2. Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel

3. Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan Linear dengan Tiga Variabel
Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga peubah
x,y, dan z dapat dituliskan sebagai berikut :
ax + by + cz = d atau a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h a2x + b2y + c2z = d2
ix + jy + kz = l a3x + b3y + c3z = d3
dengan a, b, c, e, f, g, h, I, j, k, dan l atau
a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3
merupakan bilangan real .
Himpunan penyelesaian sistem linear tiga peubah dapat
ditentukan dengan beberapa cara sebagai berikut :
1. Metode Substitusi
2. Metode Eliminasi

4. Sistem Persamaan Linier
Metode Substitusi
Langkah – langkah penyelesaian sistem persamaan linear tiga
peubah dgn menggunakan metode substitusi adalah sebagai
berikut :
Langkah 1 :
Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan
x sebagai fungsi y dan z atau y sebagai fungsi x dan z, atau z
sebagai fungsi x dan y
Langkah 2 :
Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke
dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat sistem
persamaan linear dua peubah
Langkah 3 :
Selesaikan sistem persamaan linear dua peubah yang diperoleh
pada langkah 2

5. Sistem Persamaan Linier
Contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan linear
berikut x – 2y + z = 6
3x + y + 2z = 4
7x – 6y – z = 10
Dari persamaan x – 2y + z = 6 x = 2y – z + 6.
Peubah x ini disubstitusikan ke persamaan 3x + y -2z = 4 dan 7x –
6y – z = 10 diperoleh :
3(2y – z + 6) + y – 2z = 4
6y – 3z + 18 + y – 2z = 4
7y – 5z = –14 (1)
7(2y – z + 6) – 6y – z = 10
14y – 7z + 42 – 6y – z = 10
8y – 8z = – 32
y–z=–4 (2)

6. Sistem Persamaan Linier
Persamaan 1dan 2 membentuk sistem persamaan linear dua peubah y dan z:
7y – 5z = –14 dari persamaan y – z = – 4
y=z–4
y – z = –4
Peubah y disubstitusikan ke persamaan 7y -5z = –14, diperoleh :
7 (z – 4) – 5z = –14
7z – 28 – 5z = – 14
2z = 14
z=7
Substitusikan nilai z = 7 ke persamaan y = z – 4, diperoleh
y=7–4=3
Substitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke persamaan x = 2y – z + 6, diperoleh
x = 2(3) – 7 + 6 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
x=6–7+6 {(5, 3, 7)}
x=5

7. Sistem Persamaan Linier
Metode Eliminasi
Langkah – langkah penyelesaian sistem persamaan linear
tiga peubah dengan menggunakan metode eliminasi adalah
:
Langkah 1:
Eliminasi salah satu peubah x atau y atau z sehingga diperoleh
sistem persamaan linear dua peubah
Langkah 2:
Selesaikan sistem persamaan linear dua peubah yang didapat
pada langkah 1
Langkah 3:
Substitusikan nilai – nilai dua peubah yang diperoleh pada
langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk
mendapatkan nilai peubah yang lainnya.

8. Sistem Persamaan Linier
Contoh : Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear :
2x – y + z = 6
x – 3y + z = –2
x + 2y – z = 3
Eliminasi peubah z:
Dari persamaan pertama dan kedua: Dari persamaan kedua dan ketiga:
2x – y + z = 6 x – 3y + z = –2
x – 3y + z = –2 x + 2y – z = 3
x + 2y = 8 (4) 2x – y = 1 (5)
Persamaan 4 dan 5 membentuk sistem persamaan linear dua peubah x dan y
x + 2y = 8 Eliminasi peubah y:
2x – y = 1 x + 2y = 8 X1 x + 2y = 8
2x – y =1 X2 4x – 2y = 2
5x = 10
x=2

9. Sistem Persamaan Linier
Eliminasi peubah x:
x + 2y = 8 X 2 2x + 4y = 16
2x – y = 1 X 1 2x – y = 1
5y =15
y=3
Nilai z dicari dengan mensubstitusikan x = 2 dan y = 3 ke salah
satu persamaan semula misal x + 2y – z = 3
x + 2y – z = 3
2 + 2(3) – z = 3
8–z=3
x=5
Jadi, Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear adalah {(2, 3, 5)}

10.  Cari penyelesaian persamaan linier dengan tiga
variabel berikut ini :
 X+y–z=1
 8x + 3y -6z= 1
 -4x – y +3y = 1