Calculo I - Notas de Aula Sobre Números Reais e Funções

C´lculo I
a
Notas de aulas

Andr´ Arbex Hallack
e

Setembro/2009

´
Indice

1 N´meros reais
u 1

1.1 N´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 1

1.2 Rela¸õ de ordem em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 3

1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Fun¸˜es
co 13

2.1 Defini¸õ e elementos b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca a 13

2.2 Constru¸õ de fun¸˜es a partir de outras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca co 18

2.3 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Inversõ de fun¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a co 27

2.5 Fun¸˜es exponenciais e logar´
co ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6 Fun¸˜es trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
co e 33

2.7 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Limite de uma fun¸õ e Continuidade
ca 47

3.1 Motiva¸õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 47

3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 Teoremas para (ajudar no) c´lculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 53

3.4 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

i

4 Derivada 69
4.1 A defini¸õ da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 69
4.2 Derivadas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Regras de deriva¸õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 75
4.5 Deriva¸õ impl´
ca ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5 Aplica¸˜es da Derivada
co 93
5.1 Acr´scimos e diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 93
5.2 A Derivada como razõ de varia¸õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a ca 99
5.3 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5 Concavidade e pontos de inflexõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
a
5.6 Aplica¸˜es em problemas de m´ximos e/ou m´
co a ınimos . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.7 Aplica¸˜es em esbo¸os de gr´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
co c a
5.8 Apˆndice A : Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
e
5.9 Apˆndice B : Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
e
5.10 Apˆndice C : Formas indeterminadas
e
e a Regra de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.11 Apˆndice D: Aproxima¸˜es via
e co
Polinˆmios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
o

Referˆncias
e 147

Cap´
ıtulo 1

N´ meros reais
u

1.1 N´ meros reais
u

Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos n´meros reais, os
u
quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a “reta real”:

Vejamos agora alguns conjuntos de n´meros reais nessa identifica¸õ:
u ca

IN = { 1, 2, 3, . . . } (n´meros naturais) ⊂ IR
u
∩
Z = { . . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } (n´meros inteiros) ⊂ IR
u
∩
Q = { p/q ; p, q ∈ Z , q = 0 } (n´meros racionais) ⊂ IR
u

Temos ainda n´meros reais que nõ sõ racionais. Sõ os chamados n´meros irracionais.
u a a a u
Alguns exemplos:

(A) Consideremos um triˆngulo retˆngulo cujos catetos medem 1:
a a

Do Teorema de Pit´goras, temos a2 = b2 + c2 = 2 .
a
√ √
Portanto a = 2 (e 2 nõ ´ racional).
a e

1

2 CAP´
ITULO 1

(B) Outro n´mero irracional famoso:
u

FATO: A raz˜o entre o comprimento e o diˆmetro de qualquer circunferˆncia ´ constante.
a a e e
Essa raz˜o ´ um n´mero chamado π .
a e u
Assim, se C ´ qualquer circunferˆncia, l o seu comprimento e r seu raio, temos:
e e
l
=π
2r

π ´ um n´mero irracional ( π ≈ 3, 141592 )
e u

Obs.: Existem muito mais n´meros irracionais do que racionais !
u

Opera¸˜es b´sicas em IR
co a

Existem em IR duas opera¸˜es b´sicas:
co a

¸˜
ADICAO: a ∈ IR, b ∈ IR −→ a + b ∈ IR (soma)

¸˜
MULTIPLICACAO: a ∈ IR, b ∈ IR −→ a · b ∈ IR (produto)

Essas opera¸˜es possuem as seguintes propriedades:
co

COMUTATIVIDADE: a+b = b+a quaisquer que sejam a, b ∈ IR.
a·b = b·a

ASSOCIATIVIDADE: a + (b + c) = (a + b) + c quaisquer que sejam a, b e c ∈ IR.
a · (b · c) = (a · b) · c

ˆ
EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a+0 = a para todo a ∈ IR.
a·1 = a

ˆ
EXISTENCIA DE INVERSOS:
Todo a ∈ IR possui um INVERSO ADITIVO (−a) ∈ IR tal que a + (−a) = 0 .
Todo a = 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a−1 ∈ IR tal que a · a−1 = 1 .

DISTRIBUTIVIDADE: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) para todos a, b e c ∈ IR .

N´meros reais
u 3

Obs.: O n´mero 0 ´ o unico elemento neutro para a adi¸õ e o n´mero 1 ´ o unico elemento
u e ´ ca u e ´
neutro para a multiplica¸õ.
ca

Conseq¨ˆncias: (das propriedades)
ue
1) Duas novas opera¸˜es:
co
Subtra¸õ: Dados a, b ∈ IR, definimos: a − b = a + (−b) ;
ca
a
Divisõ: Dados a, b ∈ IR, com b = 0, definimos:
a = a · b−1 .
b
2) a · 0 = 0 para todo a ∈ IR .

3) Se a · b = 0 , entõ a = 0 ou b = 0 .
a

4) Cada a ∈ IR possui um unico inverso aditivo −a ∈ IR.
´
Cada a = 0 em IR possui um unico inverso multiplicativo a−1 ∈ IR .
´

5) −a = (−1) · a para todo a ∈ IR.
1
6) a−1 = para todo a = 0 em IR.
a
7) Para todos a, b ∈ IR , temos: a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b .
8) Se a2 = b2 entõ a = ±b .
a

Exerc´
ıcio: Tente provar as consequˆncias de 2) a 8) acima.
e

1.2 Rela¸õ de ordem em IR
ca

Podemos decompor a reta IR como uma uniõ disjunta IR = IR+ ∪ IR− ∪ { 0} :
a

IR+ ´ o conjunto dos n´meros reais POSITIVOS;
e u
IR− ´ o conjunto dos n´meros reais NEGATIVOS.
e u
De modo que:
• Dado a ∈ IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas:

ou a ∈ IR+ ou a = 0 ou a ∈ IR−

4 CAP´
ITULO 1

• a ∈ IR+ ⇔ −a ∈ IR− ;
• A soma de dois n´meros positivos ´ um n´mero positivo.
u e u
O produto de dois n´meros positivos ´ um n´mero positivo.
u e u

Exerc´ıcio: Prove que:
a) A soma de dois n´meros negativos ´ um n´mero negativo;
u e u
b) O produto de dois n´meros negativos ´ um n´mero positivo;
u e u
c) O produto de um n´mero positivo por um n´mero negativo ´ um n´mero negativo.
u u e u

Dados n´meros reais a e b, escrevemos a a ) e dizemos que a ´ menor do que
u e
b (ou b ´ maior do que a ) quando b − a ∈ IR+ , ou seja, b − a ´ um n´mero positivo:
e e u

Obs.: Escrevemos a ≤ b e dizemos que a ´ menor ou igual a b quando a 0 .

2) Se a b .
a

4) Se a 0 ⇒ a·c < b·c
c<0 ⇒ a·c > b·c

6) Se a 0 ent˜o
a >0.
a
1 1
9) Se 0 < a < b ent˜o 0 <
a < .
b a

N´meros reais
u 5

Intervalos: Dados n´meros reais a a }

[a, +∞) = { x ∈ IR ; x ≥ a }

(−∞, b) = { x ∈ IR ; x < b }

(−∞, b] = { x ∈ IR ; x ≤ b }

(−∞, +∞) = IR

• Aten¸õ: +∞ e −∞ nõ sõ n´ meros reais ! Sõ apenas s´
ca a a u a ımbolos !

Exemplo: Encontre os n´meros reais que satisfa¸am as desigualdades abaixo e fa¸a a
u c c
representa¸ao gr´fica na reta real:
c˜ a
(a) 2 + 3x < 5x + 8

(b) 4 < 3x − 2 ≤ 10

6 CAP´
ITULO 1

7
(c) > 2, x = 0
x

x
(d) < 4, x = 3
x−3

(e) (x + 1)(x + 5) > 0

Conjuntos limitados:
Um subconjunto X ⊂ IR ´ dito LIMITADO quando existem n´meros reais a e b tais
e u
que, para todo x ∈ X tem-se a ≤ x ≤ b . Isto significa que X ⊂ [a, b] , com a, b ∈ IR .
Um conjunto ´ dito ILIMITADO quando ele nõ ´ limitado. (Exemplos)
e a e

Observa¸˜es:
co
(A) Todo conjunto finito ´ limitado.
e

˜
(B) CUIDADO ! NAO CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO !
Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.

