QA371 R 293 1998
GRANVILLE
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

02...
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Temas que trata la obra:
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Resumen de fórmulas
Variables, funciones y límites
Der...
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,

CALCULO
DIFERENCIAL
E INTEGRAL
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SIR ISAAC NEWTON
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,

CALCULO
DIFERENCIAL

E INTEGRAL
WllLlAM ANTHONY GRANVlllE
Doctor en Filosofía. Doctor en ...
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Granville. William Anthony
Cálculo diferencial e integral = Elements of differential
and int...
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PROLOGO
Esta obra es, en sus líneas generales, una edición revisada y
aumentada del texto de...
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INDICE
CALCULO DIFERENCIAL
CAPITULO 1

Resumen de fórmulas
Fórmulas de Algebra y de Geometrí...
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INDICE

VIII

producto de dos funciones. 39. Derivada del producto de n funciones. siendo
n ...
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INDICE

IX

CAPITULO VIII

Aplicaciones a las ecuaciones paramétricas y polares y al cálculo...
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x

INDICE

determinada O . 00, 214.
Determinación del valor de la forma indeterminada 00 - o...
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INDICE

XI

planas; coordenadas polares . 31 9. Volúmenes de sólidos de revolución . 322.
Lo...
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XI!

INDICE

aproximadas de la serie de Maclaurin. 448.
Seri e d e Taylor. 450.
Otra
forma d...
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XIII

INDICE

de curva alabeada. 580. Ecuaciones de la normal y del plano tangente a una
sup...
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XIV

INDICE

+

contienen a
bu ± cu 2 (e > O), 669. Otras formas algebraicas , 670. Formas e...
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GUILLERMO LEIBNIZ
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CAPITULO PRIMERO

RESUMEN DE FORMULAS

1. Fórmulas de Algebra y de Geometría elementales. Pa...
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4

CALCULO

RESUMEN

DIFERENCIAL

(3) Fórmula del binomio de Newton (siendo n un número ente...
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RESUMEN

un número entero

de donde:

1 grado

DE

FORMULAS

= I~O= 0,0174

5

radianes :

1...
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CALCU LO DIFERENCIAL

6

(6) Transformación de sumas y diferencias de senos y cosenos en
pro...
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RESUMEN DE FORMULAS

7

En fun ción de dos de sus puntos .

y - YI
X -Xl

En función de los ...
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8

CALCULO DIFERENCIAL

4. Fórmulas de Geometría analítica del espacio.
de las fórmulas más ...
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RESUMEN DE FORMULAS

9

(5) Ecuación del plano. En el plano Ax + By + Cz + D = O, los
cuefic...
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10

CALCULO

DIFERENCIAL

la colatitud y (j la longitud. Las coordenadas esféricas de P se e...
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AL
sféricas de P se escriben
res de P, entonces,

z

=r

cp

=

cos cf> ;

arc t.g

de

--- ...
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12

CALCULO DIFERENCIAL

uno () ambos sean excluÍdos. Emplearemos el símbolo [a, b], siendo
...
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VARIABLES. FUNCIONES y LIMITES

13

Frecuentemente, cuando se consideran dos variables ligad...
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14

CALC ULO DIFERENCIAL

Debe tenerse cuidado de no dividir inadvertidamente por cero.
La s...
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VARIABLES . FUNCIONES Y LIMITES

13. Gráfiéa de una función; continuidad.
x2 y hagamos
(1)
Y...
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CALCULO DIFERENCIAL

16

14. Límite de una variable. La noción de una variable que se
aproxi...
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VARIABLES . FU NC IO NES Y LIMITES

17

16. Teoremas sobre límites. En el cálculo del límite...
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18

CALCULO DIFERENCIAL

observamos que la solución es el valor de la función para x = 2 ; e...
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VARIABLES, FUNCIONES Y LIMITE S

lím (x

y

:<-72

+ 2)

X2 -

19

= 4;

4

lím - - - = 4.
x...
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2U

CALCULO DIFERENCIAL

Según el Artículo 17 , es evidente que si
lím f(x) =

00 ,

x -,)a
...
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VARIABLES.

Si u

y

FUNCIONES

v son funciones de x,
lím u
"'-7a

r"

f (x) es

21

Y LIMIT...
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22

CALCULO DIFERENCIAL
(n

. V

16 .

11m

x

+h

,/~

-

Demostración.

núm ero entero y p...
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VARIABLES, FUNCIONES y LIMITES

23

20. Teoremas relativos a infinitésimos y límites. En las...
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24

CALCULO DIFERENCIAL

El segundo miembro es un infinitésimo ::egún el teorema l. Luego,
s...
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CAPITULO III
DERIVACION
21. Introducción. En este capítulo vamos a investigar cómo varía
el ...
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26

CALCULO DIFERENCIAL

Si en y = f (x) la variable independiente x toma un incremento ~x ,...
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DERIVACION

remento Óx,
función f (x)

Si el valor de x es 4, es claro

l1y
lím -

r inicial...
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28

CALCULO DIFERENCIAL

Demos a x un incremento ~x; entonces obtenernos para la función
y u...
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29

DERIVACION

fracción, y más adelante demostraremos el significado-que puede atribuirse a...
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30

CALCULO DIFERENCIAL

26. Funciones derivables. De la teoría de los límites se deduce
que...
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DERIVACION

31

+ 3.l1x .

Tercer paso.

11/j = 6 x
I1x

Cuarto paso.

En el segundo m iembr...
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32

DIFERENCIAL

CALCULO

PROBLEMAS
Calcular
general.

la derivada

de cada una

lo

y=2-3

...
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33

DERIVACION

. Procedamos ahora a derivar la funci ón ( 1) según la regla general y
a in ...
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14

CALCULO

Este problema de la t.angente
del Cálculo diferencial.

llevó a Leibnitz

EJ El...
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35

DERIVACION
6. Hallar el p un to de la cu rva y = 'í x tan ge nt e es de 45° .
7. En la c...
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CAPITULO IV
REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS

29. Importancia de la regla general. ...
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REG LAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS

VI

d
dv
_(vn) = mi' -l - .
dx
dx

VIa

d
dx (xn...
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38

CALCULO DIFERENCIAL

31.

Derivada de una variable con respecto a sí misma.

Sea

=

y

...
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REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS

39

Una demostración semejante es válida para la ...
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40

CALCULO DIFERENCIAL

Aplicandn (2) Y (4) del Artículo 16, notando que lím l1u = O,
6X-7 ...
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REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS

41

36. Derivada de la potencia de una función, s...
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CALCULO DIFERENCIAL

42

La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del
de...
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REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS

43

según IIr
Seg ún IV

5.

y vr

a

y=(x2-3)~.
...
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CALCULO

44

DIFERENCIAL

cada una de las s ig u ie n t es derivadas.

Comprobar

10.

~
dt
...
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REGLAS

PARA

y=(a+~t

29.

y = x/ ({

30.

s = /

31.

a -

y=

34.

35.

36.

37.

,VI

"d...
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46

CALCULO DIFERENCIAL
En cada uno de los siguientes ejercicios. hallar el valor de dy para...
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PARA

REGLAS
ara el valor

v+l1v=1>

y+l1y=f(v+l1v)

V+I1V=

V

72'

=f(v)
l1y=f(v+l1v)

%.
...
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48

CALCULO DIFER ENCIAL

son funcione s inversas. Cuando deseamos distinguir la una de la o...
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REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS

49

40. Funciones implícitas. Cuando se da una re...
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50

CALCULO

Y desneu de dy
espejan O dx'

REGLAS

DIfERENCIAL

PARA

DER

25.
Demostrar
que...
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REGLAS PARA D ERIVAR FU N CIONE S ALGEBRA ICAS

51

25. Demo s trar que las parabolas y2 = 2...
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CAPITULO V

APLICACIONES DE LA DERIVADA

42.
que si

Dirección de una curva.

