“Con números se puede demostrar cualquier
cosa” -Thomas Carlyle (1795-1881)
Historiador, pensador y ensayista inglés
Funci...
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 2
índice
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 3
Introducción
El presente trabajo fue realizado por estudiantes de las facultades de
e...
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 4
General:
 Conocer y ampliar más el tema de las funciones polinomiales de 3° y 4° y l...
Funciones
Polinomiales
Funciones polinomiales de grado 3
 Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.
 ...
 Observar que la última función puede expresarse de la forma:
 Las siguientes funciones NO son funciones cubicas:
 En c...
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 7
 El contra dominio se calcula de la siguiente manera:
 Observa que cuando x es posi...
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 8
 La gráfica de esta función es la siguiente:
Ahora observa que la función
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Funciones Polinomiales grado 3 y 4 9
Función Polinomiales grado 4
Una ecuación de cuarto grado o ecuación cuartica con una...
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 10
 Forma estándar. F(x)= a ( x - h )4
+k
 En la función cuartica el dominio es el co...
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 11
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS: TRES Y CUATRO.
Propiedades geom...
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 12
Métodos de Solución en funciones de cuarto grado Es importante que se establezcan lo...
Estos ejercicios estarán aplicados a las carreras Económicas y
de Ingeniería.
Ejercicios de Funciones Polinomiales13
Funci...
Ejercicios Aplicados a la
Economía
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Funciones Polinomiales grado 3 y 4
Ejercicios aplicados a Economía
Funciones Polinomiales grado 3 y 4
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EJERCICIO 1: Una empresa en un 1 año hace 4 gastos f...
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 16
La empresa Pavito Criollo en su cuarto trimestre muestra su capital de trabajo, asi ...
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 17
La empresa “Concha y Toro” S.A de C.V muestra sus resultados de los dos años presupu...
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 18
Una empresa de Call Center clasifica las llamadas recibidas durante el día de las
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Funciones Polinomiales grado 3 y 4 19
El restaurante Laca Laca ofrece 6 tipos de platos diferentes con tres nuevas especia...
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 20
cable tv clasifica su programación con base a los siguientes criterios:
• el canal v...
Ejercicios aplicados a la
Ingeniería
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Funciones Polinomiales grado 3 y 4
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 22
Ejercicio 7
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𝑥 − 2
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Funciones Polinomiales grado 3 y 4 25
El resultado nos dice que x-5 es un factor,
entonces P(x)=(x-5)(𝑥2
+ 3x + 15)
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Residuo= 0, es decir +1=1 es ...
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 27
conclusión
Se comenzó buscando la definición de la palabra función. Luego, se profun...
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 28
Bibliografía
 Pre calculo
Enfoque de resolución de problemas
Prado, Santiago, Aguil...
Funciones Polinomiales grado 3 y 4 29
Anexos
Ejemplos de funciones de
cuarto grado
Ejemplos de
funciones de 3°
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Funciones Polinomiales grado 3 y 4. Matemática

  1. 1. “Con números se puede demostrar cualquier cosa” -Thomas Carlyle (1795-1881) Historiador, pensador y ensayista inglés Funciones Polinomiales grado 3 y 4 1 UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA LIC. PATRICIA CHAFOYA MATEMÁTICA I GRUPO 01 TEMA: FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO 3 Y 4 FECHA: 15/OCT/2014 Nombres Carné Hernández Arias, Mayra Verónica HA100213 Huezo Fuentes, Raúl Gonzalo HF100314 Maldonado Espino, Carlos Alexander ME100613 Pinzón Menjivar, Gloria Stephanie PM101812
  2. 2. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 2 índice
  3. 3. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 3 Introducción El presente trabajo fue realizado por estudiantes de las facultades de economía e ingeniería profundizando en parte; las funciones de tercer y cuarto grado, recordando que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Rango, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el Rango. Para el complemento de este trabajo, hemos realizado una exhaustiva investigación y creado ejercicios que forman parte de nuestra vida cotidiana, específicamente de nuestras carreras, ya sea de economía o ingeniería, facilitando el estudio a cualquier persona que leyera este trabajo universitario.
