1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học 2013 – 2014
ĐỀ THI MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Lưu ý: Đề thi gồm 01 trang, thí sinh làm bài vào tờ giấy thi
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1. (2.0 điểm)
a) Cho 3 7 10 : 7
    
    
       
A x x x x
x x x x x x x
2 2 4 8 2 4
. Tìm x sao cho A  2 .
b) Tìm m để phương trình x2  2m 4 x  3m 2  0 có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa
1 2 mãn x  2x  3 .
2 1 Bài 2. (2.0 điểm)

a) Giải phương trình 5 x  1  3 x  13  x 7
.
3
b) Giải hệ phương trình
 x 2  xy  y 2
 y
  x  
y

2 3 2
2 2
3
.
Bài 3. (3.0 điểm)
Cho hai điểm A, B cố định. Một điểm C khác B di chuyển trên đường tròn (O) đường kính
AB sao cho AC  BC . Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tiếp tuyến tại A ở D, cắt AB
ở E. Hạ AH vuông góc với CD tại H.
a) Chứng minh rằng AD.CE  CH.DE .
b) Chứng minh rằng OD.BC là một hằng số.
c) Giả sử đường thẳng đi qua E, vuông góc với AB cắt AC, BD lần lượt tại F, G. Gọi I là
trung điểm AE. Chứng minh rằng trực tâm tam giác IFG là một điểm cố định.
Bài 4. (1.0 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu x  y 1 thì x  1  y  1
.
x y
b) Cho 1 a,b,c  2 . Chứng minh rằng a b c 1 1 1 10
        
a b c
 
.
Bài 5. (2.0 điểm)
a) Cho a,b là hai số nguyên dương thỏa mãn a  20 và b 13 cùng chia hết cho 21. Tìm số
dư của phép chia A  4a  9b  a  b cho 21.
b) Có thể phủ kín bảng 2013 ô vuông bằng các miếng lát có một trong hai dạng dưới (có
thể xoay và sử dụng đồng thời cả hai dạng miếng lát) sao cho các miếng lát không chờm lên
nhau không?
----- Hết -----
Họ tên thí sinh:……………….………………….Số báo danh: …………................................
Họ tên giám thị 1:……….………...….................Họ tên giám thị 2: ………..………..............

2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
HẢI PHÒNG Năm học 2013 - 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Hướng dẫn gồm 03 trang
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Bài Đáp án Điểm
a) (1.0 điểm)
ĐKXĐ: x  0 và x  4 . 0.25
      
x x x x x x x A
2 4 3 2 7 10 7 :
       
  
x x x x x
2 2 4 2 4

    
4  x  4 
x  7 4 x

2 : .
2 2 4 2 4 7
 
  
x x x x x x
     
0.25
A  22 x  2  x  7 x  3x  9. 0.25
Kết hợp với điều kiện ta có
0 9
4
x
x
  
 
. 0.25
b) (1.0 điểm)
   m    m 
 m m  m    m
2
' 2 2 3 2 2 2 1 7 0
2 4
 
.
Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
0.25
Theo đề bài và định lý Viét ta có:
x m x x m
x x x m
         1
 1 2
     2 1
 
2
2 1
2 4 3
2 3 4 11
3

0.25
m m m  
2 1 4 11 3 2
3 3
    0.25
1
(2.0 điểm)
2
1
 
8 7 0 7
8
m
m m
m
    
  

. 0.25
a) (1.0 điểm)
ĐKXĐ: 1
x  . 0.25
5
5 1 3 13 1  5 1 3 13 5 1 3 13
PT  x   x   x   x  x   x  . 0.25
6
* 5x 1  3x 13  0  5x 1  3x 13  5x 1  3x 13  x  7 (thỏa mãn). 0.25
* 5x 1  3x 13  6 (1)
Nếu x 1 thì VT (1) > 4  16  6; còn nếu x 1 thì VT (1) < 4  16  6.
Dễ thấy x 1 là nghiệm phương trình (1).
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x 1; x  7 .
1 2 0.25
2
(2.0 điểm)
b) (1.0 điểm)