Se ha demostra...
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
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Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
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Cálculo Diferencial e Integral - Granville
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Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
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Cálculo Diferencial e Integral - Granville
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Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
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Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
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Cálculo Diferencial e Integral - Granville
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Cálculo Diferencial e Integral - Granville
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Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
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Cálculo Diferencial e Integral - Granville
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Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
Cálculo Diferencial e Integral - Granville
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  1. 1. QA371 R 293 1998 GRANVILLE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 0233007122
  2. 2. http://carlos2524.jimdo.com/ Temas que trata la obra: • • • • • • Resumen de fórmulas Variables, funciones y límites Derivación Reglas para derivar funciones algebraicas Aplicaciones de la derivada Derivadas sucesivas de una función. Aplicaciones • Derivación de funciones trascendentes. Aplicaciones • Aplicaciones a las ecuaciones para métricas y polares y al cálculo de las raíces de una ecuación • Diferenciales • Curvatura. Radio de curvatura. Círculo de curvatu ra • Teorema del valor medio y sus aplicaciones • Integración de formas elementales ordinarias • Constante de integración • Integral definida • La integración como suma • Artificios de integración • Fórmulas de reducción. Uso de la tabla de integrales • Centros de gravedad. Presión de líquidos • Trabajo. Valor medio • Series • Desarrollo de funciones en serie de potencias • Ecuaciones diferenciales ordinarias • Funciones hiperbólicas • Derivadas parciales • Aplicaciones de las derivadas parciales • Integrales múltiples • Curvas importantes • Tabla de integrales l. { ,
  3. 3. http://carlos2524.jimdo.com/ , CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
  4. 4. http://carlos2524.jimdo.com/ SIR ISAAC NEWTON
  5. 5. http://carlos2524.jimdo.com/ , CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL WllLlAM ANTHONY GRANVlllE Doctor en Filosofía. Doctor en Leyes Ex Presidente del Colegio de Gettisburg Edición revisada por: PERCEY F. SMITH WllLlAM RAYMOND lONG lEY Doctores en Filosofía y Profesores de Matemáticas de la Universidad de Yale LIMUSA
  6. 6. http://carlos2524.jimdo.com/ Granville. William Anthony Cálculo diferencial e integral = Elements of differential and integral calculus / William Anthony Granville. -- México: Limusa, 2009. 704 p. : il. ; 23 x 15.5 cm. ISBN-13: 978-968-18-1178-5 Rústica. 1. Cálculo diferencial 2. Cálculo integral 1. Byngton, Steven, tr. 11. Romero Juárez, Antonio, colab. Dewey: 515.33 122/ G765c Le: QA303 VERSiÓN AUTORIZADA EN ESPAÑOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLÉS CON EL TíTULO: ELEMENTS OF DIFFERENTIALAND INTEGRAL CALCULUS © JOHN WILEY & SONS, INC. C OLABORADOR EN LA TRADUCCiÓN: STEVEN T. BYNGTON REVISiÓN: ANTONIO ROMERO JUÁREZ PROFESOR EN LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO. LA PRESENTACiÓN Y DISPOSICiÓN EN CONJUNTO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL SON PROPIEDAD DEL EDITOR . NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGÚN SISTEMA o MÉTODO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACiÓN O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACiÓN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACiÓN) , SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. DERECHOS RESERVADOS: © 2009, EDITORIAL LlMUSA, S.A. DE C.v. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDE RAS 95, MÉXICO, D . F. C.P. 06040 ~ 51300700 5512 2903 )iiii limusa@noriega.com.mx r2J 'T"' www.nonega.com.mx CANIEM NÚM. 121 HECHO EN MÉXICO ISBN-13: 978-968-18-1178-5 45.1
  7. 7. http://carlos2524.jimdo.com/ PROLOGO Esta obra es, en sus líneas generales, una edición revisada y aumentada del texto debido al profesor Grall'ille. Los únicos cambios introducidos se reducen a pequefios detalles en las demostraciones, a la rev isión de los problemas - afiadiendo algunos de aplicación a la Economía y otros adicionales al final de cada capítulo para alumnos más aventajados- y a la redacción de un capítulo sobre Funciones hiperb6li cas, junto con algunos pjelllplos de apli cación de las eoorrlenadas cilíndricas en las integrales dobles. El cap ítulo a11adido ha sido p,.;crito sigui endo el Illétodo del libro , procurando quP fOl'llle un todo armónico con pI resto de la obra. Lai::l soluciones de la mayor parte de 10i::l problemaf' i-'P dan en pi texto. Algun as soluciones f'e Ollliten de intento para a,costulllbl'ar al estudiante a tener confianza en sí mismo. El trabajo de los autores de esta edición. se verá ampliamente CO I1lpensado si tiene la misma acogida que tUYO la primpra edición de la obra de Granville. PERCEY F. SMITH VILLIAM R. LONGLEY
  8. 8. http://carlos2524.jimdo.com/
  9. 9. http://carlos2524.jimdo.com/ INDICE CALCULO DIFERENCIAL CAPITULO 1 Resumen de fórmulas Fórmulas de Algebra y de Geometría elementales, 3. Fórmulas de Trigo nometría plana, 4. Fórmulas de Geometría analítíca plana, 6. Fórmulas de Geometría analítica del espacio, 8. Alfabeto griego, 10. CAPITULO 11 Variables, funciones y límites Variables y constantes , 11. Intervalo de una variable, 11. Variación continua, 12 . Funciones, 12. Variables independientes y dependientes, 12. Notación de funciones. 13. La división por cero, excluída , 13 . Gráfica de una función: continuidad, 15 . Límite de una variable, 16. Límite de una función , 16. Teoremas sobre límites, 17. Funcíones contínuas y discontinuas. 17 . Infinito , 19 . Infinitésimos, 22.. Teoremas relativos a infinitésimos y límites , 23. CAPITULO III Derivación Introducción, 25. Incrementos , 25. Comparación de incrementos 26. Derivada de una función de una variable, 27. Símbolos para representar las derivadas, 28, Funciones derivables, 30 . Reg la general para la derivación, 30. Interpretación geométr ica de la derivada, 32. CAPITULO IV Reglas para deri v ar funciones alge braícas Importancia de la regla general. 36. Derivada de una constante. 37 . Derivada de una variable con respecto a, si mIsma, 38. Derivada de una suma, 38. Derivada del producto de una constante por una función, 39 . . Derivada del
  10. 10. http://carlos2524.jimdo.com/ INDICE VIII producto de dos funciones. 39. Derivada del producto de n funciones. siendo n un número fijo. 40. Derivada de la potencia de una función. siendo el exponente constante. 41 . D e ri vada de un cociente. 41. Derivada de una función de función. 46. Relación entre las deri va das de las funciones inversas . 47. Funciones implicitas . 49. Derivación de funciones implícitas. 49 . CAPITULO V Aplicaciones de la derivada Dirección de un;l curva . 52. Ecuaciones de la tangente y la normal: longitudes d e la subtangente y la subnormal, 54. Valores máximo y mínimo de una función: introdu cc ió n . 58. Funciones crecientes y decrecientes. 62. Máximos y mínimos de una función; definiciones. 64. Primer método para calcular los rr. áximos y minimos de una función. Regla guía en las aplicaÓones. 66. Máximos o mínimos cuando f' (x) se vuelve infinita y f (x) es continua. 68. Problemas sobre m<iximos y minimos. 7. La derivada como rapidez de variaclon. 7S. Velocidad en un movimiento rectilíneo. 80. Relación cntre la rapidez de variación de variables relacionadas. 82. CAPITULO VI Deri vadas sucesi vas de una función. Aplicaciones Definición de las d e ri vadas sucesivas. 89 . Obtención de las deri vadas suce sivas en funciones implicitas, 90. Sentido de la concavidad de una curva. 92. Segundo método para determinar m áxi mos y mínimo s. 92 . Puntos de inflexión, 96 . Método para construcción de cur vas dadas por su ecuación. 98. Aceleración en un mo vimie nto rectilíneo, 101. CAPITULO VII Derivación de funciones trascendentes. Aplicaciones Fórmulas de deriva ción; lista segunda. 105. El número e. Logaritmos naturales. 106. Funciones exponenciales y logarítmicas . lOS . Derivación de la función logarítmica. 109. Derivación de la fu nción exponencial. 110. Deri vación de la función exponencial general. Demostración de la regla de potencias. 111. Derivación logarítmica. 113. Función sen x. 117. Límite de sen x cuando x -7 O. x IIR. Derivada de sen v. 119. Otras funciones tri- gonométricas. I2Ú. Derivada de cos V. 121. Demostración de las fórmulas X V a XIX, 122 . Funciones trigonométricas in versas. 126. Derivación de are se.n V. 128. Derivación de arc cos V. 128. Derivación de are tg v. 129. Derivación de arc ctg V. 130. Derivaciones de arc sec v y arc csc v. 131. Derivación de arc vers v. 132.
  11. 11. http://carlos2524.jimdo.com/ INDICE IX CAPITULO VIII Aplicaciones a las ecuaciones paramétricas y polares y al cálculo de las raíces de una ecuación Ecuaciones paramétricas de una curva. Pendiente, 138. Ecuaciones paramétricas. Segunda derivada, 143. Movimiento curvilíneo. Velocrdad, 144. Movimiento curvilíneo. Aceleraciones componentes, 145. Coordenadas polares. Angula que forman el radio vector y la tangente . 148. Longitudes de la subtangente y la subnormal en coordenadas polares, 152. Raíces reales de las ecuaciones. Métodos gráficos , 154 . Segundo método para localizar las raíces reales. 156. Método de Newton , 15 8 . CAPITULO IX Diferenciales Introducción, 164. D2finiciones. 164. La diferencial como aproximaci ó n del incremento. 165. Errores pequeños, 166. Fórmulas para hallar las diferenciales d.e funciones. 169. Diferencial del arco en coordenadas cartesianas rectangul a res, 171. Diferencial del arco en coordenadas polares, 173. La velocidad como rapidez de variación de la longitud del arco con respecto al tiempo, 175 . Las diferenci a les como infinitesimo s, 176. Ordenes de infinites imos. Diferenciales de orden superior. 177 . CAPITULO X Curvatura. Radio de curvatura. Círculo de curvatura Curvatura, 179. Curvatura de la circunferencia, 180. Fórmulas para la curvatura (coordenadas rectangulares), 180. Fórmula especial para las ecuaciones paramétricas, 182. Fórmula para la curvatura (coordenadas polares), 182. Radio de curvatura, 183. Curvas de ferrocarril: curvas de transición, 183. Circulo de curvatura , 184. Centro de curvatura, 188 . Evolutas, 190. Propiedades de la evoluta, 194 . Las ev ol ventes y su construcción mecánica, 196. Transformación de deri vadas, 199. CA.PITULO XI Teorema del valor medio y sus aplicaciones Teorema de Rolle. 203. Circulo osculador. 204. Punto limite de la intersección de dos normales infinitamente próximas. 206. Teorema del valor medio, 207 Formas indeterminadas. 209. Determinación del valor de una funciAn cuando ésta toma una forma indeterminada. 210. Determinaci ó n O del valor de la forma indeterminada O. 210. Determinación del valor de la forma indeterminada : ' 214 . Determinación del valor de la forma in-
  12. 12. http://carlos2524.jimdo.com/ x INDICE determinada O . 00, 214. Determinación del valor de la forma indeterminada 00 - oo. 215. Determinación del valor de las formas indeterminadas 0°, )"", 00°, 216. Generalización del teorema del valor medio, 218. Los má ximos y mínimos, tratados analíticamente, 219. CALCULO INTEGRAL CAPITULO XII Integración de formas elementales ordinarias Integración, 227. Constante de integración. Integral indefinida, 229. Reglas para integrar las formas elementales ordinarias, 230. Demostración de las fórmulas (3), (4) Y (5), 233. Demostración de las fórmulas (6) y (7), 140. Demostración de las fórmulas (8) a (17), 242. Demostración de las fórmulas (18) a (21), 246. Demostración de las fórmulas (22) y (23), 254. Integración de diferenciales trigonométricas, 257. Integración, por sustltuclOn trigonométrica, o V u2 ± a2 , 266. de expresiones que Integración por partes, 269 . contienen V a2 - u2 Observaciones, 274. CAPITULO XIII Constante de integración Determinación de la constante de integración por medio de condiciones inicia les, 277. Significado geométrico, 277. Significado físico de la constante de integración, 28. CAPITULO XIV Integral definida La integral definida, 288 . Diferencial del área b aj o una curva, 287 . Cálculo de una integral definida, 289. Cambio de limites correspondientes a un cambio de la variable, 290. Cálculo de áreas, 292. Cálculo del area cuando las ecuaciones de la curva se dan en forma para métrica, 293. Representación geometrica de una integral. 297. Integración aproximada. Fórmula de los trapecios, 297. Fórmula de Simpson (fórmula parabólica), 300. Intercambio de limites, 303. Descomposición del intervalo de integración en una integral definida, J03. La integral definida es una función de sus limites, 304. Integrales í mpropias . L ími tes infini tos, 304. In tegrales impropias, 305. CAPITULO XV La integración como suma Introducción, 309. Teorema fundamental del Cálculo integral. 309. De mostración analítica del teorema fundamental. 312. A r e a s de superficies limitadas por curvas planas: coordenadas rectangulares, 314. Areas de curvas
