1. Tutorium:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
WS 2013/2014
Aufgabenblatt 4
Funktionen von zwei Variablen und partielle Ableitungen
Aufgabe 1:
a) Welche der folgenden Funktionen sind homogen? Bestimmen Sie den entsprechenden
Homogenitätsgrad.
2 5
2 3
2 2
) ( , ) 5
) ( , ) 3 1
2
) ( , )
i f x y x y
ii f u v u v
ab
iii f a b
a b

 


b) Gegeben sei eine Nutzenfunktion U mit der Gleichung 0,5
1 2 1 2( , )U x x x x . Wie ändert
sich der Nutzenindex U, wenn man - ausgehend von einer Güterkombination x1, x2 –
die Konsummengen der Güter jeweils verdoppelt?

2. Tutorium:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
WS 2013/2014
Aufgabe 2:
Schraffieren Sie in der folgenden Graphik den Definitionsbereich der Funktion
( , ) .f x y xy
x
y

3. Tutorium:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
WS 2013/2014
Aufgabe 3:
a) Sei ( , ) 4 4 2 .f x y x y   Zeichnen Sie die Höhenlinie von f zum Niveau c = 0 als
gestrichelte Linie und zum Niveau c = 4 als durchgezogene Linie in das unten
gegebene Koordinatensystem.
b) Betrachten Sie die Höhenlinie zum Niveau c = 60 der Produktionsfunktion
1/2 1/2
( , ) 3Q F K L K L  . Wie groß muss der Arbeitsinput L0 sein, wenn der
y
x

4. Tutorium:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
WS 2013/2014
Kapitalinput K0 = 10 ist, damit der Punkt 0 0 0( , ) (10, )K L L auf der Höhenlinie
( , ) 60F K L  liegt?
Aufgabe 4:
Bilden Sie sämtliche partielle Ableitungen erster Ordnung:
3 2
0,85 0,3
a) ( , ) ( )
b) ( , ) 120
f x y xy xy
x A K A K
 
 
0,3 0,7
c) ( , , ) 8 (200 6 5 )L x y x y x y    

5. Tutorium:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
WS 2013/2014
Aufgabe 5:
Für zwei Güter seien die möglichen Absatzmengen x1, x2 in Abhängigkeit der Marktpreise p1,
p2 durch die folgenden Preis-Absatz-Funktionen gegeben:
1 1 2 1 2 2 1 2 1 2( , ) 0,5 2 10; ( , ) 0,8 1,5 15x p p p p x p p p p      
a) Untersuchen Sie mit Hilfe der vier partiellen Ableitungen ( , 1,2)i
k
x
i k
p



, wie sich die
Nachfrage xi nach Gut i ändert bei Änderung des Preises pk des Gutes k (i,k = 1,2).
b) Ermitteln Sie für jedes Gut die individuelle Erlösfunktion und interpretieren Sie die
partiellen Grenzerlöse bzgl. der Preise bei einer Preiskombination 1 28, 5p p  .

6. Tutorium:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
WS 2013/2014
Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die Hesse-Matrix für:
2
2
a) ( , )
b) ( , )
x y
xy
f x y e e
f x y x y e

 
2 2 2
1 2 3 1 2 3
3
c) ( , , )
d) ( , ) ln
f x x x x x x
f x y x y
  

Aufgabe 7:
Zeichnen Sie die mit z = 6 – 2x – y gegebene Ebene in das linke dreidimensionale
Koordinatensystem.
Hinweis: Markieren Sie zunächst die Schnittpunkte mit den Achsen und verbinden Sie
diese. Zeichnen Sie die Ebene ausschließlich im ersten Oktanten, d.h.
0, 0 und z 0x y   . Zeichen Sie die Höhenlinien zum Niveau c = 2, c = 4 und c = 6 in
das rechte zweidimensionale Koordinatensystem.

7. Tutorium:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
WS 2013/2014