2 AX = x 1 x 8f 2 q0 2 4f 2 qL M = M − yAX = (Lx − x ) − 2 (Lx − x ) =0 2 L 8f Sustituyendo forma parabólica qL2 qL Q = qx cos α + sin α − cos α = 0 8f 2 Sin momento flector. Mismo comportamiento que el arco triarticulado 16
  • 18. Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (5) Esfuerzo axial (igual que el triarticulado) 1/ 2 qL qL2 ⎛ L4 L2 ⎞ N = qx sin α − sin α − cos α N = −q ⎜ ⎜ + x 2 − xL + ⎟ ⎟ ⎟ 2 8f ⎜ 64 f 2 ⎝ 4⎠ qL2 Es siempre de compresión NX = − 8f qL NY = qx − 2 qL2 N NClave =− 8f qL 2 2 1/ 2 N A = − (L + 16 f ) 8f Valor máximo en los apoyos 17
  • 19. Arco biarticulado parabólico. Carga puntual P 5P μ0 f L2 75PL D1 = −∫ (L − x ) (−y )μ0 cos αds = AX = 2 48 384 f P ⎛ 75x 2 ⎞ 0 M = M − yAX = ⎜ ⎜ − 27x ⎟ ⎟ ⎟ 96 ⎜ L ⎝ ⎠ P M neg M max = −0.0253PL x = 9L / 50 M clave = 0.0547PL 18
  • 20. Arco biarticulado. Cálculo de la rigidez (1) Cálculo de la columna 1: deformación unidad en δIX K21 K41 IX=1 K31 K11 h=1 X1 = K 11 Caso 1 Sin energía de esfuerzo axial. f11 = ∫ M 1μM 1ds = ∫ (−y )2 μds Condición de compatibilidad: 1 1 f11X1 = 1 X1 = = ≡ K11 f11 ∫ y μds 2 19
  • 21. Arco biarticulado. Cálculo de la rigidez (2) Cálculo de la columna 1 K21 K41 IX=1 K31 K11 Condición de compatibilidad: f11X1 = D1 + 1 D1 = 0 1 1 X1 = = ≡ K11 ⎡ K 11 ⎤ f11 ⎢ ⎥ ∫ y μds 2 ⎢ K =0 ⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ K 31 = −K11 ⎥ ⎢ ⎥ K 31 = −K 11 K 21 = K 41 = 0 ⎢ K 41 = 0 ⎥ ⎣ ⎦ 20
  • 22. Arco biarticulado. Matriz de rigidez Columnas 2 y 4 nulas IY JY Columna 3 igual a la 1 y Agrupando las 4 columnas IX JX ⎡ 1 0 −1 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0⎥ 1 ⎢ ⎥ KL = ⎢−1 0 1 0⎥⎥ ∫ y μds ⎢ 2 ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0⎥ ⎣ ⎦ Sólo aporta rigidez en la dirección X Sin energía de esfuerzo axial. 21
  • 23. Arco biarticulado parabólico. Rigidez Directriz parabólica. Inercia según la secante: I=I0 sec α I0 inercia en la clave 8f 2 L ∫ y 2μds = ∫ y 2μ0 cos α ds = ∫ y 2μ0dx = 15EI 0 ⎡ 1 0 −1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0⎥ 15EI 0 ⎢ 0 0 ⎥ KL = ⎢ 8Lf 2 ⎢−1 0 1 0⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0⎥ ⎣ ⎦ Si f se anula, no se obtiene la rigidez de la barra recta pues no se ha considerado la energía de axial 22
  • 24. Arco biarticulado circular. Carga uniforme (1) M0 N0 M1 q Q0 1 N1 Q y qL/2 x R e x 1 x L q M 1 = −y h=1 X1=Ax M = (Lx − x 2 ) 0 2 Longitud del arco S=2Rα Inercia constante. Sin energía de axial f11 = ∫ M 1μM 1ds = ∫ (−y )2 μRd θ y = R cos θ − e R 2S + 2e 2S − 3eLR x = R sin θ + L / 2 f11 = 2EI 23
  • 25. Arco biarticulado circular. Carga uniforme (2) +α q D1 = −∫ M μM ds = −∫ 0 1 (Lx − x 2 ) μ(−y )Rd θ −α 2 q D1 = (2RL3 − 3L2eS − 6e 2RL + 6R2eS ) 24EI 3 2 2 2 q 2RL − 3L eS − 6e RL + 6R eS X = AX = 12 R 2S + 2e 2S − 3eLR M 1=-yA x Momento flector f Ax q M = M − yAX = (Lx − x 2 ) − (R cos θ − e)AX 0 2 M0 qL 2/8 Momento máximo en la clave x=L/2, θ=0 q ⎛ L L2 ⎞ qL2 M max = ⎜L − ⎟ − (R − e)AX = ⎜ ⎟ ⎟ − fAX 2⎝⎜ 2 4⎠ 8 24
