1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Năm học 2014 – 2015
Môn: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút.
( Đề thi gồm 01 trang)
Bài 1: (2,0 điểm):
1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: 1 1 1 1
   và a + b + c = 1.
a b c
Chứng minh rằng a 1b 1c 1  0.
2) Với mỗi số nguyên dương n; chứng minh 3 5 3 5
n n
   là số nguyên dương.
Bài 2: (2,5 điểm):
1) Giải phương trình  x  6  x  21 x2  4x 12  8 .
2) Giải hệ phương trình
   
3 2 6 4
x xy y y
y x
2 1 1 3 4
4 3
2
1
x

      
Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AA1; BB1;
CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AA1 cắt đường tròn (O) tại K khác A.
1) Chứng minh A1 là trung điểm của HK.
2) Hãy tính
HA HB HC
AA BB CC
  .
1 1 1
3) Gọi M là hình chiếu vuông góc của O trên BC. Đường thẳng BB1 cắt (O) tại giao điểm
2
thứ hai là E, kéo dài MB1 cắt AE tại N. Chứng minh rằng
 
  
 
AN AB
NE EB
1
1
Bài 4: (1,0 điểm): Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn x3  y3 3xy 1
Bài 5: (1,5 điểm):
1) Trên bảng ghi một số nguyên dương có hai chữ số trở lên. Người ta thiết lập số mới
bằng cách xóa đi chữ số hàng đơn vị của số đã cho, sau đó cộng vào số còn lại 7 lần số vừa bị
xóa. Ban đầu trên bảng ghi số 6100. Hỏi sau một số bước thực hiện như trên ta có thể thu được
1006 hay không ? Tại sao ?
2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2  y2  z2  3xyz . Chứng minh rằng:
2 2 2
4 4 4
3
2
x y z
x yz y xz z xy
  
  
.
Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC

2. Hướng dẫn giải:
Bài 1: (2,0 điểm):
1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: 1 1 1 1
   và a + b + c = 1.
a b c
Chứng minh rằng a 1b 1c 1  0.
Từ GT ta có:  
1 1 1 1 1 1 1 1 0 a b a b 0
a b c a b c a b c a b c ab c a b c
                             
a b a b a b c a b c ab a b ca cb c ab
ab c a b c
                        
       
   
0 0 2 0
0
  
0 0
0
a b
a b c b a c c b
        
c a
  
Nếu a + b = 0 => c = 1 => c – 1 = 0 =>a 1b 1c 1  0
Nếu c + b = 0 => a = 1 => a – 1 = 0 =>a 1b 1c 1  0
Nếu a + c = 0 => b = 1 => b – 1 = 0 =>a 1b 1c 1  0
Vậy ta có đpcm.
2) Với mỗi số nguyên dương n; chứng minh 3 5 3 5
n n
   là số nguyên dương.
Bài 2: (2,5 điểm):
1) Giải phương trình  x  6  x  21 x2  4x 12  8 .
ĐKXĐ x  2 , đặt x  6  a  0; x  2  b  0a2  b2  8 PTTT:
 1  2 2    a 
b
1 0
            
1     0
+) với a  b taco : x  6  x  2 vô nghiệm
+) với    1 6 1 6 1
a b ab a b a b ab a b
ab a b
1 0 1 1 0
       
a x x vonghiem
           
1 2 1 2 1 3( )
ab a b a b
b x x x TM
         
PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 3
2) Giải hệ phương trình
 
 
   
3 2 6 4
x xy y y
y x
4 3
2
1
2 1 1 3 4 2
1
x

      
    
2 2
0
 1   3 6  2 4  2  2 2 4 2
 0
2 2 4 2
0  3

x y x y
x y xy y x y x xy y y
x xy y y
           
    
 
2
x
2 4 2 1 3 0 3 0
    x  y    y  y
     y

2 4 0
Thỏa mãn (2)
Với x  y2
Bài 4: (1,0 điểm): Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn x3  y3 3xy 1
x3  y3  3xy 1 x  y3 3xy x  y 3xy 1, đặt x + y = a và xy = b (a, b nguyên) ta có:
a3 3ab 3b 1a 1a2  a 13ba 1  2a 1a2  a 13b  2

3. Vì a, b nguyên nên có các TH sau :
2
1 1 0
1) 1
1 3 2
3
a a
a a b b
        
      
(loại)
a a
a a b b
    
   2
     
1 2 1
2)
1 3 1 0
(nhận) 1      
  
    
; 0;1 , 1;0
0
x y
x y
xy
a a
a a b b
      
   2
      
1 1 2
3)
1 3 2 3
(nhận) 2  
   
  ;
  
3
x y
x y
xy
a a
a a b b
      
   2
      
1 2 3
4)
1 3 1 4
(nhận) 3  
   
  ;
  
4
x y
x y
xy
Vậy x; y0;1,1;0
Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC
a) góc A1 = góc C2 = góc C1
=> ΔCHK cân C, CA1 là đ/cao + đ trung trực => đpcm
b) Có:
     
HA HB HC 1 HA 1 HB 1
HC
AA BB CC AA BB CC
     1     1     1

     
1 1 1 1 1 1
 
HA HB HC
AA BB CC
S S S
S S S
     
1 1 1
1 1 1
3
 
 
3 HBC HAC HBA 3 1 2
       
 ABC ABC ABC

c) Từ GT => M trung điểm BC => ....=> ΔB1MC
cân tại M => góc MB1C = gócMCB1 = góc AB1N
=> ΔCBB1 đồng dạng ΔB1AN (g-g) => 1 B N  AE
Áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông ta có:
2
 
   
 
AB AN AE AN
EB EN EA EN
1
1
.
.
(đpcm)
Bài 5: (1,5 điểm):
A
H O
B C
2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2  y2  z2  3xyz . Chứng minh rằng:
2 2 2
   
4 4 4
3
2
A x y z
x  yz y  xz z 
xy
.
Vì x, y, z dương, áp dụng BĐT Cô-si ta có:
2
+) 2 x 2 yz  x 4
 yz  1  1  x

1  1

2 4 4
x yz x  yz x 
yz yz
2 2
 
+) 2 1 1 1 1 1 1
      
yz y z 2 yz 4 y z
 
(2)
Từ (1) và (2) => :
2
 
x
x 4
yz y z
1 1 1
4
      
. Tương tự :
2
y
y 4
xz x z
1 1 1
4
        
;
2
 
z
1 1 1
z 4
xy 4
x y
      
     
A xy yz zx
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 2
               
y z x z x y y z x xyz
   
(3)
Lại có xy  yz  zx  x2  y2  z2 (4)
2
1
1
C1
B1
A1
N
E
M
K

4. Từ (3) và (4) có :
1 2 2 2 1 3 3
2 2 2
A x  y 
z xyz
      đpcm
xyz xyz
Dấu « = » xảy ra khi x  y  z 1