  4. 4. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 4 General:  Conocer y ampliar más el tema de las funciones polinomiales de 3° y 4° y las aplicaciones que se les pueden dar en el área de economía y área de ingeniería. Específicos:  Ampliar más el desarrollo de un ejercicio de funciones polinomial de grado 3 y 4 en áreas de ciencias aplicadas como ingeniería y la económica.  Aprender a diferenciar entre una función polinomial de 3 y 4 con otras funciones de grados diferentes. Objetivos general y específicos
  5. 5. Funciones Polinomiales Funciones polinomiales de grado 3  Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.  f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn  Su dominio es, es decir, cualquier número real tiene imagen.  Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro.  Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados teóricos.  Las siguientes funciones SI son cúbicas: Función polinomial de tercer grado La función polinomial de tercer grado es toda aquella función que se puede escribir de la forma: 𝑦 = 𝑎3 𝑥3 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 Donde 𝑎3 ≠ 0 La función polinomial de tercer grado también se conoce como función cúbica. Definición 1 ¿Qué es una función? Una función polinomial es una función cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia más alta que aparece de x Funciones Polinomiales grado 3 y 4 5 5
  6. 6.  Observar que la última función puede expresarse de la forma:  Las siguientes funciones NO son funciones cubicas:  En cada caso, no es posible reducir la expresión que describe la función dada a la forma dad en la definición de función cúbica. La función polinomial de tercer grado más sencilla es: 𝒚 = 𝒙 𝟑 Grafícala, encuentra sus raíces, dominio y contra dominio. Ejemplo 1 Funciones Polinomiales grado 3 y 4 6  Empezamos calculando sus raíces.  Para que y = 0 se requiere que x3 = 0.  En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al multiplicarlos por sí mismo tres veces obtengamos cero.  El único número que satisface la condición anterior es x = 0.  Esta es la única raíz de la función.  Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de los números reales.
  7. 7. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 7  El contra dominio se calcula de la siguiente manera:  Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo al cubo es positivo también.  Cuando x es negativo el resultado de elevarlo al cubo es negativo. Entonces, el contra dominio también es el conjunto de los números reales, porque cuando x. Crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho. Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos. La gráfica de la función quedaría así: Observa que la función f (x) = x3 puede factorizarse como y = x • x • x. Para encontrar una raíz de la función debemos contestar a la pregunta: « ¿Qué número multiplicado por sí mismo tres veces es igual a cero?» Y la respuesta es obvia: «El número cero multiplicado por sí mismo nos da cero», (0)(0)(0) = 0. Es decir, x = 0 es una raíz de la función, porque f (0) = 0. Ejemplo 2 Grafica la siguiente función polinomial: 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥 Calcula, además, sus raíces y su dominio y contra dominio Empezamos calculando sus raíces.  Para eso factorizamos la expresión: y = x • (x2 − 1) = x • (x + 1) • (x − 1) De esta factorización calculamos fácilmente las raíces de la función. Para que el producto de los tres factores sea cero se requiere que al menos uno de ellos sea cero. Tenemos tres casos: x = −1, x = 0, y x = 1. Entonces, la función corta al eje x en x = −1, x = 0 y x = 1. De nuevo, él dominio es el conjunto de los números reales, por cerradura. Y el contra dominio también, porque cuando los valores de x crecen f (x) crece Esto ocurre para valores positivos como negativos
  8. 8. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 8  La gráfica de esta función es la siguiente: Ahora observa que la función evaluada en x = −1, o en x = 0, o en x = 1 hace que f (x) = 0, y que la factorización queda: y = x3 − x = x · (x + 1) · (x + 1) Es decir, si r es una raíz de la función polinomial y = f (x) de grado n, entonces podemos factorizarla como y = f (x) = (x − r) · g(x) Donde g(x) es otra función polinomial de grado n − 1.  Ejercicio 𝒚 = 𝒙 𝟑 + 1 La función nos dice: << El valor que me dé lo vamos a multiplicar por sí mismo 3 veces y al resultado se le suma 1>> Es decir corremos el grafico de la función 𝑦 = 𝑥3 verticalmente una unidad para obtener la función 𝑦 = 𝑥3 + 1 Solo basta hacer una traslación vertical a la grafica de 𝑦 = 𝑥3 para obtener la grafica de la función 𝑦 = 𝑥3 + 1
  9. 9. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 9 Función Polinomiales grado 4 Una ecuación de cuarto grado o ecuación cuartica con una incógnita es una ecuación algebraica que se puede poner bajo la forma canónica: Donde a, b, c, d y e (siendo ) Son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los reales o los complejos . Funciones polinomiales de grado 4 Gráfico de una función polinómicas de cuarto grado Función de formula: F(x) = a≠ (distinto) 0. b, c, d y e son números reales. La función cuártica tiene un comportamiento parecido a la parábola, sólo que el crecimiento es más rápido.