N´meros reais
u 7

˜ ´
(C) FATO: O conjunto IN = { 1, 2, 3, 4, . . .} dos n´meros naturais NAO E limitado.
u
Conseq¨ˆncias importantes deste fato:
ue
(C.1) Propriedade arquimediana: Dados n´meros reais a e b , com a > 0 , ´ poss´ obter
u e ıvel
um n´mero natural n ∈ IN tal que n · a > b .
u
⇓
(C.2) Densidade dos racionais: Dados dois n´meros reais a e b quaisquer, com a < b , ´
u e
poss´ obter um n´mero RACIONAL r = p/q ∈ Q (p, q ∈ Z, q = 0) tal que a < r < b
ıvel u
(por menor que seja a distˆncia entre a e b ).
a

A “densidade dos racionais” nos permite concluir que, dado qualquer n´mero real x
u
(mesmo irracional), ´ poss´ obter uma seq¨ˆncia de n´meros RACIONAIS que se aproximam
e ıvel ue u
de x tanto quanto quisermos !!!
Exemplos:
1) π = 3, 141592 . . .
31 314 3141 31415
3 3, 1 = 3, 14 = 3, 141 = 3, 1415 = ... −→ π
10 100 1000 10000

2) Tome um n´mero racional r1 > 0 e considere:
u

1 3 2
r2 = r1 + ∈ Q (r2 > 0 , r2 > 3 )
2 r1
↓
1 3 2
r3 = r2 + ∈ Q (r2 ≥ r3 > 0 , r3 > 3 )
2 r2
↓
1 3 2
r4 = r3 + ∈ Q (r2 ≥ r3 ≥ r4 > 0 , r4 > 3 )
2 r3
↓
.
.
.
↓
1 3 2
rn+1 = rn + ∈ Q (rn ≥ rn+1 > 0 , rn+1 > 3 )
2 rn
↓
.
.
.
Esta seq¨ˆncia de racionais (r1 , r2 , r3 , . . . ) se aproxima (cada vez mais) de um certo
ue
n´mero real. Qual ?
u
Tente generalizar esse processo !

8 CAP´
ITULO 1

1.3 Valor absoluto
´
Dado qualquer n´mero real x , definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MODULO
u
DE x ) da seguinte forma:
x se x ≥ 0
|x| =
−x se x < 0

Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um n´mero real x ´ a distˆncia de x at´
u e a e
o 0 (zero). (Exemplos)

Obs.: Sõ imediatos da defini¸õ:
a ca
|x| ≥ 0 para todo x ∈ IR ;
|x| = 0 se, e somente se (⇔), x = 0 .

Propriedades:
1) Para todo x ∈ IR temos |x| = max {x, −x} (o maior dos dois valores).

2) Para todo x ∈ IR temos |x|2 = x2 .

3) |a · b| = |a| · |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .

1 1
Exerc´
ıcio: Se b = 0 em IR, mostre que = .
b |b|
a |a|
Conclua que se a, b ∈ IR com b = 0 entõ
a = .
b |b|

N´meros reais
u 9

4) |a + b| ≤ |a| + |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .

ıcio: Mostre que |a − b| ≥ | |a| − |b| | ≥ |a| − |b| , para todos a, b ∈ IR .
Exerc´

5) Seja c > 0 :
|x| ≤ c ⇔ −c ≤ x ≤ c

|x| ≥ c ⇔ x ≤ −c ou x ≥ c

Exemplos:
1) Resolva as seguintes equa¸˜es:
co
(a) |3x + 2| = 5

(b) |2x − 1| = |4x + 3|

(c) |5x + 4| = −3

10 CAP´
ITULO 1

(d) |x| + 2 |x − 2| = 1 + 4x

2) Encontre os n´meros reais que satisfa¸am as seguintes desigualdades:
u c
(a) |x − 5| < 4

N´meros reais
u 11

3 − 2x
(b) ≤ 4 , x = −2
2+x

(c) |3x + 2| > 5

12 CAP´
ITULO 1

1.4 Exerc´
ıcios

P´ginas 10 e 11 da referˆncia bibliogr´ﬁca [1].
a e a

Cap´
ıtulo 2

Fun¸oes
c˜

2.1 Defini¸õ e elementos b´sicos
ca a

Defini¸õ 2.1. Uma fun¸õ f : X → Y ´ constitu´ de:
ca ca e ıda
´
(a) Um conjunto X, nõ-vazio, chamado o DOMINIO da fun¸õ (onde a fun¸õ est´ definida)
a ca ca a
a ´
(b) Um conjunto Y , nõ-vazio, chamado o CONTRA-DOMINIO da fun¸õ (onde f “toma os
ca
valores”)
(c) Uma correspondˆncia que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x ∈ X
e
´
um UNICO elemento f (x) = y ∈ Y .

Obs.: Estaremos interessados em estudar fun¸˜es tais que X e Y sõ conjuntos de n´meros
co a u
reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante.

• Imagem: Dada uma fun¸õ f : X → Y , sua IMAGEM ´ o conjunto
ca e

Im (f ) = f (X) = { y = f (x) ; x ∈ X } ⊂ Y

• Os elementos do dom´ ´
ınio sõ representados por uma VARIAVEL INDEPENDENTE.
a
´
Os elementos da imagem sõ representados por uma VARIAVEL DEPENDENTE.
a

a ´
• Gr´fico: O GRAFICO de uma fun¸õ f : X → Y ´ o conjunto dos pontos (x, y) do
ca e
Plano Cartesiano tais que y = f (x) , com x ∈ X .

• Fun¸˜es limitadas: Uma fun¸õ f : X → Y ´ dita LIMITADA quando sua imagem
co ca e
f (X) ´ um conjunto limitado. Em geral, ´ dita LIMITADA EM A ⊂ X quando f (A) ´ um
e e e
conjunto limitado.

13

14 CAP´
ITULO 2

• Fun¸˜es crescentes ou decrescentes: Uma fun¸õ f : X → Y ´ dita ...
co ca e
... CRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) .
... DECRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) .
(Obs.: o mesmo tipo de defini¸õ se aplica tamb´m a subconjuntos do dom´ - por exemplo,
ca e ınio
podemos dizer que uma certa fun¸õ ´ crescente ou decrescente em um determinado intervalo
ca e
dentro do dom´
ınio).

Exemplos:

(A) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = −x2 + 4 .

(B) f2 : [1, 3] → IR dada por f2 (x) = −x2 + 4 .

˜ ¸˜
Obs.: Note que as fun¸˜es f1 e f2 acima SAO FUNCOES DISTINTAS. Apesar de possu´
co ırem
o mesmo contra-dom´ ınio e a mesma maneira de associar x → y = f (x) , elas tˆm dom´
e ınios
diferentes (veja a defini¸õ de fun¸õ). Como consequˆncia, possuem caracter´
ca ca e ısticas diferentes
(f2 ´ limitada, decrescente, enquanto que f1 nõ ´ limitada, nõ ´ decrescente e nem crescente).
e a e a e

Fun¸˜es
co 15

(C) f3 : IR → IR dada por f3 (x) = |x| .

(D) f4 : IR → IR dada por f4 (x) = |−x2 + 4| .

√
(E) f5 : [−1, 1] → [0, +∞) dada por f5 (x) = 1 − x2 .

(F) f6 : [−1, 1] → IR que associa x → y tais que x2 + y 2 = 1 .

16 CAP´
ITULO 2

 1 1


 x se x>
 4
(G) f7 : IR → IR dada por f7 (x) =

 1
−3 se x≤


4

(H) f8 : (−∞, 0) ∪ (1, 2] → IR dada por f8 (x) = x .

(I) f9 : IR → IR dada por f9 (x) = −2x + 1 .

√
(J) f10 : [0, +∞) → IR dada por f10 (x) = − x .

Fun¸˜es
co 17

• M´ximos e m´
a ınimos: Dizemos que uma fun¸õ f : X → Y assume VALOR
ca
´
MAXIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c ∈ X quando f (c) ≥ f (x) para todo
´
x ∈ X . Neste caso f (c) ´ chamado VALOR MAXIMO ABSOLUTO DE f .
e
Quando existir um intervalo (a, b) contendo c ∈ X tal que f (c) ≥ f (x) para todo
a e ´
x ∈ (a, b) ∩ X , entõ c ´ dito um PONTO DE MAXIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f (c)
´
´ um VALOR MAXIMO RELATIVO DE f .
e
De modo an´logo, definimos tamb´m M´
a e INIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E M´
INIMOS
RELATIVOS (LOCAIS).

(Ilustra¸õ)
ca

Exemplo: f4 : IR → IR dada por f4 (x) = |−x2 + 4| .

Observa¸˜es:
co
(i) Todo m´ximo (m´
a ınimo) absoluto ´ m´ximo (m´
e a ınimo) local.
ca ˜
(ii) Uma fun¸õ PODE NAO ASSUMIR valores m´ximos ou m´
a ınimos.

