SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 17
Descargar para leer sin conexión
www.VNMATH.com

Chuyên đề
                                               LƯỢNG GIÁC
                                               Phần 1: CÔNG THỨC
1. Hệ thức LG cơ bản
sin 2 α + cos 2 α = 1                                                     tan α .cot α = 1
          sin α           π                                                      cos α
tan α =              α ≠ + kπ ÷                                          cot α =               ( α ≠ kπ )
          cos α           2                                                      sin α
    1                     π                                                1
       = tan 2 α + 1 α ≠ + k π ÷                                                 = cot 2 α + 1 ( α ≠ kπ )
 cos α
     2
                           2                                            sin α
                                                                              2


2. Công thức LG thường gặp
                   sin ( a ± b ) = sinacosb ± sinbcosa
                   cos ( a ± b ) = cos a cos b m sinasinb
Công thức cộng:
                                      tana ± tanb
                   tan ( a ± b ) =
                                     1 m tanatanb

                        sin 2a = 2sin a.cos a
                        cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a
                        cos 3a = 4 cos 3 a − 3cos a
Công thức nhân:
                        sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a
                                     3 tan a − tan 3 a
                        tan 3a =
                                       1 − 3 tan 2 a

                                   1
Tích thành tổng:        cosa.cosb =  [cos(a−b)+cos(a+b)]
                                   2
                                  1
                    sina.sinb = [cos(a−b)−cos(a+b)]
                                  2
                                  1
                    sina.cosb = [sin(a−b)+sin(a+b)]
                                  2
                                           a+b       a−b
Tổng thành tích: sin a + sin b = 2sin            cos
                                             2          2
                                           a+b       a−b
                     sin a − sin b = 2 cos       sin
                                             2          2
                                            a+b        a −b
                     cos a + cos b = 2 cos        cos
                                              2          2
                                             a+b       a −b
                     cos a − cos b = −2sin         sin
                                               2          2
                                      sin(a ± b)
                     tan a ± tan b =
                                      cos a.cos b
                              1
Công thức hạ bậc: cos2a = (1+cos2a)
                              2
                             1
                    sin2a = (1−cos2a)
                             2
                                        a
Biểu diễn các hàm số LG theo t = tan
                                        2
Chuyên đề: LG                                               1                                        Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com

                               2t              1- t 2            2t
                      sin a =        ; cos a =        ; tan a =       .
                              1+ t 2
                                               1+ t 2
                                                                1− t2

3. Phương trìng LG cơ bản
                     u = v + k 2π
       * sinu=sinv ⇔                                          * cosu=cosv⇔u=±v+k2π
                     u = π − v + k 2π
        * tanu=tanv ⇔ u=v+kπ                                        * cotu=cotv ⇔ u=v+kπ ( k ∈ Z ) .
4. Một số phương trình LG thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
        a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các
công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
        b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng
a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các
phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG..
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là a 2 + b 2 ≥ c 2 .
                                                       b                                        c
Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt = tan α , ta được: sinx+tanαcosx= cos α
                                                       a                                        a
                             c                                       c         ñaë
                                                                                 t
⇔ sinx cos α + sin α cosx= cos α                    ⇔ sin(x+ α )= cos α = sin ϕ .
                             a                                       a
Cách 2: Chia hai vế phương trình cho a 2 + b 2 , ta được:
                                       a                    b                  c
                                               sin x +            cos x =
                                     a +b
                                      2      2
                                                          a +b
                                                           2    2
                                                                            a + b2
                                                                              2

          a                        b
Đặt:           = cos β ;                  = sin β . Khi đó phương trình tương đương:
       a2 + b2                  a2 + b2
                                                     c                                c     ñaë
                                                                                              t
                 cos β sin x + sin β cos x =                  hay sin ( x + β ) =           = sin ϕ .
                                                  a2 + b2                          a 2 + b2
                     x
Cách 3: Đặt t = tan .
                     2
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).
                                        π
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với x = + kπ .
                                         2
         + Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.
                    1                         π        
         Chú ý:      2
                         = tan 2 x + 1  x ≠ + kπ ÷
                 cos x                        2        
Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc.
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t | ≤ 2 .
                                                                                                             π              π
                                                              Löu yù c coâg thöù : sin x + cos x = 2 sin  x + ÷ = 2 cos  x − ÷
                                                                   caù n       c
                                                                                                             4              4
                                                                                                             π              π
                                                                                  sin x − cos x = 2 sin  x − ÷ = − 2 cos  x + ÷
                                                                                                             4               4




Chuyên đề: LG                                          2                                                     Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com


                  Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.
Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).
   Giải
                                    1 − cos 2 x 1 − cos 6 x 1 + cos 4 x 1 + cos8 x
Phương trình (1) tương đương với:              +              =          +
                                         2           2             2           2
                                 ⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
                                 ⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
                                 ⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0
                                 ⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0
                                                            π              π kπ
                                                     5 x = 2 + kπ     x = 10 + 5
                                     cos 5 x = 0                    
                                 ⇔  cos 2 x = 0 ⇔  2 x = π + kπ ⇔  x = π + lπ , ( k , l , n ∈ ¢ )
                                                             2            4 2
                                     cos x = 0
                                                                    
                                                            π
                                                      x = + kπ             π
                                                                       x = + nπ
                                                     
                                                           2         
                                                                           2
                               6       6          8       8
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos x+sin x = 2 ( cos x+sin x) (2).
   Giải
   Ta có (2) ⇔ cos6x(2cos2x−1) = sin6x(1−2sin2x)
             ⇔ cos2x(sin6x–cos6x) = 0
             ⇔ cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0
             ⇔ cos2x = 0
                         π           π kπ
                ⇔ 2x =     + kπ ⇔ x = +   , (k ∈ ¢ )
                         2           4 2
Ví dụ 3: Giải phương trình: 8 2 cos6 x + 2 2 sin 3 x sin 3 x − 6 2 cos 4 x − 1 = 0 (3).
   Giải
   Ta có:
   (3) ⇔ 2 2 cos3 x(4 cos3 x − 3cos x) + 2 2 sin 3 x sin 3 x − 1 = 0
    ⇔ 2 cos 2 x.2 cos x cos 3x + 2sin 2 x.2sin x sin x3 x = 2
    ⇔ (1 + cos 2 x)(cos 2 x + cos 4 x) + (1 − cos 2 x)(cos 2 x − cos 4 x) = 2
    ⇔ 2(cos 2 x + cos 2 x cos 4 x) = 2
                                  2
    ⇔ cos 2 x(1 + cos 4 x) =
                                 2
                             2
    ⇔ cos 2 x.cos 2 2 x =
                            4
               2         π
    ⇔ cos 2 x =  ⇔ x = ± + kπ , (k ∈ ¢ )
              2          8
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
                                                              17
Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: sin 8 x + cos8 x =          (4).
                                                              32
   Giải
   Ta có (4)
                     4                4
        1 − cos 2 x   1 + cos 2 x  17     1     4           2           17
      ⇔             ÷ +            ÷ = 32 ⇔ 8 (cos 2 x + 6 cos 2 x + 1) = 32
             2             2      

Chuyên đề: LG                                             3                                     Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com

                                                                      1
                                        2           17  2     13     t = 2
   Đặt cos 2x = t, với t∈[0; 1], ta có t + 6t + 1 = ⇔ t + 6t − = 0 ⇔ 
          2
                                                     4         4     t = − 13
                                                                     
                                                                            2
                    1               1    cos 4 x + 1 1
Vì t∈[0;1], nên t = ⇔ cos 2 2 x = ⇔                 =
                    2               2        2        2
                                                  π        π     π
                          ⇔cos4x = 0 ⇔ 4 x = + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ )
                                                  2        8     4
Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)
   Giải
Ta có (5) ⇔ 2(1− cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0
          ⇔ (1− cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0
          ⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
              cos x = 1 ⇔ x = kπ ,k( ∈ ¢ )
                                   2
          ⇔
               2sin x + 2 cos x + 2sin x cos x + 1 = 0 (*)
Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t |≤ 2 , khi đó phương trình (*) trở thành:
                                         t = 0                                  π
2t + t2 – 1 + 1 = 0 ⇔ t2 + 2t = 0 ⇔                     ⇔ sin x = -cos x ⇔ x = − + nπ , ( n ∈ ¢ )
                                         t = −2 (lo¹ i)                         4
                                                      π
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = − + nπ ; x = kπ , n k ∈ ¢ )
                                                                   2     ( ,
                                                      4
Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách
đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 6. Giải phương trình: π |sin x | = cos x (6).
   Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Do | sin x |≥ 0, nên π |sin x | ≥ π 0 = 1 , mà |cosx| ≤ 1.
            | sin x |= 0
                          
