Hidraulica de-tuberias-y-canales

i
HIDRAULICA DE
TUBERIAS Y CANALES

iii
Arturo Rocha Felices
HIDRAULICA DE
TUBERIAS Y CANALES

xi
CAPITULO I INTRODUCCION
1.1 Objetivo del libro
1.2 Esquema del contenido general
1.3 Diferencias entre canales y tuberías
1.4 Tipos de flujo
1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía
1.6 Propiedades geométricas de la sección transversal
1.7 Efecto de la viscosidad
1.8 Efecto de la gravedad
1.9 Concepto de distribución de velocidades
1.10 Coeficiente de Coriolis
1.11 Coeficiente de Boussinesq
1.12 Discusión de los valores de α y β
1.13 Relación entre los coeficientes α y β
1.14 Otros estudios sobre los coeficientes α y β
1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal
Problemas propuestos
1
1
3
4
7
9
11
15
15
21
23
24
25
27
32
38
CONTENIDO
Presentación v
Prólogo vii
Palabras Preliminares del Autor ix
Indice de Figuras xvi
Indice de Tablas xxi
Lista de Símbolos Principales xxiii

xii
43
46
52
55
62
69
72
75
76
79
82
87
91
94
95
98
101
103
104
109
CAPITULO II MOVIMIENTO UNIFORME
2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías
2.2 Relación entre el corte y la inclinación
2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad
media para un canal muy ancho con movimiento laminar
2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad
media para una tubería con movimiento laminar
2.5 Ecuación general de distribución de velocidades para el
movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso
2.6 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en
conductos lisos
movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugoso
2.8 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en
conductos rugosos
2.9 Obtención de la ecuación de Chezy
2.10 Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos e
hidráulicamente rugosos
2.11 Transformación de las ecuaciones de Karman - Prandtl
CAPITULO III LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL MOVIMIENTO
UNIFORME
3.1 Ecuación de Darcy
3.2 Significado del coeficiente f de Darcy ( en tuberías circulares)
3.3 Tuberías hidráulicamente lisas
3.4 Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico de
Nikuradse
3.5 Introducción del coeficiente f de Darcy en las ecuaciones de
distribución de velocidades
3.6 Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de
Colebrook - White
3.7 Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales.
Errores
3.8 Tuberías de sección no circular

xiii
3.9 Ley exponencial de distribución de velocidades
3.10 Concepto de capa límite
3.11 Espesor de la capa límite
3.12 Desarrollo de la capa límite
3.13 La separación. Expansión de un conducto
CAPITULO IV DISEÑO DE TUBERIAS
4.1 Concepto de pérdida de carga. Línea de energía y línea
piezométrica
4.2 Abaco de Moody. Tuberías comerciales. Cálculo
4.3 Pérdidas de carga locales (flujo turbulento)
4.4 Sobre la consideración de las pérdidas de carga locales
4.5 Pérdidas de carga locales (flujo laminar)
4.6 Sistemas hidráulicos equivalentes
4.7 Tuberías en serie
4.8 Tubería sobre la línea de gradiente. Sifón. Cavitación
4.9 Tubería con boquilla convergente final
4.10 Máquinas hidráulicas. Suministro por bombeo
CAPITULO V DISEÑO DE CONDUCCIONES Y REDES
5.1 Tuberías en paralelo
5.2 El problema de los tres reservorios
5.3 Bombeo de un reservorio a otros dos
5.4 Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente
5.5 Conducto que da servicio (filtrante)
5.6 Cambio de la rugosidad con el tiempo
5.7 Fórmula de Hazen y Williams
5.8 Diseño de una conducción
5.9 Diámetro más económico
5.10 Redes de tuberías. Método de Hardy Cross
Problemas complementarios
111
121
123
125
126
130
135
138
150
163
166
168
170
174
177
180
186
193
199
205
210
211
215
218
223
228
229
237
249

xiv
CAPITULO VI CALCULO DE CANALES
6.1 Condiciones normales
6.2 Fórmulas antiguas
6.3 Fórmula de Manning
6.4 Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad n a
emplearse en la fórmula de Manning
6.5 Determinación de la sección transversal
6.6 Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.)
6.7 Concepto de borde libre
6.8 Cálculo de canales de sección compuesta
6.9 Escurrimiento en tubo parcialmente lleno
CAPITULO VII ENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA
7.1 Energía específica
7.2 Energía específica a gasto constante
7.3 Sección rectangular
7.4 Sección parabólica
7.5 Sección triangular
7.6 Sección trapecial
7.7 Sección circular y otras secciones
7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica
7.9 Pendiente crítica mínima (pendiente límite, LS )
7.10 Transiciones
7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la
energía específica
7.12 Fuerza Específica (Momenta)
7.13 Salto hidráulico
7.14 Descarga por una compuerta de fondo
CAPITULO VIII MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO
8.1 Introducción
8.2 Definiciones fundamentales
257
260
265
271
272
281
288
292
296
317
323
325
335
347
350
353
361
365
369
371
377
378
382
387
389
395
399

xv
8.3 Ecuación general del movimiento gradualmente variado
8.4 Discusión de la ecuación del eje hidráulico
8.5 Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado
8.6 Cambios de pendiente (perfiles de continuidad)
8.7 Curva de remanso
CAPITULO IX VERTEDEROS
9.1 Objeto de los vertederos. Tipos
9.2 Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga
9.3 Fórmula de Francis
9.4 Otras fórmulas para vertederos rectangulares
9.5 Vertederos triangulares
9.6 Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti
9.7 Condiciones para la instalación y operación de vertederos
9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha)
9.9 Vertederos laterales
9.10 Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error
en la medición de la carga
9.11 Vaciamiento de un depósito por un vertedero
9.12 Vertedero sumergido
Tablas Generales
Referencias Bibliográficas
401
407
409
418
423
451
455
466
469
471
478
483
485
487
490
492
493
497
502
507
513

xvi
INDICE DE FIGURAS
Figura 1.1 Diferencia entre canales y tuberías 3
Figura 1.2 Esquema de un piezómetro 4
Figura 1.3 Tipos de flujo 5
Figura 1.4 Movimientos variados 6
Figura 1.5 Teorema de Bernoulli 8
Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal 10
Figura 1.7 Radio hidráulico en un canal muy ancho 10
Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para
varios fluidos 13
Figura 1.8b Viscosidad dinámica en función de la temperatura para
diferentes gases y líquidos 14
Figura 1.8c Viscosidad dinámica en función de la temperatura para
varios tipos de aceite 14
Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canal 16
Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería 17
Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento 17
Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar 18
Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal) 18
Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial 19
Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales 19
Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codo 20
Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos 20
Figura 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss 28
Figura 1.19 Ecuación de la energía 33
Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (mediciones) 35

xvii
Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal 44
Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería 45
Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho 46
Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal 48
Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería 49
Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y
(b) en una tubería 51
Figura 2.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar 53
Figura 2.8 Subcapa laminar 65
Figura 2.9 Relación entre parámetros adimensionales para el cálculo de la
distribución de velocidades 67
Figura 2.10 Flujo a través de un anillo 71
Figura 2.11 Distribución de velocidades en un contorno rugoso 73
Figura 2.12 Coeficiente C de Chezy 78
Figura 2.13 Aspereza del contorno 80
Figura 2.14 Rugosidad artificial de Nikuradse 80
Figura 3.1 Equilibrio de fuerzas en una tubería 91
Figura 3.2 Coeficiente f de Darcy en tuberías lisas 98
Figura 3.3 Coeficiente f de Darcy en tuberías rugosas 99
Figura 3.4 Gráfico de Nikuradse 100
Figura 3.5 Flujo paralelo 122
Figura 3.6 Generación de una capa límite 122
Figura 3.7 Definición del espesor de la capa límite 123
Figura 3.8 Espesor de la capa límite 124
Figura 3.9 Capa límite laminar y turbulenta 126
Figura 3.10 Variación del gradiente de presiones 127
Figura 3.11 Fenómeno de la separación 127
Figura 3.12 Desarrollo de la capa límite en una expansión 128
Figura 3.13 Aparición de contracorrientes 128
Figura 4.1 Ecuación de la energía en una tubería 135
Figura 4.2 Abaco de Moody 140

xviii
Figura 4.3 Pérdida de carga local 150
Figura 4.4 Gráfico de Gibson (ensanchamiento gradual) 155
Figura 4.5 Contracción brusca 157
Figura 4.6 Tuberías en serie (dos tramos) 170
Figura 4.7 Tuberías en serie (tres tramos) 171
Figura 4.8 Esquema de un sifón 175
Figura 4.9 Tubería con boquilla convergente final 178
Figura 4.10 Presencia de una bomba 180
Figura 4.11 Esquema genérico de un suministro por bombeo 181
Figura 5.1 Sistema de tuberías en paralelo 193
Figura 5.2 Línea piezométrica en un sistema en paralelo 194
Figura 5.3 Varias tuberías en paralelo 194
Figura 5.4 Tubería ramificada 196
Figura 5.5 Tres reservorios 199
Figura 5.6 Tres reservorios (caso particular) 200
Figura 5.7 Cuatro reservorios 202
Figura 5.8 Bombeo de un reservorio a otros dos 206
Figura 5.9 Tuberías con ramales de descarga independiente 210
Figura 5.10 Conducto que da servicio 211
Figura 5.11 Cálculo de un conducto filtrante 214
Figura 5.12 Diseño de una conducción 223
Figura 5.13 Determinación del diámetro en una conducción 224
Figura 5.14 Línea piezométrica para la línea de conducción del ejemplo 5.8 227
Figura 5.15 Esquema típico de una red de tuberías 230
Figura 6.1 Comparación de varias secciones transversales que se
caracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m 274
Figura 6.2 Curvas para determinar el tirante normal (Ven Te Chow) 278
Figura 6.3 Borde libre recomendado por el Bureau of Reclamation 290
Figura 6.4 Tabla orientativa para el cálculo del borde libre en canales 291
Figura 6.5 Cálculo de un tubo parcialmente lleno 297
Figura 6.6 Características geométricas en una sección circular 301

xix
Figura 6.7 Elementos hidráulicos proporcionales en una sección circular 302
Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica 324
Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante 326
Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante 334
Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular 336
Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal
rectangular 339
Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante 342
Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3 344
Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico 348
Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular 351
Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow) 358
Figura 7.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas 363
Figura 7.11 Grada positiva en un río 373
Figura 7.12 Grada negativa en un río 373
Figura 7.13 Grada positiva en un torrente 374
Figura 7.14 Grada negativa en un torrente 374
Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva 375
Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales 375
Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la
Energía Específica 378
Figura 7.18 Gráfica para la deducción de la ecuación de la Fuerza
Específica 378
Figura 7.19 Fuerza Específica 380
Figura 7.20 Salto hidráulico 382
Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo 396
Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente 397
Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida 399
Figura 8.4 Ríos y torrentes 400
Figura 8.5 Pendientes suaves y fuertes 400
Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado 402

xx
Figura 8.7 Intersección del eje hidráulico con cyy = 408
Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso 426
Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante
maxy determinado por la condición de entrega al lago. 427
Figura 8.10 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante
miny determinado por la grada. 427
Figura 9.1 Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada 456
Figura 9.2 Red de corriente característica de una napa vertiente libre
( HP >>> ) 457
Figura 9.3 Se aprecia tres casos de napa deprimida 459
Figura 9.4 Detalle de las características geométricas de la napa vertiente
en un vertedero en pared delgada, convenientemente aireada.
Esta figura es un detalle de la Figura 9.1 460
Figura 9.5 Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet 461
Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos 463
Figura 9.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c) 464
Figura 9.8 Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente 464
Figura 9.9 Otros tipos de vertederos 465
Figura 9.10 Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un
vertedero rectangular 466
Figura 9.11 Gráfico para la determinación de LK 473
Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial 474
Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares 481
Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti 485
Figura 9.15 Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en
cuenta para instalar un vertedero rectangular con contracciones. 486
Figura 9.16 Perfil característico de un vertedero en pared gruesa 488
Figura 9.17 Vertedero lateral 491
Figura 9.18 Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero 493
Figura 9.19 Esquema típico de un vertedero sumergido 497
Figura 9.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajo de
un vertedero sumergido 498