Exerc´ ıcio: Para cada uma das fun¸˜es dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), de-
co
termine seus pontos e valores m´ximos e m´
a ınimos, se existirem.

18 CAP´
ITULO 2

2.2 Constru¸õ de fun¸˜es a partir de outras
ca co

Via opera¸˜es aritm´ticas:
co e

Sejam f : X → IR e g : Y → IR fun¸˜es tais que X ∩ Y = φ .
co
A partir de f e g vamos construir novas fun¸˜es (f + g), (f − g), (f · g) :
co

(f + g) : X ∩ Y → IR dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x)

(f − g) : X ∩ Y → IR dada por (f − g)(x) = f (x) − g(x)
(f · g) : X ∩ Y → IR dada por (f · g)(x) = f (x) · g(x)

Exemplos:
√
(A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f (x) = 4 − x e g : (−∞, −1] ∪ [1, +∞) dada
√
por g(x) = x2 − 1 :

(B) Consideremos agora a fun¸õ indentidade f : IR → IR dada por f (x) = x e fun¸oes
ca c˜
constantes do tipo gc : IR → IR dadas por gc (x) = c (cada c ´ um n´mero real qualquer,
e u
fixado).
Utilizando a fun¸õ identidade e fun¸˜es constantes, podemos construir (atrav´s das opera¸˜es
ca co e co
de adi¸õ e multiplica¸õ) um importante tipo de fun¸õ p : IR → IR chamada FUNCAO
ca ca ca ¸˜
POLINOMIAL e dada por:

p(x) = an xn + an− xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 para todo x ∈ IR

an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 ∈ IR , an = 0
(essa ´ dita uma fun¸õ polinomial de grau n)
e ca
(Exemplos)

Fun¸˜es
co 19

Obs.: Alguns tipos especiais de fun¸˜es polinomiais:
co
1) Fun¸oes constantes: f : IR → IR com f (x) = c ∀ x ∈ IR , sendo c ∈ IR fixo.
c˜
Sõ as fun¸˜es polinomiais de grau 0 (zero).
a co
(Exemplos)

2) Fun¸oes polinomiais de grau 1: f : IR → IR com f (x) = ax + b , a, b ∈ IR e a = 0 .
c˜
Seus gr´ficos sõ retas, nõ paralelas aos eixos coordenados.
a a a
Se a > 0, f ´ crescente. Se a < 0, f ´ decrescente.
e e
(Exemplos)

3) Fun¸oes quadr´ticas: f : IR → IR com f (x) = ax2 + bx + c , a, b, c ∈ IR e a = 0 .
c˜ a
Sõ as fun¸˜es polinomiais de grau 2.
a co
Seus gr´ficos sõ par´bolas com eixos de simetria paralelos ao eixo Oy e com concavidade
a a a
voltada para cima se a > 0 ou voltada para baixo se a < 0.
a a e ´
A interse¸õ da par´bola (gr´fico) com o eixo de simetria ´ o VERTICE da par´bola, tem
ca a
−b −∆
coordenadas , , sendo ∆ = b2 − 4ac , e representa o m´ximo ou m´
a ınimo absoluto
2a 4a
da fun¸õ, de acordo com a concavidade do gr´fico (sinal de a).
ca a
(Exemplos)

20 CAP´
ITULO 2

Se quisermos agora utilizar a opera¸õ de divisõ para construir o quociente de duas fun¸oes
ca a c˜
dadas, temos que tomar o cuidado para evitar “divis˜es por 0 (zero)”.
o
Assim, dadas f : X → IR e g : Y → IR , sendo Z = { x ∈ Y ; g(x) = 0 } , podemos
definir:
f (x)
(f /g) : (X ∩ Y ) − Z → IR pondo (f /g)(x) =
g(x)

Exemplos:
√
(A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f (x) = 4 − x e g : (−∞, −1] ∪ [1, +∞) dada
√
por g(x) = x2 − 1 :

¸˜
(B) Chamamos de FUNCOES RACIONAIS as fun¸˜es dadas pelo quociente de fun¸oes
co c˜
polinomiais:
p, q : IR → IR (polinomiais) , Z = { x ∈ IR ; q(x) = 0 }
⇓
p(x)
(p/q) : IR − Z → IR dada por (p/q)(x) =
q(x)

(Exemplos)

Fun¸˜es
co 21

Via composi¸õ de fun¸˜es:
ca co

Sejam f : X → IR e g : Y → Z fun¸˜es tais que f (X) ⊂ Y
co (a imagem de f est´
a
contida no dom´
ınio de g).

A cada elemento de X associamos um unico elemento de Z, aplicando inicialmente a fun¸õ
´ ca
f e depois a fun¸õ g.
ca
Podemos pensar entõ em uma fun¸õ de X em Z que associa a cada elemento x ∈ X
a ca
um unico elemento g(f (x)) ∈ Z :
´

(g ◦ f ) : X −→ Z
x −→ g(f (x))

Essa nova fun¸õ g ◦ f : X → Z ´ chamada a fun¸õ COMPOSTA de g com f .
ca e ca

Exemplos:
√
(a) Se f : IR → IR ´ dada por f (x) = x2 + 5 e g : [0, +∞) → IR ´ dada por g(x) =
e e x ,
obtenha g ◦ f e f ◦ g , se poss´ıvel.

(b) Seja h : IR → IR dada por h(x) = (5x2 − 2x + 1)5 . Obtenha fun¸˜es f e g tais que
co
h=g◦f .

22 CAP´
ITULO 2

2.3 Exerc´
ıcios

1) Sejam f : IR → IR dada por f (x) = 3x − 1 , g : IR → IR dada por g(x) = x − 7 e
h = f /g . Obtenha:
5h(−1) − 2h(0) + 3h(5)
(a) O Dom´
ınio de h ; (b) ; (c) f ◦ h ;
7
(d) h2 (5) = [h(5)]2 = h(5).h(5) ; (e) h[h(5)] = (h ◦ h)(5) .

2) Para cada uma das fun¸˜es dadas abaixo, fa¸a um esbo¸o do gr´fico da fun¸õ e obtenha:
co c c a ca
o conjunto imagem da fun¸õ, se a fun¸õ ´ ou nõ limitada, m´ximos e m´
ca ca e a a ınimos (absolutos
ou locais), intervalos do dom´ ınio onde a fun¸õ ´ crescente ou decrescente e identifique ainda
ca e
quais sõ polinomiais ou racionais:
a
(a) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x2 + 8x + 14
(b) f2 : IR → IR dada por f2 (x) = −x2 + 4x − 1
(c) f3 : IR → IR dada por f3 (x) = (x − 2)2
(d) f4 : IR → IR dada por f4 (x) = −(x + 2)2
(e) f5 : IR → IR dada por f5 (x) = x3
(f) f6 : IR → IR dada por f6 (x) = 4 − x3
(g) f7 : (−5, 3] → IR dada por f7 (x) = |x|
1
(h) f8 : IR − {2} → IR dada por f8 (x) =
x−2
−2
(i) f9 : [−4, 7] → IR dada por f9 (x) =
x+5
√
(j) f10 : [0, +∞) → IR dada por f10 (x) = 2x

3) Exprimir como fun¸õ de x (nõ se esque¸a do dom´
ca a c ınio e do contra-dom´
ınio):
(a) A ´rea de um cubo de aresta x.
a
(b) A ´rea total de uma caixa de volume V , sabendo que a base ´ um quadrado de lado x.
a e
(c) O comprimento l de uma corda de um c´
ırculo de raio 4 cm, sendo x a distˆncia da
a
corda ao centro do c´
ırculo.

