Madame MABEKOU TAKAM Jeanne Sandrine a défendu ce jour, 09 Décembre 2015, sa thèse de Doctorat/PhD en Physiques, option mécanique-Energétique. A l’issue de la délibération du jury, la candidate a été élevée à la dignité de Docteur/PhD. Elle a obtenu la mention très honorable à l’unanimité des membres du jury ainsi que les félicitations desdits membres. Nous vous proposons la présentation powerpoint que la candidate a faite lors de cette soutenance.

1. DYNAMIQUE STOCHASTIQUE DES OSCILLATIONS
NON LINEAIRES
DE LA PLANTE SOUS LES EFFETS DU VENT ET
APPLICATIONS
MABEKOU TAKAM Jeanne Sandrine
Master of Science
Sous la Direction de:
TALLA Pierre Kisito
Maître des Conférences
Université de Dschang
LABORATOIRE DE MECANIQUE ET
DE MODELISATION DES SYSTEMES
PHYSIQUES ( L2MSP )
FOMETHE Anaclet
Professeur
Université de Dschang
Thèse Présentée en vue de l’obtention du diplôme de Docteur/Ph.D en physique
Spécialité: Mécanique-Energétique
Par:
09/12/2015 1

2. CONTEXTE GENERAL DE LA THESE
09/12/2015 22Vers la plan

3. Plan de l’exposé
INTRODUCTION GÉNÉRALE
CHAPITRE I : DYNAMIQUE NONLINEAIRE DE LA PLANTE SUR
PIED CHARGE PAR LE VENT
CHAPITRE II : DYNAMIQUE STOCHASTIQUE DE LA PLANTE
SOUS L’EFFET DU VENT
CHAPITRE III : APPLICATION DES RESULTATS OBTENUS
AUX PLANTES SPECIFIQUES
CONCLUSION GENERALE
09/12/2015 3Vers motivations

4. MOTIVATIONS GENERALES
L’application environnementale telle que le management
des forêts dans le but de limiter les dommages sur les forêts
et les récoltes.
L’application en agronomie afin d’améliorer la croissance
des plantes et donc la production de la biomasse.
L’application en ingénierie basée sur l’animation des images
synthétiques pour les jeux vidéo et le cinéma.
De Langre E., Effects of wind on plant, Annu. Rev. Fluid
Mech. 141-168, 2008
09/12/2015 44Vers état de l’art

5. L’ETAT DE L’ART
1974. Papesh propose le premier modèle du comportement de l’arbre à
l’échelle individuelle chargé par le vent.
1978. Finnigan et Mulhearn examinent expérimentalement la dynamique
d’une végétation flexible sous l’influence du vent. Ils utilisent les résultats
qualitatifs obtenus pour développer un modèle mathématique linéaire.
2004. Py et al. développent un modèle linéaire couplé fluide structure où ils
simulent le mouvement de la plante flexible comme un simple système amorti
masse-ressort exposé à un vent.
09/12/2015 55
2005. Sellier et al. étudient expérimentalement les oscillations propres des
jeunes pins maritimes influencés par la dynamique de leur architecture aérien.
2010. Dupont et al. développent et valident une méthode numérique en
utilisant les résultats expérimentaux obtenus par Py et al. Pour reconstituer les
conditions de tempêtes destructrices sur les plantes.
Vers la problématique

6. PROBLEMATIQUE ET OBJECTIFS
Concevoir un modèle mathématique stochastique de l’interaction entre la
dynamique des oscillations non linéaires des plantes et l’écoulement
turbulent de l’air.
Décrire un modèle mathématique de l’interaction entre le mouvement de la
plante à l’échelle individuelle et l’écoulement turbulent du vent.
Analyser analytiquement et numériquement la dynamique non linéaire du
système couplé oscillant plantes et vent turbulent dans les cas déterministe
et stochastique.
09/12/2015 66

7. a) MODELISATION DU MOUVEMENT DE LA PLANTE
I- DYNAMIQUE NONLINEAIRE DE LA PLANTE
SOUS L’ACTION DU VENT
09/12/2015 7
 
2 42 2 2
2 2 2
3 15
1 ( ) 1
2 8
z z z z z
S EI f t
t t x x x x
 
          
                     
