[1] O documento apresenta conceitos sobre derivadas direcionais e parciais de funções de várias variáveis. [2] A derivada direcional representa a taxa de variação de uma função em uma direção específica no ponto, enquanto a derivada parcial representa a taxa de variação ao longo de um eixo. [3] São apresentados exercícios para o cálculo de derivadas direcionais e parciais de primeira e segunda ordem de diferentes funções.

1. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Campos escalares e vectoriais - Parte 2
Derivadas de An´lise Matem´tica 2
a a
ordem superior
T. Schwarz
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial 2o Semestre 2011/12
Gradiente
Matriz
Jacobiana Vers˜o de 16 de Maio de 2012
a
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos sandra.martins@adm.isel.pt
1/1

2. AM2
Derivadas segundo um vector
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de Defini¸˜o
ca
ordem superior
T. Schwarz Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e a ∈ int(Df ) ent˜o
a
Classe C k (A)
f (a + λv ) − f (a)
Diferenciabil. fv (a) = lim
Plano tang. λ→0 λ
Diferencial
representa a derivada de f segundo o vector v no ponto a
Gradiente
(no caso do limite existir).
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Nota: No caso em que v = 1 esta derivada chama-se
Composta derivada direcional de f , segundo o vector v no ponto a.
Impl´
ıcita
Extremos
2/1

3. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Interpreta¸˜es:
co
Derivadas de
ordem superior
fv (a) (com v = 1) indica o declive da recta tangente ao
T. Schwarz
Classe C k (A)
gr´fico de f no ponto a que tem a direc¸˜o do vector v .
a ca
Diferenciabil. fv (a) (com v = 1) indica a taxa de varia¸˜o, ou seja, a
ca
Plano tang. quantidade de varia¸˜o por unidade na direc¸˜o de v , de f
ca ca
Diferencial no ponto a.
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
3/1

4. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
4/1

5. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
5/1

6. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
6/1

7. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
7/1

8. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
8/1

9. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
9/1

10. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
10/1

11. AM2 Calcule:
1 f (a) para f (x, y ) = x 2 y , v = (2, 1) e a = (1, 0).
v
2 a derivada direccional de f (x, y ) = x 2 sin(2y ),segundo o
Derivadas
direcionais vector v = (3, −4) no ponto a = (1, π ). 2
Derivadas 3 a derivada de
parciais
xy
Derivadas de x+y se x + y = 0
ordem superior f (x, y ) =
x se x + y = 0
T. Schwarz
Classe C k (A) segundo os vectores v1 = (1, 1) e v2 = (1, −1) no ponto
Diferenciabil. a = (0, 0).
Plano tang. 4 a derivada direccional de
Diferencial 2xy
x 2 +y 2
se (x, y ) = (0, 0)
Gradiente f (x, y ) =
Matriz
0 se (x, y ) = (0, 0)
Jacobiana
Derivada da
segundo o vector v = (1, 1) no ponto a = (0, 0).
Composta 5 a derivada direccional de
Impl´
ıcita
y 2 se x = 0
Extremos f (x, y ) = y2
x se x = 0
segundo os vectores v1 = (0, 2) e v2 = (1, 2) no ponto
11/1

12. AM2
Derivadas segundo um vector para
Derivadas
direcionais
fun¸oes vectoriais
c˜
Derivadas
parciais Defini¸˜o
ca
Derivadas de
ordem superior Seja
T. Schwarz
Classe C k (A) f : Df ⊂ Rn −→ Rm
Diferenciabil. x −→ y = f (x) = (f1 (x), ..., fm (x))
Plano tang.
Diferencial e a ∈ int(Df ) ent˜o
a
Gradiente
Matriz fv (a) = f1 v (a), ..., fm v (a)
Jacobiana
Derivada da
Composta
representa a derivada de f segundo o vector v no ponto a
Impl´
ıcita (no caso dos limites existirem).
Extremos
Nota: No caso em que v = 1 esta derivada chama-se
derivada direccional de f , segundo o vector v no ponto a.
12/1

13. AM2
Exerc´
ıcios
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Calcule
Classe C k (A)
Diferenciabil.
1 fv (a) para
Plano tang. f (x, y , z) = (x − z, 2y )
Diferencial
com v = (1, 2, 0) e a = (1, 1, 1).
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
13/1

14. AM2
Defini¸˜o
ca
Derivadas `
As derivadas direccionais segundo os vectores da base can´nica
o
direcionais
Derivadas de Rn , chamam-se derivadas parciais.
parciais
Derivadas de No caso de n=2... os vectores da base can´nica s˜o (1, 0) e
o a
ordem superior
(0, 1)...
T. Schwarz
Chama-se derivada parcial em ordem a x a
Classe C k (A)
Diferenciabil.
∂f f (a + λ, b) − f (a, b)
Plano tang. (a, b) = lim
∂x λ→0 λ
Diferencial
Gradiente (´ a derivada direccional segundo o vector (1,0)).
e
Matriz
Jacobiana
Chama-se derivada parcial em ordem a y a
Derivada da
Composta ∂f f (a, b + λ) − f (a, b)
(a, b) = lim
Impl´
ıcita ∂y λ→0 λ
Extremos
(´ a derivada direccional segundo o vector (0,1)).
e
14/1

15. AM2
Derivadas
direcionais
Notas:
Derivadas Para calcular a derivada (parcial) num ponto: se, na
parciais
vizinhan¸a (bola) desse ponto a fun¸˜o est´ definida por:
c ca a
Derivadas de
ordem superior apenas uma express˜o: Regras de deriva¸˜o.
a ca
T. Schwarz mais do que uma express˜o: Defini¸˜o de derivada
a ca
Classe C k (A) parcial.
Diferenciabil.
Interpreta¸˜es:
co
Plano tang.
∂f
indica o declive da recta tangente ao gr´fico de f
∂x (a, b) a
Diferencial
Gradiente no ponto (a, b) que ´ paralela ao eixo dos xx.
e
Matriz ∂f
Jacobiana ∂x (a, b)indica a taxa de varia¸˜o, ou seja, a quantidade
ca
Derivada da de varia¸˜o por unidade de x, de f no ponto (a, b).
ca
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
15/1

