1. INSTITUTO
PEDAGÓGICO
NACIONAL MONTERRICO
Equipo de Especialistas del Componente:
Conocimiento Disciplinar del Área de Matemática
QUISPE MORENO, R. Plinio;
ALDAZABAL MELGAR, Omar F. ;
BENDEZÚ LOPEZ, Heidy M.

2. 1.CONCEPTO:
Triangulo es la figura geométrica formada por la unión de tres puntos no coloniales
mediante segmentos.
A
B
Cm
n
s
ELEMENTOS:
Vértices: A, B, C
Lados: AB, AC y BC
Ángulos interiores:
m BAC
m ACB
m ABC
Ángulos exteriores:
M, N y S

3. 2.CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
a) De acuerdo a sus lados:
60°
60°
60°
Triángulo equilátero
Triángulo isósceles
Triángulo escaleno

4. b) De acuerdo a la medida de sus ángulos.
Triangulo obtusángulo
Triángulo acutángulo
Triángulo rectángulo
, , 90

5. 3.PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS TRIÁNGULOS
180
La suma de los ángulos
internos es igual a 180°.
x
y
z
x y
z
Un ángulo exterior es igual a la suma de
los ángulos exteriores no adyacentes a él.

6. x
y
z
X + y + z = 360°
La suma de loa ángulos exteriores
es igual a 360°
Aplicaciones:
x
x

7. x
y
x y

8. Ejemplos
En los gráficos encuentra el valor de «x» indicando la propiedad.
46°
78°
x
Desarrollo:
Por ángulo exterior
X = 78° + 46° = 124°
35°
20°
x
Desarrollo:
Por ángulo exterior
35° = 20° + x
X = 15°

9. 50°
x
Desarrollo:
X = 80°
El triángulo es isósceles
x
100°
Desarrollo:
50°
x
100°80° 80°
El triángulo es isósceles
X = 20°

10. 40°
x
A
B
C
D
E
Desarrollo:
40°
x
A
B
C
D
E
El triángulo A, B, C es equilátero.
60° 120°
Suplemento de 60° = 120°
En el triángulo E , C, D
X + 40° + 120° = 180°
X = 20°

11. X + 30°
X + 20° X + 10°
Desarrollo:
X + 20 + x + 10 + x + 30 = 180
X = 40°
x
70°
40°
30°
Desarrollo:
X = 30° + 70° + 40°
X = 140°

12. x
70°
50°
80°
X + 70° = 50° + 80°
X = 60°
Desarrollo:
x 60°
70°
50°
Desarrollo:
X + 60° = 70° + 50°
X = 60°

13. INSTITUTO
PEDAGÓGICO
NACIONAL MONTERRICO
PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA 2012 - 2014

14. LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
a) Bisectriz interior.
La bisectriz interior divide
al ángulo en dos ángulos
congruentes.
I
Todo triángulo tres bisectrices
interiores que concurren en un
punto llamado incentro ( I )

15. a) Bisectriz exterior
a
a
Dos bisectrices exteriores y una
interior concurren en un punto
llamado ex centro ( E )
E
b) Altura.
A
B
C
H
La altura es el segmento trazado
desde un vértice, perpendicular
al lado opuesto. BH es la altura.

16. A B
C
H
Q
La altura puede caer en
prolongación del lado.
A
B
C
O
H
MN
Todo triángulo tiene tres alturas
que concurren en un punto
llamado orto centro ( O )

17. d) Mediana
A B
C
M
La mediana es un segmento
que une un vértice con el
punto medio del lado opuesto
. AM es la mediana.
G
Las tres medianas concurren
en un punto llamado
baricentro ( G )

18. e) Ceviana
A
B
C
Q
La ceviana es un segmento
que une un vértice con su
lado opuesto.
f) mediatriz
A B
C
La mediatriz es una recta que
divide a uno de los lados de
un triángulo en partes iguales
formando un ángulo recto.

19. Los tres mediatrices concurren
en el circuncentro ( M )
M

20. Ejemplos:
1.Encuentra el valor de «x»
A
B
C
R
70°
30°
xa
a
Desarrollo:
A
B
C
R
70°
30°
x40°
40°
En el triángulo ABC
80m BAC
AR es bisectriz, por lo
Tanto: a = 40°
X = 110°

21. 2.Encuentra el valor de «x» . Si AH es altura.
A
B
C
H
70°
x
Desarrollo:
AHB es un triángulo rectángulo por
lo tanto:
X + 70° = 90°
X = 20°
3.En la figura encuentra el valor de «x»
C
A
B
R
20° X
50°
Desarrollo:
BRA es un triángulo rectángulo.
70m BAR
Suplemento de 70° =110°
Del triángulo ABC
X = 20°

22. 4.Halla el valor de «x» si AB = 20m.
A
B
C
Desarrollo:
MB = X + 5m
AB = X + 5m + x + 5m
20m = 2x + 10m X = 5m

23. 5.En la figura, halla el valor de «x». Si AM es mediana.
A
B
C
M
Desarrollo:
15cm = x + 2cm
X = 13cm

24. PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA 2012 - 2014

25. PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ
1.Ángulo formado por dos bisectrices
interiores.
A B
C
X
90
2
x
2.Ángulo formado por una bisectriz
interior y exterior.
A
B
C
x
2
x

26. 3.Angulo formado por dos bisectrices
exteriores.
x
ÁNGULO ENTRE LA ALTURA Y UNA
BISECTRIZ EXTERIOR.
A
B
C
H M
2
90
2
x

27. PROPIEDAD DE LAS MEDIANAS
A
B
C
M
P
G
AM, CP medianas
AG = 2 GM
CG = 2 GP

28. PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ
A
B
D
L
M
N
C
AC = BC = CD
L, M,N son mediatrices

29. Ejemplos.
1.Halla e l valor de «x»
20° x
Desarrollo:
20
10
2
x
2.Halla el valor de «x»
a
a
b b
25°
x
Desarrollo:
25 50
2
x
x
2
x

30. 3.Encuentra el valor de «x»
70°
x
Desarrollo:
90
2
x
70
90
2
x
125x
4.Encuentra el valor de «x»
a°
a b°
b°
135°
135 90
2
x
135 90
2
x
90° = x

31. 5.Halla el valor de «x»
150°
X°
90
2
x
Desarrollo:
150
90
2
x
90 75 15x
6.Halla el valor de «x»
a°
a° b°
b°
80°
x
Desarrollo:
80 90
2
x
80 90
2
x
10
2
x
20° = x

33. 1.Del gráfico encuentra el valor de «x»
30°
x
150°
Desarrollo:
Por:
150 2 2 30
60
Nuevamente aplicando
30x
Reemplazando:
X = 60° + 30°
X = 90°

34. 2.En la figura, halla «x»
x
2
2
70°
Desarrollo:
Por suma de los ángulos exteriores en un
triángulo se tiene:
3 3 180 360x
3 360 180x
3( 70°) – x = 180°
- X = 180° - 210°
X = 30°

35. 3.En el triángulo ABC, 40m A m C 
Halla la medida que forman la altura y
la bisectriz interior que parte de B.
Desarrollo:
A
B
C
H M
Por propiedad
2
m A m C 
40
20
2

36. 4.En la figura , halla HP, 120m ABH m BHP  Y BC = 20 m
A
B
C
H
40° 20°
Desarrollo:
A
B
C
H
40° 20°
50° 70°
Por dato:
120m ABH m BHP 
70m BHP
70°
20°
Se observa: BP = PC = HP
Los dos triángulos son
isósceles.
HP = 10 cm

37. 5.En un triángulo isósceles ABC ( AB = BC ), se traza la ceviana CN y sobre ella se
ubica el punto R. sí BN = BR y , halla36m RBC m NCA
Desarrollo:
A
B
C
N
R
36°
x
Triángulo BNR isósceles.
m BAC
m BCA


Por dato
Entonces:
m BCN x
Por ángulo exterior del triángulo BCR
y ACN se observa:
36 x
x
Igualando las ecuaciones se tiene:
36 x x
X = 18°

38. 6.En un triángulo ABC, . Sobre AC y BC se ubica
Los puntos R y S, respectivamente. Sí AB = BS = SR y , halla
20m ACB
40m CRS m ABC
Desarrollo:
A
B
C20°
R
S
40°
60°80°
60°
80°
20°
60°
Por ángulo exterior: 60m BSR
Triángulo BRS es equilátero.
Triángulo ABR isósceles
80m ABS

39. 7.En la figura ABC es equilátero. Halla «x»
A
B
C
x
x
x
40°
Desarrollo:
A
B
C
x
x
x
40°
60°60°
100°- x
80°
Por ángulo exterior:
X = 100° - x + 60°
X = 80°

40. 8.Halla el valor de «x»
Desarrollo:
A
B
C
En el triángulo ABC:
50° + X +
X = 170° - (
9.En la figura, halla m PIR
R
P
Q
2
40°
2
I

41. Desarrollo:
R
P
Q
2
40°
2
I
A
Por ángulos formado por bisectrices
exteriores 70m A
En el triángulo APR:
2 2 70 180
55
El ángulo pedido es:
180m PIR
125m PIR
10.Halla «x»

42. Desarrollo:
X +
A
B C
D
Por ángulo exterior:
m A x
2
En el triángulo DBC
2 2 2 180
90
Por
4x x
Resolviendo:
X = 30°

43. 11.Halla
Desarrollo:
A
B
C
D
E
90° -
Por ángulo formado de las
bisectrices exteriores ( ver fig )
4
90°-
Resolviendo:
= 22,5°

44. 12.Halla «x»
Desarrollo:
A
B
C
D
x
Por ángulo formado por una
bisectriz interior y exterior:
m D x
E
4x
4x
x
Resolviendo:
X = 20°

45. 13.Halla el valor de «x»
Desarrollo:
X +
150 360x
X +
150°
Se observa que:
180
Resolviendo:
X = 30°
Luego:

46. 14.Halla «x», si PQ = PR Desarrollo:
50° 50°
120° -
Entonces:
120 180x X = 60°

47. 15.Halla « » si . 32m A m C
Desarrollo:
90°-
De la condición:
32m A m C
90 2 90 32
= 32°