1. www.VNMATH.com
H×nh häc mÆt ph¼ng täA ®é
C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ tam gi¸c: viÕt pt c¸c c¹nh cña tam gi¸c, t×m c¸c ®Ønh
chó ý: - 2 ®g th¼ng // th× cã cïng vÐc t¬ ph¸p tuyªn vµ vÐc t¬ chØ ph­¬ng
- 2 ®g th¼ng vu«ng gãc th× ph¸p tuyÕn ®­êng nµy lµ chØ ph­¬ng cña ®g kia,
chØ ph­¬ng ®­êng nµy lµ ph¸p tuyÕn cña ®g kia C(x;y)
Lo¹i 1: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®­êng cao kh«ng qua ®Ønh ®ã:
c¸ch gi¶i: - viÕt ph­¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi CK A’ B’
- viÕt ph­¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi BH
B A
B
Lo¹i 2: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®­êng trung tuyÕn kh«ng qua ®Ønh ®ã
c¸ch gi¶i:
- LÊy ®iÓm M thuéc BM theo tham sè, theo c«ng thøc trung ®iÓm t×m C’
to¹ ®é C , thay to¹ ®é C vµo PT ®­êng CN t×m tham sè t  ®iÓm C
- LÊy ®iÓm N thuéc CN theo tham sè, tõ CT trung ®iÓm t×m to¹ ®é B
thay voµ PT ®­êng BM t×m tham sè t  ®iÓm B C B’ A(x;y)
A’
lo¹i 3: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®­êng ph©n gi¸c trong kh«ng qua ®Ønh ®ã C
c¸ch gi¶i: - gäi A’ vµ A’’ lµ diÓm ®èi xøng cña A qua ®­êng ph©n gi¸c
BB’ vµ CC’  A’ vµ A’’ thuéc c¹nh BC
- viÕt PT c¹nh BC, t×m giao cña nã víi ®­êng CC’, BB’ta cã ®iÓm I
B vµ C
B A(x;y)
chó ý : J
A’’
c¸c bµi to¸n kÕt hîp ®­êng cao vµ ph©n gi¸c; ®­êng cao vµ trung tuyÕn; trung tuyÕn vµ ph©n gi¸c ta ®Òu dùa vµo
c¸ch gi¶i 3 bµi to¸n c¬ b¶n trªn
lo¹i 4: Bµi to¸n cho diÖn tÝch, cho ®iÓm trªn ®o¹n th¼ng theo tØ sè cho tr­íc
c¸ch gi¶i: Ta dïng c«ng thøc diÖn tÝch, c«ng thøc t×m to¹ ®é cña ®iÓm chia ®o¹n th¼ng theo tØ sè k
Bµi tËp:
3
1/ Cho A ( 4 ; 6 ) , B( 1; 4) ,C( 7 ; ), D (- 2; 2)
2
a/ Chöùng minh raèng A , B, C khoâng thaúng haøng : A , B , D thaúng haøng.
b/ Tìm ñieåm E ñoái xöùng vôùi A qua B.
c/ Tìm ñieåm M sao cho töù giaùc ABCM laø hình bình haønh.
d/ Tìm toïañoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC .
2/ Cho A ( -1 : 3 ) ,B (1 ; 1 ) , C ( 2 ; 4 ) .
a/ Xaùc ñònh toïa ñoä taâm I cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.
b/ Xaùc ñònh toïa ñoä troïng taâm G, tröïc taâm H cuûa tam giaùc ABC .suy ra ba ñieåm G,H,I thaúng haøng.
3/ Cho hai ñieåm A( 1; -2 ) vaø B( 3 ; 4 ) .
a/ Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua truïc hoaønh.
b/ Tìm ñieåm M treân truïc hoaønh sao cho MA +MB nhoû nhaát .
c/ Tìm ñieåm N treân truïc tung sao cho NA + NB nhoû nhaát.
 
d/ Tìm ñieåm I treân truïc tung sao cho | IA IB | ngaén nhaát.
e/ Tìm J treân truïc tung sao cho JA –JB daøi nhaát.
1

2. www.VNMATH.com
4/Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñieåm A(1;1) . Haõy tìm ñieåm B treân ñöôøng thaúng y =3 vaø ñieåm C
treân truïc hoaønh sao cho ABC laø tam giaùc ñeàu.
5/Trong maët phaúng Oxy cho ñieåm B treân ñöôøng thaúng x + 4 = 0 vaø ñieåm C treân ñöôøng thaúng x–3 =0
a) Xaùc ñònh toïa ñoä B vaø C sao cho tam giaùc OBC vuoâng caân ñænh O
b) Xaùc ñònh toïa ñoä B;C sao cho OBC laø tam giaùc ñeàu.
CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP
Daïng 1: Laäp phöông trình cuûa ñöôøng thaúng:
Baøi 1 : Vieát phöông trình tham soá phöông trình , chính taéc roài suy ra phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng
thaúng trong caùc tröôøng hôïp sau:

1/ Qua ñieåm M(2 ; -5) vaø nhaän vectô u =( 4; -3) laøm vectô chæ phöông .
2/ Qua hai ñieåm A(1 ; - 4 ) vaø B( -3 ; 5 ) .

3/ Qua ñieåm N ( 3 ; -2 ) vaø nhaän vectô n = ( 5 ; - 2 ) laøm vectô phaùp tuyeán .
Baøi 2: Vieát Phöông trình tham soá , phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng coù phöông trình toång quaùt laø: 3x
– 2y + 6 = 0 .
Baøi 3: Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho caùc ñieåm A( 5 ; 5) , B( 1 ; 0) , C( 0; 3) . Vieát phöông trình ñöôøng
thaúng d trong caùc tröôøng hôïp sau :
a) d ñi qua A vaø caùch B moät khoaûng baèng 4.
b) d ñi qua A vaø caùch ñeàu hai ñieåm B , C
c) d caùch ñeàu ba ñieåm A; B ; C
d) d vuoâng goùc vôùi AB taïi A. e; d laø trung tuyeán veõ töø A cuûa tam giaùc ABC.
Baøi 4: Cho tam giaùc ABC . M ( 1 ; - 2 ) , N ( 8 ; 2 ) , P ( -1 ; 8 ) laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB , BC
, CA . 1/ Vieát phöông trình toång quaùt cuûa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.
2/ Vieát phöông trình caùc ñöôøng trung tröïc cuûa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.
Baøi 5: Cho ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình : 4x – 3y + 5 = 0 .
1/ Laäp phöông trình toång quaùt ñöôøng thaúng ( d’) ñi qua ñieåm A (1 ; -2 ) vaø song song vôùi (d).
2/ Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (d’’) ñi qua ñieåm M( 3 ; 1 ) vaø (d’’) vuoâng goùc vôùi (d).
Baøi 6 : Cho hai ñöôøng thaúng d: 2x + 7y – 8 = 0 vaø d’ : 3x + 2y + 5 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi
qua giao ñieåm cuûa d vaø d’vaø thoaû maûn moâït trong caùc ñieàu kieän sau ñaây :
1/ Ñi qua ñieåm ( 2 ;- 3) 2/ Song song vôùi ñöôøng thaúng x – 5y + 2 = 0
3/ Vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng x- y + 4 = 0 .
Baøi 7 :Tam giaùc ABC coù A( -1 ; - 3 ) , caùc ñöôøng cao coù phöông trình : BH: 5x + 3y –25 = 0;
CH : 3x + 8y – 12 = 0 .Vieát phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC vaø ñöôøng cao coøn laïi.
Baøi 8 :Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho caùc ñieåm M (5 ; 5 ) , N (1 ; 0 ), P( 0 ; 3 ). Vieát phöông trình ñöôøng
thaúng d trong moåi tröôøng hôïp sau :
1/ d qua M vaø caùch N moät khoaûng baèng 4. 2/ D qua M vaøcaùch ñeàu hai ñieåm N, P.
Baøi 9: Laäp phöông trình caùc ñöôøng thaúng chöùa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát A( 1; 3) vaø hai trung
tuyeán coù phöông trình laø x – 2y + 1 = 0, y – 1 = 0.
Baøi 10: Laäp phöông trình caùc ñöôøng thaúng chöùa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC neáu cho ñieåm B(-4;-5) vaø hai
ñöôøng cao coù phöông trình laø :5x + 3y – 4 = 0 , 3x + 8y +13 = 0.
Baøi 11 : Cho ñieåm P( 3; 0) vaø hai ñöôøng thaúng d1: 2x – y – 2 = 0 , d2:x + y + 3 = 0. Goïi d laø ñöôøng thaúng qua
P caét d1 , d2 laàn löôït taïi A vaø B .Vieát phöông trình cuûa d bieát PA = PB.
Baøi 12 : Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát C(4 ; -1 ) ñöôøng cao vaø trung tuyeán keû töø moät
ñænh laàn löôït coù phöông trình : 2x – 3y +12 = 0 , 2x + 3y = 0 .
Baøi 13 : Cho tam giaùc ABC coù M( - 2 ; 2) laø trung ñieåm cuûa caïnh BC caïnh AB coù phöông trình laø x – 2y
– 2 = 0,caïnh AC coù phöông trình laø 2x + 5y + 3 = 0 . Xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùc ABC.
2