  13. 13. http://carlos2524.jimdo.com/ INDICE XI planas; coordenadas polares . 31 9. Volúmenes de sólidos de revolución . 322. Longitud de un arco de curva. 330. Longitudes de arcos de curvas planas;. coordenadas rectangulares. 331. Longitudes de arcos de cur vas planas; coordenadas polares . 334. Areas de superficies de revoluci ó n. 337. Sólidos cuyas secciones transversales se conocen. 344. CAPITULO XVI Artificios de integración Introducción. 352. Integraci ó n d e fracciones racionales. 352. Integración por sustitución de una nueva variable; racionalización. 36 1. Diferenciales binomias. 365. Condiciones de racionalización de la difer encial binomi a . 368. Transformación de las diferenciales trigonom étricas . 369. Sustituciones diversas. 371. CAPITULO XVII Fórmulas de reducción. Uso de la tabla de integrales Introducción . 374. Fórmulas de reducci ó n para las diferenciales binomias. 374. Fórmulas de reducción para las diferenciales trigonométricas. 380 . Empleo de una tabla de integrales. 384. CAPITULO XVIII Centros de gravedad. Presión de líquidos. Trabajo. Valor medio Momento de superficie; centro de gravedad. 390. Centro de gravedad de un sólido de revolución. 394. Presión de liquidos . 396. Trabajo. 400. Valor medio de una función . 406. CAPITULO XIX Series Definiciones. 412. La serie geométrica . 413. Series convergentes y di verTeoremas generales.' 416. Criterios de comparación. 417. Criterio de D' Alembert. 422. Series alternadas. 423. Convergencia absoluta . 424. Resumen. 425 . Siries de potencias. 428. La serie binómica . 431. Otro tipo de serie de potencias. 433. gent~s . 415 . CAPITULO XX Desarrollo de funciones en serie de potencias Serie de Macaurin. 435. Operaciones con series infinitas. 441 . Dertvación e integración de series de potencias. 445. Deducción de fórmulas
  14. 14. http://carlos2524.jimdo.com/ XI! INDICE aproximadas de la serie de Maclaurin. 448. Seri e d e Taylor. 450. Otra forma de la serie de Taylor. 452. Fórmulas aproximadas deducidas de la serie de Taylor. 454. CAPITULO XX I E cuaciones di f erenci ales ordinarias Ecuaciones diferen ciales: orden y grado. 458. Soluc io ne s de una ecuación diferencial. Constantes de integración. 459 . Verificación de las soluciones de ecuaciones diferenciales. 460 . Ecuaciones diferenciales de primer orden y de primer grado. 462. Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior. 473. Ecuaciones dif ere nciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes. 476. Aplicaciones. Ley del interés compues to. 486. Aplicaciones a problemas de Mec á nica. 490 . Ecuaciones dif erenciales lineale, de enésimo orden con coeficientes constantes. 496. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL CAPITULO XXII Funciones hiperbólicas S~ no y coseno hiperbólicos . 507. Otras funciones hiperbólicas . 508. Tabla de valores de senos. cosenos y tangentes hiperbólicos . Gráficas. 510. Funciones hiperbólicas de [} y UJ . 511 . Derivadas. 51 4. R elaciones con la hipérbola equilátera. 514. Funciones hiperbólicas inversas. 51 8 . Deri va das (continuación).52!. Línea telegráfica. 523. Integrales. 526 . Int eg rales (continuación). 529. El g udermaniano. 532. Carta de Mercator. 535. Relaciones entre las funcion es trigonom étricas y las hiperbólicas. 538 . CAPITULO XX III Deri v adas parciales Funciones de dos o más variables. Continuidad. 543. Derivadas parciales. 544. Interpretación geométrica de las deri vadas parciales. 546. Diferencial total. 549. Valor aproximado del incremento total. Errores pequeños. 552. Derivadas totales. R a z o n e s de variación. 556. Cambio de variables. 558. Derivación de funciones implícitas. 560. Derivadas de orden superior. 565. CAPITULO XXIV Aplicaciones de las derivadas llarciale s Envolvente de una familia de curvas. 570. La evoluta de una curva dada considerada como la envolvente de sus normales. 575. Ecuaciones de la tangente y del plano normal a una curva alabeada. 577. Longitud de un arco
  15. 15. http://carlos2524.jimdo.com/ XIII INDICE de curva alabeada. 580. Ecuaciones de la normal y del plano tangente a una superficie. 582. Interpretación geométrica de la diferencial total. 584. Otra forma de las ecuaciones de la tangente y el plano normal a una curva alabeada. 587. Teorema del valor medio. 590. Máximos y mínimos de funciones de varias variables. 592. Teorema de Taylor para funciones de dos o m ás variables . 598 . CAPITULO X X V Integrales múltiples Integración parcial y sucesiva. 602. Integral d0ble definida. Interpretación geométrica. 603. Valor de una integ ral doble definida extendida a una región S. 609. Area de una superficie plana como integral doble definida. 6,1 0. Volumen bajo una superficie. 614. Instrucciones para establecer. en la pr áctica. una integral doble . 617. Momento de una superficie y centros de gravedad. 617 . Teorema de Pappus. 619. Centro de presión de líquidos. 622. Momento de inercia de una superficie. 623. Momento polar de inercia. 627. Coordenadas polares. Ar ea plana. 629. Fórmulas que emplean coordenadas polares. 632. Método general para bailar las áreas de las superficies curvas. 635. Cálculo de volúmenes por integración triple. M I. Cálculo de volúmenes . empleando coordenadas cilíndricas . 644. CAPITULO XXVI Curvas importantes Parábola cúbica . parábola semicúbica. la bruja de Agne s i. cisoide de Diocles. 653. Lemniscata de Bernoulli . concoide de Nicomede s . cicloide ordinaria. cicloide con vé rtice en el origen . catenaria. parábola. 654. Astroide. evoluta de la elipse. cardioide. hoja de Descartes . sinusoide y cosinusoide. 65 5. Caracol de Pascal. estrofoide. espiral de Arquímedes. espiral logarítmica , espiral hiperbólica. lituus. 656, Espiral parabólica. curva logarítmica. curva exponencial. curva de probabilidad. secantoide. tangentoide. 657. Rosa de tres hojas. rosa de cuatro hojas . ro sa de dos hojas. rosa de ocho hojas. 658. Parábola . hip érbola equilátera . e vol vente de círculo . tractriz . 659 CAPITULO X XVII Tabla de integrales a Algunas formas elementales . 660. Formas r a c ton a I e s q u e contienen 660. Formas racionales que contienen a 2 b 2 u 2 • 661 . Formas que + bu . + a + bu. 662. Formas que contienen V u 2 ± a 2 • 663. Formas que contienen V a 2 - ,,2. 665. Formas que contienen V 2 au ± u 2 , M 7. Fórmulas de reducción para las integrales binomias. 668 . formas que contienen V
  16. 16. http://carlos2524.jimdo.com/ XIV INDICE + contienen a bu ± cu 2 (e > O), 669. Otras formas algebraicas , 670. Formas exponenciales y logarítmicas, 67 1. Formas trigonométricas, 672. Formas de reducción para integrales trigonométricas , 674. Funciones trigonométricas inversas, 675. Funciones hiperbólicas , 676. INDI CE ALFABETICO . . .... 679
  17. 17. http://carlos2524.jimdo.com/ GUILLERMO LEIBNIZ
  18. 18. http://carlos2524.jimdo.com/
  19. 19. http://carlos2524.jimdo.com/
  20. 20. http://carlos2524.jimdo.com/
  21. 21. http://carlos2524.jimdo.com/ CAPITULO PRIMERO RESUMEN DE FORMULAS 1. Fórmulas de Algebra y de Geometría elementales. Para comodidad del estudiante, en los Artículos 1 a 4 damos un resumen de f()rmulas elementales. Empezaremos por las relativas al Algebra. (1) Resolución de la ecuación de segundo grado AX2 + Ex + C = O. + 1. Factorizando: Se descompone AX2 + Bx C en factores, se iguala cada factor a cero y se resuelven las ecuaciones que resultan, con respecto a x. 2. Completando el cuadrado: Se transpone C al segundo miembro, se divide la ecuación por el coeficiente de x 2 , se añade a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de x y Re extrae la raíz cuadrada. ;~ . Empleando la fórmula x= -B ±v B2 - 4 AC 2A Carácter de las raíces. La expresión B 2 - 4 AC, que aparece en la fórmula debajo del signo radical, se llama discriminante de la ecuación. Las dos raíces son reales y desiguales, reales e iguales, o imaginarias, según que el discriminante sea positivo, cero o negativo. (2) Logaritmos. + log b . log a" = n log a. log 1 log a - log b . . log v" / - a = -1 log a. loga a log ab = log a log a b = n = O. = 1.
  22. 22. http://carlos2524.jimdo.com/ 4 CALCULO RESUMEN DIFERENCIAL (3) Fórmula del binomio de Newton (siendo n un número entero positivo) . (a + b)" = a" + nan-1b + n(n -1) +n ( (4) n-ti + n(n I~ -1) I J r- Estas ecuaciones permiten pasar de (2) (n-l)n. (5) Círculo. Longitud de la circunferencia = 2n:r. Area = n:r2• (6) Sector circular. Area = Yz r2a, siendo a = ángulo central del sector, medido en radianes . (8) Pirámide. (10) Cono circular recto. Area total = n:r(r + s). (11) Esfera. Volumen sen" x + cos" Seno - sen cos cos se n - sen - cos - cos - sen 90 x 90°+ 180°180°+ 270 -x 270°+ 360°_ 0 - Volumen = n:r2a. Area lateral =2 n:ra. x x x 0 Volumen =}~ m· a. = j(¡ 2 n:r3 . (12) Tronco de cono circular recto. Area lateral = ns (R + r) . Area lateral = nrs . Area = 4 n:r2. (4) x x = Coseno x x x x x x x x cos sen sen cos cos sen se n cos - Tangente x x x x x x x x - - tg ctg ctg tg tg ctg ctg tg x x x x x x x x sen (x+ y) = sen z COE sen (x - y) = sen x cos cos (x + y) = cos z cos cos (x - y) = cos x cos Son de uso frecuente mu- (1) Medida de ángulos. Hay dos métodos generalmente usados para medir ángulos; es decir, hay dos sistemas de unidades angulares. Medida en grados. En este sistema el ángulo unidad es %60 de una revolución completa y se llama grado. Medida circular. En esté sistema el ángulo unidad es el que subtiende un arco de longitud igual al radio del arco, y se llama radián. X Funciones trigonométricas de Volumen = % n:a (R2 +1'2+ Rr) . 2. Fórmulas de Trigonometría plana. chas de las siguieñtes fórmulas. = 1; 1 + tg2 X (3) Fórmulas para reducir ángulo: -x Volumen = HBa. (9) Cilindro circular recto. Area total = 2 n:r(r + a). Relaciones entre las funciones 1 ctg x = --' sec x = tg x ' c sen x e T,g x = --' ctg x = cos x ' s Angulo = Ba. Volumen ' N úmero de radianes en un ángnl + 2) an- '+1b 1 + En las siguientes fórmulas de la Geometría elemental, r o R representa el radio, a la altura, B el área de la base y s el lado o altura inclinada. (7) Prisma. 180 De dicha definición tenemos Factoríal de un número, ... O 01 = 1 radián = 180 = 57 2' n: ' 2) ... (n - r r - 1 n!=I~=1·2·3·4 ~= 1 grado a,,-2 b2+ (n - 2) a,,-3 b3 + (n - de donde: DE F' tg (x + )= Y. tg x + tg Y l-tgxtgy' ti (5) Funciones trigonométricas de ~n2x=2~nxoosx;oos2x=oo~ x sen 2= ± j /1- C.os x 2 z !1 ; cos'2= ±j- La ecuación que da la relación entre los dos ángulos unidad es 180 grados = ]( radianes (n: = 3,14159 ... ) , sen2 x ;:; Yz - Yz cos 2 x i co
  23. 23. http://carlos2524.jimdo.com/ RESUMEN un número entero de donde: 1 grado DE FORMULAS = I~O= 0,0174 5 radianes : 1 radián = 180 = 57 ,29 grados Jt De dicha definición tenemos N ' d d' , l umero e ra wnes en un anqu. u 1l-r+lbl'-1 + .... tal, r o R repreel lado o altura nr , Area = n:r2• ángulo central del arco correspondiente radio = Estas ecuaciones permiten pasar de una medida a la otra. (2) Relaciones entre las funciones trigonométricas. 1 1 1 ctg x = --' sec x = --' csc x = -. tg x ' cos x ' sen z ' sen x cos z T.gX = --' ctg x = -. cos x ' sen x sen" z + cos" X = + tg2 1; 1 X 1 + ctg" = sec" x; X = ese" x. (3) Fórmulas para reducir ángulos. I Anzulo -x ea lateral = 2 xra . rea lateral = nrs , Seno - sen eos cos sen - sen - eos - eos - sen 900-x 90°+ x 180°- x 1800+x 270°- x 270°+ x 360°- x (4) x x x x x x x x - eos sen sen eos eos sen sen eos - x x x x x x x x sen (x + y) = sen (x - y) = cos (x + y) = cos (z - y) = tg (x (5) Tangente tg etg - etg tg tg etg - etg - tg - Cotangente - etg tg - tg - etg etg tg - tg -etg x x x x x x x x + yJ Funciones trigonométricas de (x so frecuente mueralmente usados .dades angulares. dad es 7~60 de una Coseno + )= y, sen z sen x cos x cos x tg x + tg Y l-tgxtgy . x x x t g. x x x x y (x - (x _ y Funciones trigonométricas de 2 x y - X cos y + cos x cos y - cos x cos y - sen x cos y + sen x see ese ese see see ese ese sec ngulos unidad es . .) , x sen 2 = ± /1 - c.os x x /1 2 ; cos 2 = ± 'j 'j sen" x = Y2 - Y2 2 cos 2 x i cos? X = x x x x x x x .A i sen y . sen y. sen y. sen y. ) = tg x - l+tgxtgy' de + cos x -ese see see ese - ese - see - sec - cs~ x x x x x x x x y). Y2 tg Y x. sen 2 x = 2 sen x cos x; cos 2 x = cos" X - sen 2 x; tg 2 x = ad es el que subse llama radián. Cosecante Secante t z ; g 2= ~:! .Y:! + 2tg 1-tg2 x X /1 - ± 'j 1 00S 2x. . cos x + cos x'
  24. 24. http://carlos2524.jimdo.com/ CALCU LO DIFERENCIAL 6 (6) Transformación de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos. sen x + sen y = 2 sen ~ (x y) cos ~ (x - y) . sen x - sen y = 2 cos ~ (x y) sen Yz (x - y). cos x cos y = 2 cos Yz (x y) cos Yz (x - yj. cos x - cos y = - 2 lOen Yz (x y) sen Yz (x - y). + + + + (7) + Relaciones en un triángulo cualquiera. a b e sen A = sen B = sen C . Ley de los senos. = b2 + c2 - 2 be cos A . K = Yz be sen A . a2 Ley de los cosenos. Fórmulas para el área. Yz K = a2 sen B sen C sen (B+C) K = ,/ ses - a) (s - b) (s - e) , siendo s = 3. Fórmulas de Geometría ana!Hica plana. importantes son las siguientes: (l) Distancia entre dos puntos Pl (Xl, d = y' (Xl - X2)2+ yd Yz (a + b + e). Las fórmulas más y P2{X2, Y2). Y2)2 . (y¡ - m = Jll - y2 Xl - X2 Pendiente de P l P2 . Coordenadas del punto medio. x (2) = Yz (Xl + X2), y = Yz (Yl + Y2) . Angulo de dos rectas en función de sus pendientes. tg () = ml - m2 . 1 +ml m2 (Si las rectas son paralelas es ml = m2; si las rectas son perpendiculares es ml m2 = - 1 . ) (3) Ecuaciones de la línea recta. En función de uno de sus puntos y de la pendiente. y- yl = m (x - Xl) En función de la pendiente y de la ordenada en el origen. y=mx+b.
