No século XVI, matemáticos como Cardano e Bombelli fizeram progressos no estudo de raízes quadradas de números negativos, dando início à teoria dos números complexos. Dois séculos depois, Wesses, Argand e Gauss ampliaram esses estudos, sendo considerados os criadores da teoria. A unidade imaginária i representa a raiz quadrada de -1, permitindo operações com números reais e raízes quadradas de números negativos.

1. Um pouco da história !!!
No século XVI , os matemáticos
Cardano e Bombelli, entre outros,
realizaram alguns progressos no
estudo das raízes quadradas de
números negativos. Dois séculos
depois, estes estudos foram
ampliados por Wesses, Argand e
Gauss. Estes matemáticos são
considerados os criadores da teoria
dos números complexos.
potência de i

2. Define-se a unidade imaginária , representada
pela letra i , como sendo a raiz quadrada
de -1. Pode-se escrever então: i = raiz de -1 .
Observe que a partir dessa definição , passam a
ter sentido certas operações com números reais ,
a exemplo das raízes quadradas de números
negativos .
Ex: raiz de -16 = raiz de 16 . raiz de -1 = 4.i = 4i
Definição :

3. Potências de i :
i0
= 1
i1
= i
i2
= -1
i3
= i2
. i = -i
i4
= (i2
)2
= (-1)2
= 1
i5
= i4
. i = 1.i = i
i6
= i5
. i = i . i = i2
= -1
i7
= i6
. i = -i , etc.

4. Percebe-se que os valores das potências de i se
repetem no ciclo 1 , i , -1 , -i , de quatro em
quatro a partir do expoente zero.
Portanto, para se calcular qualquer potência
inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão
do expoente por 4. Assim , podemos resumir:
i4n
= ir
onde r = 0 , 1 , 2 ou 3.
(r é o resto da divisão de n por 4).
Exemplo: Calcule i2001
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual
a 1.
Logo i2001
= i1
= i

5. A letra I acompanha a parte imaginária e dependo
do valor de sua potência ela irá assumir um valor
que irá facilitar vários cálculos.
i 0 = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é
um.
i 1 = i, pois todo número elevado a 1 é ele mesmo.
i 2 = -1, a partir dessa potência que as outras irão
derivar, veja:
i 3 = i2 . i = -1 . i = - i
i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1
i 5 = i4 . i = 1 . i = i
i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1.
i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i. E assim por diante.
Para descobrir, por exemplo, qual era o valor da
potência i243,
basta observar o seguinte: nas potências acima elas
repetem-se
de 4 em 4, então basta dividirmos 243 por 4, o resto
será 3
então i243 será o mesmo que i3, portanto i243 = - i.
Podemos concluir que in = ir, onde r é o resto da
divisão.

6. Girolamo Cardano
(Pavia, Itália, 24 de
setembro de 1501 —
Roma, 21 de setembro de
1576) foi um cientista e
sábio à moda de seu
tempo, matemático,
filósofo, médico. Fez seus
estudos em Pádua,
posteriormente mudou-se
para Milão. Na
matemática foi o
primeiro a introduzir as
idéias gerais da teoria
das equações algébricas.

7. Algebra de Rafael Bombelli: capa da
edição bolonhesa de 1579
Rafael Bombelli (também escrito como
Raffaele Bombelli e Raphael Bombelli;
Bolonha, 1526 – Roma, 1572) foi um
matemático e engenheiro hidráulico
italiano.
Ele foi pioneiro em determinar as
regras algébricas dos números
negativos e dos números complexos,
em sua obra L'Algebra.

8. Wikipédia ,a enciclopédia livre
Brasil escola

9. Silvana Patricia.
Ticiane Carvalho
Juliana Martins
Paulo Figueiredo
Luis Henrique
Emerson Paraiso
Turma : 3 0 1
Obrigado !!

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