                            x = kπ , ( k ∈ ¢ + )   x = kπ
                                                          2        2
                                                                         π =
                                                                        k 2 n     k = n = 0
Do đó (6) ⇔              ⇔                      ⇔                   ⇔        ⇔
            | cos x |= 1
                           x = nπ , ( n ∈ ¢ )
                                                   x = nπ              x = nπ  x = 0
(Vì k, n ∈ Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.
                                                 x2
Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 1 −      = cos x .
                                                  2
   Giải
                    x2
Đặt f ( x )= cos x + . Dễ thấy f(x) = f(−x), ∀x ∈ ¡ , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét
                    2
với x ≥ 0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = −cosx+1, ∀x≥0 ⇒ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 ⇒ f(x)
đồng biến với x≥0 .
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
                                                                                          π
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng  0; ÷ thoả mãn
                                                                                          2
                                      2− n
phương trình: sin n x + cos n x = 2    2     .
  Giải
Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x.
                                        = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)

Chuyên đề: LG                                            4                                     Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com

                                          π                      π    2−n
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng  0; ÷, ta có minf(x) = f  ÷ = 2 2
                                          2                      4
        π
Vậy x =    là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
         4
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
                                                                                                     π
1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng)                                 ĐS: x = k 2π ; x =     + n 2π
                                                                                                     2
2. tanx.sin2x−2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
                                                                                    π             π
HD: Chia hai vế cho sin2x                                               ĐS: x = −     + kπ ; x = ± + n2π
                                                                                    4             3
3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
                                                                         π     π       π           7π
                                                               ĐS: x = ±    + k ; x = − + nπ ; x =    + mπ .
                                                                         4      4      12          12
                                                                                  π
4. |sinx−cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội)                     ĐS: x = k .
                                                                                  2
5. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) (ĐH Luật Hà Nội)
                                                       π                                                        1
                                                ĐS: x = + k 2π ; x = α + n 2π ; x = π − α + l 2π ; với sin α = − .
                                                       2                                                        4
                                                                                    π
6. sinx−4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội)                                    ĐS: x = + kπ .
                                                                                    4
               π                        π                                       π      π
7. sin  3x − ÷ = sin 2 x.sin  x + ÷ ; (Học Viện BCVT)                 ĐS: x = + k
               4                        4                                       4      2
       3                 3               3
8. sin x.cos3x+cos x.sin3x=sin 4x
                                                                                      π
HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x                           ĐS: x = k .
                                                                                      12
                                                                                     −π
                                                                                x = 4 + kπ
      1             1                 7π                                     
           +                 = 4 sin      − x÷                                       −π
9. sin x              3π            4                               ĐS:  x =
                                                                               
                                                                                          + kπ
             sin  x −     ÷                                                           8
                        2                                                    
                                                                                x = 5π + kπ
                                                                               
                                                                                      8
10. sin x − 3 cos x = sin x cos x − 3 sin x cos x
        3              3                2        2


                                                                                      π               π
HD: Chia hai vế cho cos3x                                               ĐS: x = − + kπ , x = ± + k π
                                                                                      3               4
11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
                                                                  π                    2π
HD: Đưa về cung x đặt thừa số                            ĐS: x = + kπ ∨ x = ±             + k 2π (k ∈ ¢ )
                                                                  4                     3
12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải
         (1)      ⇔2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx.
                  ⇔2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
                  ⇔2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.
Đặt t=cosx, ĐK t ≤ 1 , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. ∆=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.



Chuyên đề: LG                                           5                                         Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com

   1
    t=                             1
⇒  2
  
                          ⇒ cos x = …(biết giải)
                                   2
  t = sin x - 2 ( loaï )
                     i
13. 2sinx+cotx=2sin2x+1.
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0.
Đặt t=sinx, ĐK t ≤ 1 .
2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … ∆=(4cosx–1)2.
14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0.
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
                                                  1          2 ( cos x − sin x )
15. Giải phương trình lượng giác:                          =
                                           tan x + cot 2 x       cot x − 1
Giải
            cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0
            
Điều kiện: 
            cot x ≠ 1
            
                         1               2 ( cos x − sin x )   cos x.sin 2 x
                                 =                           ⇔               = 2 sin x
Từ (1) ta có: sin x cos 2 x                  cos x                cos x
                     +                             −1
              cos x sin 2 x                  sin x
⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x
                        π
             2      x = 4 + k 2π
⇔ cos x =      ⇔                   ( k ∈¢ )
            2       x = − π + k 2π
                   
                          4
                                                                                     π
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = −                   + k 2π ( k ∈ ¢ )
                                                                                     4
                             sin 4 x + cos 4 x 1
16. Giải phương trình:                        = ( tan x + cot x )
                                  sin 2 x      2
Giải
sin 4 x + cos 4 x 1
                  = ( tan x + cot x ) (1)
     sin 2 x       2
Điều kiện: sin 2 x ≠ 0
            1                                   1
        1 − sin 2 2 x                        1 − sin 2 2 x
            2           1  sin x cos x        2               1         1
(1) ⇔                 =         +        ÷⇔               =         ⇔ 1 − sin 2 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = 0
           sin 2 x      2  cos x sin x        sin 2 x      sin 2 x      2
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
                            2              π        2
17. Giải phương trình: 2 sin  x −           ÷ = 2 sin x − tan x .
                                           4
Giải
                   π                                                  π 
Pt⇔ 2 sin  x − ÷ = 2 sin x − tan x (cosx ≠ 0) ⇔ 1 − cos  2 x − ÷ cos x = 2 sin x.cos x − sin x
           2                 2                                                                2

              4                                              2 
⇔ (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 ⇔ sin2x = 1 hoặc tanx = 1.
                                                                                 (
18. Giải phương trình: sin 2 x ( cos x + 3) − 2 3cos x − 3 3cos2 x + 8 3 cos x − s inx − 3 3 = 0 .
                                                    3
                                                                                                     )
Giải


Chuyên đề: LG                                                   6                                         Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com

sin 2 x(cos x + 3) − 2 3.cos 3 x − 3 3.cos 2 x + 8( 3.cos x − sin x) − 3 3 = 0
⇔ 2sin x.cos 2 x + 6 sin x.cos x − 2 3.cos 3 x − 6 3 cos 2 x + 3 3 + 8( 3.cos x − sin x) − 3 3 = 0
⇔−2 cos 2 x ( 3 cos x −sin x ) − 6. cos x ( 3 cos x −sin x ) +8( 3 cos x −sin x) = 0
⇔ ( 3 cos x − sin x)( −2 cos 2 x − 6 cos x + 8) = 0
                                         tan x = 3
  3 cos x − sin x = 0                  
⇔                         ⇔             cos x = 1
 cos 2 x + 3cos x − 4 = 0
                                        cos x = 4 (loai)
                                        
       π
⇔  x = 3 + kπ , k ∈ Z
  
   x = k 2π
                                              π
19. Giải phương trình: cosx=8sin3  x + ÷
                                              6
Giải
               π
                                    (                      )
                                                       3
cosx=8sin3  x + ÷ ⇔ cosx = 3 sin x + cos x
               6
⇔ 3 3 sin 3 x + 9sin 2 x cos x + 3 3 sin x cos 2 x + cos 3 x − cos x = 0 (3)
Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm
 (3) ⇔ 3 3 tan 3 x + 8 tan 2 x + 3 3 tan x = 0
⇔ tan x = 0 ⇔ x = k π
                                                 1           2 ( cos x − sin x )
20. Giải phương trình lượng giác:                          =
                                           tan x + cot 2 x       cot x − 1
Giải
           cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0
           
Điều kiện: 
           cot x ≠ 1
           
                      1                     2 ( cos x − sin x )   cos x.sin 2 x
                                =                               ⇔               = 2 sin x
Từ (1) ta có: sin x cos 2 x                     cos x                cos x
                     +                                −1
              cos x sin 2 x                     sin x
⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x
                        π
             2      x = 4 + k 2π
⇔ cos x =      ⇔                   ( k ∈¢ )
            2       x = − π + k 2π
                   
                          4
                                                                                     π
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = −                   + k 2π ( k ∈ Z ¢
                                                                                                      )
                                                                                     4
21. Giải phương trình: cos 2 x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x)
Giải
Phương trình ⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0
     cos x − sin x = −1
⇔
     cos x − sin x = 5 (loai vi cos x − sin x ≤ 2)
                                                π
⇔ 2 sin x −(    4)          (    4      )
                π = 1 ⇔ sin x − π = sin π ⇔  x = 2 + k 2π ( k ∈ Z )
                                         4      x = π + k 2π
                                               

Chuyên đề: LG                                                    7                                        Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com