  25. 25. http://carlos2524.jimdo.com/ RESUMEN DE FORMULAS 7 En fun ción de dos de sus puntos . y - YI X -Xl En función de los segmentos que determina s()/Yre los ejes (4) Distancia del punto PI(XJ, y¡} a la recta Ax + By + d = AXl e = o. + + BYI C . ± VA2+ B2 (5) Relacior.<:s entre las coordenadas rectangulares y las polares. X = (> (6) cos () , y = º sen (), º = V x 2 + y2 , () = are tg]L· X Ecuación de la circunferencia. Centro (h, k). (7) Ecuaciones de la parábola. Con vértice en el origen. y2 = 2 px, foco (Y2 P., O) . x 2 = 2 py, foco (O, Y2 p) . Con vértice en (h, k) . (y - k)2 = 2 p (x - h), eje y = k . (X - h)2 = 2p(y-k), ejex = h. Con eje en el eje de las y. y (8) = AX2 + c. Ecuaciones de otras curvas. Elipse con centro en el on'gen y focos en el eje de las x . X2 y2 ~+b2 = 1. (a>b). Hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las x . Hipérbola equilátera con centro en el origen y los ejes de como asíntotas . xy = C. Véase también el Capitulo XXVI coordenada~
  26. 26. http://carlos2524.jimdo.com/ 8 CALCULO DIFERENCIAL 4. Fórmulas de Geometría analítica del espacio. de las fórmulas más importantes. (1) Distancia entre PI (Xl, gl, Zl) y P'1 (X2, g2, Z2). d= V (2) He aquí algunas (Xl - X2)2 + (YI - Y2) 2 + (Zl - Z2)2 . Línea recta. Cosenos directores: co~ u, cos (:, cos y. N lImeros directores: a, b, c. cos (( -a- Entonces + cos cos 2 a cos a = cos cos [1 cos y = -c-- = --b2 (3 + cos 2 y = a ± , / a2 +b +c 2 l. -, 2 b ~ = ± ,/ 2 a , + b + ,.2 2 c cos y = --:=~=== ± V a 2 + b2 + c2 Para la recta que une los puntos (Xl, yl, Zl ) y (X2, y2, Z2), se tiene: ros y cos a cos ~ Z2 ZI X2 - Xl y2 - yl (3) Angulo de dos rectas. Cosenos directores: cos a, cos ~, N Úilleros directores: a, b, c; a', Si 8 = ángulo de las dos rectas, se cos y; cos b' , c'. tiene: + cos ~ cos W+ cos y aa' + bb' + cc' ----;-==~~~..:....:...:=====:=====. V a +b +c V a +b + eos 8 = cos a cos a' cos 8 = a', 2 2 2 /2 '2 C cos W, cos y' . cos y' , /2 Rectas paralelas . aa' + bb' + cc' = O. (4) Ecuaciones de la recta que pasa por el punto (Xl, números directores son a, b, c. Rectas perpendiculares. x - Xl Y - Yl Z - Zl ---a-=--b--= --c- gl, Zl), y sus
  27. 27. http://carlos2524.jimdo.com/ RESUMEN DE FORMULAS 9 (5) Ecuación del plano. En el plano Ax + By + Cz + D = O, los cueficientes A, B, C sun los números directores de la recta perpendicular al plano. Ecuación de un plano que pasa por el punto (Xl, Yl, z¡) y es perpendicular a la recta que tiene los números directores A, B, c. A (x - x¡) + B (y - Yl) + C (z - z¡) = O. (6) Angulo de dos planos. Ax + By + Cz + 1J = O. A'x + B'y + C'z + D' = O. Ecuaciones: Números directores de la recta de intersección: BC'- CB', ~i CA'-AC', AB'- BA'. () es el ángulo de los dos planos, se tiene: cos () = --;-==~A=A='=+~B:..:B=-:-='=+===,C=,C='====2 ..../ A 2 + B2 +C V A,2 + B,2 + C/2 . (7) Coordenadas cilíndricas. La distancia z (fig. 1) de un punto p (x, y, z) al plano XY y las coordenadas polares (Q, ()), de <;u proyección A (x, y, O) sobre el plano XY, se llaman coordenadas cilíndricas de P. Las coordenadas cilíndricas de P se escriben (Q, (), z). Si x, y, z son las coordenadas rectangulares de P, entonces, de las definiciones y de la figura, tenemos: x = Q cos () , y = Q sen () , z= z; Q2 = X2 + y2 , () = arc tg JL . x z p x p y A Fig. 1 Fig. 2 (8) Coordenadas esféricas. El radio vector r (fig. 2) de un punto P, el ángulo cf> que forma OP con el eje de las z y el ángulo () que forma la proyección de OP sobre el plano XY con el eje de las x, se llaman coordenadas esféricas de P. El ángulo cf> se llama
  28. 28. http://carlos2524.jimdo.com/ 10 CALCULO DIFERENCIAL la colatitud y (j la longitud. Las coordenadas esféricas de P se escriben (1-, cf>, 8). Si x, y, z son las coordenadas rectangulares de P, entonces, de las definiciones y de la figura, tenemos: = x r sen cf> eos 8 , y 8 5. Alfabeto LETRAS = r sen cf> sen 8 , = are tg JL, x NOMBRES LETRAS a Alfa I (i Beta J{ r r o Gama A , Delta M Epsilon Z t H YJ e o «, cos cf> = arc tg ~---c V x2 + y2 z . CAPITU /1 E =r griego. A Ll z NOMBHES lota K Kapa LETRAS l' " º NOMBRES Ro rr VARIABLES, FUNCII Sigrna Lambda t :- Tau p. Mi o mu r u Ipsilon N ~ Ni o nu 1/1 l' Fi Dseta o zeta E , Xi X 1. Ji o ki Eta O o Omieron '1'· ~" Psi Pi !! w Omega Teta H t: 6. Variables y constantes. Un¡ se le puede asignar, durante el CUT número ilimitado de valores. Las va las últimas letras del alfabeto Una cantidad que durante el curs se llama constante. Constantes numéricas o absolutas valores en todos los problemas, corr Constantes arbitrarias, o parámetro asignar valores numéricos, y que d esos valores asignados. Usualmente letras del alfabeto. Así. en la ecuación de la recta, ~+JL. a b x y y son las coordenadas variables d línea, mientras que a y b son las cons la abscisa en el origen y la ordenada E que son valores definidos para cada rE El valor numérico (o absoluto) de u de su valor algebraico , se representa 1 símbolo I a I se lee "valor numérico d 7. Intervalo de una variable. A a una porción del sistema de números gir nuestra variable de manera que to didos entre a y b. También puede SE
  29. 29. http://carlos2524.jimdo.com/ AL sféricas de P se escriben res de P, entonces, z =r cp = cos cf> ; arc t.g de --- y2 + vi x2 z . CAPITULO LETRAS r " º II NOMBRES Ro rr :- u Ipsilon ¡p l' Fi X 1 Ji o ki y LIMITES Tau r FUNCIONES Sigma r VARIABLES, 'r ~" Psi ~l Omega w 6. Variables y constantes. Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso de análisis, un número ilimitado de valores. Las variables se designan usualmente por las últimas letras del alfabeto Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo se llama constante. Constantes numéricas o absolutas son las que conservan los mismos valores en todos los problemas, como 2, 5, "";7, cr , etc. Constantes arbitrarias, o parámetros, son aquellas a las que se pueden asignar valores numéricos, y que durante todo el proceso conservan esos valores asignados. Usualmente se representan por las primeras letras del alfabeto. Así. en la ecuación de la recta, x y -+-= a b 1 ' x y y son las coordenadas variables de un punto que se mueve sobre la línea , mientras que a y b son las constantes arbitrarias que representan la abscisa en el origen y la ordenada en el origen, las cuales se supone que son valores definidos para cada recta. El valor numérico (o absoluto) de una constante a, para diferenciarlo de su valor algebraico , se representa por 1al. Así, 1- 21 2 = 121. El = símbolo 1 a I se lee "valor numérico de a" o "valor absoluto de a' , . 7. Intervalo de una variable. A menudo nos limitamos solamente a una porción del sistema de números. Por ejemplo, podemos restríugir nuestra variable de manera que tome únicamente valores comprendidos entre a y b. También puede ser que a y b sean incluidos o que
  30. 30. http://carlos2524.jimdo.com/ 12 CALCULO DIFERENCIAL uno () ambos sean excluÍdos. Emplearemos el símbolo [a, b], siendo a menor que b, para representar los números a y b y todos los números comprendidos entre ellos, a menos que se diga explícitamente otra cosa . Este símbolo [ a, b] se lee "intervalo de a a b' , . 8. Variación continua, Se dice que una variable a varía de una . manera continua en un intervalo [a, b] cuando x aumenta desde el valor a hasta el valor b, de tal manera que toma todos los valores intermedios entre a y b en el orden de s u s magnitudes; o o---------<g~--____~o______~g o A P 8 cuando x disminuye desde x = b Fig.3 hasta x = a, tomando sucesivamente todos los valores intermedios. Esta idea se ilustra geométricamente mediante el diagrama de la · figura 3. Tomando el punto O como origen, marquemos sobre la recta los puntos A y B correspondientes a los números el y b. Además, hagamos corresponder el punto P a un valor particular de la variable x . Evidentemente, el intervalo [a , b] estará representado por el segmento AB. Al variar x de una manera continua en el intervalo [ a, b], el punto P engendrará el segmento AB si x aumenta o el segmento BA SI x disminuye. 9. Funciones. Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un valor a la segunda] entonces se dice que la primera es función de la segunda . Casi todos los problemas científicos tratan con cantidades y relaciones de esta naturaleza, y en la experiencia de la vida diaria nos encontramos constantemente con situaciones en las que intervienen magnitudes dependientes unas de otras. Así, por ejemplo, el peso que un hombre puede levantar depende directamente, a igualdad de otras circunstancias, de su fuerza. Análogamente, se puede considerar que la distancia ql,le un muchacho puede recorrer depende del tiempo. O también podemos decir que el área de un cuadrado es una función de la longitud de su lado, y que el volumen de una esfera es una función de su diámetro . 10. Variables independientes y dependientes. La segunda variable, a la. cual se pueden asignar valores a voluntad dentro de limites que dependen del problema particular, se llama la variable .independiente o el argumento. La primera variable, cuyo valor queda fijado cuando se asigna un valor a la variable independiente, se llama la variable dependiente o la funci6n.
  31. 31. http://carlos2524.jimdo.com/ VARIABLES. FUNCIONES y LIMITES 13 Frecuentemente, cuando se consideran dos variables ligadas entre sí, queda a nuestro arbitrio el elegir a una de ellas como variable independiente; pero una vez hecha esta elección, no es permitido cambiar de variable independiente sin tomar ciertas precauciones y hacer laE transformaciones pertinentes. El área de un cuadrado, por ejemplo, es una función de la longitud del lado , y, recíprocamente, la longitud del lado es una función del área. 11. Notación de funciones. El símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se lee f de x . Con objeto de distinguir entre diferentes funciones se carp.bia la letra inicial, como en F (x), 4> (x) , J' (x), etc. Durante todo el curso de un proceso, un mismo símbolo de funcionalidad indicará una misma ley de dependencia entre una función y su variable. En los casos más simples, esta ley expresa la ejecución de un conjunto de operaciones analíticas con la variable . Por consiguiente, en un caso de esta clase el mismo símbolo de función indicará la misma operación, o conjunto de operaciones, aplicadas a diferentes valores de la variable. Así, por ejemplo, si X2 - 9x + 14, f (?I) = y2 - 9Y + 14 ; f(x) = entonces, f(b+1)= (b+1) 2 - 9(b + 1)+14=b 2 -7b + G f( O) = 02 f( - 1) - 9· 0 + 14 = 14, = (_1)2 - 9 ( - 1) + 14 = 24, 2 f(3) =3 - 9. 3 + 14= - 4 . 12. La división por cero, excluida. El cociente de dos números a y b es un número x tal que a = bx. Evidentemente, con esta definición la división por cero queda excluída. En efecto, si b = O, Y recordando que cero tomado cualquier número de veces como sumando es siempre igual a cero, se ve que x no existe, a menos que a = O. Si a = O, entonces x puede ser cualquier número. Por lo tanto, las expresiones que se presentan en una de las formas a O O' O I carecen de sentido por no ser posible la división por cero.
  32. 32. http://carlos2524.jimdo.com/ 14 CALC ULO DIFERENCIAL Debe tenerse cuidado de no dividir inadvertidamente por cero. La siguiente paradoja es un ejemplo . Supongamos que Entonces, evidentemente, ab Restando b2 , Descomponiendo en factores, h (aDividiendo por a -/¡ , Pero, luego, o ~ea que a = b. ab = a 2 • b2 = a~ - b~ . b) = (a+b) (a- /; ) . b=a+b. = b; b = 2 b, 1 = 2. a E l resultado absurdo proviene de haber dividido por a - b = O. PROBLEMAS 1. Dado f (x) = x a - 5 X2 - 4 x f ( I )=12, f(5)=0, + 20 , d emo strar qu e ( 0 ) = - 2(3), (7)=5( -1 ). 2. S i {(x)=4-2 x2+x·, calcular (O), f( I ), f( - I), (2), (-2) 3. Si F (e) 4. Dado f (x) = x 3 - 5 X2 - 4 x = sen 2 e + cos e, hallar F (O), F ( Yz n), F (n). + 20, demostrar que f(t+I)=t3 - 2r 2 -11 t+ 12. 5. Dado f (y) = y2 - 2 y + 6, demo s trar 'q U C + h) = y2 - 2 y + 6 + 2 (y = x 3 + 3 x , d e mostrar quc f (y n. 0 .1<.10 ( x ) - 1) h + !-J2. (x+h) - ( x )=3(x 2 +1)h+ 3 Xh2 +h a. 7. D a d o f(x) =..!.. . drmostrarquef(x+h)-(x)=- 8. D ado </>(z);;' 4=, 9. Si </> (x) 10. x = al', demostrar que </>(z + 1) - demostrar que</> ( y ) • </> (z) = </> (y + z). 1 ·- x , demostra r que I+ x Dado</> (x) = l og - 1+ lJZ D ado f ~ x) = se n x. d emostrar que f(x + 2h)-f(x) =2cos (x +h ) senh. S UGESTION . h + </>(z) = 3 </>(z) . </>('1)+</>(z) = </>('1+Z). 11. X2 Utili za r l as fórmu las (6) del Articulo 2 . xh
  33. 33. http://carlos2524.jimdo.com/ VARIABLES . FUNCIONES Y LIMITES 13. Gráfiéa de una función; continuidad. x2 y hagamos (1) Y = Xl. 15 Consideremos la función Esta relación da un valor de y para cada valor de x; es decir, (1) define unívocamente a y para todos los valores de la variable independiente. El lugar geométrico de (1) es una parábola (fig. 4) Y se llama la gráfica de la función X2. Si x varía continuamente (Art. 8) desde x = a hasta x = b, entonces y variará continuamente desde y = a2 ha"ta y = b2 , Y el punto P (x, y) se moverá continuamente, a lo largo de la curva, desde el punto (a, a 2 ) hasta (b, b2 ). Además, a y b pueden admitir todos los valores. En este caso decimos que , 'In. función X2 es continua para todos los valores de x". Fig.4 Fig. 5 Consideremos ahora la función (2) Y 1 x 1 Hagamos = -X' EflLá p.cuacÍún da un valor de y para cada valor de x, con p.xcepci{m de x = O (Art.. 12) ; para x = O la función no está definida. La gráfica (fig. 5), que es el lugar geométrico de (2), es una hipérbola equilátera. Si x aumenta continuamente en cualquier intervalo la, bl que no incluya x = O, entonces y decrecerá continuamente dp.sde ~ hasta ~ , y el punto P (x, y) describirá la curva entre los puntos correspondientes ( a, quc "la función ~), (b, ~ ). En este caso decimos 1- es continua para todos los valores de x con excepx ción de x = O' '. No existe en la gráfica un punto correspondiente a x = O. Estos ejemplos ilustran el concepto de continuidad de una función. Una definición se dará en el Artículo 17.