xxi
INDICE DE TABLAS
Tabla 1.1 Valores aproximados de α y β (Kolupaila) 25
Tabla 1.2 Factores adimensionales para las ecuaciones de Strauss 30
Tabla 2.1 Valores de la rugosidad absoluta k 74
Tabla 4.1 Valores de f para el agua 144
Tabla 4.2 Coeficientes de Weisbach para contracciones bruscas 158
Tabla 4.3 Pérdidas de carga locales 160
Tabla 5.1 Intensidad de aumento de la rugosidad 216
Tabla 5.2 Coeficientes de Hazen y Williams 219
Tabla 5.3 Cálculos del ejemplo 5.9 236
Tabla 6.1 Valores de la rugosidad absoluta k 259
Tabla 6.2 Valores del coeficiente n de Kutter que generalmente se
usa en los diseños 262
Tabla 6.3 Valores del coeficiente m de rugosidad a usarse en la
fórmula de Kutter para pendientes mayores que 0,0005 263
Tabla 6.4 Valores del coeficiente G de rugosidad a utilizarse en la
fórmula de Bazin 264
Tabla 6.5 Tabla de Cowan para determinar la influencia de diversos
factores sobre el coeficiente n 273
Tabla 6.6 Secciones circulares parcialmente llenas 304
Tabla 6.7 Propiedades hidrálicas de conductos circulares 309
Tabla 6.8 Propiedades hidráulicas de conductos en herradura 311
Tabla 6.9 Sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica 313
Tabla 6.10 Secciones de máxima eficiencia hidráulica 315
Tabla 6.11 Elementos geométricos de diversas secciones 316
Tabla 7.1 Ejemplo 7.3 ( q = 1 m3
/s/m) 345

xxii
Tabla 7.2 Secciones críticas ( gVyE cc 22
+= ) 360
Tabla 8.1 Resumen de la discusión de los seis casos del movimiento
gradualmente variado 416
Tabla 8.2 Función de flujo variado para pendientes positivas y negativas 436
Tabla 9.1 Coordenadas características de una napa vertiente libre 458
Tabla 9.2 Coeficientes en vertederos triangulares 481
Tabla 9.3 Coeficientes en vertederos de cresta ancha 490
Tabla 9.4 Ejemplo 9.2 496
Tabla 9.5 Valores de N para usarse en la fórmula 9-41 499

xxiii
LISTA DE SIMBOLOS PRINCIPALES
A Area de la sección transversal
SA Area de la sección transversal de salida
a Rugosidad absoluta
a Altura de una grada
B Ancho de fondo
b Ancho
b Longitud de la cresta de un vertedero
..lb Borde libre
C Coeficiente de Chezy
HC Coeficiente de Hazen y Williams
c Coeficiente de descarga en vertederos
cc Coeficiente de contracción
vc Coeficiente de velocidad
D Diámetro de la tubería
d Tirante hidráulico
E Energía
e Constante de los logaritmos neperianos
F Número de Froude
fF Fuerza debida a la fricción
f Coeficiente de Darcy
G Coeficiente de rugosidad de Bazin
H Carga de agua
H Energía total con respecto a un plano de referencia
bombaH Energía suministrada por una bomba
SH Altura de succión
iH Altura de impulsión
fh Pérdida de carga o energía

xxiv
ih Altura del salto hidráulico
loch Pérdida de carga local
rozh Pérdida de carga por rozamiento
vorth Pérdida de carga por la formación de vórtices
Vh Energía de velocidad o cinética
K Coeficiente de pérdida de carga
K Factor de capacidad
nK Factor de capacidad para condiciones normales
k Rugosidad absoluta
0k Rugosidad inicial (al ponerse en servicio el conducto)
tk Rugosidad después de transcurrido el tiempo t
L Longitud de un vertedero
eL Longitud equivalente
L. E. Línea de energía
L. P. Línea piezométrica o de gradiente hidráulica
M Exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas
m Relación de máxima eficiencia hidráulica
m Coeficiente de rugosidad para la fórmula de Kutter
N Exponente hidráulico para el cálculo del movimiento uniforme
N Coeficiente de reducción de carga en un vertedero sumergido
n Coeficiente de Kutter
n Parámetro característico de la curva de distribución de velocidades
P Umbral de un vertedero
P Perímetro
P Fuerza hidrostática
p Presión
vp Presión absoluta de vaporización
Pot Potencia
Q Caudal o gasto
nQ Gasto para un flujo normal

xxv
cQ Gasto crítico
q Caudal o gasto específico
R Radio hidráulico
Re Número de Reynolds
r , or Radio de la tubería
S Pendiente
S Pendiente media
cS Pendiente crítica
ES Pendiente de la línea de energía
LS Pendiente límite
WS Pendiente de la superficie libre
0S Pendiente del fondo
T Ancho superficial
T Temperatura
V Velocidad media
cV Velocidad crítica
hV Velocidad a la distancia h del contorno
maxV Velocidad máxima
*V Velocidad de corte
W Peso
w Velocidad de caida de una partícula
y Tirante
y Eje de coordenadas
cy Tirante crítico
ny Tirante normal
y Profundidad del centro de gravedad
Z Factor de sección
cZ Factor de sección para flujo crítico
z Elevación con respecto a un plano de referencia

xxvi
α Coeficiente de Coriolis
1α Velocidad de aumento de la rugosidad
β Coeficiente de Boussinesq
δ Espesor de la subcapa laminar
Lδ Espesor de la capa límite laminar
Tδ Espesor de la capa límite turbulenta
κ Constante de Karman
ρ Densidad del fluido
γ Peso específico
η Eficiencia de la bomba
µ Viscosidad dinámica o absoluta
ν Viscosidad cinemática
τ Esfuerzo de corte
0τ Esfuerzo de corte sobre el fondo o el contorno
hτ Esfuerzo de corte a la distancia h del contorno
0τ Esfuerzo medio de corte sobre el fondo
θ Angulo
E∆ Variación de energía
p∆ Diferencia de presiones

1
IntroducciónCapítulo I
1.1 Objetivo del libro
El objetivo de este libro es proporcionar al lector los conocimientos fundamentales de Hidráulica
y Mecánica de los Fluidos que se requieren para el diseño de tuberías y canales y para otras
aplicaciones de Hidráulica General. En este libro se presenta el modo de predecir el
escurrimiento y los fenómenos de corriente para ciertas condiciones dadas. De otro lado, se
ofrece también los conocimientos básicos para el estudio posterior de Hidráulica Fluvial,
Irrigación, Drenaje, Abastecimientos de Agua, Hidroelectricidad, etc.
El desarrollo de los temas se apoya en conceptos básicos de Mecánica de Fluidos adquiridos
anteriormente en los siguientes temas: Hidrostática, Cinemática de los Fluidos, Ecuaciones
de Euler, Navier-Stokes y Bernoulli, Semejanza Hidráulica y Análisis Dimensional.
En la Hidráulica de tuberías y canales trabajaremos con fluidos reales como agua, aceite o
petróleo. Al tener estos fluidos viscosidad habrá que admitir la existencia de tensiones tangenciales
en el interior de la masa fluida y tendremos que apartarnos de la Hidrodinámica clásica.
1.2 Esquema del contenido general
Este libro consta de nueve capítulos cuyo contenido sintético es el siguiente
Capítulo I: Introducción.
Objetivos. Tipos de flujo. Efecto de la gravedad y de la viscosidad. Concepto de distribución
de velocidades. Coeficientes de Coriolis y Boussinesq. Comparación entre tuberías y canales.
CAPITULO I
INTRODUCCION

2
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Capítulo II. Movimiento uniforme.
Ecuaciones de distribución de velocidades para el flujo laminar y turbulento. Conceptos de
rugosidad, contorno liso y subcapa laminar. Fórmulas de la velocidad media. Ecuación de
Chezy.
Capítulo III. La resistencia en el movimiento uniforme.
Ecuación de Darcy, Ecuación de Blasius. Ecuaciones de resistencia de Karman-Prandtl.
Gráfico de Nikuradse. Ley exponencial de distribución de velocidades. Errores. Concepto
de capa límite. El fenómeno de separación.
Capítulo IV. Diseño de tuberías.
Abaco de Moody. Cálculo de la pérdida de carga, diámetro y gasto. Cambio de la rugosidad
con el tiempo. Pérdidas de cargas locales. Tubería equivalente, Tubería en serie. Sifón.
Bombeo.
Capítulo V. Diseño de conducciones y redes.
Tuberías en paralelo. Fórmula de Hazen y Williams. Problema de los tres reservorios.
Conducto que da servicio. Otros sistemas indeterminados. Redes. Método de Hardy Cross.
Capítulo VI. Cálculo de canales.
Flujo normal. Fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin y Manning. Discusión del coeficiente
n. Cálculo de la sección de un canal. Sección de máxima eficiencia hidráulica. Conceptos
de borde libre. Rugosidad compuesta. Sección circular parcialmente llena.
Capítulo VII. Energía específica y Momenta.
Significado de la energía específica. Régimen crítico: ríos y torrentes. Cálculo de velocidad
crítica. Ecuación de la cantidad de movimiento. Concepto de momenta. Salto hidráulico.
Su uso como disipador de energía.
Capítulo VIII. Movimiento gradualmente variado.
Hipótesis general para su estudio. Ecuación del eje hidráulico. Pendiente suave y pendiente
fuerte. Discusión de la ecuación del eje hidráulico y presentación de los seis casos del
movimiento gradualmente variado. Cálculo de la curva de remanso.
Capítulo IX. Vertederos. Su objeto y uso. Tipos.
Su objeto y uso. Tipos. Fórmula General. Vertederos rectangulares, triangulares y trapeciales.
Vertedero de cresta ancha. Vertedero Sumergido.

3
1.3 Diferencias entre canales y tuberías
Son varias las diferencias que pueden establecerse entre el flujo en un canal y en una tubería.
El canal tiene una superficie libre que está en contacto con la atmósfera. En la tubería el
líquido está confinado. Es un conducto cerrado. Hay presión ejercida por el fluido sobre el
contorno. (Figura 1.1).
La diferencia entre un canal y una tubería no está, pues, en la forma de la sección transversal,
sino en el comportamiento hidráulico.
Superficie libre
TUBERIA CANAL
Figura 1.1 Diferencia entre canales y tuberías
En las tuberías la presión ejercida por el fluido en cada punto está representada gráficamente
por la altura que alcanza el líquido en un pequeño tubo (piezómetro) conectado a la tubería,
tal como puede verse en la Figura 1.2 en la que p es la presión y γ es el peso específico
del fluido. La altura que alcanza el fluido en el piezómetro, referida a un plano horizontal,
se denomina cota piezométrica.
zcapiezométriCota =
γ
p
zh += (1-1)
γ
p
h = (1-2)
En los canales por lo general el flujo es agua, en cambio en las tuberías puede tratarse de
cualquier fluido (líquido o gaseoso).
El flujo en un conducto cerrado, que pueda tener la forma de una tubería, no es
necesariamente un escurrimiento a presión. Tal sería el caso de un túnel o un conducto de
desagüe en el que, por estar parcialmente lleno, haya una superficie libre (Figura 1.15c). Al
haber contacto con la atmósfera, a través de la superficie libre, el conducto es
hidráulicamente un canal.