4) Exprimir a fun¸õ l obtida na Letra (c) do Exerc´ 3) acima como a composta de duas
ca ıcio
fun¸˜es.
co

Fun¸˜es
co 23

5) Sejam f, g : IR → IR dadas por f (x) = x + 3 e g(x) = 5 − 2x . Fa¸a um esbo¸o dos
c c
gr´ficos de f e g no mesmo Plano Cartesiano e tente deduzir, a partir dos gr´ficos, os valores
a a
de x para os quais f (x) < g(x) . Resolva algebricamente a inequa¸õ.
ca

6) X ⊂ IR ´ dito sim´trico em rela¸õ ` origem 0 quando x ∈ X ⇔ −x ∈ X .
e e ca a
Exemplos: (−6, 6), [−13, 13], {−12} ∪ (−7, 7) ∪ {12} , IR , etc.
Y = (−5, 3] nõ ´ sim´trico em rela¸õ ` origem, pois −4 ∈ Y mas 4 ∈ Y .
a e e ca a
Seja f : X → IR uma fun¸õ tal que X ´ sim´trico em rela¸õ ` origem.
ca e e ca a
A fun¸õ f ´ dita...
ca e

... PAR quando f (−x) = f (x) para todo x ∈ X .
√ 1
Exemplos: − x4 − 16 (−2 ≤ x ≤ 2) , −3x6 + x2 − 5 (x ∈ IR) , (x ∈ IR) , etc.
1 + x2

... ´
IMPAR quando f (−x) = −f (x) para todo x ∈ X .
x
Exemplos: x3 + 2x (x ∈ IR) , (x ∈ IR) , etc.
1 + x2

Alguma observa¸˜es e propriedades interessantes:
co
(1) O produto/quociente de duas fun¸˜es pares (ou duas ´
co ımpares) ´ uma fun¸õ PAR (prove);
e ca
(2) O produto/quociente de uma fun¸õ par por uma fun¸õ ´
ca ca ımpar (ou vice-versa) ´ uma
e
´
fun¸õ IMPAR (prove);
ca
(3) O gr´fico de uma fun¸õ par ´ sim´trico em rela¸õ ao eixo Oy das ordenadas (ilustre);
a ca e e ca
(4) O gr´fico de uma fun¸õ ´
a ca ımpar ´ sim´trico em rela¸õ ` origem O(0, 0) (ilustre);
e e ca a
´ o
(5) E ´bvio que existem fun¸˜es que nõ sõ pares nem sõ ´
co a a a ımpares (dˆ exemplos);
e
(6) Toda fun¸õ f : X → IR (X sim´trico em rela¸õ ao 0) pode ser escrita como a soma de
ca e ca
uma fun¸õ par com uma fun¸õ ´
ca ca ımpar (desafio = tente provar).

3x − 5 2y + 5
7) Sejam f, g : IR → IR dadas por f (x) = e g(y) = .
2 3
(a) Obtenha (g ◦ f )(x) e (f ◦ g)(y) .
(b) Fa¸a esbo¸os dos gr´ficos de f e g. O que se pode concluir sobre os gr´ficos de f e g ?
c c a a
(c) Seja f : [1, 3] → [−5, 3] dada por f (x) = 4 − x2 .
Obtenha uma fun¸õ g : [−5, 3] → [1, 3] que cumpre as condi¸˜es da Letra (a) e fa¸a esbo¸os
ca co c c
dos gr´ficos de f e g.
a

24 CAP´
ITULO 2

8) Seja f : IR → IR dada por f (x) = −x2 + 4x − 3 .
(a) Fa¸a um esbo¸o do gr´fico de f .
c c a
f (0 + h) − f (0)
(b) Dado h = 0, calcule m0 (h) = e dˆ uma interpreta¸õ geom´trica
e ca e
h
para m0 (h) .
(c) Qual o significado de m0 (h) quando h se aproxima de 0 ?
(d) Sabemos que o gr´fico de f ´ uma par´bola. Se V = (a, b) ´ o v´rtice dessa par´bola,
a e a e e a
obtenha suas coordenadas a e b.
(e) Fixando a obtido na Letra (d) acima (abscissa do v´rtice) e, dado h = 0, tente adivi-
e
f (a + h) − f (a)
nhar, SEM FAZER NENHUMA CONTA, o que ocorre com ma (h) = quando
h
h se aproxima de 0. Finalmente, confira sua resposta (fazendo as contas).

9) Se f : IR → IR ´ dada por f (x) = ax2 + bx + c , com a = 0 , USE O EXERC´
e ICIO
ANTERIOR para deduzir as coordenadas do v´rtice da par´bola que ´ o gr´fico da fun¸õ f .
e a e a ca

10) Um grupo de amigos trabalha no per´ ıodo de f´rias vendendo salgadinhos nas praias.
e
O aluguel do trailler e todos os equipamentos necess´rios para a produ¸õ custam R$ 2000,00
a ca
por mˆs. O custo do material de cada salgadinho ´ de R$ 0,10. Expressar o custo total mensal
e e
como fun¸õ do n´mero de salgadinhos elaborados.
ca u

11) Um fabricante produz pe¸as para computadores pelo pre¸o de R$ 2,00 cada uma.
c c
Calcula-se que, se cada pe¸a for vendida por x reais, os consumidores comprarõ por mˆs
c a e
(600 − x) unidades. Expressar o lucro mensal do do fabricante como fun¸õ do pre¸o. Obter
ca c
o pre¸o ´timo de venda.
c o

12) O pre¸o de uma corrida de t´xi ´ constitu´ de uma parte fixa, chamada bandeirada,
c a e ıdo
e de uma parte vari´vel, que depende do n´mero de quilˆmetros rodados. Em uma cidade X
a u o
a bandeirada ´ R$ 10,00 e o pre¸o do quilˆmetro rodado ´ R$ 0,50.
e c o e
(a) Determine a fun¸õ que representa o pre¸o da corrida.
ca c
(b) Se algu´m pegar um t´xi no centro da cidade e se deslocar para sua casa a 8 km de
e a
distˆncia, quanto pagar´ pela corrida ?
a a

13) Um aviõ com 120 lugares ´ fretado para uma excursõ. A companhia exige de cada
a e a
passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o n´mero de
u
passageiros que torna m´xima a receita da companhia ?
a

Fun¸˜es
co 25

14) Uma ind´stria comercializa um certo produto e tem fun¸õ custo total em mil reais,
u ca
2
dada por CT (q) = q + 20q + 475 , sendo q ≥ 0 a quantidade do produto. A fun¸õ receita
ca
total em mil reais ´ dada por R(q) = 120q .
e
(a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades.
(b) Em que valor de q acontecer´ lucro m´ximo ?
a a

Respostas:
−263 8x + 4
1) (a) IR − {7} (b) (c) f ◦ h : IR − {7} → IR dada por (f ◦ h)(x) =
98 x−7
11
(d) h2 (5) = 49 (e) (h ◦ h)(5) =
7
2) (a) Im (f1 ) = [−2, +∞) , f1 nõ ´ limitada, x = −4 ´ ponto de m´
a e e ınimo absoluto.
f1 ´ decrescente em (−∞, −4] e crescente em [−4, +∞) . f1 ´ polinomial.
e e
(b) Im (f2 ) = (−∞, 3] , f2 nõ ´ limitada, x = 2 ´ ponto de m´ximo absoluto. f2 ´
a e e a e
crescente em (−∞, 2] e decrescente em [2, +∞) . f2 ´ polinomial.
e
(c) Im (f3 ) = [0, +∞) , f3 nõ ´ limitada, x = 2 ´ ponto de m´
a e e ınimo absoluto. f3 ´
e
decrescente em (−∞, 2] e crescente em [2, +∞) . f3 ´ polinomial.
e
(d) Im (f4 ) = [−∞, 0] , f4 nõ ´ limitada, x = −2 ´ ponto de m´ximo absoluto. f4 ´
a e e a e
crescente em (−∞, −2] e decrescente em [−2, +∞) . f4 ´ polinomial.
e
(e) Im (f5 ) = IR , f5 nõ ´ limitada e nõ possui m´ximos ou m´
a e a a ınimos. f5 ´ crescente
e
(em todo seu dom´ ınio). f5 ´ polinomial.
e
(f) Im (f6 ) = IR , f6 nõ ´ limitada e nõ possui m´ximos ou m´
a e a a ınimos. f6 ´ decrescente
e
(em todo seu dom´ ınio). f6 ´ polinomial.
e
(g) Im (f7 ) = [0, 5] , f7 ´ limitada, x = 0 ´ ponto de m´
e e ınimo absoluto, x = 3 ´ ponto
e
de m´ximo local. f7 ´ decrescente em (−5, 0] e crescente em [0, 3] .
a e
(h) Im (f8 ) = IR − {0} , f8 nõ ´ limitada e nõ possui m´ximos ou m´
a e a a ınimos. f8 ´
e
decrescente em (−∞, 2) e crescente em (2, +∞) . f8 ´ racional.
e
(i) Im (f9 ) = [−2, −1/6] , f9 ´ limitada, x = −4 ´ ponto de m´
e e ınimo absoluto, x = 7 ´
e
ponto de m´ximo absoluto. f9 ´ crescente (em todo seu dom´
a e ınio). f9 ´ racional.
e
(j) Im (f10 ) = [0, +∞) , f10 nõ ´ limitada, x = 0 ´ ponto de m´ximo absoluto. f10 ´
a e e a e
crescente (em todo seu dom´ ınio).
3) (a) A : (0, +∞) → IR dada por A(x) = 6x2 ;
4V
(b) A : (0, +∞) → IR dada por A(x) = 2x2 + ;
x