Nana Nbendjo,, Thesis of PhD , University of Yaoundé 1, 2006. 7
Fig.1: Plante excitée par le vent

8.  2 3 5
0 ( ) 3q q q q q f        && &
 
 
 
4
2 1
1 1
1
2 2 2 4
1 1
12
1
, = , = , ,
=0.2k , 2.1 , 4
1.875
f et avec k
EIkQ
q t
L S S
L k L
f t
S l

   
  
 

 
 
 
 
 3 5
( ) 2n n n n nq q q q q f       && &
09/12/2015 88

9. b) MODELISATION DE LA DYNAMIQUE
DU VENT
   
. ,
5
. 0.
p
v v v F v
v


 
 
     


 
ur
r ur r ur
&
ur r
   0 cos 6
dv
K
d



 
 
 
,
7
.
a
p
dx dx
f v v
d d
dx dx
f v v
d d
 
 
 
 
  
   
  

       
c) COUPLAGE VENT-PLANTE PAR LA TRAINEE
09/12/2015 99

10. d) EQUATIONS OSCILATIONS COUPLEES PLANTE-
VENT
 
2
2 3 5
02
0
0
8
cos
d x dx dx dx
x x x v v
d d d dt
dv dx dx
v v K
d d d
    
  
 
  
   
            

  
     
 
1
2
CS
 

2
02
Cs
S



09/12/2015 1010

11.  
32
2 3 5
0 1 22
3
1 2 0
0
9
cos
d x dx dx dx
x x x c v c v
d d d d
dv dx dx
c v c v K
d d d
     
   
  
  
    
            
   

    
        
   
e) RESOLUTION DES EQUATIONS D’OSCILLATIONS
Méthode de résolution: METM
n
nT   0 1 
   
   
 
3
1 0 2 3 0 2
3
1 0 2 3 0 2
, ,
10
, ,
x x T T x T T
v v T T v T T
 
 
  


  
0 Cas non résonant
Cas résonant
 
1
11
2
i
x ae 

09/12/2015 1111

12. f) ETUDE DU CAS RESONANT : OSCILLATIONS HARMONIQUES
2
0    
Paramètre d’accord en fréquence
( )
( )
2 30
2 0 1 2
2 0 0
2 27 8
1 2
0
2
1 2
2 0 0
3 1
cos 2 sin 2
2 8 2
1
sin cos
4 4
3 1
cos 2 sin 2
8 2
dda
a c a a d d
dT
d d
f a f a
d
a d d
dT
m a w y y
w w
y y
w
y g
s y y
w w
æ ö÷ç ÷= - + - + +ç ÷ç ÷çè ø
é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú+ + + -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê úè ø è øë û
= - + -
( )
7 81 2
0
12
1
cos sin
4 4
d df f
a a
a a
y y
w
ìïïïïïïïïïïïïïïï
í
ïïïïïïïïïï é ùï æ ö æ öï ÷ ÷ç çê ú+ + - -ï ÷ ÷ç ç÷ ÷ï ç çê úè ø è øï ë ûî
Amplitude des oscillations
de la plante
Phase des oscillations
09/12/2015 1212

13. 25 0.  Fig.2: COURBES DE RESONANCE
Fig.3: COURBES D’HYSTERESIS
60 0. 
09/12/2015 13
40 0. 
13

14. Solutions instables
Les solutions stables
STABILITE DES OSCILLATIONS HARMONIQUES
09/12/2015 1414
Fig.4: Stabilité des solutions

15. COMPORTEMENT CHAOTIQUE DE LA PLANTE
Fig.5: Exposant
de Lyapunov
Fig.6: Diagramme
de Bifurcation
09/12/2015 1515

16. II- DYNAMIQUE STOCHASTIQUE DE LA PLANTE SOUS L’ACTION
DU VENT
a) MODELE STOCHASTIQUE DU VENT
     
,
13
0.
x
x x y
x
p
U uu uv
u


     

 
&
      
 
 