4
Piezómetro
Plano de
referencia
h
z
Figura 1.2 Esquema de un piezómetro
En lo que respecta a tuberías la forma más común es la circular, pero no es la única. Hay
tuberías de diferentes formas: sección cuadrada, rectangular, etc. Otra de las diferencias
entre ambos conductos está en la calidad de paredes; es decir en el grado de rugosidad del
contorno. Las tuberías suelen ser de acero, hierro fundido, asbesto cemento, policloruro de
vinilo, polietileno o poliester reforzado con fibra de vidrio, materiales cuyos grados de
aspereza no son muy diferentes. En cambio los canales pueden tener superficies lisas como
las anteriores o muy rugosas como aquellos con revestimiento de albañilería de piedra.
En general se puede decir que los problemas en canales son más complejos que los
problemas en tuberías. En una tubería dada la sección transversal es rígida y determinada.
Un aumento en el gasto conlleva un aumento en la velocidad.
En cambio en un canal hay una superficie libre. Un aumento en el gasto representa una
variación en la sección.
La sección de una tubería es en la mayor parte de los casos circular. Un canal puede ser
de ordinario rectangular, trapecial, semicircular o de forma cualquiera.
A pesar de las diferencias que han sido expuestas entre tuberías y canales es posible
estudiar en conjunto su funcionamiento hidráulico.
1.4 Tipos de flujo
Se denomina movimiento permanente a aquél que, en una sección determinada, no presenta
variaciones de sus características hidráulicas con respecto al tiempo. Es decir, que en una

5
sección dada el gasto, presión, velocidad, etc. permanecen constantes a lo largo del tiempo.
Se dice que durante dicho intervalo el movimiento es permanente.
El movimiento permanente es fácil de comprender, pero difícil de encontrar en la naturaleza.
Si observamos un río durante varias horas, quizá tengamos la impresión que su caudal no
cambia, pero en realidad hora a hora, minuto a minuto se están produciendo variaciones
-aumentos o disminuciones- en el gasto y por lo tanto en la velocidad y en todas las
características hidráulicas. Hay impermanencia.
Podemos encontrar movimiento permanente en la descarga de una tubería que se alimenta
de un estanque cuyo nivel permanece constante (Figura 1.3).
Nivel de la superficie libre
Q
Figura 1.3 Tipos de flujo
Se denomina movimiento impermanente a aquel que, en una sección determinada, presenta
variaciones de sus características hidráulicas a lo largo del tiempo. Así por ejemplo, si
observamos la descarga de una tubería, como la de la Figura 1.3, en la que ahora suponemos
que el nivel de la superficie libre es variable (un nivel descendente correspondería a un
caso real) se tendría que el gasto, presión, velocidad, etc. en una sección cualquiera de la
tubería también serán variables con respecto al tiempo: se dice entonces que el flujo no es
permanente. Es impermanente. Es variable.
Hay otros casos de movimiento no permanente que podrían presentarse. Por ejemplo, en
una tubería en la que bruscamente cerramos una válvula situada en su extremo se producirá
una onda de sobrepresión que se propaga hacia aguas arriba. En una sección cualquiera
habrá impermanencia porque las condiciones hidráulicas son variables con el tiempo. Este
fenómeno de sobreelevación súbita de la presión se denomina golpe de ariete.
Se dice que un tramo de canal o tubería tiene movimiento uniforme cuando las características
hidráulicas son las mismas -es decir, son constantes- para cualquier sección de dicho

6
tramo. Así por ejemplo, una tubería de sección transversal constante que se alimenta de
un estanque en el que el nivel se mantiene invariable, se dice que tiene movimiento uniforme
porque en todas las secciones transversales son constantes la presión, velocidad, área, etc.
El movimiento es variado cuando en un tramo cambia la sección transversal, velocidad,
presión o cualquier otra característica hidráulica.
Si la variación se produce en una pequeña longitud se dice que el movimiento es rápidamente
variado. Ejemplo típico sería la presencia de una grada en un canal. Sobre la grada hay
fuerte curvatura de las líneas de corriente y rápida variación de la velocidad: es un
movimiento rápidamente variado, M. R. V. (Ver Figura 1.4).
Se llama movimiento gradualmente variado a aquel en el que la variación de las
características hidráulicas se produce suavemente, lentamente a lo largo de una gran
longitud. De acá su nombre de gradual.
Si tenemos un canal con movimiento uniforme en el que hay una grada o caída habrá una
cierta extensión en la que se desarrolla un movimiento que es una especie de transición o
empalme entre el movimiento uniforme, que hay en el canal fuera de la zona de influencia
de la grada, y el movimiento rápidamente variado que, como se señaló anteriormente, se
produce sobre la grada. Ese tramo de transición o empalme es un movimiento gradualmente
variado M. G. V. (Figura 1.4)
M. uniforme M. G. V. M. R. V.
y
Figura 1.4 Movimientos variados
En el ejemplo de la Figura 1.4, el movimiento deja de ser uniforme cuando hay un cambio
en el tirante y , por pequeño que sea este cambio. A partir de ese cambio el movimiento es
gradualmente variado.
No se puede establecer con precisión la sección en la cual un movimiento deja de ser
gradualmente variado para convertirse en rápidamente variado (M. R. V.).

7
Hay muchos movimientos que estrictamente considerados son impermanentes o variados,
pero que desde el punto de vista del ingeniero, interesado en la solución de un problema
práctico y real, se pueden considerar como permanentes y uniformes. El movimiento
rápidamente variado se estudiará para algunos casos específicos.
Nuestro estudio incidirá preferentemente en el movimiento permanente y uniforme. Es
éste el más frecuente en los problemas de ingeniería.
Resumiendo los conceptos anteriores señalamos que la no uniformidad es la variación del
régimen de corriente con respecto al espacio y que la variabilidad es el cambio del régimen
de corriente con respecto al tiempo.
Debe tenerse presente que en cualquier caso en el que se hable de cambio de velocidad,
éste puede ser tanto en magnitud como en dirección.
En los ejemplos anteriores caudal o gasto Q significa el volumen de fluido que pasa en la
unidad de tiempo por una sección determinada. Sus dimensiones son L3
T-1
. Cuando se
calcula el gasto por unidad de ancho se llama gasto específico. Sus dimensiones son L2
T-1
.
Para los fluidos compresibles la ley de conservación de la materia exige que la cantidad de
fluido que pasa por cada sección en la unidad de tiempo sea constante
constanteAV =ρ
siendo ρ la densidad del fluido, A el área de la sección transversal y V la velocidad
media de la corriente. En el flujo incompresible la densidad es constante y la ecuación de
continuidad es
constanteQVAVA === 2211
(1-3)
A la relación entre el gasto y el área de una sección se le denomina velocidad media
A
Q
V = (1-4)
1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía
La forma más conocida del teorema de Bernoulli es
constantez
p
g
V
=++
γ2
2
(1-5)

8
La suma de los tres términos es constante a lo largo de una línea de corriente en un
movimiento permanente e irrotacional (para un fluido ideal).
Cada uno de los tres términos tiene las dimensiones de una energía por unidad de peso
del fluido.
V 2
g2
1
2
V2
p
γ
1
2
p
γ
1z z2
E
g2
Línea de corriente
Plano de referencia
1 2
Figura 1.5 Teorema de Bernoulli
Al primer término gV 22
, se le conoce con el nombre de energía de velocidad o energía
cinética y representa la altura desde la que debe caer libremente un cuerpo, que parte del
reposo, para adquirir la velocidad V .
Los otros dos términos son la altura de presión y la elevación. Su suma representa la
energía potencial y constituye la cota piezométrica.
El teorema de Bernoulli significa que para una línea de corriente la suma de la energía
cinética y la potencial es constante.
En una tubería o en un canal cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma de
Bernoulli. Su representación gráfica a lo largo de una línea de corriente es la siguiente
En un fluido ideal, (es decir sin viscosidad), la energía E en 1 es igual a la energía en 2.
Para un fluido real habría una pérdida de energía entre 1 y 2. En realidad no es energía
perdida, sino transformada en calor debido a la fricción.
La ecuación de la energía para un fluido real es entonces
212
2
2
2
1
1
2
1
22 −
+++=++ fhz
p
g
V
z
p
g
V
γγ
(1-6)

9
o bien,
2121 −
+= fhEE (1-7)
V es la velocidad de la corriente, p la presión, z la elevación con respecto a un plano
horizontal de referencia (los subíndices 1 y 2 corresponden a cada una de las dos secciones
consideradas), γ es el peso específico del fluido, g la aceleración de la gravedad.
E es la energía total,
21−fh es la disipación (pérdida) de energía entre las secciones 1 y 2.
En un flujo paralelo se tendrá que la energía potencial (presión más elevación) es constante
para toda la sección transversal. La diferencia de energía entre una línea de corriente y
otra se debe a la variación de la velocidad. En un flujo paralelo la distribución de presiones
es hidrostática.
1.6 Propiedades geométricas de la sección transversal
Hemos señalado que hidráulicamente se denomina canal al contorno en el que el
escurrimiento tiene una superficie libre en contacto con la atmósfera.
Los canales pueden ser fundamentalmente de dos tipos: naturales y artificiales.
Los canales naturales son los ríos, torrentes, arroyos, etc. Tienen sección transversal irregular
y variable y su estudio corresponde a la hidráulica fluvial. El fondo esta constituido por
partículas sólidas en movimiento (arenas, limos, piedras, etc), y se le denomina lecho
móvil. Ver Figura 1.15d.
Los canales artificiales son construidos por el hombre. Tienen sección transversal regular.
Si su alineamiento es recto se denomina canal prismático.
Las tuberías son conductos a presión que pueden tener cualquier sección transversal.
Radio hidráulico ( R ). Es la relación que existe entre el área transversal y el perímetro
mojado de un conducto hidráulico.
P
A
R = (1-8)
Para una tubería de sección circular se tiene
4
D
R = (1-9)

10
es decir, que el radio hidráulico es la cuarta parte del diámetro, lo que puede obtenerse
fácilmente a partir de la definición general de la ecuación 1-8.
En un canal se debe tener en cuenta que sólo interviene el perímetro mojado, tal como se
muestra en la Figura 1.6
A
T
P (Perímetro mojado)
y
Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal
Tirante hidráulico ( d ) Es la relación que existe en un canal entre el área de la sección A
y el ancho superficial T .
T
A
d = (1-10)
Tirante ( y ) Es la distancia vertical del punto más bajo del fondo del canal hasta la superficie
libre.
Radio hidráulico en un canal muy ancho
Cuando el ancho b de un canal o río es mucho mayor que el tirante, se dice que es un
canal muy ancho. Esto permite hacer un cálculo más rápido y fácil del radio hidráulico.
Figura 1.7 Radio hidráulico en un canal
muy ancho
byA =
ybP 2+=
b
y
y
yb
by
R
212 +
=
+
=
y
b

11
En un canal muy ancho
b
y
es muy pequeño y se puede considerar
yR = (1-12)
Es decir, que en un canal muy ancho el radio hidráulico es igual al tirante.
1.7 Efecto de la viscosidad
El efecto de la mayor o menor viscosidad del fluido sobre las condiciones del escurrimiento
se expresa por el parámetro adimensional denominado número de Reynolds.
El número de Reynolds ( Re ) tiene por expresión
ν
VL
=Re (1-13)
siendo
V : velocidad media del escurrimiento
L : longitud característica
ν : viscosidad cinemática que es igual a la relación que existe entre la viscosidad
dinámica o absoluta ( µ ) y la densidad del fluido ( ρ )
En una tubería se considera generalmente como longitud característica el diámetro de la
tubería
ν
VD
=Re
Algunos autores, especialmente europeos, consideran como longitud característica el radio
hidráulico
ν
VR
=Re
y otros consideran como longitud característica el radio r de la tubería.
En los canales se considera el radio hidráulico para la definición del número de Reynolds.
La elección de la longitud característica es, pues, un asunto convencional. Cuando se
menciona el número de Reynolds debe señalarse la forma en la que queda definido, o sea
que se debe señalar cual es la longitud característica.

12
El número de Reynolds representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas
viscosas. Se dice que el flujo es laminar cuando las fuerzas viscosas son más fuertes que
las de inercia. Caso contrario el flujo se denomina turbulento.
El número de Reynolds que separa los escurrimientos laminares de los turbulentos se
llama crítico y para una tubería cuyo número de Reynolds se define según el diámetro
tiene un valor aproximado de 2 300. Si tuviéramos una tubería con flujo turbulento en la
que paulatinamente se va disminuyendo la velocidad llegará un momento en el que el flujo
se hace laminar. Esto ocurre con un número de Reynolds de 2 300. Si tuviéramos el caso
inverso, una tubería con flujo laminar en la que progresivamente se va aumentando la
velocidad, llegará un momento en el que el flujo se haga turbulento. Para este caso no hay
un límite definido; puede ocurrir para un número de Reynolds de 5 000, 10 000, o más,
dependiendo de la naturaleza de las perturbaciones exteriores.
En un canal el número de Reynolds crítico está alrededor de 600, que corresponde
aproximadamente a la cuarta parte del señalado para las tuberías. La explicación está en
la ecuación 1-9.
El flujo laminar se presenta con más frecuencia en los fluidos muy viscosos (aceite, petróleo).
En el agua (que tiene pequeña viscosidad) es poco frecuente, salvo en el flujo a través de
medios porosos. El movimiento turbulento es el más frecuente en los problemas de
ingeniería.
La viscosidad absoluta µ o coeficiente de viscosidad dinámica, mide la relación entre un
esfuerzo y una velocidad de deformación. Sus dimensiones son ML-1
T-1
en el sistema
absoluto y FL-2
T en el sistema gravitacional.
En el sistema M. F. S. se mide en kg.s/m2
. En el sistema C. G. S. (absoluto) se mide
en gr-masa, centímetros y segundos. La unidad es el poise
scm
masagr1
poise1
−
−
=
La viscosidad cinemática ν es la relación entre la viscosidad absoluta µ y la densidad
ρ . Sus dimensiones son L2
T-1
. Su unidad es el stoke
scm1stoke1 2
=
En la Figura 1.8, se muestra para diferentes fluidos la variación de la viscosidad con la
temperatura.
Las Figuras 1.8a, 1.8b y 1.8c han sido tomados del libro de Rouse, Hidráulica, Editorial
Dossat.