3. www.VNMATH.com
Baøi 14 : Cho hai ñöôøng thaúng d1: x – y = 0 , d2 :x – 2y – 2 = 0. Tìm ñieåm A treân d1, C treân d2 vaø B , D treân
truïc hoaønh sao cho ABCD laø hình vuoâng .
Daïng 2 : Hình chieáu cuûa moät ñieåm treân ñöôøng thaúng
1 / Phöông phaùp : Xaùc ñònh hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm M treân ñöôøng thaúng d:
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d’ ñi qua dieåm M vaø vuoâng goùc vôùi d .
 Giaûi heä goàm hai phöông trình cuûa d vaø d’ ta coù toïa ñoä cuûa ñieåm H.
2/ Phöông phaùp :Xaùc ñònh ñieåm N ñoái xöùng cuûa ñieåm M qua d.
 Duøng phöông phaùp treân ñeå tìm hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm M treân ñöôøng thaúng d.
 Ñieåm N ñoái xöùng vôùi M qua d neân H laø trung ñieåm ñoaïn MN , töø ñieàu kieän ñoù ta tìm ñöôïc toïa ñoä
ñieåm N
Baøi taäp :
Baøi 1 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñieåm M(-6 ; 4 ) vaø ñöôøng thaúng d: 4x – 5y + 3 = 0.
1/ Tìm toïa ñoä hình chieáu H cuûa M treân ñöôøng thaúng d.
2/ Tìm ñieåm N ñoái xöùng vôùi ñieåm M qua d .
Baøi 2 : Trong mp vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñeåm A(1 ; 6) , B( -3; -4 ) vaø ñöôøng thaúng d : 2x – y – 1 = 0 .
1/ Chöùng minh raèng A , B naèm veà cuøng moät phía ñoái vôùi ñöôøng thaúng d.
2/ Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua d .
3/ Tìm ñieåm M treân ñöôøng thaúng d sao cho MA + MB beù nhaát.
Daïng 3 : Caùc baøi toaùn veà vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng
Baøi 1: Xaùc ñònh a ñeå caùc ñöôøng thaúng sau ñaây ñoàng quy: 2x–y+3 = 0 ,x+y+3= 0 , ax + y – 3 = 0 .
Baøi 2 : Cho hai ñöôøng thaúng d: mx –2y – 1 = 0 , d’: 2x – 4y + m = 0 .Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì :
1/ d vaø d’ caét nhau. 2/ d // d’. 3/ d truøng vôùi d’.
Baøi 3: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì hai ñöôøng thaúng sau caét nhau taïi moät ñieåm treân truïc hoaønh
d: ( m -1) x + my – 5 = 0 , d’: mx +( 2m – 1) y + 7 = 0.
Daïng 4 : Caùc baøi toaùn Söû duïng coâng thöùc tính goùc vaø khoaûng caùch.
Baøi 1 : Tính goùc giöõa caùc caëp ñöôøng thaúng sau :
1/ 4x + 3y +1 = 0 , x+ 7y – 4 = 0
2/ 6x – 8y –15 = 0 , 12x + 9y + 4 = 0 .
Baøi 2 : Tính khoaûng caùch töø ñieåm M ( 3 ; 2) ñeán caùc ñöôøng thaúng sau ñaây:
1/ 12x – 5y – 13 = 0 , 2/ 3x – 4y –16 = 0 , 3/ x + 2y +8 = 0 .
Baøi 3: Cho ñöôøng thaúng d: 3x – 2y +1 = 0 vaø ñieåm A(1;2) . Laäp phöông trình ñöôøng thaúng  ñi qua A vaø
hôïp vôùi d moät goùc 450 .
Baøi 4 : Cho tam giaùc ABC caân ñænh A . Cho bieát BC: 2x – 3y –5 = 0 ,
AB :x + y + 1 = 0. Laäp phöông trình caïnh AC bieát raèng noù ñi qua ñieåm M(1;1).
Baøi 5: Laäp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm M( 2;7 ) vaø caùch ñieåm A(1;2) moät khoaûng baèng1.
Baøi 6 : Laäp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm P( 2 : -1) sao cho ñöôøng thaúng ñoù cuøng vôùi hai ñöôøng
thaúng : (d1):2x – y + 5 = 0 , (d2) : 3x + 6y – 1 = 0 taïo ra moät tam giaùc caân coù ñænh laø giao ñieåm cuûa
(d1) vaø (d2) .
Baøi 7 : Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát B( 2 ;- 1 ),ñöôøng cao qua ñænh A coù phöông trình
3x – 4y +27 = 0 vaø phaân giaùc trong cuûa goùc C coù phöông trình x + 2y – 5 = 0.
Baøi 8: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng song song vôùi d:3x –4y +1=0 vaø caùch d moät khoaûng baèng 1
CAÙC BAØI TAÄP TRONG CAÙC ÑEÀ THI
1/ Trong maët phaúng Oxy moät tam giaùc coù phöông trình hai caïnh 5x-2y + 6 =0 vaø 4x +7y – 21 =0. Vieát
phöông trình caïnh thöù ba bieát tröïc taâm cuûa tam giaùc truøng vôùi goùc toïa ñoä .
2/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa hình vuoâng coù moät ñænh laø (-4; 5)vaø moät ñöôøng cheùo coù phöông trình laø
7x- y +8 = 0
3

4. www.VNMATH.com
3/ Chgo tam giaùc ABC ,caïnh BC coù trng ñieåm M(0; 4) coøn hai caïnh kia coù phöông trình :
2x + y – 11 =0 vaø x + 4y – 2 =0
a. Xaùc ñònh toïa ñoä ñieåm A.
b. Goïi C laø ñieåm treân ñöôøng thaúng x – 4y – 2 = 0 , N laø trtrung ñieåm AC . Tìm N roài suy ra toïa ñoä cuûa
B , C.
4/ Cho tam giaùc ABC coù M(-2 ;2) laø trung ñieåm cuûa BC , caïnh AB coù phöông trình x –2y–2=0
caïnh AC coù phöông trình 2x + 5y + 3 =0. Xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùcABC.
5/ Cho A(-1; 2)vaø B(3;4).Tìm ñieåm Ctreân ñöôøng thaúng x –2y +1=0 sao cho tam giaùc ABC vuoâng taïi C .
6/ Cho tam giaùc ABC coù ñænh B(3;5),ñöôøng cao veõ töø A coù phöông trình 2x –5y +3 = 0 ,trung tuyeán veõ töø
C coù phöông trình x + y – 5 =0
a. Tìm toïa ñoä ñieåm A. b, Vieát phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.
7/ Cho tam giaùc ABC coù troïng taâm G(-2;1)vaø coù caùc caïnh AB:4x+y 15 = 0 vaø AC :2x+5y +3 = 0.
a,Tìm toïa ñoä A vaø trung ñieåm M cuûa caïnh BC b,Tìm toïa ñoä ñieåm B vaø vieát phöng trình ñöôøng thaúng BC.
8/ Cho A(1;1), B(-1;3)vaø ñöôøng thaúng d:x+y+4 =0.
a, Tìm ñieåm C treân d caùch ñeàu hai ñieåm A,B. Vôùi C vöøa tìm ñöôïc .Tìm D s/cho ABCD laø hbh .tính Shbh.
9/ Cho tam giaùc ABC coù ñænh A(-1;-3)
a. Bieát ñöôøng cao BH:5x+3y –35=0, ñöôøng cao CK:3x+8y – 12 =0 .Tìm B,C.
b. Bieát trung tröïc cuûa caïnh AB coù phöông trình x+2y –4=0 vaø troïng taâm G(4;-2).Tìm B,C.
10/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát ñænh C(4;-1) ñöôøng cao vaø trung tuyeán veõ töø moät ñænh
coù phöông trình 2x-3y +12 =0,2x+3y =0.
11/Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC neáu bieát A(1;3) vaø hai trung tuyeán coù phöông trình x-2y+1
=0, y -1=0 .
12/ Cho tam giaùc ABC coù A(2;-1) vaø phöông trình hai phaân giaùc trong cuûa goùc B vaø C laàn löôït laø d:x –
2y+1=0 , d’:x+y+3 = 0. Tìm phöông trình caïnh BC.
13/ Cho tam giaùc ABC coù A(2;-3) ,B(3;-2)troïng taâm G cuûa tam giaùc naèm treân ñöôøng thaúng
3x –y – 8 =0,dieän tích tam giaùc ABC baèng 3/ 2.Tìm C.
14 / Cho tam giaùc caân ABC coù phöông trình caïnh ñaùy AB:2x –3y+5=0caïnh beân AC:x+y+1=0.
Tìm phöông trình caïnh beân BC bieát noù ñi qua ñieåm D(1;1).
15/ Cho hình chöû nhaät ABCD coù taâm I(1/ 2;0),phöông trình ñöôøng thaúng AB laø
x –2y+2=0,AB=2AD . Tìm toïa ñoä caùc ñænh A,B,C,D bieát A coù hoaønh ñoä aâm.
16/ Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñöôøng thaúng d1:x-y=0,d2:2x+y+1=0.Tìm toïa ñoä caùc ñænh cuûa
hình vuoâng ABCD bieát A thuoäc d1, C thuoäc d2vaø caû hai ñænh B,D thuoäc truïc hoaønh.
17/ Cho A(2;-3) , B(3;-2) .Troïng taâm G cuûa tam giaùc naèm treân ñöôøng thaúng d: 3x – y -8 = 0, dieän
tích tam giaùc ABC baèng 3/2 . Tìm C.
18/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát ñænh C(4;-1) ñöôøng cao vaø trung tuyeán ke û töø moät
ñænh coù phöông trình 2x -3y +12 = 0 vaø 2x + 3y = 0.
20/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC neáu bieát A(1;3) vaø hai ñöôøng trung tuyeán coù
phöông trình laø x -2y+1= 0 vaø y-1 =0.
21/ Cho tam giaùc ABC bieát C(4;3) phaân giaùc trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyeán (AE)
4x+13y-10 = 0. Laäp phöông trình ba caïnh.
22/ Cho tam giaùc ABC bieát A(2;-1) vaø phöông trình hai ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc B vaø C
laàn löôït laø d: x-2y+1=0 vaø x+y+3=0 .Tìm phöông trình cuûa ñöôøng thaúng chöùa caïnh BC.
23/ Cho tam giaùc ABC coù ñænh A(-1;3) , ñöôøng cao BH naèm treân ñöôøng thaúng y= x , phaân giaùc
trong goùc C naèm treân ñöôøng thaúng x+3y+2=0 . Vieát phöông trình caïnh BC .
24/ Cho tam giaùc ABC vuoâng ôû A , phöông trình BC laø 3x  y  3  0 , caùc ñænh A vaø B thuoäc truïc
hoøanh vaø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp baèng 2. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC.
4

