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Resolución de problemas

  1. 1. La enseñanza de la resolución de problemas matemáticos. El blanco y el negro de algunas estrategias didácticas. María Guadalupe Moreno Bayardohttp://educacion.jalisco.gob.mx/consulta/educar/15/15Moreno.htmlEl presente trabajo nace como expresión de una profunda inquietud compartida por quienesejercemos la docencia en algún nivel educativo y nos hemos involucrado de manera especialcon la enseñanza de la matemática. Sin duda habremos caído alguna vez en la cuenta deque no todas las estrategias didácticas mediante las cuales se ha intentado enseñar a losestudiantes a resolver problemas matemáticos conducen certeramente al objetivo propuesto,al menos no en todos los casos; pero también es posible que hayamos vivido "en carnepropia" la sensación de incapacidad para responder a situaciones problemáticas, con elrespectivo desencanto de quien habiéndose sentido "fuerte" en esta materia, descubregrandes limitaciones en su posibilidad de resolver problemas.Trabajar en un análisis de los pro y los contra del uso de determinadas estrategias didácticasorientadas a la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos, pretende aportar a losprofesionales de la enseñanza de la matemática y a quienes tienen a su cargo la iniciación alaprendizaje de la misma en educación preescolar y primaria, un elemento de reflexión queenriquezca su acción docente en beneficio de la formación matemática de los estudiantes quetienen a su cargo.Un referente conceptualAbordar la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos como objeto de estudio,demanda la precisión de algunos conceptos y la explicitación de ciertos supuestos; ellopermitirá proponer una respuesta a preguntas como: ¿qué es un problema?, ¿qué supone laresolución de problemas en términos de actividad cognitiva?, ¿qué tipos de conocimientoquedan involucrados en la resolución de problemas?, y desde un foco de interés particular,¿es "enseñable" la resolución de problemas matemáticos?, ¿cómo puede orientarse en talcaso su enseñanza?Como aproximación al concepto de problema, se asume la afirmación de Parra (1990:22) enla que establece que "un problema lo es en la medida en que el sujeto al que se le plantea (oque se plantea él mismo) dispone de los elementos para comprender la situación que elproblema describe y no dispone de un sistema de respuestas totalmente constituido que lepermita responder de manera inmediata".Si la resolución de problemas se analiza delimitada a situaciones de aprendizajeintencionalmente estructuradas y vinculadas con algún campo de estudio, como las que sedan en la dinámica escolar, ese disponer de los elementos para comprender la situación queel problema describe, a que se hace alusión en el párrafo anterior, supone que el sujeto quehabrá de resolver el problema en cuestión, ha tenido acceso o ha construido aquelconocimiento declarativo y el respectivo conocimiento procedimental que son requeridoscomo antecedente mínimo necesario para poder comprender información, establecer 1
  2. 2. relaciones y utilizar procedimientos con la finalidad de llegar a resolver el problema que se leha planteado.Aunque no es finalidad de este trabajo hacer una revisión amplia de lo que son elconocimiento declarativo y el procedimental, conviene especificar brevemente que Monereoet al. (1998:25) refieren que el conocimiento es declarativo "por cuanto puede comunicarse odeclararse a través del lenguaje verbal", se trata de un conocimiento que ha sido construidomediante un proceso que Marzano (1997:43-44) describe de la siguiente manera: "el primerpaso en el aprendizaje de conocimiento declarativo de alguna área de contenido es agregarlo que no se sabe a lo ya conocido acerca del contenido", en otras palabras, es "construirsignificado: agregar lo que sabes a lo que estás aprendiendo". Posteriormente, es necesarioorganizar el contenido que ha sido comprendido, de tal manera que éste tenga orden desdela perspectiva del aprendiz; esto supone una actividad cognitiva mediante la cual se reformulay rehace dicho contenido en alguna de las múltiples formas en que es posible organizarlo.Finalmente, se da un procesamiento de la información mediante el cual, conscientemente seguarda el conocimiento declarativo de manera que pueda ser recordado posteriormente.En el caso concreto del contenido propio de la matemática, puede afirmarse, por ejemplo, queseñalar las características de un triángulo equilátero, establecer las relaciones entre los ladosde un triángulo rectángulo, utilizar de manera apropiada algunos símbolos matemáticos odefinir lo que es un número racional, es posible cuando el aprendiz ha construido elconocimiento declarativo respectivo.El conocimiento procedimental o procesal es un conocimiento ligado a la acción o ejecución;dicho de otra manera, tiene que ver con el aprendizaje de procedimientos. Hablar deprocedimientos requiere también de ciertas especificaciones porque se trata de un términousado con diferente alcance en diversos contextos; para efectos de este trabajo se recurre auna clasificación que tiene como base el tipo de regla que subyace en un conjunto deoperaciones y que permite distinguir entre procedimientos algorítmicos y procedimientosheurísticos.Siguiendo a Monereo et al. (1998:20), "llamamos a un procedimiento algorítmico cuando lasucesión de acciones que hay que realizar se halla completamente prefijada y su correctaejecución lleva a una solución segura del problema o de la tarea (por ejemplo, realizar unaraíz cuadrada o