16. AM2 Sejam u = f (x), v = g (x), k ∈ R.
k =0 (sin(u)) = cos(u)u
Derivadas
x =1 (cos(u)) = − sin(u)u
direcionais (u + v ) = u + v (tan(u)) = sec2 (u)u
Derivadas
parciais
(ku) = ku (cot(u)) = − csc2 (u)u
Derivadas de
(u.v ) = u v + uv (sec(u)) = sec(u) tan(u)u
ordem superior
u u v − uv u
T. Schwarz v = 2
(arcsin(u)) = √
v 1 − u2
Classe C k (A)
u
Diferenciabil. (u α ) = αu α−1 u , α ∈ Q {0} (arccos(u)) = − √
1 − u2
Plano tang.
√ u u
Diferencial u = √ (arctan(u)) =
2 u 1 + u2
Gradiente
u u
Matriz (ln(u)) = (arccot(u)) = −
Jacobiana u 1 + u2
|u| u
Derivada da
(e u ) = e u u (|u|) = u = u
Composta
u |u|
Impl´
ıcita
(au ) = au ln(a)u , a ∈ R {1} (cosh(u)) = sinh(u)u
Extremos
(u v ) = u v ln(u)v + vu v −1 u (sinh(u)) = cosh(u)u
16/1

17. AM2
Exerc´
ıcios
Derivadas
direcionais
Derivadas
Calcule
parciais
∂f ∂f
Derivadas de ∂x (1, 2) e ∂y (1, 2) onde f (x, y ) = x 2 y + 2e xy .
ordem superior
as derivadas parciais de f (x, y , z) = e x z + x sin(zy ) + zx.
T. Schwarz
∂f ∂f ∂f ∂f
Classe C k (A) ∂x (1, 1), ∂y (1, 1), ∂x (0, 0) e ∂y (0, 0) onde
Diferenciabil.
x 3 +y 3
Plano tang.
x 2 +y 2
se (x, y ) = (0, 0)
Diferencial
f (x, y ) =
0 se (x, y ) = (0, 0)
Gradiente
Matriz
Jacobiana
as derivadas parciais de f nos pontos (0,2) e (0,0) onde:
Derivada da
4
Composta
x 2 +y 2
se x 2 + y 2 > 4
f (x, y ) = y −2
Impl´
ıcita
e se x 2 + y 2 ≤ 4
Extremos
17/1

18. AM2
Derivadas de ordem superior `
a
Derivadas
direcionais
primeira
Derivadas
parciais Derivadas de 2a ordem... de 3a ordem...
Derivadas de
ordem superior Derivadas quadradas:
T. Schwarz
Classe C k (A) ∂2f ∂ ∂f
Diferenciabil. 2
=
∂x ∂x ∂x
Plano tang.
Diferencial
∂2f ∂ ∂f
2
=
Gradiente ∂y ∂y ∂y
Matriz
Jacobiana
Derivadas cruzadas:
Derivada da
Composta ∂2f ∂ ∂f
=
Impl´
ıcita ∂x∂y ∂y ∂x
Extremos
∂2f ∂ ∂f
=
∂y ∂x ∂x ∂y
18/1

19. AM2
Exerc´
ıcios
Derivadas
direcionais
Derivadas 1 Calcule as derivadas at´ ` 3a ordem das fun¸˜es:
ea co
parciais
Derivadas de
1 f (x, y ) = 5xy 3 + 2x 2 y 2
ordem superior 2 f (x, y ) = sin(x)y 5
T. Schwarz
2 Estude se para f (x, y ) = 16 − x 2 − y 2 e
Classe C k (A)
Diferenciabil.
g (x, y ) = x ln(x) + ye x se tem que
Plano tang. 2
∂f ∂2g ∂g
Diferencial (1, 1) − (1, 14) + (1, 1) = 0.
Gradiente ∂x ∂x∂y ∂x
Matriz x
Jacobiana
3 Verifique que para g (x, y ) = xye y se tem que
Derivada da
Composta
∂3g ∂3g
Impl´
ıcita
x +y =0
Extremos ∂x 3 ∂y ∂x 2
19/1

20. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais Teorema de Schwarz:
Derivadas de Seja f : Df ⊂ R2 −→ R, e (a, b) ∈ intDf tal que
ordem superior
∂f ∂f ∂2f
T. Schwarz ∂x , ∂y e ∂x∂y existem numa vizinhan¸a (bola) de (a, b);
c
k
Classe C (A) ∂2f
∂x∂y ´ cont´
e ınua em (a, b).
Diferenciabil.
Plano tang. Ent˜o
a
∂2f ∂2f
Diferencial (a, b) = (a, b).
Gradiente ∂y ∂x ∂x∂y
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
20/1

21. AM2
Exerc´
ıcios
Derivadas
direcionais 1 Confirme que o teorema se verifica no exerc´ anterior.
ıcio
Derivadas
parciais
2 Seja
Derivadas de
ordem superior xy (x 2 −y 2 )
x 2 +y 2
se (x, y ) = (0, 0)
T. Schwarz f (x, y ) =
0 se (x, y ) = (0, 0)
Classe C k (A)
Diferenciabil.
∂f ∂f
Plano tang. 1 Calcule ∂x (x, y ) e ∂y (x, y ).
2
Diferencial ∂ f ∂2f
2 Calcule ∂x∂y (0, 0) e ∂y ∂x (0, 0).
Gradiente
Matriz
3 Seja
Jacobiana xy 2
x 2 +y 2
se (x, y ) = (0, 0)
Derivada da f (x, y ) =
Composta 0 se (x, y ) = (0, 0)
Impl´
ıcita
∂f ∂f
Extremos 1 Calcule ∂x (x, y ) e ∂y (x, y ).
2
∂ f ∂2f
2 Calcule ∂x∂y (0, 0) e ∂y ∂x (0, 0).
21/1

22. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de Defini¸˜o
ca
ordem superior
T. Schwarz
Seja A um conjunto aberto contido no dom´ de f .
ınio
Classe C (A)k Uma fun¸˜o f diz-se de classe C k (k ∈ N0 )em A se e s´ se f
ca o
Diferenciabil. admite derivadas at´ ` ordem k (inclusive)em A cont´
ea ınuas e
Plano tang. escreve-se
Diferencial f ∈ C k (A)
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
22/1

23. AM2
Fun¸˜o (definida em R2 )
ca
Derivadas
direcionais
diferenci´vel
a
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Defini¸˜o (diferenci´vel)
ca a
Classe C k (A)
Diferenciabil. Seja f : Df ⊂ R2 −→ R e (a, b) ∈ intDf .
Plano tang. Diz-se que f ´ diferenci´vel em (a, b) se existem as suas
e a
Diferencial derivadas parciais (em x e em y ) neste ponto e se
Gradiente
∂f ∂f
Matriz f (a + h, b + k) − f (a, b) − ∂x (a, b)h − ∂y (a, b)k
Jacobiana lim √ =0
Derivada da
(h,k)→(0,0) h2 + k 2
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
23/1