26 CAP´
ITULO 2

√
(c) l : [0, 4] → IR dada por l(x) = 2 16 − x2 .
4) l = g ◦ f , com f : [0, 4] → IR dada por f (x) = 16 − x2 e g : [0, +∞) → IR dada por
√
g(x) = 2 x .
2
5) S = −∞ ,
3
7) (a) (g ◦ f )(x) = x e (f ◦ g)(y) = y
(b) Os gr´ficos de f e g sõ sim´tricos em rela¸õ ` reta y = x .
a a e ca a
√
(c) g[−5, 3] → [1, 3] dada por g(y) = 4 − y .
8) (b) m0 (h) = −h + 4 ´ o coeficiente angular da reta secante ao gr´fico de f , passando
e a
pelos pontos (0, f (0)) e (h, f (h)).
(c) Como h varia, o ponto (h, f (h)) varia sobre o gr´fico de f , enquanto que o ponto
a
(0, f (0)) permanece fixo. Assim, quando h se aproxima de 0, a reta secante se aproxima da
reta tangente ao gr´fico de f no ponto (0, f (0)) e m0 (h) se aproxima do coeficiente angular
a
dessa tangente.
(d) a = 2 e b = 1 , ou seja, V (2, 1) ´ o v´rtice da par´bola.
e e a
(e) ma (h) = −h tende a 0 quando h tende a 0.
x
10) C : IN ∪ {0} → IR dada por C(x) = 2000 + (x ´ o n´mero de salgadinhos
e u
10
elaborados)
11) l : [0, 600] → IR dada por l(x) = −x2 + 602x − 1200 . Pre¸o ´timo de venda:
c o
x = 301 .
x
12) (a) P : [0, +∞) dada por P (x) = 10 + .
2
(b) R$ 14,00.
13) 105 passageiros.
14) L : [0, +∞) → IR dada por L(q) = −q 2 + 100q − 475 .
(a) L(80) = R$1.125.000,00 ;
(b) Em q = 50 acontecer´ lucro m´ximo.
a a

Fun¸˜es
co 27

2.4 Inversõ de fun¸oes
a c˜

Seja f : X → Y uma fun¸õ. A cada x ∈ X est´ associado um unico f (x) ∈ Y .
ca a ´

Nos interessa a situa¸õ em que a associa¸õ inversa f (x) → x ´ uma fun¸õ de Y em X.
ca ca e ca
Para isso, f dever´ possuir duas caracter´
a ısticas:
• f (X) = Y (a imagem de f ´ todo o conjunto Y );
e
• x1 = x2 em X ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) em Y .

Uma fun¸õ f : X → Y ´ chamada SOBREJETORA quando f (X) = Y , ou seja, a
ca e
imagem de f ´ todo o contradom´
e ınio Y .

Uma fun¸õ f : X → Y ´ chamada INJETORA quando elementos distintos do dom´
ca e ınio
tˆm sempre imagens distintas, ou seja, x1 = x2 em X ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) em Y .
e

Exemplos:
(a)

(b)

28 CAP´
ITULO 2

(c)

Uma fun¸˜o f : X → Y ´ INVERT´
ca e IVEL quando ela ´ sobrejetora e injetora ao mesmo
e
¸˜
tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNCAO g : Y → X que associa y → g(y) e
tal que g(f (x)) = x ∀ x ∈ X e f (g(y)) = y ∀ y ∈ Y .

¸˜
g ´ dita A INVERSA DA FUNCAO f e escrevemos g = f −1 .
e

Exemplo:

Fun¸˜es
co 29

Exerc´
ıcio: Para cada uma das fun¸˜es dadas posteriormente, fa¸a o que se pede:
co c
c c ´
a) Fa¸a um esbo¸o do GRAFICO da fun¸õ.
ca
b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a fun¸õ dada ´ LIMITADA ou nõ.
ca e a
c) Em que partes de seu dom´
ınio a fun¸õ ´ CRESCENTE ou DECRESCENTE ?
ca e
d) Determine pontos e valores MAXIMOS ou M´
´ INIMOS (quando existirem).
e) A fun¸õ ´ INJETORA ? Justifique.
ca e
f) A fun¸õ ´ SOBREJETORA ? Justifique.
ca e
g) Se a fun¸õ dada for INVERT´
ca IVEL, determine sua INVERSA e fa¸a um esbo¸o do
c c
´
GRAFICO DA FUNCAO ¸ ˜ INVERSA.

1) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = 3x − 1 .

2) g1 : IR → [0, +∞) dada por g1 (x) = |3x − 1| .

3) h1 : IR → IR dada por h1 (x) = −x2 + 9 .

4) p1 : (0, 3] → (0, 6] dada por p1 (x) = 2x .

x2 se x < 1
5) q1 : (−∞, 5] → IR dada por q1 (x) = .
−x + 2 se x ≥ 1

6) r1 : [0, +∞) → [0, +∞) dada por r1 (x) = |x2 − 3x| .

7) s1 : IR → IR dada por s1 (x) = x2 + 2 .

8) u1 : [−2, 3] → IR dada por u1 (x) = x2 + 2 .

9) v1 : IR+ → IR+ dada por v1 (x) = x2 .

10) f2 : IR → IR dada por f2 (x) = − |x| .

x
11) g2 : IR → IR dada por g2 (x) = − +1.
3

30 CAP´
ITULO 2

x
12) h2 : (−3, +∞) → IR dada por h2 (x) = − +1.
3
√
13) p2 : [0, +∞) → (−∞, 0] dada por p2 (x) = − 2x .

1 se 1 ≤ x ≤ 3
14) q2 : IR → IR dada por q2 (x) = .
0 se x < 1 ou x > 3

15) r2 : IR → IR dada por r2 = q2 .s1 .

1/x se x = 0
16) s2 : IR → IR dada por s2 (x) = .
0 se x = 0

−π se x < −1
17) v2 : (−∞, −1) ∪ [0, +∞) → IR dada por v2 (x) = .
x2 se x ≥ 0
√
18) f3 : (−1, 1] → IR dada por f3 (x) = 1 − 1 − x2 .

2.5 Fun¸˜es exponenciais e logar´
co ıtmicas

Revisõ:
a

a ∈ IR , n = 1, 2, 3, . . . ⇒ an = a · a · a · . . . · a (n vezes).

1
a = 0 ⇒ a0 = 1 e a−n = (n = 1, 2, 3, . . .) .
an
√
n PAR e a ≥ 0 : b = n
a ⇔ bn = a , b ≥ 0 .
√
n ´
IMPAR e a ∈ IR : b = n a ⇔ bn = a .

Definimos potˆncias RACIONAIS de n´meros reais positivos do seguinte modo:
e u
√
a > 0 , p, q inteiros , q = 0 ⇒ ap/q = q
ap

Temos, neste caso: ar1 · ar2 = ar1 +r2 e ar > 0 .
Nos interessa agora definir ax , com x ∈ IR (qualquer, mesmo irracional).
Para isso consideremos a > 0 .
√
Se x ´ racional, j´ temos ap/q =
e a q
ap .

Fun¸˜es
co 31

Se x ´ IRRACIONAL, sabemos que ´ poss´ obter uma seq¨ˆncia de racionais r1 , r2 , r3 , . . .
e e ıvel ue
que se aproxima de x tanto quanto quisermos:
r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , . . . −→ x

FATO: A seq¨ˆncia ar1 , ar2 , ar3 , . . . se aproxima de um n´mero real, o qual DEFINI-
ue u
x
MOS como a .