  • 26. Arco biarticulado circular. Rigidez Directriz circular: Radio R, Luz L. Longitud del arco S=2Rα Inercia constante Particularizando la expresión general de la rigidez del arco biarticulado y = R cos θ − e +α ∫ y μds = ∫ (R cos θ − e) μ ds = ∫ 2 2 (R cos θ − e)2 μ Rd θ −α ⎡ 1 0 −1 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0⎥ 2EI ⎢ ⎥ KL = 2 ⎢ R S + 2e 2S − 3eL R ⎢−1 0 1 0⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0⎥ ⎣ ⎦ 25
  • 27. Arco atirantado No se transmite reacción horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales Flexibilidad del tirante 1 L ρt = = Kt Et At N t = K t Δt + N 0t Pretensión de montaje en el tirante: N0t Positiva a tracción Error en longitud del tirante: (positivo más largo) λt = −N 0t ρt N t = K t (Δt − λt ) 26
  • 28. Arco atirantado. Cálculo por flexibilidad h=1 X1=Nt M0 N0 q Q0 q M 1 = −y M 0 = (Lx − x 2 ) qL/2 2 N 1 = − cos α f11 = ∫ M 1μM 1ds + N t1ρt N t1 = ∫ (−y )2 μds + (1)ρt (1) Directriz parabólica 8μ0 f 2L Inercia según la secante: ∫ 2 f11 = y μ0dx + ρt = + ρt I=I0 sec α 15 qf μ0L3 D1 = −∫ M μM ds − N ρ N − λt N = 0 1 0 t t 1 − λt t 1 t 27 15
  • 29. Arco atirantado. Esfuerzo en el tirante La pretensión aumenta el esfuerzo final en el tirante qf μ0L3 + N 0t D 15ρt X = 1 = Nt = f11 8μ0 f 2L +1 15ρt Constante D > 1 Esfuerzo final en el tirante siempre positivo para q hacia abajo y pretensión de tracción Nota: Si ρt=0 (tensor infinitamente rígido) sale Nt = q L 2 / 8f como en el arco biarticulado 28
  • 30. Arco atirantado. Momento flector q M = M 0 + XM 1 = M 0 + N t (−y ) = (Lx − x 2 ) − y N t 2 Momento sin tirante El tirante hace disminuir el (Punto A libre) momento flector. Disminuye más cuanto más arriba (y) Momento en la clave C: qL2 MC = M (x = L 2) = − f Nt M1=-yNt 8 Similar al arco biarticulado: 2 M=M0 – y Nt biart qL MC = − f AX 8 M0 29
  • 31. Arco atirantado. Esfuerzo axial ⎛ qL ⎞ N = N + XN = ⎜− 0 1 ⎟ ⎜ 2 + qx ⎠ sin α − N t cos α ⎝ ⎟ Axial siempre de compresión La tracción del tirante Axial sin tirante (Punto A libre) aumenta el valor de la (negativo) compresión en el arco. NC = −N t N1 = - cos N0 N=N0 – Nt cos 30
  • 32. Arco atirantado. Deformación del apoyo A Es igual a la deformación del tirante N Δt Nt = + N 0t N0t ρt t Despejando la deformación: Δt = (N t − N 0t )ρt Sustituyendo el valor del esfuerzo en el tirante: qf μ0L3 1 − D D= denominador de la expresión Δt = + ρt N 0t del esfuerzo en el tirante. D>1 15D D Segundo sumando negativo. La pretensión hace disminuir la deformación del apoyo: 31
  • 33. Arco atirantado pretensado. Resumen Sin reacción horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales Esfuerzo final en el tirante: 3 - siempre positivo para q hacia abajo y pretensión de tracción N t = qf μ0L + N 0t - la pretensión aumenta el esfuerzo final en el tirante 15ρt D D Aparece momento flector q - el esfuerzo en el tirante hace disminuir el flector M = (Lx − x 2 ) − y N t 2 Axial siempre de compresión - La tracción del tirante aumenta el ⎛ qL ⎞ N = ⎜− + qx ⎟ sin α − N t cos α ⎜ 2 ⎟ ⎟ valor de la compresión en el arco ⎝ ⎠ La pretensión hace disminuir qf μ0L3 1 − D Δt = + ρt N 0t la deformación del apoyo. 15D D 32