24. AM2
Derivadas
direcionais Proposi¸˜o:
ca
Derivadas Se f e g s˜o fun¸˜es diferenci´veis ent˜o f + g , f − g , f × g ,
a co a a
parciais f
g , (g (x) = 0, ∀x) e f ◦ g s˜o diferenci´veis.
a a
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz Exemplos de fun¸˜es co
Classe C k (A) ´
DIFERENCIAVEIS no seu dom. ˜
NAO DIFERENCIAVEIS´
Diferenciabil.
• polin´mios
o • m´dulo (em 0)
o
Plano tang.
• fun¸. alg´bricas
c e • mantissa (n˜o ´ cont´
a e ınua)
Diferencial
• fun¸. trigonom´tricas
c e • por vezes as “uni˜es” nas
o
Gradiente
• fun¸. trigonom´tricas inversas
c e fun¸˜es def. por ramos
co
Matriz
Jacobiana • fun¸. logar´
c ıtmicas e exponenc. ...
Derivada da ...
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
24/1

25. AM2
Exerc´
ıcios
Derivadas
direcionais
Derivadas Estude a diferenciabilidade das seguintes fun¸˜es nos pontos
co
parciais
indicados:
Derivadas de
ordem superior
1 f (x, y ) = x 2 + y 2 no ponto (1, 2).
T. Schwarz
2 Seja
Classe C k (A) √
xy se xy > 0
Diferenciabil. f (x, y ) =
Plano tang.
0 se xy ≤ 0
Diferencial
no ponto (0, 0).
Gradiente
Matriz
3 Seja
Jacobiana x3
x 2 +y 2
se (x, y ) = (0, 0)
Derivada da f (x, y ) =
Composta 0 se (x, y ) = (0, 0)
Impl´
ıcita
Extremos
no ponto (0, 0).
25/1

26. AM2
Fun¸˜o escalar diferenci´vel
ca a
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
Defini¸˜o (diferenci´vel)
ca a
T. Schwarz
Classe C k (A)
Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e a ∈ intDf .
Diferenciabil.
Diz-se que f ´ diferenci´vel em a se existem as suas derivadas
e a
Plano tang. parciais neste ponto e se
Diferencial
∂f ∂f
Gradiente
f (a + h) − f (a) − ∂x1 (a)h1 − ... − ∂xn (a)hn
lim =0
Matriz (h1 ,...,hn )→(0,...,0) 2 2
Jacobiana h1 + ... + hn
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
26/1

27. AM2
Propriedades das fun¸˜es
co
Derivadas
direcionais
diferenci´veis
a
Derivadas Seja f : D ⊂ Rn −→ R, a ∈ intDf
parciais
Derivadas de
f diferenci´vel em a ⇒ f cont´
a ınua em a.
ordem superior f tem n − 1 der. parc. cont. em a
⇒ f dif. em a.
T. Schwarz existem todas as der. parc. na B a
Classe C k (A)
f ∈ C 1 (a) ⇒ f ´ diferenci´vel em a.
e a
Diferenciabil.
Plano tang.
f ´ diferenci´vel em a ⇒ f admite derivada segundo
e a
Diferencial
qualquer direc¸˜o em a.
ca
Gradiente ou seja,
Matriz
Jacobiana f n˜o ´ cont´
a e ınua em a ⇒ f n ´ diferenci´vel em a.
e a
Derivada da f tem n − 1 der. parc. cont. em a
Composta ⇒ f dif. em a.
existem todas as der. parc. em a
Impl´
ıcita
Extremos
f ∈ C 1 (a) ⇒ f ´ diferenci´vel em a.
e a
f n˜o admite derivada segundo alguma direc¸˜o em
a ca
a ⇒ f n˜o ´ diferenci´vel em a.
a e a
27/1

28. AM2
Exerc´
ıcios
Derivadas Estude a diferenciabilidade das seguintes fun¸˜es nos pontos
co
direcionais
indicados:
Derivadas
parciais
1 Seja
Derivadas de 2x−3y
ordem superior x+y se (x, y ) = (0, 0)
f (x, y ) =
T. Schwarz 0 se (x, y ) = (0, 0)
Classe C k (A)
no ponto (0, 0).
Diferenciabil.
Plano tang.
2 Seja
x4
Diferencial
x 2 +y 2
se (x, y ) = (0, 0)
f (x, y ) =
Gradiente 0 se (x, y ) = (0, 0)
Matriz
Jacobiana no ponto (0, 0).
Derivada da
Composta
3 Seja
y3
Impl´
ıcita
x 2 +y 2
se (x, y ) = (0, 0)
f (x, y ) =
Extremos
0 se (x, y ) = (0, 0)
no ponto (0, 0).
28/1

29. AM2
Plano tangente
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
29/1

30. AM2
Vamos procurar determinar o plano tangente ao gr´fico de
a
f :R 2 −→ R no ponto (a, b).
Derivadas
direcionais Equa¸˜o do plano que passa no ponto (a, b, c):
ca
Derivadas
parciais
A(x − a) + B(y − b) + C (z − c) = 0
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz Este plano vai passar no ponto (a, b, c) em que c = f (a, b), ou
Classe C (A)k seja,
Diferenciabil. A(x − a) + B(y − b) + C (z − f (a, b)) = 0
Plano tang.
Diferencial
A B
Gradiente z − f (a, b) = − (x − a) − (y − b)
C C
Matriz
Jacobiana A B
chamando λ1 = − C e λ2 = − C temos
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
z − f (a, b) = λ1 (x − a) + λ2 (y − b)
Extremos
30/1

31. AM2
Quando “cortamos” em y = b obtemos
Derivadas
direcionais z − f (a, b) = λ1 (x − a)
Derivadas
parciais
que ´ a recta tangente ao gr´fico de f que ´ paralela ao eixo
e a e
Derivadas de
∂f
ordem superior dos xx’s, portanto o seu declive ´ ∂x (a, b) = λ1 .
e
T. Schwarz Analogamente, quando “cortamos” em x = a obtemos
Classe C k (A)
Diferenciabil. z − f (a, b) = λ2 (y − b)
Plano tang.
Diferencial que ´ a recta tangente ao gr´fico de f que ´ paralela ao eixo
e a e
∂f
Gradiente dos yy’s, portanto o seu declive ´ ∂y (a, b) = λ2 . Assim, a
e
Matriz
Jacobiana
equa¸˜o ´
ca e
Derivada da
Composta ∂f ∂f
z − f (a, b) = (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b)
Impl´
ıcita ∂x ∂y
Extremos
31/1

