Sáng kiến kinh nghiệm hình học không gian12 truonghocso.com

Tröôøng THPT Kroâng Ana

LÔØI NOÙI ÑAÀU
Giaûi moät baøi toaùn laø moät ngheä thuaät do thöïc haønh maø coù, ngay caû khi baøi toaùn maø
baïn ñang giaûi coù theå laø bình thöôøng nhöng neáu noù kheâu gôïi ñöôïc trí toø moø vaø buoäc baïn phaûi
saùng taïo, ñaëc bieät neáu baïn töï giaûi laáy baøi toaùn ñoù thì baïn coù theå bieát ñöôïc caùi quyeán ruõ
cuûa söï saùng taïo cuøng nieàm vui thaéng lôïi.
Ñoái vôùi hoïc sinh, sau caùi mong muoán giaûi moät baøi toaùn cuï theå coøn coù moät söï toø moø
saâu saéc hôn, moät söï mong muoán ñöôïc bieát ñöôøng loái, phöông tieän, laäp luaän vaø qua trình daãn tôùi
caùch giaûi, maø ñieàu naøy khoâng saùch vôû naøo trình baøy cho hoïc sinh.
Bôûi vaäy, vieäc höôùng daãn hoïc sinh tìm ra ñöôøng loái giaûi caùc baøi toaùn baèng löôïc ñoà boán
böôùc cuûa Polia cuõng khoâng naèm ngoaøi muïc ñích treân. Phaàn “xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp
hình choùp, hình laêng truï “ ñöôïc trình baøy trong SGK Hình hoïc 11 chænh lyù hôïp nhaát 2000, chöông
trình SGK môùi thì phaàn “xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, hình laêng truï “ ñöôïc
trình baøy ôû SGK Hình hoïc 12; ôû ñaây, ngöôøi vieát maïnh daïn ñöa ra nhöõng suy nghó cuûa mình, kinh
nghieäm cuûa mình vôùi muïc ñích laø hoïc hoûi, trao ñoåi, ruùt kinh nghieäm vaø vaâïn duïng vaøo daïy
hoïc hình hoïc khoâng gian , 12 noùi rieâng vaø daïy hoïc toaùn noùi chung nhaèm naâng cao chaát löôïng
daïy vaø hoïc ôû tröôøng phoå thoâng.
Baøi vieát khoâng traùnh khoûi nhöõng thieáu soùt, mong baïn ñoïc vaø ñoàng nghieäp goùp yù vaø
boå sung ñeå baøi vieát ñöôïc hoaøn chænh hôn.

1


Phaàn 1
MÔÛ ÑAÀU
I. LYÙ DO VIEÁT SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM.

Baøi taäp toaùn raát ña daïng vaø phong phuù, vieäc giaûi baøi taäp laø moät yeâu
caàu quan troïng ñoái vôùi hoïc sinh. Trong chöông trình saùch giaùo khoa boä moân Toaùn
noùi chung vaø phaân moân Hình hoïc khoâng gian noùi rieâng, soá löôïng caùc baøi taäp
chöa coù saún thuaät toaùn giaûi laø khaù lôùn vaø gaây cho hoïc sinh khoâng ít khoù
khaên, luùng tuùng khi giaûi chuùng daãn ñeán taâm lí sôï vaø ngaïi, thieáu töï tin vaøo khaû
naêng cuûa mình. Ñaây laø moät trôû ngaïi lôùn cho yù chí tieán thuû hoïc taäp cuûa hoïc
sinh. Do vaäy khi giaûi baøi taäp giaùo vieân khoâng chæ ñôn thuaàn cung caáp lôøi giaûi
maø quan troïng hôn laø “daïy cho hoïc sinh bieát caùch suy nghó tìm ra con ñöôøng hôïp lí
ñeå giaûi toaùn”. Bôûi vì “Tìm ra caùch giaûi moät baøi toaùn laø moät phaùt minh” (Polia)
II. MUC ÑÍCH VIEÁT SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM. .

Muïc ñích cuûa baøi vieát laø nhaèm ñöa ra moät soá öùng duïng cô baûn cuûa vieäc
vaän duïng löôïc ñoà boán böôùc cuûa Polia vaøo giaûi toaùn hình hoïc khoâng gian noùi
chung vaø baøi toaùn “xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, hình laêng truï”
noùi rieâng. Qua ñoù giuùp hoïc sinh hieåu roõ hôn quaù trình ñi tìm lôøi giaûi cho moät baøi
toaùn, kích thích söï höùng thuù, tìm toøi vaø saùng taïo cuûa hoïc sinh trong hoïc taäp.
III. NHIEÄM VUÏ BAØI VIEÁT SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM.

- Tìm hieåu cô sôû lí luaän.

- Ñeà xuaát moät soá baøi daïy cuï theå veà baøi toaùn “xaùc ñònh taâm maët caàu
ngoaïi tieáp hình choùp, hình laêng truï” theo löôïc ñoà 4 böôùc cuûa Polia.
IV. PHÖÔNG PHAÙP NGHIEÂN CÖÙU.

- Nghieân cöùu taøi lieäu, ñieàu tra, phoûng vaán.

- Thöïc nghieäm sö phaïm.
V. TAØI LIEÄU THAM KHAÛO
1. Giaûi baøi toaùn nhö theá naøo. G. Polia, NXB GD 1997.
2. Reøn luyeän tö duy qua vieäc giaûi baøi taäp toaùn. Nguyeãn Thaùi Hoeø, NXB GD 2001.
3. Saùch giaùo khoa Hình hoïc 11(saùch chænh lí hôïp nhaát 2000); saùch giaùo khoa theo
chöông trình môùi.
4. Saùch Baøi taäp Hình hoïc 11, saùch chænh lí hôïp nhaát 2000.
5. Taøi lieäu höôùng daãn giaûng daïy Toaùn 11.

2


Phaàn 2

NOÄI DUNG

§1. CÔ SÔ LÍ LUAÄN

Löôïc ñoà boán böôùc cuûa Polia:

Böôùc 1: Hieåu roõ baøi toaùn.

Böôùc 2: Xaây döïng chöông trình giaûi.

Böôùc 3: Thöïc hieän chöông trình giaûi.

Böôùc 4: Nghieân cöùu lôøi giaûi.

BÖÔÙC 1: HIEÅU ROÕ BAØI TOAÙN.

- Caùi gì phaûi tìm ? Caùi gì ñaõ cho ? Ñaâu laø ñieàu kieän ? Caùi phaûi tìm thoaû
maõn nhöõng ñieàu kieän gì ? Nhöõng ñieàu kieän ñoù coù ñuû ñeå xaùc ñònh caùi phaûi
tìm khoâng ? Thieáu hay thöøa ? Coù maâu thuaån vôùi nhau khoâng ?

- Veõ hình rhaät caån thaän vaø söû duïng kí hieäu thích hôïp.

- Taùch caùc ñieàu kieän ra vôùi nhau. Coù theå dieãn taû ñieàu kieän ñoù baèng
coâng thöùc ñöôïc khoâng ?

