Divisibilidade números inteiros

Coordenador Regional: Walter Alencar de
Sousa
maranhaoprofissionaluresjp.blogspot.com
1

Etapa Pré Vestibular – Matemática Prof. Marconio Nóbrega
NÚMEROS INTEIROS
Coordenador Regional: Walter Alencar de Sousa
2

Os números inteiros são números reais e representamos pela letra
Z:
Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Subconjuntos de Z:
• Z* = Z-{0}
• Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}
• Z- = conjunto dos inteiros não positivos = {... -5, -4, -3, -2, -1, 0}
3

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
• Divisibilidade por 2: Quando terminado em 0 ou 2 ou 4
ou 6 ou 8, isto é quando for par.
Ex: 28 é divisível por 2, pois termina em 8, que é um
número par
• Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3,
quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos
for um número divisível por 3.
Ex: 27, pois 2 + 7 = 9, e este é divisível por 3.
4

quando terminar em dois zeros, ou quando o
número formado, pelos dois últimos algarismos,
da direita for divisível por 4.
Ex: 1300, é divisível por 4, pois termina em dois
zeros. 624, é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
5

• Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5
quando terminar em 0 ou 5.
Exemplo: 320 é divisível por 5, pois é terminado em
0. 765, é divisível por 5, pois é terminado em 5.
quando for divisível por, 2 e 3, ao mesmo tempo.
Exemplo: 642, pois é divisível por 2 e 3 ao mesmo
tempo.
6

• Divisibilidade por 7: Um processo prático e fácil para a determinação da
divisibilidade de um número qualquer por 7 é:
Primeiro passo: Separa-se o algarismo das unidades simples, e dobra-se o valor
absoluto do mesmo. Logo:
1617  7  2 x 7 = 14
Segundo passo: Subtrai-se o número assim obtido, do número que ficou a
esquerda após a separação do algarismo das unidades simples.
Logo:
161 . 7

14
Terceiro passo: Procede-se analogamente como nos passos anteriormente
analisados, até se obter um número múltiplo de 7.
Logo:
Logo: 1617 é divisível por 7.
147
14 . 7  2 7  14
14
00
7

quando terminar em 3 zeros, ou quando o
número formado pelos três últimos algarismos,
da direita, for divisível por 8.
• Exemplo: 3000, é divisível por 8, pois é terminado
em três zeros.
1672, é divisível por 8, pois 672 é divisível por 8.
8

quando a soma dos valores absolutos dos seus
algarismos for um número divisível por 9.
Exemplo: 648 é divisível por 9, pois 6 + 4 + 8 = 18
que é divisível por 9
• Divisibilidade por 10, 100, 1000, ...: Um número
divisível por 10, 100, 1000, quando terminar em
0, 00, 000, ... respectivamente.
9

• Divisibilidade por 11: um número é divisível
por 11, quando a soma dos valores absolutos
dos algarismos de ordem ímpar e par forem
iguais, ou quando a diferença entre a maior
soma e a menor for um número divisível por
11.
Exemplo: 1892, é divisível por 11, pois 2 + 8 = 10,
e 9 + 1 = 10, e 10 – 10 = 0
8371, é divisível por 11, pois 1 + 3 = 4, e 7 + 8 =
15, e 15 – 4 = 11
10

1) Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em
horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a
semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e
domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa.
De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12
e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades
escolares?
a) 20 b) 21 c) 24 d) 25 e) 27
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Etapa Pré Vestibular - Matemática
2) Nos shopping centers costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os
usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por cada período de
tempo de uso dos jogos. Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe
um certo numero de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques.
Suponha que o período de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$ 3,00 e
que uma bicicleta custa 9 200 tíquetes.
Para uma criança que recebe 20 tíquetes por período de tempo que joga, o valor, em
reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela
bicicleta e
a) 153.
b) 460.
c) 1 218.
d) 1 380.
e) 3 066.
12

4) Rafaela fez algumas compras em uma papelaria para abastecer o
escritório onde trabalha. Para que pudesse ser reembolsada, ela
elaborou a seguinte tabela, resumindo as compras feitas.
Apesar de a quantidade comprada de borrachas ter ficado ilegível
na tabela feita, Rafaela pôde recalculá-la, pois sabia que, no total,
havia gasto R$ 92,35. A quantidade de borrachas que Rafaela
comprou é igual a
a) 7 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3
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Atenção: Para responder às questões de números 05 e 06, considere
as informações abaixo.
Luiz tem que tomar um comprimido do remédio X a cada 3 horas, e
dois comprimidos do remédio Y a cada 5 horas. O tratamento com
os comprimidos deve durar 5 dias e meio, sendo que ele iniciou
tomando, simultaneamente. a dose recomendada de cada remédio
na segunda-feira, às 8 horas da manhã. Sabe-se que Luiz realizou o
tratamento completo cumprindo rigorosamente as instruções de
doses e horários.
Ao final do tratamento, o total de comprimidos ingeridos por Luiz foi
igual a
a) 96. b) 88. c) 90. d) 92. e)66.
14

6) Na semana que Luiz fez o tratamento, o último instante
em que ele tomou, simultaneamente, as doses dos
remédios X e Y foi
a) no sábado às 8 horas.
b) 23 horas.
c) 13 horas.
d) 16 horas.
e) 11horas.
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7) Uma pessoa quer distribuir, entre seus amigos, um
determinado número de convites. Se der 2 convites a cada
amigo, sobrarão 25 convites; entretanto, se pretender dar 3
convites a cada amigo, faltarão 15 convites. Caso essa pessoa
pretenda dar 4 convites a cada amigo, ela precisará ter mais:
a) 45 convites.
b) 55 convites.
c) 40 convites.
d) 80 convites.
e) 70 convites.
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8) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água,
equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias
ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15
litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme
dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).
Qual será a economia diária de água obtida por meio da
substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca
de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária
ecológica?
a) 36 litros
b) 24 litros
c) 40 litros
d) 42 litros
e) 50 litros
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9)Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de uma forma que possa
queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação
seguinte:
– Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos: 100 calorias gastas em
20 minutos.
– Meia hora de supermercado: 100 calorias.
– Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias.
– Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos.
– Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos.
– Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias.
Disponível em: http://cyberdiet.terra.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para
que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias.
A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as
atividades?
a) 60 min. b) 50 min. c) 80 min. d) 120 min. e) 170 min.
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