coser un botón). En cambio, cuando estas acciones comportan un ciertogrado de variabilidad y su ejecución no garantiza la consecución de un resultado óptimo (porejemplo, planificar una entrevista o reducir el espacio de un problema complejo a laidentificación de sus principales elementos más fácilmente manipulables) hablamos deprocedimientos heurísticos".Los procedimientos algorítmicos y los procedimientos heurísticos pueden ser consideradoscomo extremos de un continuum en el que es posible situar diferentes tipos deprocedimientos según su proximidad o lejanía respecto a cada uno de ellos.En el campo de la matemática se hace necesario aprender una gran cantidad deprocedimientos algorítmicos (que son los que más se identifican en este caso con elconocimiento procedimental), por ejemplo: para realizar la división con números naturales,para despejar incógnitas en una ecuación, para efectuar mediciones diversas, para construirgráficas, etcétera; pero también se requiere trabajar en situaciones que demandan un usodiscriminado o diferenciado de ciertas acciones u operaciones de acuerdo con el objetivo al 2
  3. 3. que responde su realización, se trata en estos casos de los llamados procedimientosheurísticos cuya utilización es mayormente demandada cuando el aprendiz debe darrespuesta a situaciones problemáticas.Marzano (1997) señala que el aprendizaje de contenidos procesales (conocimientoprocedimental) demanda: la construcción de significado que supone relacionar lo que se estátratando de aprender con lo que ya se sabe, la organización del contenido procesal queincluye la identificación de los pasos involucrados en un procedimiento determinado yfinalmente la práctica de los procedimientos aprendidos hasta el punto en que la ejecución sevuelva prácticamente automática.Hasta el momento, el énfasis de este apartado se ha puesto en explicar qué supone disponerde los elementos para comprender la situación que un problema describe; para ello se harecurrido a la caracterización del conocimiento declarativo y del conocimiento procedimentalen términos de considerarlos como antecedentes necesarios para posibilitar la resolución deproblemas. Ahora se turnará la reflexión al otro aspecto que fue señalado como parte de laconceptualización de lo que es un problema; para ello se precisará cómo se está entendiendoel no disponer de un sistema de respuestas totalmente constituido que permita responder demanera inmediata y qué tipo de actividad cognitiva es necesario llevar a cabo para generaruna respuesta pertinente al problema en cuestión.Se hace necesario establecer en primer término que el no disponer de un sistema derespuestas totalmente constituido para resolver de manera inmediata un problema, no se estáentendiendo como el hecho de que al sujeto se le planteen problemas que están más allá delo que él podría resolver de acuerdo con su etapa de desarrollo cognitivo, el nivel educativoen que se encuentra y las experiencias previas de aprendizaje con las que cuenta; sino comoalgo que se deriva de que la situación a la que debe responder (planteada como problema)no es idéntica a alguna que haya resuelto anteriormente, no forma parte de un modelo oprototipo de situación que sugiera, por sí misma, el empleo directo de un procedimientoalgorítmico ya conocido. Demanda el análisis de la información presentada como datorelevante en el problema, la cual no siempre está dada de manera explícita y, sobre todo,requiere de un uso creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental del queya se dispone, para ir más allá en un proceso que permita al estudiante la generación de untercer tipo de conocimiento, denominado condicional, al que Monereo et al. (1998:27)describen como un conocimiento que "el alumno construye para la ocasión o reactualizaparcialmente si las circunstancias tienen elementos parecidos a los de otra situación en laque se utilizó eficazmente una estrategia". El nombre de condicional intenta reflejar laactuación mental que subyace en la toma de decisiones sobre las acciones a realizar "enestas condiciones, lo mejor es pensar o actuar así para lograr ese objetivo" (ibid.).Ahora bien, la generación del conocimiento condicional es posible cuando el estudiantedesarrolla un sistema de regulación y lo utiliza de manera consciente, reflexiva y eficaz, locual supone, entre otras cosas:• Un constante ajuste de la actividad cognitiva del sujeto a los cambios y variaciones quepresentan las diversas situaciones problemáticas que se le plantean.• La decisión de cuáles conocimientos declarativos y procedimentales hay que recuperar ycómo hay que utilizarlos para dar respuesta a una situación específica. 3
  4. 4. • El control del proceso que implica planificar las acciones a realizar, llevarlas a cabo yevaluar la pertinencia de las mismas en términos de si se logró alcanzar mediante ellas elobjetivo deseado.En otras palabras, el estudiante que llega a generar el conocimiento condicional que serequiere para poder enfrentar con éxito la resolución de problemas, en este caso deproblemas matemáticos, ha desarrollado estrategias de aprendizaje que, en términos deMonereo et al. (1998:27), son definidas como "procesos de toma de decisiones (conscientese intencionales) en los cuales el alumno elige y recupera, de manera coordinada, losconocimientos que necesita para cumplimentar una determinada demanda u objetivo,dependiendo de las características de la situación educativa en que se produce la acción".El caso ampliamente conocido de estudiantes de matemáticas que conocen la informaciónrelevante que