  • 34. Arco biempotrado q M0 N0 M1 N1 Q1 y Q0 y B Caso 1 Caso 0 A x 1 x M 1 = −y N 1 = − cos α M2 N2 M3 2 N3 Q Q3 ⎧A ⎫ ⎪ X⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y y X = ⎪ AY ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Caso 3 ⎪M A ⎪ ⎪ ⎪ Caso 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 1 x 1 x M2 = x N 2 = − sin α M 3 = −1 N3 = 0 33
  • 35. Arco biempotrado Ecuaciones de compatibilidad: fX=D ⎡ I +J ⎤ ⎧ A ⎪ ⎧∫ N 0 γ cos αds + ∫ αTm cos αds − ∫ αTg yds + ∫ M 0μyds ⎫ ⎪ ⎫ ⎪ −I 11 + J 11 I 01 ⎥ ⎪ x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 02 02 ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢−I 11 + J 11 I 20 + J 20 −I 10 ⎥ ⎨ Ay ⎬ = ⎨ ∫ N γ sin αds + ∫ αTm sin αds − ∫ αTg xds − ∫ M μxds ⎬ 0 0 ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ I 01 −I 10 I 00 ⎥⎥ ⎪M A ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ −∫ αTgds + ∫ M μds 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ I mn = ∫ μ x m y n ds m, n = 0,1, 2 J mn = ∫ γ sinm α cosn αds Esfuerzos finales: M = M 0 − yAX + xAY − M A N = N 0 − AX cos α − AY sin α 34
  • 36. Arco biempotrado parabólico. Carga uniforme Energía axial nula f jk = ∫ M j μ M k ds M 1 = −y M2 = x M 3 = −1 A B Inercia según la ley de la secante ⎡ 8Lf 2 L2 f 2Lf ⎤ ⎢ − ⎥ ⎢ 15 3 3 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ Lf L3 L2⎥ f = EI 0 ⎢− − ⎥ ⎢ 3 3 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2Lf L2 ⎢ 3 − L ⎥⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 35
  • 37. Arco biempotrado parabólico. Carga uniforme M0 Coeficientes D D j = −∫ M μ M ds 0 j q N0 y Q0 0 qx 2 ⎧−qL3 f /10EI ⎫ M =− ⎪ ⎪ ⎪ 0⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ qL4 / 8EI ⎪ D=⎨ ⎪ 0 ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −qL / 6EI ⎪ x ⎪ 3 ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎧ A ⎫ ⎧qL2 / 8 f ⎫ Mismas reacciones que en el arco isostático ⎪ X⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ No hay momento en los apoyos ⎪ ⎪ ⎪ X = ⎨ AY ⎬ = ⎨ qL / 2 ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪M A ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎭ ⎪ ⎭ 36
  • 38. Arco biempotrado parabólico. Carga uniforme Momento flector: nulo !! qx 2 qL2 qL M = M 0 − yAX + xAY − M A = − −y +x +0= 0 2 8f 2 Axial: igual que en el arco isostático 1/ 2 ⎛ L4 L2 ⎞ N = −q ⎜ ⎜ + x 2 − xL + ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ 64 f 2 ⎝ 4⎠ Es siempre de compresión qL2 N NClave =− 8f qL 2 2 1/ 2 N A = − (L + 16 f ) 8f Valor máximo en los apoyos 37