0
0
cos , ,
14
0 .
U K E G U W
U U
       


& &
 
 
     ' '
0
2
W
W
W W D


    
 
 
 
Mouvement Brownien
standard09/12/2015 1616

17. b) MODELE STOCHASTIQUE COUPLE PLANTE-VENT TURBULENT
      
 
3
2 3
0 1 2
3
1 2 0
,
15
cos , .
t t
t
dx dx
x x x x c u c u
dt dt
dx dx
u c u c u K E G U W
dt dt

    
     
    
          
    

   
             
&& &
&&
   1 et G , 0E u   Bruit additif
     +G , ,E u g u   Bruit multiplicatif
09/12/2015 1717

18. c) RESOLUTION DES EQUATIONS: METHODE DE LA MOYENNE
STOCHASTIQUE
    
        
 
32 3
1 1 0 1 1 1 2 1 2 2 2
3
2 1 2 1 2 2 1 0
16
cos
x x x x c x x c x x
x c x x c x x K t t
     
    
        


      

&& & & & & &
&& & & & &
 
 
1 0 1
2 2
cos( ) cos
17
cos cos
x a t a
x b t b
  
  
  

  
09/12/2015 1818

19.      
   
 
3 3 2 2 3 3
1 0 0 2 2 0 0
2 2
2 0
2 2 2
2 1 0 0 2 2 0 2
1 1 3
cos sin 3 cos
2 8
3
sin 19
4
1 1 3 3
sin cos sin sin cos ( )
2 8 4
b c b a K c a b a b
c ba
c a b K c a c b a
b
          

   
              

  
         

 

  
         
&
&
    
 
 
3 3 2 2 3 3 2 2
1 0 2 0 0 2 0
0
3 3 3 2 2
1 1 2 2 0
0
1 1 3 3
cos 3 cos
2 8 4
18
1 1 3 3
sin sin sin
2 8 4
a c a b c b b a a c b a
cb a c b c b a
a
             

           

  
          

          
&
&
09/12/2015 1919

20. d) AMPLITUDE STOCHASTIQUE: METHODE NUMERIQUE DE MILSTHEIN
   
       
 
1 1
2 3
1 1 0 1 1 1 2 2 2 1
2 2
2 1 1 2 2 1 2 0
,
1 ,
20
cos
x y
y y x x c y y c y y
x y
y c y y c y y K t t
    
   


       


       
&
&
&
&
 1
, 1 1
, , , . 21
j
n n
j j j j j jil
i kl i ik ki i
k l kk X
g
h f X t g X t g X t
XX X

 
   
                
 
  1 22 , avec 2ln sin2j j
k khZ Z r r   
DISTRIBUTION
ALEATOIRE DE GAUSS
       0, et . 2k k kt t t t t       BRUIT BLANC
09/12/2015 2020

21. CAS RESONANT:
2
0   ;
0.0 
0.0D 
09/12/2015 21
2.0 
21Fig.7: Courbes d’amplitude
0.01D 

22. Fig.8: INFLUENCE DES PARAMETRES
09/12/2015 2222
0.01D 0.0  2.0 

23. Fig.9: COMPORTEMENT CHAOTIQUE PAR LA METHODE
MILSTHEIN09/12/2015 2323
70.0, 0.001D  70.0, 0.0D  

24. e) EQUATIONS DE FOKKER-PLANCK
  
         
02
2
,
, , , , 22
p a b
G p a b H p a b K H H d p a b
a b b
 
 
       
     
       

 
     
 02
2
, 0
23
, , , 0
G p a b
a
H p a b K H H p a b
b b




          
      

     
0
2
sin , ,
4
D
H t t K H H d  

 
     
0 2
2
cos sin , ,
8
b D
H t b t K H H d   

 
Bruit additif
Bruit multiplicatif
09/12/2015 2424

25.    
2 3
1 2 3 42
02
2 3
1 2 3 42
1 1 1
exp
4 2 3 4
, 24
4 4 1 1 1
exp
2 3 4
st
D
k b k b k k b
D
p a b
D
k b k b k k b db



  
      
  
      