les permitiría resolver un determinado problema, pero no pueden emplearlo enforma espontánea, muy probablemente es atribuible al insuficiente desarrollo de estrategiasde aprendizaje. En otras palabras, es posible que algunos estudiantes cuenten con elconocimiento declarativo y procedimental que cierto problema demanda para su solución,pero que no estén en posibilidad de hacer un uso creativo y pertinente del mismo paragenerar el conocimiento condicional, que es demandado por el conjunto de información y desituaciones específicas involucradas en el planteamiento de cada problema matemático.En la literatura existente acerca de la resolución de problemas matemáticos, puedenencontrarse múltiples análisis acerca de qué supone la realización de esta tarea en términosde actividad cognitiva y algunas propuestas de sistematización, hasta donde ésta es posible,de la tarea de resolver problemas. Entre otras, son ampliamente conocidas las aportacionesde Polya (1957), De la Vega (1984), Gagné (1991), Schoenfeld (en Santos, 1992), Parra(1990), mismas que tienen algunos elementos de coincidencia, aunque diferente designaciónde las etapas o acciones clave que se dan cuando una persona pretende resolver unproblema.Dado que en este trabajo el objetivo está relacionado con la enseñanza de la resolución deproblemas matemáticos, no se extenderá a una amplia revisión y contrastación de propuestascomo las referidas en el párrafo anterior, sino que se orientará a la discusión de su objetivocentral a partir del referente conceptual presentado anteriormente, por ello se avanza ahorahacia preguntas que resultan fundamentales.¿Es "enseñable" la resolución de problemas matemáticos?, ¿cómo puede orientarse en talcaso su enseñanza?Para proponer una respuesta a estas preguntas, se retomarán necesariamente algunas delas ideas establecidas en el apartado anterior. Se ha afirmado que la resolución de problemasrequiere de un uso creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental del queya se dispone, para generar un tercer tipo de conocimiento, denominado condicional.A su vez, se hizo notar que, llegar a generar conocimiento condicional supone eldesarrollo de estrategias de aprendizaje; así, la pregunta acerca de si es enseñable laresolución de problemas matemáticos puede hacerse parcialmente equivalente a la de¿es posible enseñar estrategias de aprendizaje? 4
  5. 5. Se habla de una equivalencia parcial en tanto que las estrategias de aprendizaje sedesarrollan no sólo para una tarea específica, como lo es la resolución de problemasmatemáticos; si realmente se han desarrollado como tales (las estrategias), una de suscaracterísticas esenciales es la posibilidad de transferencia a diversas situaciones o tareasque se le plantean al estudiante. Así, la enseñanza de estrategias de aprendizaje involucra,aunque rebasa en amplitud, a la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos.Conviene entonces abundar un poco en la caracterización de las estrategias de aprendizaje,precisando primeramente con Monereo et al. (1998:17), que "el uso reflexivo de losprocedimientos que se utilizan para realizar una determinada tarea, supone la utilización deestrategias de aprendizaje, mientras que la mera comprensión y utilización (o aplicación) delos procedimientos se acerca más al aprendizaje de las llamadas técnicas de estudio".Ahora bien, el uso reflexivo de procedimientos demanda conciencia e intencionalidad, se tratapues de "una reflexión activa y consciente respecto a cuándo y por qué es adecuado unprocedimiento o una técnica determinada" (ibid., p. 24), lo que en otras palabras puededesignarse como toma consciente de decisiones, por contraposición a una forma azarosa deutilizar procedimientos o realizar acciones.A la pregunta de si es posible enseñar estrategias de aprendizaje, no sólo se ha respondidopositivamente, sino que existen cada vez más proyectos y programas educativos centradosen la enseñanza de las estrategias de aprendizaje, entre ellos los de Nickerson, Perkins ySmith (1985); Nisbet y Shucksmith (1986); Presley et al. (1992).Del análisis de la obra de los autores que acaban de mencionarse, Monereo et al. (1998)derivan una especie de principios o pautas metodológicas que pueden constituirse enorientadores de estrategias didácticas que tengan como objetivo enseñar estrategias deaprendizaje a los alumnos.En primer término destaca el principio de "plantear actividades que, debido a su complejidad,requieran por parte de los estudiantes una regulación consciente y deliberada de suconducta, de manera que para realizarlas se vean obligados a planificar previamente suactuación, deban controlar y supervisar lo que están haciendo y pensando mientras lo haceny les parezca útil evaluar su ejecución cuando la concluyan" (ibid., p. 38).Acerca de este principio hay que hacer notar dos cosas de suma importancia: la primera deellas relacionada con los rasgos de formación que debe tener el profesor que pretende ser unmediador para facilitar que los alumnos desarrollen estrategias de aprendizaje. Entre dichosrasgos aparecen dos de manera fundamental: haber desarrollado él mismo estrategias deaprendizaje como condición que le permita tener muy claro el objetivo que pretende lograrcon sus estudiantes y, por otra parte, haber desarrollado habilidad para el diseño deexperiencias de aprendizaje que tengan potencial para demandar de los alumnos laplanificación previa de su acción, el control y supervisión de lo que están haciendo ypensando mientras lo hacen, así como la evaluación de su ejecución.Lograr que un profesor desarrolle estrategias de aprendizaje y además la habilidad paradiseñar experiencias de aprendizaje que tengan potencial para propiciar que los alumnos quetiene a su cargo desarrollen también estrategias de aprendizaje, es una tarea sumamentecompleja que implica, quizá, desde una reestructuración de la formación inicial de los 5