  • 39. Arco biempotrado. Cálculo de la rigidez (1) M0 N0 M1 N1 Q1 Columna 1 de K h=3 y Q0 y Caso 1 Caso 0 Descargado x 1 x M2 N2 M3 2 N3 Q Q3 X1 = AX = K11 y y X 2 = A = K 21 Y Caso 2 Caso 3 X 3 = M A = K 31 1 x 1 x 38
  • 40. Arco biempotrado. Cálculo de la rigidez (2) Sin energía de esfuerzo axial. Directriz parabólica. Inercia según la secante: I=I0 sec(α) fij = ∫ M i μM jds La matriz f es la empleada para el cálculo del arco por flexibilidad. El vector D es nulo, pues el caso 0 está descargado. Hay que considerar el desplazamiento impuesto en la dirección X ⎡ 8Lf 2 L2 f 2Lf ⎤ ⎢ − ⎥ ⎢ 15 3 3 ⎥ ⎡ K ⎤ ⎡ 1⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 11 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Lf L3 L2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ EI 0 ⎢− − ⎥⎢ K 21 ⎥ = ⎢ 0⎥ f X = D + Δ0 ⎢ 3 3 2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢K 31 ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ 2Lf L2 ⎢ − L ⎥⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ 3 2 ⎥⎦ 39
  • 41. Arco biempotrado. Cálculo de la rigidez (3) Repitiendo para las columnas 1, 2 y 3 de K en el nudo I: sólo cambia la deformación unidad Columna 1 Columna 2 Columna 3 Deformación impuesta ⎡ 8Lf 2 L2 f 2Lf⎤ ⎢ − ⎥ ⎢ 15 3 3 ⎥⎡ K13 ⎥⎤ ⎡⎢1 0 0⎤⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢K11 K12 ⎢ Lf L3 L2⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ EI 0 ⎢− − ⎥ ⎢K 21 K 22 K 23 ⎥ = ⎢ 0 1 0⎥ fII KII = I ⎢ 3 3 2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢K ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎢ 2Lf L2 ⎥ ⎢⎣ 31 K 32 K 33 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ − L ⎥ ⎢⎣ 3 2 ⎥⎦ − KII = fII 1 Flexibilidad en el nudo I Rigidez en el nudo I 40
  • 42. Arco biempotrado. Rigidez Sin energía de esfuerzo axial. Directriz parabólica. IY JY Inercia según la secante. I=I0 sec(α) JX I0 inercia en la clave IX I J ⎡ 45 15 45 15 ⎤ ⎢ − − ⎥ ⎢ 4Lf 2 0 2Lf 4Lf 2 0 2Lf ⎥ ⎢ ⎥ ⎧PIX ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ 12 6 12 6 ⎥ ⎧δIX ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ − 3 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪P ⎪ ⎪ ⎢ 0 L3 L2 0 L L2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪δ ⎪ ⎪ IY ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 15 ⎥ ⎪ IY ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢− 6 9 15 6 3 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪M ⎪ ⎪ I⎪ ⎢ − 2 − ⎥ ⎪θ ⎪ ⎪ I ⎪ ⎪ ⎪ = EI ⎢ 2Lf L2 L 2Lf L L ⎥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ 0 ⎢ ⎨ ⎬ ⎪PJX ⎪ ⎪ ⎪ ⎢− 45 15 45 15 ⎥⎥ ⎪δJX ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 4Lf 2 − ⎪ ⎪ ⎪P ⎪ ⎪ JY ⎪ ⎢ 0 2Lf 4Lf 2 0 2Lf ⎥⎥ ⎪δ ⎪ ⎪ JY ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪M ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 12 6 12 6 ⎥⎥ ⎪ ⎪ ⎪θ ⎪ ⎪ J⎪ ⎪ ⎢ 0 − 3 − 2 − 2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ J ⎪ ⎩ ⎭ L L 0 L3 L ⎥ ⎩ ⎭ ⎢ ⎢ 15 6 3 15 6 9 ⎥⎥ ⎢ − − − 2 ⎣⎢ 2Lf L2 L 2Lf L L ⎦⎥ 41