  10. 10. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 10  Forma estándar. F(x)= a ( x - h )4 +k  En la función cuartica el dominio es el conjunto de números reales, pero el rango sólo es una parte de ellos, a diferencia de la función cúbica la cual cruza desde hasta -∞ hasta ∞  Los parámetros en el caso de que “a” sea positivo la función tiende infinitamente hacia arriba, si el parámetro “a” es negativo, la función tiende infinitamente hacia abajo.
  11. 11. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 11 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS: TRES Y CUATRO. Propiedades geométricas de las funciones Polinomiales de 3° Se debe tener presente que se trata de una función polinomial y que su trazo es continuo. La función de grado tres tiene un gran parecido con una función lineal, en el caso de que el coeficiente principal sea positivo, una rama se extiende por el tercer cuadrante y la otra por el primer cuadrante del plano cartesiano. En el caso de que el coeficiente principal sea negativo, entonces una rama se extiende desde el segundo cuadrante y la otra por el cuarto cuadrante del plano cartesiano. El dominio y el rango de la función cúbica son todos los números reales. Propiedades geométricas de las funciones Polinomiales de 4° Se debe tener presente que se trata de una función polinomial y que su trazo es continuo. La función de cuarto grado tiene un gran parecido con una función cuadrática, en cuanto a que sus ramas se extienden hacia arriba del plano cartesiano. En el caso de que el coeficiente principal sea negativo, entonces sus ramas se extienden hacia la parte inferior del plano cartesiano. El dominio de la función de cuarto grado son todos los números reales y su rango no. Método de solución de tercer grado Es importante que se establezcan los puntos de intersección de la gráfica con el eje horizontal (ceros de la función), para ello hay que proceder a descomponer el polinomio en sus factores lineales. Esto se logra comúnmente aplicando el teorema del factor: Si r es una raíz de la ecuación polinomial f(x) = 0, es decir, f(r) = 0, entonces [x - r] es un factor de f(x). La función cúbica tiene al menos un cero real, es decir, corta al menos una vez al eje horizontal. Presenta como máximo tres raíces reales. En caso de presentar una raíz compleja, ésta viene acompañada de su conjugado, es decir mientras una raíz tiene la forma a + bi, la otra tiene la forma - bi. La intersección con el eje vertical se obtiene fácilmente evaluando la función con f(0). Para saber cuántos ceros reales positivos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en la función f(x) = a3x3 +a2x2+a1x+a0, identificando los cambios de signo en términos consecutivos. Para saber cuántos ceros reales negativos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en la función f(x) = a3x3 +a2x2+a1x+a0, identificando los cambios de signo en términos consecutivos. Existe la posibilidad de acotar (delimitar) la raíces reales de una función cúbica, utilizando la división sintética. Es decir, se puede localizar la cota superior y la cota inferior del intervalo en dónde buscar las raíces de la función. Para encontrar la cota superior, el residuo de la división sintética debe ser mayor que 0 y todos los números del renglón del cociente deben ser no negativos. Para la cota inferior el residuo debe ser un valor menor que 0 y todos los números del renglón del cociente deben ser con signos alternados. Para obtener las raíces racionales de un polinomio, podemos aplicar el criterio siguiente: si el polinomio f(x) = a3x3 +a2x2+a1x+a0, tiene coeficientes enteros y p/q es un cero racional, entonces p es un factor del término constante 𝑎0. Y q es un factor de 𝑎3.