Temos entõ a nossa fun¸õ exponencial de base a:
a ca
• Fixado a > 0 em IR, a fun¸õ fa : IR → IR+ dada por fa (x) = ax para todo x ∈ IR
ca
¸˜
´ chamada FUNCAO EXPONENCIAL DE BASE a.
e

Propriedades:
ax · ay = ax+y , (ax )y = ax·y , (a · b)x = ax · bx , a0 = 1

Gr´fico:
a

CRECENTE se a>1
Crescimento ou decrescimento: fa (x) = ax ´
e
DECRESCENTE se a<1

Inversa: Se a = 1 entõ
a fa : IR → IR+ ´ SOBREJETORA e INJETORA, ad-
e
x → ax

mitindo portanto uma fun¸õ inversa
ca fa : IR+ → IR
−1 .
−1
y → fa (y)
fa ´ chamada FUNCAO LOGAR´
−1
e ¸˜ −1
ITMICA DE BASE a e escrevemos fa (y) = loga y .
Temos entõ: y = ax ⇔ x = loga y .
a
−1
fa fa
x −→ ax = y −→ x = loga y = loga ax
−1
fa fa
y −→ x = loga y −→ y = ax = aloga y

32 CAP´
ITULO 2

• Fixado a > 0 , a = 1 em IR, temos a fun¸õ fa : IR+ → IR dada por fa (y) = loga y .
ca −1 −1

Propriedades:

loga (x · y) = loga x + loga y , loga (xy ) = y · loga x , loga 1 = 0

Gr´fico:
a

Um n´ mero especial:
u
1 1 1 1
Consideremos a soma 1 + 1 + + + + + . . . . Mostra-se que esta soma converge
2! 3! 4! 5!
(“se aproxima cada vez mais e tanto quanto desejarmos”) para um n´mero real conhecido por
u
CONSTANTE DE EULER e denotado por e .
1 1 1 1
Assim, podemos escrever e = 1 + 1 + + + + + . . . .
2! 3! 4! 5!
´ a
E fćil ver que 2 < e < 3 :
1 1 1 1 1 1 1 1
2 < 1+1+ + + + + ... < 1 + 1 + + 2 + 3 + 4 + ... = 3
2! 3! 4! 5! 2 2 2 2

O n´mero real e acima definido ir´ desempenhar um importante papel ao longo do nosso
u a
curso de C´lculo I, no que se refere `s fun¸˜es exponencial e logar´
a a co ıtmica, na base e :
fe : IR → IR+ dada por fe (x) = ex (fun¸õ exponencial de base e) e sua inversa
ca
−1 + −1
fe : IR → IR dada por fe (x) = loge x (fun¸õ logar´
ca ıtmica de base e).
Escrevemos tamb´m loge x = log x = ln x .
e

Obs.: Outro modo de obter o n´mero e :
u
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
1+ , 1+ , 1+ , 1+ , 1+ , . . . −→ e
1 2 3 4 5

Fun¸˜es
co 33

2.6 Fun¸˜es trigonom´tricas
co e

• Medidas de ˆngulos em radianos:
a
Um ˆngulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunferˆncia (centrada
a e
no v´rtice do ˆngulo) de comprimento igual ao raio da circunferˆncia considerada:
e a e

Assim, um ˆngulo que mede θ rad corresponde a um arco de comprimento θ · r , sendo
a
r o raio da circunferˆncia considerada:
e

θ l
= ⇒ l =θ·r
1 r

Desta forma, ´ f´cil ver que a medida de “uma volta” em radianos ´ 2π rad :
e a e

2πr = θ · r ⇒ θ = 2π rad

• Rela¸˜es trigonom´tricas nos triˆngulos retˆngulos:
co e a a
π
Consideremos 0 < θ < e um ˆngulo de θ rad em um triˆngulo retˆngulo:
a a a
2

b c sen θ b
sen θ = cos θ = tg θ = = cos2 θ + sen 2 θ = 1
a a cos θ c

34 CAP´
ITULO 2

• O c´
ırculo trigonom´trico:
e

Rela¸˜es:
co

cos2 θ + sen 2 θ = 1 , sec2 θ = 1 + tg 2 θ , csc2 θ = 1 + ctg 2 θ

1 1 1
ctg θ = ( sen θ = 0) , sec θ = (cos θ = 0) , csc θ = ( sen θ = 0)
tg θ cos θ sen θ

ˆ
• Angulos not´veis:
a

θ (rad) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π
√ √
1 2 3
sen θ 0 2 2 2
1 0 −1 0
√ √
3 2 1
cos θ 1 2 2 2
0 −1 0 1
√
3
√
tg θ 0 3
1 3 0 0

• F´rmulas de transforma¸˜o:
o ca

A partir das f´rmulas abaixo, para cosseno e seno da soma e da diferen¸a de dois ˆngulos,
o c a
podemos deduzir (veja exerc´ıcios mais ` frente) outras importantes f´rmulas de transforma¸˜o,
a o ca
as quais tˆm utilidade no c´lculo de certas integrais trigonom´tricas.
e a e

 cos(a + b) = cos a · cos b − sen a · sen b cos(a − b) = cos a · cos b + sen a · sen b
 sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a sen (a − b) = sen a · cos b − sen b · cos a

Fun¸˜es
co 35

• Fun¸˜es trigonom´tricas:
co e
Fun¸õ SENO:
ca
sen : IR −→ IR
x −→ sen x

Gr´fico:
a

Im ( sen ) = [−1, 1]
sen (−x) = − sen x (´ uma fun¸õ ´
e ca IMPAR)
e ca ´
sen (x + 2π) = sen x (´ uma fun¸õ PERIODICA de per´
ıodo T = 2π)

A fun¸õ SENO ´ ...
ca e

... CRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k PAR, k ∈ Z

... DECRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k ´
IMPAR, k ∈ Z

´
Assume o VALOR MAXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ + π/2 (k ∈ Z)
Assume o VALOR M´
INIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kπ + 3π/2 (k ∈ Z)

1
Se sen x = 0 , entõ temos csc x =
a . Assim, nõ ´ dif´ ver que a fun¸õ
a e ıcil ca
sen x
csc : IR − {kπ , k ∈ Z} → IR , que associa x → csc x = 1/ sen x tem gr´fico:
a

36 CAP´
ITULO 2

˜ ´ ˜ ´
A fun¸õ SENO NAO E injetora e NAO E sobrejetora, mas a quando restringimos seu
ca

ınio ınio, temos uma nova fun¸õ f : [−π/2, π/2] −→ [−1, 1] , a qual
dom´ e seu contra-dom´ ca
x −→ sen x
´ BIJETORA
e

e tem portanto inversa f −1 : [−1, 1] −→ [−π/2, π/2]

y −→ f −1 (y) = arc sen y

Exerc´
ıcio: Fa¸a um estudo semelhante ao que fizemos com a fun¸õ SENO, para as fun¸˜es
c ca co
COSSENO e TANGENTE.

2.7 Exerc´
ıcios

1) Sabendo que f : IR → IR ´ uma fun¸õ polinomial do 1o grau, que f (−1) = 2
e ca
e f (2) = 3 , determine f (x) para cada x ∈ IR (uma fun¸õ polinomial do 1o grau est´
ca a
totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 2 pontos distintos = uma reta
est´ totalmente determinada quando conhecemos 2 de seus pontos).
a

2) Sabendo que g : IR → IR ´ uma fun¸õ polinomial do 2o grau, que g(1) = 3 ,
e ca
g(−1) = −1 e g(2) = 6 , determine g(x) para cada x ∈ IR (uma fun¸õ polinomial do
ca
o
2 grau est´ totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 3 pontos distintos =
a
uma par´bola est´ totalmente determinada quando conhecemos 3 de seus pontos).
a a

Fun¸˜es
co 37

3) (Polinˆmios de Lagrange) Sejam x1 , x2 , x3 n´meros reais distintos e y1 , y2 , y3
o u
n´meros reais nõ necessariamente distintos. O unico polinˆmio p(x) do 2o grau tal que
u a ´ o
p(x1 ) = y1 , p(x2 ) = y2 e p(x3 ) = y3 ´ dado por
e
(x − x2 )(x − x3 ) (x − x1 )(x − x3 ) (x − x1 )(x − x2 )
p(x) = y1 · + y2 · + y3 ·
(x1 − x2 )(x1 − x3 ) (x2 − x1 )(x2 − x3 ) (x3 − x1 )(x3 − x2 )

(a) Usando o resultado acima, refa¸a o exerc´ anterior.
c ıcio
(b) Generalize o resultado acima e obtenha a fun¸õ polinomial do 3o grau que assume em
ca
−1, 0, 1, 4 os valores 1, 0, 0, −2 , respectivamente.

4) Sejam X ⊂ IR um conjunto sim´trico em rela¸õ ` origem 0 e f : X → IR uma fun¸õ.
e ca a ca
1
(a) Mostre que g : X → IR dada por g(x) = [f (x) + f (−x)] ´ uma fun¸õ par e que
e ca
2
1
h : X → IR dada por h(x) = [f (x) − f (−x)] ´ é ımpar (veja Exerc´ 6 da p´g. 23).
ıcio a
2
(b) Obtenha a soma g +h e tente fazer agora (se vocˆ ainda nõ fez) o item 6) do Exerc´
e a ıcio
6 da p´g. 23.
a
x−1
(c) Seja f : IR − {−1, 1} → IR a fun¸õ dada por f (x) =
ca . Mostre que f nõ ´ par
a e
x+1
e nõ ´ ´
a e ımpar. Escreva f como a soma de uma fun¸õ par com uma fun¸õ ´
ca ca ımpar.