  • 43. Ejemplo 1 q q Y f f X Rígido axialmente H H L L L Pilar central infinitamente ⎡ 45I 0 12I 15I 0 6I ⎤ ⎢ + 3 − + 2⎥ rígido axialmente ⎢ 4Lf 2 H 0 2Lf H ⎥ ⎢ ⎥ ⎧Δ ⎫ ⎧F ⎫ ⎪ X⎪ ⎪ X⎪ ⎢ 12I 0 A 6I 0 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Arco parabólico, sin ⎢ + − 2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ E⎢ 0 L3 H L ⎥ ⎨ΔY ⎬ = ⎨FY ⎬ energía de esfuerzo ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢− 15I 0 + 6I 6I 9I 0 4I ⎥ ⎪ θ ⎪ ⎪M ⎪ axial, inercia según la ⎢ 2Lf − 20 + ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎢ H2 L L H ⎥ secante. ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 42
  • 44. Ejemplo 1. Fuerzas Fuerzas de fase 0 en el arco debidas a la fuerza q qL/2 M0=0 qL/2 qL2/8f qL2/8f ⎧ ⎛qL2 ⎞⎫ ⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎪−⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎟⎪ ⎧F ⎫ ⎪ ⎜ 8 f ⎠⎪ q ⎪ X⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛qL ⎞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪F ⎬ = ⎨ −⎜ ⎟ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ Y ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎠⎪ qL/2 qL/2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪M ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ qL2/8f qL2/8f ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ No hay momentos en la fase 0 43
  • 45. Ejemplo 1. Esfuerzos finales en el arco ⎧ qL2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ 45 15 45 15 ⎤ ⎪ 8f ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ − − ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ 4Lf 2 0 2Lf 4Lf 2 0 2Lf ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎧PIX ⎫ ⎪ qL ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 12 6 12 6 ⎥ ⎧ΔX ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎢ − 3 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪P ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ IY ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 0 L3 L2 0 L L2 ⎥ ⎪ ⎪Δ ⎪ ⎪ Y⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 15 15 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪M ⎪ ⎪ ⎪ ⎢− 6 9 6 3 ⎥ ⎪ ⎪ θ ⎪ ⎪ ⎪ I⎪ ⎪ ⎪ ⎢ − 2 − ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎬ =⎨ ⎪ + EI ⎢ 2Lf ⎬ L2 L 2Lf L L ⎥ ⎪ ⎨ ⎪ ⎬ 0 ⎢ ⎪PJX ⎪ ⎪ qL2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎪ ⎢− 45 15 45 15 ⎥⎥ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 4Lf 2 − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪PJY ⎪ ⎪ 8 f ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 0 2Lf 4Lf 2 0 2Lf ⎥⎥ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ qL ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 12 6 12 6 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪MJ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ − 3 − 2 − 2 ⎥ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎭ ⎪ ⎢ 0 L L 0 L3 L ⎥⎥ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 15 6 3 15 6 9 ⎥ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎢ − − − 2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎣ 2Lf L2 L 2Lf L L ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎭ Hay momentos, producidos por las deformaciones del nudo I 44