22. Giải phương trình: 2cos3x +       3 sinx + cosx = 0
Giải
                                                  π             π
  3 sin x + cos x + 2 cos 3 x = 0      ⇔       sin    sinx + cos cosx = – cos3x.
                                                   3            3
          π                                           π
⇔ cos  x − ÷= − cos 3 x               ⇔       cos  x − ÷= cos(π − 3 x)
          3                                           3
   π kπ
  x = 3 + 2                                         π kπ
⇔               (k ∈Z )               ⇔       x=      +       (k∈Z)
        π                                            3   2
   x = + kπ
       3
                                                      2+3 2
23. Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x =
                                                        8
Giải
                                         2+3 2                                                       2+3 2
Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x =                    ⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
                                             8                                                         8
                                                               2+3 2              2          π     π
⇔ cos 2 3 x + sin 2 3x + 3 ( cos 3 x cos x − sin 3 x sin x ) =       ⇔ cos 4 x =    ⇔ x = ± + k ,k ∈ Z .
                                                                 2               2          16      2
24. Định m để phương trình sau có nghiệm
                                                        π         π            π
                       4sin 3 x sin x + 4 cos  3 x − ÷cos  x + ÷ − cos 2  2 x + ÷+ m = 0
                                                        4         4            4
Giải
Ta có:
* 4sin 3 x sin x = 2 ( cos 2 x − cos 4 x ) ;
                π          π                 π         
* 4 cos  3x − ÷cos  x + ÷ = 2 cos  2 x − ÷ + cos 4 x  = 2 ( sin 2 x + cos 4 x )
                 4          4                2         
       2          π  1                    π  1
* cos  2 x +         ÷ = 1 + cos  4 x +      ÷ = ( 1 − sin 4 x )
                   4  2                   2 ÷ 2
                                                 
Do đó phương trình đã cho tương đương:
                          1               1
 2 ( cos 2 x + sin 2 x ) + sin 4 x + m − = 0 (1)
                          2               2
                                             π
Đặt t = cos 2 x + sin 2 x = 2 cos  2 x − ÷ (điều kiện: − 2 ≤ t ≤ 2 ).
                                             4
Khi đó sin 4 x = 2sin 2 x cos 2 x = t − 1 . Phương trình (1) trở thành:
                                            2


t 2 + 4t + 2m − 2 = 0 (2) với − 2 ≤ t ≤ 2
(2) ⇔ t 2 + 4t = 2 − 2m
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( D) : y = 2 − 2m (là đường song song với Ox và cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): y = t 2 + 4t với − 2 ≤ t ≤ 2 .
                                        x        − 2                       2
                                        y’                      +
                                        y                             2+4 2
                                                2−4 2
Trong đoạn  − 2; 2  , hàm số y = t 2 + 4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 − 4 2 tại t = − 2 và đạt giá trị lớn
                           
nhất là 2 + 4 2 tại t = 2 .

Chuyên đề: LG                                          8                                        Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com

Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 − 4 2 ≤ 2 − 2m ≤ 2 + 4 2
⇔ −2 2 ≤ m ≤ 2 2 .

                                     −−−−−−−−−−o0o−−−−−−−−−−




Chuyên đề: LG                                     9                             Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com

                                    PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
                              TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009
KHỐI A
                                                               cos 3x + sin 3 x 
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2π) của phương trình: 5  sin x +                    = cos 2 x + 3   (Khối A_2002).
                                                                1 + 2sin 2 x ÷  
Giải




          π      5π
ĐS: x =     ;x =    .
          3       3
                                     cos 2 x             1
2. Giải phương trình: cot x − 1 =             + sin 2 x − sin 2 x                                  (Khối A_2003)
                                    1 + tan x            2
Giải




        π
ĐS: x =   + kπ ( k ∈ Z )
        4
3. Giải phương trình: cos 2 3 x cos 2 x − cos 2 x = 0                                              (Khối A_2005)
Giải




Chuyên đề: LG                                              10                                       Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com




           kπ
ĐS: x =       ( k ∈Z)
            2

4. Giải phương trình:
                               (                 )
                            2 cos 6 x + sin 6 x − sin x cos x
                                                                 =0       (Khối A_2006)
                                           2 − 2 sin x
Giải




        5π
ĐS: x =    + k 2π ( k ∈ Z )
         4
                           (           )             (       )
5. Giải phương trình: 1 + sin x cos x + 1 + cos x sin x = 1 + sin 2 x
                             2                 2
                                                                          (Khối A_2007)
Giải




             π              π
ĐS: x = −       + k π , x = + k 2π , x = k 2π ( k ∈ Z )
              4             2
         1            1                 7π    
             +                 = 4 sin     − x÷
6.     sin x             3π           4                               (Khối A_2008)
               sin  x −     ÷
                          2 
Giải




Chuyên đề: LG                                                    11        Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com




        −π            −π                5π
ĐS: x =    + kπ , x =      + kπ , x =        + kπ , ( k ∈ Z )
         4             8                  8
                           ( 1 − 2 sin x ) cos x
7. Giải phương trình:                                = 3.            (Khối A_2009)
                       ( 1 + 2 sin x ) ( 1 − sin x )
Giải




            π     2π
ĐS: x = −      +k    , ( k ∈Z)
            18     3

KHỐI B
8. Giải phương trình sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x   (Khối B_2002)
Giải




            π        π
ĐS: x = k     ; x = k , ( k ∈Z)
            9        2
                                                         2
9. Giải phương trình cot x − tan x + 4 sin 2 x =                     (Khối B_2003)
                                                      sin 2 x
Giải




Chuyên đề: LG                                                   12    Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com




          π
ĐS: x = ±    + kπ , ( k ∈ Z )
           3
10. Giải phương trình 5sin x − 2 = 3 ( 1 − sin x ) tan x
                                                      2
                                                                  (Khối B_2004)
Giải




         π              5π
ĐS: x =    + k 2π ; x =    + k 2π , ( k ∈ Z )
         6               6
11. Giải phương trình 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0   (Khối B_2005)
Giải




            2π
ĐS: x = ±      + k 2π ( k ∈ Z )
             3
                                                  x
12. Giải phương trình: cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = 4         (Khối B_2006)
                                                  2
Giải




Chuyên đề: LG                                               13     Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com




         π             5π
ĐS: x =     + kπ ; x =    + kπ , ( k ∈ Z )
         12            12
13. Giải phương trình: 2 sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x                             (Khối B_2007)
Giải




         π     2π       5π     2π
ĐS: x =     +k     ;x =     +k    , ( k ∈Z)
         18     3       18      3
14. Giải phương trình sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x           (Khối B_2008)
Giải




         π    π        π
ĐS: x =    + k ; x = − + kπ , ( k ∈ Z )
         4    2         3
15. Giải phương trình: sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 ( cos 4 x + sin x ) .
                                                                            3
                                                                                     (Khối B_2009)
Giải




          π 2k π        π
ĐS: x =      +   , x = − − 2k π , ( k ∈ Z )
          42   7        6


Chuyên đề: LG                                                14                       Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com

KHỐI D
16. Tìm x∈[0;14] cos3x−4cos2x+3cosx−4=0                                      (Khối D_2002)
Giải




         π      3π      5π      7π
ĐS: x =    ;x =    ;x =    ;x =
         2       2       2       2
         x π 2               x
17. sin  − ÷tan x − cos         =0
       2                     2
                                                                             (Khối D_2003)
         2 4                 2
Giải




                       π
ĐS: x = π + k 2π , x = −  + kπ , ( k ∈ Z )
                        4
18. Giải phương trình ( 2 cos x − 1) ( 2 sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x   (Khối D_2004)
Giải




            π               π
ĐS: x = ±     + k 2π , x = − + k π , ( k ∈ Z )
            3               4
                                               π          π 3
19. Giải phương trình: cos x + sin x + cos  x − ÷sin  3 x − ÷ − = 0
                          4       4
                                                                             (Khối D_2005)
                                               4          4 2
Giải




Chuyên đề: LG                                                  15             Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com




         π
ĐS: x =    + kπ , ( k ∈ Z )
         4
20. Giải phương trình: cos3x+cos2x−cosx−1=0                           (Khối D_2006)
Giải




          2π
ĐS: x = ±    + k 2π , ( k ∈ Z )
           3
                                    2
                            x   x
21. Giải phương trình  sin + cos ÷ + 3 cos x = 2                     (Khối D_2007)
                           2    2
Giải




         π               π
ĐS: x =    + k 2π , x = − + k 2π , ( k ∈ Z )
         2               6
22. Giải phương trình sin 3 x − 3 cos 3 x = 2 sin 2 x           (CĐ_A_B_D_2008)
Giải




Chuyên đề: LG                                           16             Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com

         π              4π    2π
ĐS: x =    + k 2π , x =    +k    , ( k ∈Z)
         3              15     5
23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx                      (Khối D_2008)
Giải




          2π             π
ĐS: x = ±    + k 2π , x = + k π , ( k ∈ Z )
           3             4
24. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx                  (CĐ_A_B_D_2009)
Giải




         π             5π
ĐS: x =     + kπ , x =    + kπ , ( k ∈ Z )
         12            12
25. Giải phương trình 3 cos 5 x − 2 sin 3 x cos 2 x − sin x = 0         (Khối D_2009)
Giải




          π     π       π   π
ĐS: x =      + k , x = − + k , ( k ∈Z)
          18    3       6   2

                                                         −Hết−




Chuyên đề: LG                                              17            Thái Thanh Tùng

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Cong thuc luong giac day du
Cong thuc luong giac  day duCong thuc luong giac  day du
Cong thuc luong giac day duLe Nguyen
 