32. AM2
Derivadas Resumindo:
direcionais
A equa¸˜o do plano tangente ao gr´fico de f no ponto
ca a
Derivadas
parciais (a, b, f (a, b)) ´:
e
Derivadas de
ordem superior ∂f ∂f
T. Schwarz z − f (a, b) = (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b)
∂x ∂y
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang. Exerc´
ıcio: Determine o plano tangente:
Diferencial
1 ao gr´fico da fun¸˜o f (x, y ) = 2x 2 + y 2 em P=(1,1,3).
a ca
Gradiente
Matriz
2 ` superf´ de equa¸˜o z − 2x 2 − 4y 2 = 0 em P=(1,2,18).
a ıcie ca
Jacobiana
Derivada da
3 ` superf´ de equa¸˜o z = 1 − x 2 em P=(0,0,1). (ver
a ıcie ca
Composta fig.)
Impl´
ıcita
Extremos
32/1

33. AM2 Nota: Repare que se f ´ diferenci´vel no ponto (a, b)
e a
∂f ∂f
Derivadas f (a + h, b + k) − f (a, b) − ∂x (a, b)h − ∂y (a, b)k
direcionais lim √ =0
Derivadas
(h,k)→(0,0) h2 + k 2
parciais √
Derivadas de
como lim(h,k)→(0,0) h2 + k 2 = 0 tem-se que (ainda com
ordem superior
“mais for¸a”)
c
T. Schwarz
Classe C k (A)
∂f ∂f
Diferenciabil. lim f (a + h, b + k) − f (a, b) − (a, b)h − (a, b)k = 0
Plano tang.
(h,k)→(0,0) ∂x ∂y
Diferencial donde, para h e k pequenos
Gradiente
Matriz
Jacobiana ∂f ∂f
f (a + h, b + k) − f (a, b) − (a, b)h − (a, b)k ≈ 0
Derivada da ∂x ∂y
Composta
Impl´
ıcita ou seja:
Extremos ∂f ∂f
f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) + (a, b)h + (a, b)k
∂x ∂y
33/1

34. AM2
Derivadas
direcionais ∂f ∂f
f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) + (a, b)h + (a, b)k
Derivadas
parciais
∂x ∂y
Derivadas de fazendo x = a + h e y = b + k
ordem superior
tem-se, para (x, y ) pr´ximos de (a, b), que
o
T. Schwarz
Classe C k (A)
∂f ∂f
Diferenciabil. f (x, y ) ≈ f (a, b) + (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b)
∂x ∂y
Plano tang.
Diferencial Ou seja, f (x, y ) ´ aproximadamente igual ao plano tangente
e
Gradiente
para (x, y ) pr´ximos de (a, b).
o
Matriz
Jacobiana Portanto podemos usar o plano tangente como uma
Derivada da aproxima¸˜o (por um polin´mio de grau 1) ao gr´fico de f
ca o a
Composta
numa vizinhan¸a (bola) do ponto.
c
Impl´
ıcita
Extremos
34/1

35. AM2
Diferencial
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior Se f ´ diferenci´vel em (a, b)
e a
T. Schwarz
Classe C k (A)
∂f ∂f
Diferenciabil. f (x, y ) − f (a, b) ≈ (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b)
Plano tang.
∂x ∂y
Diferencial ∆f (a,b)→diferencial de f no ponto (a,b)
Gradiente
Matriz para x “pr´ximo” de a
o
Jacobiana
e y “pr´ximo” de b.
o
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
35/1

36. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
36/1

37. AM2
Derivadas
direcionais
Exerc´
ıcios
Derivadas
parciais 1 Calcule um valor aproximado de e 1.1×0.9 .
Derivadas de
ordem superior 2 Calcule um valor aproximado de 9 × (1.95)2 + (8.01)2 .
T. Schwarz 3 Seja g ∈ C 1 (R2 ) tal que
Classe C k (A)
Diferenciabil. x=2.00 x=2.01
Plano tang. y=3.00 7.56 7.42
Diferencial y=3.02 7.61
Gradiente
Calcule o valor em falta. (Sugest˜o: use estimativas para
a
Matriz ∂g
Jacobiana
∂x (2, 3))
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
37/1

38. AM2
O gradiente
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais Defini¸˜o
ca
Derivadas de
ordem superior Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e a ∈ intDf . Define-se o gradiente de
T. Schwarz f no ponto a por:
Classe C k (A)
Diferenciabil. ∂f ∂f
f (a) = (a), · · · , (a)
Plano tang. ∂x1 ∂xn
Diferencial
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Exerc´
ıcio: Calcule f (1, 2) onde f (x, y ) = y ln(x) + xy 2 .
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
http://www.slu.edu/classes/maymk/banchoff/GradientContours.html
Extremos
38/1

39. AM2
Aplica¸˜o do gradiente: derivada
ca
Derivadas
direcionais
segundo a dire¸˜o de v
ca
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Classe C k (A)
Proposi¸˜o
ca
Diferenciabil. Se f : Df ⊂ Rn −→ R ´ diferenci´vel em a ∈ int(D) e v ´ um
e a e
Plano tang. vector de Rn ent˜o a derivada de f segundo a dire¸˜o de v
a ca
Diferencial ´ dada por
e
Gradiente fv (a) = f (a)|v
Matriz
Jacobiana onde | significa produto interno.
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
39/1

40. AM2
Exerc´
ıcios:
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Calcule:
Derivadas de 1 A derivada de f (x, y ) = x 2 e −2y no ponto A = (2, 0),
ordem superior
segundo o vector v = (1, 2).
T. Schwarz
Classe C k (A)
2 A derivada direccional de f (x, y ) = x 3 + xy segundo o
Diferenciabil. vector v = (1, 3) no ponto (1, 2).
Plano tang. 3 A derivada de f (x, y ) = 3x 2 − 2y 2 no ponto A = (−2, 1),
Diferencial na direc¸˜o de P = − 3 , 0 para Q = (0, 1).
ca 4
Gradiente
4 Determine a taxa de varia¸˜o de
ca
Matriz
Jacobiana
Derivada da f (x, y ) = 2x 2 + 3xy − 2y 2
Composta
Impl´
ıcita
no ponto (1, −2) na direc¸˜o do ponto dado ` origem.
ca a
Extremos
40/1

41. AM2 Nota: Se o vector v ´ unit´rio (tem norma 1), a derivada
e a
direccional de f no ponto a segundo a direc¸˜o do vector v :
ca
Derivadas
direcionais
fv (a) = f (a)|v = f (a) v cos(α) = f (a) cos(α)
Derivadas
parciais onde α ´ o menor ˆngulo formado pelos vectores f (a) e v .
e a
Derivadas de Ent˜o:
a
ordem superior
fv (a) ´ nula quando v e f (a) s˜o perpendiculares, ou
e a
T. Schwarz
Classe C k (A)
seja, o vector gradiente ´ perpendicular `s linhas de
e a
Diferenciabil.
n´ıvel.
Plano tang.
fv (a) ´ m´xima quando α = 0, ou seja, quando f (a) e
e a
Diferencial v s˜o dois vectores com a mesma direc¸˜o e sentido, e o
a ca
Gradiente seu valor ´
e f (a) . Assim a direc¸˜o de crescimento
ca
Matriz
Jacobiana m´ximo de f ´ dada por f (a).
a e
Derivada da fv (a) ´ m´
e ınima quando α = π, ou seja, quando f (a) e
Composta
v s˜o dois vectores com a mesma direc¸˜o e sentidos
a ca
Impl´
ıcita
Extremos contr´rios, e o seu valor ´ −
a e f (a) . Assim a direc¸˜o
ca
de crescimento m´ ınimo (m´ximo negativo) de f ´
a e
dada por − f (a).
41/1

42. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
42/1

43. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
43/1

44. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
44/1

45. AM2
Exerc´
ıcios I
Derivadas
direcionais
Derivadas 1 Seja f (x, y ) = 2x 2 y + e xy uma fun¸˜o diferenci´vel no seu
ca a
parciais
dom´ınio.
Derivadas de
ordem superior
1 Determine o gradiente de f no ponto (1,0) e represente-o
T. Schwarz graficamente.
Classe C k (A) 2 Calcule f(1,1) (1, 0).
Diferenciabil.
3 Determinar um vector unit´rio u de modo que
a
Plano tang. fu (−1, 0) = 1 .
2
Diferencial 4 Qual o valor m´ximo da derivada direccional de f no ponto
a
Gradiente (1, 1)?
Matriz 2 +y
Jacobiana 2 Considere o campo escalar f (x, y ) = e x − 2xy .
Derivada da
Composta 1 Calcule as fun¸˜es derivadas parciais de primeira ordem de
co
Impl´
ıcita f e justifique que f ∈ C 1 (R2 ).
Extremos 2 Determine os vectores segundo o qual a taxa de varia¸˜o
ca
de f no ponto (1,-1) ´ nula.
e
45/1

46. AM2
Exerc´
ıcios II
Derivadas
direcionais
3 Numa placa semi-circular x 2 + y 2 ≤ 4, com x ≥ 0 a
Derivadas
temperatura ´ dada pela lei
e
parciais
Derivadas de T (x, y ) = 3yx 2 − x 3 + 60
ordem superior
T. Schwarz
Determine um vector no ponto P = (1, 1) tangente `
a
Classe C k (A)
Diferenciabil.
isot´rmica que passa nesse ponto.
e
Plano tang. 4 Considere o campo escalar definido em R2 por
Diferencial
Gradiente f (x, y ) = x 2 e −2y
Matriz
Jacobiana
e o ponto P = (−2, 0). Determine
Derivada da
Composta 1 A dire¸˜o segundo a qual a fun¸˜o cresce mais
ca ca
Impl´
ıcita rapidamente em P.
Extremos 2 O valor m´ximo da derivada direcional no ponto P.
a
3 A dire¸˜o segundo a qual fv (2, 0) = 0
ca
46/1

47. AM2
Derivada segundo a dire¸˜o de v
ca
Derivadas
direcionais
para fun¸oes vectoriais
c˜
Derivadas Seja f : Df ⊂ Rn −→ Rm e a ∈ intDf onde
parciais
f (x1 , ...xn ) = (f1 (x1 , ...xn ), ..., fm (x1 , ...xn ))
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz Para fun¸˜es vectoriais temos que
co
Classe C k (A)
fv (a) = f1 v (a), ..., fm v (a)
Diferenciabil.
Plano tang. ou seja, se cada uma das fun¸˜es componentes for diferenci´vel
co a
Diferencial fv (a) =
Gradiente
∂f1 ∂f1 ∂fm ∂fm
∂x1 (a).v1 + ... + ∂xn (a).vn , . . . , ∂x1 (a).v1 + ... + ∂xn (a).vn
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Matricialmente:
Impl´
ıcita  ∂f1 ∂f1 
Extremos ∂x1 (a) ... ∂xn (a) v1
. . .  . 
fv (a) =  . . .  . 

. . . .
∂fm ∂fm vn
∂x1 (a) . . . ∂xn (a)
47/1

48. AM2
Jacobiana e Jacobiano
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Defini¸˜o
ca
Derivadas de
ordem superior
Chama-se matriz Jacobiana de f em a a
T. Schwarz
 ∂f1 ∂f1 
∂x1 (a) . . . ∂xn (a)
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Jf (a) = 
 .
. .
. .
. 
Plano tang.
. . . 
∂fm ∂fm
Diferencial ∂x1 (a) . . . ∂xn (a)
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta Se m = n, o determinante da matriz Jacobiana pode ser
Impl´
ıcita calculado e chama-se o Jacobiano.
Extremos
48/1

49. AM2
Exerc´
ıcios
Derivadas
direcionais
√
Derivadas
parciais
1 Seja f (x, y ) = ln(4 − x 2 − y 2 , y − x calcule a matriz
Derivadas de Jacobiana de f no ponto (0, 1) e verifique que o Jacobiano
ordem superior
nesse ponto ´ − 1 .
e 3
T. Schwarz
Classe C k (A)
2 Considere a fun¸˜o vectorial f : Df ⊂ R2 −→ R2 cujas
ca
Diferenciabil. fun¸˜es componentes s˜o
co a
Plano tang.
2x
Diferencial f1 (x, y ) =
Gradiente
y −2
Matriz
Jacobiana
e
Derivada da
f2 (x, y ) = ln(y − x + 2)
Composta
Impl´
ıcita calcule a derivada parcial de f segundo o vector (0, 1) no
Extremos ponto (1, 1).
49/1

50. AM2
Revis˜o (em R)
a
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
[sen(x 2 )] = cos(x 2 ).2x
T. Schwarz
Classe C k (A) pois
Diferenciabil. [f (g (x))] = f (g (x)).g (x)
Plano tang.
Diferencial ou seja, num ponto a
Gradiente
Matriz [f (g (x))] (a) = f (g (a)).g (a)
Jacobiana
Derivada da desde que f seja diferenci´vel em g (a) e g em a.
a
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
50/1

51. AM2
Regra da Cadeia- vers˜o 1
a
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Sejam
Derivadas de g : Dg ⊂ Rn −→ Rp
ordem superior
T. Schwarz e
Classe C (A)k f : Df ⊂ Rp −→ Rm
Diferenciabil.
duas fun¸˜es vectoriais.
co
Plano tang.
Se g ´ diferenci´vel em a ∈ intDg e
e a
Diferencial
Gradiente
e f ´ diferenci´vel em g (a) ∈ intDf
e a
Matriz
ent˜o
a
Jacobiana h = f ◦ g : Dh ⊂ Rn −→ Rm ´ diferenci´vel em a e tem-se:
e a
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita Jh (a) = Jf (g (a)) × Jg (a)
Extremos
51/1