  • 46. Ejemplo 1. Flector en el arco qL2 45EI 0ΔX 15EI 0θ PIX = + − 8f 4Lf 2 2Lf qL 12EI 0ΔY 6EI 0θ PIY = + + 2 L3 L2 15EI 0ΔX 6EI 0ΔY 9EI 0θ MI = − + + 2Lf L2 L qx 2 M = PIY x − PIX y − M I − 2f IY Variación parabólica en x I IX 45
  • 47. Ejemplo 2 q C Arco semi circular uniforme 1Y 2Y 2EIC 16EI L/ 2 KC = = 3 C R= 1X 2X R 2S Lπ A H B ⎡ 3EI ⎤ ⎢ 3 + KC 0 −KC 0 ⎥ ⎢H ⎥ ⎧Δ ⎫ ⎧F ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ 1X ⎪ ⎪ 1X ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ EA 0 ⎥⎥ ⎪ Δ ⎪ ⎪F ⎪ L ⎢ 0 0 ⎪ ⎪ 1Y ⎪ ⎪ 1Y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ H ⎥⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎢ 3EI ⎥ ⎪Δ ⎬ ⎨F ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ −KC 0 + KC 0 ⎥ ⎪ 2X ⎪ ⎪ 2X ⎪ ⎢ H 3 ⎥⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪Δ2Y ⎪ ⎩F2Y ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ EA ⎥ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎢⎣ H ⎥⎦ 46
  • 48. Ejemplo 2. Fuerzas qL/2 1 F1X -F2X 2 L=2R 0 2qL F =− 2X 3π 0 qL F1Y = q 2RL3 − 3L2eS − 6e 2RL + 6R 2eS 2qL 2 F10 X = 2 2 = qL 12 R S + 2e S − 3eLR 3π 0 F2Y = 2 47
  • 49. Ejemplo 2. Ecuación de equilibrio q 2qL 2qL qL/2 qL/2 ⎡ 3EI ⎤ ⎧ 2qL ⎫ ⎪− ⎪ ⎢ 3 + KC 0 −KC 0 ⎥ ⎪ ⎪ ⎢H ⎥ ⎧Δ ⎫ ⎪ 3π ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ 1X ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ qL ⎪ ⎪ ⎢ EA ⎢ 0 0 0 ⎥⎥ ⎪ Δ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ H ⎪ 1Y ⎪ = ⎪ 2 ⎪ ⎢ ⎢ 3EI ⎥⎨ ⎬ ⎪ ⎥ ⎪Δ ⎪ ⎪ 2qL ⎬ ⎨ ⎪ ⎢ −KC ⎪ 0 + KC 0 ⎥ ⎪ 2X ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ H 3 ⎥⎪ ⎪ ⎪ 3π ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪Δ2Y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ qL ⎪ ⎪ ⎢ EA ⎥ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎪− ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎢⎣ H ⎥⎦ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ 48
  • 50. Ejemplo 3. Añadimos un tirante pretensado q C 1Y 2Y 2 L/ R= 1X 2X K A H B L ⎡ 3EI ⎤ ⎧ 2qL ⎪− ⎫ ⎢ 3 + KC + K 0 −KC − K 0 ⎥ ⎪ − (−N 0 )⎪ ⎪ ⎢H ⎥ ⎧Δ ⎫ ⎪ 3 π ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ EA ⎥ ⎪ 1X ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪⎪ ⎪ ⎪ qL ⎪ ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎪Δ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎢ H ⎥ ⎪ 1Y ⎪ = ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎢ 3EI ⎨ ⎬ ⎨ ⎥ ⎪Δ ⎪ ⎪ 2qL ⎬ ⎪ ⎢ −KC − K 0 + KC + K 0 ⎥⎪⎪ 2X ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − (N ) ⎪ 0 ⎪ ⎢ H3 ⎥⎪ ⎪ ⎪ 3π ⎪ Disminuyen las fuerzas ⎢ ⎥ ⎪Δ2Y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ EA ⎥ ⎩ ⎭ ⎪ qL ⎪ exteriores ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ ⎢⎣ H ⎦⎥ ⎪ ⎩ 2 ⎪ ⎭ Aumenta la rigidez (poco) 49