Chuyên đề phương tích và ứng dụng
Chuyên đề phương tích và ứng dụngChuyên đề phương tích và ứng dụng
Chuyên đề phương tích và ứng dụnglovemathforever
 
kỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmljmonking
 
Công thức lượng giác cần nhớ
Công thức lượng giác cần nhớCông thức lượng giác cần nhớ
Công thức lượng giác cần nhớDoan Hau
 
Lý thuyết và bài tập phóng xạ
Lý thuyết và bài tập phóng xạLý thuyết và bài tập phóng xạ
Lý thuyết và bài tập phóng xạtuituhoc
 
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ Jackson Linh
 
Phương pháp giải phương trình lượng giác
Phương pháp giải phương trình lượng giácPhương pháp giải phương trình lượng giác
Phương pháp giải phương trình lượng giácDuy Anh Nguyễn
 
Công thức lượng giác
Công thức lượng giác Công thức lượng giác
Công thức lượng giác biology_dnu
 
đồ Thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối
đồ Thị hàm số chứa giá trị tuyệt đốiđồ Thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối
đồ Thị hàm số chứa giá trị tuyệt đốiHướng Trần Minh
 
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCHÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCDANAMATH
 
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engelBat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engelPTAnh SuperA
 
Công Thức Lượng GIác
Công Thức Lượng GIácCông Thức Lượng GIác
Công Thức Lượng GIácHà Cao
 
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁCSƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁCDANAMATH
 
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợpHoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợpNguyễn Hữu Học
 
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC - CHƯƠNG 3 HÌNH HỌC 11 (THẦYHOÀNG THÁI VIỆT)
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC - CHƯƠNG 3 HÌNH HỌC 11 (THẦYHOÀNG THÁI VIỆT)CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC - CHƯƠNG 3 HÌNH HỌC 11 (THẦYHOÀNG THÁI VIỆT)
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC - CHƯƠNG 3 HÌNH HỌC 11 (THẦYHOÀNG THÁI VIỆT)Hoàng Thái Việt
 
Tuyển tập 500 bài Bất Đẳng Thức cổ điển
Tuyển tập 500 bài Bất Đẳng Thức cổ điểnTuyển tập 500 bài Bất Đẳng Thức cổ điển
Tuyển tập 500 bài Bất Đẳng Thức cổ điểnNguyễn Việt Long
 

La actualidad más candente (20)

Cong thuc luong giac day du
Cong thuc luong giac  day duCong thuc luong giac  day du
Cong thuc luong giac day du
 
Chuyên đề phương tích và ứng dụng
Chuyên đề phương tích và ứng dụngChuyên đề phương tích và ứng dụng
Chuyên đề phương tích và ứng dụng
 
kỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàm
 
Công thức lượng giác cần nhớ
Công thức lượng giác cần nhớCông thức lượng giác cần nhớ
Công thức lượng giác cần nhớ
 
Lý thuyết và bài tập phóng xạ
Lý thuyết và bài tập phóng xạLý thuyết và bài tập phóng xạ
Lý thuyết và bài tập phóng xạ
 
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
 
Phương pháp giải phương trình lượng giác
Phương pháp giải phương trình lượng giácPhương pháp giải phương trình lượng giác
Phương pháp giải phương trình lượng giác
 
Đồng dư thức
Đồng dư thứcĐồng dư thức
Đồng dư thức
 
Bt dai so hoang
Bt dai so hoangBt dai so hoang
Bt dai so hoang
 
Công thức lượng giác
Công thức lượng giác Công thức lượng giác
Công thức lượng giác
 
đồ Thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối
đồ Thị hàm số chứa giá trị tuyệt đốiđồ Thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối
đồ Thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối
 
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCHÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
 
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engelBat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engel
 
Công Thức Lượng GIác
Công Thức Lượng GIácCông Thức Lượng GIác
Công Thức Lượng GIác
 
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁCSƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
 
Dãy số và giới hạn
Dãy số và giới hạnDãy số và giới hạn
Dãy số và giới hạn
 
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợpHoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
 
Luận văn: Phép biến đổi phân tuyến tính, HAY, 9đ
Luận văn: Phép biến đổi phân tuyến tính, HAY, 9đLuận văn: Phép biến đổi phân tuyến tính, HAY, 9đ
Luận văn: Phép biến đổi phân tuyến tính, HAY, 9đ
 
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC - CHƯƠNG 3 HÌNH HỌC 11 (THẦYHOÀNG THÁI VIỆT)
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC - CHƯƠNG 3 HÌNH HỌC 11 (THẦYHOÀNG THÁI VIỆT)CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC - CHƯƠNG 3 HÌNH HỌC 11 (THẦYHOÀNG THÁI VIỆT)
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC - CHƯƠNG 3 HÌNH HỌC 11 (THẦYHOÀNG THÁI VIỆT)
 
Tuyển tập 500 bài Bất Đẳng Thức cổ điển
Tuyển tập 500 bài Bất Đẳng Thức cổ điểnTuyển tập 500 bài Bất Đẳng Thức cổ điển
Tuyển tập 500 bài Bất Đẳng Thức cổ điển
 

Destacado

Chuyên đề Lượng giác ôn thi THPT Quốc gia 2016
Chuyên đề Lượng giác ôn thi THPT Quốc gia 2016Chuyên đề Lượng giác ôn thi THPT Quốc gia 2016
Chuyên đề Lượng giác ôn thi THPT Quốc gia 2016schoolantoreecom
 
Chuyen de luong giac 1 www.mathvn.com
Chuyen de luong giac 1   www.mathvn.comChuyen de luong giac 1   www.mathvn.com
Chuyen de luong giac 1 www.mathvn.comhoabanglanglk
 
phương trình lượng giác
phương trình lượng giácphương trình lượng giác
phương trình lượng giácphanhak7dl
 
Lượng giác chọn lọc
Lượng giác chọn lọcLượng giác chọn lọc
Lượng giác chọn lọcSirô Tiny
 
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập về Phương Trình Lượng Giác
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập về Phương Trình Lượng GiácÔn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập về Phương Trình Lượng Giác
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập về Phương Trình Lượng GiácLinh Nguyễn
 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COS
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COSPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COS
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COSDANAMATH
 
Chuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giác
Chuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giácChuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giác
Chuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giácphamchidac
 
Tập 3 chuyên đề Toán học: Hình học phẳng Oxy - Megabook.vn
Tập 3 chuyên đề Toán học: Hình học phẳng Oxy - Megabook.vnTập 3 chuyên đề Toán học: Hình học phẳng Oxy - Megabook.vn
Tập 3 chuyên đề Toán học: Hình học phẳng Oxy - Megabook.vnMegabook
 
Bài tập lượng giác từ a tói z 11
Bài tập lượng giác từ a tói z 11Bài tập lượng giác từ a tói z 11
Bài tập lượng giác từ a tói z 11Thế Giới Tinh Hoa
 
Thi thử toán đức thọ ht 2012 lần 1
Thi thử toán đức thọ ht 2012 lần 1Thi thử toán đức thọ ht 2012 lần 1
Thi thử toán đức thọ ht 2012 lần 1Thế Giới Tinh Hoa
 
Idoc.vn luong giac-ly-thuyet-bai-tap-co-loi-giai
Idoc.vn luong giac-ly-thuyet-bai-tap-co-loi-giaiIdoc.vn luong giac-ly-thuyet-bai-tap-co-loi-giai
Idoc.vn luong giac-ly-thuyet-bai-tap-co-loi-giailinh98
 
Math vn.com decuongtoan10-hk2-nam2010
Math vn.com decuongtoan10-hk2-nam2010Math vn.com decuongtoan10-hk2-nam2010
Math vn.com decuongtoan10-hk2-nam2010michaelquyet94
 
De va dap an thi thu lan 01 2015 khoi a a1
De va dap an thi thu lan 01 2015 khoi a a1De va dap an thi thu lan 01 2015 khoi a a1
De va dap an thi thu lan 01 2015 khoi a a1Đăng Hoàng
 
Phương trình và hệ phương trình
Phương trình và hệ phương trìnhPhương trình và hệ phương trình
Phương trình và hệ phương trìnhtuituhoc
 
Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)
Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)
Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)Ty Luong
 
Mathvn.com 50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
Mathvn.com   50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.comMathvn.com   50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
Mathvn.com 50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.comnghiafff
 
30 bài văn nghị luận xã hộitruonghocso.com
30 bài văn nghị luận xã hộitruonghocso.com30 bài văn nghị luận xã hộitruonghocso.com
30 bài văn nghị luận xã hộitruonghocso.comThế Giới Tinh Hoa
 
Bài tập đạo hàm có hướng dẫn
Bài tập đạo hàm có hướng dẫnBài tập đạo hàm có hướng dẫn
Bài tập đạo hàm có hướng dẫndiemthic3
 
Phuong trinh luong giac (ptt)
Phuong trinh luong giac (ptt)Phuong trinh luong giac (ptt)
Phuong trinh luong giac (ptt)0915725511
 