  12. 12. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 12 Métodos de Solución en funciones de cuarto grado Es importante que se establezcan los puntos de intersección de la gráfica con el eje horizontal (ceros de la función), para ello hay que proceder a descomponer el polinomio en sus factores lineales. Esto se logra comúnmente aplicando el teorema de factor: si r es una raíz de la ecuación polinomial f(x) = 0; es decir, f(r) = 0, entonces x - r es un factor de f(x). La función de cuarto grado puede carecer de ceros reales. En el mejor de los casos puede llegar a tener hasta cuatro ceros reales. La función cúbica tiene al menos un cero real, es decir, corta al menos una vez al eje horizontal. Presenta como máximo tres raíces reales. En caso de presentar una raíz compleja, ésta viene acompañada de su conjugado, es decir mientras una raíz tiene la forma a + bi, la otra tiene la formaa - bi. La intersección con el eje vertical se obtiene fácilmente evaluando la función con f(0). Para saber cuántos ceros reales positivos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en la función f(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0, identificando los cambios de signo en términos consecutivos. Para saber cuántos ceros reales negativos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en la función f(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0, identificando los cambios de signo en términos consecutivos. Existe la posibilidad de acotar (delimitar) la raíces reales de una función cúbica, utilizando la división sintética. Es decir, se puede localizar la cota superior y la cota inferior del intervalo en dónde buscar las raíces de la función. Para encontrar la cota superior, el residuo de la división sintética debe ser mayor que 0 y todos los números del renglón del cociente deben ser no negativos. Para la cota inferior el residuo debe ser un valor menor que 0 y todos los números del renglón del cociente deben ser con signos alternados. Para obtener las raíces racionales de un polinomio, podemos aplicar el criterio siguiente: si el polinomio f(x) = a4x4 + a3x3 +a2x2+a1x+a0, tiene coeficientes enteros y p/q es un cero racional, entonces p es un factor del término constante 𝑎0. y q es un factor de 𝑎3
  13. 13. Estos ejercicios estarán aplicados a las carreras Económicas y de Ingeniería. Ejercicios de Funciones Polinomiales13 Funciones Polinomiales grado 3 y 4
  14. 14. Ejercicios Aplicados a la Economía 14 Funciones Polinomiales grado 3 y 4
  15. 15. Ejercicios aplicados a Economía Funciones Polinomiales grado 3 y 4 15 EJERCICIO 1: Una empresa en un 1 año hace 4 gastos fijos uno cada tres meses y recibe dinero de accionistas tres veces al año, cabe destacar también que en su presupuesto anual aparecen dos compras de su mayores proveedores realizadas cada 4 meses dejando 4 de por medio para recuperar parte del capital invertido, pero así mismo reconoce que tiene diferentes gastos al año y considera una ganancia del 6 sobre el capital a ganar. Se pide: Cree la función que muestre los gastos anuales mas el dinero recibido por sus accionistas, así como las compras realizadas y los gastos de la empresa y el incremento sobre el capital. Desarrolle la función y grafíquela, sin olvidar encontrar el dominio y el rango de la función. F(x)= 12x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0 Las soluciones son: x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2 12𝑥4 + 𝑥3 + 8𝑥2 + 𝑥 + 6 = 0
  16. 16. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 16 La empresa Pavito Criollo en su cuarto trimestre muestra su capital de trabajo, asi mismo muestra su plan trimestral para el siguiente año donde incluye los gastso a largo plazo de años y 4 meses para los siguientes dos periodos consecutivos. Elabore: la función creada el desarrollo de la función y su respectiva gráfica. Encuentre el dominio y el rango de la función. 2) F(X) =