13
Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para varios
fluidos (p.e. es el peso específico relativo)
Glicerina
Fuel Oil
(p.e. = 0,97)
Fuel Oil
(p.e. = 0,94)
SAE 30 Helio
Hidrógeno
SAE 10
Petróleo
crudo
(p.e. = 0,93)
Metano
Aire y oxígeno
Amoníaco
Anhidrido carbónico
Salmuera (20% NaCl)
Petróleo crudo
(p.e. = 0,86)
Benceno
Kerosene
Alcohol etílico
Agua
Tetracloruro de carbono
Gasolina
(p.e. = 0,68)
Mercurio
10
-7
10
-3
10
-4
10
-5
10
-6
10
-7
10
-6
10
-5
10
-4
10
-3
8
6
4
2
4
2
6
8
4
2
6
8
4
2
6
8
4
2
6
8
6
2
4
8
6
2
4
8
6
2
4
8
0
o o
50
o
100
50
o
0
o
100
o
2
s
m
ν
T ºC

14
ArturoRochaHidráulicadetuberíasycanales
Figura 1.8b Viscosidad dinámica en función de
la temperatura para diferentes
gases y líquidos
Figura 1.8c Viscosidad dinámica en función de
la temperatura para varios tipos de
aceite
10
-4
10
-5
10
-6
10
-6
10
-5
10
-4
8
6
4
2
6
8
4
2
6
8
4
2
4
2
6
2
4
8
6
2
4
8
6
8
0
o o
50
o
100
50
o
0
o
100
o
2
kg - s
m
µ
5 5
5 5
SAE 10
Petróleo crudo
(p.e. = 0,86)Mercurio
Kerosene
Salmuera
(20% NaCl)
Alcohol etílico
Tetracloruro
de carbono
Agua
Benceno
Gasolina
(p.e. = 0,68)
Helio Oxígeno
Anhidrido carbónico
Aire
Metano
(Gas natural)
Amoníaco
Hidrógeno
T ºC
10
-1
10
-2
10
-3
10
-3
10
-2
10
-1
8
6
4
2
6
8
4
2
6
8
4
2
4
2
6
2
4
8
6
2
4
8
6
8
0
o o
50
o
100
50
o
0
o
100
o
5 5
5 5
Fuel - Oil
(p.e. = 0,97)
Glicerina
Fuel - Oil
(p.e. = 0,94)
SAE 30
SAE 30 Petróleo
crudo
(p.e. = 0,93)
Petróleo crudo
(p.e. = 0,93)
m
µ
kg - s
2
T ºC

15
1.8 Efecto de la gravedad
El efecto de la mayor o menor influencia de las fuerzas gravitacionales sobre las condiciones
del escurrimiento se expresa por el parámetro adimensional denominado número de Froude.
El número de Froude ( F ) tiene por expresión
gL
V
F = (1-14)
siendo
V : velocidad media
g : aceleración de la gravedad
L : longitud característica
El número de Froude se utiliza en canales y generalmente se considera como longitud
característica el tirante hidráulico d Por lo tanto
gd
V
F = (1-15)
Siempre que el escurrimiento se produzca con superficie libre, es decir que alguna zona de
la corriente no esta delimitada por el contorno, habrá influencia de la gravedad sobre todo
el escurrimiento.
El número de Froude representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas
gravitacionales. Los valores altos del número de Froude corresponden a pequeña influencia
de la gravedad. Los autores franceses llaman a este parámetro adimensional número de
Reech-Froude.
1.9 Concepto de distribución de velocidades
En los canales y en las tuberías el flujo es esencialmente tridimensional. Para cada punto
de la corriente, el vector velocidad tiene componentes en las tres direcciones.
Para analizar la variación de velocidades en la sección tendremos en cuenta la forma de la
sección transversal, pues la naturaleza y características geométricas del contorno definen
básicamente la curva de distribución de velocidades.

16
En las tuberías el caso más simple corresponde a la sección circular. La influencia del
contorno es simétrica y perfectamente definida.
En los canales el caso más simple corresponde a un canal de ancho infinito. Sólo hay
influencia del fondo.
Empezaremos por analizar este último caso. El flujo es bidimensional. En cada punto de
la sección hay una velocidad particular ( hV ). La velocidad es máxima en la superficie. En
el fondo la velocidad es mínima. El esquema característico de la distribución de velocidades
es el siguiente
Denominamos hV a la velocidad que existe a la distancia h del contorno (en este caso
del fondo). La curva que expresa la relación entre hV y h se llama curva de distribución
de velocidades. En los siguientes capítulos estableceremos su ecuación.
En un canal de ancho infinito la velocidad máxima está en la superficie. Pero en un canal
rectangular angosto hay fuerte influencia de los lados y la velocidad máxima aparece
debajo de la superficie. Mientras más angosto es el canal mayor es la influencia de los
lados y la velocidad máxima está más profunda con respecto a la superficie. Valores usuales
para ubicar la velocidad máxima son los comprendidos entre y95,0 y y75,0 . Ver Figura
1.15b.
En una tubería la velocidad es máxima en el eje y mínima en el contorno, tal como se
muestra en el esquema de la Figura 1.10. Para 2Dh = se obtiene la velocidad máxima.
Se observa que los ejemplos de las Figuras 1.9 y 1.10 tienen algo en común: la velocidad
es cero en el contorno. Esto se debe a que hemos considerado fluidos reales (con viscosidad).
Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canal
V
y
h
h

17
La distribución de velocidades depende, entre otros factores, del grado de turbulencia.
Otros factores determinantes son el grado de aspereza (rugosidad) del contorno y el
alineamiento del canal.
Para números de Reynolds elevados se dice que existe turbulencia plenamente desarrollada
y la distribución de velocidades tiende a hacerse uniforme, salvo en la zona próxima al
contorno donde los esfuerzos viscosos y el gradiente de velocidades son muy grandes.
Así por ejemplo, en una tubería cuyo número de Reynolds fuera del orden de 1 ó 2 millones
podría tenerse la siguiente distribución de velocidades
En cambio, en un escurrimiento laminar el gradiente de velocidades es muy grande en
toda la sección transversal y se tendrá una curva de distribución de velocidades de tipo
parabólico (ver Figura 1.12).
Para un fluido ideal, sin viscosidad, cuyo número de Reynolds sea infinito, la distribución
de velocidades sería uniforme (Ver Figura 1.13).
Para números de Reynolds muy altos, como el de la Figura 1.11, la distribución de
velocidades de un fluido real puede calcularse sin cometer mayor error, como si fuera un
fluido ideal salvo en la zona próxima a las paredes.
h =
D
2
D
Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería
Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento
D

18
Debe tenerse presente que a partir de un cierto valor del número de Reynolds se obtiene
turbulencia plenamente desarrollada. Un aumento en el número de Reynolds no conlleva
un aumento del grado de turbulencia.
En la Figura 1.9 se presentó la distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho.
Este es un caso particular. Tratándose de canales el caso más frecuente es el de las
secciones trapeciales o rectangulares, en las que no puede dejarse de considerar la influencia
de las paredes, en las que la velocidad debe también ser nula. Se tendrá entonces una
distribución transversal de velocidades.
Para ilustrar la distribución de velocidades en la sección transversal se indica en el esquema
de la Figura 1.14 la sección de un canal en el que se ha dibujado las curvas que unen los
puntos de igual velocidad (isotacas). Esta velocidad se ha relacionado con la velocidad
media. Así la curva que tiene el número 2 significa que todos sus puntos tienen una velocidad
que es el doble de la velocidad media.
En la Figura 1.15 se presentan con carácter ilustrativo las distribuciones de velocidad
típicas para diferentes secciones transversales.
El alineamiento del conducto y la simetría de la sección también son factores determinantes
de la curva de distribución de velocidades.
D
Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar
Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal)
D

19
Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial
Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales
2,0
1,5
1,0
0,5
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
(a)
Canal circular poco profundo
(d)
Canal natural (río)
(b)
Canal rectangular angosto
(c)
Canal circular parcialmente lleno
1,5
1,0
0,5
2,0

20
La asimetría de la sección transversal produce corrientes secundarias, que se llaman así
por no seguir la dirección general de la corriente. Si el movimiento principal es a lo largo
del conducto, entonces la corriente secundaria producida por una curvatura del alineamiento
se desarrolla en un plano normal y representa una circulación que al superponerse al flujo
principal da lugar a un movimiento espiral o "en tornillo".
Analicemos el caso que corresponde al cambio de dirección (codo) en una tubería. La
resistencia viscosa reduce la velocidad en el contorno dando como resultado que allí la
energía sea menor que en las capas adyacentes. Debido a la fuerte caída de presión que
se produce en el contorno exterior hay un flujo secundario que se dirige hacia el exterior y
que debe ser compensado por otro que se dirija hacia el interior.
La aspereza (rugosidad) de las paredes y su influencia sobre la distribución de velocidades
será analizada en el capítulo siguiente. Damos una idea de su significado a través de la
Figura 1.17 en la cual se presentan para una misma tubería dos distribuciones de velocidad,
según que el contorno sea liso o rugoso.
Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codo
Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos
A
A
SECCION A - A
Liso
Rugoso
D

21
A partir de la ecuación de distribución de velocidades se calcula el gasto
dAVQ h∫= (1-16)
1.10 Coeficiente de Coriolis
El teorema de Bernoulli fue establecido para una línea de corriente. La ecuación 1-5 establece
que la suma de Bernoulli es constante a lo largo de una línea de corriente. Esto significa
que cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma de Bernoulli.
Para cada línea de corriente, en una sección determinada, el valor de la velocidad es hV
y la energía cinética correspondiente es gVh 2
2
. Pero, al ingeniero no le interesa trabajar
con líneas de corriente aisladas, sino con la totalidad del escurrimiento.
Consideremos un flujo paralelo. En el flujo paralelo hay una distribución hidrostática de
presiones y por lo tanto la suma z
p
+
γ
, o sea la cota piezométrica, es idéntica para todas
las líneas de corriente y la variación que hay entre la suma de Bernoulli para las diferentes
líneas de corriente se debe al gradiente de velocidades.
Para extender el teorema de Bernoulli a toda la sección transversal, habría que tomar el
promedio de los valores de gVh 2
2
. Como esto es difícil de hacer en la práctica, pues se
tendría que considerar un número infinito, o muy grande, de filetes, se busca una
equivalencia, o una aproximación, mediante el cálculo de la energía que corresponde a la
velocidad media.
Evidentemente que esto no es exacto, por cuanto no es lo mismo el promedio de los
cuadrados, que el cuadrado del promedio. De acá que el valor de la energía para toda la
sección transversal, obtenido con la velocidad media, debe corregirse por medio de un
coeficiente que generalmente se designa con la letra α y que recibe el nombre de coeficiente
de Coriolis ó coeficiente de energía.
Para calcular el valor de α pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es hV , que
tiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es γ .
La energía en general se expresa por QHγ
Ahora bien, para dicho tubo de corriente se puede aplicar la ecuación de continuidad 1-3
dAVdQ h=

22
y el valor de la energía cinética es
g
V
H h
2
2
=
para el tubo de corriente la energía resulta
g
V
dAV h
h
2
2
γ
que equivale a
dAVh
3
2
ρ
y la energía de toda la sección transversal se obtiene integrando la expresión anterior
∫ dAVh
3
2
ρ
Si hiciéramos un cálculo aproximado de la energía de toda la sección, considerando la
velocidad media se tendría
AV 3
2
ρ
para que este valor aproximado sea igual al correcto debe multiplicarse por un factor o
coeficiente de corrección al que se denomina α
∫= dAVAV h
33
22
ρρ
α
de donde,
AV
dAVh
3
3
∫=α (1-17)
que es la expresión del coeficiente de energía o de Coriolis.
Obsérvese que α representa la relación que existe, para una sección dada, entre la energía
real y la que se obtendría considerando una distribución uniforme de velocidades.
dQ H