5) Prove que cada uma das fun¸˜es abaixo ´ invert´ (bijetora) e obtenha a inversa:
co e ıvel
(a) f : IR → IR dada por f (x) = 3x + 4 ;
1
(b) g : IR − {a} → IR − {0} dada por g(x) = (a ∈ IR) ;
x−a
x+a
(c) h : IR − {a} → IR − {1} dada por g(x) = (a ∈ IR) ;
x−a
√
(d) r : [1, +∞) → [0, +∞) dada por r(x) = x − 1 .

x
6) (Desafio) Seja g : (−1, 1) → IR dada por g(x) = . Prove que g ´ invert´
e ıvel
1 − |x|
(ou seja, bijetora) e obtenha g −1 .

15
7) Se f : IR → IR ´ dada por f (x) = 2x , mostre que f (x + 3) − f (x − 1) =
e .
2f (x)

1−x
8) Dada φ : (−1, 1) → IR dada por φ(x) = ln , verifique a igualdade:
1+x
a+b
φ(a) + φ(b) = φ
1 + ab

38 CAP´
ITULO 2

9) (Decaimento exponencial) A massa de materiais radioativos, tais como o r´dio, o urˆnio
a a
ou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar a
taxa de decaimento da massa desses materiais ´ utilizando o conceito de meia-vida.
e
A meia-vida de um material radioativo ´ definida como o tempo necess´rio para que sua
e a
massa seja reduzida ` metade.
a
Denotando por M0 a massa inicial (correspondente ao instante t = 0) e por M a massa
presente num instante qualquer t, podemos estimar M pela fun¸õ exponencial dada por
ca

M = M0 e−Kt sendo t > 0 e K > 0 uma constante que depende do material.

A equa¸õ acima ´ conhecida como modelo de decaimento exponencial.
ca e
Sabendo que a meia-vida do carbono-14 ´ de aproximadamente 5730 anos, determinar:
e
(a) A constante K, do modelo de decaimento exponencial para esse material;
(b) A quantidade de massa presente ap´s dois per´
o ıodos de meia-vida, se no instante t = 0
a massa era M0 ;
(c) A idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presen¸a do carbono-14 neste
c
´ 80% da quantidade original.
e

10) Uma certa substˆncia radioativa decai exponencialmente e, ap´s 100 anos, ainda restam
a o
60% da quantidade inicial.
(a) Obtenha o modelo de decaimento exponencial para esta substˆncia.
a
(b) Determinar a sua meia-vida.
(c) Determinar o tempo necess´rio para que reste somente 15% de uma dada massa inicial.
a

11) Fa¸a esbo¸os dos gr´ficos das seguintes fun¸˜es:
c c a co
(a) f : IR → IR dada por f (x) = 2x ;
(b) g : IR → IR dada por g(x) = e−x ;
(c) h : IR → IR dada por h(x) = −ex ;
(d) s : IR − {0} → IR dada por s(x) = ln |x| ;
(e) l : (−∞, 0) → IR dada por l(x) = ln(−x) ;
(f) m : IR+ → IR dada por m(x) = |ln x| ;
(g) n : (−1, +∞) → IR dada por n(x) = − ln(1 + x) .

Fun¸˜es
co 39

ca e ´
12) Uma fun¸õ f : X → IR ´ dita PERIODICA quando existe um n´mero T > 0 u
(chamado o per´ıodo de f ) tal que f (x + T ) = f (x) para todo x ∈ X . Neste caso, seu gr´fico
a
se repete a cada intervalo de comprimento T .
As fun¸oes trigonom´tricas constituem exemplos cl´ssicos de fun¸˜es peri´dicas:
c˜ e a co o
(a) Mostre que as fun¸˜es fn : IR → IR dadas por fn (x) = sen nx (n = 1, 2, 3, 4, . . .) sõ
co a
todas ´
ımpares e peri´dicas de per´
o ıodo T = 2π .
(b) Mostre que as fun¸˜es gn : IR → IR dadas por gn (x) = cos nx (n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .)
co
sõ todas pares e peri´dicas de per´
a o ıodo T = 2π .

13) (F´rmulas de Transforma¸õ) Prove as seguintes identidades trigonom´tricas:
o ca e

 sen 2 a = 1 − cos 2a



 2

 cos2 a = 1 + cos 2a



2

 cos a · cos b = 1 1
 · cos(a + b) + · cos(a − b)
2 2







1 1

sen a · sen b = · cos(a − b) − · cos(a + b)


 2 2



 sen a · cos b = 1 · sen (a + b) + 1


 · sen (a − b)
2 2

14) Seja f : IR − {x ∈ IR ; cos x = 0 } → IR dada por f (θ) = tg θ . Verifique:
2f (θ)
f (2θ) =
1 − [f (θ)]2

15) Fa¸a esbo¸os dos gr´ficos das seguintes fun¸˜es:
c c a co
(a) f : IR → IR dada por f (x) = sen 3x ;
(b) g : IR → IR dada por g(x) = 2 cos 2x ;
(c) h : IR → IR dada por h(x) = 1 + sen x ;
(d) s : IR → IR dada por s(x) = | sen x| ;
(e) l : IR → IR dada por l(x) = sen (x − (π/2)) .

16) Seja f : [1, 100] → IR dada por f (x) = arc sen [log10 (x/10)] . Obtenha f (1), f (100)
√
e f ( 10 ) .

40 CAP´
ITULO 2

17) (Fun¸˜es Hiperb´licas) Definimos as fun¸˜es hiperb´licas b´sicas:
co o co o a

ex − e−x
• Fun¸õ Seno Hiperb´lico: senh : IR → IR dada por senh x =
ca o
2
e + e−x
x
• Fun¸õ Cosseno Hiperb´lico: cosh : IR → IR dada por cosh x =
ca o
2

(a) Fa¸a um esbo¸o do gr´fico das fun¸˜es senh e cosh.
c c a co
(b) Prove que cosh2 x − senh 2 x = 1 para todo x ∈ IR .
(c) Prove que cosh x ≥ 1 para todo x ∈ IR .

Definimos ainda:
senh x
tgh : IR → IR dada por tgh x =
cosh x
cosh x
ctgh : IR − {0} → IR dada por ctgh x =
senh x
1
sech : IR → IR dada por sech x =
cosh x
1
csch : IR − {0} → IR dada por csch x =
senh x
(d) Obtenha (prove) rela¸˜es entre as fun¸˜es tgh e sech e entre ctgh e csch .
co co

18) Seja f : IR → IR dada por f (x) = 2 senh x − 3 tgh x . Obtenha f (2) , f (−1) e f (0) .

Respostas de exerc´
ıcios:

• Exerc´ da p´gina 17:
ıcio a
(A) M´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ximo absoluto f1 (0) = 4 .
a a
f1 nõ possui nenhum ponto de m´
a ınimo.
(B) M´ximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume o valor m´ximo absoluto f2 (1) = 3 .
a a
M´
ınimo absoluto (e local) em x = 3 onde assume o valor m´ınimo absoluto f2 (3) = −5 .
(C) M´
ınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´
ınimo absoluto f3 (0) = 0 .
(D) M´ximo local em x = 0 onde assume o valor m´ximo local f4 (0) = 4 . M´
a a ınimo
absoluto (e local) no conjunto {−2, 2} , onde assume o valor m´
ınimo absoluto f4 (2) = 0 .
(E) M´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ximo absoluto f5 (0) =
a a
1 . M´ınimo absoluto (e local) no conjunto {−1, 1} , onde assume o valor m´
ınimo absoluto

Fun¸˜es
co 41

f5 (−1) = 0 .
(F) f6 nõ ´ fun¸õ.
a e ca
(G) M´ximo local no conjunto (−∞, 1/4) , onde assume o valor m´ximo local f7 (−2) =
a a
−3 . M´ ınimo absoluto (e local) no conjunto (−∞, 1/4] , onde assume o valor m´
ınimo absoluto
f7 (−4) = −3 .
(H) M´ximo absoluto (e local) em x = 2 onde assume o valor m´ximo absoluto f8 (2) = 2 .
a a
a ınimo.
(I) f9 nõ possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´
a a ınimo.
(J) M´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ximo absoluto f10 (0) = 0 .
a a
a ınimo.