5. www.VNMATH.com
ÑÖÔØNG TROØN
A . LYÙ THUYEÁT CAÀN NHÔÙ
I .phöông trình ñöôøng troøn :
* Ñöôøng troøn ( C ) coù taâm I ( a; b) ,baùn kính R coù phöông trình laø :
(x – a )2 + ( y – b)2 = R2
* Phöông trình : x2+ y2 –2ax – 2by + c = 0 , a2+ b2 – c > 0 laø phöông trình cuûa moät ñöôøng troøn coù taâm
I ( a ; b ) ,baùn kính R = a 2  b 2  c
II. Phöông tích cuûa moät ñieåm ñoái vôùi ñöôøng troøn.
Cho ñöôøng troøn ( C ) coù phöôngtrình : F ( x ; y ) = x2+y2 – 2ax – 2by + c = 0 vaù ñieåm M0(x0 ;y0)
PM / (C ) = F (x0 ; y0 ) = x02 +y02 –2ax – 2by + c .
III. Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn :
Cho hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm ( C1) : x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1 = 0 ,
( C2 ) : x2 + y2 – 2a2x - 2b2y + c2 = 0 .
Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn ( C1) , ( C2) coù phöông trình laø :
2( a1- a2) x + 2( b1- b2) y – c1+ c2 = 0 .
IV. Tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn
1/Daïng 1: Cho ñöôøng troøn ( C ) : ( x – a )2 + ( y –b)2 = R2. Taâm I ( a ;b) , baùn kính R.
Tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi ñieåm M0( x0 ; y0)  ( C ) coù phöông trình :
(x0 – a) (x – a ) + ( y0 – b)( y – b) = R2
Chuù yù: Tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M0 nhaän vectô M0I laøm vectô phaùp tuyeán töø ñoù suy ra phöông trình
tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M0.
2/ Daïng 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) bieát heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng k.
* Ñöôøng thaúng  coù heä soá goùc k coù phöông trình : y = kx + m
*  tieáp xuùc vôùi ( C )  d( I ,  ) = R.Töø ñieàu kieän naøy ta tìm ñöôïc m.
3/ Daïng 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) ñi qua M( xM ; yM).
* Ñöôøng thaúng  qua M coù phöông trình : A ( x – xM ) + B ( y – yM) = 0.
*  tieáp xuùc vôùi ( C )  d( I ,  ) = R.Töø ñieàu kieän naøy ta tìm ñöôïc A vaø B.
B. CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP
Baøi 1 :Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa caùc ñöôøng troøn sau :
1/ x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 . 2/ 2x2 + 2y2 + 4x - 8y - 2 = 0 .
3/ x2 + y2 – 6x – 16 = 0 . 4/ x2 + y2 - 8y - 9 = 0 .
Baøi 2 :Laäp phöông trình ñöôøng troøn ( T ) trong caùc tröôøng hôïp sau:
1/ ( T ) coù taâm I ( 2 ; - 1) vaø coù baùn kính R = 3 .
2/ ( T ) coù ñöôøng kính AB vôùi A ( 1 ; 2 ) , B( - 5 ; 4 ) .
3/ ( T ) coù taâm I ( 3 ; - 1 ) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng  : 4x –3y + 5 = 0 .
4/ ( T ) ñi qua ba ñieåm A ( - 1 ; - 5 ), B ( 5 ; - 3 ) , C ( 3 ; -1 ).
5/ ( T )tieáp xuùc vôùi hai truïc toïa ñoä vaø coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng  :2x – y – 8 = 0.
6/ ( T ) qua hai ñieåm A(1;2 ),B(3; ) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng  coù phöông trình : 3x +y–3 = 0
Baøi 3 : Cho ñöôøng troøn ( C ) coù phöông trình x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0 .Laäp phöông trình tieáp tuyeán d vôùi (
C): 1/ Taïi ñieåm M ( 2 ; 1 ) . 2/ Bieát d song song vôùi  : 3x – 4y – 2004 = 0.
3/ Bieát d ñi qua ñieåm A ( 2 ; 6 ) .
Baøi 4: Cho ñöôøng troøn ( T ) coù phöông trình : x2 + y2 – 4x – 2y = 0 .
1/ Tính phöông tích cuûa ñieåm M ( 5 ; -2) ñoái vôùi ñöôøng troøn ( T ).
2/Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (T)vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng  :2x – 3y + 1= 0.
5

6. www.VNMATH.com
3/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( T ) keû töø N (– 2 ; 6 ).
Baøi 5 : Cho hai ñöông troøn ( C1 ) vaø ( C2 ) laàn löôït coù phöông trình laø :
x2 + y2 + 4x + 4y –13 = 0 , x2 + y2 - 2x + 8 y + 5 = 0 .Vieát phöông trình truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng
troøn ñoù .
Baøi 6 : Cho ( Cm) coù phöông trình : x2 + y2 – 2mx – 4my + 2m2 – 1 = 0.
1/ Tìm caùc giaù trò cuûa m sao cho (Cm ) laø ñöôøng troøn. 2/ Tìm taäp hôïp taâm I cuûa ( Cm ) .
2 2
Baøi 7 : Cho ñöôøng troøn (T) coù phöông trình : x + y – 2x + 4y – 20 = 0.
a) Vieát phöông trình tieáp tuyeá cuûa (T) taïi caùc ñieåm A(4 ;2) , B(-3 ; -5) .
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeá cuûa (T) ñi qua C( 6 ; 5) .
c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa (T) vaø (T’) coù pt : x2 +y2 -10x + 9 = 0
d) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì (T) tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (T’’) coù pt: x2 + y2 – 2my = 0.
CAÙC BAØI TAÄP TRONG CAÙC ÑEÀ THI
1/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc coù ba ñænh A(1;1),B(-1;2),C(0; -1)
2/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc coù ba caïnh naèm treân ba ñöôøng thaúng :
x 2
(d1) : y   , (d2) : y = x+2 , (d3): y = 8 – x
5 5
3/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc coù ba ñænh A(-1;7),B(4;-3)C(-4;1).
4/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ñi qua caùc ñieåm A( -1;1) , B(1;-3) vaø coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng (d)
:2x – y + 1 = 0
5/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ñi qua ñieåm A(-1;-2) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng
(d) : 7x-y-5= 0 taïi ñieåm M(1;2)
6/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng (d1) : 2x +y = 0 vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng
thaúng (d2): x -7y+10 = 0 taïi ñieåm M(4;2).
7/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng (d1) : 4x + 3y – 2 = 0 vaø tieáp xuùc vôùi hai
ñöôøng thaúng (d2) : x +y+4 = 0 ,(d3) :7x – y+4 = 0
8/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn qua A( 2;-1) vaø tieáp xuùc vôùi hai truïc toaï ñoä .
9/ Cho hai ñöôøng troøn (C1): x2+y2 -10x = 0 , (C2): x2+y2 +4x – 2y – 20 = 0
a. Vieát phöông trình ñöôøng troøn qua giao ñieåm cuûa (C1) ,(C2) vaø coù taâm (d):x+6y – 6 = 0.
b. Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (C1) ,(C2)
10/ Cho (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 vaø ñöôøng thaúng (d) : x – y – 1 = 0 . Vieát phöông trình ñöôøng troøn ( C’)
ñoái xöùng vôùi ( C) qua (d)
11/ Cho hai ñöôøng troøn (C1) : x2+y2 – 4x – 5 = 0 , (C2): x2+y2 – 6x +8y +16 = 0 . Vieát phöông trình tieáp
tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn .
12/ Cho hai ñöôøng troøn : (C1) : x2+y2 – 4x +2y –4 = 0 , (C2): x2+y2 – 10x – 6y +30 = 0 coù taâm I, J.
a. Chöùng minh raèng (C1) vaø (C2) tieáp xuùc ngoaøi vôùi nhau , tìm toïa ñoä tíeâp ñieåm H.
b. Goïi (d) laø moät tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2) khoâng qua H .Tìm toïa ñoä giao ñieåm K cuûa (d) vôùi
IJ .Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) ñi qua K vaø tieáp xuùc vôùi (C1) vaø (C2) taïi H.
13/ Cho ñieåm M(6;2) vaø ñöôøng troøn (C) :x2+y2 – 2x – 4y = 0 . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua M
vaø caét (C ) taïi hai ñieåm A,B sao cho AB = 10 .
14/Cho ñöôøng troøn (C ) : x2+y2 – 2x – 6y – 9 = 0 vaø ñieåm M(2;4) .
a. Chöùng toû raèng M naèm trong ñöôøng troøn.
b. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua M caét (C ) taïi hai ñieåm phaân bieät A vaø B sao cho M laø trung
ñieåm cuûa ñoaïn AB.
c. Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C’) ñoái xöùng vôùi (C ) qua AB.
15 / Cho ba ñöôøng thaúng (d1) : 3x +4y -6 = 0, (d2):4x +3y -1 = 0 , (d3) : y = 0 .(d1)  (d2) = A,
6