23
Para canales prismáticos se tiene usualmente
36,103,1 << α (1-18)
1.11 Coeficiente de Boussinesq
El cálculo de la cantidad de movimiento (momentum) de una corriente también se ve
afectado por la distribución de velocidades.
El valor de la cantidad de movimiento obtenido para toda la sección transversal a partir de
la velocidad media, debe corregirse por medio de un coeficiente que generalmente se
designa con la letra β y que recibe el nombre de coeficiente de Boussinesq o coeficiente
de la cantidad de movimiento.
Para calcular el valor de β pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es hV que
tiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es γ .
Sabemos que en general la cantidad de movimiento se expresa por QVρ
y para el tubo de corriente es
dAVh
2
ρ
La cantidad de movimiento de toda la sección transversal se obtendrá por integración de la
ecuación anterior
∫ dAVh
2
ρ
Si hiciéramos un cálculo aproximado de la cantidad de movimiento total a partir de la
velocidad media se tendría
AV 2
ρ
para que este valor aproximado sea igual al verdadero debe multiplicarse por un factor o
coeficiente de corrección al que se denomina β
∫= dAVAV hρβρ 2
luego,
AV
dAVh
2
2
∫=β (1-19)

24
que es la expresión del coeficiente de cantidad de movimiento o de Boussinesq.
El producto QVβρ representa el caudal o flujo de la cantidad de movimiento en una
sección dada.
Para canales prismáticos se tiene usualmente
12,101,1 << β (1-20)
1.12 Discusión de los valores de α y β
De acuerdo a lo expuesto anteriormente el coeficiente α se usará en los cálculos en los
que intervenga la energía y el coeficiente β en los cálculos en los que intervenga la
cantidad de movimiento.
Así por ejemplo, si extendemos la ecuación de la energía a toda la sección transversal
considerando como velocidad la velocidad media se obtiene
212
2
2
2
21
1
2
1
1
22 −
+++=++ fhz
p
g
V
z
p
g
V
γ
α
γ
α (1-21)
Cada sección transversal en función de su distribución de velocidades tiene un valor de α .
Es evidente que el uso de los coeficientes α y β depende de la exactitud con la que se
estén haciendo los cálculos. Ambos son siempre mayores que la unidad. En muchos casos
se justifica, considerar
1== βα (1-22)
Obsérvese que para la Figura 1.13 se cumple exactamente esta condición.
A medida que el grado de turbulencia es mayor, o sea para números de Reynolds altos, la
distribución de velocidades se hace más uniforme y es más cierta la suposición 1== βα .
En lo sucesivo y salvo que se indique lo contrario se considerará la ecuación 1-22.
Siempre se tendrá que βα > puesto que en la expresión de α VVh interviene al cubo
y en la expresión de β interviene al cuadrado.
En el flujo laminar, dado el fuerte gradiente de velocidades, los valores de α y β son
grandes. Se demuestra fácilmente que en una tubería con escurrimiento laminar

25
2=α
3
4
=β (1-23)
Para un canal muy ancho con fondo rugoso, se han obtenido las siguientes expresiones
para los valores de α y β
32
231 εεα −+= (1-24)
2
1 εβ += (1-25)
siendo
1−=
V
Vmax
ε (1-26)
expresión en la que maxV es el valor de la velocidad máxima.
Como hemos señalado anteriormente los valores de α y β dependen del tipo de curva
de distribución de velocidades, específicamente de la relación que existe entre la velocidad
máxima y la media tal como se expresa en las ecuaciones 1-24, 1-25 y 1-26.
Según estudios hechos por Kolupaila se pueden considerar los siguientes valores
aproximados de α y β
TABLA 1.1
VALORES APROXIMADOS DE α Y β (KOLUPAILA)
α β
Tipo de cauce
Min. Prom. Max. Min. Prom. Max.
Canales y acueductos 1,10 1,15 1,20 1,03 1,05 1,07
Ríos y torrentes 1,15 1,30 1,50 1,05 1,10 1,17
Ríos con áreas de inundación 1,50 1,75 2,00 1,17 1,25 1,33
1.13 Relación entre los coeficientes α y β
Considerando que la velocidad puntual hV correspondiente a la distancia h del contorno,
se puede expresar en función de la velocidad media de la siguiente manera

26
VVVh ∆+= (1-27)
siendo V∆ el exceso o defecto de la velocidad puntual sobre la media. Debe cumplirse
que
∫ =∆ 0VdA (1-28)
Para que esta última expresión sea evidente, consideremos que
∫= dAVQ h
Si reemplazamos el valor de la velocidad puntual se obtiene
∫ ∆+= dAVVQ )(
∫∆+= VdAVAQ
de donde se concluye que la integral es nula.
Para calcular el valor de α evaluaremos la integral
dA
V
V
A
h
3
1
∫ 





que es la ecuación 1-17.
dA
V
V
A
dA
V
VV
A
dA
V
V
A
h
333
1
111
∫∫∫ 




 ∆
+=




 ∆+
=





dA
V
V
V
V
V
V
A ∫ 












 ∆
+




 ∆
+




 ∆
+=
32
331
1
α
dA
V
V
A
dA
V
V
A
dA
V
V
A ∫∫∫ 




 ∆
+




 ∆
+




 ∆
+=
32
133
1α
Ahora vamos a analizar el segundo miembro. La primera integral no puede ser nula y es
siempre positiva. La segunda integral es siempre nula en virtud de la ecuación 1-28. La
tercera integral es generalmente muy pequeña y se desprecia, pues las diferencias con

27
respecto a la velocidad media están al cubo y tienden a compensarse entre los valores
positivos y negativos. Luego
dA
V
V
A ∫ 




 ∆
+=
2
3
1α (1-29)
Para calcular el valor β hacemos un desarrollo similar y evaluamos la integral que se
obtiene de la ecuación 1-19
dA
V
V
A
dA
V
V
A
dA
V
V
A
h
∫∫∫ 




 ∆
+




 ∆
+=





22
12
1
1
La primera integral del segundo miembro es evidentemente nula. Luego,
dA
V
V
A ∫ 




 ∆
+=
2
1
1β (1-30)
Eliminando la integral común a las ecuaciones 1-29 y 1-30 se obtiene la relación entre α
y β
( )131 −=− βα (1-31)
Expresión que evidentemente es aproximada.
1.14 Otros estudios sobre los coeficientes α y β
Strauss estudió el efecto de la forma de la sección transversal sobre los coeficientes α y
β . Consideró que la distribución vertical de velocidades se expresa por una ecuación del
tipo
n
h khV
1
= (1-32)
expresión en la que k y n son parámetros característicos de la curva. h es la distancia
al contorno. Esta ecuación expresa todas las distribuciones posibles de velocidad para
valores de n comprendidos entre 1 e infinito, de modo que para cualquier distribución

28
real de velocidades se puede encontrar un valor apropiado de n. El valor de k no tiene
ninguna influencia sobre los valores de α y β .
Combinando la ecuación 1-32 con un desarrollo basado en la consideración de tres factores
adimensionales descriptivos de la forma de la sección transversal Strauss obtuvo las
ecuaciones genéricas de α y β (ecuaciones 1-33 y 1-34)
Los factores adimensionales son
H
H1
=ξ
1B
B
=η
1
2
B
B
=ω
definidos de acuerdo al esquema de la Figura 1.18, que muestra la mitad de una sección
transversal cualquiera de un canal. Obsérvese que se incluye la posibilidad de que el talud
esta formado por dos pendientes diferentes.
H1
H
B
1B
B2
Figura 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss
Según la sección transversal se determinan los valores de ξ , η y ω con ayuda de la
Tabla 1.2.
Las conclusiones a las que llega Strauss son las siguientes
1. Para canales triangulares y rectangulares los valores de α y β son independientes
del tamaño de la sección. Su valor es una función exclusiva de la distribución de
velocidades.
2. Para canales trapeciales los valores de α y β están influenciados además de la
distribución de velocidades, por la relación η entre el ancho en el fondo B y el ancho
superficial 1B .

29
IntroducciónCapítuloI
( ) ( )
( )
3
121211
24
222
323233
32
2
1
119924
21
3
2
3
11132
















+−−−+







−+−++
−++−−+
















+−−−+







−+−++
=
++++
++++
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
nnn
nn
nn
ξ
ξ
ξηξξωξ
ωξηξωξηξξηξ
ξ
ξηξξωξ
α
Ecuación (1-33)
( ) ( )
( )
2
121211
22
22
2222222
22
2
1
114622
21
2
2
2
11132
















+−−++







−+−++
−++−−+
















+−−++







−+−++
=
++++
++++
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
nnn
nn
nn
ξ
ξ
ξηξξωξ
ωξηξωξηξξηξ
ξ
ξηξξωξ
β
Ecuación (1-34)

30
TABLA 1.2
FACTORES ADIMENSIONALES PARA LAS ECUACIONES DE STRAUSS
θ
Factores adimensionales
FORMASECCION
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
01 =H ; 21 BB = ; 1BB =
01 =H ; 0=B ; 21 BB =
01 =H ; 21 BB = ; 1BB <
HH <1 ; 1BB < ; 21 BB =
HH <1 ; 1BB = ; 12 BB >
HH <1 ; 0=B ; 21 BB =
HH <1 ; 0=B ; 21 BB <
HH <1 ; 1BB < ; 21 BB <
'3022ºtg==ηξ ; 21 BB =
θξ tg> ; θη tg= ; 21 BB =
H
H1
=ξ
1B
B
=η
1
2
B
B
=ω
0 1 1
0 0 1
0 10 <<η 1
10 << ξ 10 <<η 1
10 << ξ 1 1>ω
10 << ξ 0 1
10 << ξ 0 1>ω
10 << ξ 10 <<η 1>ω
0,4142 0,4142 1
1414,0 << ξ 0,4142 0,4142
Rectángulo
Triángulo
Trapecio
Trapecio + Rectángulo
Trapecio + Trapecio
Triángulo + Rectángulo
Triángulo + Trapecio
Trapecio + Trapecio
Semicírculo (sustituye al semioctógano)
Semicírculo + Rectángulo

31
3. Para canales de sección combinada (doble trapecio, trapecio más rectángulo, etc), los
valores de α y β dependen de la forma de la sección expresada a través de los
parámetros ξ , η y ω y de la distribución de velocidades en función de n.
4. De las secciones estudiadas se encuentra que los menores valores de α se presentan
para secciones rectangulares y los mayores para la sección triangular.
5. Teniendo en cuenta que en canales la distribución de velocidades es tal que puede
describirse con la ecuación 1-32, para valores de n comprendidos entre 2 y 4, se tiene
que los valores de α están comprendidos entre 1,12 y 1,50.
6. Valores experimentales para α obtenidos en el río Danubio llegan a 1,34 y en canales
con pequeña pendiente a 1,85.
Papasov y Botcheva estudiaron los valores de α y β en ríos de Bulgaria de fondo móvil
y determinaron sus valores para diversas descargas y pendientes. Aunque el estudio de
los lechos móviles corresponde a la Hidráulica Fluvial, damos una breve noticia sobre
estas investigaciones.
Los autores llegan a la conclusión que las deformaciones del fondo al alterar la distribución
de velocidades modifican los valores usuales de α y β . Después de estudiar tres ríos
búlgaros llegan a
97,4
056,01 





+=
V
Vmax
α
82,4
047,01 





+=
V
V xma
β
Ferrer y Fuentes estudiaron la variación del coeficiente β de Boussinesq en un canal de
gasto variable realizando experiencias en un canal de laboratorio en la Universidad de
Chile. Llegaron a la conclusión que para este caso
b
yc
29,01+=β
expresión en la que cy es el tirante crítico para el gasto total y b es el ancho del canal.