• Exerc´ da p´gina 29:
ıcio a
1) Im (f1 ) = IR . f1 nõ ´ limitada. f1 ´ crescente em todo o seu dom´
a e e ınio. f1
nõ possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´
a a ınimo. f1 ´ injetora e sobrejetora, possuindo
e
−1 −1 y+1
inversa f1 : IR → IR dada por f1 (y) = .
3
2) Im (g1 ) = [0, +∞) . g1 nõ ´ limitada. g1 ´ decrescente em (−∞, 1/3] e crescente
a e e
em [1/3, +∞) . g1 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) em x = 1/3 onde assume
valor m´ınimo absoluto 0. g1 nõ possui nenhum ponto de m´ximo. g1 ´ sobrejetora mas
a a e
nõ ´ injetora e por isso nõ ´ invert´
a e a e ıvel.
3) Im (h1 ) = (−∞, 9] . h1 nõ ´ limitada. h1 ´ crescente em (−∞, 0] e decrescente
a e e
em [0, +∞) . h1 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor
a
m´ximo absoluto 9. h1 nõ possui nenhum ponto de m´
a a ınimo. h1 nõ ´ injetora e nõ ´
a e a e
sobrejetora, e por isso nõ ´ invert´
a e ıvel.
4) Im (p1 ) = (0, 6] . p1 ´ limitada. p1 ´ crescente (em todo o seu dom´
e e ınio). p1 possui
ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor m´ximo 6. p1 nõ possui
a a a
−1
nenhum ponto de m´ ınimo. p1 ´ injetora e sobrejetora, possuindo inversa p1 : (0, 6] → (0, 3]
e
−1 w
dada por p1 (w) = .
2
5) Im (q1 ) = [−3, +∞) . q1 nõ ´ limitada. q1 ´ crescente em [0, 1] e decrescente
a e e
em (−∞, 0] e em [1, 5] . q1 possui ponto de m´ximo local em x = 1 onde assume valor
a
m´ximo local 1. q1 possui ponto de m´
a ınimo absoluto (e local) em x = 5 onde assume valor
m´ınimo absoluto −3 e possui ponto de m´ ınimo local em x = 0 onde assume valor m´ ınimo
local 0. q1 nõ ´ injetora e nõ ´ sobrejetora, e por isso nõ ´ invert´
a e a e a e ıvel.
6) Im (r1 ) = [0, +∞) . r1 nõ ´ limitada. r1 ´ crescente em [0, 3/2] e em [3, +∞)
a e e
e decrescente em [3/2, 3] . r1 possui ponto de m´ximo local em x = 3/2 onde assume
a

42 CAP´
ITULO 2

valor m´ximo local 9/4. r1 possui ponto de m´
a ınimo absoluto (e local) no conjunto {0, 3}
onde assume valor m´ınimo absoluto 0. r1 ´ sobrejetora mas nõ ´ injetora e por isso nõ ´
e a e a e
invert´
ıvel.
7) Im (s1 ) = [2, +∞) . s1 nõ ´ limitada. s1 ´ decrescente em (−∞, 0] e crescente
a e e
em [0, +∞) . s1 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor
m´ınimo absoluto 2. s1 nõ possui nenhum ponto de m´ximo. s1 nõ ´ sobrejetora e nõ ´
a a a e a e
injetora, e por isso nõ ´ invert´
a e ıvel.
8) Im (u1 ) = [2, 11] . u1 ´ limitada. u1 ´ decrescente em [−2, 0] e crescente em [0, 3] .
e e
u1 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor m´ınimo absoluto
2. u1 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor m´ximo
a a
absoluto 9 e possui ponto de m´ximo local em x = −2 onde assume valor m´ximo local 6.
a a
u1 nõ ´ sobrejetora e nõ ´ injetora, e por isso nõ ´ invert´
a e a e a e ıvel.
9) Im (v1 ) = IR+ . v1 nõ ´ limitada. v1 ´ crescente em todo o seu dom´
a e e ınio. v1
a a ınimo. v1 ´ injetora e sobrejetora, possuindo
e
−1 + + −1 √
inversa v1 : IR → IR dada por v1 (z) = z .
10) Im (f2 ) = (−∞, 0] . f2 nõ ´ limitada. f2 ´ crescente em (−∞, 0] e decrescente
a e e
em [0, +∞) . f2 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor
a
m´ximo absoluto 0. f2 nõ possui nenhum ponto de m´
a a ınimo. f2 nõ ´ sobrejetora e nõ ´
a e a e
injetora, e por isso nõ ´ invert´
a e ıvel.
11) Im (g2 ) = IR . g2 nõ ´ limitada. g2 ´ decrescente em todo o seu dom´
a e e ınio. g2
a a ınimo. g2 ´ injetora e sobrejetora, possuindo
e
−1 −1
inversa g2 : IR → IR dada por g2 (y) = −3y + 3 .
12) Im (h2 ) = (−∞, 2) . h2 nõ ´ limitada. h2 ´ decrescente em todo o seu dom´
a e e ınio.
h2 nõ possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´
a a ınimo. h2 ´ injetora mas nõ ´ sobrejetora
e a e
e por isso nõ ´ invert´
a e ıvel.
13) Im (p2 ) = (−∞, 0] . p2 nõ ´ limitada. p2 ´ decrescente em todo o seu dom´
a e e ınio. p2
possui nenhum ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ximo
a a
absoluto 0. p2 nõ possui nenhum ponto de m´
a ınimo. p2 ´ injetora e sobrejetora, possuindo
e
2
t
inversa p−1 : (−∞, 0] → [0, +∞) dada por p−1 (t) =
2 2 .
2
14) Im (q2 ) = {0, 1} . q2 ´ limitada. q2 nõ ´ crescente ou decrescente em intervalo
e a e
algum. q2 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) no conjunto [1, 3] onde assume valor
a
m´ximo absoluto 1. q2 possui ponto de m´
a ınimo local no conjunto (1, 3) onde assume valor
m´ınimo local 1. q2 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) no conjunto IR − [1, 3] onde
assume valor m´ ınimo absoluto 0. q2 possui ponto de m´ximo local no conjunto IR − [1, 3]
a
onde assume valor m´ximo local 0. q2 nõ ´ sobrejetora e nõ ´ injetora, e por isso nõ ´
a a e a e a e

Fun¸˜es
co 43

invert´
ıvel.
15) Im (r2 ) = {0} ∪ [3, 11] . r2 ´ limitada. r2 ´ crescente em [1, 3] . r2 possui ponto
e e
de m´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor m´ximo absoluto 11. r2 possui
a a
ınimo absoluto (e local) no conjunto IR − [1, 3] onde assume valor m´
ponto de m´ ınimo absoluto
0. r2 possui ponto de m´ximo local no conjunto IR − [1, 3] onde assume valor m´ximo local
a a
0. r2 nõ ´ sobrejetora e nõ ´ injetora, e por isso nõ ´ invert´
a e a e a e ıvel.
16) Im (s2 ) = IR . s2 nõ ´ limitada. s2 ´ decrescente em (−∞, 0] e em [0, +∞) . s2
a e e
a a ınimo. s2 ´ injetora e sobrejetora, possuindo
e
−1
inversa s2 = s2 .
17) Im (v2 ) = {−π} ∪ [0, +∞) . v2 nõ ´ limitada. v2 ´ crescente em [0, +∞) .
a e e
v2 possui ponto de m´ximo local em (−∞, −1) onde assume valor m´ximo local −π. v2
a a
possui ponto de m´ınimo absoluto (e local) no conjunto (−∞, −1) onde assume valor m´ınimo
absoluto −π. v2 possui ponto de m´ ınimo local em x = 0 onde assume valor m´
ınimo local 0.
v2 nõ ´ sobrejetora e nõ ´ injetora, e por isso nõ ´ invert´
a e a e a e ıvel.
18) Im (f3 ) = [0, 1] . f3 ´ limitada. f3 ´ crescente em (−1, 0] e decrescente em [0, 1] .
e e
f3 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume valor m´ximo absoluto
a a
1. f3 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor m´ ınimo
absoluto 0. f3 nõ ´ sobrejetora e nõ ´ injetora, e por isso nõ ´ invert´
a e a e a e ıvel.

• Exerc´ da p´gina 36 (antes da Se¸õ 2.7):
ıcio a ca
Fun¸õ COSSENO:
ca
cos : IR −→ IR
(Gr´fico)
a
x −→ cos x

Im (cos) = [−1, 1]
cos(−x) = cos x (´ uma fun¸õ PAR)
e ca
e ca ´
cos(x + 2π) = cos x (´ uma fun¸õ PERIODICA de per´
ıodo T = 2π)

A fun¸õ COSSENO ´ ...
ca e

... CRESCENTE em [kπ, (k + 1)π] , k ´
IMPAR, k ∈ Z

... DECRESCENTE em [kπ, (k + 1)π] , k PAR, k ∈ Z

´
Assume o VALOR MAXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ (k ∈ Z)
Assume o VALOR M´
INIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kπ + π (k ∈ Z)

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