BÖÔÙC 2: XAÂY DÖÏNG CHÖÔNG TRÌNH GIAÛI.

- Ñeå tìm ñöôøng loái giaûi, phaûi tìm moái lieân heä giöõa caùi ñaõ cho vaø caùi
phaûi tìm, phaûi duøng phöông phaùp phaân tích, neáu caàn thì xeùt caùc baøi taäp trung
gian.

+ Baïn ñaõ gaëp baøi toaùn naøy chöa ? Hay gaëp baøi toaùn naøy ôû moät daïng
khaùc.

+ Baïn coù bieát baøi toaùn naøo lieân quan khoâng ? Moät ñònh lí naøo coù theå
duøng deå giaûi ñöôïc khoâng ?

+ Haõy nghieân cöùu kó caùi phaûi tìm ! Haõy thöû nhôù laïi moät baøi toaùn quen
thuoäc coù caùi phaûi tìm töông töï.

+ Ñaây laø moät baøi toaùn lieân quan ñeán moät baøi toaùn maø baïn ñaõ giaûi vaø
töông töï vôùi baøi toaùn phaûi giaûi; baøi toaùn aáy coù giuùp ích gì khoâng ? Coù theå söû
duïng keát quaû cuûa noù ñöôïc khoâng ? Coù theå ñöa vaøo nhöõng phaàn töû phuï ñeå
coù theå aùp duïng baøi taäp ñaõ bieát hay khoâng ?

3


+ Coù theå phaûi hieåu baøi toaùn döôùi moät khía caïnh khaùc khoâng ? Haõy thay
caùc khaùi nieäm trong ñeà baøi baèng caùc ñònh nghóa cuûa chuùng.

+ Neáu chöa tìm ñöôïc lôøi giaûi cuûa baøi taäp ñaõ cho, haõy coá gaéng giaûi moät
baøi taäp töông töï vaø deã hôn, ñaëc bieät hôn. BaÏn coù theå giaûi moät phaàn baøi toaùn
ñöôïc khoâng ? haõy giöõ laïi moät phaàn cuûa ñieàu kieän vaø boû qua phaàn kia. Khi ñoù
xeùt söï thay ñoåi cuûa caùi phaûi tìm! Baïn coù theå nghó ra caùc giaû thieát khaùc ñeå coù
theå xaùc ñònh caùi phaûi tìm khoâng ?

+ Coù theå bieán ñoåi caí phaûi tìm hay caùi ñaõ cho hay caû hai ñeå cho chuùng
gaàn nhau khoâng ? (baøi toaùn phuï).

+ Ñaõ söû duïng heát caùi ñaõ cho chöa ? Ñaõ xeùt heát caùc ñieàu kieän chöa ?
Ñaõ chuù yù ñeán heát caùc khaùi nieäm coù trong ñeà baøi chöa ?

BÖÔÙC 3: THÖÏC HIEÄN CHÖÔNG TRÌNH GIAÛI

- Haõy kieåm tra laïi töøng böôùc thöïc hieän. Baïn ñaõ thaáy roõ raèng moãi böôùc
laø ñuùng chöa ? Baïn coù theå chöùng minh laø noù ñuùng khoâng ?

BÖÔÙC 4: NGHIEÂN CÖÙU LÔØI GIAÛI

- Baïn coù theå kieåm tra laïi keát quaû khoâng ? Coù caàn kieåm tra laïi caû quaù
trình khoâng ? Lôøi giaûi ñaõ ñaày ñuû, trieät ñeå chöa ?

- Treân con ñöôøng tìm lôøi giaûi, baïn coù theå phaùt hieän ra nhöõng keát quaû
naøo khaùc khoâng ?

- Coù theå ñi ñeán cuøng moät keát quaû baèng phöông phaùp khaùc khoâng ? Coù
theå xeùt keát quaû ôû moät khía caïnh khaùc khoâng ?

- Coù theå söû duïng phöông phaùp giaûi hay keát quaû vaøo moät baøi taäp khaùc
ñöôïc khoâng ?

4


§2. VAÄN DUÏNG

HÖÔÙNG DAÃN HOÏC SINH GIAÛI TOAÙN XAÙC ÑÒNH TAÂM MAËT CAÀU NGOAÏI
TIEÁP HÌNH CHOÙP, LAÊNG TRUÏ
BAÈNG LÖÔÏC ÑOÀ BOÁN BÖÔÙC CUÛA POLIA

Haàu heát caùc baøi taäp toaùn trong hình hoïc khoâng gian noùi rieâng vaø baøi
taäp toaùn noùi chung, thì ngöôøi giaùo vieân hoaøn toaøn coù theå daãn daét vaø reøn
luyeän cho hoïc sinh kó naêng giaûi toaùn baèng löôïc ñoà boán böôùc cuûa Polia. Do giôùi
haïn cuûa baøi vieát, ngöôøi vieát chæ trình baøy phaàn “ höôùng daãn hoïc sinh giaûi baøi
toaùn : xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, laêng truï “ baèng löôïc ñoà boán böôùc
cuûa Polia.

Vì noäi dung “maët caàu, khoái caàu ” trong chöông trình saùch môùi ñöôïc trình baøy
ôû hình hoïc 12 (baét ñaàu hoïc ôû naêm hoïc 2008- 2009) neân ôû ñaây, ngöôøi vieát coù
keát hôïp vôùi saùch giaùo khoa chænh lí hôïp nhaát 2000 vaø saùch giaùo khoa theo
chöông trình môùi.

I. ÑAËC ÑIEÅM CUÛA PHAÀN ‘ MAËT CAÀU NGOAÏI TIEÁP HÌNH CHOÙP, HÌNH LAÊNG TRU"

Ngöôøi vieát ñöa ra moät soá nhaän xeùt veà noäi dung phaàn “maët caàu ngoaïi
tieáp hình choùp, hình laêng truï” trong saùch chænh lí hôïp nhaát 2000 vaø saùch giaùo
khoa môùi (chöông trình chuaån vaø chöông trình naâng cao) nhaèm muïc ñích qiuùp
chuùng ta coù söï so saùnh, töø ñoù coù keá hoaïch giaûng daïy phaàn “maët caàu ngoaïi
tieáp hình choùp, hình laêng truï” ñöôïc toát hôn.
1. SAÙCH GIAÙO KHOA CHÆNH LÍ HÔÏP NHAÁT 2000 (CL2000).

Vaán ñeà “maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, hình laêng truï” chæ ñöôïc trình baøy
ôû muïc §3 maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, hình laêng truï. (trang 109- 112)

- Ñaây laø phaàn thöù ba cuûa chöông IV: Maët caàu, vaø laø phaàn cuoái cuøng
nhaèm trình baøy hoaøn chænh (theo ñuùng yeâu caàu vaø quy ñònh) caùc kieán thöùc veà
maët caàu, caùc kieán thöùc ôû hai muïc tröôùc ñaõ chuaån bò cho muïc naøy. Chaúng
haïn,

Baøi taäp 1, 2, 3- trang 103

Ví duï 1- trang 101.
5


Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu – trang 106.