  17. 17. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 17 La empresa “Concha y Toro” S.A de C.V muestra sus resultados de los dos años presupuestados de ventas en el periodo pasado con una ganancia de la tercera parte del total vendido, tomando encuesta los gastos ocasionados a la empresa en concepto por sus siete proveedores durante los dos periodos o años y considerando los ingresos de sus ocho salas de venta, así como los gastos transcurridos en cada trimestre del año dos. Elabore: la función creada el desarrollo de la función y su respectiva grafica el dominio y el rango de dicha función. F(x) = 2x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0 P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0 (x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 ) = 0 P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0 (x −1 )2 · (2x −3 ) = 0 Las raíces son: x = 3/2 y x = 1 x P(x) Y -1 -20 -1, -20 0 0 0, 0 1 20 1, 20
  18. 18. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 18 Una empresa de Call Center clasifica las llamadas recibidas durante el día de las siguientes maneras o parámetros: * si un operador contesta mas de tres veces se considera como atención al cliente directa. * si un operador contesta dos veces se considera se considera llamada base de datos. * si un operador contesta menos de cuatro llamadas entonces se considera como de atención al cliente. Elabore: la función creada. El desarrollo de la función con su grafica y dominio y rango. F(x) = x3 − x2 − 4 = 0 {±1, ±2, ±4 } P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0 P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0 P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0 (x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0 x2+ x + 2 = 0 (x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0 Raíz: x = 2. x P(x) X, Y -1 -6 -1, -6 0 0 0, 0 1 -4 1, -4 2 0 2, 0 3 14 3, 14
  19. 19. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 19 El restaurante Laca Laca ofrece 6 tipos de platos diferentes con tres nuevas especialidades, además ofrece siete entradas de degustaciones con dos nuevas opciones de preparación, así mismo da a conocer a sus clientes las 9 bebidas menos consumidas por sus clientes y sugiere consumir las dos bebidas mas preferidas. Elabore: la función creada. El desarrollo de la función con su respectiva grafica. 5)F(x) = 6x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0 {±1, ±2} P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0 P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0 P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0 P(−2) = 6 · (−2)3 + 7 · (−2)2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0 (x+2) · (6x2 −5x +1) = 0 6x2 −5x +1 = 0 6 (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3) = 0 Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3 x P(x) X, Y -1 12 -1, 12 0 0 0,0 1 6 1, 6
  20. 20. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 20 cable tv clasifica su programación con base a los siguientes criterios: • el canal visto más de tres por sus clientes. • Los tres canales más vistos de noticias pero solo vistos dos veces al día. • Los cuatro canales menos vistos por los usuarios. • Los doce canales que sus clientes nunca anexan a su paquete de servicio de cable. Con los siguientes datos realice: la función creada. El desarrollo de la función y su respectiva gráfica. F(x) = x3 + 3x2 − 4x − 12 = 0 {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 } P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0 P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0 P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 = = 8 + 12 − 8 − 12 = 0 (x − 2) · (x2 − 5x +6) = 0 x2 − 5x +6 = 0 (x − 2) ·(x + 2) ·(x +3) = 0 Las soluciones son : x = 2, x = − 2, x = − 3. x P (x) X, y -1 -6 -1,-6 0 0 0, 0 1 -12 1, -12 2 0 2,0 3 30 3, 30
  21. 21. Ejercicios aplicados a la Ingeniería 21 Funciones Polinomiales grado 3 y 4