7. www.VNMATH.com
(d2)  (d3) =B , (d3)  (d1) = C.
a. Vieát phuöông trình phaàn giaùc trong cuûa goùc BAC .
b. Tính dieän tích tam giaùc ABC .
c. Vieát phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC .
16/ Cho ñöôøng troøn (C) :x2 + y2 -8x -6y = 0 vaø ñieåm A(14;8) . Qua A keû caùc tieáp tuyeân AM,AN vôùi
(C) . Laäp phöông trình ñöôøng thaúng MN .
17/ Cho (Cm) : x2+y2 +2(m – 1)x – 2(m – 2 )y +m2 -8m +13 = 0.
a.Xaùc ñònh m ñeå (Cm) laø ñöôøng troøn .
b. Tìm quyõ tích taâm I cuûa (Cm) .
18/ Cho (C) : x2 + y2+2x – 4y – 20 = 0 vaø A(3 ; 0) .Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua A vaø caét (C)
theo moät daây cung coù ñoä daøi nhoû nhaát.
19/ Cho hai ñöôøng troøn (C1) :x2 + y2 – 2x – 9y – 2= 0 vaØ (C2) : x2 + y2 – 8x – 9y +16 = 0.
a. Chöùng minh raèng (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau .
b. Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn ñoù .
20/ Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa caùc caëp ñöôøng troøn sau :
a. (C1): x2 + y2 -10x = 0 , (C2): x2 + y2 +4x -2y -20 = 0
b. (C1): x2 + y2 - 4x - 5 = 0 , (C2): x2 + y2 - 6x +8y +16 = 0
C«ng thøc vÒ E-LÝp
x2 y2
Ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t: + = 1 (a,b>0)
a2 b2
NÕu a>b th×: b2= a2- c2 NÕu b>a th×: a2= b2- c2
trôc lín lµ 2a trôc lín lµ 2b
trôc nhá lµ 2b trôc nhá lµ 2a
tiªu cù lµ 2c tiªu cù lµ 2c
t©m sai e=c/a t©m sai e=c/b
tiªu ®iÓm ( thuéc Ox) F1=(-c;0) F2=(c;0) tiªu ®iÓm ( thuéc Oy) F1=(0;-c) F2=( 0;c)
Víi ®iÓm M(x;y) thuéc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ Víi ®iÓm M(x;y) thuéc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ
c c
MF1  a  ex  a  x MF1  b  ex  a  x
a b
c c
MF2  a  ex  a  x MF2  b  ex  a  x
a b
. CAÙC DANG BAØI TAÄP:
Baøi 1 : Tìm tieâu ñieåm , toïa ñoä caùc ñænh , tieâu cöï , ñoä daøi caùc truïc vaø taâm sai cuûa elip (E ) cho bôûi caùc
phöông trình sau :
1/ 16x2 + 25y2 = 400 ; 2/ 4x2 + 9y2 = 144 ;
3/ 9x2 +25 y2 = 225 ; 4/ 4x2 + 9y2 = 25.
Baøi 2 : Laäp phöông trình chính taéc cuûa elip ( E ) trong caùc tröôøng hôïp sau :
1/ ( E ) coù tieâu cöï baèng 6 ; truïc lôùn laø 2 10 .
2/ ( E ) coù truïc lôùn baèng 20 taâm sai baèng 3/5,
3/ ( E ) coù tieâu cöï baèng 8 vaø ñi qua ñieåm M ( 15 ; - 1 ).
12
4/ ( E ) coù moät tieâu ñieåm F2 ( 4 ; 0 ) vaø ñi qua ñieåm N ( 3 ; )
5
5/ ( E ) ñi qua hai ñieåm A ( 5 ; 0 ) vaø B ( 4 ; 3 2 )
6/ ( E ) coù truïc nhoû baèng 6 , phöông trình hai ñöôøng chuaån x 7  16 = 0.
7

8. www.VNMATH.com
1
7/ ( E ) coù taâm sai baèng , khoaûng caùch giöõa hai ñöôøg chuaån baèng 32.
2
Baøi 3 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) :4x2 + 25y2 = 100.
1/ Tìm caùc ñieåm treâ ( E ) coù hoaønh ñoä baèng 3 vaø tính khoaûng caùch giöûa hai ñieåm ñoù.
2/ Tìm nhöõng ñieåm M treân ( E ) sao cho baùn kính qua tieâu ñieåm beân traùi baèng hai laàn baùn kính qua
tieâu ñieåm beân phaûi .
Baøi 4 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) : 2x2 + 6y2 = 12 .
1/ Xaùc ñònh toïa ñoä caùc tieâu ñieåm vaø ñoä daøi caùc truïc cuûa ( E ) .
2/ Tìm nhöõng ñieåm M treân ( E ) nhìn hai tieâu ñieåm döôùi moät goùc vuoâng .
Baøi 5: Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) : 16x2 + 25y2 = 400 .
1/ Tìm caùc ñieåm M treân ( E ) sao cho 3F1M = F2M.
2/ Cho A , B laø hai ñieåm thuoäc ( E ) sao cho AF1+ BF2 = 8 .Haõy tính AF2 + BF1 .
Baøi 6 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) 16x2 + 25y2 = 100.
1/ Tìm toïa ñoä caùc tieâu ñieåm , toïa ñoä caùc ñænh , tính taâm sai cuûa ( E ) .
2/ Ñöôøng thaúng d ñi qua moät tieâu ñieåm cuûa ( E ) caét ( E ) taïi hai ñieåm A , B .Tính ñoä daøi AB
3/ Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå ñöôøng thaúng y = x + m caét (E )taïi hai ñieåm phaân bieät.
Baøi 7: Cho elip ( E ) : x2 + 4y2 =25 ; (d) : 7x – 2y – 25 = 0.
1/ Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø ( E ) .
2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán taïi caùc giao ñieåm ñoù.
3/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( E ) bieát tieáp tuyeán ñi qua M( 5; 5 ).
Baøi 8 : Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) : 9x2+ 16y2 = 144 bieát tieáp tuyeán :
1/ song song vôùi ñöôøng thaúng :3x – 2y +1 = 0.
2/ vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng :x + 2y – 3 = 0.
Baøi 9: Vieát phöông trình chính taéc cuûa elip (E) bieát raèng (E) nhaän caùc ñöôøng thaúng:
3x – 2y – 20 = 0 vaø x + 6y – 20 = 0 laøm tieáp tuyeán.
4
Baøi 10 : Cho elíp (E) coù hai tieâu ñieåm F1(- 3 ;0) ,F2( 3 ;0) vaø moät ñg chuaån coù phöông trình x = .
3
1/ Vieát phöông trình chính taéc cuûa (E).
2/ M laø ñieåm thuoäc (E) .Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc :P = F1M2 + F2M2 – 3OM2 – F1M.F2M.
3/ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) // Ox vaø caét (E) taïi hai ñieåm A,B sao cho OA  OB.
Baøi 11:1/ Laäp pt chính taéc cuûa elíp (E) coù tieâu ñieåm F1( - 15 ;0), tieáp xuùc vôùi (d) : x + 4y – 10 = 0.
2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E) vuoâng goùc vôùi (d’) : x + y + 6 = 0.
Baøi 12 : Cho (E) : 4x2 + 9y2 =36 vaø ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình mx – y – 1 = 0 .
1/ Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng (d) luoân caét (E) taïi hai ñieåm phaân bieät vôùi moïi m .
2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(1;3)
Baøi 13: 1/Laäp phöông trình chính taéc cuûa elíp (E) coù moät tieâu ñieåm F2( 10 ;0) ñoä daøi truïc lôùn 2 18
2/ Ñöôøng thaúng (d) tieâp xuùc vôùi(E) taïi M caét hai truïc toïa ñoä taïi A, B .Tìm M ñeå dieän tích tam giaùc
OAB nhoû nhaát .
x2 y2
Baøi 14 : Cho (E) :   1 .Cho A(-3;0),M(-3;a),B(3;0),N(3;b) trong ñoù a,b laø hai soá thay ñoåi
9 4
1/ Xaùc ñònh toïa ñoä giao ñieåm I cuûa AN vaø BM .
2/ Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñöôøng thaúng MN tieáp xuùc vôùi (E) laø ab = 4 .
x2 y2 x2 y2
Baøi 15 : trong maët phaúng toïa ñoä cho hai elíp (E1) :   1 vaø (E2):  1
16 1 9 4
1/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua giao ñieåm cuûa hai elíp .
2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai elíp .
8