- Trong muïc §3.Maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, hình laêng truï, chæ neâu voûn
veïn moät ñònh nghóa vaø hai ví duï; Khoâng neâu ñieàu kieän caàn hay ñuû ñeå moät hình
choùp, laêng truï coù maët caàu ngoaïi tieáp.

- Khoâng neâu maët caàu noäi tieáp nhöng trong baøi taäp coù neâu “tính baùn kính
maët caàu noäi tieáp hình choùp (baøi T.11- trang 163-SBT), maët caàu caùch ñeàu boán
maët cuûa töù dieän (baøi 5- trang 112-SGK).
1.1 LYÙ THUYEÁT.

Vaán ñeà “maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, hình laêng truï” laø moät muïc
nhoû (muïc §3) cuûa chöông IV: Maët caàu vaø maët troøn xoay.

+ Ñònh nghóa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, hình laêng truï.

+ Ví duï: Veà maët caàu ngoaïi tieáp choùp tam giaùc ñeàu, töù dieän tröïc taâm.
1. 2 BAØI TAÄP.

Daïng baøi taäp- Xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, hình laêng truï.

Daïng 1 : Tìm 1 ñieåm caùch ñeàu caùc ñænh cuûa hình choùp (hoaëc hình laêng
tru)ï. (Baøi 1-trang 103, Baøi 3- trang 128- SGK; T.6-trang 125-SBT).

Daïng 2 : Caùc ñænh cuûa hình choùp (hoaëc hình laêng truï) nhìn hai ñieåm coá
ñònh döôùi moät goùc vuoâng (Baøi 2-trang 103-SGK; Baøi 0.5- Baøi 0.6-trang 128, T.7-
trang 129-SBT).

Daïng 3 : Taâm laø giao ñieåm cuûa ñöôøng trung tröïc moät caïnh beân vaø vaø
truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñaùy cuûa hình choùp (hoaëc hình laêng truï) ( Baøi
1, 4-trang 103, Baøi 3-trang 127- SGK; Baøi T.6-trang 129, T.8-trang 130-SBT).

Trong phaân phoái chöông trình, chöông maët caàu vaø maët troøn xoay toång coäng
coù 11 tieát, trong ñoù baøi “maët caàu” vaø baøi “ maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp vaø
hình laêng truï” goàm 4 tieát bao goàm tieát baøi taäp.
2. CHÖÔNG TRÌNH SAÙCH GIAÙO KHOA MÔÙI -CHÖÔNG TRÌNH
CHUAÅN (CTC).
2.1 LYÙ THUYEÁT.

Vaán ñeà “maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, hình laêng truï” chæ ñöôïc trình baøy
ôû muïc nhoû ‘chuù yù’, baøi §2.maët caàu (trang 41- 49)- chöông II: Maët noùn, maët truï,
maët caàu.

6



+ Khoâng coù ví duï minh hoaï.
2.2 BAØI TAÄP.

Baøi taäp 1, 2, 7, 10- trang 49


tru)ï (Baøi 7-trang 49-SGK).

ñònh döôùi moät goùc vuoâng (Baøi 1-trang 49-SGK).

2-trang 49).

Trong phaân phoái chöông trình, baøi ‘maët caàu’ toång coäng coù 4 tieát, goàm tieát
baøi taäp.

Löôïng thôøi gian nhö theá khoâng ñuû ñeå giaûi taát caû caùc baøi taäp veà phaàn
naøy ôû SGK vaø ôû saùch BT. Do vaäy ngöôøi daïy caàn coù ‘keá hoaïch daïy’ thích hôïp.
ÔÛ ñaây, ngöôøi vieát xin ñöôïc ñöa ra moät keá hoaïch daïy phaàn naøy trình töï nhö sau:

+ Tieát 1: Ñònh nghóa maët caàu vaø caùc khaùi nieäm lieân quan.

+ Tieát 2: Giaûi caùc baøi taäp 3, 4, 5, 6, 8 vaø 9 (trang 49)

+ Tieát 3- 4: Trình baøy ñònh nghóa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp vaø laêng
truï. Giaûi caùc baøi taäp baèng caùch vaän duïng “caùch xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi
tieáp hình choùp, hình laêng truï ‘.
3. CHÖÔNG TRÌNH SAÙCH GIAÙO KHOA MÔÙI – CHÖÔNG TRÌNH
NAÂNG CAO (CTNC).
3.1 LYÙ THUYEÁT.

Vaán ñeà “maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, hình laêng truï” ñöôïc trình baøy ôû
muïc §1.Maët caàu, khoái caàu (trang 38)- chöông II: Maët caàu, maët truï, maët noùn.


+ Khoâng coù ví duï minh hoaï.

7


Khaùc vôùi sgk chöông trình chuaån, sgk chöông trình naâng cao coù hoaït ñoäng
nhaèm giuùp hoïc sinh thaáy ñöôïc ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå moät hình choùp, hình
laêng truï coù maët caàu ngoaïi tieáp.
3.2 BAØI TAÄP.

Baøi taäp 1, 7, 8, 9, 10- trang 45, 46.


tru)ï (Baøi 8, 9-trang 45, 46-SGK).

ñònh döôùi moät goùc vuoâng (Baøi 1-trang 45-SGK).

7-trang 45).

Phaân phoái chöông trình, baøi ‘maët caàu, khoái caàu’ coù 4 tieát, bao goàm tieát
baøi taäp.

Keá hoaïch daïy phaàn naøy trình töï nhö sau:

+ Tieát 1: Ñònh nghóa maët caàu vaø caùc khaùi nieäm lieân quan.

+ Tieát 2: Giaûi caùc baøi taäp vaø 2, 3, 4, 5, 6- trang 45.

+ Tieát 3- 4: Trình baøy ñònh nghóa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp vaø laêng
truï. Giaûi caùc baøi taäp baèng caùch vaän duïng “caùch xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi
tieáp hình choùp, hình laêng truï ‘.

II. HÖÔÙNG DAÃN HOÏC SINH GIAÛI BAØI TOAÙN XAÙC ÑÒNH TAÂM MAËT CAÀU NGOAÏI TIEÁP
HÌNH CHOÙP, LAÊNG TRUÏ BAÈNG LÖÔÏC ÑOÀ BOÁN BÖÔÙC CUÛA POLIA.
1. BAØI TOAÙN XAÙC ÑÒNH TAÂM MAËT CAÀU
NGOAÏI TIEÁP HÌNH CHOÙP.

Ta coù theå reøn luyeän cho hoïc sinh kó naêng xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi
tieáp hình choùp, hình laêng truï baèng löôïc ñoà boán böôùc cuûa Polia thoâng qua moät
hoaëc moät vaøi ví duï, baøi taäp ôû saùch giaùo khoa. Sau ñaây, ngöôøi vieát xin ñöa ra
hai baøi taäp saùch giaùo khoa.

