Método de romberg

1. Método de Romberg
CLASE 14
23-JULIO-2014

2. Método de Romberg
 Al utilizar la regla del trapecio de segmentos múltiples y la regla de
Simpson de segmentos múltiples, se pudo observar que a medida que
aumentaba el numero de segmentos, 𝑛, el error disminuía; pero para
valores muy grandes de 𝑛, el error por redondeo empezaba a crecer y el
esfuerzo computacional se volvía grande.

3. Método de Romberg
 El método de integración de Romberg esta diseñado para evitar estos
inconvenientes y esta basado en la regla del trapecio, pero solo se puede
usar en casos en los que se conoce la función 𝑓(𝑥).
 La formula de Romberg es la siguiente:
 𝐼𝑗,𝑘 =
4 𝑘−1 𝐼 𝑗+1,𝑘−1−𝐼 𝑗,𝑘−1
4 𝑘−1−1
… … … … … … … … … … … … … … … . (1)

4. Método de Romberg
 Donde:
 𝐼𝑗+1,𝑘−1 𝑒 𝐼𝑗,𝑘−1; son las integrales mas y menos exactas,
respectivamente e 𝐼𝑗,𝑘 es la integral mejorada.
 𝑘 indica el nivel de integración
 𝑗 evaluaciones de la regla del trapecio.

5. Método de Romberg
 Donde:
 𝑒 𝑝 =
𝐼 𝑗,𝑘−𝐼 𝑗,𝑘−1
𝐼 𝑗,𝑘
100 … … … … … … … … … … … … … … . . (2)

6. Método de Romberg
 Precauciones que se deben tener en cuenta al usar este método:
 El paso no debe ser muy pequeño para que no se incremente el error por redondeo.
 Este método se utiliza en el caso en que se requiera mayor precisión en el calculo de la
integral.
 El nivel 𝑘 = 1 corresponde a la estimación de la regla del trapecio original.
 El nivel 𝑘 = 2 corresponde a una aproximación con un orden de error 𝑂 ℎ4
.
 El nivel 𝑘 = 3 corresponde a una aproximación con un orden de error 𝑂 ℎ6
y así
sucesivamente.

7. Método de Romberg
 Ejemplo
 Utilice la integración de Romberg para evaluar

0
3 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
1+𝑥2 𝑑𝑥

8. Método de Romberg
 Solución
 Se trabajara inicialmente con la regla del Trapecio, para
generar los datos del nivel 𝑘 = 1, calculando la integral con
distintos números de segmentos, los cuales deben irse
duplicando hasta que la variación de las integrales sea
mínima.

9. Método de Romberg
 Solución
 Se comienzan los cálculos con los valores mostrados en la
Tabla 1, los cuales se obtuvieron para los diferentes tamaños
de paso indicados.

10. Tabla 1 Valores iniciales para el calculo de la integral con la formula
de Romberg
𝒌 = 𝟏
𝑛 ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝐼 ℎ 𝑛 =
𝑏 − 𝑎
2(𝑛)
𝑓 𝑥0 + 2
𝑖=1
𝑛−1
𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓 𝑥 𝑛
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙
1 3
𝐼 ℎ1 =
3 − 0
2
𝑒3 𝑠𝑒𝑛(3)
1 + 32
+
𝑒0 𝑠𝑒𝑛(0)
1 + 02
𝐼1,1 = 0.42517
2 1.5 𝐼 ℎ2 =
3 − 0
2 2
𝑒3
𝑠𝑒𝑛(3)
1 + 32
+ 2
𝑒1,5
𝑠𝑒𝑛(1.5)
1 + 1.52
+
𝑒0
𝑠𝑒𝑛(0)
1 + 02
𝐼2,1 = 2.275876
4 0.75 𝐼 ℎ3 =
3 − 0
2 4
𝑒3 𝑠𝑒𝑛(3)
1 + 32
+ 2
𝑒2.25 𝑠𝑒𝑛(2.25)
1 + 2.252
+
𝑒1.5 𝑠𝑒𝑛(1.5)
1 + 1.52
+
𝑒0.75 𝑠𝑒𝑛(0.75)
1 + 0.752
+
𝑒0 𝑠𝑒𝑛(0)
1 + 02
𝐼3,1 = 2.743848
8 0.375
𝐼 ℎ4 =
3 − 0
2(8)
𝑒3
𝑠𝑒𝑛(3)
1 + 32 + 2 … . +
𝑒0
𝑠𝑒𝑛(0)
1 + 02
𝐼4,1 = 2.84782
16 0.1875
𝐼 ℎ4 =
3 − 0
2(16)
𝑒3
𝑠𝑒𝑛(3)
1 + 32
+ 2 … . +
𝑒0
𝑠𝑒𝑛(0)
1 + 02
𝐼5,1 = 2.87320
32 0.09375
𝐼 ℎ4 =
3 − 0
2(32)
𝑒3 𝑠𝑒𝑛(3)
1 + 32
+ 2 … . +
𝑒0 𝑠𝑒𝑛(0)
1 + 02
𝐼6,1 = 2.876292