9. www.VNMATH.com
I.TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. AB  ( x B  x A , y B  y A , z B  z A )
2. AB  AB   x B  x A 2   y B  y A 2  z B  z A 2
3. a  b  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 
4. k.a  ka1 , ka2 , ka3 
5. a  a12  a2  a3
2 2
 a1  b1

6. a  b  a 2  b2
a  b
 3 3
7. a.b  a1 .b1  a2 .b2  a3 .b3
a1 a 2 a3
8. a // b  a  k.b  a  b  0   
b1 b2 b3
9. a  b  a.b  0  a1 .b1  a 2 .b2  a 3 .b3  0
a a3 a3 a1 a1 a2 
10. a  b   2
b , , 
 2 b3 b3 b1 b1 b2 

11. a , b, c đồng phẳng  a  b .c  0  
12. a , b, c không đồng phẳng  a  b .c  0  
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1
 x kx B y A  ky B z A  kz B 
M A , , 
 1 k 1 k 1 k 
14. M là trung điểm AB
 x  xB y A  y B z A  zB 
M A , , 
 2 2 2 
15. G là trọng tâm tam giác ABC
 x  x  x y  yB  yC z A  z B  zC 
G A B C , A , ,
 3 3 3 
16. Véctơ đơn vị cña 3 trôc: e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1)
17. M ( x,0,0)  Ox; N (0, y,0)  Oy; K (0,0, z )  Oz
18. M ( x, y,0)  Oxy; N (0, y , z )  Oyz; K ( x,0, z )  Oxz
1 1
19. S ABC  AB  AC  a12  a 2  a3
2 2
2 2
1
20. V ABCD  ( AB  AC ). AD
6
21. V ABCD . A B C D  ( AB  AD ). AA /
/ / / /
9

10. www.VNMATH.com
2.CÁC DẠNG TOÁN
Daïng 1: Chöùng minh A,B,C laø ba ñænh tam giaùc
 

 A,B,C laø ba ñænh tam giaùc  [ AB , AC ] ≠ 0
1  
 SABC = [AB , AC]
2
2.S ABC
 Ñöôøng cao AH =
BC
 
 Shbh = [AB , AC]
Daïng 2: Tìm D sao cho ABCD laø hình bình haønh
 Chöùng minh A,B,C khoâng thaúng haøng
 ABCD laø hbh  AB  DC
Daïng 3: Chöùng minh ABCD laø moät töù dieän:
  
 [ AB , AC ]. AD ≠ 0
1   
 Vtd = [AB , AC] . AD
6
*Ñöôøng cao AH cuûa töù dieän ABCD
1 3V
V  SBCD.AH  AH 
3 SBCD
 Theå tích hình hoäp :
 
V ABCD. A/ B /C / D /  AB; AD . AA /
Daïng4: Hình chieáu cuûa ñieåm M
1. H laø hình chieáu cuûa M treân mp
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d  n 
 Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()
2. H laø hình chieáu cuûa M treân ñöôøng thaúng (d)
*Vieát phöông trình mp qua M vaø vuoâng goùc vôùi (d): ta coù n  a d
*Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()
Daïng 5 : Ñieåm ñoái xöùng
1.Ñieåm M/ ñoái xöùng vôùi M qua mp
*Tìm hình chieáu H cuûa M treân mp (daïng 4.1)
*H laø trung ñieåm cuûa MM/
2.Ñieåm M/ ñoái xöùng vôùi M qua ñöôøng thaúng d:
*Tìm hình chieáu H cuûa M treân (d) ( daïng 4.2)
H laø trung ñieåm cuûa MM/
10

11. www.VNMATH.com
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
           
1: ViÕt täa ®é cña c¸c vect¬ say ®©y: a  2 i  j ; b  7 i 8k ; c  9 k ; d  3 i  4 j5k
  
2: Cho ba vect¬ a = ( 2;1 ; 0 ), b = ( 1; -1; 2) , c = (2 ; 2; -1 ).
      
a) T×m täa ®é cña vect¬ : u = 4 a - 2 b + 3 c b) Chøng minh r»ng 3 vect¬ a , b , c kh«ng ®ång ph¼ng .
   
c) H·y biÓu diÓn vect¬ w = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬ a , b , c .
  
3: Cho 3 vect¬ a = (1; m; 2), b = (m+1; 2;1 ) , c = (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ó 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng .
   
     1 
4: Cho: a   2; 5;3 , b   0; 2; 1 , c  1; 7; 2  . T×m täa ®é cña vect¬: a) d  4 a  b  3 c b) e  a  4 b  2 c
2

5: T×m täa ®é cña vect¬ x , biÕt r»ng:
       
a) a  x  0 vµ a  1; 2;1 b) a  x  4 a vµ a   0; 2;1
    
c) a  2 x  b vµ a   5; 4; 1 , b   2; 5;3 .
6: Cho ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng: A(1;3; 7), B ( 5; 2;0), C (0; 1; 1). H·y t×m träng t©m G cña tam gi¸c
ABC.
7: Cho bèn diÓm kh«ng ®ång ph¼ng : A(2;5; 3), B(1;0;0), C(3;0; 2), D(3; 1;2). H·y t×m täa ®é träng t©m G
cña tø diÖn ABCD.
8: Cho ®iÓm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm M:
a) Trªn c¸c mÆt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trªn c¸c trôc täa ®é: Ox, Oy, Oz
9: Cho ®iÓm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cña ®iÓm ®èi xøng víi ®iÓm M:
a) Qua gèc täa ®é O b) Qua mÆt ph¼ng Oxy c) Qua Trôc Oy.
10: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cña c¸c ®Ønh cßn
l¹i.
11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §­êng th¼ng AB c¾t mÆt ph¼ng Oyz t¹i ®iÓm M.
a) §iÓm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? b) T×m täa ®é ®iÓm M.
  
13 . Cho ba vect¬ a  1; 1;1 , b   4;0; 1 , c   3;2; 1 . T×m:
2 2 2 2 2 2 2
    
                
a)  a . b  c ; b) a  b . c  ; c ) a b  b c  c a ; 

d ) 3 a 2 a . b  b c b ; e) 4 a . c  b  5 c .
     
     
14. TÝnh gãc gi÷a hai vect¬ a vµ b : a) a   4;3;1 , b   1;2;3 b) a   2;5;4  , b   6;0; 3 .
15. a) Trªn trôc Oy t×m ®iÓm c¸ch ®Òu hai ®iÓm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1).
b) Trªn mÆt ph¼ng Oxz t×m ®iÓm c¸ch ®Òu ba ®iÓm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1).
  