  34. 34. http://carlos2524.jimdo.com/ CALCULO DIFERENCIAL 16 14. Límite de una variable. La noción de una variable que se aproxima a un limite se encuentra, en la Geometría elemental, al establecer o deducir la fórmula que da el área del círculo. Se considera el área de un polígono regular inscrito con un número n cualquiera de lados, y se supone, después, que n crece infinitamente. El área variable tiende así hacía un limite, y este límite se define como área del círculo . En este caso, la variable v (área) aumenta indefinidamente, y la diferencia a - v (siendo a el área del círculo) va disminuyendo hasta que, finalmente, llega a ser menor que cualquier número positivo escogido de antemano, sin importar lo pequeño que éste se haya elegido. El concepto de límite se precisa mediante la siguiente DEFINICIÓN. Se dice que la variable v tiende a la constante l como límite, cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor numérico de la diferencia v - l puede llegar a ser, finalmente, menor que cualquier número positivo predeterminado tan pequeño como se quiera. La relación así definida se escribe lim v = l. Por conveniencia, nos serviremos de la notación v -7 l, que se leerá "v tiende hacia el límite l" o, más brevemente, "v tiende al". (Algunos autores usan la notación v -:"l . ) EJEMPLO. Si u toma la sucesión infinita de va lores es evidente que u -72 al crecer n . es decir . lim u = 2. Si sobre una línea recta, como en el Artículo 8, se señala el punto L que corresponde al limite l, y se coloca a ambos lados de L la longitud E, sin importar lo pequeño que éste sea, entonces se observará que los puntos determinados por v caerán todos, finalmente, dentro del segmento que corresponde al intervalo [l - E. l + E ] . 15. Límite de una función. En las aplicaciones de la definición de límite, se presentan usualmente casos como el siguiente: se tiene una variable v y una función dada z de v, y se supone que la variable v recibe valores tales que v -7 l. Tenemos que examinar entonces los valores de la variable dependiente z e investigar, particularmente, si z tiende también a un limite. Si efectivamente existe una constante a tal que lím z = a, entonces se expresa est.a relación escribiendo límz=a, V-71 y se leerá: "el límite de z. cuando v tiende a l, es a . ' ,
  35. 35. http://carlos2524.jimdo.com/ VARIABLES . FU NC IO NES Y LIMITES 17 16. Teoremas sobre límites. En el cálculo del límite de una función tienen aplicación los teoremas siguientes. Las demostraciones se darán en el Artículo 20 . Supongamos que u, v y w sean funciones de una variable x y que lím u = A, lím v = B, ",~a ", ~a c. lím w = x~a Entonees son ciertas las siguientes relaciones. (1) lím (u x~a (2) + v- w) = lím (uvw) x~a x~a V C. ABC. , u = -, A 1 1m - (3) +B - =A . B no es cero. SI B En breves palabras: el límite de una suma algebraica, de un producto o de un cociente es igual, respectivamente, a la suma algebraica, al producto o al cociente de los límites respectivos, con tal de que, en el último caso, el límite del divisor no sea cero. Si c es una constante (independiente de x) y B no es cero, de lo anterior se deduce: (4 ) Hm (u x~a + c) + c, =A lím cu x ~a = cA , lím x~" ~ = ~. V B Conside remos algunos ejemplos. 1. Demostrar q u e l i m (x 2 x~2 + 4 x) = 12. Demostración. La f unción dada es la suma de h allarem os lo s li mites de estas d os funciones. Segú n (2). lim X2 = X2 y 4 x. En primer lugar p u esto q u e xc = x·x. 4. x~2 lim 4x=4 lim x = 8. Seg ún (4). :t ~ 2 x~2 Luego. seg ún (1). el limite bu scado es 4 2. "Demostrar q ue l im Z2 - z ~2 Demostración. z 9 = _ +2 +8 = 12 . 2.. 4 Co n side rand o el num erador. lim (Z2 - 9) = - 5. según 2~2 (2) Y (4). E n cuanto al denominador . li m (z 2~~ + 2) = 4. Lu ego. d e (3). tenemos el resultado buscado. 17. Funciones continuas y discontinuas. Artículo 16 , donde se demostró que lím (X2 x-;'2 + 4 x) 12, En el ejemplo 1 del
  36. 36. http://carlos2524.jimdo.com/ 18 CALCULO DIFERENCIAL observamos que la solución es el valor de la función para x = 2 ; es decir, el valor límite de la función cuando x tiende a 2 es igual al valor de la función para x = 2. En este caso decimcs que la función es continua para x = 2. La definición general es la siguiente: DEFINICIÓN. Se dice que una función f(x) es continua para x = a si el límite de la función, cuando x tiende a a, es igual al valor de la función para x = a. En símbolos, si lím ¡(x) = ¡(a), X-7a entonces f (x) es continua para x = a. Se dice que la función es discontinua para x = a si no se satisface esta condición. Llamamos la atención de los dos casos siguientes, que se presentan frecuentemente. CASO l. Como ejemplo sencillo de una función que es continua para un valor particular de la variable, consideremos la. función X2 - f(x) = - 4 -o x- 2 Para x = 1, f ex) = fe 1) = 3. Además, si x tiende al, la función f(x) tiende a. 3 como límite (Art. 16). Luego la función es continua para x = 1 . CASO n. La definición de función continua supone que la función está definida para x = a . Sin embargo, si este no es el caso, a veces es posible asignar a la función t al valor para x = a que la condición de continuidad se satisfaga. En estos casos se aplica el siguiente teorema: Teorema. Si f (x) no está definida para x = a, pero lím ¡(x) = B, X-7 a entonces fex) será·-continua para x = a, si se toma como valor de f ( x) para x = a el valor B. Así, por ejemplo, la función X2 - 4 x-2 no está definida para x = 2 (puesto que entonces habría división por cero ) . Pero para todo otro valor de x x~ - 4 x_2=x-l-2;
  37. 37. http://carlos2524.jimdo.com/ VARIABLES, FUNCIONES Y LIMITE S lím (x y :<-72 + 2) X2 - 19 = 4; 4 lím - - - = 4. x - 2 luego, :<-72 Aunque la función no está definida para x = 2, si arbitrari amente asignamos a ella para x = 2 el valor 4, se hace continua para este valor. Se dice que una función f (x) es cont1'nua en un intervalo cuando es continua para todos los valores de x dentro de este intervalo. * En el Cálculo diferencial e integral, es frecuente tener que calcular el límite de una función de la variable v, cuando v tiende a un valor a situado en un intervalo donde la función es continua. En este caso el límite de la función es el valor de la función para , v = a. 18. Infinito (00). Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que cualquier número positivo asignado de antemano, por grande que éste sea, decimos qlle v se vuelve infinita . Si v toma solamente valores positivos, se hace infinita positivamente; si solamente toma valores negativos, se hace infinita negativamente. La notación que se emplea para los t res casos es lím v = 00, Iím v = + 00, lím v = - 00 En estos casos v no se aproxima a un límite, según la definición del Artíct:lo 14 . La notación lím v = 00 , o V-7oo • debe leE'rse "v se ** vuelve infinita" y no "v se aproxima al infinito" Con esta notación podemos escribir , por ejemplo, 1 , lm- = oo, 1 "'-70 x significando que ~ x se hace infinito cuando x tiende a cero. En este libro trataremos solamente funciones que son, en general. conti nuas, es decir , que so n co ntinua s para todos los va lores de x , con la posible excepción de ciertos valores aislados; se sobrentiende que, en general. nuestros resu ltados son vál idos solamente para aq u el l os valores de x para los cuales la función que se considera es realmente continua, ** A causa d e la notación y para mayor uniformidad. a veces la expresión U-7+ 00 se lee" u tiende al límite más infinito " . De igual manera U-7 - 00 se lee" u tien'de al límite menos infinito " y U-7oo se lee " u, en valor numérico, tiende al límite infinito". Es ta fraseología es cómo da , pero el lector no debe olvidar que el infinit o no es un límite , puesto que el infinito no es un número.
  38. 38. http://carlos2524.jimdo.com/ 2U CALCULO DIFERENCIAL Según el Artículo 17 , es evidente que si lím f(x) = 00 , x -,)a dccir, si f (x) se hace infinita cuando x tiende a a, en toncc;; f (x) es di scontinua para x = a . Una función puede tender hacia un lími te cuando la. va riable independien te se hacc infinit.a . Por ejemplo, 0S lím ~ = o. x-,)oo X En general, si f (x) tiende al valor constante A como límite cuando x-,) 00 , empleamos la notación del Artículo 17 y escribimos lím f(x) = A . x -,)"- Ciertof' límite:;: particulares que se presentan frecuentemente se dan a continuación. La constante e no es cero. Escrito en forma de límites (1 ) (2) lím .!:... = v lím cv = Forma abreuiada. fr ec u ent emente usada e 00 O ,'-,) 0 c· 00 00 00 00 '/"-,)00 (3 ) (4 ) lím ...!!... = ,.-,)", e 00 00 e .!:... = O. 00 lím .!:... = O. /"-,) 00 00 V Estos límites particula res Ron ú t.ilef' pa ra hallar el límite del cociente de dof' polinomios cuando la variable se hace infinita . E l siguif'nte ejemplo ilustrará el método . EJEMPL O IL US TR AT IVO. 3 D emostrar que lím 2 x - 3 x-,) 00 5 x - X2 XZ - +4 = 7 x3 _ ~. 7 Demostración. Di v ídanse el numerador y el denominador por x 3 • que es la mayor ' potencia de x que entra en la fracción . Entonces tenemos: lím " , - , ) oC + 2 x 3 - 3 X2 4 5 x - X2 - 7 x 3 = 2-2. -I- '±3 l ím x ' x x-,)oo2. _ ~_7 X2 x El l ímite de cada término que contiene a x. tanto en el numerador como en el denominador del segundo miembro. es cero. de acuerdo con (4). Por consig ui ente. se obtiene la solución aplicando las fórmulas (1) y (3 ) del Artículo 16. En cualquier caso análogo se procede . por lo tanto. como sigue: Se diuiden numerador y d enominador por la mayor pot encia de la uariable que entr e en la fracci ón.
  39. 39. http://carlos2524.jimdo.com/ VARIABLES. Si u y FUNCIONES v son funciones de x, lím u "'-7a r" f (x) es 21 Y LIMITES y lírn v = A, = O, "'-7 u y A no es igual a cero, entonces lím ~ = v uble inde- 00 "'-7a Esta fórmula resuelve el caso excepcional de (3), del Artículo 16 cuanclo B = O Y A no es cero. Véase también el Artículo 20. mo límit.e escribimos I PROBLEMAS Demostrar cada una de las siguientes igualdades: nte se dan 2. mente usada 5-2x2 lím X-7",,3x+5x2 Demostración. [Dividiendo El nador. obtiene 2. 3. 4. lím lím t-70 lím 7 r x3• que es •' 5. lím %-700 6. lím k-70 4x+5 2 x 4 (2 (3 +2 t r-: + b x? + e = + ex3 + fx ax' + b x? + e + 3 xh? + h3 X -1' +5 h 6 x3 - 5 x2 + 3 = 3. 2 x3 + 4 x - 7 (2 z + 3 k) 4 k z =1. lím X-7'" ax' d x? 8. 1 T 6 x2h - lím X-7oo dx3+ex2+fx+g 4 9. 2 2 xh 10 . 11. 2 l m "-7'" í + 2 xh2 4-3xh-2x3h3 3h 13. l aox" :<-700 box" m lím aox" %-70 t-ox1t lím s'-a =2a2. 8-7a,S2 - a2 x2 lím ",-72 2 3 - 2 z (2 z - k) 14. e la variable por X2.] 7. í Por consiArtículo 16. y denominador =2. +3 + 3 (+ 2 12. r como en el numerador la solución. /1.-70 =-~ --o x-7",,1.+5 x límite de cada término conteniendo a x. en el numerador y en el denomies cero. de acuerdo con (4). Aplicando (1) y (3) del Artículo 16 se %-700 el cociente 1 siguiente = lím 2 x2 2.. . 4 y2 - 3 lím -7002y3+3y2 + x2h3 = __ 1_ 2x + a¡x"b-l + b¡Xn.-l + a¡xn+ b x" 1 i + x - 6 = 4 x2 - 4 1 + '" +an + .,. + b« + ... + an + +b O" « e = o bu . an bn. = O. O. = oo.
  40. 40. http://carlos2524.jimdo.com/ 22 CALCULO DIFERENCIAL (n . V 16 . 11m x +h ,/~ - Demostración. núm ero entero y posit ivo . ) I =-- 2 V~· h h---70 = No se p u ed e hallar el limite su st itu ye nd o h = O, porque se obtiene la fo rma indetermina d a ~ O (A rt. 12). P or esta ra zó n hay que trans- fo rmar la exp re sión d e una m a n e ra convenie nt e, como se indica abajo, a saber, rac io nali za nd o el num era dor. V x +h - V-; X V x + h + V-; _ ~ + vx h 17. . V x + h - V-; h---7 0 P or tanto , h 11m = lim 11---70 Vrl-h + V-; --- 2V-; Dado f(x) = x 2 , demostrar que lim r(x+h)--f(x~ =2 x . h h---7 0 18. Dado f (x ) = ax 2 + bx + c. demostrar que lím f(x+h ) - f(x) = 2ax+b. h h---70 19. Dddo f (x) = ~ x d e mostrar q u e ¡ím f(x+h)-f(x) ' h h---70 20. -;z . Si f (x) = x 3 , hallar lím f(x +h ) - f(x) h h---70 19. Infinitésimos. Una variable v que tiende a cero se llama un infi:nitésimo. Simbólicamente se escribe (Art. 14) lím v = O o v ---7 O , Y quiere decir que el valor numérico de v llega a ser, y permanece, menor que cualquier número positivo asignado de antemano, por pequeño que sea. Si lím v = l, entonces lím (v - l) = O; es decir, la diferencia entre una variable y su límite es un infinitésimo . Recíprocamente, si la diferencia entre una variable y una constante es un infinitésimo, entonces la constante es el limite de la variable .
