2. Definição
Seja A(x0,y0,z0) є π e um vetor n=(a,b,c),
n ≠ 0 ortogonal ao plano
O plano π é o conjunto de pontos P(x,y,z)
do espaço tais que AP é perpendicular a
n, isto é P є π AP . n = 0
3. (x-x0,y-y0,z-z0).(a,b,c)=0 => a(x-x0) + b(y-
y0)+c (z-z0)=0=> ax +by+cz –ax0-by0-
cz0=0
Fazendo –ax0-by0-cz0=d temos
ax +by+cz +d=0
Esta é a equação Geral do plano
4. Exercício
Determine a equação geral do plano π1
paralelo ao plano π2: 2x-3y-z+5 e que tem
o ponto A(4,-1,2)
5. Exercício
Achar a equação do plano π
perpendicular à reta r:x=2y-3; z=-y+1 e
contém o ponto A(1,2,3)
6. Exercício
Achar a equação geral do plano π
mediador do segmento de extremos A(1,-
2,6) e B(3,0,0)
7. Exercício
Achar a equação geral do plano π que é
paralelo ao eixo dos y e que contém os
pontos A(2,1,0) e B(0,2,1)
8. Equações Paramétricas
Seja A(x0,y0,z0) um ponto de um plano π
e u =(a1,b1,c1) e v(a2,b2,c2) dois vetores
não colineares pertencentes a π
Um ponto P(x,y,z) pertence ao plano π
que passa por A e é paralelo aos vetores
u e v se e somente se existem números
reais h e t tais que AP= hu+tv
14. Ângulo entre dois planos
Sejam os planos π1 e π2
π1: a1x+b1y+c1z+d1=0
π2: a2x+b2y+c2z+d2=0
Então n1=(a1,b1,c1) e n2=(a2,b2,c2) são
os vetores normais de π1 e π2
respectivamente
15. Definição
O ângulo teta entre π1 e π2 é o menor
ângulo formado pelos vetores n1 e n2
Assim cos teta = |n1.n2|/(|n1||n2|) com
0<=teta<=π/2
22. Exercício
Determinar as equações paramétricas da
reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é
paralela a cada um dos planos p1:2x-y-
z+1=0 e p2:x+3y+z-5=0
23. Condições para que uma reta
esteja contida em um plano
Uma reta está contida num plano se:
1) r//p e um ponto A є r e também є p
2) se dois pontos A1, A2 є r também є p
24. Exercício
Calcular o valor de m e n para que a reta
r: y=2x-3,z=-x+4 esteja contida no plano p
nx+my-z-2=0
25. Interseção de 2 Planos
Considere planos não paralelos p1:3x-
y+z-3 e p2:x+3y+2z+4=0
Se A(x,y,z) є p1 interseção p2 então A є
p1 e A є p2
Isto significa que A satisfaz a equação dos
2 planos simultaneamente
26. A é solução do sistema
3x-y+z-3=0
X+3y+2z+4=0
27. A é solução do sistema
3x-y+z-3=0->z=3-3x+y
X+3y+2z+4=0
28. A é solução do sistema
3x-y+z-3=0->z=3-3x+y
X+3y+2z+4=0->x+3y+6-6x+2y+4=0
=-5x+5y+10=0
Escolhendo x como variável livre
Y=x-2
29. Substituindo em z->z=-2x+1 logo
Y=x-2
Z=-2x+1
São as equações reduzidas da reta
interseção dos planos p1 e p2
30. Exemplo
Determinar as equações paramétricas da
reta r interseção dos planos p1:2x+y-2=0
e p2:z=3
31. Interseção de reta com Plano
Quer-se encontrar o ponto de interseção
da reta r:x=2y-3=(2z-3)/3 e o plano p:2x-
y+3z-9=0
X=2y-3-> y=(x+3)/2
X=(2z-3)/3->z=(3x+3)/2
Substituindo na equação do plano
35. Exercício
Seja a reta r:x=3+t,y=1-2t,z=-1+2t;
Quais as equações reduzidas da projeção
de r sobre o plano xOy?
Qual o ângulo que r forma com o plano
xOy?
36. Exercício
Estabelecer as equações da reta que
passa por A(3,6,4), intercepta o eixo z e
intercepta o plano p:x-3y+5z-6=0
37. Exercício
O plano p: x+y-z-2=0 intercepta os eixos
coordenados nos pontos A, B, C
Calcular a área do triângulo ABC