52. AM2
Exerc´
ıcios
Derivadas
direcionais
1 Sejam
Derivadas
parciais f (x, y , z) = (xy , yz)
Derivadas de
ordem superior e
T. Schwarz g (u, v ) = (2u + v 2 , 3u 2 − v ).
k
Classe C (A)
Diferenciabil. Sendo h = g ◦ f calcule Jh (0, 1, 0).
Plano tang.
Diferencial 2 Sejam
Gradiente
f (x, y , z) = (x 2 + y 2 , y 2 + z 2 )
Matriz
Jacobiana
e
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
g (u, v , w , s) = (2uw + (sv )2 , 3su 2 − vw , uvws).
Extremos
Sendo h = f ◦ g calcule Jh (0, 1, 1, 0).
52/1

53. AM2
Regra da cadeia- vers˜o 2
a
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de Suponhamos que f (x, y ) ´ uma fun¸˜o diferenci´vel e que
e ca a
ordem superior
x = x(u, v ) e y = y (u, v ) s˜o duas fun¸˜es diferenci´veis,
a co a
T. Schwarz
ent˜o g (u, v ) = f (x(u, v ), y (u, v )) ´ uma fun¸˜o diferenci´vel
a e ca a
Classe C k (A)
de u e v , tendo-se
Diferenciabil.
Plano tang. ∂g ∂f ∂x ∂f ∂y
Diferencial = (x(u, v ), y (u, v )). (u, v )+ (x(u, v ), y (u, v )). (u, v
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u
Gradiente
Matriz ∂g ∂f ∂x ∂f ∂y
Jacobiana = (x(u, v ), y (u, v )). (u, v )+ (x(u, v ), y (u, v )). (u, v
Derivada da
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
53/1

54. AM2
Exerc´
ıcios: I
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais 1 Sejam f (u, v ) = u 3 + uv
Derivadas de
ordem superior com u(x, y ) = xy 2 e v (x, y ) = x sin(y ),
∂f ∂f
T. Schwarz calcule ∂x (x, y ) e ∂y (x, y ) (pelos dois m´todos).
e
Classe C k (A)
Diferenciabil.
2 u(x, y , z) = x + 2y + 3z com
Plano tang. 1
x(t) = t 2 − 2t, y (t) = cos(1 − t) e z(t) = t2
.
Diferencial
Gradiente
Calcule ∂u para t = 1.
∂t
Matriz
Jacobiana
3 Sejam f (u, v ) = u 2 v 3
Derivada da
Composta com u(x, y ) = x + y e v (x, y ) = x 2 − y 2 ,
∂f ∂f
Impl´
ıcita calcule ∂x (x, y ) e ∂y (x, y ).
Extremos
54/1

55. AM2
Exerc´
ıcios: II
Derivadas 4 Verifique que a fun¸˜o
ca
direcionais
Derivadas
parciais x
z = xy + xϕ
Derivadas de y
ordem superior
T. Schwarz satisfaz a equa¸˜o
ca
Classe C k (A)
Diferenciabil. ∂z ∂z
x +y = xy + z
Plano tang. ∂x ∂y
Diferencial
Gradiente 5 Seja f uma fun¸˜o diferenci´vel. Prove que
ca a
Matriz
Jacobiana
z = xy + f (x 2 + y 2 )
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
satisfaz a equa¸˜o
ca
Extremos
∂z ∂z
y −x = y2 − x2
∂x ∂y
55/1

56. AM2
Exerc´
ıcios: III
Derivadas
6 Seja h : IR 2 −→ R uma fun¸˜o de classe C 1 (R2 ) e
ca
direcionais
Derivadas g (s, t) = h(s 2 − t 2 , t 2 − s 2 ).
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz 1 Mostre que
k ∂g ∂g
Classe C (A) t
+s =0
Diferenciabil.
∂s ∂t
Plano tang. 2 Supondo que Jh (3, −3) = [2 5] calcule Jg (2, 1).
Diferencial 7 Seja f uma fun¸˜o real de vari´vel real continuamente
ca a
Gradiente
diferenci´vel at´ pelo menos ` 2a ordem e seja
a e a
Matriz
Jacobiana
Derivada da
u = xy + f (z)
Composta
y
Impl´
ıcita com z = x2
e x = 0. Mostre que
Extremos
∂2u 1 ∂2f
= 4 2.
∂y 2 x ∂z
56/1

57. AM2
Exerc´
ıcios: IV
Derivadas 8 Sabendo que
direcionais
Derivadas
parciais y2 1
ϕ(x, y ) = +θ + ln(y )
Derivadas de 2 x
ordem superior
T. Schwarz
onde ϕ e θ s˜o fun¸˜es de classe C 2 , no respectivo
a co
Classe C k (A)
dom´ınio, mostrar que:
Diferenciabil.
Plano tang.
1 ∂2ϕ 1 ∂2ϕ 2 ∂ϕ
Diferencial 2 ∂y ∂x
+ 2
+ =0
x y ∂x xy ∂x
Gradiente
Matriz
Jacobiana 9 Seja F : IR 2 −→ R3 uma fun¸˜o diferenci´vel tal que
ca
  a
Derivada da 1 0
Composta
F (0, 1) = (1, 1, 0), JF (0, 1) =  0 1  e
Impl´
ıcita
1 0
Extremos
G (u, v , w ) = ue vw + uvw .
Calcule (G ◦ F ) (0, 1)
57/1

58. AM2
Exerc´
ıcios: V
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
10 Considere f : IR 2 −→ R uma fun¸˜o diferenci´vel tal que
ca a
T. Schwarz f (u, 0) = 0 e f (0, v ) = v , ∀u, v ∈ R e
Classe C k (A)
Diferenciabil. g (x, y ) = (x 2 − x − y , y 2 − x − y )
Plano tang.
Diferencial
Gradiente 1 Mostre que h = f ◦ g ´ diferenci´vel em R2
e a
Matriz 2 Calcule Jh (2, 2).
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
58/1

59. AM2
Derivadas
direcionais
Teorema da Fun¸˜o Impl´
ca ıcita (TFI)
Derivadas
Consideremos x ∈ Rn , u ∈ R, a equa¸˜o F (x, u) = 0 e A um
ca
parciais
conjunto aberto que cont´m (x0 , u0 ). Se
e
Derivadas de
ordem superior F (x0 , u0 ) = 0
T. Schwarz
F ∈ C 1 (A)[as der. parciais de F s˜o cont´
a ınuas em A]
Classe C k (A)
∂F
Diferenciabil. ∂u (x0 , u0 ) =0
Plano tang. Ent˜o, numa vizinhan¸a V de x0 , u = u(x), u ∈ C 1 (V ) tal que
a c
Diferencial u0 = u(x0 ) e F (x, u(x)) = 0.
Gradiente Al´m disso,
e
∂F
∂u ∂x (x0 , u0 )
Matriz
Jacobiana (x0 ) = − ∂Fi
Derivada da ∂xi ∂u (x0 , u0 )
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
59/1