  22. 22. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 22 Ejercicio 7 En un día determinado los registros de temperatura en una zona rural entre la hora 0 y la hora 24 se ajustan a la función:𝑪 𝒕 = 𝟒𝒕 𝟑 + 𝟐𝒕 𝟐 − 𝟐𝒕 − 𝟒 - Determine los valores de cada variable de forma dependiente -¿Qué temperatura se registró a la 1 de la mañana? 𝐶 𝑡 = 𝑡 − 1 (4𝑡2 + 6𝑡 + 4) Valores de cada variable: 𝐶(𝑡) = −6 ± (6)2−4(4)(4 2(4) 𝐶(𝑡) = −6 ± −28 8 𝑡1 = 1 𝑡2 = −6 + −28 8 𝑡2 = −6 − −28 8 No hay solución en los reales, sus valores son imaginarios 𝐶 𝑡 = 𝑡 − 1 ( −6 ± −28 8 ) SOLUCION: Ct=4t3 +2t2 -2t-4 Divisores de la función: ±1, ±2, ±4 𝐶 𝑡 = 4𝑡3 + 2𝑡2 − 2𝑡 − 4 𝐶 8 = 4(8)3 + 2(8)2 −2(8) − 4 𝐶 1 = 4(1)3 + 2(1)2 −2(1) − 4 𝐶 1 = 0 R/ A la una de la mañana se registró una temperatura de 0 grados centígrados
  23. 23. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 23 8
  24. 24. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 24 𝑣 = 1 3 (𝑥2 ) 𝑥 − 2 𝑦 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑉 = 25 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 25 = 1 3 𝑥2 𝑥 − 2 25 = 1 3 𝑥3 − 2𝑥2 25 3 = 𝑥3 − 2𝑥2 75 = 𝑥3 − 2𝑥2 𝑥3 − 2𝑥2 − 75 = 0 Las soluciones posibles para x son: ±1, ±3, ±5, ± 15, ±25, ±75. Considerando solo las posibles soluciones positivas para probar las posibles soluciones de x encontramos que: P(s)=(5)3 −2 5 2 − 75 Aplicando la división sintética se obtiene: 5 1 -2 0 -75 5 15 75 1 3 15 0 9
  25. 25. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 25 El resultado nos dice que x-5 es un factor, entonces P(x)=(x-5)(𝑥2 + 3x + 15) Las soluciones para 𝑥2 + 3x + 15 = 0 son complejas conjugadas las cuales se descartar como posibles soluciones del problema. Por lo tanto, se concluye: Que la base del molde de la vela debe ser un cuadrado de 5 pulgadas de lado y la altura de h=5-2= 3 pulgadas. Ejercicio 10. La posición de una partícula al cabo de t segundos es P(t) = 2t3 – 11t2 + 13t – 1, y su posición al cabo de 1 segundo es 3. ¿En qué otros instantes la posición es igual a 3? Solución: Lo que se pide es en que otros instantes la posición es igual a 3 o sea P(t) = 3, igualando la función a 3 tenemos: 3 = 2t3 – 11t2 + 13t – 1 Esta es una ecuación de tercer grado que podemos escribir como: 2t3 – 11t2 + 13t – 4 = 0 Se nos dice en el problema que al cabo de 1 segundo la posición es igual a 3, esto quiere decir que t=1 es una raíz y lo podemos comprobar por medio de la división sintética.
  26. 26. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 26 2𝑡3 − 11𝑡2 + 13𝑡 − 4 = 0 1 2 -11 13 -4 2 -9 4 1 -2 4 0 Residuo= 0, es decir +1=1 es una raíz y (𝑡 − 1) es factor entonces: 2𝑡3 − 11𝑡2 + 13𝑡 − 4 = 𝑡 − 1 2𝑡2 − 9𝑡 + 4 Hacemos 2𝑡2 − 9𝑡 + 4 = 0 y resolvemos 𝑡1 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −9 ± 21 − 32 4 = −9 ± 49 4 = −9 ± 7 4 = 9+7 4 = 16 4 = 4 = 9−7 4 = 2 4 = 1 2 Los otros instantes donde la posición es igual a 3 son cuando t=0,5 segundo y cuando t= 4 segundos.
  27. 27. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 27 conclusión Se comenzó buscando la definición de la palabra función. Luego, se profundizo el tema investigando sobre ciertas funciones matemáticas específicas, tales como la función cúbica y cuadrática. Para cada una de las funciones se lograron comprender los modelos de ecuaciones matemáticas, que nos permiten resolver cualquier situación que se nos presente en la vida diaria. Se Obtuvo un resultado muy positivo al finalizar el trabajo, debido a que incorporo gran cantidad de nuevos conocimientos y también descubrimos una nueva manera de enfrentar problemáticas en campos donde creíamos que la matemática no se utilizaría. Se puede afirmar que las funciones matemáticas han facilitado la labor en muchas ciencias y son sumamente necesarias para obtener resultados precisos para cada situación y carrera.
  28. 28. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 28 Bibliografía  Pre calculo Enfoque de resolución de problemas Prado, Santiago, Aguilar, Rodríguez, Quezada, Gómez, Ruiz y Florido. Pearson educación, México 2006  JIMÉNEZ, RENE Funciones, Pearson Educación, México, 2006  Larson-Hostetler. Algebra, Publicaciones cultural, México, 2001  Frank S. Budnick, Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales, Cuarta Edición, Mc Graw Hill, 2007  J. Stewart, L. Redlin , S.Watson Pre calculo 3 edición
  29. 29. Funciones Polinomiales grado 3 y 4 29 Anexos Ejemplos de funciones de cuarto grado Ejemplos de funciones de 3°

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