16. XÐt sù ®ång ph¼ng cña ba vect¬ a , b , c trong mçi tr­êng hîp sau ®©y:
     
a ) a  1; 1;1 , b   0;1; 2  , c   4; 2;3 b) a   4;3; 4  , b   2; 1; 2  , c  1; 2;1
     
c) a   4; 2;5  , b   3;1;3 , c   2; 0;1 d ) a   3;1; 2  , b  1;1;1 , c   2; 2;1 .
17. Cho ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cña mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch ABC.
c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ó tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cña ABC h¹ tõ ®Ønh A.
e) TÝnh c¸c gãc cña ABC.
11

12. www.VNMATH.com
18. Cho bèn ®iÓm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cña mét tø diÖn.
b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diÖn cña tø diÖn ABCD.
c) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®­êng cao cña tø diÖn h¹ tõ ®Ønh A.
19. Cho  ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). H·y t×m ®é dµi ®­êng ph©n gi¸c trong cña gãc B.
20. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho bèn ®iÓm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D t¹o thµnh tø diÖn. TÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖn ABCD.
b) TÝnh ®é dµi ®­êng cao h¹ tõ ®Ønh C cña tø diÖn ®ã.
c) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cña tam gi¸c ABD h¹ tõ ®Ønh B.
d) TÝnh gãc ABC vµ gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng AB, CD.
21. Cho 3 ®iÓm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) X¸c ®Þnh ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh .
b) T×m täa ®é giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo.
c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®­êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A.
T×m täa ®é träng t©m cña tam gi¸c ABC .
22. Cho 4 ®iÓm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chøng minh 4 ®iÓm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD
b) T×m täa ®é träng t©m cña tø diÖn ABCD .
c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiÒu cao cña tø diÖn vÏ tõ D.
d) T×m täa ®é ch©n ®­êng cao cña tø diÖn vÏ tõ D .
23. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ba ®iÓm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cña tm gi¸c ABC. b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C .
c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectô phaùp tuyeán cuûa mp :
  
n ≠ 0 laø veùctô phaùp tuyeán cuûa   n  
2. Caëp veùctô chæ phöông cuûa mp :
   
a // b laø caëp vtcp cuûa   a , b cuøng // 
     
3 Quan heä giöõa vtpt n vaø caëp vtcp a , b : n = [ a , b ]

4. Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt n = (A;B;C)
A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0

() : Ax + By + Cz + D = 0 ta coù n = (A; B; C)
5.Phöông trình maët phaúng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :
x y z
  1
a b c
Chuù yù : Muoán vieát phöông trình maët phaúng caàn:
1 ñieåm vaø 1 veùctô phaùp tuyeán
6.Phöông trình caùc maët phaúng toïa ñoä
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Chuøm maët phaúng : giaû söû 1  2 = d trong ñoù
12

13. www.VNMATH.com
(1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Pt mp chöùa (d) coù daïng sau vôùi m2+ n2 ≠ 0 :
m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0
8. Vò trí töông ñoái cuûa hai mp (1) vaø (2) :
°  caét   A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2
A B C D
°  //   1  1  1  1
A2 B 2 C2 D2
A B C D
°   1  1  1  1
A2 B 2 C2 D2
ª     A1 A2  B1 B2  C1C 2  0
9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = 0
Ax o  By o  Cz o  D
d(M, ) 
A 2  B2  C 2
 
n1 . n 2
10.Goùc giữa hai maët phaúng : cos( ,  )   
n1 . n 2
2.CAÙC DAÏNG TOAÙN
Daïng 1: Maët phaúng qua 3 ñieåm A,B,C :
qua A ( hay B hay C )
 
° Caëp vtcp: AB , AC °  

vtpt n  [ AB , AC ]
Daïng 2: Maët phaúng trung tröïc ñoaïn AB :
qua M trung ñieåm AB
°  

vtpt n  AB
Daïng 3: Maët phaúng  qua M vaø  d (hoaëc AB)
qua M
° 
 
Vì   (d) neân vtpt n  a ....( AB )
d
Daïng 4: Mp qua M vaø // : Ax + By + Cz + D = 0
qua M
°   
Vì  //  neân vtpt n  n
 
13

14. www.VNMATH.com
Daïng 5: Mp chöùa (d) vaø song song (d/)
 Ñieåm M ( choïn ñieåm M treân (d))
 Mp chöùa (d) neân a d  a
Mp song song (d/) neân a d /  b
■ 
Vtpt n  a d , a d / 
Daïng 6 Mp qua M,N vaø   :
■ Mp qua M,N neân MN  a
■ Mp  mp neân n  b
qua M (hay N)
°   
vtpt n  [ MN , n ]

Daïng 7 Mp chöùa (d) vaø ñi qua
■ Mp chöùa d neân a d  a
■ Mp ñi qua M  (d ) vaø A neân AM  b
qua A
°  
vtpt n  [ a , AM ]
d
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi to¸n 1. Ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng 
Bµi 1: LËp ph­¬ngtr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M vµ cã vtpt n biÕt 
a, M  3;1;1 , n   1;1;2  b, M  2;7; 0  , n   3; 0;1
 
c, M  4; 1; 2  , n   0;1;3  d, M  2;1; 2  , n  1; 0; 0 
Bµi 2: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng trung trùc cña AB biÕt:
1   1   2 1  1 
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c, A  ; 1; 0  , B  1;  ;5  d, A  1; ;  , B  3; ;1 
2   2   3 2  3 
Bµi 3: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng    ®i qua ®iÓm M vµ song song víi mÆt ph¼ng    biÕt:
a, M  2;1;5  ,      Oxy  b, M  1;1; 0  ,    :x  2y  z  10  0 c, M 1; 2;1 ,    : 2x  y  3  0
 
Bµi 4 LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M(2;3;2) vµ cÆp VTCP lµ a(2;1; 2); b(3; 2; 1)
Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ
a) Song song víi c¸c trôc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trôc 0x,0z.
c) Song song víi c¸c trôc 0y, 0z.
Bµi 6: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng ®i qua 2 ®iÓm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ :
a) Cïng ph­¬ng víi trôc 0x. b) Cïng ph­¬ng víi trôc 0y. c) Cïng ph­¬ng víi trôc 0z.
 
Bµi 7: X¸c ®Þnh to¹ ®é cña vÐc t¬ n vu«ng gãc víi hai vÐc t¬ a(6; 1;3); b(3; 2;1) .
Bµi 8: T×m mét VTPT cña mÆt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cÆp VTCP lµ a(2,7,2); b(3,2,4)
Bµi 9: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) biÕt :
a) (P) ®i qua ®iÓm A(-1;3;-2) vµ nhËn n(2,3,4); lµm VTPT.
14

15. www.VNMATH.com
b) (P) ®i qua ®iÓm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0.
Bµi 10: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c mÆt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é.
Bµi 11: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(-1;2;3) vµ hai mÆt ph¼ng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) ®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P),(Q).
Bµi 12: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau:
 
a) §i qua hai ®iÓm A(0;-1;4) vµ cã cÆp VTCP lµ a  3; 2;1 vµ b  3;0;1
b) §i qua hai ®iÓm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph­¬ng víi trôc víi 0x.
Bµi 13: Cho tø diÖn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t c¸c mÆt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD.
Bµi 14: ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (P)
a) §i qua ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) , d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)
Bµi 15: Cho hai ®iÓm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz
a) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ trung trùc cña AB.
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng y0z
c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mÆt ph¼ng (P).
III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d) qua

M(xo ;yo ;zo) coù vtcp a = (a1;a2;a3)
 x  x o  a 1t

(d) :  y  y o  a 2 t ; t  R
z  z  a t
 o 3
2.Phöông trình chính taéc cuûa (d)
z-z Qui öôùc:
x  xo y  yo 0
(d) :   Maãu = 0 thì Tö û= 0
a a2 a3
1
3.PT toång quaùt cuûa (d) laø giao tuyeán cuûa 2 mp 1 vaø 2
 A 1 x  B 1 y  C 1z  D 1  0
(d) : 
A 2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0
 B1 C1 C1 A1 A1 B1 
Veùctô chæ phöông a   , , 
B C2 C2 A2 A2 B2 
 2 
4.Vò trí töông ñoái cuûa 2 ñöôøng thaúng :
15

16. www.VNMATH.com

(d) qua M coù vtcp a d ; (d’) qua N coù vtcp a d /
 
 d cheùo d’  [ a d , a d / ]. MN ≠ 0 (khoâng ñoàng phaúng)
 
 d,d’ ñoàng phaúng  [ a d , a d / ]. MN = 0
  
 d,d’ caét nhau  [ a d , a d / ]  0 vaø [ a d , a d / ]. MN =0
 /
 d,d’ song song nhau  { a d // a d / vaø M  (d ) }

 d,d’ truøng nhau  { a d // a d / vaø M  (d / ) }
5.Khoaûng caùch :

Cho (d) qua M coù vtcp a d ; (d’) qua N coù vtcp a d /
[a d ; AM ]
Kc từ đieåm ñeán ñường thẳng: d ( A, d ) 
ad
[a d ; a d / ].MN
Kc giöõa 2 ñường thẳng : d (d ; d / ) 
[a d ; a d / ]
 