60. AM2
Exerc´
ıcios
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
1 Mostre que a equa¸˜o x 2 z + 3xz 2 = 4xy define
ca
Derivadas de
x = φ(y , z) numa vizinhan¸a do ponto (0, 1, 0). Calcule
c
∂x
ordem superior
∂y (1, 0).
T. Schwarz
2 Determine para que valores de k a equa¸˜o
ca
Classe C k (A)
x 2 + yz + z 2 + xz = 7 define z = φ(x, y ) numa vizinhan¸a
c
Diferenciabil.
∂z
Plano tang.
do ponto (2, 0, k). Calcule ∂y (2, 0).
Diferencial 3 Mostre que a equa¸˜o x 2 + y 2 e xy = 1 define
ca
Gradiente implicitamente y como fun¸˜o de x, y = φ(x), na
ca
Matriz
Jacobiana
vizinhan¸a do ponto (0, 1).
c
Derivada da 4 Seja h(x, y ) = xy + cos(x). Mostre que a equa¸˜o
ca
Composta
h(x, y ) = π define localmente y = φ(x) numa vizinhan¸a
2 c
Impl´
ıcita
π ∂y π
Extremos
do ponto 2 , 1 . Determine ∂x 2 .
60/1

61. AM2
Vimos atr´s que para uma fun¸˜o z = f (x, y ) diferenci´vel em
a ca a
(a, b) existe um plano tangente definido pela equa¸˜o
ca
Derivadas
direcionais
∂f ∂f
Derivadas z − f (a, b) = (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b)
parciais ∂x ∂y
Derivadas de
ordem superior Consideremos que se tem uma equa¸˜o
ca
T. Schwarz
Classe C k (A) F (x, y , z) = 0
Diferenciabil.
Plano tang. que define implicitamente z como fun¸˜o de x e y na
ca
Diferencial vizinhan¸a de um ponto (a, b, c) ent˜o,
c a
Gradiente
∂F
∂f ∂x (a, b, c)
Matriz
Jacobiana
(a, b) = − ∂F
Derivada da ∂x ∂z (a, b, c)
Composta
Impl´
ıcita
e
∂F
Extremos
∂f ∂y (a, b, c)
(a, b) = − ∂F .
∂y ∂z (a, b, c)
61/1

62. AM2
Substituindo na equa¸˜o do plano tangente:
ca
∂F ∂F
Derivadas ∂x (a, b, c) ∂y (a, b, c)
direcionais z − f (a, b) = − ∂F (x − a) − ∂F
(y − b)
∂z (a, b, c) ∂z (a, b, c)
Derivadas
parciais
∂F ∂F
∂x (a, b, c) ∂y (a, b, c)
Derivadas de
ordem superior
∂F
(x − a) + ∂F
(y − b) + z − c = 0
∂z (a, b, c) ∂z (a, b, c)
T. Schwarz
Classe C k (A)
Diferenciabil.
∂F ∂F ∂F
Plano tang. (a, b, c)(x − a) + (a, b, c)(y − b) + (a, b, c)(z − c) = 0
Diferencial
∂x ∂y ∂z
Gradiente
Matriz
Jacobiana ∂F ∂F ∂F
Derivada da
(a, b, c), (a, b, c), (a, b, c) |(x −a, y −b, z −c) = 0
Composta
∂x ∂y ∂z
Impl´
ıcita
Extremos
F (a, b, c)|(P − P0 ) = 0,
com P = (x, y , z) e P0 = (a, b, c).
62/1

63. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de Portanto o plano tangente ´ o conjunto dos pontos
e
ordem superior
P = (x, y , z) que definem com P0 = (a, b, c) vectores P − P0
T. Schwarz
perpendiculares ao vector gradiente.
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Nota: O vector gradiente ´ perpendicular ao plano tangente ao
e
Diferencial
gr´fico.
a
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
63/1

64. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
A recta normal ` superf´ de equa¸˜o F (x, y , x) = 0 no
a ıcie ca
parciais ponto P0 = (a, b, c) tem, portanto a direc¸˜o do vector
ca
Derivadas de
ordem superior
gradiente , pelo que ´ definida pelas seguintes equa¸˜es:
e co
T. Schwarz  ∂F
Classe C k (A)  x-a=λ ∂x (a, b, c)



Diferenciabil. 
Plano tang. y-b=λ ∂F (a, b, c),
∂y λ∈R


Diferencial 

z-c=λ ∂F (a, b, c)

Gradiente
∂z
Matriz
Jacobiana (equa¸˜o param´trica da recta normal ` superf´
ca e a ıcie)
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
64/1

65. AM2
Exerc´
ıcios
Derivadas
direcionais 1 Considere a superf´ de equa¸˜o x 2 + y 2 − z 2 = 6 e o
ıcie ca
Derivadas ponto P = (3, −1, 2).
parciais
Derivadas de
1 Determine a equa¸˜o do plano tangente ` superf´ em P.
ca a ıcie
ordem superior 2 Determine a equa¸˜o da recta normal ` superf´ em P.
ca a ıcie
T. Schwarz
2 Considere a equa¸˜o
ca
Classe C k (A)
Diferenciabil. π
xyz sin(xyz) − = 0.
Plano tang. 2
Diferencial
Gradiente 1 Verifique que a equa¸˜o dada define implicitamente uma
ca
Matriz fun¸˜o z = φ(x, y ) numa vizinhan¸a de P = (1, 1, π ).
ca c 2
Jacobiana
2 Determine a equa¸˜o do plano tangente ` superf´
ca a ıcie no
Derivada da
Composta ponto P.
Impl´
ıcita 3 Determine a equa¸˜o da recta normal ` superf´
ca a ıcie no
Extremos ponto P.
4 Calcule um valor aproximado de z = φ(1.2, 0.9)
considerando π ≈ 1.57.
2
65/1