  41. 41. http://carlos2524.jimdo.com/ VARIABLES, FUNCIONES y LIMITES 23 20. Teoremas relativos a infinitésimos y límites. En las siguientes consideraciones todas las variables se suponen funciones de la misma variable independiente, y, además, que tienden a sus límites respectivos cuando esta variable tiende a un valor fijo a . La constante E es un núraero positivo asignado de antemano, tn,n pequeño como se quiera, pero no cero. En primer lugar demostraremos cuatro teoremas sobre infinitésimos. 1 . La suma algebraica de n infinitésimos, siendo n un número finito, es otro infinitésimo. En efecto, el valor numérico de la suma llegará a ser, y permanecerá, menor que E cuando el valor numérico de cada infini tésimo llega a ser, y permanece, menor que n. E II . El producto de una constante c por un infinitésimo es otro infinitésimo. EH efecto , el valor numérico del producto será menor que el valor numérico del infinitésimo sea menor que I~I E cuando . III . El producto de un número finito n de infinitésimos es otro infinitésimo. En efecto, el valor numérico del producto llegará a ser, y permanecerá, menor que E cuando el valor numérico de cada infinitésimo llega a ser, y perma.nece, menor aue la raíz n de E . IV. Si lím de v = l Y l no es cero, entonces el cociente de un 1:nfinitésimo i dividido por v es también un infinitésimo. En efecto, podemos eleg ir un número positivo c , numérica mente menor que l, tal que el valor numérico de v llega a ser, y permanece, mayor que c, y también tal que el valor numérico de i llega a ser, y permanece, menor que CE. Entonces el valor numérico del cociente llegará a ser, y permanecerá, menor que E. Demostraciones de los teoremas del Artículo 16. Sea (1 ) u-A=i, v-B=j, w-C=k. Entonces i, j, k son funciones de x, y cada una tiende a cero cuando x -7 a; es decir, son infinitésimos (Art. 19). De las igualdades (1) obtenemos (2) u +v - w - (A +B- C) = i +j - k.
  42. 42. http://carlos2524.jimdo.com/ 24 CALCULO DIFERENCIAL El segundo miembro es un infinitésimo ::egún el teorema l. Luego, según el Artículo 19, (3 ) lím (u x~a +v- w) =A + B - c. Según (1) t.enemos u = A + i, v = B + j. Multiplicando y transponiendo AB resulta: (4) uv - AB = Aj + Bi + ij. Según los teoremas I a III que hemos demostrado, el segundo miembro es un infinitésimo . Luego, lím uv = AB. (5 ) x~a La demostración se extiende fácilmente al producto uvw. En fin, podemos escribir, (6 ) u v A A+ i A Bi - Aj B = B + j - B = B (B + j) . El numerador es un infinitésimo según los teoremas I y II. Según (3) Y (4), lím B (B + j) = B2 . Según el teorema IV, el segundo miembro de (6) es un infinitésimo y, por lo tanto, (7 ) lím x~a ~ = .!l. v B Luego las proposiciones del Artículo 16 están demostradas.
  43. 43. http://carlos2524.jimdo.com/ CAPITULO III DERIVACION 21. Introducción. En este capítulo vamos a investigar cómo varía el valor de una función al variar la variable independiente. El problema fundamental del Cálculo diferencial es el de establecer con toda precisión una medida de esta variación. La investigación de problemas de esta índole, problemas que trataban de magnitudes que variaban de una manera continua, llevó a Newton * al descubrimiento de los principios fundamentales del Cálculo infinitesimal, el instrumento científico más poderoso del matemático moderno. 22. Incrementos. El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incremento de x se representa por el símbolo ~x, que se lee "delta x' '. El estudiante no debe leer este símbolo , , delta veces x' , Es evidente que el incremento puede ser positivo o negativo, ** según que la variable aumente o disminuya al cambiar de valor. Asimismo, significa incremento de y, ~y ~cp significa incremento de cp ~f(x) sig?ifica incremento de f (x), etc. 1 " El célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) ha sido uno de los genios más grandes que han existido. Desarrolló la ciencia del Cálculo diferencial e integral bajo el nombre de fluxiones. Aunque Newton descubrió y empleó la nueva ciencia desde 1670, su primera obra publicada que la exhibe está fechada en 1687, teniendo el título " Philosophiae Naturalis Principia Mathematica". Esta es la obra principal de Newton. De ella dijo Laplace: " Siempre pe!manecerá preeminente sobre todas las otras producciones de 1.1 mente humana." ** Algunos autores al incremento negatilJo le llaman" decremento".
  44. 44. http://carlos2524.jimdo.com/ 26 CALCULO DIFERENCIAL Si en y = f (x) la variable independiente x toma un incremento ~x , entonces ~y indicará el incremento correspondiente de la fun ción f (x) (o sea, de la variable dependiente y). El incremento ~y siempre ha de contarse desde el valor inicial definido de y, que corresponde al valor inicial arbitrariamente fijado de x desde el cual se cuenta el incremento ~x. Por ejemplo, consideremos la función Si tomamos x = 10 como valor in icial de x, est.o fija y = 100 corno valor inicial de y. Supongamos que x aumenta hasta x = 12, entonces y aumenta hasta y = = 9, ~x = 2; y ~y = 44 . es dec'ir, ~x = -1 ; 144, Si se supone que x decrece hasta x es decir , y decrece hasta y = 81 , entonces y ~y =-1 9. En este ejemplo, y aumenta cuando x aumenta, y y decrece cuan~ do x decrece. Los valores correspondientes de ~x y ~y tienen un mismo signo. Puede acontecer que y decrezca cuando x aumenta, o viceversa; ~x y ~y tendrán entonces signos contrarios. 23. Comparación de incrementos. (1 ) .y = Consideremos la función X2. Supongamos que x tiene un valor ini cial fijo y le damos después un incremento ~x . Entonces y tomará un incremento correspondiente ~y, y tendremos: y ~y = (x + ~xr, o sea, + y + ~y = X2 = X2 Restando (1), Y + 2 x· ~x + (~X)2. (2) obtenemos el incremento ~y en función de x y ~x. Para hallar la razón de los incrementos, basta dividir los dos miembros de (2) por ~x, y resulta: ~~= 2 x + ~x.
  45. 45. http://carlos2524.jimdo.com/ DERIVACION remento Óx, función f (x) Si el valor de x es 4, es claro l1y lím - r inicial defie fijado de x consideremos fija y = , Ó."C = 100 6x---;>0 ÓX Valor inicial de x -1; ecrece cuany tienen un aumenta, o Valor final de x 4 4 4 4 4 4 4 2; Óy=-19. = 16) que 8. Observemos ahora con cuidado, mediante una tabla, comporta la razón de los incrementos de x y de y cuando mento de x decrece. Óy = 44. , Óx = (Art. 27 5.0 4.8 4.6 4.4 4.2 4.1 4.01 Incremento 1'1 x Valor Valor Incremento 1'1!J inicial de !J final de !J 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 0.01 16 16 16 16 16 16 16 ; I 25 23.04 21. 16 19.36 17.64 16.81 16.0801 9 8.8 8.6 8.4 8.2 8.1 8.01 de '.'al ores nos dice que podemos hacer que el valor de la razón ~~ 6x---;>0 s después un ondiente Óy, 1'1!J 1'1 x Esta tabla pone de manifiesto que al decrecer -Óx también disminuye -Óy, mientras que la razón de los dos incrementos toma los valores sucesivos 9, 8,8, 8,6, 8,4, 8,2, 8,1, 8,01. Esta sucesión tan próximo a 8 corno deseemos con sólo tornar pequeño. Luego, ~ lím -...1!.. = 8. nción 9 7.04 5.16 3.36 1.64 0.81 0.0801 cómo se el incre- sea a -Óx suficientemente I1x 24. Derivada de una función de una variable. damental del Cálculo diferencial es la siguiente: La definición fun- La derivada * de una función es el límite de la Tazón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero. idir los dos Cuando el límite de esta razón existe , se dice que la función es deriooble o que tiene derivada. La definición puede darse mediante símbolos, en la forma siguiente: Dada la función (1) y =f(x), consideremos •. Llamada un valor inicial fijo de z . ta mb ié n coeficiente diferencial o función derivada.
  46. 46. http://carlos2524.jimdo.com/ 28 CALCULO DIFERENCIAL Demos a x un incremento ~x; entonces obtenernos para la función y un incremento ~y, siendo el valor final de la función (2) y + ~y = f (x + ~x) . Para hallar el incremento de la función, restarnos (1) de (2); se obtiene (3) ~y = f (x Sx) - f (x) + Dividiendo los dos miembros por ~x, incremento de la variable independiente, resulta: ~y f(x+~x) ~x (4 ) ~x - f(x) El límite del segundo miembro cuando ~X-70 es, por definición, la derivada de f( x), o sea, según (1), de y, y se representa por el dy símbolo dx. Luego, la igualdad dy dx (A) lím ¡(x + ~x) - ¡(x) 6 X-70 = ~x define la derivada de y ro de f ( x) 1 con respecto a x. De (4) obtenemos también dy _ lím ~y. dx - 6 X-70 ~x Asimismo , si u es función de t, entonces, du dt = 6~í~0 ~u ~t = . derIvada de u con respecto a t. La operación de hallar la derivada de una función se llama derivación. 25. Símbolos para representar las derivadas. Puesto que l1y y I1x son siempre cantidades finitas y tienen valores definidos, la expresión es una verdadera fracción. Pero el símbolo dy dx ha de mirarse no como una fracción, sino como el valor límite de una f?"acción. En muchos casos veremos que este símbolo sí tiene propiedades de
  47. 47. http://carlos2524.jimdo.com/ 29 DERIVACION fracción, y más adelante demostraremos el significado-que puede atribuirse a dy y dx, pero, por ahora, el símbolo ~; ha de considerarse como conjunto. Puesto que, en general, la derivada de una función de x es también función de x, se emplea también el símbolo J' (x) para representar la derivada de j(x). Luego, si y=j(x), podemos escribir la igualdad dy dx = J' (x) ' que se lee "la derivada de y con respecto a x es igual a j prima El símbolo de x" d dx' considerado por sí mismo, se llama operador derivada; indica que toda función que se escriba después de él ha de derivarse con respecto a x. Así, dy dx - (1 d y indica la derivada de y con respecto a x; dx - ix f (x) indica la derivada de j (x) con respecto a x; d~ (2 x2+5) indica la derivada de 2 x2+5 con respecto a x. El símbolo y es una forma abreviada de ~~ . d El símbolo Dx se emplea por algunos autores en lugar de dx Llle- go, si y=j(x), podem-os escribir las identidades dy d d y' = - = - y = - j(x) = Dxj(x) = j'(X). dx dx dx Debe hacerse hincapié en esto: en el paso esencial de hacer que la variable es t1x y no x. El valor de x se supone fijo desde el principio. Para hacer resaltar que x = Xo desde el principio hasta el fin, podemos escribir: t1x~O, J' (xo) = Hm j(xo 6x~O + t1x) t1x - j(Xo)
  48. 48. http://carlos2524.jimdo.com/ 30 CALCULO DIFERENCIAL 26. Funciones derivables. De la teoría de los límites se deduce que si exist e la derivada de una función para cierto valor de la variable independiente, la fun ción misma debe ser continua para aquel valor de la variable. Sin embargo, la recíproca no es siempre cierta: se han descubierto funciones que son continuas y, a pesar de eso, no t ienen derivada. Pero tales funciones no son frecuentes en las Matemáticas aplicadas, yen este libro se consideran solamente las funciones derivables, es decir, las funciones que tienen derivada para todos los valores de la variable independiente, con excepción, a lo más, de valores aislados. 27. Regla general para la derivación. Según la definición de derivada se puede ver que el procedimiento para derivar una función y = f (x) comprende los siguientes pasos: REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIóN PRIMER PASO. Se sustituye en la función x por x + !::..x, y se calcula el nuevo valor de la función y /1y . SEGUNDO PASO . Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene /1y ( incremento de la función ) . TEIWEH PASO. Se divide /1y ( incremento de la función ) por /1x (1:ncremento de la variable independiente) . CUARTO PASO. Be calcula el límite de este cociente cuando llx ( incremento de la variable independiente) t'iende a cero. El límite así hn'uado es la den:vada buscada . + El estudiante debe familiarizarse con esta regla, aplicando el procedimiento a muchos ejemplos . La resolución detallada de tres de estos ejemplo s se da a continuación. Nótese que los teoremas del Artículo 16 se emplean en el cuarto paso, manteniéndose x constante . + 5. EJEMPLO 1. Hal lar la derivada de la f un ción 3 Resolución. Ap l icando los pasos s ucesi vos de la regla ge neral, obtenemos, despué s de h acer y + Ay = 3 X2 Segundo paso. y = 3 (x = Pri mer paso. 3 y + l'1y = y - 1'1 y = X2 X2 + 5, + 1'1 x ) 2 + 5 + 6 x· 1'1 x + 3 (1'1 x ) 2 + 5, 3 x2+6 x.l'1x+ 3 (l'1x) 3 X2 2 6x'l'1x+3( óX)2 +5 +5
  49. 49. http://carlos2524.jimdo.com/ DERIVACION 31 + 3.l1x . Tercer paso. 11/j = 6 x I1x Cuarto paso. En el segundo m iembro haga m os I1x----;'O. sul ta : Seg ún CA) re- d/j = 6 x . dx o /j' = bien, ~ (3 dx X2 + 5)'-~ 6 x. EJEMPLO 2. Hallar la der i vada de x 3 Resol ución. Hagamos /j Primer paso. /j + 11/j = = x3 (x 2 x - 2 x - + 7. + 7. + I1x) 3 - 2 (x + I1x) + 7 2 + (l1x) 3- = x 3 +3 X2 'l1x+3 x. ( l1x ) Segundo paso. /j + 11/j /j = x 3 +3 2+ (l1x) 3-2 x - X2 .l1x + 3 x. (l1x) x3 = 2 x-2 .l1x+ 7. 2.l1x+7 - 2x 11/j = +7 - 2·l1x Tercer paso. 11/j =3 x 2+3 x.l1x+(l1x)2-2. I1x Cuart o paso. En el se g undo mi em bro hagam os I1x----;'O. dremo s: Según (A) ten - '.!J¿=3x 2 - 2. dx o y' bi e n , ~ (x 3 = 2x - dx + 7) = 3 X2 - EJEM PLO 3. Ha l lar la deri v ada d e la función Resol ución. Hagamos y Primer paso . /j + l1y = Segundo paso . y + 11/j = = 2. c ? -~ . X2 C (x + l1x)2 (x c + I1x) 2 y 11 Tercer paso. Cuarto paso. _ y - - c ·l1x (2 x + I1x) x2(x+l1x)2 c -:-(x--: I1-x -'--;:2 +---;- ) 11/j = -e I1x 2 x X2 (x + I1x + I1x) 2 En e l segu n do miembro hagamo s I1x ----;'O. dremos : d/j = _ c.~ =_ ~. dx X2(X)2 x3 Según (A) ten - x X2 x [/j /_ dd(C) -_ - 2e ] 3 '
  50. 50. http://carlos2524.jimdo.com/ 32 DIFERENCIAL CALCULO PROBLEMAS Calcular general. la derivada de cada una lo y=2-3 2. y=mx+b. 3. y=ax2. y'=2ax. 4. s =2 s' = 2-2 5. q=c x" . de las siguientes x . Sol. 7. u=4 v2+2 8. y=x'. 9. Q=--. y' v3. 0+1 3 =4 1lo t+4 S=-. t a(2 2lo u = 22. Y = ax3 SEGUNDO + bt + y bx? TERCER e. + ex 24. y= (2 - t2 25. y= (Ax + 2 (l--2x) 26. s 27. y=---. PASO. d. x y=~+bX2' 28. + x) (l-2x). Q=--. 0+2 14, At+B s=--· Ct+D ds (j(- x3+1 y=--. x r!:l 2 2' AD-BC (Ct+D) = 2 x __ 2 x2 = 29. B) (Cx+D). P (x, y) (a+bt)3. a 2 1_. Con este paso vemos que la a la pendiente de la secante + b x? x2 x2 y = a + bX2' geométrica de la derivada. Ahora vamos a que es fundamental en todas las aplicaciones del Cálculo diferencial a la Geometría. y Primero es necesario recordar la definición de tangente a una curva en un punto P de A la misma, Supongamos una secante que pase por P y un punto próximo Q de la curva (fig. 6). Hagamos que el punto Q o x N se mueva sobre la curva aproximándose indefinidamente a P: La secante girará Fig. 6 alrededor de P, y su posición límite es, por definición, la tangente a la curva en P. Consideremos ahora la gráfica de la función f (x) , o sea, la curva AB (fig. 6) , dada porla ecuación en la gráfica de f( x) . Examinemos el sentido g sidera el valor de x como fi; Asimismo , ~:l: varía tendie punto Q ha de moverse a u posición limite Luego la s corno lím ite la tangon te en 28. Interpretación considerar un teorema (1) y+L PA •.O. 2 v3 - 3 v2. + 4 dy = dx = y+L PASO. 5. Q= 13. 15. s PRIMJ.:H. 8x (4-X2)2 23. 2 dQ = (0+2) dO O «v : 20. x3. 2x {x2+(2)2 l-x2 (x2+1)2 dx y = 3 x2 - 4 x - la regla (a-bO)2. ~= dt dx x2 y =4-x2' 19. 6x (x2+2) dx y=I-2x' «v : dx x2. 3-3 d u __ y=--. x2+2 12. x Y = x2+1 . 18. dQ = ___ 2_ (8+1)2 dO 10. 1 dy=_ dx t. u'=8v+6v2. y' 2 = 1 y=--. x2+a2 17. y'=3cx2. y =3 x-x3. usando 16. y' = m. (_(2. 6. y' = -3. funciones . Procedamos ahora a deri a interpretar cada paso gE punto P (x, y) de la curva, también de la curva y cerca y=f(x). </> = 7 Luego lím </> _. = inclin inclin Suponi 6.1'---70 (véase el Art , 70), tenemo dy _ CUARTO PAi-iO. d~- Así hemos establecido el im Teorema. El valor de le iqual. a la pendietue de la tal