   
2
2 3
1 2 3 422
02
2 3
1 2 3 42
1 1 1
exp
4 2 3 4
, 25
8 4 1 1 1
exp
2 3 4
st
b D
k b k b k k b
b D
p a b
D
k b k b k k b db



  
      
  
      

 
3 2 2
1 1 2 0 2 2 0
3
3 2
3 2
4 1 2 0 0 2
1 1 3 9
, k cos ,
2 4 8
3
k , 26
8
1 1 3 1
cos cos sin .
2 4 2
k c c a c a
c
k c c a k
       
 
 

      

 
      
 
 
     
09/12/2015 2525

26. Fig.10: COURBES DE LA DENSITE DE PROBABILITE
BRUIT ADDITIF
BRUIT MULTIPLICATIF
0
0
1.361, =2.1,
K 0.2 et 0.001.D
 
 
0
0
1.361, =2.1,
K 5.5 et 0.001.D
 
 
09/12/2015 2626

27. III- APPLICATIONS: BAMBOU RAPHIA VINIFERA L. ARCACEA
0 10.98, 0.02  
09/12/2015 2727
Fig.11: Champ de BAMBOU RAPHIA VINIFERA L. ARCACEA

28. APPLICATIONS: BAMBOU RAPHIA VINIFERA L. ARCACEA 0 10.98, 0.02
0.028
 

 

0
2.0,
K 1.7
 

0
60.0,
5.7K
 

09/12/2015 2828Fig.12: Courbes d’amplitude

29. 0.028 
0.01D
09/12/2015 2929
Fig.13: COURBE D’AMPLITUDE PAR LA METHODE NUMERIQUE DE
MILSTHEIN
0.0D

30. Fig.14: EXPOSANT DE LYAPUNOV:
3009/12/2015
0 10.98, 0.02   0.028 
0.0D  0.01D 
30

31. BRUIT ADDITIF
BRUIT
MULTIPLICATIF
0 0.2, 0.001K D 
0 5.5, 0.001K D 
09/12/2015 3131Fig.15: LA FONCTION DE LA DENSITE DE PROBABILITE DU BAMBOU

32. Fig.16: Courbes de résonance comparant le premier et le
second modes
09/12/2015 32
1. 0.02, 0.028Mode    Mode 2. 0.027, 0.18  
32
32

33. Conclusion
générale
09/12/2015 3333

34. RESULATS PRINCIPAUX
La plante exposée au vent est le siège en permanence des phénomènes
d’intermittence où se succède régulièrement les phénomènes de résonance, de
sauts d’amplitudes, d’hystérésis, les divers cycles réguliers et particulièrement le
chaos.
Le coefficient de non linéarité cubique associé à l’amplitude du vent
turbulent joue un rôle significatif dans l’interaction entre la plante et le vent.
La plante attaquée par le vent et rendu à son second mode fondamental de
vibration est susceptible de rupture brusque et résiste difficilement à
l’exposition prolongée aux forts vents.
Le choix judicieux d’un ensemble de paramètres pourrait permettre
d’éviter, d’éloigner ou même de supprimer les zones de rupture des plantes.
09/12/2015 3434

35. PERSPECTIVES
développer un système tridimensionnel de l’action du vent stochastique sur la
plante et de l’étendre à un couvert végétal en prenant en compte les autres deux
composantes du vent d’une part et d’autre part en assimilant la tige de la plante à
une poutre anisotrope et non homogène afin d’améliorer la précision de notre
modèle et d’accroître qualitativement et quantitativement nos résultats.
réaliser une étude expérimentale du couplage vent-plante en vue d’une
éventuelle application en agriculture, en environnement et des conceptions
d’ingénierie basées sur l’avantage de la flexibilité des plantes.
Développer une analyse numérique du modèle couplé de la dynamique non
linéaire des plantes (à l’échelle individuelle ou en couvert végétal) avec un
générateur chaotique par exemple celui de Lorentz et qui pourrait être une
application très intéressante pour l’animation des images synthétiques.
09/12/2015 3535

36. MERCI POUR
VOTRE AIMABLE
ATTENTION
09/12/2015 3636