Destacado (20)

Chuyên đề Lượng giác ôn thi THPT Quốc gia 2016
Chuyên đề Lượng giác ôn thi THPT Quốc gia 2016Chuyên đề Lượng giác ôn thi THPT Quốc gia 2016
Chuyên đề Lượng giác ôn thi THPT Quốc gia 2016
 
Chuyen de luong giac 1 www.mathvn.com
Chuyen de luong giac 1   www.mathvn.comChuyen de luong giac 1   www.mathvn.com
Chuyen de luong giac 1 www.mathvn.com
 
phương trình lượng giác
phương trình lượng giácphương trình lượng giác
phương trình lượng giác
 
Lượng giác chọn lọc
Lượng giác chọn lọcLượng giác chọn lọc
Lượng giác chọn lọc
 
Bai tap phuong trinh luong giac
Bai tap phuong trinh luong giacBai tap phuong trinh luong giac
Bai tap phuong trinh luong giac
 
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập về Phương Trình Lượng Giác
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập về Phương Trình Lượng GiácÔn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập về Phương Trình Lượng Giác
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Bài tập về Phương Trình Lượng Giác
 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COS
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COSPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COS
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COS
 
Chuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giác
Chuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giácChuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giác
Chuyên đề 6 góc lượng giác và công thức lượng giác
 
Tập 3 chuyên đề Toán học: Hình học phẳng Oxy - Megabook.vn
Tập 3 chuyên đề Toán học: Hình học phẳng Oxy - Megabook.vnTập 3 chuyên đề Toán học: Hình học phẳng Oxy - Megabook.vn
Tập 3 chuyên đề Toán học: Hình học phẳng Oxy - Megabook.vn
 
Bài tập lượng giác từ a tói z 11
Bài tập lượng giác từ a tói z 11Bài tập lượng giác từ a tói z 11
Bài tập lượng giác từ a tói z 11
 
Thi thử toán đức thọ ht 2012 lần 1
Thi thử toán đức thọ ht 2012 lần 1Thi thử toán đức thọ ht 2012 lần 1
Thi thử toán đức thọ ht 2012 lần 1
 
Idoc.vn luong giac-ly-thuyet-bai-tap-co-loi-giai
Idoc.vn luong giac-ly-thuyet-bai-tap-co-loi-giaiIdoc.vn luong giac-ly-thuyet-bai-tap-co-loi-giai
Idoc.vn luong giac-ly-thuyet-bai-tap-co-loi-giai
 
Math vn.com decuongtoan10-hk2-nam2010
Math vn.com decuongtoan10-hk2-nam2010Math vn.com decuongtoan10-hk2-nam2010
Math vn.com decuongtoan10-hk2-nam2010
 
De va dap an thi thu lan 01 2015 khoi a a1
De va dap an thi thu lan 01 2015 khoi a a1De va dap an thi thu lan 01 2015 khoi a a1
De va dap an thi thu lan 01 2015 khoi a a1
 
Phương trình và hệ phương trình
Phương trình và hệ phương trìnhPhương trình và hệ phương trình
Phương trình và hệ phương trình
 
Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)
Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)
Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)
 
Mathvn.com 50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
Mathvn.com   50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.comMathvn.com   50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
Mathvn.com 50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
 
30 bài văn nghị luận xã hộitruonghocso.com
30 bài văn nghị luận xã hộitruonghocso.com30 bài văn nghị luận xã hộitruonghocso.com
30 bài văn nghị luận xã hộitruonghocso.com
 
Bài tập đạo hàm có hướng dẫn
Bài tập đạo hàm có hướng dẫnBài tập đạo hàm có hướng dẫn
Bài tập đạo hàm có hướng dẫn
 
Phuong trinh luong giac (ptt)
Phuong trinh luong giac (ptt)Phuong trinh luong giac (ptt)
Phuong trinh luong giac (ptt)
 

Similar a Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học

Bai tap cung va goc luong giac
Bai tap cung va goc luong giacBai tap cung va goc luong giac
Bai tap cung va goc luong giacQuyen Le
 
Chuyen de ptlgiac
Chuyen de ptlgiacChuyen de ptlgiac
Chuyen de ptlgiacMrNgo Ngo
 
Www.thuvienhoclieu.com chuyen-de-hslg-ptlg
Www.thuvienhoclieu.com chuyen-de-hslg-ptlgWww.thuvienhoclieu.com chuyen-de-hslg-ptlg
Www.thuvienhoclieu.com chuyen-de-hslg-ptlgDuc Truong Giang Pham
 
[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thi
[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thi[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thi
[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thiAntonio Krista
 
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thứcThế Giới Tinh Hoa
 
2.2.tich phan ham_so_co_mau_tam_thuc_bac_2
2.2.tich phan ham_so_co_mau_tam_thuc_bac_22.2.tich phan ham_so_co_mau_tam_thuc_bac_2
2.2.tich phan ham_so_co_mau_tam_thuc_bac_2Quyen Le
 
03 mot so dang pt luong giac p1
03 mot so dang pt luong giac p103 mot so dang pt luong giac p1
03 mot so dang pt luong giac p1Huynh ICT
 
Toan11 bien doi_luong_giac
Toan11 bien doi_luong_giacToan11 bien doi_luong_giac
Toan11 bien doi_luong_giacquantcn
 
Thi thử toán nguyễn xuân nguyên th 2012 k ab
Thi thử toán nguyễn xuân nguyên th 2012 k abThi thử toán nguyễn xuân nguyên th 2012 k ab
Thi thử toán nguyễn xuân nguyên th 2012 k abThế Giới Tinh Hoa
 
On tap-luong-giac-bai4
On tap-luong-giac-bai4On tap-luong-giac-bai4
On tap-luong-giac-bai4Quyen Le
 
On tap-luong-giac-bai4
On tap-luong-giac-bai4On tap-luong-giac-bai4
On tap-luong-giac-bai4Quyen Le
 

Similar a Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học (20)

Bai tap cung va goc luong giac
Bai tap cung va goc luong giacBai tap cung va goc luong giac
Bai tap cung va goc luong giac
 
12 cách chứng minh bdt
12 cách chứng minh bdt12 cách chứng minh bdt
12 cách chứng minh bdt
 
Chuyen de ptlgiac
Chuyen de ptlgiacChuyen de ptlgiac
Chuyen de ptlgiac
 
Www.thuvienhoclieu.com chuyen-de-hslg-ptlg
Www.thuvienhoclieu.com chuyen-de-hslg-ptlgWww.thuvienhoclieu.com chuyen-de-hslg-ptlg
Www.thuvienhoclieu.com chuyen-de-hslg-ptlg
 
Ds10 c6a
Ds10 c6aDs10 c6a
Ds10 c6a
 
[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thi
[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thi[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thi
[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thi
 
Luong giac
Luong giacLuong giac
Luong giac
 
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
 
Luong giac
Luong giacLuong giac
Luong giac
 
Lượng giác
Lượng giác Lượng giác
Lượng giác
 
Lượng giác
Lượng giácLượng giác
Lượng giác
 
2.2.tich phan ham_so_co_mau_tam_thuc_bac_2
2.2.tich phan ham_so_co_mau_tam_thuc_bac_22.2.tich phan ham_so_co_mau_tam_thuc_bac_2
2.2.tich phan ham_so_co_mau_tam_thuc_bac_2
 
Day them toan 11
Day them toan 11Day them toan 11
Day them toan 11
 
Số phức và lượng giác
Số phức và lượng giácSố phức và lượng giác
Số phức và lượng giác
 
03 mot so dang pt luong giac p1
03 mot so dang pt luong giac p103 mot so dang pt luong giac p1
03 mot so dang pt luong giac p1
 
Toan11 bien doi_luong_giac
Toan11 bien doi_luong_giacToan11 bien doi_luong_giac
Toan11 bien doi_luong_giac
 
Thi thử toán nguyễn xuân nguyên th 2012 k ab
Thi thử toán nguyễn xuân nguyên th 2012 k abThi thử toán nguyễn xuân nguyên th 2012 k ab
Thi thử toán nguyễn xuân nguyên th 2012 k ab
 
694449747408
694449747408694449747408
694449747408
 
On tap-luong-giac-bai4
On tap-luong-giac-bai4On tap-luong-giac-bai4
On tap-luong-giac-bai4
 
On tap-luong-giac-bai4
On tap-luong-giac-bai4On tap-luong-giac-bai4
On tap-luong-giac-bai4
 

Más de Thế Giới Tinh Hoa

Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019
Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019
Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019Thế Giới Tinh Hoa
 
Bảng báo giá sản phẩm rèm bạch dương
Bảng báo giá sản phẩm rèm bạch dươngBảng báo giá sản phẩm rèm bạch dương
Bảng báo giá sản phẩm rèm bạch dươngThế Giới Tinh Hoa
 