32
1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal
Como una ilustración de la extensión del teorema de Bernoulli a toda la corriente, se
presenta comparativamente en la Figura 1.19 el escurrimiento en una tubería y un canal.
Se ha considerado que fh es la energía perdida en el tramo considerado, con lo que en
realidad estamos usando la ecuación de la energía. El teorema de Bernoulli sólo es aplicable
para un fluido ideal. Se ha considerado que el coeficiente de Coriolis es 1.
En la Figura 1.19, L. E. significa línea de energía y L. P. línea piezométrica o de gradiente
hidráulica.
Ejemplo 1.1 Calcular el radio hidráulico y el tirante hidráulico para un canal de sección trapecial
cuyo ancho en la base es de 3 m. El tirante es de 0,80 m y el talud 0,5. (El talud es la inclinación de
los lados).
Solución.
0,5
1
= 3 mb
= 0,80 my
T
Ancho superficial 80,340,0200,3 =×+=T m
Perímetro mojado 79,4894,0200,3 =×+=P m
Area 72,2=A m2
Radio hidráulico 57,079,472,2 === PAR m
Tirante hidráulico 72,080,372,2 === TAd m
Ejemplo 1.2 Obtener los coeficientes α y β para un canal rectangular muy ancho, aceptando una
distribución vertical de velocidades dada por la siguiente ecuación
n
h khV
1
=
k es una constante, h es la distancia al contorno (ecuación 1-32).

33
2V 2
p
γ
2
2z
L. E.
hf
L. P.
2
V
g
1
2
p
γ
1
1z
L. P.
2
V1
z1
p
γ
V2
2
2z
L. E. hf
= y
y1
y2
p = 0
Plano de
referencia
Plano de
referencia
2g
2g
2g
1 2
Figura 1.19 Ecuación de la energía
(a) Tubería
(b) Canal
Ecuación de la energía:
fh
g
V
z
p
g
V
z
p
+++=++
22
2
2
2
2
2
1
1
1
γγ

34
Solución. Si aceptamos un ancho unitario se tendrá para el gasto específico la expresión
dhVdq h
=
reemplazando la velocidad,
dhkhdq n
1
=
El gasto es
∫= dhVq h
∫=
y
n
dhhkq
0
1
La velocidad media se obtiene dividiendo el gasto entre el área,
y
dhhk
y
q
V
y
n
∫== 0
1
Reemplazando en la ecuación 1-17
y
y
dhhk
dhhk
AV
dhV
y
n
y
n
h
3
0
1
0
3
3
3
3










==
∫
∫∫α
21
1
31
3
3
1
1
1
1
3
1
+





+−+












+
+
= nn
y
n
nα
De donde,
( )
( )nn
n
+
+
=
3
1
2
3
α
Haciendo un desarrollo similar se obtiene
( )
( )nn
n
+
+
=
2
1
2
β

35
Ejemplo 1.3 La distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho es la siguiente
h (m) hV (m/s)
0,05
0,10
0,30
0,50
0,70
0,90
1,06
1,24
1,52
1,65
1,73
1,80
El tirante es y = 0,95 m.
Calcular
a) el gasto específico q
b) la velocidad media V
c) gráficamente la distancia h del fondo a la que la velocidad es igual a la velocidad media.
d) el coeficiente α de Coriolis
e) el coeficiente β de Boussinesq
f) los valores de α y β aplicando las ecuaciones 1-24 y 1-25 y comparar con los resultados
anteriores.
g) el número de Reynolds (T = 18 °C)
Solución. En primer lugar dibujaremos en un papel milimetrado la curva de distribución de
velocidades
Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (medición)
1,52
0,125
0,075
0,20
1,06
1,24
h
0,20
0,20
0,15
1,73
1,65
(m)
1,80
V (m/s)
0,95 m

36
El gasto se obtiene aplicando la siguiente expresión
∑
=
=
∆=
yh
h
h
hVq
0
En el momento de dibujar la curva es necesario extrapolar ligeramente los valores recordando dos
conceptos fundamentales: en un canal muy ancho la velocidad máxima esta en la superficie y la
velocidad mínima siempre está en el fondo.
Dividimos luego la vertical en 6 partes, para cada una de las cuales suponemos un valor constante
de la velocidad. Mientras mayor sea el número de partes, mayor será la exactitud; pero a su vez para
que tenga sentido real la división en un número elevado de partes debe haber datos numerosos. Las
partes no tienen que ser necesariamente iguales.
a) Según la figura
15080120073120065120052112502410750061 ,,,,,,,,,,,,q ×+×+×+×+×+×=
48,1=q m3
/s/m
b) 56,1
95,0
48,1
====
y
q
A
q
V m/s
c) De la Figura 1.20 se obtiene h = 0,35 m
d) Para calcular α hacemos el siguiente cuadro
hV 3
hV A AVh .3
1,06
1,24
1,52
1,65
1,73
1,80
1,19
1,91
3,51
4,49
5,18
5,83
0,075
0,125
0,200
0,200
0,200
0,150
0,089
0,238
0,702
0,898
1,036
0,875
∑ AVh
3
= 3,838
06,1
95,056,1
838,3
3
=
×
=α α = 1,06

37
e) Para el cálculo de β hacemos un cuadro similar
hV 2
hV A AVh .2
1,06
1,24
1,52
1,65
1,73
1,80
1,12
1,54
2,31
2,72
2,99
3,24
0,075
0,125
0,200
0,200
0,200
0,150
0,084
0,192
0,462
0,545
0,599
0,486
∑ AVh
2
= 2,368
024,1
95,056,1
368,2
2
=
×
=β β = 1,02
f) para la aplicación de las fórmulas aproximadas, empezaremos por calcular el valor de ε para
lo que obtenemos del gráfico que, aproximadamente, la velocidad máxima es 1,80 m/s.
15,01
56,1
80,1
1 =−=−=
V
Vmax
ε
15,0=ε
0225,02
=ε
003375,03
=ε
061,1231 32
=−+= εεα 06,1=α
0225,11 2
=+= εβ 02,1=α
g) 18=T ºC; 6
10−
=ν m2
/s
6
6
10482,1
10
95,056,1
Re ×=
×
== −
ν
VR

38
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo I)
1. Demostrar a partir de la Figura 1.18 que el gasto teórico en un canal se puede expresar por
2
1
2
2
1
)(2






−
−∆
=
A
A
hyg
AQ f
En donde 1A y 2A representan las áreas de las secciones transversales respectivas. La diferencia
de cotas piezométricas es y∆ . La pérdida de energía entre 1 y 2 es fh .
2. Calcular el valor de β si α = 1,2
3. Demostrar que suponiendo una distribución lineal de velocidades en un canal se obtiene
α = 2 β = 4/3
4. Demostrar que en una tubería de diámetro D con régimen laminar, cuya ecuación de
distribución de velocidades es






−=
44
2
hDhgS
Vh
ν
siendo h la distancia al contorno, ν la viscosidad cinemática del fluido y S la pendiente de
la línea de energía; se cumple que
α = 2 β = 4/3
5. Demostrar que en una tubería cuyo radio es r y cuya distribución de velocidades es
7
1
231 





=
r
h
VVh ,
se cumple que α = 1,07. Hallar el valor de β .

39
6. Genéricamente la distribución de velocidades en una tubería de radio r se expresa por
n
maxh
r
h
VV
1






=
A medida que aumenta el número de Reynolds aumentan los valores de n . ¿Qué ocurrirá con
los valores de α ?
7. Un líquido fluye entre paredes paralelas. La ley de distribución de velocidades es
n
maxh
d
h
VV 





−= 1
La separación entre las placas es 2 d . La velocidad V está medida a la distancia h del eje.
Calcular los valores de α y β
8. Resolver el problema anterior para una tubería con la misma ley de distribución de velocidades.
9. En una tubería de radio or , por la que circula aceite, la distribución de velocidades es








−= 2
2
1
o
maxh
r
r
VV
r es la distancia del eje a la que la velocidad es hV
Hallar los valores de α y β
10. En una tubería AB fluye aceite. El diámetro se contrae gradualmente de 0,45 m en A a 0,30 m
en B. En B se bifurca. La tubería BC tiene 0,15 m de diámetro y la tubería BD 0,25 m de
diámetro. C y D descargan a la atmósfera. La velocidad media en A es 1,80 m/s y la velocidad
media en D es 3,60 m/s. Calcular el gasto en C y D y las velocidades en B y C.
11. En una tubería de 6" de diámetro fluye aceite de densidad relativa 0,8. La viscosidad es 1
poise. El gasto es de 200 l/s. Calcular el número de Reynolds.
12. Describir como varía el coeficiente de Coriolis con el número de Reynolds.
13. Una tubería horizontal AB de 0,40 m de diámetro conduce 300 l/s de agua (T = 20°C). La
presión en el punto A es de 5 Kg/cm2
y en el punto B es de 3,5 Kg/cm2
. La longitud de la
tubería es de 850 m. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número
de Reynolds.

40
14. Una tubería horizontal de 8" de diámetro y 500 m de largo conduce 100 l/s de aceite de
viscosidad 1 poise y peso específico relativo 0,8. La presión en el punto inicial es de 4 Kg/cm2
y en el punto final de 3 Kg/cm2
. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el
número de Reynolds.
15. Una tubería AB de 0,80 m de diámetro conduce 1 m3
/s de agua. La elevación del punto inicial A
es 25,8 m y su presión es de 5 Kg/cm2
. La elevación del punto final B es 20,2 m y su presión es de
2 Kg/cm2
. La longitud de la tubería es de 1 Km. La temperatura es de 20 °C. Dibujar la línea
piezométrica y la línea de energía. Calcular la presión de la tubería en el punto medio de la
distancia AB.
16. Una tubería tiene en su primer
tramo 6" de diámetro y una
velocidad de 3 m/s. El segundo
tramo tiene 8" de diámetro.
Calcular el gasto y la
velocidad en el segundo tramo.
17. Demostrar que en un estanque la energía por unidad de masa es constante para cualquier
punto.
18. Calcular para el ejemplo 1.3 cuál es la celeridad de una pequeña onda superficial que se forme
en el canal. ¿Podrá esta onda remontar la corriente?. Calcular el número de Froude e interpretar
los resultados (La celeridad ó velocidad relativa es gy ).
19. Un tubo cónico vertical tiene entre sus
extremos 1 y 2 una pérdida de carga fh ,
igual a
( )
g
VV
hf
2
250
2
21 −
= ,
1V es la velocidad en el punto 1, es igual a 6
m/s. La velocidad en el punto 2 es 2 m/s.
La longitud del tubo es de 8 m. La presión
en el punto 2 equivale a 10 m de agua.
Calcular la presión en Kg/cm2
en el punto 1.
20. Se tiene una línea de conducción cuya sección inicial tiene un diámetro de 8" y una presión de
2 Kg/cm2
. La sección final tiene un diámetro de 6", una presión de 1 Kg/cm2
y está 1,20 m por
encima de la sección inicial. Calcular la pérdida de energía fh , entre ambas secciones. El
fluido es petróleo crudo de peso específico relativo 0,93 y la temperatura es de 25°C.
8"6"
8 m
2
1
D1
D2

41
21. Una tubería vertical de sección variable
conduce agua. El diámetro en la parte
superior es de 12 cm y en la parte inferior
de 6 cm. La longitud es de 10 m. Cuando
el gasto es de 80 l/s la diferencia de presión
entre los manómetros instalados en las
secciones 1 y 2 es de 2,5 Kg/cm2
.
Determinar cual es el gasto que debería
pasar en esta tubería para que la diferencia
de presiones entre 1 y 2 sea cero.
Considerar que la perdida de carga fh
entre 1 y 2 es proporcional a la velocidad.
22. Las Figuras 1.10, 1.11, 1.12 y 1.13 presentan diferentes distribuciones de velocidad.
Ordenarlas según valores crecientes del coeficiente de Boussinesq.
23. Hacer un esquema que muestre la distribución vertical de velocidades en el eje del canal
cuya sección se muestra en la Figura 1.14.
24. Demostrar que para un canal triangular cuya distribución de velocidades está dada por la
ecuación 1-32 se cumple que
)992(4
)132(
24
32
++
++
=
nnn
nn
α
calcular el valor de α para n = 2. Comparar con las ecuaciones de Strauss.
25. Calcular el gasto en el sistema mostrado en la figura. El diámetro de la tubería es de 4". Las
pérdidas de energía en el sistema equivalen a gV 24 2
.
10 m
2
1
6 cm
12 cm
H = 10 m

42
26. Una tubería se estrecha de 12" en la sección 1 a 6" en la sección 2. La diferencia de presión
entre ambas secciones equivale a 20 cm de mercurio. La pérdida de energía entre 1 y 2 es de
gV 2150 2
1, . Calcular el gasto. ¿Cuál sería el gasto si se desprecian las pérdidas de carga?
27. La sección transversal de una tubería circular se ha dividido en 10 áreas iguales por medio de
círculos concéntricos. Se ha medido las velocidades medias en cada área, empezando por la
velocidad en el centro. Los resultados en m/s son: 1,71; 1,70; 1,68; 1,64; 1,58; 1,49; 1,38;
1,23; 1,02; 0,77. Calcular los valores de α y β . Si el diámetro fuese de 0,80 m calcular el
caudal.