8


Baøi toaùn 1: (Baøi 2/SGK-CTC-trang 49; Baøi 3/SGK CL2000-trang103)
“Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù taát caû caùc caïnh ñeàu baèng a. Xaùc ñònh taâm vaø baùn
kính maët caàu ñi qua naêm ñieåm S, A, B, C vaø D.”

- ÔÛ ñaây ta quan taâm ñeán vieäc xaùc ñònh taâm maët caàu ñi qua naêm ñieåm S, A, B,
C vaø D.
Böôùc 1: Hieåu roõ baøi toaùn

- “ Caùi gì caàn tìm ?”

Taâm maët caàu ñi qua naêm ñieåm S, A, B, C vaø D.

- “ Taâm maët caàu ñi qua naêm ñieåm S, A, B, C vaø D coù ñaëc ñieåm gì ?”

Caùch ñeàu S, A, B, C vaø D.
S
- “ Caùi gì ñaõ cho ?”

Choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD vaø AB= a, SA= a.

- “ Choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD cho ta ?” D
C
- ABCD laø hình vuoâng vaø SA= SB= SC= SD.
O
- “ Haõy veõ hình “
A
B
Böôùc 2: Xaây döïng chöông trình giaûi
Hình H.1
- “Haõy nghieân cöùu kó caùi phaûi tìm, coâng vieäc caàn laøm ?”

Tìm ñieåm I sao cho IA= IB= IC= ID= IS

- “Baïn ñaõ gaëp baøi toaùn naøy chöa ? Ñaõ gaëp baøi töông töï ?”

Chöa. Baøi taäp töông töï laø ‘Xaùc ñònh taâm ñöôøng troøn qua hoï ñieåm cho
tröôùc trong hình hoïc phaúng‘.

- “ Lieäu raèng caùch giaûi coù theå töông töï ? Vaäy thì haõy nhôù laïi caùch giaûi vaø coá
gaéng vaän duïng vaøo baøi toaùn môùi !”

Baøi toaùn: Xaùc ñònh taâm ñöôøng troøn qua hoï ñieåm cho tröôùc trong hình hoïc
phaúng‘, coù 3 caùch giaûi cô baûn:

Caùch 1: Chöùng toû hoï ñieåm ñoù nhìn hai ñieåm coá ñònh döôùi moät goùc vuoâng.

Caùch 2: Chöùng toû hoï ñieåm ñoù caùch ñeàu moät ñieåm coá ñònh.

Caùch 3: Taâm ñöôøng troøn qua hoï ñieåm laø giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng trung
tröïc caùc ñoaïn thaúng taïo töø hoï ñieåm ñoù.
9


- “ Vaän duïng vaøo baøi toaùn ?”

* Caùch 1: Chöùng toû “hoï ñieåm”( S, A, B, C vaø D) ñoù nhìn hai ñieåm coá ñònh
döôùi moät goùc vuoâng ?

Xuaát phaùt töø giaõ thieát, caùch 1 naøy khoâng khaû thi vì yeáu toá vuoâng goùc
ôû giaû thieát khoâng ñuû.

* Caùch 2: Vieäc tìm ñieåm coá ñònh I ñoù laø coù theå laøm ñöôïc, nhöng ôû ñaây tìm
ñieåm ‘coù leû khoù ‘.

* Caùch 3: Taâm ñöôøng troøn qua hoï ñieåm laø giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng trung

Vieäc tìm giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng trung tröïc caùc ñoaïn thaúng taïo töø S, A,
B, C vaø D trong khoâng gian “khoù “ xaùc ñònh ñöôïc !.

Vaäy thì caùch 1, caùch 2, ôû treân khoâng theå aùp duïng hoaøn toaøn töông töï
cho baøi taäp naøy khi môû roäng trong khoâng gian.

- “Nhöng ôû caùch 3, lieäu raèng ta thay ‘thao taùc’ tìm giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng trung
tröïc baèng thao taùc töông töï töông öùng trong khoâng gian ?”

- “ÔÛ caùch 3, ta ñaõ söû duïng tính chaát gì ?”

Trong hình hoïc phaúng, ta ñaõ söû duïng tính chaát
M
(M∈ d- ñöôøng trung tröïc AB) <=> (MA= MB)

- “Trong khoâng gian, tính chaát töông töï laø gì ?”
A B
1) (M∈ d- ñöôøng trung tröïc AB) <=> (MA= MB)
Hình H.2

2) (M∈ mp(P)- mp trung tröïc AB) <=> (MA= MB)

3) (M∈ ∆- truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ABCD…) <=> (MA= MB= MC=
MD…)
S
- “Haõy vaän duïng caùc tính chaát töông öùng cho baøi toaùn ?”

IA= IB= IC= ID, cho ta I∈ ∆- truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc ABCD.
d
IA= IS cho ta I∈ mp(P)- mp trung tröïc SA. D
I
C
Do vaäy I= ∆∩ mp(P).
O

10 A
B

Hình H.3


- “ Baïn phaûi laøm gì ñeå döïng I ?”

* Böôùc 1: Xaùc ñònh ∆- truïc ñöôøng troøn
ngoaïi tieáp töù giaùc ABCD.

vaø mp(P)- mp trung tröïc SA.

* Böôùc 2: Goïi I= ∆∩ mp(P).

* Böôùc 3: Keát luaän.

- “ Nhaän xeùt giao tuyeán d cuûa mp(P) vaø mp(SAO) ?”

- d laø ñöôøng trung tröïc ñoaïn SA trong mp(SAO).
Böôùc 3: Thöïc hieän chöông trình giaûi

* Goïi O laø taâm hình vuoâng ABCD. Qua O döïng ñöôøng thaúng ∆ vuoâng goùc
mp(ABCD) (∆ laø truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ABCD). Vì SA= SB= SC= SD neân S∈∆.

* Trong mp(SAO), goïi I= ∆∩ d (d laø ñöôøng trung tröïc ñoaïn SA trong mp(SAO)).

* Ta coù I∈ ∆ <=> IA= IB= IC= ID,

I∈ d <=> IA= IS,

Do vaäy I caùch ñeàu S, A, B, C, D. Hay I laø taâm maët caàu qua S, A, B, C, D.

Böôùc 4: Nghieân cöùu lôøi giaûi

- “Baïn coù theå kieåm tra laïi keát quaû khoâng ? Coù caàn kieåm tra laïi caû quaù trình
khoâng ? Lôøi giaûi ñaõ ñaày ñuû, trieät ñeå chöa ?”

- Lôøi giaûi hieån nhieân ñuùng, ñaày ñuû vaø trieät ñeå.

- “Coù theå ñi ñeán cuøng moät keát quaû baèng phöông phaùp khaùc khoâng ? Coù theå
xeùt keát quaû ôû moät khía caïnh khaùc khoâng ?”

- * Caùch 1: Chöùng toû “hoï ñieåm”( S, A, B, C vaø D) ñoù nhìn hai ñieåm coá ñònh
döôùi moät goùc vuoâng ?