  51. 51. http://carlos2524.jimdo.com/ 33 DERIVACION . Procedamos ahora a derivar la funci ón ( 1) según la regla general y a in terpl'etar cada paso geométricamente. P a ra ello pscogemoR un punto P(x, y) de la curva, y un segundo punt.o QCx + ¡}.:r, y + ¡}.y), también de la curva y cercano a P. + ¡y = f( x + ¡}.:r) Y + ¡}. y = f(x + ¡}.x) Y PRIMIC]i PASO. S~iGUNDO PASO . =NQ = f(x) y ¡}.Y = ;(x ¡}.y _ f(x ¡}.X - TERCER PASO . =NQ =ll1P = N R + ¡x) - + ¡}.x) - f(x) ¡}.x f (x) ;= RQ RQ RQ = MÑ = PR = tg L RPQ = tg 1> = pendiente de la secante PQ . Con cRLe pa:;;o vemos que la raz<'m de los incrementos ¡}.y y ¡}.x a la pendien te de la secante determinada por IOR puntaR P (x, y ) y Q(x AS i¡!;ual + ¡}.x, y + ¡}.y) en la gráfica de f(x). Examinemos el sentido geométrico del cuarto paso. Ahora se con sidera. el valor d(' x como fijo. Luego P es un punto fijo de la gráfica . Asimismo, ¡}. :¡: varía tendi endo a cero. Por tanto, eviclent(,ll1enLP, p. l punLo Q ha de moverse a lo largo de la curva y aproximarse a P como posición líll1il e. Luego la secctnte PQ girará alrededor de P y tendrá CO!rlO límite la tal1g(~ntc en P . ¡';n la figura, cp = inclinación de la secante PO, :- = inclinaci<Ín de la t.angente P'l'. Luego lím 1> _. 6..1" ----;. u Suponiendo :¡ue Lg 1> es lna fllllciún c;)ntinll:t (véase el Art. 70), tenemos: CUAR'!'O PASO. d -d~ = f X I ( x) = Iím tg 1> = t g :- , 6 :1: ----7 0 = pendiente de la tangente en P . Así hemos establecido el importante teorema siguien te : Teorema. El valor de la derivada en cualq¡úer punto de ¡¿na c¡¿rva. es ·ente de la tangente a la cu rva en w¡uel punto . 1 ·gual a la pend1
  52. 52. http://carlos2524.jimdo.com/ 14 CALCULO Este problema de la t.angente del Cálculo diferencial. llevó a Leibnitz EJ ElvIPLO. (fig. Hallar las pendientes de las en el vértice y en el punto de a bscisa 7) Solución. resulta: (2) tangentes x Derivando = dy dx = 2 x = Yz pendiente Fig. * 6. tangente al descubrimiento a la parábola y = x2 la regla general de la tangente (Arr. 27) en cualquier de la tangente (2), obteniendo: dy = dy P forma en el punto = O. el eje de las x un a n g ul o de 45". PROBLEMAS Aplicando las derivadas hallar la pendiente y la inclinación de la tangente cada una de las curvas siguientes en el punto cuya absc isa se indica. Verificar re s u l t ad o r ra z.an do la curva y la tangente, 2. Y x2 - lJ 2x - Yz x s ie n d o x 3. y 4. Id = 3 5. Y siendo x3 So!' +3x - siendo - 3 x2, a el 2; 63" 26'. 3. x = 2. - x-l = 1. s ie n do x 2, 4 .. x3• siendo x x = - J. = +) 1. Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) nació en Le ipz ig . Su gran talento se manifestó con investigaciones originales en varios ramos de la Ciencia y de la Filosofía, Fué el primero que publicó sus descubrimientos de Cálculo infinitesimal en un breve ensayo que apareció en la revista Acta Eru d i t or um . de Leipzig. en 1684. Se sabe, no obstan te, que ya existían manuscritos de Ne w to n sobre las" fluxiones", y algunos hi si or i.idores creen que Leibnitz recibió las nuevas ideas de aquéllos. Actualmente se cree, a lo que parece, que Ne w to n y Leibnitz inventaron el Cálculo inf in ite si mal independientemente el uno del otro. La notación que hoy se usa es la que Le ibn itz introdujo. Sol. = x2 - 1, Y = x2, X ' con y=l-x2, y l: dx de la cur E n cada uno de los tres sig u ier sección del par de curvas dado; 1 a cada curva, y el ángulo forma sección (véase (2) del Artículo en el vértice, dx 7 2, En la curva y = ;(3 a la recta y = 4 x . 8. Luego la pendiente de la tangente en el vértice es cero; es decir, la tangente es paralela al eje de las x , y en este caso coincide con él. Para hallar la pendiente de la tangente en el punto P, de ahscisa x = Yz ' bastará s u st i t u i r x = Yz en (2). Se obtiene: 1. 7. paralela 9. x e s de c ir , la tangente Hallar el punto es de 45°. . según punto (x, y) de la curva. Para hallar la pendiente bastará sustituir x = O en o [ DIFERENCIAL - 11. Hallar de intersección Y +2 = O. el ángulo (3, 3). de las C1
  53. 53. http://carlos2524.jimdo.com/ 35 DERIVACION 6. Hallar el p un to de la cu rva y = 'í x tan ge nt e es de 45° . 7. En la cur va y = x 3 paral ela a la recta y = 4 x. + X 2 en el qu e la inclin aci ó n de la S ol . (2, 6 ) . x h a llar lo s puntos en los que la tangente es Sol . (1. 2) . (-1. -2) . E n cada uno de los tres siguientes problemas hallar: a) los puntos de intei. sección del par de curvas dado; b) la pendiente y la inclinación de la tallgente a cada curva, y el ángulo formado por las tangentes. en cada punto de intersección (véase ( 2) del Artículo 3) . 8. 9. Y = X2. X - !J Sol. y=l-x 2 , y = X2 - 1. +2= Angulo de intersección 10. O. !J = x 3 - arc tg % 53° 8'. 3 x. 2 x +!J "" O. 11. Hallar el ángulo de las curvas 9!J - x 3 y !J - 6 de intersección (3, 3). +8 x - x 3 en el punto Sol. 21° 27'.
  54. 54. http://carlos2524.jimdo.com/ CAPITULO IV REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 29. Importancia de la regla general. La regla general para derivación, dada en el Artículo 27, es fundamental, puesto que se deduce directamente de la definición de derivada, y es muy importante que el lector se familiarice completamente con ella. Sin embargo, el procedimiento de aplicar la regla en la resolución de problemas es largo o difícil; por con¡>iguiente, se han deducido de la regla general, a fin de facilitar la tarea, reglas especiales para derivar ciert.as formas normales que se presentan con frecuencia. Es cómodo expresar estas reglas especiales por medio de fórmulas, de las cuales se da a continuación una lista . El lector no sólo debe aprender de memoria cada fórmula cuando se ha deducido, sino también poder enunciar en palabras la regla cOlTespondiente . En estas fórmulas 1l, v, w representan funciones deriva bles de x. 1)b~RJVA C16N FÓHMULAS DE de dx 1 IV v O . d:r = 1 dx . II III = d - (u dx +v- w) du dx do dx = -, + - d dx dw - -. dx dv dx -(ev) = e-. d - (uv) dx = dv udx du + v-o dx
  55. 55. http://carlos2524.jimdo.com/ REG LAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS VI d dv _(vn) = mi' -l - . dx dx VIa d dx (xn) 37 = nXn - l. du dv v dx -- ud; VII V 2 du VIIa ~ (~) = d;. dy dy dv - - .siendo y función de v. dx - dv dx' - VIII dy 1 - - - dx' siendo y función de x. dx IX dy 30. Derivada de una constante. Si se sabe que una función tiene el mismo valor para cada valor de la variable independiente, esta función es constante, y podemos representarla por y = c. Cuando x toma un incremento .1x, el valor de la función no se altera j es decir, .1y = O, Y Ay = O .1x . .1y 1"' -7 0 I1x dy dx , hm Pero I :. --=-= o. ~~ = o. La derivada de una constante es cero. Este resultado se prevé fácilmente. En efecto, la gráfica de la ecuación y = c es una recta paralela a OX j luego su pendiente es cero . Y como la pendiente es el valor de la derivada (Art. 28) resulta que la derivada es cero.
  56. 56. http://carlos2524.jimdo.com/ 38 CALCULO DIFERENCIAL 31. Derivada de una variable con respecto a sí misma. Sea = y x. Siguiendo la regla genera.! (Art. 27), tenemos: y PRIMER PASO. + f'..y = x + f'..x . SEGUNDO PASO. f'..y = f'..x . TERCER PASO. f'..y = . Al CUARTO PASO. -= 1 o;¡; dy dx . dx = 1. dx 11 La derivada de una variable con respecto a sí misma es la unidad. Este resultado se prevé fácilmente. En efecto, la pendiente de la recta y = x es la unidad. 32. Derivada de una suma. Sea 1! = u +v- -w . Según la regla general: y PRIMER PASO. + f'..y = u + f'.. u + v + f'..v SEGUNDO PASO. TERCElt PASO. f'.. y f'..x + f'..v - f'..y = f'..u = - f'..w. f'..u+ f'..v _ f'..U) I1x f'..x f'..x· Ahora bien (A;-t. 24) , lím f'.. u = du 6.>:-)0 f'..x dx' lím f'..v = dv 6 :1:--70 f'..x lím f'..1Jj = dw dx' 6X--70 f'..x Luego, según (1) del Artículo 16 , dy = du dx dx CUARTO PASO. III d . -(u+v-- w) dx + dv_ dy; . dx dJ; du dv dw = -+---. dx dx dx dx . It' - f'..w.
  57. 57. http://carlos2524.jimdo.com/ REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 39 Una demostración semejante es válida para la suma algebraica de cualquier número de funciones. La derivada de la suma algebraica. de un n"Ílmero finito n de funciones es 1:gual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones. 33. Derivada del producto de una constante por una función. y = cv . Sea Según la regla general: PRIMER PASO + y + f1v) f1y = e (v = SEGUNDO PASO f1y TERCER PASO = cv + c/).v. f1,!/ f1v - =c f1x cf1v /).x· De donde, según (4) del Artículo 16, CUARTO PASO d - (ev) dx IV dv dx = e-. La derivada del producto de una constante por una función es 1·gual al producto de la constante por la derivada de la función . 34. Derivada del producto de dos funciones. y Sea = uv. Según la regla general: PRIMER PASO y + f1y = + f1u) (u (v + f1v) . Efectuando la multiplicación: ?J + l1y = + uf1v + vf1u + f1uf1v. uf1v + vf1u + f1uf1v . uv SEGUNDO PASO. f1y TERCER PASO. i1y /10 f1u /).V -=u-+v-+/).u-. /).x = /).x /).x /).x
  58. 58. http://carlos2524.jimdo.com/ 40 CALCULO DIFERENCIAL Aplicandn (2) Y (4) del Artículo 16, notando que lím l1u = O, 6X-7 0 I1v y que, por tant.o, el límite del producto l1u I1x es cero, tenemo¡,;: v dy = u dv + u du . d dv -(uv) = udx dx CUARTO PASO. du + v-o dx dx dx d.l: T,a derivada di! un JHvdw ·to de dus funciones es igual al producto de la primera función por la derivuda de la segunda, más el producto de {n segunda por ln dr!1'1'vadn de la prirnem . 35. Derivada·del producto de n funciones, siendo n un número fijo. Si se dividen am bos miembros de la fnl'mula V por <lU, se obtiene: .!i (uv) du dI; ~=dx+dx. uv u v Luego, si tenemos el producto de n funciones, y = Vl V2' .. Vn, podemos escrihir d dl'l - (VI I'~ . .. 11,,) dx = dx VI V2 ... Vn VI dVI dx VI d ••• + -(_lx (1'2 V;¡_ _1',,) __ _ V2 V3 . .. Vn dvz dx V2 dV3 - dv" dx V" dx V3 =-+-+-+"'+-. Multiplicando ambos miembros por VI V2 ... V'" d ~ dx(vlv2'" Vn) = (V2 V3'" Vn) dx tenemos: + (VIVa'" ~ Vn) dx + ... dVn + (VI V2 ... Vn - l ) dx' La derivada del producto de n funciones, siendo n un número finito, es igual a la suma de los n productos que se forman multiplicando la derivada de cada función por todas las otras funciones .
  59. 59. http://carlos2524.jimdo.com/ REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 41 36. Derivada de la potencia de una función, siendo el exponente constante. Si en el resultado obtenido en el artículo anterior, cada uno de los n factores es igual a v, se tiene .!i (v n ) dv dx dx - - - =n an v ' ~ (un) -=- VI dx Cuando v = nUn 1 du dx· x eRl,o se convierte en d dx(x n ) VIa = nxn-l. En esta demostración VI hemos supuesto que n es número entero positivo. En el Artículo 65 se demostrará que esta. fórmula. es válida ')nra cualquier valor de n, y nos serviremos desde ahora. de est,e resul tado general. La derivada de la potencia de una función de exponente constante es ignal al producto del exponente por la función elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la funáón. Esta regla se llama, a veces, regla de potencias. 37. Derivada de un cociente. u y= - . v Sea Según la regla general: Y PRIMEH PASO. y - 1013 v teoremas del Artículo 16 : dy dx CUARTO PASO. = du dv v--udx dx v2 du VII u v + L1u + L1v L1u L1v v--uL1x L1x 1I(v+L1v) TBRCER PASO. Aplicando du .E-. (.!:..) = v;¡x - u ;¡x dx ~ u + L1u + L1y = -+ L1v . -v L1 _ u SEGUNDO PASO. (v V v2 v·L1u-u·L1v v(v + L1v) O)
  60. 60. http://carlos2524.jimdo.com/ CALCULO DIFERENCIAL 42 La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador. Cuando el denominador es constante, basta poner v = c en VII; esto da: du .!!...(~) VII a dx l e P ueSTO que -d () dx = dx. e ele =- = dx o. ] Podemos también obtener VII a de IV como sigue: du :x (~ )= ! ~: = :x. La derivada del cociente de una función d1'vidida p01' una constante es igual a la derivada de la función dividida por la constante . PROBLEMAS * Hallar la derivada de las sig uientes funciones: 1. Y = x 3• Solución. 2. y = ax 4 Solución. dy dx =~ (x 3 ) dx =3 bX2. - !!...- dy = (ax4 dx dx = a~ (x 4 ) • dx = 3. Y = x% Solución. Según VI a X2. 4 ax 3 - !!...- I>x2) = (ax 4) - dx - ¡,~ (X2) dx 2 bx. ~ dx (bX2) según II! seg ún IV Según VI a + 5. dy = dx = !!...dx (x%) + _~ (5) dx . % x Va . * Mientras el estudiante aprende a derivar. derivación de funciones sencillas. según JII Según VI a y debe recibir lección oral de
