1. LICEO NAVAL CAPITÁN DE CORBETA
MANUEL CLAVERO MUGA
José Gonzales Villanueva
Profesor de Matemática

2. Objetivos
• Captar la idea de la programación lineal y sus
posibilidades de aplicación a problemas prácticos.
• Saber plantear un problema de programación lineal
partiendo de su enunciado en términos generales.
• Conocer y valorar el origen de la programación lineal y
su influencia en la historia.
• Dominar el lenguaje propio de la programación lineal:
función objetivo, restricciones, región factible, etc...
• Resolver un problema de programación lineal usando
el software POM.

3. Competencias:
El alumno utilizando correctamente la resolución de
ecuaciones e inecuaciones será capaz de maximizar
beneficios y minimizar pérdidas.
Conocimientos previos:
Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones de 1er
grado con dos variables
Funciones lineales

4. Breve Reseña Histórica
1776
Gaspar
Monge
1939 Leonid V.
Kantorovitch
publica
Métodos
matemáticos
de
organización y
planificación
de la
producción.
1941-1942
Problema de
transporte
Post Guerra:
EE.UU. Proyecto
SCOOP Uso de la
Programación
Lineal para
administrar
energía y
recursos de la
Nación.
1947 Dantzig y
el Método
Simplex
El nombre de PL
procede del
término militar
“programar” =
realizar planes de
tiempo para el
entrenamiento o
despliegue.

5. ¿Qué es la Programación Lineal?
Es un método que se utiliza en
la resolución de problemas
donde se plantea optimizar el
uso de ciertos recursos que se
disponen para maximizar
utilidades, beneficios, ingresos,
eficiencia o minimizar costos,
perjuicios, egresos, etc.

6. Ejemplo 1
Huguito es un estudiante que dedica parte de su tiempo
al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le
paga S/. 5 por cada impreso repartido y la empresa B,
con folletos más grandes, le paga S/. 7 por impreso. El
estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en
la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que
caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de
repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta
el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir de
cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

7. Variables
Cantidades
desconocidas
DEFINICIONES
Función
Objetivo
Es la que se
desea
maximizar o
minimizar
Z=ax+by+c
Solución Optima
Es una solución
factible que
maximiza o
minimiza la
función objetivo
Restricciones
Son las
inecuaciones
lineales que
limitan la región
factible
Región Factible
Es el polígono
convexo formado
al resolver
gráficamente el
Sistema de
Inecuaciones
Solución Factible
Es cualquier
punto situado
en la región
factible

8. Fundamentación Matemática
Teorema 1
• El conjunto de todas las soluciones factibles a un
problema de Programación Lineal es un conjunto
convexo.
Teorema 2
• La función objetivo alcanza su máximo en un punto
extremo del conjunto convexo, generado por el
conjunto de soluciones factibles.

9. Planteamiento del Ejemplo 1
Paso 1 (Variables decisorias)
Sea x el número de impresos A
Sea y el número de impresos B
Paso 2 (Construcción de la función objetivo)
El objetivo es maximizar la función
f(x,y) = z = 5x + 7y
Paso 3 (Restricciones)
Máximo de Impresos A igual 120  x ≤ 120
Máximo de Impresos B igual 100  y ≤ 100
150 impresos como máx.  x + y ≤ 150, x ≥ 0 , y ≥ 0

10. Esquema de Solución del Ejemplo 1
• x: numero de impresos A (variable)
• y: número de impresos B (variable)
• Maximizar z = 5x + 7y (Función objetivo)
• Sujeto a:
• x ≤ 120 (restricción 1)
• y ≤ 100 (restricción 2)
• x + y ≤ 150 (restricción 3)
con: x ≥ 0 , y ≥ 0

11. Representación gráfica de la
Región Factible

12. Evaluando los vértices
• Los vértices de la región factible (0;0); (0;100); (50;100);
(120;30) y (120;0)
• De acuerdo con el Teorema 2 debe encontrarse una solución
entre estos pares.
Vértice (x ; y) z = 5x + 7y
(0 ; 0) 0
(0 ; 100) 700
(50 ; 100) 950
(120 ; 30) 810
(120 ; 0) 600
• Respuesta: Para maximizar la ganancia se debe repartir 50
impresos de la empresa A y 100 impresos de la empresa B.

13. ALGORITMO DE RESOLUCIÓN
Identificar las variables, la
función objetivo y las
restricciones.
Graficar el sistema de
desigualdades lineales que
forman las restricciones e
identificar la región
factible.
Determinar los vértices de
la región factible.
Completar una tabla de
valores para la función
objetivo utilizando todos
los vértices.
Si se va a maximizar (o
minimizar), el valor más
grande (o pequeño) es una
solución optima.
Interpretar los resultados.

15. Problema 1
Dada la región del plano definida por las inecuaciones:
x + y – 1 ≥ 0; 0 ≤ x ≤ 3 ; 0 ≤ y ≤ 2.
¿Para qué valores de la región es máxima la función Z = 5x + 2y?
Solución:
Maximizar z = 5x + 2y (Función objetivo)
Sujeto a:
• x+ y ≥ 1 (restricción 1)
• x ≤ 3 (restricción 2)
• y ≤ 2 (restricción 3)
con: x ≥ 0 , y ≥ 0

16. • Respuesta: La función Z es máxima para el vértice (3,2), que es 19

17. Problema 3
Representar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen
las siguientes inecuaciones lineales:
x + 2y ≤ 10; x + y ≥ 2; x ≤ 8; x ≥ 0; y ≥ 0
Hallar el mínimo de F(x,y) = x – 3y
Solución:
Maximizar z = x-3y (Función objetivo)
Sujeto a:
• x+ 2y ≤ 10 (restricción 1)
• x +y ≥ 2 (restricción 2)
• x ≤ 8 (restricción 3)
con: x ≥ 0 , y ≥ 0

18. • Respuesta: El mínimo se alcanza en (0,5) y es - 15

19. Problema 5
En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal
valen S/. 4.50 y las halógenas S/. 6.00. La producción está limitada por el
hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300
halógenas ni más de 500 en total. Si se vende toda la producción, ¿cuántas de
cada clase convendrá producir para obtener la máxima facturación?
Solución:
• x: numero de bombillas tipo normal(variable)
• y: número de bombillas halógenas(variable)
Maximizar z = 4.50x + 6.00y (Función objetivo)
Sujeto a:
• x+ y ≤ 500 (restricción 1)
• x ≤ 400 (restricción 2)
• y ≤ 300 (restricción 3)
con: x ≥ 0 , y ≥ 0

20. • Respuesta: Se deben producir 200 bombillas normales y 300 halógenas

21. Profesor José Gonzales V.
jpgv_84@hotmail.com