Caùch naøy hoaøn toaøn aùp duïng ñöôïc khi môû roäng trong khoâng gian. Noù
töông öùng vôùi baøi toaùn coù quan heä vuoâng goùc, chaúng haïn:

Baøi 2-trang103; Ví du ï2-trang 111-SGK; Baøi 0.2-trang 127; Baøi 0.6-trang 128-
SBT…SGK CL 2000)

Baøi 1-trang 45- SGK CTNC

11


Baøi 1-trang 49- SGK CTC

* Caùch 2: Vieäc tìm ñieåm coá ñònh I ñoù laø coù theå laøm ñöôïc, töông töï nhö ôû
caùch 1, thöïc ra caùch 1 chính laø caùch 2. Nhöng ôû caùch 2, chuùng ta coù theå söû
duïng tính chaát cuûa moät hình, chaúng haïn giao ñieåm hai ñöôøng cheùo baát kì cuûa
hình hoäp chöõ nhaät thì caùch ñeàu caùc ñænh….

- “ Treân con ñöôøng tìm lôøi giaûi, baïn coù theå phaùt hieän ra nhöõng keát quaû naøo
khaùc khoâng ?”

* - Böôùc 1: Qua O döïng ñöôøng thaúng ∆ vuoâng goùc mp(ABCD) (∆ laø truïc
ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ABCD).

- “ Coù phaûi luùc naøo cuõng thöïc hieän ñöôïc ?”

- Chæ thöïc hieän ñöôïc <=> ABCD coù taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp I.

<=> ABCD noäi tieáp.

-“ Giaû thieát ABCD hình vuoâng ñöôïc söû duïng ôû ñaâu ?”

- Ñöôïc söû duïng: ‘Döïng ñöôøng thaúng ∆ vuoâng goùc mp(ABCD) (∆ laø truïc
ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ABCD)’

* - Böôùc 2: Trong mp(SAO), goïi I= ∆∩ d (d laø ñöôøng trung tröïc ñoaïn SA trong
mp(SAO)).

-“ Trong phaân tích thì I= ∆∩ mp(P) (mp(P)- mp trung tröïc SA), nhöng trong baøi
giaûi thì

I= ∆∩ d (d laø ñöôøng trung tröïc ñoaïn SA trong mp(SAO)), do
ñaâu ?”.

- Do SA vaø ∆ ñoàng phaúng neân I giao
S
ñieåm cuûa mp(P) (mp trung tröïc ñoaïn SA) vôùi ∆, ∆
vaø I cuõng chính laø giao ñieåm cuûa d laø ñöôøng
d O
trung tröïc ñoaïn SA trong mp(SAO) vôùi ∆. I
P
-“ Vaäy giaû thieát coù theå ‘giaûm toái thieåu’
A
ñeå coù theå döïng ñöôïc I laø gì ?”
I
Hình H.4
- + ABCD laø töù giaùc noäi tieáp.

12


+ Coù moät caïnh beân ñoàng phaúng vôùi truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp
ñaùy.

-“ SA= SB= SC= SD ñöôïc söû duïng ôû ñaâu ? Coù theå thay giaû thieát ñoù ñöôïc
khoâng ?”

- SA= SB= SC= SD, suy ra S thuoäc truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp, töø ñoù daãn
ñeán toàn taïi canh beân (laø SA, hoaëc SB, SC, SD) ñoàng phaúng vôùi truïc ñöôøng troøn
SO. Coù theå thay giaû thieát SA= SB= SC= SD bôûi toàn taïi moät caïnh beân ñoàng
phaúng vôùi truïc ñöôøng troøn ∆ ngoaïi tieáp ABCD, chaúng haïn: SA⊥ mp(ABCD).

-“ Khi naøo baøi toaùn khoâng giaûi ñöôïc ?”

+ Khi khoâng döïng ñöôïc truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ñaùy.

+ Khi khoâng xaùc ñònh ñöôïc giao ñieåm cuûa maët phaúng trung tröïc moät
caïnh beân vôùi truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ñaùy. ( ÔÛ ñaây phaûi hieåu laø ‘khoù giaûi
ñöôïc’)

Do vaäy, baøi toaùn khoâng giaûi ñöôïc khi:

+ Ñaùy laø ña giaùc khoâng coù ñöôøng troøn ngoaïi tieáp.

+ Khoâng toàn taïi caïnh beân ñoàng phaúng vôùi truïc ñöôøng troøn ngoaïi
tieáp ña giaùc ñaùy (‘khoù giaûi ñöôïc’).

-“ Ta ruùt ra ñöôïc keát luaän veà ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå moät hình choùp coù
maët caàu ngoaïi tieáp ?”

- Keát luaän: Moät hình choùp coù maët caàu ngoaïi tieáp ñieàu kieän caàn vaø ñuû
laø ña giaùc ñaùy laø ña giaùc coù ñöôøng troøn ngoaïi tieáp.

-“ Coù theå söû duïng phöông phaùp naøy cho moät baøi taäp khaùc khoâng ? Caùc
böôùc giaûi nhö theá naøo ?”

- Coù, vaø öùng vôùi daïng toaùn ‘xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình
choùp maø hoïc sinh seõ hoïc ôû ‘§3. Maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp vaø hình laêng
truï’.

- Caùc böôùc giaûi: ‘Xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp moät hình choùp
S.A1A2…An.‘

* Böôùc 1: Xaùc ñònh ∆- truïc ñöôøng troøn
ngoaïi tieáp ña giaùc ñaùy.

13


∆
* Böôùc 2: “Tìm “ moät caïnh beân (giaû söû laø S

SA1) ñoàâng phaúng vôùi truïc ñöôøng troøn ngoaïi
tieáp ña giaùc ñaùy; trong maët phaúng naøy, d
I
goïi I= ∆∩ d. (d laø ñöôøng trung tröïc SA)
An
* Böôùc 3: Keát luaän, I laø taâm maët caàu A4

ngoaïi tieáp moät hình choùp S.A1A2…An A1

` Cô sôû: Ta coù I∈ ∆ <=> I caùch ñeàu A2 A3
A1, A2,…An
Hình H.5
I∈ d <=> IA1 = IS,

Suy ra I caùch ñeàu S, A1, A2,…An

Hay I laø taâm maët caàu ngoaïi tieáp moät hình choùp S.A1A2…An.
Löu yù:

Caùc baøi taäp veà xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp moät hình choùp
S.A1A2…An trong sgk HH 11, vaø saùch baøi taäp HH 11(CL2000) vaø sgk môùi chæ ñöa ra
caùc baøi taäp maø toàn taïi moät caïnh beân ñoàâng phaúng vôùi truïc ñöôøng troøn ngoaïi
tieáp ña giaùc ñaùy. Do vaäy maø böôùc 2 ôû phöông phaùp treân bao giôø cuõng thöïc
hieän ñöôïc.

