1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2013-2014
Môn thi: Toán (Hệ chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (1,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức
2 2
2 1
A x  x x 
x x
   
x x x x
1 1
   
, với x ≥ 0.
2) Chứng minh khi giá trị của m thay đổi thì các đường thẳng m1 x  (2m1) y  4m  5 luôn đi
qua một điểm cố định. Tìm tọa độ điểm cố định đó.
Bài 2: (1,5 điểm)
1) Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi giảm mỗi chữ số một đơn vị thì số mới được tạo
thành cũng là một số chính phương có 4 chữ số.
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + xy +y2 = 3x + y - 1
Bài 3: (2,5 điểm)
1) Tìm các giá trị của m để phương trình x2  (m 2)x m1 0có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ
thức
1  1 
3 .
x x 10
1 2
2) Giải hệ phương trình
   
x x y
y y x
( 1) 2
.
( 1) 2
  
3) Giải phương trình 3(x2  6)  8( x3 1 3).
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC và đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đó. Tiếp
tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC tại điểm M. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
1) Chứng minh rằng: BC = 2RsinBAC
2) Điểm N chuyển động trên cạnh BC (N khác B và C). Gọi E. F lần lượt là hình chiếu vuông góc
của điểm N lên AB, AC. Xác định vị trí của điểm N để độ dài đoạn EF ngắn nhất.
3) Đặt BC = a, CA = b, AB = c. Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a, b, c.
4) Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O; R) cắt đường thẳng MA lần lượt ở P và Q. Chứng
minh rằng HA là tia phân giác của góc PHQ.
Bài 5: (1,0 điểm)
Trong tam giác đều có cạnh bằng 8, đặt 193 điểm phân biệt. Chứng minh tồn tại 2 điểm trong 193
điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá 3
3
.
----------------------------------------------------------HẾT--------------------------------------------------------------

2.        
x  x x  x x x  x x 
B A x x x x x x x
             
x x x x x x x x
       
 
3 3
2 2
2 2 2
2 2
1 1
ài1: 1 1 1 1 1
1 1 1 1
x x x x x
2 1 1 1 1 (vi x 0)
         
 = (m+2)2 – 4.(-m+1) = m2 + 8m = m(m+8)
Để PT có 2 nghiệm phân biệt thì  > 0  m(m+8)  m > 0 hoặc m < -8 .
Theo hệ thức Vi-et ta có:
  1 2
 x  x   m
  x x   m

1 2

2
. 1
Từ
2 2 2 2
 
     x  x  x  x  x x
                  
   
1 1 3 1 1 3 9 4 . 9
2 1 1 2 1 2
 
2
x x x x x x x x
10 10 . 100 . 100
1 2 1 2 1 2 1 2
2
m m m m m m m
2 4 1 9 4 4 4 4 9 8 9
      2     2
      
   
2 2 2
m m m m
1 100 1 100 2 1 100
    
            
m nhan
2 2 2 1

  
2
1 ( )
100 800 9 18 9 91 818 9 0 91
9( )
m m m m m m
m nhan
.