Album sổ mẫu Rèm cửa Bạch Dương
Album sổ mẫu Rèm cửa Bạch DươngAlbum sổ mẫu Rèm cửa Bạch Dương
Album sổ mẫu Rèm cửa Bạch DươngThế Giới Tinh Hoa
 
Cách tắm cho bé vào mùa đông
Cách tắm cho bé vào mùa đôngCách tắm cho bé vào mùa đông
Cách tắm cho bé vào mùa đôngThế Giới Tinh Hoa
 
Giáo trình tự học illustrator cs6
Giáo trình tự học illustrator cs6  Giáo trình tự học illustrator cs6
Giáo trình tự học illustrator cs6 Thế Giới Tinh Hoa
 
Nữ quái sân trườngtruonghocso.com
Nữ quái sân trườngtruonghocso.comNữ quái sân trườngtruonghocso.com
Nữ quái sân trườngtruonghocso.comThế Giới Tinh Hoa
 
Những chàng trai xấu tính nguyễn nhật ánhtruonghocso.com
Những chàng trai xấu tính  nguyễn nhật ánhtruonghocso.comNhững chàng trai xấu tính  nguyễn nhật ánhtruonghocso.com
Những chàng trai xấu tính nguyễn nhật ánhtruonghocso.comThế Giới Tinh Hoa
 
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.comNhững bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.comThế Giới Tinh Hoa
 

Más de Thế Giới Tinh Hoa (20)

Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019
Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019
Cách chụp ảnh công ty đẹp 2019
 
Lỗi web bachawater
Lỗi web bachawaterLỗi web bachawater
Lỗi web bachawater
 
Bảng báo giá sản phẩm rèm bạch dương
Bảng báo giá sản phẩm rèm bạch dươngBảng báo giá sản phẩm rèm bạch dương
Bảng báo giá sản phẩm rèm bạch dương
 
Album sổ mẫu Rèm cửa Bạch Dương
Album sổ mẫu Rèm cửa Bạch DươngAlbum sổ mẫu Rèm cửa Bạch Dương
Album sổ mẫu Rèm cửa Bạch Dương
 
thong tin lam viec tren lamchame
thong tin lam viec tren lamchamethong tin lam viec tren lamchame
thong tin lam viec tren lamchame
 
Cách tắm cho bé vào mùa đông
Cách tắm cho bé vào mùa đôngCách tắm cho bé vào mùa đông
Cách tắm cho bé vào mùa đông
 
Giáo trình tự học illustrator cs6
Giáo trình tự học illustrator cs6  Giáo trình tự học illustrator cs6
Giáo trình tự học illustrator cs6
 
Nang luc truyen thong
Nang luc truyen thongNang luc truyen thong
Nang luc truyen thong
 
Huongdansudung izishop
Huongdansudung izishopHuongdansudung izishop
Huongdansudung izishop
 
Ho so nang luc cong ty
Ho so nang luc cong tyHo so nang luc cong ty
Ho so nang luc cong ty
 
seo contract
seo contractseo contract
seo contract
 
di google cong
di google congdi google cong
di google cong
 
E1 f4 bộ binh
E1 f4 bộ binhE1 f4 bộ binh
E1 f4 bộ binh
 
E2 f2 bộ binh
E2 f2 bộ binhE2 f2 bộ binh
E2 f2 bộ binh
 
E3 f1 bộ binh
E3 f1 bộ binhE3 f1 bộ binh
E3 f1 bộ binh
 
E2 f1 bộ binh
E2 f1 bộ binhE2 f1 bộ binh
E2 f1 bộ binh
 
E1 f1 bộ binh
E1 f1 bộ binhE1 f1 bộ binh
E1 f1 bộ binh
 
Nữ quái sân trườngtruonghocso.com
Nữ quái sân trườngtruonghocso.comNữ quái sân trườngtruonghocso.com
Nữ quái sân trườngtruonghocso.com
 
Những chàng trai xấu tính nguyễn nhật ánhtruonghocso.com
Những chàng trai xấu tính  nguyễn nhật ánhtruonghocso.comNhững chàng trai xấu tính  nguyễn nhật ánhtruonghocso.com
Những chàng trai xấu tính nguyễn nhật ánhtruonghocso.com
 
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.comNhững bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
 

Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học

  • 1. www.VNMATH.com Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC 1. Hệ thức LG cơ bản sin 2 α + cos 2 α = 1 tan α .cot α = 1 sin α  π  cos α tan α =  α ≠ + kπ ÷ cot α = ( α ≠ kπ ) cos α  2  sin α 1  π  1 = tan 2 α + 1 α ≠ + k π ÷ = cot 2 α + 1 ( α ≠ kπ ) cos α 2  2  sin α 2 2. Công thức LG thường gặp sin ( a ± b ) = sinacosb ± sinbcosa cos ( a ± b ) = cos a cos b m sinasinb Công thức cộng: tana ± tanb tan ( a ± b ) = 1 m tanatanb sin 2a = 2sin a.cos a cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a cos 3a = 4 cos 3 a − 3cos a Công thức nhân: sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a 3 tan a − tan 3 a tan 3a = 1 − 3 tan 2 a 1 Tích thành tổng: cosa.cosb = [cos(a−b)+cos(a+b)] 2 1 sina.sinb = [cos(a−b)−cos(a+b)] 2 1 sina.cosb = [sin(a−b)+sin(a+b)] 2 a+b a−b Tổng thành tích: sin a + sin b = 2sin cos 2 2 a+b a−b sin a − sin b = 2 cos sin 2 2 a+b a −b cos a + cos b = 2 cos cos 2 2 a+b a −b cos a − cos b = −2sin sin 2 2 sin(a ± b) tan a ± tan b = cos a.cos b 1 Công thức hạ bậc: cos2a = (1+cos2a) 2 1 sin2a = (1−cos2a) 2 a Biểu diễn các hàm số LG theo t = tan 2 Chuyên đề: LG 1 Thái Thanh Tùng
  • 2. www.VNMATH.com 2t 1- t 2 2t sin a = ; cos a = ; tan a = . 1+ t 2 1+ t 2 1− t2 3. Phương trìng LG cơ bản u = v + k 2π * sinu=sinv ⇔  * cosu=cosv⇔u=±v+k2π u = π − v + k 2π * tanu=tanv ⇔ u=v+kπ * cotu=cotv ⇔ u=v+kπ ( k ∈ Z ) . 4. Một số phương trình LG thường gặp 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG.. 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là a 2 + b 2 ≥ c 2 . b c Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt = tan α , ta được: sinx+tanαcosx= cos α a a c c ñaë t ⇔ sinx cos α + sin α cosx= cos α ⇔ sin(x+ α )= cos α = sin ϕ . a a Cách 2: Chia hai vế phương trình cho a 2 + b 2 , ta được: a b c sin x + cos x = a +b 2 2 a +b 2 2 a + b2 2 a b Đặt: = cos β ; = sin β . Khi đó phương trình tương đương: a2 + b2 a2 + b2 c c ñaë t cos β sin x + sin β cos x = hay sin ( x + β ) = = sin ϕ . a2 + b2 a 2 + b2 x Cách 3: Đặt t = tan . 2 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*). π Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với x = + kπ . 2 + Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0. 1  π  Chú ý: 2 = tan 2 x + 1  x ≠ + kπ ÷ cos x  2  Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t | ≤ 2 .  π  π Löu yù c coâg thöù : sin x + cos x = 2 sin  x + ÷ = 2 cos  x − ÷ caù n c  4  4  π  π sin x − cos x = 2 sin  x − ÷ = − 2 cos  x + ÷  4  4 Chuyên đề: LG 2 Thái Thanh Tùng
  • 3. www.VNMATH.com Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1). Giải 1 − cos 2 x 1 − cos 6 x 1 + cos 4 x 1 + cos8 x Phương trình (1) tương đương với: + = + 2 2 2 2 ⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 ⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0 ⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 ⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0  π  π kπ 5 x = 2 + kπ  x = 10 + 5 cos 5 x = 0   ⇔ cos 2 x = 0 ⇔  2 x = π + kπ ⇔  x = π + lπ , ( k , l , n ∈ ¢ )  2  4 2 cos x = 0    π  x = + kπ π  x = + nπ   2   2 6 6 8 8 Ví dụ 2. Giải phương trình: cos x+sin x = 2 ( cos x+sin x) (2). Giải Ta có (2) ⇔ cos6x(2cos2x−1) = sin6x(1−2sin2x) ⇔ cos2x(sin6x–cos6x) = 0 ⇔ cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0 ⇔ cos2x = 0 π π kπ ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + , (k ∈ ¢ ) 2 4 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: 8 2 cos6 x + 2 2 sin 3 x sin 3 x − 6 2 cos 4 x − 1 = 0 (3). Giải Ta có: (3) ⇔ 2 2 cos3 x(4 cos3 x − 3cos x) + 2 2 sin 3 x sin 3 x − 1 = 0 ⇔ 2 cos 2 x.2 cos x cos 3x + 2sin 2 x.2sin x sin x3 x = 2 ⇔ (1 + cos 2 x)(cos 2 x + cos 4 x) + (1 − cos 2 x)(cos 2 x − cos 4 x) = 2 ⇔ 2(cos 2 x + cos 2 x cos 4 x) = 2 2 ⇔ cos 2 x(1 + cos 4 x) = 2 2 ⇔ cos 2 x.cos 2 2 x = 4 2 π ⇔ cos 2 x = ⇔ x = ± + kπ , (k ∈ ¢ ) 2 8 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: 17 Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: sin 8 x + cos8 x = (4). 32 Giải Ta có (4) 4 4  1 − cos 2 x   1 + cos 2 x  17 1 4 2 17 ⇔ ÷ + ÷ = 32 ⇔ 8 (cos 2 x + 6 cos 2 x + 1) = 32  2   2  Chuyên đề: LG 3 Thái Thanh Tùng
  • 4. www.VNMATH.com  1 2 17 2 13 t = 2 Đặt cos 2x = t, với t∈[0; 1], ta có t + 6t + 1 = ⇔ t + 6t − = 0 ⇔  2 4 4 t = − 13   2 1 1 cos 4 x + 1 1 Vì t∈[0;1], nên t = ⇔ cos 2 2 x = ⇔ = 2 2 2 2 π π π ⇔cos4x = 0 ⇔ 4 x = + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ ) 2 8 4 Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5) Giải Ta có (5) ⇔ 2(1− cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0 ⇔ (1− cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0 ⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 cos x = 1 ⇔ x = kπ ,k( ∈ ¢ ) 2 ⇔  2sin x + 2 cos x + 2sin x cos x + 1 = 0 (*) Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t |≤ 2 , khi đó phương trình (*) trở thành: t = 0 π 2t + t2 – 1 + 1 = 0 ⇔ t2 + 2t = 0 ⇔  ⇔ sin x = -cos x ⇔ x = − + nπ , ( n ∈ ¢ ) t = −2 (lo¹ i) 4 π Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = − + nπ ; x = kπ , n k ∈ ¢ ) 2 ( , 4 Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. Ví dụ 6. Giải phương trình: π |sin x | = cos x (6). Giải Điều kiện: x ≥ 0 Do | sin x |≥ 0, nên π |sin x | ≥ π 0 = 1 , mà |cosx| ≤ 1. | sin x |= 0    x = kπ , ( k ∈ ¢ + )  x = kπ 2 2  π = k 2 n k = n = 0 Do đó (6) ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ | cos x |= 1   x = nπ , ( n ∈ ¢ )   x = nπ  x = nπ x = 0 (Vì k, n ∈ Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số. x2 Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 1 − = cos x . 2 Giải x2 Đặt f ( x )= cos x + . Dễ thấy f(x) = f(−x), ∀x ∈ ¡ , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét 2 với x ≥ 0. Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = −cosx+1, ∀x≥0 ⇒ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 ⇒ f(x) đồng biến với x≥0 . Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.  π Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng  0; ÷ thoả mãn  2 2− n phương trình: sin n x + cos n x = 2 2 . Giải Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x. = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x) Chuyên đề: LG 4 Thái Thanh Tùng
  • 5. www.VNMATH.com  π π  2−n Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng  0; ÷, ta có minf(x) = f  ÷ = 2 2  2 4 π Vậy x = là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 4 BÀI TẬP Giải các phương trình sau: π 1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: x = k 2π ; x = + n 2π 2 2. tanx.sin2x−2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) π π HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: x = − + kπ ; x = ± + n2π 4 3 3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) π π π 7π ĐS: x = ± + k ; x = − + nπ ; x = + mπ . 4 4 12 12 π 4. |sinx−cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS: x = k . 2 5. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) (ĐH Luật Hà Nội) π 1 ĐS: x = + k 2π ; x = α + n 2π ; x = π − α + l 2π ; với sin α = − . 2 4 π 6. sinx−4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: x = + kπ . 4  π  π π π 7. sin  3x − ÷ = sin 2 x.sin  x + ÷ ; (Học Viện BCVT) ĐS: x = + k  4  4 4 2 3 3 3 8. sin x.cos3x+cos x.sin3x=sin 4x π HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: x = k . 12  −π  x = 4 + kπ 1 1  7π   + = 4 sin  − x÷ −π 9. sin x  3π   4  ĐS:  x =  + kπ sin  x − ÷ 8  2    x = 5π + kπ   8 10. sin x − 3 cos x = sin x cos x − 3 sin x cos x 3 3 2 2 π π HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = − + kπ , x = ± + k π 3 4 11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx π 2π HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + k 2π (k ∈ ¢ ) 4 3 12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). Giải (1) ⇔2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. ⇔2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. ⇔2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK t ≤ 1 , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. ∆=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2. Chuyên đề: LG 5 Thái Thanh Tùng