43
Movimiento UniformeCapítulo II
2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías
El movimiento uniforme es el que se presenta más frecuentemente tanto en los cálculos de
tuberías como en los de canales.
En el capítulo anterior hemos señalado que cada punto de la corriente tiene su propia
velocidad. Esto significa que existe una distribución de velocidades en la sección transversal.
En este capítulo se establecerán las ecuaciones de distribución de velocidades y se obtendrá
por integración las expresiones correspondientes a la velocidad media.
En un canal con movimiento uniforme la profundidad y , el área A , la velocidad media V
y el gasto Q son constantes en todas las secciones y la línea de energía, la superficie libre
y el fondo son líneas paralelas, de modo que sus pendientes son iguales (Figura 2.1)
SSSS WE === 0 (2-1)
ES es la pendiente de la línea de energía
WS es la pendiente de la superficie libre
0S es la pendiente del fondo
Una de las condiciones para que se desarrolle un movimiento uniforme en un canal es que
la pendiente no sea excesivamente grande.
CAPITULO II
MOVIMIENTO UNIFORME

44
En la práctica es muy difícil encontrar un movimiento que sea estrictamente uniforme. En
muchos casos el flujo en canales y ríos se considera, desde el punto de vista del ingeniero,
como uniforme.
2
V
g2
SE
y
Sw
So
Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal
Si la pendiente de un canal es muy fuerte aparecen ondulaciones superficiales y el
movimiento deja de ser uniforme. En algunos casos las altas velocidades dan lugar a que
el agua atrape y arrastre partículas de aire, que constituyen el aire incorporado y que
alteran la uniformidad del escurrimiento.
En una tubería con movimiento uniforme el área, la velocidad y gasto son constantes en
todas las secciones y la línea de energía es paralela a la línea piezométrica (obsérvese
que estas líneas no son paralelas al eje de la tubería) (Figura 2.1). A la línea piezométrica
se le denomina también línea de gradiente hidráulica y se designa como WS . θ es el
ángulo formado por el eje de la tubería y el plano horizontal de referencia, p es la presión,
γ el peso específico del fluido, z la elevación con respecto al plano horizontal de referencia.
E es la energía total. Los subíndices se refieren a cada una de las dos secciones.
En una tubería se denomina ES , pendiente de la línea de energía, a la relación entre la
diferencia de energía entre dos secciones y la distancia entre las mismas, medida a lo
largo de la tubería.
L
h
L
EE
S
f
E
2121 −
=
−
= (2-2)

45
p
γ
2
2z
hf
2
V
g
2
p
γ
1
1z
S = SE
Sw
2 g
V 2
L
θ
1-2
E2
1E
1
2
1 2
Plano de
referencia
1
2
Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería
En el movimiento uniforme, por ser la velocidad constante, se considera como diferencia
de energía la correspondiente a la diferencia entre las cotas piezométricas. La línea de
energía y la línea piezométrica son paralelas.
SSS WE ==
L
z
p
z
p
S






+−





+
=
2
2
1
1
γγ (2-3)
El fluido en movimiento ejerce fricción sobre el contorno. Para la obtención de las ecuaciones
de distribución de velocidades se buscará, en primer lugar, establecer una relación entre el
esfuerzo de corte y la inclinación de la línea de energía. Luego, una relación entre la
velocidad y el esfuerzo de corte, para obtener finalmente, eliminando el corte, una función
que relacione la velocidad con la inclinación de la línea de energía. En este desarrollo se
sigue el método presentado por el Profesor Thijsse, en Delft (Holanda).
Todo el desarrollo de este capítulo se refiere al movimiento permanente y uniforme. En
este capítulo se considera que el coeficiente α de Coriolis es igual a 1.

46
2.2 Relación entre el corte y la inclinación
a) Canal muy ancho
En la Figura 2.3 se representa el perfil longitudinal de un canal muy ancho con movimiento
uniforme.
Recordemos que en el movimiento uniforme las tres pendientes son iguales y se designan
con la letra S (ecuación 2-1). F es la componente del peso, de la parte achurada, en la
dirección del escurrimiento, h es la distancia variable entre el fondo y la parte inferior de
la porción achurada, cuya longitud es s∆ .
Como es un canal muy ancho consideramos el escurrimiento por unidad de ancho (medido
perpendicularmente al plano del dibujo).
Para el elemento fluido achurado se tiene que su volumen es
shy ∆− )(
y su peso es
shyg ∆− )(ρ
El producto de la densidad ρ por la aceleración g de la gravedad es igual al peso
específico γ .
Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho
2
V
g2
SE
y
Sw
So
θ
∆ s
h
τh
F

47
La componente del peso en la dirección del escurrimiento es
shyg ∆− )(ρ θsen
Como el ángulo θ , formado por el fondo y un plano horizontal de referencia, es pequeño
se considera que Ssen =θ luego,
shyg ∆− )(ρ S
En el movimiento uniforme no hay aceleración. La distribución de presiones es hidrostática.
Las fuerzas debidas a la presión se compensan y la componente del peso en la dirección
del escurrimiento debe ser equilibrada por el corte total, que es el producto del esfuerzo
unitario de corte hτ por el área en que actúa
sShygsh ∆−=∆ )(ρτ
De donde, la relación entre el corte y la inclinación es
Shyh )( −= γτ (2-4)
El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para h=0
Syo γτ = (2-5)
Como en un canal muy ancho el tirante es igual al radio hidráulico
SRo γτ = (2-6)
Se llega así a la conclusión que el esfuerzo de corte sobre el fondo es igual al producto del
peso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la pendiente (de la línea de energía).
b) Canal de cualquier sección transversal
El caso anterior es hipotético pues corresponde a un canal de ancho infinito. En la práctica
los canales son rectangulares, trapeciales, circulares, etc. Todas estas formas diversas se
esquematizan en la Figura 2.4.
Se muestra en la figura dos secciones de un canal, ubicadas a una distancia s∆ . Para las
mismas condiciones anteriores se tiene que la componente del peso de la masa fluida, en
la dirección del escurrimiento es
sSAg ∆ρ

48
ρ es la densidad del fluido, g la aceleración de la gravedad, A la sección transversal,
S la pendiente.
Esta fuerza debe ser equilibrada por el corte total (en este caso el esfuerzo de corte sobre
el fondo no es constante), que tiene por expresión
sdP
P
∆




∫ 0τ
P es el perímetro mojado, 0τ es el esfuerzo de corte sobre el fondo.
o bien, aproximadamente
sP ∆0τ
Igualando la componente del peso y el corte total se obtiene
S
P
A
gρτ =0
o bien,
RSγτ =0 (2-7)
Observamos que las ecuaciones 2-6 y 2-7 son iguales. Esto significa que el esfuerzo medio
de corte sobre el fondo en un canal es igual al producto del peso específico del fluido, por
el radio hidráulico y por la inclinación de la línea de energía.
Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal
A
∆s
τo
P

49
c) Tubería de sección circular
En la Figura 2.5 se muestra un corte longitudinal en una tubería de sección circular de
diámetro D .
Consideremos el cilindro coaxial mostrado en la figura. θ es el ángulo que forma el eje de
la tubería con la horizontal.
La fuerza debida al corte (fricción) es igual a la fuerza debida a la diferencia de presiones.
La fuerza debida al corte es
sh
D
h ∆





−
2
2πτ
expresión en la que hτ es el esfuerzo de corte a la distancia h del contorno (en este caso,
de la pared de la tubería).
La fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso es
∆s senθh
D
h
D
pp
22
21
22
)( 





−+





−− πγπ
Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería
p
γ
2
p
γ
1
SE
Sw
2 g
V 2
θ
D
s∆
1p
p2
h
h

50
operando,






∆+−





− s senθ
pp
h
D
γγ
γπ 21
2
2
pero,
21 zz∆s senθ −=
luego,












+−





+





− 2
2
1
1
2
2
z
p
z
p
h
D
γγ
γπ
teniendo en cuenta que,
Ssz
p
z
p
∆=





+−





+ 2
2
1
1
γγ
se obtiene para la fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso
Ssh
D
∆





−
2
2
γπ
que debe ser igual a la fuerza de corte,
Ssh
D
sh
D
h ∆





−=∆





−
2
22
2 γππτ
de donde, la relación entre el corte y la inclinación es
S
hD
h 





−=
24
γτ (2-8)
El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para 0=h
S
D
o
4
γτ =
pero la expresión 4D representa el radio hidráulico de la tubería circular. Luego,
RSo γτ = (2-9)

51
Para una tubería de cualquier sección transversal se obtiene mediante consideraciones
análogas
RSγτ =0
En resumen, tanto para canales como para tuberías el corte medio sobre el fondo es
RSγτ =0 (2-10)
Obsérvese que esta ecuación es válida tanto para el flujo laminar como para el turbulento.
Examinemos brevemente la distribución transversal del esfuerzo de corte.
La distribución del esfuerzo de corte en un canal es lineal: máximo en el fondo y nulo en la
superficie.
En una tubería el esfuerzo de corte es máximo en las paredes y nulo en el centro y
corresponde a la ecuación 2-11 en la que r es el radio de la tubería.
Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y (b) en una tubería
D
hτ
h
τo
oτ
h
τo
hτ
(a)
(b)

52
La ecuación de distribución de corte es






−=
r
h
oh 1ττ (2-11)
que se obtiene combinando las expresiones 2-8 y 2-9.
Se observa que si 2Drh == (eje de la tubería), entonces .0=hτ Si 0=h se tiene que
0ττ =h (contorno).
2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media
para un canal muy ancho con movimiento laminar
En un canal como el presentado en la Figura 2.7 se tiene que a una distancia h del
contorno existe un valor de la velocidad ( hV ) y un valor del corte ( hτ ). La relación entre
hV y hτ depende de que el flujo sea laminar o turbulento.
Para el flujo laminar la relación entre el esfuerzo de corte y la velocidad es muy conocida
y corresponde a la definición de viscosidad.
dh
dVh
h µτ = (2-12)
Combinando esta ecuación con la 2-4,
dh
dV
Shy h
µγ =− )(
dividiendo por ρ ,
dh
dV
Shyg h
ν=− )(
separando variables,
( )dhhy
gS
dVh −=
ν
e integrando, se obtiene
K
h
yh
gS
Vh +





−=
2
2
ν

53
Expresión en la que hV es la velocidad a la distancia h del fondo, S es la pendiente de la
línea de energía, ν es la viscosidad cinemática, y es el tirante, K es una constante de
integración.
El valor de la constante de integración se obtiene para la condición que la velocidad es
nula en el contorno ( 0=h ; 0=hV ; 0=K ), luego,






−=
2
2
h
yh
gS
Vh
ν (2-13)
que es la ecuación de distribución de velocidades en un canal muy ancho con flujo laminar.
Es una curva parabólica.
La velocidad máxima corresponde a la superficie ( yh = )
2
2
y
gS
Vmax
ν
= (2-14)
La velocidad media se puede obtener a partir del gasto, calculado por integración de la
ecuación de distribución de velocidades. Sin embargo, como la curva de distribución es
parabólica se puede obtener la velocidad media por simple aplicación de las propiedades
geométricas de la parábola.
Según la Figura 2.7
yVq max
3
2
=
Figura 2.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar
V
y
max
Parábola
h
hV
dh dq

54
Puesto que el área de la parábola es igual a los 2/3 del rectángulo circunscrito. q es el
gasto específico (por unidad de ancho).
Pero también se tiene que,
Vyq =
Luego,
maxVV
3
2
=
2
23
2
y
gS
V
ν
=
ν3
2
gSy
V = (2-15)
Que es la fórmula para el cálculo de la velocidad media en un canal con flujo laminar y que
evidentemente equivale a
ν3
2
gSR
V = (2-15)
Obsérvese que en el movimiento laminar la velocidad es proporcional a la primera potencia
de la pendiente.
En la Figura 2.7 se observa que la velocidad superficial corresponde a la condición
0=
dh
dVh
Evidentemente que también puede hacerse el cálculo por integración.
∫
=
=
=
yh
h
hdhVq
0
calculado q se obtiene por división entre el área y , el valor de la velocidad media, que es
el de la ecuación 2-15.