66. AM2
Extremos
Derivadas
direcionais Defini¸˜o:
ca
Derivadas
parciais
Seja f : Df ⊆ Rn −→ R e a ∈ Df
Derivadas de
f (a) ´ um m´ximo relativo ou local de f se existe uma
e a
ordem superior vizinhan¸a V (a) tal que
c
T. Schwarz
Classe C k (A) f (a) ≥ f (x) ∀x ∈ Df ∩ V (a).
Diferenciabil.
Plano tang. f (a) ´ um m´
e ınimo relativo ou local de f se existe uma
Diferencial vizinhan¸a V (a) tal que
c
Gradiente
Matriz f (a) ≤ f (x) ∀x ∈ Df ∩ V (a).
Jacobiana
Derivada da
Composta O maior dos m´ximos relativos ´ o m´ximo absoluto.
a e a
Impl´
ıcita O menor dos m´ınimos relativos ´ o m´
e ınimo absoluto.
Extremos Chamam-se extremos aos m´ximos e aos m´
a ınimos de f .
A a chama-se ponto maximizante (minimizante)de f .
66/1

67. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas Chamam-se pontos cr´ ıticos ou pontos de estacionaridade
parciais
aos pontos que verificam o sistema:
Derivadas de
ordem superior  ∂f
T. Schwarz  ∂x1 = 0

Classe C k (A)
.
.
Diferenciabil.
 ∂f .
∂xn = 0

Plano tang.
Diferencial
Gradiente Os extremos encontram-se entre os pontos cr´ıticos.
Matriz
Jacobiana
Os pontos cr´
ıticos que n˜o s˜o extremos s˜o pontos de sela.
a a a
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
67/1

68. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
68/1

69. AM2
Derivadas
direcionais
A matriz Hesseana de f ´:
e
Derivadas
parciais
∂2f ∂2f
∂x 2 ∂x∂y
Derivadas de
ordem superior
Hf = ∂2f ∂2f
∂y ∂x ∂y 2
T. Schwarz
Classe C k (A)
∂2f
Diferenciabil.
Sejam ∆1 = ∂x 2
, ∆2 = det(Hf ) , ent˜o:
a
Plano tang. ∆2 > 0, ∆1 > 0, → M´
ınimo local.
Diferencial
∆2 > 0, ∆1 < 0, → M´ximo local.
a
Gradiente
∆2 < 0 → Ponto de sela.
Matriz
Jacobiana
∆2 = 0 → Nada se conclui.
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Extremos
69/1

70. AM2
Exerc´
ıcios I
Derivadas
direcionais
Derivadas
Calcule e classifique os extremos de
parciais
1 f (x, y ) = y 2 − x 2 .
Derivadas de
2 +4y 2
ordem superior 2 f (x, y ) = e −x .
T. Schwarz
Classe C k (A)
3 f (x, y ) = (x − y )2 − x 4 − y 4 .
Diferenciabil. 4 f (x, y ) = y + x sin y (dif).
Plano tang. 5 f (x, y ) = 3x 2 − y 2 .
Diferencial
y3 x3 7
Gradiente
6 f (x, y ) = 3 + 12y − 4x + 3 − 2 y 2 + 4.
Matriz 7 f (x, y ) = x2 + y 2 + x 2 y + 4.
Jacobiana
Derivada da 8 f (x, y ) = 4xy − 2x 2 − y 4 .
Composta
Impl´
ıcita
9 f (x, y ) = xy 2 + x 2 + y 2 .
Extremos 10 f (x, y ) = x 3 + 3x 2 − 9x + y 3 + 3y 2 .
70/1

71. AM2
Exerc´
ıcios II
Derivadas
direcionais 1 Uma empresa produz dois produtos que s˜o vendidos em
a
Derivadas
parciais
dois mercados diferentes. As quantidades q1 e q2 pedidas
Derivadas de
pelos consumidores e os pre¸os de cada produto est˜o
c a
ordem superior
relacionados. O lucro total da produ¸˜o ´ dado por
ca e
T. Schwarz 2 2
L = −10 + 5q1 − q1 + 20q2 − 2q2 − 3q1 q2 . Determine a
Classe C k (A)
quantidade a produzir de cada produto de modo a
Diferenciabil.
maximizar o lucro.
Plano tang.
Diferencial
2 Um m´ tem um controlo remoto que ´ sens´ `
ıssil e ıvel a
Gradiente temperatura e ` humidade. O alcance sobre o qual o
a
Matriz m´ pode ser controlado ´ dado, em km, por:
ıssil e
Jacobiana
Derivada da
Composta A(h, t) = 27800 − 5t 2 − 6ht − 3h2 + 400t + 300h
Impl´
ıcita
Extremos Quais s˜o as condi¸˜es atmosf´ricas optimais para
a co e
controlar o m´
ıssil?
71/1

72. AM2
Exerc´
ıcios III
Derivadas
direcionais 3 Suponha que pretende transportar 2m3 de parafusos em
Derivadas
parciais
caixas como a da figura, com largura l, comprimento c e
Derivadas de
altura fixa 0.5m. Suponha que os lados da caixa custam a
ordem superior
10e/m2 e o fundo a 20e/m2 . O custo de transportar
T. Schwarz
uma caixa ´ de 3. Qual a largura e o comprimento das
e
Classe C k (A)
caixas a comprar de modo a minimizar os custos?
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Gradiente
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Determine apenas o sistema que teria que utilizar para
Impl´
ıcita
Extremos
resolver o problema. (Como o sistema n˜o ´ linear n˜o ´
a e a e
f´cil encontrar a solu¸˜o.)
a ca
72/1

73. AM2
Exerc´
ıcios IV
Derivadas
direcionais
Derivadas
4 Determine os valores extremos da fun¸˜o ca
parciais f (x, y , x) = x − 2y + 2z 2 sobre a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.
Derivadas de
ordem superior 5 Dado um paralelep´
ıpedo de lados x,y e z, determine o que
T. Schwarz tem maior volume entre os que x+y+z=10.
Classe C k (A)
6 Qual o rectˆngulo de maior ´rea inscrito na elipse
a a
Diferenciabil.
2x 2 + 3y 2 = 1.
Plano tang.
Diferencial
7 Determine a distˆncia m´xima e m´
a a ınima do ponto (1, 1) `
a
Gradiente par´bola y = x 2 + 1.
a
Matriz
Jacobiana
8 Determine a distˆncia m´xima e m´
a a ınima da origem ` curva
a
Derivada da
5x 2 + 6xy + 5y 2 = 8.
Composta
9 Determine a distˆncia m´xima e m´
a a ınima da origem ` curva
a
Impl´
ıcita
2x 2 + 3y 2 = 1.
Extremos
73/1

74. AM2
Derivadas
direcionais
Derivadas
parciais
Derivadas de
ordem superior
T. Schwarz
Classe C k (A)
Diferenciabil.
Plano tang.
Diferencial
Autora:
Gradiente
Sandra Gaspar Martins
Matriz
Jacobiana
Derivada da
Composta
Impl´
ıcita
Com base no trabalho de:
Extremos Nuno David Lopes
e
Cristina Janu´rio
a
74/1