6.Goùc : (d) coù vtcp a d ; ’ coù vtcp a d / ; ( ) coù vtpt n

a d .a d /
Goùc giữa 2 ñöôøng thaúng : cos(d, d' ) 

ad . ad /
 
ad .n
Goùc giữa ñường vaø mặt : sin(d,  )   
ad . n
2.CAÙC DAÏNG TOAÙN
Daïng 1: : Ñöôøng thaúng (d) ñi qua A,B
 quaA ( hayB )
(d )
 Vtcp a d  AB
Daïng 2: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø song song ()
qua A
(d )  
Vì (d) // (  ) neân vtcp a  a
d 
Daïng 3: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc mp
qua A
(d )  
Vì (d)  ( ) neân vtcp a  n
d 
Daïng4: PT d’ hình chieáu cuûa d leân  : d/ =   
16

17. www.VNMATH.com
 Vieát pt mp chöùa (d) vaø vuoâng goùc mp
 quaM  (d )
(  )  (d )  a  a
( )
 

d 
ª (d
/
)
       n  b (  )
  n  [a d ; n ]

Daïng 5: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc (d1),(d2)
qua A
 
( d ) vtcp a [ a 
 ,a ]
d1 d2
Daïng 6: PT d vuoâng goùc chung cuûa d1 vaø d2 :
 
+ Tìm a d = [ a d1, a d2]
+ Mp chöùa d1 , (d) ; mp chöùa d2 , (d)
 d=
Daïng 7: PT qua A vaø d caét d1,d2 : d =   
vôùi mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)
Daïng 8: PT d //  vaø caét d1,d2 : d = 1  2
vôùi mp1 chöùa d1 //  ; mp2 chöùa d2 // 
Daïng 9: PT d qua A vaø  d1, caét d2 : d = AB
vôùi mp qua A,  d1 ; B = d2  
Daïng 10: PT d  (P) caét d1, d2 : d =   
vôùi mp chöùa d1 ,(P) ; mp chöùa d2 ,  (P)
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1:LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) trong c¸c tr­êng hîp sau :

a) (d) ®i qua ®iÓm M(1;0;1) vµ nhËn a(3; 2;3) lµm VTCP
b) (d) ®i qua 2 ®iÓm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng
( P) : x - 3 y  2 z - 6  0 vµ c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é
Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh cña ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(2;3;-5) vµ song song víi ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng
 x  t
tr×nh:   :  2 2
d y   t , tR
 z  1  2t

 x  t
Bµi 4: Cho ®­êng th¼ng (D) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh lµ : vµ (P): x+y+z+1=0
d  :  y  2  2t , t  R

 z  1  2t

T×m ph­¬ng tr×nh cña ®­êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®­êng
th¼ng (D)
Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iÓm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng
th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã
17

18. www.VNMATH.com
Bµi6: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt
ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau:
a) ( P) : x  2 y  3 z - 4  0 b)  P  : x  2 y  3z  1  0 .
Bµi 7: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1;2;3) vµ song song víi ®­êng
 x  2  2t
th¼ng (  ) cho bëi : .
   :  y  3t
 tR

 z  3  t
Bµi8: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) ,biÕt:
x  1  t  x  12  4t
a) d  :  y  3  t , t  R (P): x-y+z+3=0 b) (P): y+4z+17=0
 d  :  y  9  t
 , t R
z  2  t 
 z  1  t
Bµi 9: (§HNN_TH-98): Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ
d  : x  1  y z2
 .
2 1 3
a) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P) .
b) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mÆt ph¼ng (P) .
Bµi 10: Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi :
 x  1  2t
d1  : x  2  y 1 z 1
 d 2  :  y  t  2
 t  R 
1 2 1
 z  1  3t

a) CMR hai ®­êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña nã.
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2).
Bµi 11: (§HNN-96): cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi :
 x  7  3t  x  1  t1
d1  :  y  4  2t
 d 2  :  y  9  2t1
 t, t 1  R 
 z  4  3t  z  12  t
  1
a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) .
III.MẶT CẦU
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R
2 2 2
S(I, R) : x  a   y  b   z  c   R 2 (1)
S(I,R) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (2)
( vôùi a2  b2  c2  d  0 )
2 2 2
 Taâm I(a ; b ; c) vaø R a  b  c  d
2.Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu
Cho (S): x  a2  y  b2  z  c2  R2
vaø  : Ax + By + Cz + D = 0
Goïi d = d(I,) : khoûang caùch töø taâm mc(S) ñeán mp :
 d > R : (S)   = 
18

19. www.VNMATH.com
 d = R :  tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, : tieáp dieän)
*Tìm tieáp ñieåm H (laø hchieáu cuûa taâm I treân mp)
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d  n 
 Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()
2 2 2
 d < R :  caét (S) theo ñöôøng troøn coù pt (S): x  a  y  b  z  c  R
2

 : Ax  By  Cz  D  0
*Tìm baùn kính r vaø taâm H cuûa ñöôøng troøn:
+ baùn kính r  R2  d2(I , )
+ Tìm taâm H ( laø hchieáu cuûa taâm I treân mp)
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d  n 
 Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()
3.Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu
 x  x o  a 1t
 (1) vaø
d : y  y o  a 2 t
z  z o  a 3 t

2 2 2
(S) : x  a  y  b  z  c  R2 (2)
+ Thay ptts (1) vaøo pt mc (2), giaûi tìm t,
+ Thay t vaøo (1) ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm
2.CAÙC DAÏNG TOAÙN
Daïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A
2 2 2
ª S(I, R) : x  a   y  b   z  c   R 2 (1)
 Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2
Daïng 2: Maët caàu ñöôøng kính AB
 Taâm I laø trung ñieåm AB
 Vieát phöông trình maët caàu taâm I (1)
 Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2
Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp
Pt maët caàu taâm I
(S ) A.x  B . y  C . z  D
I I I
R  d(I,  ) 
A2  B2  C 2
Daïng 4: Maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD
Duøng (2) S(I,R) : x2  y2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 A,B,C,D  mc(S)  heä pt, giaûi tìm a, b, c, d
Daïng 5:Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α)
S(I,R) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (2)
A,B,C  mc(S): theá toïa toïa A,B,C vaøo (2)
I(a,b,c) (α): theá a,b,c vaøo pt (α)
19

20. www.VNMATH.com
Giaûi heä phöông trình treân tìm a, b, c, d
Daïng 6: Maët phaúng tieáp xuùc maët caàu taïi A
 
Tieáp dieän  cuûa mc(S) taïi A :  qua A, vtpt n  IA
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1: Trong c¸c ph­¬ng tr×nh sau ®©y ,ph­¬ng tr×nh nµo lµ ph­¬ng tr×nh cña mÆt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m
vµ b¸n kÝnh cña nã ,biÕt:
a) S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  2  0 b) S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  9  0
c) S  : 3x 2  3 y 2  3 z 2  6 x  3 y  9 z  3  0 d) S  :  x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  5 z  7  0
Bµi 2: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh: S m  : x 2  y 2  z 2  4mx  2my  6 z  m 2  4m  0
a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu .
b) CMR t©m cña (Sm) lu«n n»m trªn mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh.
Bµi 3: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh: S m  : x 2  y 2  z 2  4mx  2m 2 y  8m 2  5  0
a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu .
b) T×m quÜ tÝch t©m cña hä (Sm) khi m thay ®æi. c) T×m ®iÓm cè ®Þnh M mµ (Sm) lu«n ®i qua.
Bµi 4: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh: S m  : x  y  z 2  2 x sin m  2 y cos m  3  0
2 2
a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu .
b) CMR t©m cña (Sm) lu«n ch¹y trªn mét ®­êng trßn (C) cè ®Þnh trong mÆt ph¼ng 0xy khi m thay ®æi.
c) Trong mÆt ph¼ng 0xy, (C) c¾t 0y t¹i A vµ B. §­êng th¼ng y=m(-1<m<1 ,m  0) ,c¾t (C) t¹i T, S ,
®­êng th¼ng qua A , T c¾t ®­êng th¼ng qua B ,S t¹i P .T×m tËp hîp c¸c ®iÓm P khi m thay ®æi .
Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ,biÕt :
a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4. b) §i qua ®iÓm A(2;1;-3) vµ
t©m I(3;-2;-1).
c) §i qua ®iÓm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thuéc 0x. d) Hai ®Çu ®­êng kÝnh lµ A(-1;2;3),
B(3;2;-7)
Bµi 6: Cho 3 ®­êng th¼ng (d1),(d2), (d3) cã ph­¬ng tr×nh :
x 1 y  3 z  2
d1  : x  2  y  2  z  1 , d 2  : x  7  y  3  z  9 , d 3  :  
3 4 1 1 2 1 3 2 1
a) LËp pt®t (d) c¾t c¶ (d1),(d2) vµ song song víi (d3).
b) Gi¶ sö d   d1   A, d   d 2   B .LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ®­êng kÝnh AB.
x  2  t
Bµi 7: Cho 2 ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh : , d 2  : x  7  y  3  z  9
d1  :  y  1  t
 tR 1 2 1
 z  2t