  6. 6. docentes, hasta una reorientación de los programas de actualización para docentes enservicio.Baste para dar idea de la complejidad de esta meta, escuchar a maestros de educaciónprimaria (por citar algunos en especial) que se muestran desconcertados con los nuevoslibros de texto gratuito de matemáticas elaborados en México a partir de 1993, quemanifiestan no entenderlos ni poder trabajar con ellos porque la lógica de construcción de losmismos ha cambiado; justamente han pasado de una lógica deexposición/ejemplificación/ejercitación, a una lógica de plantear al alumno situacionesproblemáticas que surgen de contextos reales y que le demandan planificar su acción,controlar y supervisar lo que hace y piensa, así como evaluar lo que ha obtenido. Para que elalumno logre realizar este tipo de tareas, la intervención del docente tiene que estar orientadaprecisamente a desarrollar estrategias de aprendizaje, no puede abandonar en el texto laconducción del trabajo del alumno, no puede "entretener al alumno" contestando páginas delmismo, necesita tener una rica interacción con los alumnos antes, durante y después del usodel texto, precisamente para facilitar que las actividades planteadas se aprovechen en todosu potencial en vías no sólo de obtener respuestas correctas, sino de facilitar que losalumnos, mediante esta actividad, a la vez que construyen conocimiento matemático,desarrollen estrategias de aprendizaje.Es de suma importancia caer en la cuenta de que, aunque el desarrollo de estrategias deaprendizaje no es recurso exclusivo de quien pretende enseñar a resolver problemasmatemáticos, el tipo de actividades que se recomienda plantear a los estudiantes, según elprincipio que ahora se analiza, son precisamente coincidentes con lo que diversos autores,mencionados en el primer apartado de este trabajo, han señalado como tareas clave para laresolución de problemas matemáticos, a saber: planeación, control, supervisión y evaluación,todas ellas realizadas no por un agente externo, sino por el propio individuo que resuelve elproblema en cuestión.Una reflexión más acerca de lo que se señala en el primer principio mencionado, da cabida acuestionar que sea la complejidad de las actividades por sí misma la que posibilite que serealicen tareas que contribuyan al desarrollo de estrategias de aprendizaje; es necesariotomar en cuenta también que existen grados y formas de complejidad que, lejos de facilitar eldesarrollo de actividades como las que se han venido señalando, paralizan todo intento deacción y de búsqueda por parte de los estudiantes.Así, es importante complementar dicho principio proponiendo que no sólo se hable deplantear actividades con determinado grado de complejidad, sino que se haga referenciatambién a la pertinencia de dichas actividades, porque al incluir la característica depertinencia se estará cuidando que las actividades planteadas para su solución (quizá unproblema matemático) se relacionen con lo que el alumno ya sabe, lo cual tiene granpotencial para convertirse en una experiencia que genere aprendizaje significativo; peroademás, que tengan un grado de dificultad que vaya de acuerdo con las condicionesalcanzadas por el grupo con base en sus experiencias previas de aprendizaje y, porsupuesto, que le demanden ir más allá, haciendo un uso creativo y pertinente delconocimiento declarativo y procedimental al que ha tenido acceso, para generar elconocimiento condicional mediante el cual podrá responder de manera específica a laactividad que se le propone realizar. 6
  7. 7. Un segundo principio que se plantea es el de "evitar la enseñanza de técnicas de estudiosimples en relación a objetivos concretos, dado que tenderán a aprenderse de formamecánica..., por el contrario, es importante asegurarse de que el alumno domina diferentesprocedimientos de aprendizaje que pueden serle útiles en una situación determinada, que escapaz de escoger de forma razonada los más adecuados y de coordinar su utilización,siempre en función de las condiciones de la actividad que se planea" (ibid.).Dado que se ha venido haciendo un paralelo entre la enseñanza de estrategias deaprendizaje y la enseñanza de la resolución de problemas, aunque habiendo precisado que eluso de estrategias de aprendizaje responde a la realización de un espectro más amplio detareas, entre las cuales la resolución de problemas matemáticos supone un caso particular;resulta de interés realizar una especie de transferencia de este principio a las circunstancias ytipos de tareas específicas que supone la enseñanza de la resolución de problemasmatemáticos analizada desde esta perspectiva.Con base en el segundo principio mencionado, se afirma entonces que se trata de evitar elplanteamiento de problemas matemáticos simples que conservan un mismo tipo de estructuray que demandan de manera reiterada y única un determinado tipo de respuesta, lo cual dalugar a que el alumno memorice un pequeño modelo de solución e incluso llegue a afirmar"esos problemas ya me los enseñaron" cuando le plantean alguno del tipo de los yaejercitados, o que exprese que "esos problemas no se los han enseñado" cuando le planteancualquier variante en torno a ellos.Por otra parte, tomar en cuenta el principio al