55
2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media
para una tubería con movimiento laminar
Combinado las ecuaciones 2-8 y 2-12 se obtiene
S
hD
dh
dVh






−=
24
γµ
de donde, luego de separar variables e integrar, se llega a
K
hDhgS
Vh +





−=
44
2
ν
El valor de la constante de integración se obtiene para las condiciones del contorno ( 0=h ;
0=hV ; 0=K ). Luego,






−=
44
2
hDhgS
Vh
ν (2-16)
que es la ecuación de distribución de velocidades para una tubería con movimiento laminar.
La velocidad máxima se presenta en el eje y corresponde a 4Dh =
16
2
DgS
Vmax
ν
= (2-17)
La velocidad media puede obtenerse por integración de la ecuación 2-16, pero en este
caso aplicamos la propiedad geométrica que dice que el volumen de un paraboloide es la
mitad del cilindro circunscrito.
Luego,
maxVV
2
1
=
En una tubería con flujo laminar la velocidad media es igual a la mitad de la velocidad
máxima; es decir,
32
2
DgS
V
ν
= (2-18)

56
que es la conocida ecuación de Hagen - Poiseuille. Si expresamos esta ecuación en función
del radio hidráulico, tenemos
2
2
R
gS
V
ν
= (2-19)
expresión que es muy parecida a la ecuación 2-15, que fue establecida para un canal. En
un caso el denominador es 2 y en otro 3. Podríamos concluir que cualquier otra sección
transversal intermedia entre los dos casos extremos estudiados (canal muy ancho y tubería
circular) debe tener en el denominador un valor comprendido entre 2 y 3.
ν)32(
2
á
gSR
V =
La velocidad media también podría haberse obtenido por la integración de la ecuación 2-16
∫
=
=






−=
2/
0 2
2
Dh
h
h dhh
D
VQ π
de donde,
ν
π
128
4
SDg
Q =
y,
4/2
D
Q
A
Q
V
π
==
obteniéndose el valor de la ecuación 2-18
Mediante sencillas transformaciones de la ecuación 2-18 se obtiene que la diferencia de
cotas piezométricas separadas por la longitud L a lo largo de la tubería es
2
32
D
VL
γ
µ
(2-19a)
Ejemplo 2.1 Se bombea petróleo crudo en una tubería horizontal de 6 cm de diámetro. El gasto es
de 25 litros por minuto. Se ha verificado que entre dos manómetros colocados en la tubería a una
distancia de 1 000 m hay una diferencia de presión de 0,103 Kg/cm2
. Calcular la viscosidad del
petróleo. Determinar aproximadamente y con ayuda de la Figura 1.8 cual sería la variación en el
gasto si la temperatura disminuye a 0 ºC. Considerar que la diferencia de presiones permanece
constante.

57
Solución. Por ser una tubería horizontal en la que supondremos un régimen laminar,
221
32
D
VL
pp
µ
=− (2-19a)
1p y 2p son las presiones en las dos secciones de la tubería.
21 pp − = 0,103 kg/cm2
= 1030 kg/m2
Q = 25 l/min = 0,000417 m3
/s
4
2
D
A
π
= = 0,00283 m2
A
Q
V = = 0,147 m/s
Luego,
4
1036
0001147032
0301 −
×
××
=
,µ
De donde,
µ = 7,9 x 10-4
kg-s/m2
Ahora debemos verificar el número de Reynolds para comprobar que el flujo es laminar. La viscosidad
dinámica que hemos obtenido corresponde, según la Figura 1.8, a un petróleo crudo cuya densidad
relativa es 0,86. Luego,
ν = 9 x 10-6
m2
/s
980
109
0601470
Re 6
=
×
×
== −
,,VD
ν
El flujo es, pues, efectivamente laminar y corresponde a una temperatura de 20 ºC (aprox.)
Si la temperatura disminuye a 0 ºC, entonces
µ = 1,6 x 10-3
kg-s/m2
Aplicando nuevamente la ecuación 2-19a
4
3
1036
0001106132
0301 −
−
×
××××
=
, V
Se obtiene,
V = 0,0724 m/s
que es la nueva velocidad media al disminuir la temperatura (y aumentar la viscosidad).

58
El nuevo gasto es
Q = 12,3 l/min
La reducción es de 12,7 l/min, que representa el 50,8 %
Ejemplo 2.2 Demostrar que en un canal con flujo laminar se puede calcular la velocidad media
promediando las velocidades a 0,2 y 0,8 del tirante.
Solución. Partimos de la ecuación 2-13, que nos da la distribución de velocidades en un canal con
flujo laminar






−=
2
2
h
yh
gS
Vh
ν
Luego aplicamos esta ecuación a los dos tirantes mencionados
2
2
2
8,0 48,0
2
64,0
8,0 y
gSy
y
gS
V
νν
=





−=
2
2,0 18,0 y
gS
V
ν
=
El promedio de estos dos valores es
2
33,0 y
gS
ν
, expresión que es prácticamente igual a la ecuación
2-15 que nos da la velocidad media en un canal con flujo laminar
2
3
y
gS
V
ν
=
Ejemplo 2.3 Se bombea aceite a razón de 14 l/s en una tubería de 10 cm de diámetro. La densidad
relativa del aceite es 0,92 y la viscosidad es 0,01 kg-s/m2
. ¿Cuál será la diferencia entre las lecturas
de los manómetros de los puntos A y B mostrados en la figura?. ¿Cuál es la velocidad máxima que
se presenta en la tubería?
0,8 y
0,2 y
300 m
A
B
3 m

59
Solución. Supongamos que el flujo es laminar (ecuación 2-19)
ν2
2
gSR
V =
Para aplicar esta ecuación tenemos los siguientes datos
A
Q
V = = 1,78 m/s
ν = 1,07 x 10-4
m2
/s
Luego,
ν
VD
=Re = 1 664
con lo que se confirma que el flujo es laminar. Despejamos ahora la pendiente S
2
2
R
V
S
γ
µ
= = 0,0619
o bien,
L
hf
= 0,0619 fh = 0,0619 x 300 = 18,57 m
La diferencia de cotas piezométricas es, pues, de 18,57 m. Como la diferencia de elevaciones es de
3 m se concluye que la diferencia de presiones debe equivaler a 15,57 m Luego,
p∆ = 920 x 15,57 x 10-4
= 1,43 kg/cm2
La velocidad máxima, según la ecuación 2-17, es
16
2
DgS
Vmax
ν
=
maxV = 3,55 m/s
Valor que efectivamente corresponde al doble de la velocidad media (como debe ser en el régimen
laminar).
Ejemplo 2.4 Demostrar que en una tubería circular con flujo laminar se cumple que,
dx
dp
r
dr
dV
r
dr
d h
µ
1
=





expresión en la que hV es la velocidad a la distancia r del eje x , µ es la viscosidad dinámica y
dx
dp
es el gradiente de presiones.

60
Luego, integrando la expresión anterior, demostrar que si se desarrolla un flujo laminar en el espacio
comprendido entre dos tuberías concéntricas de radios 1r y 2r , entonces la velocidad máxima se
presenta al radio r
a
a
rr
ln2
12
1
−
=
1
2
r
r
a =
Solución. Consideremos un elemento anular de espesor dr , ubicado al radio r y cuya velocidad es
hV . Consideremos también, longitudinalmente, una distancia x∆ , en cuyos extremos hay presiones
1p y 2p cuya diferencia es p∆ . Se cumple así que,
dx
dp
xp ∆=∆
La fuerza debida a la diferencia de presiones es igual al área del anillo por la diferencia de presiones
dx
dp
xrdr ∆π2 (1)
La fuerza de corte sobre el anillo es igual a su área por el esfuerzo de corte
hxr τπ ∆2
o bien,
dr
dV
xr h
µπ ∆2
Como el flujo es laminar se ha introducido la ec. 2-12.
La variación de la fuerza de corte con el radio r es






∆
dr
dV
r
dr
d
x h
µπ2
1
rr2r1
dr
r
r2
∆ x
r1
r2

61
y la fuerza total sobre el anillo se obtiene multiplicando esta expresión por dr
dr
dr
dV
r
dr
d
x h






∆πµ2 (2)
Las ecuaciones 1 y 2 deben ser iguales
dr
dr
dV
r
dr
d
x
dx
dp
xrdr h






∆=∆ πµπ 22
de donde,
dx
dp
r
dr
dV
r
dr
d h
µ
1
=





Integrando dos veces la ecuación obtenida se encuentra la velocidad hV
A
dx
dpr
dr
dV
r h
+=
µ2
2
r
A
dx
dpr
dr
dVh
+=
µ2
BrA
dx
dpr
Vh
++= ln
4
2
µ
Por condición de contorno se obtiene dos ecuaciones
Si 1rr = , entonces 0=hV
Si 2rr = , entonces 0=hV
dx
dpr
BrA
µ4
ln
2
1
1
−=+
dx
dpr
BrA
µ4
ln
2
2
2
−=+
de donde,
dx
dprr
rrA
µ4
)ln(ln
2
2
2
1
12
−
=−
1
2
2
2
2
1
ln
1
4
r
rdx
dprr
A
µ
−
=
La velocidad es máxima cuando 0=
dr
dVh

62
0
2
=+=
r
A
dx
dpr
dr
dVh
µ
0
ln
1
42
1
2
2
2
2
1
2
=
−
+
r
rdx
dprr
dx
dpr
µµ
1
2
2
1
2
2
2
12
ln
1
1
2
r
rr
rr
r 





−=
obteniéndose finalmente
a
a
rr
ln2
12
1
−
= siendo
1
2
r
r
a =
movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso
El desarrollo que se presenta a continuación corresponde al expuesto por el profesor Thijsse,
en Delft.
La determinación de la distribución de velocidades en el flujo laminar se hace, como lo
hemos visto, recurriendo únicamente a consideraciones teóricas.
Para hallar las ecuaciones correspondientes en el movimiento turbulento habrá que recurrir
además a información experimental.
Así pues, las ecuaciones de distribución de velocidades en el flujo turbulento se calculan
en base a estudios teóricos y experimentales de algunos investigadores hidráulicos, entre
los que los más importantes son Prandtl, von Karman y Nikuradse.
Para obtener la ecuación de distribución de velocidades debemos establecer previamente
una relación entre el corte y la velocidad.
Partiendo de la expresión de Reynolds, que nos da la tensión tangencial adicional presente
en el flujo turbulento y que es
''Vuh ρτ =
'u y 'V son las fluctuaciones de la velocidad en un punto (flujo bidimensional), ρ es la
densidad del fluido.
Prandtl introduce una longitud característica L , a la que llama longitud de mezcla. Esta
longitud representa la distancia media que tiene que recorrer una partícula para transferir o

63
perder su exceso de cantidad de movimiento. Este concepto de longitud de mezcla es
análogo al de recorrido libre medio de la teoría cinética de los gases.
Prandtl consideró que
'u es proporcional a
dh
dVh
o
o
o
dh
dV
Lu h
='
'V es proporcional a
dh
dVh
o
o
o
dh
dV
LV h
='
y por lo tanto,
2
2






=
dh
dV
L h
h ρτ (2-20)
expresión para el flujo turbulento, que consideramos correspondiente a la ecuación 2-12,
que es para el flujo laminar.
De la ecuación 2-20 obtenemos
dh
dV
L hh
=
ρ
τ
(2-21)
Examinaremos a continuación lo que ocurre en un canal y en una tubería.
a) Canal muy ancho
Debemos establecer para este caso una relación entre L y la profundidad. La condición es
que la longitud de mezcla debe ser cero tanto en el fondo como en la superficie. Esto
puede expresarse por medio de
2
1
1 





−=
y
h
hL κ (2-22)
κ es la constante de Karman, para la que aceptamos el valor de 0,4 (sin sólidos en
suspensión).
Reemplazando este valor de la longitud de mezcla en la ecuación 2-21, obtenemos
dh
dV
y
h
h hh
2
1
1 





−= κ
ρ
τ

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