  • 6. www.VNMATH.com  1 t= 1 ⇒  2  ⇒ cos x = …(biết giải) 2 t = sin x - 2 ( loaï )  i 13. 2sinx+cotx=2sin2x+1. HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0. Đặt t=sinx, ĐK t ≤ 1 . 2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … ∆=(4cosx–1)2. 14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp … 1 2 ( cos x − sin x ) 15. Giải phương trình lượng giác: = tan x + cot 2 x cot x − 1 Giải cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0  Điều kiện:  cot x ≠ 1  1 2 ( cos x − sin x ) cos x.sin 2 x = ⇔ = 2 sin x Từ (1) ta có: sin x cos 2 x cos x cos x + −1 cos x sin 2 x sin x ⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x  π 2  x = 4 + k 2π ⇔ cos x = ⇔ ( k ∈¢ ) 2  x = − π + k 2π   4 π So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = − + k 2π ( k ∈ ¢ ) 4 sin 4 x + cos 4 x 1 16. Giải phương trình: = ( tan x + cot x ) sin 2 x 2 Giải sin 4 x + cos 4 x 1 = ( tan x + cot x ) (1) sin 2 x 2 Điều kiện: sin 2 x ≠ 0 1 1 1 − sin 2 2 x 1 − sin 2 2 x 2 1  sin x cos x  2 1 1 (1) ⇔ =  + ÷⇔ = ⇔ 1 − sin 2 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = 0 sin 2 x 2  cos x sin x  sin 2 x sin 2 x 2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 2  π 2 17. Giải phương trình: 2 sin  x − ÷ = 2 sin x − tan x .  4 Giải  π   π  Pt⇔ 2 sin  x − ÷ = 2 sin x − tan x (cosx ≠ 0) ⇔ 1 − cos  2 x − ÷ cos x = 2 sin x.cos x − sin x 2 2 2  4   2  ⇔ (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 ⇔ sin2x = 1 hoặc tanx = 1. ( 18. Giải phương trình: sin 2 x ( cos x + 3) − 2 3cos x − 3 3cos2 x + 8 3 cos x − s inx − 3 3 = 0 . 3 ) Giải Chuyên đề: LG 6 Thái Thanh Tùng
  • 7. www.VNMATH.com sin 2 x(cos x + 3) − 2 3.cos 3 x − 3 3.cos 2 x + 8( 3.cos x − sin x) − 3 3 = 0 ⇔ 2sin x.cos 2 x + 6 sin x.cos x − 2 3.cos 3 x − 6 3 cos 2 x + 3 3 + 8( 3.cos x − sin x) − 3 3 = 0 ⇔−2 cos 2 x ( 3 cos x −sin x ) − 6. cos x ( 3 cos x −sin x ) +8( 3 cos x −sin x) = 0 ⇔ ( 3 cos x − sin x)( −2 cos 2 x − 6 cos x + 8) = 0  tan x = 3  3 cos x − sin x = 0  ⇔ ⇔  cos x = 1 cos 2 x + 3cos x − 4 = 0   cos x = 4 (loai)   π ⇔  x = 3 + kπ , k ∈ Z   x = k 2π  π 19. Giải phương trình: cosx=8sin3  x + ÷  6 Giải  π ( ) 3 cosx=8sin3  x + ÷ ⇔ cosx = 3 sin x + cos x  6 ⇔ 3 3 sin 3 x + 9sin 2 x cos x + 3 3 sin x cos 2 x + cos 3 x − cos x = 0 (3) Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3) ⇔ 3 3 tan 3 x + 8 tan 2 x + 3 3 tan x = 0 ⇔ tan x = 0 ⇔ x = k π 1 2 ( cos x − sin x ) 20. Giải phương trình lượng giác: = tan x + cot 2 x cot x − 1 Giải cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0  Điều kiện:  cot x ≠ 1  1 2 ( cos x − sin x ) cos x.sin 2 x = ⇔ = 2 sin x Từ (1) ta có: sin x cos 2 x cos x cos x + −1 cos x sin 2 x sin x ⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x  π 2  x = 4 + k 2π ⇔ cos x = ⇔ ( k ∈¢ ) 2  x = − π + k 2π   4 π So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = − + k 2π ( k ∈ Z ¢ ) 4 21. Giải phương trình: cos 2 x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x) Giải Phương trình ⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0  cos x − sin x = −1 ⇔  cos x − sin x = 5 (loai vi cos x − sin x ≤ 2)  π ⇔ 2 sin x −( 4) ( 4 ) π = 1 ⇔ sin x − π = sin π ⇔  x = 2 + k 2π ( k ∈ Z ) 4  x = π + k 2π  Chuyên đề: LG 7 Thái Thanh Tùng
  • 8. www.VNMATH.com 22. Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 Giải π π 3 sin x + cos x + 2 cos 3 x = 0 ⇔ sin sinx + cos cosx = – cos3x. 3 3  π  π ⇔ cos  x − ÷= − cos 3 x ⇔ cos  x − ÷= cos(π − 3 x)  3  3  π kπ x = 3 + 2 π kπ ⇔  (k ∈Z ) ⇔ x= + (k∈Z) π 3 2  x = + kπ  3 2+3 2 23. Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 8 Giải 2+3 2 2+3 2 Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = ⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 8 8 2+3 2 2 π π ⇔ cos 2 3 x + sin 2 3x + 3 ( cos 3 x cos x − sin 3 x sin x ) = ⇔ cos 4 x = ⇔ x = ± + k ,k ∈ Z . 2 2 16 2 24. Định m để phương trình sau có nghiệm  π  π  π 4sin 3 x sin x + 4 cos  3 x − ÷cos  x + ÷ − cos 2  2 x + ÷+ m = 0  4  4  4 Giải Ta có: * 4sin 3 x sin x = 2 ( cos 2 x − cos 4 x ) ;  π  π   π  * 4 cos  3x − ÷cos  x + ÷ = 2 cos  2 x − ÷ + cos 4 x  = 2 ( sin 2 x + cos 4 x )  4  4   2  2  π  1  π  1 * cos  2 x + ÷ = 1 + cos  4 x + ÷ = ( 1 − sin 4 x )  4  2  2 ÷ 2  Do đó phương trình đã cho tương đương: 1 1 2 ( cos 2 x + sin 2 x ) + sin 4 x + m − = 0 (1) 2 2  π Đặt t = cos 2 x + sin 2 x = 2 cos  2 x − ÷ (điều kiện: − 2 ≤ t ≤ 2 ).  4 Khi đó sin 4 x = 2sin 2 x cos 2 x = t − 1 . Phương trình (1) trở thành: 2 t 2 + 4t + 2m − 2 = 0 (2) với − 2 ≤ t ≤ 2 (2) ⇔ t 2 + 4t = 2 − 2m Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( D) : y = 2 − 2m (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): y = t 2 + 4t với − 2 ≤ t ≤ 2 . x − 2 2 y’ + y 2+4 2 2−4 2 Trong đoạn  − 2; 2  , hàm số y = t 2 + 4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 − 4 2 tại t = − 2 và đạt giá trị lớn   nhất là 2 + 4 2 tại t = 2 . Chuyên đề: LG 8 Thái Thanh Tùng
  • 9. www.VNMATH.com Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 − 4 2 ≤ 2 − 2m ≤ 2 + 4 2 ⇔ −2 2 ≤ m ≤ 2 2 . −−−−−−−−−−o0o−−−−−−−−−− Chuyên đề: LG 9 Thái Thanh Tùng
  • 10. www.VNMATH.com PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A  cos 3x + sin 3 x  1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2π) của phương trình: 5  sin x + = cos 2 x + 3 (Khối A_2002).  1 + 2sin 2 x ÷  Giải π 5π ĐS: x = ;x = . 3 3 cos 2 x 1 2. Giải phương trình: cot x − 1 = + sin 2 x − sin 2 x (Khối A_2003) 1 + tan x 2 Giải π ĐS: x = + kπ ( k ∈ Z ) 4 3. Giải phương trình: cos 2 3 x cos 2 x − cos 2 x = 0 (Khối A_2005) Giải Chuyên đề: LG 10 Thái Thanh Tùng
  • 11. www.VNMATH.com kπ ĐS: x = ( k ∈Z) 2 4. Giải phương trình: ( ) 2 cos 6 x + sin 6 x − sin x cos x =0 (Khối A_2006) 2 − 2 sin x Giải 5π ĐS: x = + k 2π ( k ∈ Z ) 4 ( ) ( ) 5. Giải phương trình: 1 + sin x cos x + 1 + cos x sin x = 1 + sin 2 x 2 2 (Khối A_2007) Giải π π ĐS: x = − + k π , x = + k 2π , x = k 2π ( k ∈ Z ) 4 2 1 1  7π  + = 4 sin  − x÷ 6. sin x  3π   4  (Khối A_2008) sin  x − ÷  2  Giải Chuyên đề: LG 11 Thái Thanh Tùng
  • 12. www.VNMATH.com −π −π 5π ĐS: x = + kπ , x = + kπ , x = + kπ , ( k ∈ Z ) 4 8 8 ( 1 − 2 sin x ) cos x 7. Giải phương trình: = 3. (Khối A_2009) ( 1 + 2 sin x ) ( 1 − sin x ) Giải π 2π ĐS: x = − +k , ( k ∈Z) 18 3 KHỐI B 8. Giải phương trình sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x (Khối B_2002) Giải π π ĐS: x = k ; x = k , ( k ∈Z) 9 2 2 9. Giải phương trình cot x − tan x + 4 sin 2 x = (Khối B_2003) sin 2 x Giải Chuyên đề: LG 12 Thái Thanh Tùng
  • 13. www.VNMATH.com π ĐS: x = ± + kπ , ( k ∈ Z ) 3 10. Giải phương trình 5sin x − 2 = 3 ( 1 − sin x ) tan x 2 (Khối B_2004) Giải π 5π ĐS: x = + k 2π ; x = + k 2π , ( k ∈ Z ) 6 6 11. Giải phương trình 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 (Khối B_2005) Giải 2π ĐS: x = ± + k 2π ( k ∈ Z ) 3  x 12. Giải phương trình: cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = 4 (Khối B_2006)  2 Giải Chuyên đề: LG 13 Thái Thanh Tùng
  • 14. www.VNMATH.com π 5π ĐS: x = + kπ ; x = + kπ , ( k ∈ Z ) 12 12 13. Giải phương trình: 2 sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x (Khối B_2007) Giải π 2π 5π 2π ĐS: x = +k ;x = +k , ( k ∈Z) 18 3 18 3 14. Giải phương trình sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x (Khối B_2008) Giải π π π ĐS: x = + k ; x = − + kπ , ( k ∈ Z ) 4 2 3 15. Giải phương trình: sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 ( cos 4 x + sin x ) . 3 (Khối B_2009) Giải π 2k π π ĐS: x = + , x = − − 2k π , ( k ∈ Z ) 42 7 6 Chuyên đề: LG 14 Thái Thanh Tùng
  • 15. www.VNMATH.com KHỐI D 16. Tìm x∈[0;14] cos3x−4cos2x+3cosx−4=0 (Khối D_2002) Giải π 3π 5π 7π ĐS: x = ;x = ;x = ;x = 2 2 2 2 x π 2 x 17. sin  − ÷tan x − cos =0 2 2 (Khối D_2003) 2 4 2 Giải π ĐS: x = π + k 2π , x = − + kπ , ( k ∈ Z ) 4 18. Giải phương trình ( 2 cos x − 1) ( 2 sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x (Khối D_2004) Giải π π ĐS: x = ± + k 2π , x = − + k π , ( k ∈ Z ) 3 4  π  π 3 19. Giải phương trình: cos x + sin x + cos  x − ÷sin  3 x − ÷ − = 0 4 4 (Khối D_2005)  4  4 2 Giải Chuyên đề: LG 15 Thái Thanh Tùng
  • 16. www.VNMATH.com π ĐS: x = + kπ , ( k ∈ Z ) 4 20. Giải phương trình: cos3x+cos2x−cosx−1=0 (Khối D_2006) Giải 2π ĐS: x = ± + k 2π , ( k ∈ Z ) 3 2  x x 21. Giải phương trình  sin + cos ÷ + 3 cos x = 2 (Khối D_2007)  2 2 Giải π π ĐS: x = + k 2π , x = − + k 2π , ( k ∈ Z ) 2 6 22. Giải phương trình sin 3 x − 3 cos 3 x = 2 sin 2 x (CĐ_A_B_D_2008) Giải Chuyên đề: LG 16 Thái Thanh Tùng
  • 17. www.VNMATH.com π 4π 2π ĐS: x = + k 2π , x = +k , ( k ∈Z) 3 15 5 23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008) Giải 2π π ĐS: x = ± + k 2π , x = + k π , ( k ∈ Z ) 3 4 24. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009) Giải π 5π ĐS: x = + kπ , x = + kπ , ( k ∈ Z ) 12 12 25. Giải phương trình 3 cos 5 x − 2 sin 3 x cos 2 x − sin x = 0 (Khối D_2009) Giải π π π π ĐS: x = + k , x = − + k , ( k ∈Z) 18 3 6 2 −Hết− Chuyên đề: LG 17 Thái Thanh Tùng