que se viene haciendo referencia, suponetambién la invitación (y el apoyo respectivo en caso necesario) a los estudiantes para quebusquen múltiples formas de encontrar una respuesta para el mismo problema matemático,para que valoren la conveniencia de utilizar especialmente alguna de las que conducen a larespuesta esperada o una combinación de ellas, para que se ejerciten en el análisis de porqué ciertos procedimientos conducen y otros no conducen a la respuesta esperada(aprendizaje a partir del error).Un principio más se concreta en la propuesta de "enseñar estrategias de aprendizaje encontextos en los que éstas resulten funcionales; es decir, en aquellas situaciones reales enque estas estrategias sean útiles para atender las necesidades académicas y personales quepueda tener un alumno de una edad determinada, que trata con unas materias y materialesdeterminados y tiene unos problemas vitales peculiares" (ibid.).Justamente, en la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos, ubicada en elmarco de la enseñanza de estrategias de aprendizaje, se hace evidente la necesidad de quelas situaciones problemáticas que el alumno ha de resolver, se planteen en contextos ysituaciones reales de acuerdo con su entorno, su edad y sus experiencias previas deaprendizaje.En relación con este principio, pueden descubrirse grandes coincidencias con loslineamientos establecidos por la Secretaría de Educación Pública para la enseñanza de lasmatemáticas en educación básica, los cuales se concretan en el enfoque de los planes yprogramas de estudio vigentes en México a partir de 1992, en el que se señala que "una delas funciones de la escuela es brindar situaciones en las que los niños utilicen losconocimientos que ya tienen para resolver ciertos problemas y que, a partir de las soluciones 7
  8. 8. iniciales, comparen sus resultados y sus formas de solución para hacerlos evolucionar hacialos procedimientos y las conceptualizaciones propias de las matemáticas" (sep, 1993:5).Un principio más de los planteados por Monereo et al. (1998:38) hace referencia a "crear unclima en el aula en el que se tolere la reflexión, la duda, la exploración y la discusión sobre lasdistintas maneras como puede aprenderse y pensarse sobre un tema. Un entorno en el quesea posible plantear la enseñanza de estrategias de aprendizaje como un objetivo explícito ydirecto". Nuevamente, en el documento de la sep antes mencionado, se encuentranseñalamientos ampliamente coincidentes con el contenido de este principio; en ellos seseñala que "el diálogo, la interacción y la confrontación de puntos de vista ayudan alaprendizaje y a la construcción de conocimientos. Así, tal proceso es reforzado por lainteracción con los compañeros y con el maestro. El éxito en el aprendizaje de esta disciplinadepende en buena medida del diseño de actividades que promuevan la construcción deconceptos, a partir de experiencias concretas, en la interacción con los otros. En esasactividades, las matemáticas serán para el niño herramientas funcionales y flexibles que lepermitirán resolver las situaciones problemáticas que se le planeen".Finalmente, Monereo et al. (1998:38) presentan el principio que sugiere "facilitar latransferencia de las estrategias de aprendizaje utilizadas a otras tareas, materias y, si esposible, a otros contextos, promoviendo referencias explícitas a diferentes situaciones yrecordando los aspectos referentes a cuándo y por qué decidimos que es útil unadeterminada estrategia. El hecho de que una estrategia pueda ser fácilmente aplicada a unanueva situación de aprendizaje es el mejor indicador para evaluar la calidad de suenseñanza".Analizando este último principio, en términos de enseñar a resolver problemas matemáticos,cabe reflexionar que, aunque es deseable que cada problema a resolver presente situacionesno idénticas a algunas de las ya resueltas, la introducción de variantes en diversos problemasrelativos a la misma área temática, necesita ser diseñada con especial atención no sólo en elgrado de complejidad de la variación, sino en la relativa similitud que la solución pueda tenercon estrategias ya conocidas; de esta manera no sólo se hará un uso creativo y pertinente delconocimiento declarativo y procedimental que el alumno ya posee, sino que se harátransferencia de estrategias ya utilizadas en situaciones anteriores.A lo largo de este apartado se ha podido establecer que es posible enseñar estrategias deaprendizaje, en el sentido en que éstas se han venido caracterizando, lo cual permiteresponder también de manera afirmativa a la pregunta de si es enseñable la resolución deproblemas matemáticos. A su vez, se ha hecho notar el paralelismo existente entre losprincipios orientadores que se derivan del análisis de autores cuya obra se centra en laenseñanza de las estrategias de aprendizaje y los principios que sustentan el enfoque de laenseñanza de las matemáticas, asumido en los planes y programas de educación básicavigentes en México desde 1992.Los principios en los que se manifiesta la coincidencia antes señalada, que seguramente sehabrán reconocido ya como ubicados en una postura constructivista, servirán como marcopara el análisis siguiente. 8