-“ Sau khi coù phöông phaùp giaûi, thì ta coù theå tieán haønh giaûi cho moät loaït
baøi toaùn (haàu nhö laø taát caû) ôû SGK vaø saùch baøi taäp (SBT) –Tröø baøi 8-SGK-
CTNC-trang 45). Caùc baøi taäp naøy chæ khaùc nhau ôû giaû thieát laø :’ caïnh beân
ñoàng phaúng vôùi truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñaùy’ giaû thieát cho ôû daïng
naøo. ÔÛ SGK vaø SBT chæ goàm 2 daïng:

Daïng 1: Hình choùp coù ñænh S thuoäc truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc
ñaùy.
A
Daïng 2: Hình choùp coù moät caïnh beân vuoâng goùc vôùi maët ñaùy.

Baøi toaùn 2: (Baøi 8-SGK-CTNC-trang 45) “Cho töù dieänABCD vôùi AB= CD=
c, AC= BD= b, AD= BC= a. a) Tính dieän tích maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän .” Q
M
Ñeå giaûi ñöôïc caâu a), chuùng ta phaûi xaùc ñònh ñöôïc taâm maët caàu ngoaïi
tieáp töù dieän.
I
D
B
14
P N

C



Taâm maët caàu ngoaïi tieáp ABCD.


töù dieänABCD , AB= CD, AC= BD, AD= BC.

- “ Chuùng ta coù caùc caùch giaûi naøo ?”

* Caùch 1: Chöùng toû A, B, C vaø D ñoù nhìn hai
ñieåm coá ñònh döôùi moät goùc vuoâng.

* Caùch 2: Tìm ñieåm coá ñònh I caùch ñeàu A, B,
C, D. Hình 6

* Caùch 3: Ba böôùc
* Böôùc 1: Xaùc ñònh ∆- truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc
ñaùy.
* Böôùc 2: “Tìm “ moät caïnh beân (giaû söû laø SA1) ñoàâng
phaúng vôùi truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñaùy; trong maët phaúng
naøy,
goïi I= ∆∩ d. (d laø ñöôøng trung tröïc SA)
* Böôùc 3: Keát luaän, I laø taâm maët caàu ngoaïi tieáp moät
hình choùp S.A1A2…An

- “ Coù theå xaùc ñònh taâm maët caàu qua A, B, C vaø D theo caùch naøo?“

Caùch 1, khoâng thöïc hieän ñöôïc.

Caùch 3, khoâng thöïc hieän ñöôïc vì Böôùc 2: Tìm moät caïnh beân ñoàâng phaúng
vôùi truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñaùy, laø khoâng thöïc hieän ñöôïc.

Vaäy chuùng ta giaûi theo caùch 2

- “AB= CD, AC= BD, AD= BC.cho ta ?”

Caùc maët laø caùc tam giaùc baèng nhau (c-c-c).

- “ Nhaän xeùt CM, DM ? “

CM= DM

- “ Nhaän xeùt MN vaø CD ? “

MN ⊥ CD, hay MN laø ñöôøng trung tröïc CD, AB

15


- “ Töông töï PQ laø ñöôøng trung tröïc AD, BC “

- “ Ta ñaõ bieát MN, PQ caét nhau taïi O “

- “ Nhaän xeùt ñieåm I vôùi caùc ñænh A, B, C, D ? “

I caùch ñeàu A, B, C, D.

- Goïi M, N, P, Q laàn löôït laø trung ñieåm AB, CD, BC, AD. I laø giao ñieåm MN vaø
PQ

+ ∆ABC= ∆BAD (c-c-c), do vaäy CM= DM

Trong ∆CMD caân, coù MN⊥ CD, hay MN laø ñöôøng trung tröïc CD.

Suy ra, IC= ID.

+ Töông töï, ID=IA, IA= IB, IB= IC

- Keát luaän, I caùch ñeàu A, B, C, D. Hay I laø taâm maët caàu ngoaïi tieáp ABCD.

- “Baïn coù theå kieåm tra laïi keát quaû khoâng ? Coù caàn kieåm tra laïi caû quaù trình

Lôøi giaûi hieån nhieân ñuùng, ñaày ñuû vaø trieät ñeå.

- “ Treân con ñöôøng tìm lôøi giaûi, baïn coù theå phaùt hieän ra nhöõng keát quaû naøo
khaùc khoâng ?”

Ta bieát raêng, vôi töù dieän ABCD baát kyø thì taâm O cuûa maët caàu ngoaïi tieáp
luoân toàn taïi, nhöng baøng thao taùc döïng hình thuaàn tuyù thì seõ khoâng xaùc ñònh
ñöôïc taâm O neáu giaõ thieât “khoâng ñuû ñieàu kieän ”.
* Môû roäng vaán ñeà:

Vôùi caùc hoïc sinh coù hoïc löïc khaù gioûi, bieát tìm toøi, thích khaùm phaù, giaùo
vieân neân ñöa ra caùc caâu hoûi vaø caùc vaán ñeà mang tính môû nhaèm kích thích
höùng thuù, kích thích tính saùng taïo cuûa hoïc sinh, chaúng haïn khi giaûi ví duï treân , ta
coù theå neâu vaán ñeà cho hoïc sinh:

Vaäy neáu ôû böôùc 2: “Tìm “ moät caïnh beân ñoàâng phaúng vôùi truïc ñöôøng
troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñaùy maø khoâng thöïc hieän ñöôïc thì ta phaûi laøm gì !

16


+ Veà cô sôû thì ôû böôùc 2 phaûi laø xaùc ñònh giao ñieåm cuûa maët phaúng trung
tröïc (P) moät caïnh beân vôùi truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñaùy ∆ vaø trong
thöïc teá laø hoaøn toaøn xaùc ñònh ñöôïc giao ñieåm O naøy.
∆
+ Nhöng ôû HH giaûi tích, thì baøi toaùn : S
‘Xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp moät
hình choùp S.A1A2…An vôùi S, A1, A2,…An cho
O
tröôùc’ thì hoaøn toaøn ñôn giaûn, maø ta khoâng
caàn quan taâm laø coù moät caïnh beân ñoàâng
phaúng vôùi truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña
giaùc ñaùy hay khoâng. Bôûi ñaây laø baøi toaùn
ñaõ ñaïi soá hoaù vaø taùch ra khoûi yeáu toá Ai
hình hoïc thuaàn tuyù. Hình H.6

2. BAØI TOAÙN XAÙC ÑÒNH TAÂM XAÙC ÑÒNH TAÂM MAËT CAÀU

NGOAÏI TIEÁP HÌNH LAÊNG TRUÏ.

Saùch giaùo khoa CL2000 coù ñöa ra ñònh nghóa maët caàu ngoaïi tieáp hình laêng
truï, nhöng chæ voûn veïn duy nhaát moät baøi veà maët caàu ngoaïi tieáp hình laêng truï,
ñoù laø Baøi 1-SGKCL2000-trang103.

Saùch giaùo khoa môùi coù ñöa ra ñònh nghóa maët caàu ngoaïi tieáp hình laêng truï
vaø ôû moãi saùch cuõng chæ coù duy nhaát moät baøi taäp veà maët caàu ngoaïi tieáp
hình laêng truï(Baøi 7-SGKCTC-trang 49, Baøi 10-SGKCTNC-trang 46).