3. 2x2  xy  y2  3y  2 y2  x  3 y  2  2x2  0 .
Coi đây là phương trình bậc hai ẩn y tham số x , ta có :
  x  32  42  2x2   9x2  6x 1  3x 12 .
                V« nghiÖm do    
H
I
F
E
G
y x x x
       
        
y x y x
x y x x
2 2 2 2
y x y x x
x y x y
         
             
D
C
A O B
0.25
Suy ra
3 3 1 2 2
2
3 3 1 1
2
y x x x
. 0.25
2 2 2  
)
3 3 8 7 0 ' 5 0
. 0.25
2 2
1 1 2
)
3 2 1
. 0.25
a) (1.0 điểm)
OC//AH CH OA
  . (1) 0.25
CE OE
OD là phân giác của góc ADE OA AD
  . (2) 0.5
OE DE
Từ (1) và (2) suy ra CH AD AD.CE CH.DE
   . 0.25
CE DE
b) (1.0 điểm)
Ta có ABC  DOA (g – g). 0.5
2
BC AB OD BC AB AO AB
AO OD
    . 0.5
. .
2
c) (1.0 điểm)
EF EC EB 2EB 2EG EF 2EG.
AD CD BO AB AD
      0.25
2EF.EG  EF2  EC2  EB.EA  2EB.EI . 0.25
BEF  GEI c  g  c BFE  GIE BF  IG . 0.25
3
(3.0 điểm)
Mà BE  FG IFG nhận B cố định là trực tâm. 0.25

4. a) (0.25 điểm)
1 1  x y  xy
1 0
x y
 
     .
x y xy
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y .
0.25
b) (0.75 điểm)
Không mất tính tổng quát giả sử 1 a  b  c  2 , ta có:
                                      
VT VP a b b c c a x y xy
7 1 1 1 7
b a c b a c x y xy
           
x b y c xy y
1, 1, 2 2
           a b x


0.25
1 2 1 3 3 9 3 1 2 2 7 0
x x x x x
                         
 x   x 2   2 
2 x 2 2
x
. 0.25
4
(1.0 điểm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c
a b c
1, 2
   
   
1, 2
và các hoán vị. 0.25
a) (1.0 điểm)
Từ giả thiết suy ra a 1 (mod 3) , a  3k 1(k ) ;b  2 (mod 3) , b  3q  2(q) .
Suy ra A  4a  9b  a  b 1 0 1 2 (mod 3) hay A  4 (mod 3) . (1)
0.25
Lại có: 4a  43k1  4.64k  4 (mod 7)
9b  93q2  23q2 (mod 7)  9b  4.8q  4(mod 7) .
0.25
Từ giả thiết ta còn suy ra a 1 (mod 7) ,b 1 (mod 7) .
Dẫn đến A  4a  9b  a  b  4  4 11 (mod 7) hay A 10 (mod 7) .
0.25
Từ (1) suy ra A 10 (mod 3) ; mà 3 và 7 nguyên tố cùng nhau nên A 10 (mod 21) .
Vậy A chia cho 21 dư 10. 0.25
b) (1.0 điểm)
Tô màu các dòng của bảng ô vuông bằng hai màu đen trắng xen kẽ: dòng 1 đen, dòng 2
trắng, dòng 3 đen, dòng 4 trắng, … 0.25
Khi đó mỗi miếng lát sẽ luôn phủ đúng 3 ô đen 1 ô trắng hoặc 3 ô trắng 1 ô đen. 0.25
Trong bảng, số ô đen bằng số ô trắng nên số miếng lát phủ 3 ô đen 1 ô trắng bằng số
miếng lát phủ 3 ô trắng 1 ô đen, do đó phải có chẵn miếng lát. 0.25
5
(2.0 điểm)
Tuy nhiên trong bảng có 65 miếng lát, mâu thuẫn. Vậy không thể phủ được bảng thỏa
mãn. 0.25
Chú ý:- Trên đây chỉ trình bày tóm tắt một cách giải, nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì
cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm.
- Thí sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm.
- Trong một câu, nếu thí sinh làm phần trên sai, dưới đúng thì không chấm điểm.
- Bài hình học, thí sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm. Thí sinh không vẽ hình mà làm vẫn
làm đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm được.
- Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh công nhận ý trên để làm ý dưới mà thí sinh
làm đúng thì chấm điểm ý đó.
- Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và không được làm tròn.