  61. 61. http://carlos2524.jimdo.com/ REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 43 según IIr Seg ún IV 5. y vr a y=(x2-3)~. Solución. = dy dx 3) 4~(.X2 - ) ) dx l () = X2 - 3 y 5 (x 2 segun VI -- = 11 5. J =5(x 2 -3)4.2x= IOx (x 2 - 3)4 Es posible desarrollar esta función según la fórmula del hinomi0 de Newtoll y ento nces aplicar III. etc .. pero el procedimiento aqui dado es preferible. l (3 ). Art. 11 Va 2 - x2 • Solución. dy =.!!... 6. 1} = dx (a2 _ x2)Yo=.l (a2_ xZ ) -Yo .!!... (a Z -x2) 2 dx dx [() = a2 - y X2 = n l1z =..!...(a 2 - x 2 )-Yo(-2x) =2 7. y = (3 x2 Solución. + 2) vi 1 + 5 según VI .1 V x a 2 - X2 X2. x2+2)~ ( 1 +5 x 2 )v, + ( 1 +5 X 2)Y, ~ (3 x2+2) dI} = (3 dx dx dx según V ..!... (1 2 + 5 X2) -Yo .!!... dx + (1 +5 (l +' 5 X2) x2) Y, 6 x + según VI. etc. (1 +5 x 2 )-y, 5 x+6x(1 +5 x 2 ) y, 5x(3x2+2) ./ 5 . 45x 3 +16x 1 5 X2 + 6 x v 1 + X2 = l + 5 X2 . + = V y = a2 V Solución. + a2 X2 - dy = V . X2 (a 2 - X2) y, ~ (a 2 . dx dx + X2) a2 2 x (a 2 x2) - (a 2 - - - (a 2 + x2) .!!... (a 2 - X2 (a 2 - X2) % según VII + x (a 2 + X2) X2) % [Multiplicando num erado r y denominador por (a 2 3 a2 x - x 3 X2) y, dx - x2»L 1
  62. 62. http://carlos2524.jimdo.com/ CALCULO 44 DIFERENCIAL cada una de las s ig u ie n t es derivadas. Comprobar 10. ~ dt 12. :z (~ - 28. y = X/ V ~O. s = t 13. 31. = ) 32. ~vv=~elu 2vudx' 15. ~(2t%-3 (2 x% + 4 x-X) = 2. x-X - x-X. 35. s: ( a + bx + cx 2 V-:; = 2 Y = a = C _ .z . dy __ dx - 1 __ _ /4vx 2 ve Ve dt I/-¡;; + _a_o vax 2 t dy a_ dx - e=v~_ 23. F(t) = (2-3t2)3. F'(t) 24. F (x ) = ~ 4 - 9 x. F' (x) 38. dO = - V = -18 ve u 2,/ax de 2 02V3=40., a2 x2 - y= F (O) V = (2 - dx x2 5 O) %. F'(O) = lj = 40. Y =~ la derivada 3 t2)2. - 43. x2• f (x) = de cada 44. y = J ~- 3 2/' 5 IJ) dy=2b(a_~). x 45. 15 46. y = . s = UI V2x + ~3 2-x 2.2 . x 31 • X2) 12 - x2 V {/~ - (/ Hallar t(2 (2 - dx .y-:¡-¡; . 39. 3 (a2 _ t. 1 1- 2 O' x = H/2 + 3 "j2-3t 2 xV-ax = dy . a2 - s ~ 2 42. 27. r = I_ + xvx . _/- ds a b -=---+--+---.3 cve + bt + ct 22. 26. . V 37. x" V-:; y=------. s ) X 2 25. x . 36. dx 21. y= x 2 17. 20. - V~2 y= 3 dx 19. a 34. t-~. x2 x2 2 + ~. t%) =.2t~-2 dt 16. ~ 18. a y=---. + 2 33. = - ~ 2• a y=--. - x a+x Z - Z6. dx :x (~ - ;) + t a2 15 bt>. =5 at" - 7 14. +x . b II 2 x3) = 3- 6 x2• (atÓ -- 5 b(3) z7 DER y=(a+~y 29. s. (4 + 3 x dx 11. PARA REGLAS Va V~ . - hx
  63. 63. http://carlos2524.jimdo.com/ REGLAS PARA y=(a+~t 29. y = x/ ({ 30. s = / 31. a - y= 34. 35. 36. 37. ,VI "d.; x a2 - 1I y=j~' ._ 4 O. = j lj 40. y = -e- V u2 x2V = - 6 (1 - li ti = 42. 43. r 2 a2 - • +3 t {/2 du _ _ e/x - v'2-; + ~T;. X 44. !J = 45. s = 46. l' = V a - V a + 6/ ~ a+¡,iJ lj • i: { (2 -3/)%' /)2.' d!J _ (a% _.. Y<)X. 2 x" 4 (2+3/)% ~,:~- I ~. 2 x 2a2x _ ¡---x2) V {/4 - (a2 - e/y = E... dx y x2• - (l+ex)VI-e x2 ds 'T:" 2-x y = 10 (12 3 - 4 () is : d.x . x2 ...;-=¡-¡;; . (x ) = x2 e - la de r iv ada de cada una de las siguientes Hallar + ~2 2 (/ 41. +;)2 (a dx - 1a +x .!2- V {2 2 a dy _ 2 ax + a2 .. - ex s-j2_3/ ::¡9 . = dr liH 2 y a2+2/2 dy a2• - = 3/' dx (a2 _ X2) /2 x2 V3- r = 02 + ti Y x V ~)2. x2 dy _ 4 a2x dx(a2-x2)~ V~2 y = + d Y 2 a 3 ¡'X dX=2v/a+'-;; di • 2 - -?J>.(a x du d~ = - +x x .:.. H/2 3R. /2. ALGEBRAICAS 3 lis + a2 2 a y = a2 33. + bx . x. y=-;+x 32. = dx V 2 FUNCIONES rjy 28. +3 DERIVAR lI2~1 .Y -:;. ~ funciones: x2,/ 47. Y 48. y = x~ 49. s =~2/-J.... 50. Y 51. = 5- 2x . 2 +3x . /2 (x + 2) 2V VI = +2x y=~1+3x' x2 + 2. 45
  64. 64. http://carlos2524.jimdo.com/ 46 CALCULO DIFERENCIAL En cada uno de los siguientes ejercicios. hallar el valor de dy para el valor dx dado de x. 52. Y = (x 2 53. Y = 54. y=(2x) Y:í +(2 x)% ; 55. !J = 56. y= 57. y= 58. y = 59. y=x 2 v'I+x3; 60 . 1J = (4 - In. y = 2 -x'! ; '/ = v'5-2 x . 2 x+ l 3; ; + - X2) 2 %. x = 3. x = 3. o. x = 2. X2; 3; 540 . %. x =4. 2. = X x xv' 8 Sol. x = 64. v' 9 + 4 x 2; v' 25 - X2 v' 16 + 3 x 3. X = "';;; + Vx; x~ . x) - 20. x=2 . X = .' = 3. 63. 64. 2. I x =-. (i!j. 2 y= xv'3 +2x; Y = , -.1 /4'+ l JT7=I'; ~ x [=3. x = 2. - ",2 - 5. IV _ x"' .' = 3. 32. Derivada de una función de función. A veces acontece que y no se define directamente como función de x, sino que se da como función de otra variable v que se define como función de x. En est,p. (~a::;o, y es función de x por int.errnedio ele 1/ , Y :;;f> lIalJla. función d.: f; ~ nr:i,¡n . 2/, Por ej(~fltplo, si Y = 1 - v~ y entonces y es una función de función. Eliminando v podemos expresar y directamente como función de x, pero, en genera!, este método dy no es el mejor cuando deseamos hallar dx' Si y = f (v) y v = 4> (x), decimos que y es función de x por intermedio de v. Entonces, si damo~ a x un incremento ~x, obtendremos para v un incremento ~v y para y un incremento correspondiente L1y. Teniendo esto en cuenta, apliquemos la regla general de derivación sirnu ltárieamente a las dos funcione:;; y = f(v) y ¡; = cp(x).
  65. 65. http://carlos2524.jimdo.com/ PARA REGLAS ara el valor v+l1v=1> y+l1y=f(v+l1v) V+I1V= V 72' =f(v) l1y=f(v+l1v) %. 47 (X+I1X) . </> (X+I1X) = </> (X) - f(v) I1v= </> (X+I1X)-</> l1y _f(v+l1v)-f(v) I1v I1v TERCER PASO. %. o. ALGEBRAICAS v+l1y=f(v+l1v) PASO. 540. %•. FUNCIONES y PlUM¡';lt SEGUNDO PASO. o/ . DERIVAR I1v I1x- </> (X+I1X)-</> (X) (X) I1x Los miembros de la izquierda expresan la razón del incremento de cada función al incremento de la variable correspondiente, y los miembros de la derecha expresan las mismas razones en otra forma. Antes de pasar al límite, formemos el producto de las dos razones. tomando las formas de la izquierda. Resulta: 20. l1y = I1v -. I1v I1x' = 3. l. . que e$, Igual a .. l1y 'x. L l1y = l1y . l1.u !1:r !1/! 11. x . = J. ( 'l' A ttT') litnitr: tece que y da como . En este . SI' l' A ~u . Cuando ~;¡: ---70, igua Imen te 11.¡r-7(). Paliando al obtiene : (A) Esta igualdad dy dx puede también = dy dv dv' dx ' escribirse Según (2), A rt , !ti en la forma: unción de (B) ~~ = f'(v). </>'(x). Si y = f (v) y v = </> (x) , tu derioada de y ('un respecto a x es 'igual al producto de la derivada de y con. respecto a v por la derivada de v cori respecto a x , os exprete método de x por x, obtenorresponeneral de 39. Relación entre las derivadas de las funciones inversas. una función V llana como función de x según la ecuación Sea y=f(x). en .A menudo es posible, en el caso de las funciones que se consideran e libro, resolver la ecuación con respecto a x y hallar e:-;I x=</>(y); es decir, poclemos también considerar V como la variable indepeudiente y x como la dependiente En este caso se dice que f(x) y </> (y)
  66. 66. http://carlos2524.jimdo.com/ 48 CALCULO DIFER ENCIAL son funcione s inversas. Cuando deseamos distinguir la una de la otra , es usual llamar función directa la que se dió al principio, y funcüín 'inversa a la segunda. Así, en los ejemplos que siguen, si los segundos llliemul'Os en la primera columna se Loman como laR funciones directa s ) entonces los miembros co rrespondientes en la segllnda serin respeeti-varncnf.e las fun ciones ·/;nversas. y = y = X2 + 1, x= ± , / y - l . aX , x = log" y. x = arc sen y. y= scnx, Ahora derivemos las funciones inversas y = f(x) y x = 1> (y) multáneamente según la regla general. PHIMr,m PASO. y+~y= f(x+~x) x+ ~ x=1> SEGUNDO PASO. y+!y= f(x+~x) SI- x+!x= 1> (y-t,1y) = f(x) y x ~ y= f(x+~x) Tlc l tC~~R PA SO. - f(x) ~y f(x+~x)-f(x) ~x ~x (y+Ay). = 1> (y) ~x =1> (y + ~y) - 1> (y). ~x _ 1>(y+ ~y) - 1>(y) ~y- ~y Mu ltiplicando e:-;Las ra zo,n es , Lomando las formas d e la izquierda, tenemos: l1y I1x -=1 11~: l1y , ~y =I1x ~x ' Ay CUARTO PASÜ. Cuando Ax-;'O, entonces, en general, tamhién [). y -;. O. Pasando al límite, (e) (n) dy 1 dx = dx' dy según (3), Art. Hi 1 f'(x) = cf>/{y) • La derivada de la función inversa es igual al1'ecí proco de la derivada de la función directa.
  67. 67. http://carlos2524.jimdo.com/ REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 49 40. Funciones implícitas. Cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x. Por ejemplo, la ecuación (1 ) X2 - 4Y = O define y como función implícita de x . Es claro que por medio de esta ecuación x se define igualmente como función implícita de y. A veces es posible resolver la ecuación que define una función implícita con respecto a una de las variables, obteniendo así una función explícita. Así, por ejemplo, la ecuación (1) puede resolverse con respecto a y, obteniéndose 1 = - x2 , 4 Y donde aparece y como función explícita de x. En un caso dado, sin embargo I puede ocurrir que semejante resolución sea imposible I o demasiado complicada para una aplicación cómoda. 41. Derivación de funciones implícitas. Cuando y se define como función implícita de x I puede no ser conveniente (como hemos dicho en el artículo anterior) el resolver la ecuación para obtener y como función explícita de x, o x como función explícita de y. Entonces para calcular la derivada seguimos la siguiente regla: Derivar la ecuación, término a término, considerando y corno función de X, y de la ecuación resultante despejar ~~ . La justificación de este método se dará en el Artículo 231. En la derivada pueden sustituirse solamente los valores correspondientes de x y y que satisfacen a la ecuación dada. Apliquemos esta regla en hallar ~; en la función Tendremos: d - (ax 6) dx 6 ax" d + .- (2 dx d X3 y ) - - (y7:x;) dx + 2 x a dy + 6 x2y dx (2 x 3 - y7 - 7 xy6 dI} = -d (10); ~ = dx dx O. ) 7 xl;) dy = y7 - 6 ax ó .- 6 xly ; dx
  68. 68. http://carlos2524.jimdo.com/ 50 CALCULO Y desneu de dy espejan O dx' REGLAS DIfERENCIAL PARA DER 25. Demostrar que las par tan en ángulo recto. resulta: dy _ yl 6 ax5 - dx - 2 x3 El estudiante debe notar tanto u T como a y. que, - 6 :J.;~y 7 xl en general, 26. Demostrar que las cir x2 -- y2 -1- 2 x -1- y = 10 son t el resultado 27. contendrá ¿ Bajo qué ángulo co rt: Si f (x) y <P (y) son puede dibujarse construy a la izquierda 90° alrededor del 28. </> (x) PROBLEMAS Hallar dy para dx cada una de las funciones PROBL siguientes: 1. El vértice de la parábo de la parábola es un extremo parábola y la elipse se cortan er 1. V 2. y = 3. a y._--- U 1I=~-- (1 d,y _ dx - X. x = 'l. y2 = 8. x2 + y2 9. b2 x2 2. Se traza un círculo de c o r t a en ángulo recto a la elipse e/x (~!!.= __ que --=l__ + y2 + y' 1 dx --- = --,-;--. 4. il x 3 y ...I;-- 2 13. x" -1- 3 x2y H. .v 15. x2 16. 10. 17. ax3 - 12. Hallar ('2. a2y2 + yl3 2/ xl3 x3 - V~. = 2/ a/3 . = + y3 3 axy la pendiente + xy a2 1>2. = V~+ Vy 2' 11. -1- = = O. 18. de cada una de las siguientes (2, 3) . 3 x q? -1- y3 = 1 ; (2, -1) . 19. 20. x3 - 21. V2x 22. x2-2Vxy- 23. x3 - 2·1, x2 - + .. /'3Y = 5; 'l2 ax q +3 Cl9:!. = 52 ; = 3 a3 x'V xy - 2 'l2 = (,; 2) . (8, ; (a, (4, que .¡ recta +y 2V--'::Y -1- aV---;';y -13 b2xy ~-I-~~ curvas a) . 1) . n i am c e n te si se vc r if ica que t. y~ = ('''. 5. Hallar la ecuación de la cualquiera. Demostrar que la > = (/. dividida y2 = b>. -- cy3 = 1. 6. en la razón m por n el Si k es la pe n dren .e de demostrar que su ecuación es y de los puntos de intersección d ecuación x2 -1- y2 = a2 - b2. = 6. en el punto dado. - );:1. ~t. 3) . (2, +- -1- Sol. -1- 2 y2 = 28; x2 Demostrar x4+4x3'l+y4=20. ú 2 px . 3. Se une un punto cuale estas rectas forman con la 6 y% dy Vy -I--Y;;. f.. 1) . - ".J! 15 Y -1- 5 y" -1- 3 y". 15 x (3 x2 d Y = ~4.,-::..ab=-- _ _ dx (,,-I-lI)2 (b--X)2 . lI=VI-x2. 4. 5. = x3 - b -- X b -- x u -1- a u2, 2 u-
  69. 69. http://carlos2524.jimdo.com/ REGLAS PARA D ERIVAR FU N CIONE S ALGEBRA ICAS 51 25. Demo s trar que las parabolas y2 = 2 p x + p2 Y y 2 = p2 - 2 px se cor'tan e n ángulo recto. 26. Demostrar que las circu nf erencias X2 + y 2 - 12 x - 6 y + 25 = O y X 2 + y2 + 2 x + y = 10 son tangentes en e l punto (2, 1). 27. ¿Bajoqu é ángulo corta la recta y =2x alacurvax 2 -x y+2 y2=28? 28. Si f (x) y '" (y) son funciones in ve rs as, demostrar que la gráfica d e '" (x) puede dibujarse construyendo la gráfica de -f (x) y haciendo girar ésta a la izquierda 90° a lr ede dor del origen. PROBLEMAS ADICIONALES 1. El vértice de la parábola y2 = 2 px es el centro de una elipse. El foco de la parábola es un extremo de uno de los ejes principales de la elipse, y la parábola y la elipse se cortan en ángulo recto. Hallar la ecuación de la elipse. Sol. 2. COrla 4X2+2y2=p2. Se tra za un circulo de centro (2 a . O) con un radio tal que el círculo en ángulo recto a la elipse 1> 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 • Hallar el radio. Sol. 3 . Se un e un punto cualquiera P d e una e lip se con los focos. Demostrar que es tas re c ta s fo rman con l a n or mal a la curva en P ángul os a g udos igual es. 4. D e m ost ra r qu e l.1 re cta Bx + Ay = AH es tangente a la elipse úni ca ment e si se verifica que IF,, 2 + .tP¡'2 = A2/F. 5 . Hallar la Hitación de la tangente a la curva xmyll = u m + 1l en un punto cua lquiera. Demostrar que la parte de tangente comprendida entre los ejes queda di v idida en la ra zó n m por el p unto de contacto. n Sol. 6. mYI (x - XI) + nx¡ (y -YI) = o. Si k es l a pendlerLe d e una tangente a la hip érbola b 2 x2 - a 2 y2 = u 2b 2., demostrar qu e s u ecuación es y = kx ± V a 2 k 2 - b 2 , y que el lugar geométrico de los puntos de intersección de las tangentes perpendiculares está dado por la ecuación X 2 + y2 = a 2 - b 2 .
  70. 70. http://carlos2524.jimdo.com/ CAPITULO V APLICACIONES DE LA DERIVADA 42. que si Dirección de una curva. Se ha demostrado en el Articulo 28 y = f(x) es la ecuación de una cu rva (fig. 8), en tonces :~ = pendiente de la tangente a la curva en P (x, y). y B x A F ig .8 Fig.9 La dirección de una curva en cualquier punto se define como la dirección de la tangente a la curva en este punto. Sea T = inclinación dE' la tangente. Entonces la pendiente = tg T, Y : : = tg T = pendiente de la curva en cualquier punto P (x, y). En los puntos como D, F, H, donde la dirección de la curva es paralela al eje de las x y la tangente es horizontal, se tiene dy T = O; lu ego dx = O.

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