Do vaäy khi höôùng daãn hoïc sinh giaûi baøi naøy giaùo vieân caàn laøm roõ caùc
troïng taâm sau:

+ Phöông phaùp xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, laêng truï
baèng caùch ‘ chöùng toû hoï ñieåm ñoù nhìn hai ñieåm coá ñònh döôùi moät goùc vuoâng’.

+ Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå moät hình laêng truï coù maët caàu ngoaïi tieáp.

+ Caùc böôùc xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình laêng truï.
Baøi toaùn 3: (Baøi 7-SGKCTC-trang 49; Baøi 1/SGK-trang103) “Cho hình
hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù AA’= a, BB’= b, CC’=c. a) Haõy xaùc ñònh taâm vaø baùn kính
maët caàu ñi qua 8 ñænh cuûa hình hoäp ñoù.”.
17


- ÔÛ ñaây, ta cuõng chæ quan taâm ñeán vieäc xaùc ñònh taâm maët caàu ñi qua 8
ñænh cuûa hình hoäp .


Taâm maët caàu ñi qua caùc ñieåm A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’.

- “ Taâm maët caàu ñi qua caùc ñieåm A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’coù ñaëc ñieåm gì ?”
D
Caùch ñeàu A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’. C
A B

ABCD.A’B’C’D’ laø hình hoäp chöõ nhaät. D’ C’
- “ABCD.A’B’C’D’ laø hình hoäp chöõ nhaät cho A’ B’
ta ?”
Hình H.7
-Caùc maët cuûa hình hoäp chöõ nhaät
laø caùc hình chöõ nhaät.

- “ Haõy veõ hình “

- “Haõy nghieân cöùu kó caùi phaûi tìm, coâng vieäc caàn laøm ?”

Tìm ñieåm O sao cho O caùch ñeàu A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’.

- “Baïn ñaõ gaëp baøi toaùn naøy chöa ? Ñaõ gaëp baøi töông töï ?”

Chöa. Baøi taäp töông töï laø ‘Xaùc ñònh taâm ñöôøng troøn qua hoï ñieåm cho
tröôùc trong hình hoïc phaúng‘.

- “ Lieäu raèng caùch giaûi coù theå töông töï ? Vaäy thì haõy nhôù laïi caùch giaûi vaø coá
gaéng vaän duïng vaøo baøi toaùn môùi !”

Baøi toaùn: Xaùc ñònh taâm ñöôøng troøn qua hoï ñieåm cho tröôùc trong hình hoïc
phaúng‘, coù 2 caùch giaûi cô baûn:

Caùch 1: Chöùng toû hoï ñieåm ñoù caùch ñeàu moät ñieåm coá ñònh.

Caùch 2: Chöùng toû hoï ñieåm ñoù nhìn hai ñieåm coá ñònh döôùi moät goùc vuoâng.

Caùch 3: Taâm ñöôøng troøn qua hoï ñieåm laø giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng trung

- “ Vaän duïng vaøo baøi toaùn ?”
18


* Caùch 1: Chöùng toû hoï ñieåm ñoù caùch ñeàu moät ñieåm coá ñònh.

Xuaát phaùt töø giaõ thieát, ABCD.A’B’C’D’ laø hình hoäp chöõ nhaät neân caùc
ñöôøng cheùo cuûa hình hoäp chöõ nhaät baèng nhau vaø caét nhau taïi trung ñieåm O
moãi ñöôøng, neân O chính laø ñieåm caàn tìm- caùch ñeàu A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’.

Keát luaän O laø ñieåm caàn tìm.

* Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC’ vaø A’C, luùc naøy vì ABCD.A’B’C’D’ laø hình hoäp
chöõ nhaät neân caùc ñöôøng cheùo cuûa hình hoäp chöõ nhaät baèng nhau vaø caét nhau
taïi O, do vaäy O caùch ñeàu A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’, hay O chính laø taâm maët caàu
ngoaïi tieáp ABCD.A’B’C’D’.

- “ Baïn coù theå kieåm tra laïi keát quaû khoâng ? Coù caàn kieåm tra laïi caû quaù trình

- Lôøi giaûi ñaõ ñaày ñuû, trieät ñeå.

- “Treân con ñöôøng tìm lôøi giaûi, baïn coù theå phaùt hieän ra nhöõng keát quaû naøo
khaùc khoâng ?

- “Ñieåm O ôû caùch giaûi treân, coù phaûi luùc naøo cuõng tìm ñöôïc ?”

- Khi O caùch ñeàu A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’.

- “ Coù theå thay giaû thieát ABCD.A’B’C’D’ laø hình hoäp chöõ nhaät bôûi hình laêng
truï töù giaùc vaø thoaû maõn ñieàu kieän gì?”

- O caùch ñeàu A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’, suy ra OA= OB= OC= OD, hay O thuoäc truïc
ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ABCD, töùc laø ABCD noäi tieáp.

Töông töï A’B’C’D’ noäi tieáp, vaø caùc maët beân laø nhöõng hình bình haønh (vì
ABCD.A’B’C’D’laø hình laêng truï) noäi tieáp, hay caùc maët beân phaûi laø caùc hình chöõ
nhaät, töùc laø hình hoäp laø hình hoäp ñöùng.

Toùm laïi, coù theå thay giaû thieát ABCD.A’B’C’D’ laø hình hoäp chöõ nhaät bôûi

+ ABCD.A’B’C’D’ laø laêng truï ñöùng.

+ Ñaùy laø töù giaùc noäi tieáp.

“ Môû roäng, phaùt bieåu ‘ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå moät hình laêng truï coù
maët caàu ngoaïi tieáp’ ?”

19


- ‘Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå moät hình laêng truï coù maët caàu ngoaïi tieáp laø hình laêng truï
ñöùng vaø ñaùy laø moät ña giaùc coù ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ‘.

-“Coù theå ñi ñeán cuøng moät keát quaû baèng phöông phaùp khaùc khoâng ? Coù theå
xeùt keát quaû ôû moät khía caïnh khaùc khoâng ?

- “ Lieâu raèng coù theå duøng caùch 2 ?”

- Ñöôïc. Chuùng ta hoaøn toaøn chöùng minh ñöôïc raèng caùc ñieåm B, C, D, A’,
B‘,D’ nhìn A, C’(töông töï D vaø B’; A’vaø C…) döôùi moät goùc vuoâng.

- “ Lieâu raèng coù theå duøng caùch 3 ? Coù theå duøng caùch töông töï cho phuø
hôïp ?”

- Caùch 3: Taâm ñöôøng troøn qua hoï ñieåm laø giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng trung

Vieäc tìm giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng trung tröïc caùc ñoaïn thaúng taïo töø A, B, C, D, A’,
B‘, C’, D’trong khoâng gian “khoù “ xaùc ñònh ñöôïc !.

- Coù theå duøng caùch töông töï:

Goïi O laø taâm maët caàu ngoaïi tieáp ABCD.A’B’C’D’

+ Töø OA= OB= OC= OD, suy ra O thuoäc truïc ñöôøng troøn ∆ ngoaïi tieáp ABCD.