  9. 9. El blanco y negro de algunas estrategias didácticasCuando en este trabajo se habla de estrategias didácticas, se hace referencia a las accionesque el profesor realiza y/o promueve que realicen sus alumnos, con la intención específica deque éstas se conviertan en experiencias que posibiliten el aprendizaje. En el mejor de loscasos, el diseño de dichas acciones es resultado de una toma de decisiones sustentada enuna postura, construida con base en algunos principios teóricos, acerca de cómo propiciar elaprendizaje, así como en el análisis de las características del contenido a aprender y de lossujetos que habrán de lograr el aprendizaje.En otros casos, se trata de estrategias didácticas que han sido adoptadas por imitación y quese han convertido en rutinas de acción cuya eficacia rara vez es cuestionada.De cualquier manera, en uno y otro casos, habrá cuestiones valiosas que rescatar y límitesque hacer notar en relación con el uso de diversas estrategias didácticas; por ello se empleala expresión "el blanco y negro" para acentuar los focos del análisis. En razón de que escapaa las posibilidades de extensión de este trabajo hacer el análisis exhaustivo de un grannúmero de estrategias didácticas, el ejercicio se hará con cuatro de ellas.a) Enseñar a resolver "problemas tipo"Esta estrategia consiste en plantear a los alumnos algún problema que combina ciertainformación, de manera que su solución demanda el uso de algún procedimiento determinadoo de una combinación de ellos; digamos por ejemplo, un problema que puede reducirse alplanteamiento de una proporción y al cálculo de un término desconocido de la misma.Una vez que el problema es resuelto, deseablemente en un trabajo conjunto entre el profesory los alumnos y no como mera ejemplificación del profesor, se propone una serie de nuevosproblemas que conservan la misma estructura que el problema inicial, de tal manera que sólovarían los datos y el contexto.Conservar la misma estructura supone que la información acerca de ciertas variables siguesiendo del mismo tipo, la pregunta que se plantea demanda que dicha información serelacione de la misma manera y se responda a ella utilizando procedimientos similares; porello se habla de estar trabajando con "problemas tipo".A favor de una estrategia como ésta, habrá que decir que, reconocer modos de relacionarcierta información en determinadas circunstancias, es un aprendizaje valioso dado quepermite la formación de un esquema que podrá ser incorporado como nuevo elemento albagaje de conocimientos que el estudiante ha construido previamente y que podrá serutilizado como recurso en nuevas situaciones que compartan, al menos parcialmente, lascondiciones presentes en los "problemas tipo" que han sido trabajados; en otras palabras,con esta estrategia didáctica se contribuye al aprendizaje de modos de relación deinformación y de procedimientos, que pueden ser transferibles a nuevas situaciones.Sin embargo, cuando se privilegia o se usa de manera exclusiva la estrategia didáctica deenseñar a resolver "problemas tipo", cuando la ejercitación en los mismos ocurre sin introducirprácticamente ninguna variación, la experiencia puede resultar para el alumno muy similar ala del aprendizaje de un nuevo algoritmo. 9
  10. 10. En casos como éste, el problema deja de ser tal, en tanto que deja de cumplirse la condiciónde que para resolverlo, el alumno no disponga de un sistema de respuestas totalmenteconstituido que le permita responder de manera inmediata; por otra parte, ha dejado dedemandarle un uso creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental al queanteriormente ha tenido acceso. Así es como llegan a generarse en los alumnos expresionescomo "ese problema no me lo han enseñado", manifestando con frases como ésta unaconcepción de problema similar a la de un algoritmo y perdiendo de vista el carácter original yconstructivo que la solución de un problema demanda.b) Inducir la reformulación verbal del problema a resolverPara explicar en qué consiste esta estrategia didáctica, conviene hacer referencia a una ideaexpuesta por Parra (1991) acerca de que la resolución de un problema pasa por un procesode reformulación, en el que la persona que resuelve hace una especie de traducción de lasituación planteada a un esquema propio de explicación, el cual es punto de partida parainiciar la búsqueda de alguna forma de solución. Se trata de una reformulación que puedeinterpretar o no, de manera acertada, la situación planteada en el problema y que puedeasociarse a la comprensión o a la falta de comprensión del mismo.La reformulación a la que se hace referencia va más allá de un mero asunto de reformulacióndel lenguaje verbal con que es planteado el problema en cuestión (pasando quizá de unlenguaje técnico a un lenguaje coloquial), pero en muchos de los casos, se ve facilitadajustamente por una atinada reformulación de dicho lenguaje, a la cual se le llamará en losucesivo "reformulación verbal".Así, la estrategia didáctica de inducir la reformulación verbal del problema a resolver, consisteen propiciar que los alumnos (con la asistencia del profesor en la medida que resulteestrictamente necesario) reelaboren el enunciado del problema, utilizando para ello laspalabras de uso familiar que les permitan precisar con mayor claridad cuál es la situaciónplanteada en el problema, cuidando, desde luego, que no se modifique con ello su estructuraoriginal.El uso de esta estrategia didáctica se apoya en el supuesto de que la comprensión de lasituación planteada en el problema es fundamental para proceder a cualquier intento desolución y de que sólo se puede verbalizar de manera adecuada aquello que se hacomprendido satisfactoriamente.A favor de una estrategia didáctica como ésta, hay que señalar que es propiciadora de unprimer nivel de análisis que facilita la comprensión del problema en cuestión; que a través deella se puede salvar la dificultad que el alumno tiene en ocasiones para interpretar lostérminos que aparecen en el enunciado de un problema; que permite descartar, en su caso, siuna solución incorrecta tiene que ver con una inadecuada interpretación del lenguaje en elque está expresado el problema, o con otro tipo de razones y que, en la medida en que losalumnos puedan realizar dicha reformulación sin ayuda del maestro, esta estrategia didácticapermitirá que el alumno desarrolle una estrategia de aprendizaje sumamente valiosa paraemprender la resolución de problemas matemáticos.Sin embargo, es necesario ponderar también algunos riesgos presentes al inducir lareformulación verbal de los problemas a resolver. Sin un seguimiento cuidadoso de larealización de esta tarea, la reelaboración del enunciado puede alterar la estructura original 10