11. Método de Romberg
 Solución
 La cual se completa para los niveles 𝑘 = 2, 3, 4, 5, 6 𝑦 7
aplicando la formula de Romberg, de este modo se tiene:
 Para 𝑘 = 2 y haciendo variar 𝑗 desde 1 hasta 5

12. Método de Romberg
 𝐼𝑗,𝑘 =
4 𝑘−1 𝐼 𝑗+1,𝑘−1−𝐼 𝑗,𝑘−1
4 𝑘−1−1
, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 2
 𝐼1,2 =
42−1 𝐼1+1,2−1−𝐼1,2−1
42−1−1
=
41 𝐼2,1−𝐼1,1
41−1
=
4 2.2758757−0.4251706
3
= 2.89277
 𝐼2,2 =
42−1 𝐼2+1,2−1−𝐼2,2−1
42−1−1
=
41 𝐼3,1−𝐼2,1
41−1
=
4 2.743884−2.2758757
3
= 2.89983
 𝐼3,2 =
42−1 𝐼3+1,2−1−𝐼3,2−1
42−1−1
=
41 𝐼4,1−𝐼3,1
41−1
=
4 2.8478324−2.74388479
3
= 2.882494

13. Método de Romberg
 𝐼𝑗,𝑘 =
4 𝑘−1 𝐼 𝑗+1,𝑘−1−𝐼 𝑗,𝑘−1
4 𝑘−1−1
, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 2
 𝐼4,2 =
42−1 𝐼4+1,2−1−𝐼4,2−1
42−1−1
=
41 𝐼5,1−𝐼4,1
41−1
=
4 2.8732075−2.8478324
3
= 2.8816659
 𝐼5,2 =
42−1 𝐼5+1,2−1−𝐼5,2−1
42−1−1
=
41 𝐼6,1−𝐼5,1
41−1
=
4 2.8762921−2.8732075
3
= 2.8773203

14. Método de Romberg
 Solución
 Se procede de igual manera para 𝑘 = 3, y haciendo variar 𝑗
desde 1 hasta 4, y luego con 𝑘 = 4, 5, 6 𝑦 7, tal como se
muestra en la figura 1.

15. Método de Romberg
Figura 1 Resumen de valores calculados con la formula de Romberg

16. Método de Romberg
 Solución
 Para 𝑛 = 64 y después de siete iteraciones el valor de la
integral es 𝐼 = 2.88391505

17. Método de Romberg en Matlab
 Código de Matlab dado a continuación también se puede
utilizar para ejecutar el método de integración de Romberg.

18. Método de Romberg en Matlab

19. Método de Romberg en Matlab
 Ejecutamos la función anterior, para comprobar el ejercicio en
Excel.

20. Método de Romberg en Matlab
 Ejecutamos la función anterior, para comprobar el ejercicio en
Excel.

21. Método de Romberg en Matlab