+ Töông töï O thuoäc truïc ñöôøng troøn ∆’ ngoaïi tieáp A’B’C’D’

+ Töø OA= OA’, suy ra O thuoäc maët phaúng trung tröïc AA’. ∆
- Keát hôïp vôùi ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå
A’4
moät hình laêng truï coù maët caàu ngoaïi tieáp, ta coù
A’1
keát luaän:
A’2 A’3
Vôùi hình laêng truï ñöùng vaø ñaùy laø moät ña
I
giaùc coù ñöôøng troøn ngoaïi tieáp, taâm maët caàud
ngoaïi tieáp laêng truï ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:

* Böôùc 1: Xaùc ñònh ∆- truïc ñöôøng troøn ngoaïi A4
tieáp ña giaùc ñaùy.
A1
* Böôùc 2: Trong maët phaúng taïo bôûi moät
A2 A3
caïnh beân vôùi ∆
Hình H.8
Goïi O= ∆∩ d (vôùi d laø ñöôøng trung tröïc caïnh
beân ñoù vôùi ∆)

20


* Böôùc 3: Keát luaän.

-“Coù theå söû duïng phöông phaùp giaûi hay keát quaû vaøo moät baøi taäp khaùc ñöôïc
khoâng ?”

- Caùc baøi taäp veà xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp moät hình laêng truï.
Tieán haønh hai giai ñoaïn:

+ Giai ñoaïn 1: Kieåm chöùng xem laêng truï ñoù coù toàn taïi maët caàu ngoaïi tieáp
khoâng ?

+ Giai ñoaïn 2: Thöïc hieän caùc böôùc xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp laêng
truï nhö ñaõ trình baøy treân.

21


Phaàn 3
THÖÏC NGHIEÄM SÖ PHAÏM.
I. PHÖÔNG PHAÙP THÖÏC NGHIEÄM.

- Noäi dung “maët caàu, khoái caàu” theo chöông trình SGK môùi ñöôïc trình baøy ôû
lôùp 12. Ngöôøi vieát ñaõ tieán haønh thöïc nghieäm ôû naêm hoïc 2008- 2009.

- Tieán haønh höôùng daãn hoïc sinh giaûi baøi toaùn “xaùc ñònh taâm maët caàu
ngoaïi tieáp hình choùp, laêng truï baèng boán böôùc Polia “ ôû lôùp 12A2,12A5 tröôøng
THPT Kroâng Ana naêm hoïc 2008- 2009

- Laäp phieáu ñieàu tra.
II. KEÁT QUAÛ THÖÏC NGHIEÄM.

- Ngöôøi vieát tröïc tieáp höôùng daãn hoïc sinh giaûi baøi toaùn “xaùc ñònh taâm
maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp baèng boán böôùc Polia “ qua baøi taäp 2- trang 49-
SGKCTC, vaø thu ñöôïc keát quaû khaù khaû quan:

+ Ña soá hoïc sinh vaän duïng toát vaøo giaûi caùc baøi taäp veà xaùc ñònh taâm
maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, laêng truï.

+ Khi baét gaëp caùc baøi taäp veà xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình
choùp, laêng truï, hoïc sinh caûm thaáy höùng thuù bôûi noù “khoâng coøn” laø baøi taäp
khoù.

+ Baøi kieåm tra vieát 1 tieát, thì vôùi baøi toaùn “xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi
tieáp hình choùp S.ABCD, vôùi ABCD laø hình chöõ nhaät vaø SA⊥ mp(ABCD) thì coù
35/45 (78%) hoïc sinh laøm ñuùng.

Tuy nhieân, vaãn coøn moät soá em coøn luùng tuùng khi gaëp baøi toaùn xaùc ñònh
taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, laêng truï; Lí do khaùch quan laø caùc hoïc sinh
ñoù hoïc löïc coøn yeáu veà boä moân Toaùn, neân khi tieáp nhaän kieán thöùc cuõng nhö
khaû naêng tìm toøi, saùng taïo coù phaàn naøo haïn cheá.

22


LÔØI KEÁT
Vôùi muïc ñích naâng cao chaát löôïng daïy vaø hoïc, khôi daäy vaø phaùt huy khaû naêng tìm toøi,
saùng taïo cuûa hoïc sinh ngöôøi vieát maïnh daïn ñöa ra moät saùng kieán nhoû. Tuy nhieân vaãn coøn
nhieàu thieáu soùt, chöa thaät söï phuø hôïp cho moïi ñoái töôïng hoïc sinh. Kính mong ngöôøi ñoïc vaø caùc
ñoàng nghieäp goùp yù ñeå baøi vieát cuûa toâi ñöôïc hoaøn thieän hôn.
Moät laàn nöõa toài xin chaân thaønh caûm ôn caùc ñoàng nghieäp cuûa toâi ñaõ goùp yù vaø giuùp
ñôõ toâi hoaøn thaønh baøi vieát.

Giaùo vieân: Nguyeãn Hieáu
Thaûo

23


MUÏC LUÏC

Trang

Lôøi noùi ñaàu 1

Phaàn 1 Môû ñaàu 2

I. Lyù do vieát saùng kieán kinh nghieäm

II. Muïc ñích vieát saùng kieán kinh nghieäm

III. Nhieäm vuï baøi saùng kieán kinh nghieäm

IV. Phöông phaùp nghieân cöùu

V. Taøi lieäu tham khaûo

Phaàn 2 Noäi dung 3

§1 Cô sôû lí luaän 3

§2 Vaän duïng 5

I. Ñaëc ñieåm cuûa phaàn “maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, hình laêng 5
truï”.

II. Höôùng daãn hoïc sinh giaûi baøi toaùn xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi 7
tieáp hình choùp, laêng truï baèng löôïc ñoà boán böôùc cuûa Polia.

1. Baøi toaùn xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. 7

2. Baøi toaùn xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình laêng truï. 14

14

Thöïc nghieäm sö phaïm 17

Lôøi keát 18

24


TRÖÔØNG THPT KROÂNG
ANA
TOÅ TOAÙN

----------

HÖÔÙNG DAÃN HOÏC SINH GIAÛI BAØI TOAÙN
“XAÙC ÑÒNH TAÂM MAËT CAÀU NGOAÏI TIEÁP HÌNH CHOÙP,
LAÊNG TRUÏ
BAÈNG LÖÔÏC ÑOÀ BOÁN BÖÔÙC CUÛA POLIA”.

Ngöôøi vieát:
Giaùo vieân:
Nguyeãn Hieáu Thaûo.

25


Naêm hoïc 2008 - 2009

26

Sáng kiến kinh nghiệm hình học không gian12 truonghocso.com

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (11)

Destacado

Destacado (17)

Similar a Sáng kiến kinh nghiệm hình học không gian12 truonghocso.com

Similar a Sáng kiến kinh nghiệm hình học không gian12 truonghocso.com (20)

Más de Thế Giới Tinh Hoa

Más de Thế Giới Tinh Hoa (20)

Sáng kiến kinh nghiệm hình học không gian12 truonghocso.com