  11. 11. del problema y, por consiguiente, llevar a una solución errónea del mismo. Por otra parte, si lareelaboración trae consigo una constante eliminación del lenguaje técnico o de palabras queobligarían al estudiante a ampliar no sólo su vocabulario, sino también la construcción designificados, esta estrategia puede resultar limitante para el logro de otro tipo de objetivos deaprendizaje que también se propician a través de la resolución de problemas matemáticos.c) Facilitar por medio de preguntas el análisis del enunciado del problemaEn esta estrategia didáctica, el docente asume el papel de constructor de preguntas quefaciliten a los alumnos identificar la información contenida de manera explícita o implícita en elenunciado del problema, descartar aquella información que no sea relevante, descubrir siestá presente toda la información que sería necesaria para poder resolver el problema ypercibir cuáles son las relaciones que pueden establecerse a partir de la informacióndetectada, todo esto como antecedente para idear un plan de resolución del problema.Las preguntas del docente pueden incluso generar que se recuperen de la memoria algunosconceptos, y en su caso notación simbólica (conocimiento declarativo), involucrados en elplanteamiento del problema y que se precise su significado; esto aumentará la probabilidadde que el estudiante elija atinadamente aquellos procedimientos que resulten pertinentes paraalcanzar la solución del problema.Las preguntas, en este caso, se convierten en una especie de andamiaje que apuntalará eseuso creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental que caracteriza alproceso de generación del conocimiento condicional que es requerido para resolver unproblema determinado.Por supuesto que se trata de preguntas generadoras de análisis y reflexión, no de aquellascuya respuesta consiste meramente en asentir o disentir de lo planteado por el docente, ni depreguntas que sugieran por sí mismas una respuesta; esto se convierte en condiciónfundamental de la pertinencia de esta estrategia didáctica. Se requiere que el docentedesarrolle habilidad para plantear preguntas como las que se han venido describiendo, queseleccione y analice cuidadosamente los problemas que propondrá a sus alumnos y quepueda establecer en el aula las condiciones para la participación grupal en la reflexión ydiscusión que demanda el proceso de dar respuesta a este tipo de preguntas.A favor de una estrategia didáctica como ésta, habrá que señalar la riqueza de la preguntacomo mediación que puede facilitar aprendizajes complejos, como es el caso de la resoluciónde problemas matemáticos; su potencial para apoyar a los alumnos en el descubrimiento dequé tipo de elementos conviene analizar antes de elegir los procedimientos para la resoluciónde problemas, en otras palabras, para apoyar que aprendan en la acción lo que es difícilaprender por descripción; y desde luego, su intervención para impedir al alumno que demanera inmediata, después de una lectura superficial del problema, se lance a la decisión decuál o cuáles procedimientos de solución utilizar.Como contraparte, hay que hacer notar el riesgo de que esta estrategia didáctica se conviertaen "necesaria" para el alumno, esto es, que origine en él cierta dependencia intelectual quefinalmente le traiga resistencia a un trabajo individual si no cuenta con la asistencia deldocente cuando se le proponga resolver problemas matemáticos. 11
  12. 12. d) Facilitar la explicitación de los razonamientos presentes durante el proceso desolución del problemaEsta estrategia didáctica consiste en propiciar una especie de "pensamiento en voz alta", yasea durante la acción o en forma posterior a ésta, que contribuya a que el alumno seaplenamente consciente de las razones por las que va tomando ciertas decisiones yconcretándolas en la realización de algún procedimiento con la intención de resolver elproblema.La explicitación de los razonamientos presentes durante el proceso de solución del problema,se facilita mediante preguntas del tipo ¿cómo se te ocurrió esta forma de solución?, ¿quépensaste cuando decidiste realizar tal operación?, ¿por qué decidiste este procedimiento y nootro?, ¿qué te ayudó a pensar de esa manera?, ¿qué pasaría si usaras tal procedimiento enlugar del que utilizaste?; o bien mediante solicitudes expresas como: explica a tuscompañeros qué fuiste pensando mientras resolvías el problema o, si tú fueras el maestro¿cómo le explicarías a tu grupo por qué este problema puede resolverse como tú loresolviste?El uso de esta estrategia didáctica tiene como propósito propiciar que ocurra lo que seplanteó en el referente conceptual de este trabajo: que el alumno llegue a desarrollar unsistema de regulación y lo utilice de manera