a) CMR (d1) vµ (d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng vu«ng gãc chung cña (d1) vµ (d2).
c) LËp mËt cÇu (S) cã ®­êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña (d1) vµ (d2). d) ViÕt pttq mp c¸ch ®Òu(d1) (d2).
Bµi 8: ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) biÕt :
a) T©m I(1;2;-2) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P):6x-3y+2z-11=0.
b) (C§GTVT-2000): T©m I(1;4;-7) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) B¸n kÝnh R = 9 vµ tiÕp xóc víi (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iÓm M(1;1;-3).
Bµi 9: (§H HuÕ-96): Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ 0xyz ,cho bèn ®iÓm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng ®i qua D vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC).
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.
Bµi10: Cho bèn ®iÓm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a) (§HKT-99): CMR SB vu«ng gãc SA.
b) (§HKT-99): CMR h×nh chiÕu cña c¹nh SB lªn mÆt ph¼ng (0AB) vu«ng gãc víi c¹nh 0A. Gäi K lµ
giao ®iÓm cña h×nh chiÕu ®ã víi 0A. H·y x¸c ®Þnh to¹ dé cña K.
c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.
d) (§HKT-99): Gäi P,Q lÇn l­ît lµ ®iÓm gi÷a cña c¸c c¹nh S0,AB . T×m to¹ ®é cña ®iÓm M trªn SB sao
cho PQ vµ KM c¾t nhau.
Bµi 11: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é 0xyz ,cho bèn ®iÓm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) (HVKTQS-98): T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn (ABC) vµ tÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD.
b) (HVKTQS-98): ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cña AC vµ BD.
20

21. www.VNMATH.com
c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.
d) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD.
Bµi 12: Cho bèn ®iÓm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a) (HVNHTPHCM-99):ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng BC .H¹ AH vu«ng gãc BC .T×m to¹
®é cña ®iÓm H.
b) (HVNHTPHCM-99):ViÕt pttq cña (BCD) .T×m kc tõ A ®Õn (BCD). c) ViÕt ptmc ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.
Bµi 13: Trong kh«ng gian 0xyz, cho h×nh chãp .biÕt to¹ ®é bèn ®Ønh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4),
D(3;1;0).
a) LËp pt c¸c mÆt cña h×nh chãp. b) LËp pt mÆt cÇu (S) ngo¹i tiÕp h×nh chãp . c) TÝnh V SABCD
Bµi 14: (HVKTMM-97) Cho bèn ®iÓm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tø diÖn ABCD cã cÆp c¹nh ®èi diÖn b»ng nhau . b) X¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m G cña tø
diÖn.
c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp ,néi tiÕp tø diÖn ABCD.
21

22. www.VNMATH.com
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian
Ta có : Ox, Oy, Oz vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc
thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :
Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD. A' B' C ' D' 
z
Với hình lập phương .
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : A’ D’
A(0;0; 0) ; B(a;0;0) ; C (a; a;0) ; D(0;a;0) B’
C’
A '(0; 0; a ) ; B '(a;0; a) ; C '(a; a; a ) ; D'(0;a;a )
Với hình hộp chữ nhật. A D
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : y
A(0;0; 0) ; B(a;0;0) ; C (a; b;0) ; D(0;b;0) x C
B
A '(0; 0; c ) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c ) ; D'(0;b;c)

Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD. A' B' C ' D'
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : z
A’ D’
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của O’
hai đường chéo của hình thoi ABCD B’
C y
- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy A
D
O
B C
x
Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ z
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và S
đường cao SO  h
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông y
 a 2  a 2  A D
Khi đó : A 
 ;0;0 ; C 
  2 ;0;0 

 2   
 a 2   a 2  O
B  0; 
 ; 0  ; D  0;
  ; 0  ; S (0; 0; h)
 B
 2   2  C x
Với hình chóp tam giác đều S.ABC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ z
S
22

23. www.VNMATH.com
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và
đường cao bằng h . Gọi I là trung điểm
của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho I(0;0;0)
 a  a 
Khi đó : A   ; 0; 0  ; B  ; 0; 0 
 2  2 
 a 3   a 3 
C  0;
 ; 0 ;
 S  0;
 ;h

 2   6 
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA  (ABCD)
z
ABCD là hình chữ nhật AB  a; AD  b S
chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
y
A D
Khi đó : B  a; 0; 0  ; C  a; b; 0 
D  0; b; 0  ; S (0;0; h) O
B
C
x
Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA  (ABCD)
z
ABCD là hình thoi cạnh a S
chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho O(0;0;0)
y
A D
O
B
C x
Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và  ABC vuông tại A
z
Tam giác ABC vuông tại A có
AB  a; AC  b đường cao bằng h . S
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó : B  a; 0;0  ; C  0; b;0  y
C
S  0; 0; h  A
B x
23

24. www.VNMATH.com
Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và  ABC vuông tại B
Tam giác ABC vuông tại B có z
BA  a; BC  b đường cao bằng h . S
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho B(0;0;0)
x y
Khi đó : A  a; 0;0  ; C  0; b;0 
S  a; 0; h  C
A
B
Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân tại S
và  ABC vuông tại C
z
 ABC vuông tại C CA  a; CB  b S
chiều cao bằng h
H là trung điểm của AB y
x
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho C(0;0;0) A H B
Khi đó : A  a; 0;0  ; B  0; b; 0 
C
a b
S ( ; ; h)
2 2
Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân tại S
và  ABC vuông tại A
z
 ABC vuông tại A AB  a; AC  b
chiều cao bằng h S
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0) A C
y
Khi đó : B  a; 0;0  ; C  0; b;0  H
a B x
S (0; ; h)
2
Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân tại S
và  ABC vuông cân tại C
24

25. www.VNMATH.com
Tam giác ABC vuông cân tại C có
CA  CB  a đường cao bằng h .
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho H(0;0;0) z S
 a   a 
Khi đó : C  ;0; 0  ; A  0; ;0
 2   2 
 a  y
B  0;  ; 0  ; S  0; 0; h  A H
 2  B
C x
b. Bài tập áp dụng
Bài toán 1. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi
 ,  ,  lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh
rằng : cos2   cos2   cos2   1
( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương
chủ biên, NXBGD 2000 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
z
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
C
Oxyz như sau : O(0;0;0) ; A(a;0;0) ;
B(0; b;0) C (0;0; c) ;
AB  (a ; b ; 0)  y
O
AC  (a ; 0 ; c) B
A C’
x
Tìm vectơ pháp tuyến của :
 Mặt phẳng (ABC) 
 
n  AB, AC  (bc ; ac ; ab)
i  ( 1, 0, 0) vì : Ox  (OBC )
 Mặt phẳng (OBC) 
 Mặt phẳng (OCA) j  ( 0, 1, 0) vì : Oy  (OCA)
 Mặt phẳng (OAB) k  ( 0, 0, 1) vì : Oz  (OAB)
Sử dụng công thức tính góc giữa hai b.c
mặt phẳng: cos 
 b 2c 2  c 2 a 2  a 2b 2
c.a
cos  cos(OBC ), ( ABC )  cos  
cos   cos(OBC ), ( ABC )   b c  c 2 a 2  a 2b 2
2 2
cos   cos(OBC ), ( ABC )  a.b
cos  
b 2c 2  c 2 a 2  a 2b 2
25

26. www.VNMATH.com
Kết luận b 2c 2  c 2 a 2  a 2b 2
cos2   cos2   cos2   1
b 2c 2  c 2 a 2  a 2b 2
Bài toán 2. Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :
Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' có cạnh bằng a.
a.Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng ( AB' D' )
b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A' C và mặt phẳng ( AB' D' ) là trọng tâm của
tam giác AB' D' .
c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB' D' ) và (C ' BD)
d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( DA' C ) và ( ABB' A' )
( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
z
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyz như sau : O  A(0;0;0) ; A’ D’
A' (0;0; a) B’
B(a;0;0) ; B' (a;0; a ) G C’
C (a; a;0) ; C ' (a; a; a )
y
D (0; a;0) ; D ' (0; a; a) A D
B
C
x
a. Chứng minh : A' C  ( AB' D' )  A' C  (a; a; a)
 A' C  AB' 
Nếu  
 A' C  ( AB' D' ) Ta có :  AB '  (a;0; a)
 A' C  AD' 
 AD'  (0; a; a)

 A' C. AB'  a 2  0  a 2  0
  A' C  AB'
Vì   
 A' C. AD'  0  a 2  a 2  0
  A' C  AD'
Nên A' C  mp( AB' D ' )
b. Chứng minh : G là trọng tâm của Gọi G  A' C  ( AB' D ' ) Toạ độ giao điểm G
tam giác AB' D' Phương trình của đường thẳng A' C và mặt phẳng
tham số của đường thẳng A' C ( AB' D' ) là nghiệm của hệ :
x  t  a
 x  3
A' C :  y  t (t  R ) x  t
z  a  t y  t 
    a  a a 2a 
  y  G ; ;  (1) 
z  a  t  3 3 3 3 
Phương trình tổng quát của mặt x  y  z  0
  2a
z  3
phẳng ( AB' D' ) 
( AB' D' ) : x  y  z  0
26