consciente, reflexiva y eficaz, lo cual permitirágenerar ese otro tipo de conocimiento, el condicional, que es la clave para la resolución deproblemas.Pero no sólo eso, la estrategia didáctica en cuestión puede contribuir también a ejercitar en elalumno el retorno reflexivo que, una vez resuelto el problema, le permite evaluar lapertinencia, tanto de la solución en sí, como de los procedimientos utilizados para llegar aella, pues aun en el caso de haber encontrado la respuesta correcta, conviene que analice,comparta y discuta con sus compañeros y con su maestro, otras alternativas para llegar a lasolución esperada.Realizar un trabajo como el que se propone en el caso de esta estrategia didáctica, demandano sólo la buena intención del profesor, requiere un ambiente grupal que dé cabida a lareflexión y a la escucha, pues la participación de cada estudiante, y la del docente, necesitanser cuidadosamente analizadas, atendiendo tanto a la claridad y precisión de la explicaciónen sí, como a su congruencia con las actividades realizadas durante la solución del problema.A favor de una estrategia didáctica como ésta, habrá que señalar su potencial de contribucióna la formación del pensamiento reflexivo, de la capacidad de argumentar la toma dedecisiones, de controlar el sentido de las acciones e incluso de propiciar el desarrollo dehabilidades metacognitivas.Sin embargo, en su utilización habrá que cuidar que todos los alumnos tengan o lleguen atener una participación en esta reflexión compartida, pues sólo de esa manera se podrá evitarel riesgo de que algunos estudiantes únicamente se acojan a las respuestas de los queusualmente solicitan participar. 12
  13. 13. Una reflexión finalA partir de una mirada global de las ventajas y riesgos (el blanco y negro) de las cuatroestrategias didácticas analizadas, podría surgir la preocupación de si a través de estasmediaciones, que finalmente son apoyos para ir desarrollando en los alumnos la habilidadpara resolver problemas matemáticos, se está impidiendo que surja más espontáneamente eluso creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental con que cuenta elalumno, para generar ese nuevo tipo de conocimiento (el condicional) que se requiere parallegar a resolver un problema matemático.Al respecto se puede señalar que, en uno de los apartados de este trabajo, se estableció queel desarrollo de estrategias de aprendizaje, y por lo tanto la resolución de problemasmatemáticos, son "enseñables", esto es, pueden ser favorecidos de manera intencional através de ciertas mediaciones que, en el ámbito del trabajo escolar, se están denominandoestrategias didácticas. Otra alternativa sería abandonar a los alumnos a su propio ritmo yesfuerzo hasta que de forma totalmente heurística lograran, en el mejor de los casos,encontrar formas de solución al problema planteado y poco a poco fueran generalizando suuso en otros tipos de problemas. No obstante el argumento anterior a favor del uso deestrategias didácticas como las que se han presentado en este trabajo, resulta fundamentalcompartir las siguientes consideraciones: • Cada una de las estrategias didácticas analizadas tiene su función en un momento dado,unas en el primer análisis del problema, otras en el proceso de solución o en el de evaluaciónde la respuesta; no se trata de que se conviertan en un apoyo permanente, es fundamentalque el docente intuya cuándo es conveniente que deje de usarlas con el mismo alumno ogrupo de alumnos.• El objetivo de mayor alcance al usar las estrategias didácticas mencionadas, es que elalumno llegue a internalizarlas como propias, convirtiéndolas en estrategias de aprendizajeque le posibiliten la resolución de problemas matemáticos.• El uso de estrategias didácticascomo las que se han analizado, y en el fondo propuesto por su valor formativo, demanda deldocente planeación cuidadosa, tiempo, esfuerzo y creatividad, trabajo con el grupo en pleno yacercamiento con los estudiantes uno a uno; pero los avances que percibirá en losestudiantes apoyados en ellas, sin duda le llevarán a la certeza de que vale la pena eseesfuerzo.BibliografíaDe la Vega, M., Introducción a la psicología cognitiva, Alianza, Madrid, 1984.Gagné, E., La psicología cognitiva del aprendizaje escolar, Visor, Madrid, 1991.Monereo, C.; Castelló, M.; Clariana, M.; Palma, M.; Pérez, M. L., Estrategias de enseñanza y aprendizaje.Formación del profesorado y aplicación en el aula, Grao, Barcelona, 1998.Marzano, R., Dimensiones del aprendizaje, iteso, Guadalajara, 1997.Nickerson, R.; Perkins, D.; Smith, E., Enseñar a pensar, Paidós, Barcelona, 1985.Nisbet, J. y Shucksmith, J., Estrategias de aprendizaje, Santillana, Madrid, 1986.Presley, M.; Harris, K.; Marks, M. B., "But good strategy instructors are constructivists!", Educational PsichologyReview, vol. 4, núm. 1, 1992, pp. 3-31.Parra, B., "Dos concepciones de resolución de problemas", Revista Educación Matemática, vol. 2, núm. 3,diciembre 1990, pp. 22-31— "La resolución de problemas en la construcción de esquemas de razonamiento", Revista EducaciónMatemática, vol. 3, núm. 1, abril 1991, pp. 59-61Polya, G., Cómo plantear y resolver problemas, Trillas, México, 1984.Santos, L. M., "Resolución de problemas: el trabajo de Alan Schoenfeld: una propuesta a considerar en elaprendizaje de las matemáticas", Revista Matemática Educativa, vol. 4, núm. 2, agosto 1992, pp. 16-24.Secretaría de Educación Pública, Guión técnico pedagógico para la elaboración del libro de matemáticas desexto grado, sep, México, 1993. 13

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